SYARAT KEKONTINUAN FUNGSI KONVERGENSI PADA BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL

Transkripsi

1 SYARAT KEKONTINUAN FUNGSI KONVERGENSI PADA BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Eddy Djauhari Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl Raya Bandung-Sumedang Km 21 Jatinangor ABSTRAK SYARAT KEKONTINUAN FUNGSI KONVERGENSI PADA BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL Dari hasil penelitian ini akan diperlihatkan bahwa dengan syarat-syarat tertentu, kekontinuan suatu ungsi dapat dipertahankan apabila ungsi tersebut diturunkan dengan orde raksional Selanjutnya apabila diberikan suatu barisan ungsi kontinu yang konvergen ke suatu ugsi, juga dapat ditunjukkan bahwa barisan ungsi turunan raksionalnya akan tetap kontinu dan konvergen Masalahnya berikutnya yaitu meneliti kekontinuan ungsi konvergensinya, di mana hasilnya menunjukkan adanya keterlibatan kekonvergenan seragam dari barisan ungsi asal Dengan kata lain kekontinuan dari ungsi konvergensi dapat dipertahankan apabila barisan ungsi tersebut merupakan barisan yang konvergen seragam Kata kunci: barisan ungsi, konvergen seragam, turunan raksional, kontinu ABSTRACT TERMS CONTINUITY OF CONVERGENCE FUNCTION ON SEQUENCES DERIVED FRACTIONAL OF ORDER The results o this research will be showed that with certain conditions, continuity o a unction can be maintained i the unction is derived by dierentiation ractional order Furthermore, when given a sequence o continuous unctions that converges to a unction, then can be shown that the sequence o derivative unction by ractional will remain continuous and convergent The next problem is examined continuity o convergence unction, where the results indicate the involvement o the uniorm convergence o the origin unctions sequence In other words, continuity o convergence unction can be maintained i this sequence o unctions is a uniorm convergence sequence Key words: sequence o unctions, uniorm convergence, ractional derivatives, continuous 1 PENDAHULUAN Orde turunan dari suatu ungsi, secara tradisional senantiasa dihubungkan dengan bilangan asli Artinya diberikan sebuah ungsi, maka kita dapat menentukan turunan ke (orde) satu, kedua, ketiga, dan seterusnya Ide generalisasi dari konsep ini adalah bagaimana menentukan turunan yang berorde suatu bilangan pecahan (raksional), yaitu bilangan rasional atau bahkan bilangan real Dengan demikian, apabila sebelumnya telah dikenal notasi D n t (t) = (n) (t) sebagai turunan berorde bilangan asli n dari ungsi (t) terhadap variabel t, maka sebagai generalisasi dari bentuk tersebut diperkenalkan notasi D t (t) = () (t) sebagai turunan raksional orde- dari ungsi (t) terhadap variabel t, dengan suatu bilangan rasional/pecahan [2,5] Dengan adanya konsep tersebut, sangat memungkinkan terjadinya perubahan struktur 583

