TEOREMA UJI TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

Transkripsi

1 TEOREMA UJI TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

2 UJI TURUNAN I-ekstrim relati Andaikan kontinu pada selang (a,b), yang memuat titik kritis c : (i) Jika () untuk setiap pada (a,c) dan Jika ()< untuk setiap pada (c,b) maka punya nilai maksimum relati/lokal (ii) Jika ()< untuk setiap pada (a,c) dan Jika ()> untuk setiap pada (c,b) maka punya nilai minimum relati/lokal

3 GRAFIK y ' c ' ' y c a b ' (i) ' ' c c (ii) a b

4 Karena ()>, (a,c) T4 B U K T I (i) 1 [a,c] & 1 c ( 1 )<(c) (a) Karena ()<, (c,b) T4 [c,b] & c ( )<(c).(b) dari (a),(b) & ekstrim relati, diperoleh () (c) (a,b) & c sehingga punya maksimum relati di c

5 Karena ()<, (a,c) T4 B U K T I (ii) 1 [a,c] & 1 c ( 1 )>(c) (a) Karena ()>, (c,b) T4 [c,b] & c ( )>(c) (b) dari (i), (ii) & ekstrim relati, diperoleh (c) () (a,b) & c sehingga punya minimum relati di c

6 Contoh 1 Tentukan dari ungsi berikut dimana ekstrim relati, dimana turun, naik! ( ) 4 8 jika jika Jawab Titik kritis adalah titik singular dan titik stasioner

7 untuk ' ' untuk '( ) dan () 6 '() () 1 '() '( ) 1 tidak ada titik singular titik stasioner () '( ) < = < < = > tidak ada -1 Keterangan turun minimum relati naik maksimum relati turun

8 Kesimpulan naik pada (,) turun pada (-,) dan (, ) -4 minimum lokal pada = 5 maksimum lokal pada =

9 UJI TURUNAN II-ekstrim relati Misalkan c bilangan kritis ungsi dimana (c)= & ada untuk semua nilai pada interval terbuka yang memuat c. Jika (c) ada dan : (i) Jika (c)< punya nilai maksimum relati di c. (ii) Jika (c)> punya nilai minimum relati di c.

10 B U K T I (i) Diketahui (c) ada dan (c)< sehingga menurut deinisi turunan "(c) lim c '( ) '(c) c terdapat selang terbuka I yang memuat c sehingga untuk setiap c dalam I, '( ) '(c) c

11 a. I 1 selang terbuka, <c (ujung kanan I 1 ), -c< diketahui (c)= sehingga ()- (c)> ()> (c) ()> b. I selang terbuka, >c (ujung kiri I ), -c> diketahui (c)= sehingga ()- (c)< ()< (c) ()< Dari (a) dan (b) () berganti tanda (+ -) bila naik melalui c, berdasar Teorema Uji Turunan I, mempunyai maksimum relati di c.

12 B U K T I Diketahui (c) ada dan (c)> sehingga menurut deinisi turunan "(c) lim c '( ) '(c) c terdapat selang terbuka I yang memuat c sehingga untuk setiap c dalam I, (ii) '( ) '(c) c

13 a. I 1 selang terbuka,<c (ujung kanan I 1 ), -c< diketahui (c)= sehingga ()- (c)< ()< (c) ()< b. I selang terbuka,>c (ujung kiri I ), -c> diketahui (c)= sehingga ()- (c)> ()> (c) ()> Dari (a) dan (b) () berganti tanda (- +) bila turun melalui c, akibatnya berdasar Teorema Uji Turunan I, mempunyai minimum relati di c.

14 Contoh Diberikan ungsi ()=(1/) Gunakan uji turunan kedua untuk mencari ekstrim relati! Jawab ()=(1/) ()= -- titik stasioner) ()= --= ( )( +1) = = dan = -1 ()=- (-1)=-4 dan ()=4

15 = -1 = () '( ) ''( ) Keterangan Maksimal relati Minimal relati

16 Tetapi Uji Turunan II, terkadang gagal karena pada saat ()= mungkin ()=, sehingga tak dapat ditarik kesimpulan tentang ekstrim relati tanpa inormasi tambahan.

17 Contoh Diberikan ungsi ()= / 1/. Tentukan ekstrim relati dengan uji turunan kedua jika memungkinkan. Jawab ()= / 1/ ()=⅔ -1/ -⅔ -/ ()=-(/9) -4/ +(4/9) -5/

18 Dengan menggunakan Uji Turunan I, titik singular tidak ada '() ) '( 1 titik stasioner ) '( Dengan menggunakan Uji Turunan II, ) ''(

19 Tidak dapat digunakan uji turunan kedua di karena () tak ada () tidak ada. Mungkin titik (,) merupakan titik belok (inormasi tambahan). Pada titik belok diperlukan () berganti tanda, graiknya mempunyai garis singgung. Di titik (,), garis singgung vertikal. lim 1 '( ) lim

