Metode Kuadrat Terkecil Tertimbang pada Model Regresi Semiparametrik Terboboti Geografis

Transkripsi

1 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2017 Metode Kuadrat Terkecil Tertimbag ada Model Regresi Semiarametrik Terboboti Geografis S-8 Haif Fakhria Afriastii 1, Dewi Reto Sari Sautro 2, Purami Widyaigsih 3 Program Studi Matematika FMIPA Uiversitas Sebelas Maret 1,2,3 1 astihaif@gmail.com Abstrak Regresi liear adalah salah satu metode statistik yag memelajari hubuga atara variabel reso da satu atau lebih variabel rediktor. Dalam suatu data dalam regresi liear, memugkika bahwa data tersebut diambil dari wilayah tertetu da berbeda. Hal ii aka megakibatka adaya heterogeitas sasial. Dalam suatu model regresi liear, tidak dierkeaka adaya heterogeitas sasial, karea alah satu damak yag ditimbulka dega adaya heterogeitas sasial adalah arameter regresi bervariasi secara sasial. Utuk megatasi masalah heterogeitas sasial tersebut dikembagka model Regresi Terboboti Geografis (RTG). Tidak semua variabel rediktor dalam model RTG berlaku secara global, amu terdaat variabel rediktor yag berlaku secara lokal sehigga dikembagka model Regresi Semiarametrik Terboboti Geografis (RSTG). Model RSTG meruaka gabuga atara dua model yaitu model lokal da model global. Pedugaa arameter ada model RSTG dilakuka dega Metode Kuadrat Terkecil Tertimbag (MKTT). Dalam eelitia ii dilakuka kajia MKTT ada model RSTG. Hasil kajia meujukka bahwa MKTT meruaka egembaga Metode Kuadrat Terkecil (MKT) eambaha variabel baru yag meruaka usur embobot. Kata kuci: Heterogeitas Sasial, MKT, MKTT, RTG, RSTG. I. PENDAHULUAN Regresi liear adalah salah satu metode statistik yag memelajari hubuga atara variabel reso da satu atau lebih variabel rediktor. Salah satu eaksir arameter ada regresi liear klasik megguaka edekata MKT. Metode MKT terdaat risi bahwa koefisie regresi yag diduga berlaku global utuk keseluruha uit observasi. Peaksir arameter megguaka MKT diasumsika bahwa ilai eaksir arameter regresi aka teta (kosta), artiya arameter regresi berilai sama utuk setia titik di dalam wilayah eelitia (arameter global) [1]. Namu, ada keyataaya dalam suatu eelitia setia daerah memiliki karakteristik yag berbeda sehigga diidikasika adaya efek sasial, hal itu meyebabka kodisi atara lokasi satu dega yag laiya mejadi berbeda. Kodisi yag diegaruhi oleh asek sasial atau kodisi geografis suatu wilayah ada suatu eelitia memugkika adaya heterogeitas sasial. Dalam suatu model regresi liear, tidak dierkeaka adaya heterogeitas sasial. Sehigga utuk megatasi masalah heterogeitas sasial tersebut dikembagka aalisis regresi yag terboboti secara geografis yaitu Model Regresi Terboboti Geografis (RTG). Model RTG meruaka egembaga dari model regresi liier global dimaa ide dasarya diambil dari regresi oarametrik [2]. Model ii meruaka model regesi liier bersifat global yag meghasilka eaksir arameter model yag bersifat lokal utuk setia titik atau lokasi dimaa data tersebut dikumulka. Referesi [3] meruaka eelitia yag megkaji tetag RTG, eelitia tersebut megkaji tetag faktor-faktor yag memegaruhi gizi buruk balita dega memertimbagka asek sasial megguaka model regresi sasial. Namu, Peelitia tersebut belum memerhatika variabel rediktor beregaruh secara global atau haya secara lokal. Pada keyataaya tidak semua variabel rediktor dalam model memuyai egaruh secara lokal. Beberaa