2 pada kekontinuan ungsi, khususnya dalam kaitannya dengan kekonvergenan barisan ungsi turunan berorde raksional Dalam penelitian ini, hal pertama yang akan diteliti adalah tentang kekontinuan ungsi hasil dari penurunan raksional suatu ungsi kontinu Apabila kekontinuan dapat dipertahankan, apakah untuk setiap bilangan raksional, ataukah ada batasan batasan tertentu untuk yang menjamin kekontinuan ungsi tersebut Selanjutnya, hal kedua yang akan diteliti adalah apabila diberikan barisan ungsi kontinu yang konvergen, apakah ungsi konvergensi dari barisan ungsi hasil penurunan raksionalnya juga akan kontinu? Dalam hal ini juga memungkinkan adanya pembatasan orde raksional yang menjamin kekontinuan tesebut 2 TINJAUAN PUSTAKA Beberapa teori pendukung bagi penelitian ini, penulis sampaikan beberapa diantaranya adalah sebagai berikut: Berangkat dari deinisi turunan pertama suatu ungsi, dalam [5,6] telah dideinisikan turunan tingkat ke-n secara umum sebagai Deinisi 21: Turunan ke-n dari ungsi (t) terhadap variabel t adalah D n n t (t) = lim 1 i n! 1 ( t ih) h0 n h i0 i!( n i)! dengan n adalah bilangan asli 1, 2, 3, Apabila deinisi tersebut diperumum lagi, bukan untuk n (bilangan asli), melainkan untuk orde bilangan rasional, maka Grundwal dan Letnikov dalam [2] mendeinisikan turunan raksional dengan orde adalah sebagai Deinisi 22: Turunan raksional ke- ungsi (t) terhadap variabel t adalah dari n D t (t) = lim 1 i ( 1) h0 1 ( t ih) n h ( i 1) ( i 1) dimana : i0 - a < t < b dan adalah bilangan raksional - n adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan b a - () adalah ungsi gamma yang dideinikan sebagai h 1 t ( ) t e dt 0, dengan R dan > 0 Selain dari deinisi di atas, deinisi lain yang disan oleh Riemann-Liouville didahului dengan deinisi tentang integral raksional Deinisi 23: Misalkan bilangan real, Integral raksional orde dari (x) di L 1[a,b] adalah dengan Dengan menggunakan deinisi di atas, Riemann- Liouville mendeinisikan turunan raksionalnya sebagai Deinisi 24: Misalkan bilangan real, dan Turunan raksional orde dari (x) terhadap di sekitar x = a, adalah Dengan deinisi-deinisi di atas, dalam [4] secara sederhana Mauro Bologna isikawan dari universidad de Tarapaca Chili menyatakan bahwa turunan ke- dari (t) = t p adalah p D t t = ( p 1) p t ( p 1 ) Kemudian dalam [1] hasil penelitian sebelumnya, tahun 2011 yang berkaitan dengan kekonvergenan barisan ungsi turunan raksional, telah dihasilkan teorema sebagai Teorema 25: Misalkan barisan bilangan real dan suatu ungsi dengan ada nilainya untuk setiap n Jika konvergen ke dan ada, maka barisan ungsi konvergen ke Toerema tersebut, menunjukkan bahwa kekonvergenan barisan orde raksional ternyata dapat dipertahankan, sehingga dengan menambahkan syarat tertentu, barisan ungsi turunan berorde raksional tetap konvergen 584

3 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Sebelum menguraikan hasil penelitian ini, terlebih dahulu disampaikan mengenai teorema kekonvergenan seragam dari suatu barisan ungsi Dengan menggunakan Deinisi 22 di atas, diperoleh: Teorema 31: Diberikan sebuah barisan ungsi pada himpunan A, dan misalkan konvergen seragam ke di A Maka kontinu di A Berdasarkan hipotesis konvergen seragam ke, berarti diberikan dan Selanjutnya ambil c A sembarang, akan ditunjukkan bahwa kontinu di c Dengan menggunakan ketidaksamaan segi tiga, diperoleh Karena N kontinu di c, maka terdapat = sehingga dan x A, maka Dengan demikian, dan x A, maka Karena > 0 dan c A diambil sembarang, maka terbukti kontinu di A Selanjutnya hasil penelitian yang didapat mengenai kekontinuan ungsi turunan raksional dinyatakan dalam tiga teorema Teorema 32: Jika (x) kontinu di x = c dan () (c) ada, maka () (c) kontinu di x = c Akan dibuktikan bahwa = Dalam hal ini disyaratkan bahwa () (c) harus ada, karena sangat memungkinkan terjadi bahwa domain (daerah asal) suatu ungsi akan berubah setelah diturunkan dengan turunan raksional berorde Sebagai contoh yang sederhana, apabila ungsi (x) = x 2 diturunkan dengan orde 1/2, maka diperoleh (1/2) (x) = Jelas dalam hal ini bahwa (1/2) (x) tidak terdeinisi di x < 0, sehingga walaupun (x) kontinu di x = c < 0 tetapi (1/2) (x) tidak kontinu di x = c tersebut Akibat Teorema 32: Jika (x) kontinu pada suatu interval I dan () (x) ada nilainya untuk semua x di I, maka () (x) kontinu di I Teorema 33: Jika barisan ungsi kontinu yang konvergen ke di A dan terdeinisi di A, maka barisan ungsi turunan orde yaitu juga merupakan barisan ungsi kontinu yang konvergen ke () Bukti dari teorema ini dibagi menjadi dua bagian, pertama bahwa dari Teorema 53 di atas, apabila barisan ungsi kontinu untuk setiap n, maka juga merupakan ungsi kontinu, sehingga juga merupakan barisan ungsi kontinu Selanjutnya, apabila barisan ungsi yang konvergen ke di A, berarti untuk setiap dan 585