20 < = () '( ) ''( ) - - Keterangan Turun, cekung kebawah bukan ekstrim, titik belok < < Turun, cekung keatas = Min relati, cekung keatas 1 < < Naik, cekung keatas = 8 > Naik, titik belok Naik, cekung kebawah

21

22 EKSISTENSI-TEOREMA NILAI EKSTRIM kontinu - selang tertutup Dapat diterapkan (TNE) EKSTRIM MUTLAK Interval-interval Mungkin Tidak Mungkin EKSTRIM MUTLAK

23 TEOREMA NILAI EKSTRIM Misalkan ungsi kontinu pada selang I yang memuat bilangan c. Bila (c) ekstrim relati pada I dan c satu-satunya bilangan di mana mempunyai ekstrim relati, maka (c) ekstrim mutlak pada I. (i). (ii). Bila (c) maksimum relati pada I (c) nilai maksimum mutlak pada I Bila (c) minimum relati pada I (c) nilai minimum mutlak pada I

24 bukti (i) Karena (c) maks. relati pd I, tdp selang terbuka J, dng J I & J memuat c, shg (c) () untuk semua di J Karena c satu-satunya bilangan di I di mana punya maks. relati, maka (c)>(k) jika kj, kc Untuk menunjukkan bahwa (c) maks. mutlak pada I, diperlihatkan bahwa (c)>(d) untuk setiap di, dc Andaikan bahwa (c)(d), karena dc maka c<d atau c>d.

25 kasus c<d Karena kontinu pd I kontinu pd [c,d]. Jadi menurut TNE, punya maks. mutlak pada [c,d]. Misalkan maks. mutlak ini di e di mana ced. Diperoleh ec & ed c<e<d shg punya maks. relati di e. Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I di mana punya maks. relati. Jadi pengandaian (c)(d) tidak berlaku. Oleh karena itu (c)>(d) untuk di dng dc berakibat (c) maksimum mutlak pada I.

26 kasus c>d Karena kontinu pd I kontinu pd [d,c]. Jadi menurut TNE, punya maks. mutlak pada [d,c]. Misalkan maks. mutlak ini di p di mana dpc. Diperoleh pd & pc d<p<c shg punya maks. relati di p. Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I di mana punya maks. relati. Oleh karena itu (c)>(d) untuk di dng dc berakibat (c) maksimum mutlak pada I.

27 bukti (ii) Karena (c) min. relati pd I, tdp selang terbuka J, dng J I & J memuat c, shg (c) () untuk semua di J Karena c satu-satunya bilangan di I di mana punya min. relati, maka (c)<(k) jika kj, kc Untuk menunjukkan bahwa (c) min. mutlak pada I, diperlihatkan bahwa (c)<(d) untuk setiap di, dc Andaikan bahwa (c)(d), karena dc maka c<d atau c>d.

28 kasus c<d Karena kontinu pd I kontinu pd [c,d]. Jadi menurut TNE, punya min. mutlak pada [c,d]. Misalkan min. mutlak ini di e di mana ced. Diperoleh ec & ed c<e<d shg punya min. relati di e. Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I di mana punya min. relati. Jadi pengandaian (c)(d) tidak berlaku. Oleh karena itu (c)<(d) untuk di dng dc berakibat (c) minimum mutlak pada I..

29 kasus c>d Karena kontinu pd I kontinu pd [d,c]. Jadi menurut TNE, punya min. mutlak pada [d,c]. Misalkan min. mutlak ini di p di mana dpc. Diperoleh pd & pc d<p<c shg punya min. relati di p. Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I di mana punya min. relati. Oleh karena itu (c)<(d) untuk di dng dc berakibat (c) minimum mutlak pada I.

30 Cari maksimum dan minimum pada (-,) dari ungsi ()=( -4) 1 titik belok ) "( 1 ) "( 1 1) 1)( 4( 4 4 titik kritis ) '( 4 4 ) '( 4 4) ( ) ( 4 Contoh 4

31 () () () Keterangan < - + Turun, cekung ke atas = -4 Bukan titik belok < < Turun, cekung ke atas = 1-1 Minimum relati > Naik, cekung ke atas Menurut TNE, karena ()=- min. relati, maka ()=- min. mutlak untuk ()=( -4) yang dicapai di =1.

32 Contoh 5 Cari maksimum dan minimum pada [,) dari ungsi 1 ) ( 1 dan titik kritisnya 1 1) ( 1 titik stasioner ) '( titik ujungnya 1) ( 1 ) '( 1 ) (

33 "( ) ( ) 4 ( 1) "( ) titik belok ( ) 4 ( 1) dan dan - pada [, ) titik beloknya di dan. () () () Keterangan = 1 Minimum Relati < < Naik, cekung ke bawah = 1 1/ -/ -1/ Maksimum Relati 1 < < - - Turun, cekung ke bawah = /4 -/4 Titik Belok > - + Turun, cekung ke atas

34 Menurut TNE, karena ()= min. relati maka ()= merupakan minimum mutlak untuk ()=/( +1) yang dicapai di =. Sedangkan () = 1/ adalah maks. relati maka ()= maksimum mutlak untuk ()=/( +1) yang dicapai di =1.