PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN

Transkripsi

1 PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN Skripsi Diajuka utuk Memeuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Sais Program Studi Matematika Oleh : Petroela Yui Iswari NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i

2 ON THE ESTIMATION OF POPULATION MEAN CONFIDENCE INTERVAL IN THE PRESENCE OF OUTLIERS A Thesis Preseted as a Partial Fulfillmet of the Requiremets to Obtai the Degree of Sarjaa Sais Mathematics Study Program Writte by : Petroela Yui Iswari Studet Number: MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017 ii

3 iii

4 iv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Skripsi ii dipersembahka utuk: Tuha Yesus Kristus da Buda Maria yag seatiasa meyertai, memberika berkat-nya, da memberi perliduga sepajag perjalaa hidup saya. Kedua oragtua, Bapak Hedricus Bagyo da Ibu Margaretta Istikomah, S.Pd, serta kakak Heribertus Heta Nooristyato, S.T yag selalu medoka, memberi kasih sayag, serta mejadi peyemagat dalam hidup saya. Aku tahu, bahwa Egkau saggup melakuka segala sesuatu, da tidak ada recaa-mu yag gagal. (Ayub 42:2) Bayaklah racaga di hati mausia, tetapi keputusa Tuhalah yag terlaksaa. (Amsal 19:21) v

6 vi

7 ABSTRAK Pecila adalah ilai ekstrim yag mucul di dalam suatu aalisis data. Adaya pecila dapat megakibatka bias kesimpula atas hasil aalisis. Utuk medeteksi pecila diguaka metode grafis, Boxplot, Uji Grubbs, da Uji MAD. Peulisa skripsi ii bertujua utuk meduga selag kepercayaa rata-rata populasi dega kodisi adaya pecila. Utuk meyimpulka hasil aalisis pada data yag memuat pecila diguaka statistik robust (kekar) yag meghasilka kesimpula data tetap akurat meskipu dalam keadaa yag tidak ideal. Statistik robust yag diguaka adalah peduga media (Fraima, et al) da peduga M (peduga Huber). Dalam skripsi ii diguaka empat metode selag kepercayaa, yaitu metode selag kepercayaa dega peduga rata-rata, media (Kedall ad Stuart), media (Fraima, et al), da peduga Huber. Selag kepercayaa robust dega simulasi data acak diperoleh dari distribusi Normal, Cauchy, da Chi- Square dega ukura = 10, 50, 100, da 500 utuk setiap distribusi. Hasil simulasi meujukka bahwa selag kepercayaa robust bagi parameter lokasi dega peduga media (Fraima, et al) da peduga Huber adalah selag kepercayaa robust yag isesitif terhadap adaya pecila. Hal ii disebabka karea hasil dari stadard error (galat stadar) da lebar selag kepercayaa yag tetap, meskipu ilai pecila semaki besar utuk setiap ukura sampel yag diberika. Kata Kuci: Pecila, Pedeteksia Pecila, Statistik Robust, Peduga Robust, Selag Kepercayaa Robust. vii

8 ABSTRACT A outlier is a extreme value which is appeared i data aalysis. The presece of outliers will affect to the bias coclusio of aalytical results. Graphical method, Boxplot, Grubbs Test, ad MAD Test ca be applied to detect the presece of outliers. The purpose of this thesis is to estimate the populatio mea cofidece iterval i the presece of outliers. To summarize the results of the aalysis o the data cotais the outliers, robust statistics is used so that the result i the coclusio of the data remais accurate although it is ot ideal. Robust statistics for locatio parameters which were used are media estimators (Fraima, et al) ad M estimators (Huber estimators). We apply four cofidece iterval methods that are cofidece iterval method for mea estimators, media estimators (Kedall ad Stuart), media estimators (Fraima, et al), ad Huber estimators. Robust cofidece iterval with radom data simulatio was obtaied from Normal, Cauchy, ad Chi-Square distributios of sample sizes = 10, 50, 100, ad 500 for each distributios. From the simulatio, robust cofidece iterval for locatio parameters with the media estimators (Fraima, et al) ad Huber estimators were isesitive robust cofidece iterval to the presece of outliers while two others were sesitive. It is due to the value of the stadard error ad the width of the cofidece iterval which remais costat although the value of the outlier becomes bigger for each sample size. Keywords: Outlier, Detectio of Outlier, Robust Statistics, Robust Estimators, Robust Cofidece Itervals. viii

