MENENTUKAN KOEFISIEN DETERMINASI ANTARA ESTIMASI M DENGAN TYPE WELSCH DENGAN LEAST TRIMMED SQUARE DALAM DATA YANG MEMPUNYAI PENCILAN

Transkripsi

1 Saitia Matematika ISSN: Vol. 0, No. 03 (014), pp MENENTUKAN KOEFISIEN DETERMINASI ANTARA ESTIMASI M DENGAN TYPE WELSCH DENGAN LEAST TRIMMED SQUARE DALAM DATA YANG MEMPUNYAI PENCILAN Sabam Daoi Siambela, Suwaro Ariswoyo, Hery Rai Sitepu Abstrak: Koefisie determiasi (R ) adalah suatu idikator yag diguaka utuk meggambarka berapa bayak variasi yag dijelaska dalam model. Berdasarka ilai R dapat diketahui tigkat sigifikasi atau kesesuaia hubuga atara variabel bebas da variabel tak bebas dalam regresi liier. Pecila adalah data yag tidak megikuti sebagia besar pola da terletak jauh dari pusat data, dapat dideteksi dega metode boxplot (Iterquartil Rage), meetuka ilai Leverage, Df- FITS da Cooks Distace. Least Trimmed Squares (LTS) yaitu metode peaksira parameter regresi robust yag megguaka kosep pemagkasa utuk memiimumka jumlah kuadrat residual. Peaksir M yaitu metode dalam megatasi pecila da dapat megguaka peaksir Welsch dalam megestimasi parameter regresi. Tujua peelitia ii adalah membadigka dua metode regresi robust yaki peaksir LTS da peaksir M type Welsch dalam megatasi permasalaha data pecila. Hasil peelitia yag diperoleh yaitu peaksir LTS merupaka metode palig baik karea mampu megatasi pecila da diperoleh bahwa Least Trimmed Squares memiliki ilai koefisie determiasi yag palig tiggi dari peaksir M type Welsch. Received , Accepted Mathematics Subject Classificatio: 6M10, 6N0 Key words ad Phrases: Estimasi M, Type Welsch, Least Trimmed Squqres, Regresi Robust, Data Pecila. 5

2 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 6 1. PENDAHULUAN Regresi merupaka suatu metode statistika yag diguaka utuk meyelidiki pola hubuga atara dua atau lebih variabel. Tujua dari aalisis regresi adalah utuk megestimasi parameter model yag meyataka pegaruh hubuga atara variabel predictor da variabel respo. Metode estimasi yag diguaka adalah Ordiary Least Square (OLS). Namu metode ii mempuyai asumsi yag pada data riil serig tidak dapat dipeuhi. Asumsi tersebut megeai keormala residual yag serig dilaggar ketika adaya pegamata yag bersifat outlier. Outlier tidak dapat dibuag atau dihapus begitu saja dari pegamata. Adakalaya outlier memberika iformasi yag tidak bisa diberika oleh titik data laiya, misalya karea outlier timbul dari kombiasi yag tidak biasa da perlu diselidiki lebih jauh[1]..landasan TEORI Pegertia Regresi Liier Regresi secara umum adalah sebuah alat statistik yag memberika pejelasa tetag pola hubuga atara variabel atau lebih. Dalam aalisis regresi dikeal jeis variabel yaitu variabel depedet yag diotasika dega Y da variabel idepedet yag diotasika dega X. Tujua utama regresi liier adalah utuk membuat perkiraa ilai suatu variabel jika ilai variabel yag lai yag berhubuga degaya sudah ditetuka[]. Pedeteksia Data Pecila Outlier Utuk medeteksi pecila dapat dilakuka dega boxplot yaitu dega meetuka Iterquartil Rage (IQR) da dirumuska dega Q 1 : Kuartil 1 Q 3 : Kuartil 3 Batas buka data pecila adalah data yag kurag dari 1,5x IQR terhadap Q 1 da lebih dari 1,5x IQR terhadap Q 3.

3 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 7 Metode Kuadrat Terkecil Metode Kuadrat Terkecil adalah metode yag diguaka ketika terjadi peyimpaga atara ilai yag sebearya dega ilai suatu taksira. Peyimpaga tersebut diamaka dega e i da ditaksir dega Y i Ŷi. a = Metode Kudarat Terkecil memiimumka ilai e i da meghasilka P i=1 Y i da b =. P i=1 Y ix i Y i P i=1 X i P i=1 X i P i=1 X i Dega: Y i : Variabel terikat ke-i. X i : Variabel bebas ke-i. Dalam perhitugaya, terlebih dahulu dihitug ilai b kemudia ilai tersebut diguaka utuk medapatka ilai a. Regresi Robust Regresi robust adalah suatu metode yag diguaka utuk mecari persama terbaik dalam data yag megadug outlier. Dalam regresi robust bayak metode estimasi yag bisa diguaka seperti peaksir Least Media Square, Least Trimmed Square, Peaksir M, Peaksir S da Peaksir MM. Regresi Robust Dega Least Trimmed Square Least Trimmed Square (LTS) merupaka suatu metode pedugaa parameter regresi robust utuk memiimumka jumlah kuadrat h residual. Tahapa algoritma Least Trimmed Square adalah: 1. Meghitug Ŷ berdasarka ilai parameter.. Meghitug coverage (h). 3. Meghitug h i=1 r i. 4. Melakuka estimasi parameter dari h pegamata. 5. Meetuka Ŷ berdasarka ilai parameter yag baru. 6. Melakuka iterasi sampai medapatka koefisie determiasi yag relatif lebih baik.