variabel rediktor daat beregaruh secara global, sedagka yag laiya daat beregaruh secara lokal [4]. Terkait megeai hal tersebut, ada artikel ii aka dibahas megeai model regresi sasial semiarametrik yaitu Regresi Semiarametrik Terboboti Geografis (RSTG). Referesi [5] meruaka eelitia yag terkait dega eulisa artikel ii, eelitia tersebut megalikasika edekata regresi sasial semiarametrik ada data gizi buruk ada balita di Surabaya. Selai itu, referesi [6] megeai estimasi arameter model Regresi Semiarametrik Terboboti Geografis megguaka metode Kuadrat Terkecil Tertimbag (MKKT) yag diteraka ada data jumlah egaggura di Provisi Jawa Timur tahu Model regresi semiarametrik meruaka betuk ola hubuga atara variabel reso da variabel rediktor yag terdiri dari regresi arametrik da PS-57

2 ISBN (Cetak) (O-lie) oarametrik. Model RSTG meruaka gabuga atara dua model, yaitu model lokal da model global, dimaa ide dasar model global berasal dari regresi oarametrik. Pedugaa arameter ada model RSTG tidak dilakuka dega metode MKT, karea ada model RSTG, terdaat idikasi adaya efek sasial ada data. Data sasial meruaka salah satu jeis data deede, karea data dikumulka dari lokasi sasial berbeda yag megidikasika terdaatya ketergatuga atara egukura data dega lokasi [7]. Jika metode regresi diteraka ada data sasial dega metode MKT utuk megestimasi arameter model regresi dega asumsi error idetik ideede da berdistribusi ormal, maka aka dieroleh suatu model taksira utuk semua data, hal iilah yag meyebabka ketidaksesuaia model ada data sasial karea ada aalisis regresi diasumsika bahwa lokasi geografis tidak memegaruhi reso model [8]. Asumsi ii bisa meyebabka kesimula yag salah da meghasilka error autokorelasi sasial. Utuk megatasi hal tersebut, maka dikembagka Metode Kuadrat Terkecil Tertimbag utuk meetuka ilai eduga arameter ada model RSTG. Tujua dari eulisa artikel ii utuk meetuka eduga arameter model RSTG, sehigga daat diketahui betuk eduga arameter utuk model lokal da model global dari model regresi yag ada. II. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Regresi Liier Model regresi liier meruaka suatu metode utuk megukur besarya egaruh variabel rediktor terhada variabel reso [9]. Persamaa umum utuk model regresi liier dega samel da jumlah variabel rediktor adalah Y i = β 0 + β 1 x i1 + + β x i + ε i (1) dega i = 1,2,, serta y i meruaka variabel reso ke-i, x i meruaka egamata variabel rediktor ke-i, β i meruaka arameter regresi, da ε i meruaka error atau sisaa ke-i, serta ε i ~ N(0, σ 2 ). B. Model RTG Model RTG adalah suatu model regresi sederhaa yag diubah mejadi model regresi yag terboboti [4]. Setia ilai arameter ada model RTG aka dihitug ada setia titik lokasi geografis, sehigga setia titik lokasi geografis memuyai ilai arameter regresi yag berbeda-beda. Model RTG ditulis sebagai y i = β 0 (u i, v i ) + β k (u i, v i ) x ik + ε i, i = 1,2,,. (2) Persamaa (2) ditulis dalam betuk matriks sebagai 1 x 11 x 12 x 1 β 0 (u i, v i ) y 1 y 2 ( ) = y i 1 x 21 x 22 x 2 β ( 1 (u i, v i ) ) 1 x ( 1 x 2 x β (u i, v i ) ) x 1(q+1) x 1(q+2) x 1(q+3) x 1 x 2(q+1) x 2(q+2) x 2(q+3) x 2 + ( ) x (q+1) x (q+2) x (q+3) x ( β q+1 β q+2 β ) ε 1 ε 2 + ( ), ε dega y i adalah ilai observasi variabel reso ke-i, x ik meruaka ilai observasi variabel rediktor k ada egamata ke-i, β adalah koefisie regresi,(u i, v i ) adalah titik koordiat lokasi