9 ix

10 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Tuha Yesus Kristus yag selalu mecurahka rahmat da Roh KudusNya sehigga peulis mampu megerjaka da meyelesaika skripsi ii dega baik. Skripsi ii dibuat dega tujua memeuhi salah satu syarat dalam meyelesaika studi Strata satu (S1) da memperoleh gelar Sarjaa Sais (S.Si.) pada Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, Uiversitas Saata Dharma Yogyakarta. Peulis meyadari bahwa proses peulisa skripsi ii melibatka bayak pihak utuk membatu dalam meghadapi berbagai macam tataga, kesulita da hambata selama proses peulisa skripsi. Oleh karea itu, pada kesempata ii peulis megucapka terima kasih kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dose pembimbig skripsi yag telah meluagka waktu, teaga, da pikira, serta dega peuh kesabara telah memberika masuka, asihat da araha kepada peulis. 2. Bapak Sudi Mugkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi. 3. Bapak YG. Hartoo, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika. 4. Ibu M. V. Ay Herawati, S.Si., M.Si., selaku Wakaprodi Matematika da Dose Pembimbig Akademik agkata Romo Prof. Dr. Fras Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. at. Herry P. Suryawa, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Sudi Mugkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., Bapak YG. Hartoo, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Ay Herawati, S.Si., M.Si., da Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dose Prodi Matematika yag telah memberika bayak pegetahua da pegalama kepada peulis selama proses perkuliaha. 6. Perpustakaa Uiversitas Saata Dharma da Bapak/Ibu dose/karyawa Fakultas Sais da Tekologi yag telah bayak membatu selama peulis berkuliah. x

11 xi

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL...i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS...ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING...iii HALAMAN PENGESAHAN...iv HALAMAN PERSEMBAHAN...v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA...vi ABSTRAK...vii ABSTRACK...viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN...ix KATA PENGANTAR...x DAFTAR ISI...xii DAFTAR TABEL...xvi DAFTAR GAMBAR...xvii BAB I PENDAHULUAN...1 A. Latar Belakag...1 B. Rumusa Masalah...2 C. Pembatasa Masalah...3 D. Tujua Peulisa...3 E. Mafaat Peulisa...4 F. Metode Peulisa...4 G. Sistematika Peulisa...4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER...6 A. Statistika...6 B. Distribusi Probabilitas Variabel Acak Fugsi Probabilitas bagi Variabel Acak Fugsi Distribusi Kumulatif Karakteristik Distribusi Probabilitas...14 xii

13 C. Distribusi Samplig Teorema Limit Pusat Distribusi t...32 D. Pedugaa Parameter Pedugaa (Estimasi) Macam-macam Pedugaa Parameter...34 E. Kosistesi Peduga...45 F. Metode Kemugkia Maksimum...47 G. Pecila Defiisi Pecila Pegaruh Pecila Pedeteksia Pecila...56 BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST...69 A. Statistik Robust...69 B. Pegujia Robustess...70 C. Peduga M (Peduga Huber)...75 D. MAD (Media Absolute Deviatio)...79 E. Selag Kepercayaa Robust bagi Parameter Lokasi...82 BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI DATA ACAK...85 BAB V PENUTUP...89 A. Kesimpula...89 B. Sara...90 DAFTAR PUSTAKA...92 LAMPIRAN...94 xiii

14 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Fugsi probabilitas bayakya laptop yag rusak Tabel 2.2 Nilai harapa da galat stadar beberapa peduga titik Tabel 2.3 Bayakya barag yag terjual da harga barag Tabel 2.4 Produksi hasil huta rimba (kayu pertukaga) meurut jeisya di provisi D. I. Yogyakarta Tabel 2.5 Jumlah wisatawa yag masuk melalui pitu Makassar Tabel 2.6 Durasi (dalam meit) periode aktif dari Geyser Old Faithful Tabel 2.7 Ketebala lapisa oksida bagi silico wafers Tabel 2.8 Data Boiler xiv