4 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 8 Regresi Robust Dega Estimasi M Type Welsch Estimasi M didasarka ide peggatia residual kuadrat sehigga meghasilka fugsi residual miimum. Residual miimum dirumuska dega miimize i=1 ρ(r i), dimaa ρ adalah fugsi simetris dega ilai miimum sama dega 0 da memerluka stadarisasi residual berupa pedekata dari sebuah σ yag meghasilka i=1 ψ(r i bσ )XT = 0. Persamaa dapat ditulis mejadi i=1 w(y i X b bσ )X T = 0 atau X T WXb = X T WY. W adalah matriks diagoal dari w dega ukura. Kedua ruas dikalika dega (X T WX) meghasilka ilai b = (X T WX) 1 X T WY [3]. Algoritma peyelesaia dari estimasi M dega type Welsch adalah: 1. Meghitug Ŷ i da ε i berdasarka ilai dari masig-masig parameter.. Meghitug σ i dari ilai-ilai residual. 3. Meyusu matrik pembobot berupa matrik diagoal dega eleme w 1,1, w,1,..., w,1 da diamai dega W Meghitug ilai β Robust1. 5. Meghitug ilai i=1 abs(y i Ŷ i ) atau i=1 abs(ε i). 6. Lagkah sampai 5 diulag sampai diperoleh i=1 [ε i,m] yag koverge. Koefisie Determiasi R adalah suatu idikator yag meggambarka berapa bayak variasi yag dijelaska dalam model[4]. Nilai dari R dapat dicari dega megguaka rumus: R = b 1 x1 y + b x y b x y y

5 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 9 3.METODE PENELITIAN Adapu metode peelitia yag diguaka peulis adalah: 1. Meetuka data.. Meetuka ada tidakya outlier dega metode boxplot. 3. Meghitug koefisie determiasi dega Least Trimmed Square da estimasi M dega type W elsch. 4. Membadigka kedua koefisie determiasi tersebut utuk memperoleh estimasi yag relatif lebih baik. 4.PEMBAHASAN Data yag diambil adalah data pegukura keasia garam da arus sugai di Carolias Pamlico Soud Utara dari buku Robust Regressio Ad Outlier Detectio seperti pada Tabel 1. Tabel 1: Saliity Data Idex Lagged Saliity Tred Discharge Saliity (i) (X 1 ) (X ) (X 3 ) (Y ) 1,00 4 3,01 7,60 7,60 5 3,87 7,70 3 4,60 0 6,4 4,30 4 4,30 1 4,86 5, ,70 3,69 9, ,00 0 1,79 1,00 0 1,0 1,04 1,60 1 1,10 4 1,03 13,60 13,60 5 1,01 14, ,00 0 5,87 13,5 Sumber: Robust Regresio Ad outlier Detectio 1986

6 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 30 Berikut ii adalah pedeteksia masig-masig variabel dega metode boxplot da masig-masig variabel telah diurutka dari variabel terkecil ke variabel terbesar. Pedeteksia data Lagged Saliity: Q 1 = Q = X 7 + X 8 X 1 + X = 7, 7 + 8, = , 1 = 7, 95 = 13, 05 Q 3 Q 1 = 13, 05 7, 95 = 5, 1 1, 5 IQR = 1, 5 5, 1 = 7, 65 Pedeteksia data Tred, Discharge da Saliity memiliki ilai Q 1, Q, Q 3 da IQR yag ditujukka dalam Tabel. Tabel : Tabel IQR Variabel Nilai Q 1 Nilai Q 3 Nilai IQR X 1 7,95 13,05 7,65 X 1,00 4,00 1,50 X 3 1,78 4,87 4,6 Y 7,95 13,05 7,65 Peyelesaia dega Least Trimmed Square: 1. Dega SPSS. 17 diperoleh Ŷ = 9, , 77X 1-0, 6X - 0, 95X 3. Iterasi I. Coverage (h)= (+p+1) = (8+3+1) = 16. Dega h = 16, residual terkecil sampai yag terbesar adalah:

7 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 31 Tabel 3: Kuadrat Residual No Residual Kuadrat No Residual Kuadrat 1 0,01 9 0,9 0, , , ,89 6 0,0 14 1,09 7 0,8 15 1,14 8 0,9 16 1,15 3. ˆβew = h ew i=1 r i = 6, Dega estimasi paramter diperoleh Ŷ = 94,03 + 0, 731X 1 + 0, 731X - 0, 86X + 0, 446X 3. Iterasi II 1. Coverage= (+p+1) = (16+3+1) = 10.. Seperti iterasi 1 diperoleh ilai Ŷ = , 679X 1 0, 9X 0, 30X Dega SPSS 17 diperoleh koefisie determiasi= 0,945. Peyelesaia dega Estimasi M dega type Welsch: 1. Data yag diguaka adalah Tabel 1 (Saliity Data).. Nilai residual masig-masig varibel ditujukka pada Tabel 4.