4 untuk suatu K > 0 Dengan menggunakan Deinisi 22, diperoleh < K = Dengan demikian terbukti bahwa juga merupakan barisan ungsi kontinu yang konvergen ke () Sebagai contoh, diambil barisan ungsi yaitu ()? Jawabannya tersaji pada teorema Teorema 34: Misalkan barisan ungsi kontinu yang konvergen ke di A dan terdeinisi di A Jika konvergen seragam ke di A maka () adalah kontinu di A Diketahui barisan ungsi kontinu yang konvergen seragam ke di A, berarti untuk setiap dan untuk suatu K > 0 Berdasarkan Teorema 54, maka artinya konvergen seragam ke () Selanjutnya berdasarkan Teorema 31, maka terbukti bahwa () adalah ugsi kontinu yang konvergen ke (x) = 0 di A = (0,1), lalu diturunkan dengan orde raksional = 1/2, maka diperoleh yang konvergen ke (1/2) = 0 (,, Terlihat pada graik berikut bahwa graik yang berwarna menuju ke (1/2) (warna hitam) 4 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan dari penelitian ini menunjukkan bahwa kekontinuan ungsi turunan berorde raksional ternyata dapat dipertahankan Demikian pula kekontinuan ungsi konvergensi dari suatu barisan ungsi turunan berorde raksioanal juga dapat dipertahankan, walaupun dalam kasus ini harus ada syarat yaitu bahwa selain ungdi turunan raksionalnya harus terdeinisi (ada), juga barisan ungsi asalnya harus konvergen seragam Mengingat keterbatasan ungsi yang menjadi kajian penelitian ini, maka perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan ungsi yang lebih umum, sehingga kean teorema di atas akan lebih sahih 5 DAFTAR PUSTAKA Gambar-1 Masalah selanjutnya adalah bahwa apakah kekontinuan yang dipertahankan pada barisan ungsi turunan raksional yang juga dapat dipertahankan pada ugsi konvergensi 1 RUSYAMAN, E, PARMIKANTI, K, dan SUBARTINI, B, 2011, Kekonvergenan Barisan Fungsi Turunan Berorde Fraksional, Prosiding Seminar Nasional Statistika, Universitas Padjadjaran Bandung 2 GRUNWALD-LETNIKOV, Fractional Dierentiation, / Fractional Dierentiationhtm, Download 04/06/ GUNAWANH, PRANOLO F, and RUSYAMAN E, 2007, An Interpolation Method That Minimizes an Energy Integral o Fractional Order Proceeding o Asian 586

5 Symposium o Computer Mathematics, Springer, Singapore 4 BOLOGNA, M, Short Introduction to Fractional Calculus, / Download 17/07/ OLDHAM, KB and SPANIER, 1974, J The Fractional Calculus: Integration and Dierentiation, York: Academik Press 6 PARMIKANTI K dan RUSYAMAN E, 2008, Turunan Fraksional dan Aplikasinya, Proceding Seminar Nasional Matematika, Universitas Padjadjaran, Bandung 587