15 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Fugsi probabilitas Normal Gambar 2.2 Distribusi ilai dugaa Gambar 2.3 Distribusi samplig utuk peduga titik bias positif Gambar 2.4 Fugsi probabilitas bagi U Gambar 2.5 Letak z α 2 da z α Gambar 2.6 Harga barag terhadap bayakya barag yag terjual Gambar 2.7 Produksi hasil huta rimba terhadap waktu Gambar 2.8 Scatter-plot jumlah wisma da pegujug asig Gambar 2.9 Aatomi dari Boxplot Gambar 2.10 Boxplot cotoh Gambar 2.11 Perbadiga boxplot utuk data ketebala lapisa oksida Gambar 3.1 Kurva sesitivitas utuk rata-rata Gambar 3.2 Kurva sesitivitas utuk media Gambar 3.3 Kurva sesitivitas utuk media cotoh Gambar 3.4 (a) Fugsi tujua, ρ(x; t) = (x t) (b) Fugsi ψ, ψ(x; t) = x t Gambar 3.5 Pedugaa dega fugsi tujua mutlak residual. (a) Fugsi tujua, ρ(x; t) = x t ; (b) Fugsi ψ, ψ(x; t) = sg(x t) Gambar 3.6 Hasil pedeteksia uji MAD Gambar 3.7 (a) Kurva sesitivitas utuk MAD (b) Kurva sesitivitas utuk stadar deviasi xv

16 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Pedugaa serig mucul di ligkuga sekitar dalam kehidupa seharihari yag tidak dapat dihidari. Permasalaha yag serig terjadi adalah bagaimaa dugaa tersebut dapat medekati kebeara. Terdapat dua jeis pedugaa, yaitu pedugaa titik da pedugaa selag. Pedugaa titik adalah peetua suatu ilai tuggal berdasarka atas sampel yag dega baik meduga parameter sasara, sedagka pedugaa selag adalah peetua batas-batas selag ilai, yag disebut batas atas (θ U ) da batas bawah (θ L ). Batas-batas itu dihitug berdasarka pegukura sampel da hasilya mempuyai peluag tertetu yag memuat parameter sasara (Wackerly, et al, 2008: 391). Peluag tersebut disebut tigkat kepercayaa. Tigkat kepercayaa itu serig diyataka dega perse (%) da memuat parameter tertetu (θ) yag disebut koefisie kepercayaa. Selag yag dihasilka dega tigkat kepercayaa tertetu disebut selag kepercayaa. Betuk selag kepercayaa yag serig diguaka adalah P(θ L < θ < θ U) = 1 α, 0 < α < 1, dega 1 α adalah koefisie kepercayaa da θ L < θ < θ U adalah selag kepercayaa. Pada umumya betuk selag kepercayaa (1 α)100% bagi μ adalah σ x z α 2 < μ < x + z σ α 2 dega σ adalah stadar deviasi populasi yag diketahui da z α 2 adalah kuartil ke (α 2) dari distribusi Normal stadar Z dega 30 meurut Teorema Limit Pusat. Suatu pedugaa yag dilakuka tidak tertutup kemugkia aka terjadi kesalaha (error). Kodisi tersebut kerap kali dipegaruhi oleh adaya pecila (outlier) yag dapat meggaggu proses aalisis data, sehigga pedeteksia pecila sagat petig utuk dilakuka. Pecila (outlier) 1

