BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Orde integral dan derivatif (turunan) dari suatu fungsi yang telah dikenal selama ini senantiasa dihubungkan dengan bilangan bulat. Artinya turunan ke (orde) satu, kedua, ketiga dan seterusnya. Begitu juga dengan integral, integral berulang ke (orde) satu, berulang kedua, berulang ketiga dan seterusnya. Akan tetapi bagaimana jika orde turunan dan integral tersebut bukan bilangan bulat, seperti turunan atau integral dengan orde setengah, sepertiga, satu setengah dan seterusnya. Orde integral dan derivatif (turunan) ternyata tidak selalu bilangan bulat. Integral dan derivatif dengan orde tidak selalu bilangan bulat lebih dikenal dengan integral dan derivatif fraksional. Seiring dengan perkembangannya, integral dan derivatif fraksional diperluas mencakup integral dan derivatif dengan orde bilangan real bahkan bilangan kompleks. Gagasan mengenai integral dan derivatif fraksional muncul pada tahun 1695 atas pemikiran G.F.A de L Hospital dan G.W Leibniz yang didorong rasa keingintahuan tentang turunan order setengah. Dengan adanya persoalan atau gagasan yang belum pernah didiskusikan sebelumnya, integral dan derivaif fraksional cukup menarik perhatian para matematikawan seperti Euler, Laplace, Fourier, Lacroix, Abel, Riemann dan Liouville untuk mengembangkannya lebih lanjut. Seiring dengan berkembangnya teori integral dan derivatif fraksional, pengaplikasian integral dan derivatif fraksional pun semakin luas, di antaranya desain notch bendung dan viskoelastisitas. Notch merupakan celah atau potongan berupa cekungan pada bendung yang menyebabkan permukaan air naik sehingga air dapat keluar (tumpah) dari suatu kanal. Notch juga berfungsi mengukur debit air. Oleh sebab itu, dalam sistem irigasi notch memegang peranan penting dalam mengendalikan dan mengontrol aliran air pada kanal. Lebih lanjut, agar sistem irigasi berjalan 1

2 2 dengan baik maka kesesuain bentuk notch dengan aliran air sangat diperlukan. Viskoelastisitas merupakan aplikasi integral dan derivatif fraksional yang memiliki bidang paling luas. Teori viskoelastisitas mendeskripsikan karakteristik dan sifat material atau bahan. Pemanfaaatan teori viskoelastisitas yang banyak digunakan dalam polimer merupakan alasan teori viskoelastisitas dikembangkan lebih lanjut. Selain itu, dengan mengetahui karakterisik dan sifat material atau bahan, penyesuaian bahan atau material dengan manfaat yang diharapkan dan keperluan yang diinginkan akan lebih mudah. Berdasarkan uraian di atas, pemanfaatan teori integral dan derivatif fraksional sebagai alat untuk menyelesaikan masalah seperti desain notch bendung dan viskoelastisitas menunjukkan bahwa teori integral dan derivatif fraksional memegang peranan penting dalam berbagai macam aplikasi atau masalah sehari - hari. Namun, integral dan derivatif fraksional sebagai integral dan derivatif dengan orde yang tidak biasa dianggap sebagai materi tingkat lanjut sehingga integral dan derivatif fraksional jarang diajarkan dan kurang dikenal. Oleh sebab itu, pembahasan mengenai integral dan derivatif fraksional serta aplikasinya diangkat sebagai topik pada tugas akhir ini Perumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut: 1 Mendeskripsikan definisi integral fraksional dan derivatif fraksional. 2 Menyelidiki hubungan integral dan derivatif fraksional dengan integral dan derivatif biasa (orde bilangan bulat). 3 Memberikan rumusan integral dan derivatif fraksional fungsi - fungsi dasar. 4 Menyelidiki sifat - sifat dasar integral dan derivatif fraksional seperti sifat kelinearan dan aturan komposisi. 5 Mengaplikasikan integral dan derivatif fraksional sebagai alat untuk menye-