8 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 3 Tabel 4: Nilai Residual No X 1 X X 3 Y Ŷ ε i,0 = Y Ŷ Y Ŷ 1 8,0 4 3,01 7,60 8,13-0,54 0,54 7,60 5 3,87 7,70 7,15 0,55 0,55 3 4,60 0 6,4 4,30 5,37-1,07 1,07 4 4,30 1 4,87 5,90 5,34 0,57 0, ,0 1 3,83 1,60 1,56 0,04 0, ,60 5,14 10,40 11,44-1,04 1, ,40 3,43 10,80 10,7 0,53 0, ,80 4 1,78 13,10 10,5,59, ,10 5,38 1,30 11,87 0,43 0, ,10 5 1,39 15,10 1,93,16,16 Jumlah 95,50 79,07 16,43 3,59 Iterasi I 3. Nilai ˆσ 0 dega c =,3849 adalah: σ 0 = MAR 0,6745 = 1 P i=1 [Y i Ŷ i ] 0,6475. σ 0 = 1 8 (3,58450) 0,6475 = 1,1637 0,6745 = 1, Nilai β robust = (X T W 0 X) 1 X T W 0 Y. Dega Mathlab diperoleh ilai β 0 10, 985 β 1 β = 0, , 075 β 3 0, Iterasi selajutya dilakuka seperti iterasi I. Nilai masig-masig iterasi ditujukka pada Tabel 5.

9 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 33 Tabel 5: Nilai β 0, β 1, β, β 3 dega Iterasi β 0 β 1 β β 3 Iterasi 1 10,98 0,77-0,073-0,35 Iterasi 14,11 0,75-0,1-0,47 Iterasi 3 16,44 0,73-0,15-0,55 Iterasi 4 17,53 0,7-0,17-0,59 Iterasi 5 17,97 0,7-0,18-0,61 Iterasi 6 18,15 0,7-0,18-0,6 Iterasi 7 18,3 0,7-0,19-0,6 Iterasi 8 18,6 0,7-0,19-0,6 Iterasi 9 18,8 0,7-0,19-0,6 Iterasi 10 18,8 0,7-0,19-0,6 Iterasi 11 18,8 0,7-0,19-0,6 Iterasi 1 18,9 0,7-0,19-0,6 Iterasi 13 18,9 0,7 0,19-0,6 6. Koefisie determiasi dihitug dega megguaka rumus: R = b 1 x1 y + b x y + b 3 x3 y y X1 i=1 x1 y = X 1 Y i Y i = 3.7, , 4618 i=1 = 157, 310. X i=1 x y = X Y i Y i i=1 = 17, X3 i=1 x3 y = X 3 Y i Y i i=1 = 108, = 756, , 7500 = 6.904, , 0909

10 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 34 y = i=1 = 44, Y i ( i=1 Y i) = 3.363, , 5804 R = (0, , 310) (0, , 7500)+ 44, 6496 (0, , 7445). 44, 6496 R = 0, 9065 = 90, 65%. Jadi koefisie determiasiya adalah 90, KESIMPULAN Kesimpula yag dapat diambil adalah: 1. Least Trimmed Square merupaka metode yag relatif lebih baik. Hal ii dapat terlihat dari koefisie determiasi yag relatif lebih tiggi meskipu memiliki selisih yag kecil.. Iterasi yag lebih bayak meghasilka koefisie determiasi yag lebih baik.

11 Sabam Daoi S. -Koefisie Determiasi Estimasi dega Type Welsch 35 Daftar Pustaka [1] Draper, N.R da H. Smith Aalisis Regresi Terapa. Bambag Sumatri. Gramedia.Jakarta, (199). [] Hasa Iqbal. Pokok-pokok materi statistik. Peerbit Bumi Aksara. Jakarta, (1999). [3] Alfigari. Aalisis Regresi. Sekolah Tiggi Ilmu Ekoomi YKPN. Yogyakarta, (00). [4] Dixo J,Wilfrid da Massey J.Frak. Pegatar Aalisis Statistik. Uiversitas Gadjah Mada. Yogyakarta, (1991). [5] Cahmayati Dia da Tauji Hadi. Efektivitas Metode Regresi Robust Peduga Welsch dalam megatasi Pecila pada Pemodela Regresi Liier Bergada. Uiversitas Sriwijaya, (009). Sabam Daoi Siambela: Departmet of Mathematics, Faculty of Mathematics ad Natural Scieces, Uiversity of North Sumatera, Meda 0155, Idoesia. Suwaro Ariswoyo: Departmet of Mathematics, Faculty of Mathematics ad Natural Scieces, Uiversity of North Sumatera, Meda 0155, Idoesia. Hery Rai Sitepu: Departmet of Mathematics, Faculty of Mathematics ad Natural Scieces, Uiversity of North Sumatera, Meda 0155, Idoesia.