17 2 adalah data yag memiliki perbedaa cukup ekstrim bila dibadigka dega data laiya (Barett, 1978: v). Pegaruh pecila pada proses aalisis data, salah satuya adalah terhadap ilai rata-rata da stadar deviasi. Adaya pecila dapat meujukka kesalaha pegukura dalam distribusi data, serta dapat meyebabka variasi data mejadi besar, selag data mejadi lebar, da rata-rata tidak dapat meujukka ilai yag sebearya (bias). Oleh karea itu, aka lebih baik jika pecila dihapuska supaya tidak ada kejaggala dalam aalisis data, tetapi diupayaka terlebih dahulu utuk meyelidiki peyebab adaya pecila. Di sisi lai, adakalaya pecila tidak dapat dihapuska begitu saja karea pecila dapat memberika suatu iformasi yag tidak dapat diberika oleh data laiya. Skripsi ii aka membahas tetag selag kepercayaa yag robust (kekar). Sifat robust (kekar) sediri memiliki kierja yag baik dalam meghasilka pedugaa yag dapat mecapai kebeara yag memuaska dega selag kepercayaa yag cederug lebih sempit. Kata robust (kekar) serigkali mucul di dalam proses aalisis data yag megigika pecila tetap ada, amu tidak meyebabka adaya kejaggala. Dega demikia, aka diperoleh selag kepercayaa baru yag mejadika selag kepercayaa dapat tetap kekar utuk diguaka dalam pedugaa rata-rata populasi. Aka diperkealka selag kepercayaa robust bagi parameter lokasi dega peduga media da peduga Huber. Selag kepercayaa robust bagi parameter lokasi dega peduga Media dibedaka mejadi dua berdasarka galat stadar yag diberika oleh Fraima, et al (2001) dega Kedall da Stuart (2001). B. Rumusa Masalah Perumusa masalah yag aka dibicaraka pada skripsi ii adalah: 1. Bagaimaa cara megetahui data yag megadug pecila? 2. Apa pegaruh pecila dalam pedugaa selag kepercayaa rata-rata populasi?

18 3 3. Bagaimaa peduga robust (kekar) dapat membuat selag kepercayaa mejadi lebih baik dega adaya pecila? 4. Bagaimaa perbadiga selag kepercayaa yag robust dega selag kepercayaa yag biasa? C. Pembatasa Masalah Peulis aka membatasi peulisa agar mejadi lebih terarah da tidak meyimpag dari masalah yag aka dibahas, yaitu: 1. Data yag diguaka dalam peulisa hayalah data yag megadug pecila uivariat. 2. Metode yag diguaka dalam pegujia sifat robust yag dimiliki oleh suatu peduga haya dega megguaka kurva sesitivitas. 3. Peulis haya megguaka dua peduga robust dega megguaka peduga media (Fraima, et al) da peduga M (Huber) bagi parameter lokasi. 4. Galat stadar da lebar selag yag dihasilka dari selag kepercayaa bagi suatu peduga aka dibadigka dega galat stadar da lebar selag yag dihasilka dari selag kepercayaa bagi peduga laiya. D. Tujua Peulisa Tujua yag igi dicapai peulis, selai utuk memeuhi syarat skripsi dalam Program Studi Matematika Uiversitas Saata Dharma, juga utuk: 1. Megetahui peduga robust dalam meduga parameter lokasi utuk data yag memuat pecila. 2. Megetahui seberapa robust (kekar) selag kepercayaa yag terbetuk dari suatu data yag memuat pecila.

19 4 E. Mafaat Peulisa Mafaat dari peulisa skripsi ii adalah sebagai berikut: 1. Peulis memperoleh pegetahua baru selama megerjaka tulisa ii. 2. Pembaca medapat gambara tetag pedugaa selag kepercayaa bagi rata-rata populasi dega kodisi adaya pecila di dalam suatu data. 3. Skripsi ii dapat dijadika referesi bagi pegaalisis lai. F. Metode Peulisa Metode peulisa yag diguaka peulis dalam peulisa skripsi ii adalah metode studi pustaka, yaitu dega membaca da mempelajari bukubuku atau jural yag berkaita dega pedugaa selag kepercayaa ratarata populasi, pecila, serta sifat robust (kekar) dari selag kepercayaa. G. Sistematika Peulisa Skripsi ii ditulis megguaka sistematika berikut: BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag B. Rumusa Masalah C. Batasa Masalah D. Tujua Peulisa E. Mafaat Peulisa F. Metode Peulisa G. Sistematika Peulisa BAB II PENDUGAAN PARAMETER A. Statistika B. Distribusi Probabilitas C. Distribusi Samplig D. Pedugaa Parameter E. Kosistesi Peduga F. Metode Kemugkia Maksimum