3 3 lesaikan masalah desain notch bendung dan membentuk model fraksional viskoelastisitas Batasan Masalah Masalah yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada permasalahan integral dan derivatif fraksional dengan orde bilangan real. Contoh aplikasi yang diberikan dalam penerapan integral dan derivatif fraksional yaitu mendesain bentuk notch bendung dan membentuk model fraksional viskoelastisitas Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1 Mempelajari integral dan derivatif dengan orde tidak selalu bilangan bulat. 2 Memberikan contoh kasus yang menerapkan teori integral dan derivatif fraksional. 3 Memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Manfaat yang diharapkan penulis dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1 Memberikan pemaparan terkait teori integral dan derivatif fraksional. 2 Memberikan dasar pada penelitian atau pengkajian masalah yang melibatkan integral dan derivatif fraksional Tinjauan Pustaka Integral fraksional merupakan generalisasi integral berulang-n, dimulai dari integral berulang-n yang dinyatakan dalam integral tunggal dengan menggunakan formula Cauchy. Kemudian mengganti bilangan bulat n dengan bilangan real α. Dalam integral tunggal yang menyatakan integral berulang-n terdapat bentuk faktorial dan faktorial hanya untuk bilangan bulat positif, oleh karena itu digunakan

4 4 fungsi Gamma (Munkhammar, 2004). Lebih lanjut, merubah batas integral seringkali dilakukan dalam mengoperasikan integral berulang. Dengan formula Dirichlet merubah batas integral dapat dilakukan meskipun fungsi yang diintegralkan tidak kontinu (Whittaker dan Watson, 1920) Fungsi Gamma merupakan salah satu fungsi dasar kalkulus fraksional. Fungsi Gamma merupakan generalisasi bentuk faktorial. Dalam beberapa kasus, fungsi Beta yang merupakan kombinasi nilai fungsi Gamma lebih tepat untuk digunakan (Podlubny, 1999). Lebih lanjut, telah diketahui bahwa fungsi Gamma hanya terdefinisi untuk bilangan real positif. Untuk keperluan teknis di bidang fisika dan teknik, didefinisikan fungsi Gamma untuk bilangan real negatif tetapi bukan bilangan bulat non positif dengan memanfaatkan teorema fungsi Gamma untuk bilangan real positif (Darmawijaya, 2006). Derivatif fraksional merupakan kombinasi derivatif biasa dengan integral fraksional. Jika diberikan suatu fungsi maka fungsi diintegralkan fraksional terlebih dahulu kemudian diderivatifkan (Vance, 2004). Jika derivatif fraksional memiliki orde tidak selalu bilangan bulat maka derivatif fraksional bisa berorde bilangan bulat. Derivatif fraksional dengan orde bilangan bulat sama dengan derivatif biasa (Podlubny, 1999). Sifat - sifat integral dan derivatif fraksional tidak seluruhnya berbeda dengan integral dan derivatif biasa. Integral dan derivatif fraksional memenuhi sifat linear sama dengan integral dan derivatif biasa yang juga memenuhi sifat linear. Namun, tidak seperti derivatif biasa, jika diberikan fungsi konstan maka derivatif biasa fungsi konstan bernilai nol. Derivatif fraksional dari fungsi konstan tidak selalu konstan (Vance, 2004). Pengaplikasian teori integral dan derivatif fraksional dalam berbagai bidang sudah banyak dipaparkan dalam buku dan jurnal di antaranya mendesain bentuk notch bendung dan membentuk model fraksional viskoelastisitas. Notch merupakan celah atau potongan pada bendung yang menyebabkan permukaan air naik sehingga air dapat keluar (tumpah) dari suatu kanal. Dalam sistem irigasi, kanal berfungsi sebagai saluran pembawa dan merupakan alat transportasi yang membawa air dari