i, serta ε i meruaka error ke- i, yag diasumsika megikuti distribusi ormal dega mea ol da varia kosta (ε i ~iid(0, σ 2 ). C. Model RSTG Berdasarka model regresi sasial ada ersamaa (2), jika tidak semua variabel rediktor memuyai egaruh secara lokal, sebagia beregaruh secara global, maka model dega karakteristik seerti itu diamaka model regresi sasial semiarametrik, atau biasa disebut dega RSTG. Pada model RSTG beberaa arameter ada model RTG diasumsika kosta utuk seluruh lokasi egamata sedagka yag lai bervariasi sesuai lokasi egamata data [4]. Model RSTG dega variabel rediktor yag bersifat global da q variabel rediktor yag bersifat lokal, dega megasumsika bahwa iterset model bersifat lokal sehigga model RSTG dituliska sebagai q y i = β 0 (u i, v i ) + β k (u i, v i ) x ik + k=q+1 β k x ik ε i ; i = 1,2,, (3) dega y i adalah ilai observasi variabel reso ke-i, x ik meruaka ilai observasi variabel rediktor k ada lokasi (u i, v i ), β 0 (u i, v i ) adalah itercet model regresi, β k (u i, v i ), koefisie regresi variable PS-58

3 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2017 redictor ke-k setia lokasi (u i, v i ), (u i, v i ) adalah titik koordiat lokasi i, serta ε i meruaka error ke- i, yag diasumsika megikuti distribusi ormal dega mea ol da varia kosta (ε i ~iid(0, σ 2 ). D. MKTT MKTT meruaka suatu betuk egembaga dari edugaa kuadrat terkecil, risi MKTT sama dega MKT yaitu memiimumka jumlah kuadrat error. Namu ada MKTT terdaat eambaha variabel baru yaitu W yag meujukka bobot atau timbaga, dega W meruaka matriks diagoal yag memuat W i, dega W i meruaka matriks embobot ke-i dega ukura x dega elemeeleme diagoal berisi emobot W 1, W 2,, W i, yaitu W 1 0 ( ). 0 W i E. Peaksira Parameter Model RSTG Peaksira arameter ada model RTG dilakuka dega megguaka MKTT,yaitu dega memberika bobot yag berbeda utuk setia lokasi egamata [1,6]. Pemberia bobot ii sesuai dega Hukum I Tobler, Everythig is related to everythig else, but ear thig are more related tha distat thigs yag berarti bahwa Segala sesuatu salig berhubuga satu dega yag laiya, tetai sesuatu yag dekat lebih memuyai egaruh dariada sesuatu yag jauh, eaksira arameter disuatu titik aka lebih diegaruhi oleh titik-titik yag dekat dega lokasi dariada titik-titik yag lebih jauh. Pembobot tersebut berua matriks diagoal yag eleme-eleme diagoalya meruaka sebuah fugsi embobot da titik lokasi egamata [1]. Misalka embobot utuk setia titik lokasi egamata (u i, v i ) adalah W ij, dega j = 1,2,,, maka eaksir arameter model dilakuka dega memiimumka jumlah kuadrat erorya ada ersamaa (2) yag telah diberika embobot W ij sehigga dieroleh 2 W i ε j = W ij [y i β 0 (u i, v i ) W ij β k (u i, v i )X ik ] 2 Persamaa (4) diyataka dalam betuk matriks adalah ε T W l ε = (y Xβ l ) T W l (y Xβ l ) = (y T β l T X T )W l (y Xβ l ) = y T W l 2β l T X T W l y + β l T X T W l Xβ l β 0 (u i, v i ) w 1 (u i, v i ) β dega β i =( 1 (u i, v i ) 0 w ) da W l = ( 1 (u i, v i ) 0 0 ), β (u i, v i ) 0 0 w i (u i, v i ) 1 x 11 x 12 x 1 1 x da X = 21 x 22 x 2. ( 1 x 1 x 2 x ) Persamaa (5) dituruka terhada β T (u i, v i ), dega megguaka kose diffresial, maka dieroleh eaksir ersamaa RTG daat dituliska sebagai ε T W l ε β T = (yt W l 2β T l X T W l y + β T l XW l Xβ l ) β T ε T W l ε β T = 0 2X T W l y + XW l Xβ l + W l (X T β T l X) T ε T W l ε β T = 2X T W l y + 2X T W l Xβ l X T W l y = X T W l Xβ l, sehigga dieroleh estimator model RTG adalah β = (X T W l X) 1 X T W l y. Model RSTG adalah egembaga dari model RSTG, ada model RSTG beberaa arameter ada model RTG diasumsika kosta utuk seluruh lokasi egamata sedagka yag lai bervariasi sesuai lokasi egamata data [4]. Berdasaraka ada Persamaa (3) daat ditulis sebagai Y = X l β l (u i, v i ) + X g β g + ε (6) (4) (5) PS-59