20 5 G. Pecila BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST A. Statistik Robust B. Pegujia Robustess C. Peduga M D. MAD (Media Absolute Deviatio) E. Selag Kepercayaa yag Robust bagi Parameter Lokasi BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI DATA ACAK BAB V PENUTUP A. Kesimpula B. Sara DAFTAR PUSTAKA

21 BAB II PENDUGAAN PARAMETER A. Statistika Tekik statistik hampir diguaka dalam setiap fase kehidupa bayak orag di berbagai bidag. Cotohya, para ahli ekoomi yag megamati berbagai ideks kesehata ekoomi selama periode waktu da megguaka iformasi tersebut utuk meramalka kodisi ekoomi di masa depa, serta pelaksaaa survey yag diracag utuk megumpulka data pada hari pemiliha da meramalka hasil pemilu. Defiisi dari statistika sediri mucul dari para statistikawa. Stuart da Ord (1991) meyataka: "Statistika adalah cabag dari metode ilmiah yag berkaita dega data yag diperoleh dega meghitug atau megukur sifat dari populasi. Rice (1995) dalam kometarya megeai eksperime da aplikasi dalam statistika, meyataka bahwa statistika pada dasarya berkaita dega prosedur utuk megaalisis data, terutama data yag memiliki karakter acak. Freud da Walpole (1987) meyataka statistika adalah ilmu yag medasarka kesimpula pada data yag diamati da seluruh masalah dalam membuat keputusa dalam meghadapi ketidakpastia. Mood, Graybill, da Boes (1974) medefiisika statistika sebagai tekologi dari metode ilmiah da meambahka bahwa statistika berkaita dega desai eksperime da peyelidika, serta statistika iferesi. Dari beberapa defiisi tersebut dapat disimpulka bahwa statistika adalah sekumpula metode utuk merecaaka eksperime, megumpulka data, megaalisis, meafsirka da megambil kesimpula berdasarka data. Pegambila sampel dari populasi yag aka diteliti diperluka utuk megambil kesimpula. 6

22 7 Defiisi 2.1 Populasi adalah kumpula yag legkap dari semua eleme (ilai, orag, beda, hasil, da lai-lai) yag mejadi pusat perhatia utuk dipelajari da diteliti. Legkap berarti mecakup semua obyek yag aka diambil kesimpulaya. Bayakya observasi dalam populasi didefiisika sebagai ukura populasi. Di bidag statistika iferesi, statistik tertarik pada kesimpula megeai populasi bila tidak memugkika utuk megamati seluruh pegamata yag membetuk populasi. Misalya, dalam upaya utuk meetuka rata-rata hidup dari suatu lampu merk tertetu. Hal ii tidak mugki utuk meguji semua lampu. Biaya yag terlalu tiggi juga bisa mejadi faktor peghalag dalam megamati seluruh populasi. Oleh karea itu, pegamata bergatug pada bagia dari populasi, yag disebut sampel, utuk membatu memperoleh kesimpula tetag populasi yag diamati berdasarka iformasi yag terdapat di dalam sampel. Defiisi 2.2 Sampel adalah himpua bagia dari populasi yag mejadi perhatia kita. Jika megigika kesimpula yag valid, maka harus didapatka sampel yag mewakili populasi. Oleh karea itu, diperluka pemiliha sampel secara acak, yaitu setiap idividu dalam populasi mempuyai peluag tertetu utuk dipilih sebagai aggota sampel. Tujua utama dalam memilih sampel secara acak adalah utuk memperoleh iformasi tetag parameter populasi yag tidak diketahui. Defiisi 2.3 Parameter adalah karakteristik dari populasi yag biasa diyataka dalam suatu ilai/kostata.