5 5 suatu tempat ke tempat yang lainnya, dari suatu sumber air ke lahan irigasi. Lebih lanjut agar sistem irigasi berjalan dengan baik, aliran air pada kanal harus tetap terkendali. Oleh sebab itu, pada kanal terdapat bangunan pengontrol atau pengukur muka air atau yang dikenal dengan bendung. (Brouwer dkk., 1985). Berdasarkan uraian tersebut, fluida dan hidrodinamika menjadi faktor penting dalam mendesain bentuk notch. Fluida merupakan zat yang dapat mengalir dan dapat dibedakan menjadi zat cair dan zat gas. Sedangkan hidrodinamika merupakan ilmu yang mempelajari tentang fluida yang bergerak. Di dalam hidrodinamika, analisis dilakukan pada fluida yang inviscid, inkompresibel, dan memiliki aliran yang steady atau yang dikenal dengan fluida ideal (Saripudin dkk., 2009). Persamaan dasar dalam hidrodinamika telah dirintis dan dirumuskan oleh Bernoulli secara baik. Persamaan yang telah dihasilkan oleh Bernoulli tersebut disebut sebagai Hukum Bernoulli, yakni suatu hukum yang dapat digunakan untuk menjelaskan gejala yang berhubungan dengan gerakan zat cair melalui suatu penampang pipa, khususnya berkaitan dengan tinggi permukaan, kecepatan, dan tekanan zat cair (Alfid, 2015). Hukum Bernoulli menyatakan bahwa peningkatan kecepatan aliran fluida mengakibatkan penurunan tekanan pada fluida (Bryant, 2013). Lebih lanjut, dari prinsip - prinsip dalam fisika yang berkaitan dengan fluida dan hidrodinamika didapat persamaan untuk menentukan bentuk notch. Kemudian persamaan tersebut dibawa ke bentuk persamaan integral fraksional. Dengan memanfaatkan sifat - sifat integral dan derivatif fraksional didapat penyelesaiannya (Miller dan Ross, 1993). Viskoelastisitas merupakan aplikasi integral dan derivatif fraksional yang memiliki cakupan bidang paling luas. Teori viskoelastisitas mendeskripsikan karakteristik dan sifat material atau bahan (Podlubny, 1999). Dengan teori viskoelastisitas dapat diketahui sifat dan karakteristik suatu polimer seperti polietilena-co- 1-butena (Hilfer, 2000). Pemanfaatan teori viskoelastisitas yang banyak digunakan pada polimer merupakan alasan utama teori viskoelastisitas dikembangkan lebih lanjut (Podlubny, 1999). Pada viskoelastisitas terdapat dua kuantitas utama yaitu

6 6 tegangan(σ) dan regangan (ɛ) serta terdapat beberapa model yang mendeskripsikan hubungan keduanya, di antaranya model klasik (model dengan orde bilangan bulat) dan model fraksional (model dengan orde fraksional) (Kisela, 2008) Metodologi Penelitian Metodologi penelitian yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi literatur. Penelitian dimulai dengan mengkaji definisi integral fraksional dan derivatif fraksional serta sifat - sifat yang menyertainya. Dari definisi derivatif fraksional untuk sebarang orde bilangan real dikenalkan diferintegral yang merupakan penggabungan dua notasi yaitu integral fraksional dan derivatif fraksional. Kemudian, berdasarkan definisi integral dan derivatif fraksional ditinjau bagaimana jika orde merupakan bilangan bulat dengan kata lain ditinjau hubungan antara integral dan derivatif fraksional dengan integral dan derivatif biasa. Karena rumitnya menentukan integral dan derivatif fraksional dengan menggunakan definisi maka perlu dibentuk rumusan integral dan derivatif fraksional. Rumusan yang dibentuk yaitu rumusan integral dan derivatif fraksional fungsi - fungsi dasar seperti fungsi pangkat, fungsi konstan dan fungsi eksponensial. Dari rumusan integral dan derivatif tersebut dibentuk pula rumusan diferintegralnya. Sifat kelinearan dan aturan komposisi derivatif fraksional juga dikaji pada skripsi ini. Lebih lanjut, definisi, sifat - sifat serta rumusan integral dan derivatif fraksional yang telah dikaji sebelumnya digunakan sebagai alat untuk mengoptimalkan penyelesaian dalam memecahkan masalah di antaranya yaitu menentukan bentuk notch dan membentuk model fraksional viskoelastisitas Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan pada skripsi ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan.

7 7 BAB II FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA Bab ini berisi uraian teori - teori yang mendasari pembahasan integral dan derivatif fraksional. Teori - teori dasar yang dibahas pada bab ini di antaranya fungsi - fungsi khusus dalam kalkulus, yaitu fungsi Gamma dan fungsi Beta. BAB III INTEGRAL DAN DERIVATIF FRAKSIONAL Bab ini berisi pembahasan mengenai integral dan derivatif fraksional. Pendefinisian integral dan derivatif fraksional, perumusan integral dan derivatif fraksional fungsi - fungsi dasar, sifat kelinearan, dan aturan komposisi dibahas pada bab ini. BAB IV APLIKASI INTEGRAL DAN DERIVATIF FRAKSIONAL Bab ini berisi contoh masalah yang mengaplikasian integral dan derivatif fraksional dalam mencari penyelesaian. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan integral dan derivatif fraksional yang dikaji pada skripsi ini, serta diberikan beberapa hal untuk penelitian selanjutnya dengan topik yang berkaitan dengan skripsi ini.