4 ISBN (Cetak) (O-lie) ersamaa (6) disebut sebagai model RSTG dega arameter lokal Y = X l β l (u i, v i ) + ε (7) da arameter global Y = X g β g + ε y 1 1 x 11 x 12 x 1q β 0 (u i, v i ) y 2 1 x dega Y = ( ), X 21 x 22 x 2q β l, β l (u i, v i ) = ( 1 (u i, v i ) ), y i ( 1 x 1 x 2 x q) β q (u i, v i ) 1 x 1(q+1) x 1(q+2) x 1q β q+1 1 x X 2(q+1) x 2(q+2) x 2q β g, β g = q+2. ( 1 x (q+1) x (q+2) x q) ( β ) Utuk memeroleh eaksir arameter ada model RSTG lokal, diasumsika bahwa daerah yag dekat dega lokasi egamata ke-i memeuyai egaruh yag lebih besar terhada eaksir arameterya dariada daerah yag lebih jauh. Berdasarka ada ersamaa (7) daat diketahui bahwa ε = Y X l β l (u i, v i ), misalka embobot utuk setia lokasi (u i, v i ) adalah W j (u i, v i ), j = 1,2,,, maka arameter ada lokasi egamata (u i, v i ) ditaksir dega cara meambahka usur embobot ada ersamaa (9) mejadi 2 W j (u i, v i )ε i = W j (u i, v i ) [Y i X l β l (u i, v i )] 2 da jumlah kuadrat error adalah ε T W(u i, v i )ε = (Y X l β l (u i, v i )) T W(u i, v i )(Y X l β l (u i, v i )) = (Y X l β l (u i, v i )) T W(u i, v i )Y W(u i, v i )X l β l (u i, v i )) = (Y T W l β l (u i, v i ) T X T l )(W(u i, v i )Y W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) = Y T W(u i, v i )Y Y T W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )Y +β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) = Y T W(u i, v i )Y (Y T W(u i, v i )X l β l (u i, v i )) T β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )Y + β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) = Y T W(u i, v i )Y β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )Y β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )Y +β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) = Y T W(u i, v i )Y 2β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )Y +β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ). (10) Utuk memiimumka ersamaa (10), daat dilakuka dega melakuka turua arsial ε T W(u i, v i )ε terhada β l (u i, v i ) T didaatka ε T W(u i, v i )ε β l (u i, v i ) T = (YT W(u i, v i )Y 2β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )Y + β 0 (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i )) β l (u i, v i ) T = 2X T l W(u i, v i )Y + X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) + (β l (u i, v i ) T X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i )) T = 2X T l W(u i, v i )Y + X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) + X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) = 2X T l W(u i, v i )Y + 2X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ). Selajutya, dega megguaka kose diffresial, maka dieroleh ilai estimator β l (u i, v i ) daat dituliska sebagai ε T W(u i, v i )ε = 2X T l W(u i, v i )Y + 2X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) β l (u i, v i ) T 0 = 2X T l W(u i, v i )Y + 2X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) 2X T l W(u i, v i )Y = 2X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) X T l W(u i, v i )Y = X T l W(u i, v i )X l β l (u i, v i ) (u i, v i ) = (X l W(u i, v i )X T l ) 1 W(u i, v i )X T l Y β l (8) (9) PS-60

5 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2017 W(u i, v i ) adalah matriks embobot yag berukura x dega eleme-eleme diagoal berisi emobot W 1, W 2,, W i, yaitu W 1 0 ( ). 0 W i Parameter global ada model RSTG dari ersamaa (8) adalah ε = Y X g β g, sehigga jumlah kuadrat eror adalah ε T ε = (Y X g β g ) T (Y X g β g ) = (Y T β T g X T g ) (Y X g β g ) = Y T Y Y T X g β g β T g X T g Y + β T g X T g X g β g = Y T Y (Y T X g β g ) T β T g X T g Y + β T g X T g X g β g = Y T Y β T g X T g Y β T g X T g Y + β T g X T g X g β g = Y T Y 2β T g X T g Y + β T g X T g X g β g. (11) Utuk memiimumka Persamaa (11) daat dilakuka dega turua arsial ε T ε terhada β g, maka: ε T ε = (YT Y 2β T g X T g Y + β T g X T g X g β g ) β g β g = 0 2X T g Y + X T g X g β g + β T g X T g X g = 0 2X T g Y + X T g X g β g + (β T g X T g X g ) T = 2X T g Y + X T g X g β g + X T g X g β g = 2X T g Y + 2X T g X g β g 0 = 2X T g Y + 2X T g X g β g 2X T g Y = 2X T g X g β g X T g Y = X T g X g β g X T g Y(X T g X g ) 1 = (X T g X g ) 1 T X g Xg β g β g = (X T g X g ) 1 X T g Y III. SIMPULAN Berdasarka hasil da embahasa dieroleh kesimula bahwa RSTG meruaka erluasa dari Regresi Liier yag diguaka utuk megatasi masalah heterogeitas sasial. Model RSTG meruaka Gabuga atara dua model, yaitu model lokal da model global, dimaa ide dasarya berasal dari regresi oarametrik. Peaksira arameter adal model RSTG dilakuka dega megguaka MKTT. MKTT meruaka egembaga dari metode kuadrat terkecil dega eambaha variabel baru, yaitu variabel embobot. Prisi MKTT sama halya dega MKT, yaitu memiimalka jumlah kuadrat error, sehigga dieroleh eaksir arameter lokal model RSTG β l (u i, v i ) = (X l W(u i, v i )X T l ) 1 W(u i, v i )X T l Y Da arameter globalya β g = (X T g X g ) 1 X T g Y. DAFTAR PUSTAKA [1] H. Yasi, Pemiliha Variabel ada model Geograhically Weighted Regressio, Jural Media Statistika, (Olie), 4(2) : 63-72,(htt:/ diakses 24 Aril [2] C.Mei, N.Wag, W. Zhag, Testig the Imortace of the Exlaatory Variables i a Mixed Geograhically Weighted Regressio Model, Joural Statistics ad Comutatio,38 (5): [3] Q. A yui Pemodela Gizi Buruk ada Balita di Kota Surabaya dega Satial Autoregressive Model (SAR),Surabaya : Tugas Akhir Jurusa Statistika Istitut Tekologi Seuluh Noember Surabaya,2011. [4] B. Lu, M. Charlto, P. Harris, A. Stewart Fotherigham, Geograhically Weighted Regressio: The Aalysis of Satially Varyig Relatioshis, Joh Wiley & Sos, Ltd., West Sussex, Eglad,2002. [5] M. Rifada, Chamidah, da T. Saifuddi, 2013, Pemodela Kejadia Gizi Buruk ada Balita di Surabaya Berdasarka Pedekata Regresi Sasial Semiarametrik, Jural Pedidika Matematika,13(2): [6] Muhdor, Estimasi Parameter Model Geograhically Weighted Regressio Semiarametric Megguaka Metode Weighted Least Square, [7] N. A.C Cressie, Statistics For Satial Data, New York: Joh Wiley & Sos, Ic. Uited States of America,1991. PS-61

6 ISBN (Cetak) (O-lie) [8] N. Atikah, Pemafaata Metode Geograhically Weighted Regressio (GWR) utuk Meramalka Debit Pucak Pada Daerah Alira Sugai, [9] D. Gujarati, Basic Ecoometrics, New York: McGraw-Hill, [10] L. C.Y Leug, Statistical Tests for Satial No-Statioarity Based o the Geograhically Weighted Regressio Model. Eviromet ad Plaig, A , PS-62