23 8 Secara umum, parameter dilambagka dega θ. Parameter θ dapat berupa rata-rata µ, variasi σ 2 da proporsi p. Parameter dibagi mejadi dua bagia, yaitu parameter lokasi da parameter skala yag defiisi eksakya aka dibahas kemudia pada Defiisi 2.15 da Defiisi Parameter lokasi diracag utuk memeuhi aalisis dega bayakya ilai pada data yag berada di pusat. Cotohya adalah rata-rata µ da media. Sedagka parameter skala diracag utuk megetahui peyebara data aalisis. Cotoh dari parameter skala adalah variasi σ 2 da stadar deviasi σ. Defiisi 2.4 Statistik adalah fugsi dari variabel-variabel acak yag diamati dalam sampel da diyataka dalam suatu bilaga. Ada beberapa cotoh statistik, yaitu rata-rata sampel x, stadar deviasi sampel s, da proporsi sampel p. Parameter μ, σ 2 da p adalah parameter yag ilaiya sama sekali tidak terpegaruh atau dipegaruhi oleh pegamata sampel acak. Statistik yag palig umum diguaka adalah mea (rata-rata), media (ilai tegah) da modus. Defiisi 2.5 Misalka pegamata di dalam sampel berukura adalah x 1, x 2,, x. Rata-rata sampel dilambagka dega x yag didefiisika sebagai x = x 1 + x x = i=1 x i. Defiisi 2.6 Diberika pegamata sampel x 1, x 2,, x. Sampel disusu dari data yag ilaiya terkecil higga data yag ilaiya terbesar, maka ilai tegah (media) sampel adalah:

24 9 x (+1)/2, jika bilaga gajil, x = { 1 2 (x /2 + x +1) 2, jika bilaga geap, dega x (+1)/2 adalah pegamata ke- ( + 1)/2 dari variabel acak X. Defiisi 2.7 Modus sampel adalah ilai dari sampel yag palig serig mucul atau memiliki frekuesi yag palig besar. Ukura variasi yag lebih umum diguaka dalam statistika adalah variasi yag merupaka fugsi deviasi (atau jarak) ukura sampel dari rata-rataya. Defiisi 2.8 Variasi dari sampel berukura, diberika sebagai berikut s 2 = i=1 (x i x ) 2. 1 Variasi populasi yag sesuai, dilambagka dega σ 2. Defiisi 2.9 Stadar deviasi dari sampel berukura adalah akar kuadrat positif dari variasi yag diberika sebagai berikut s = s 2. Stadar deviasi populasi yag sesuai, dilambagka dega σ = σ 2. Cotoh 2.1 Dari hasil peelitia megeai ilai ujia matematika dari 50 mahasiswa diperoleh data sebagai berikut:

25 10 Carilah rata-rata, media, modus, variasi serta stadar deviasi dari sampel peelitia tersebut. Solusi: Rata-rata Sampel Media Sampel x = i=1 50 x i = = Data peelitia yag sudah urut adalah sebagai berikut: sehigga diperoleh, Modus Sampel x = 1 2 (x 25 + x 26 ) = 1 ( ) = Nilai yag serig mucul dalam pegamata sampel adalah 74, yaitu sebayak empat kali. Oleh karea itu, modus sampel dari pegamata adalah 74. Variasi Sampel s 2 = 50 i=1 (x i 65.8) 2 49 = =

26 11 Stadar Deviasi Sampel s = = B. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Acak Defiisi 2.10 Variabel acak adalah fugsi berilai bilaga real yag domaiya adalah ruag sampel. Variabel acak diotasika dega huruf kapital da ilaiya diotasika dega huruf kecil. Misalka X meyataka variabel acak, maka ilai dari X adalah x. Defiisi 2.11 Variabel acak X dikataka variabel acak diskrit jika himpua dari kemugkia hasilya adalah terbilag. Jika hal ii tidak terpeuhi, maka variabel acak X disebut variabel acak kotiu. Cotoh 2.2 Para statistikawa megguaka perecaaa pegambila sampel utuk meerima atau meolak sekumpula barag. Misalya, salah satu recaa pegambila sampel yaitu sampel diambil secara acak sebayak 10 dari 100 barag. Dari 100 barag tersebut terdapat 12 barag yag rusak. Misalka X adalah variabel acak yag didefiisika sebagai bayakya barag yag ditemuka rusak dalam sampel dari 10 barag. Dalam hal ii, variabel acak berilai 0,1,2,...,9,10. Cotoh 2.3 Pusat survey melakuka percobaa dega megirimka surat pada para respode da melihat proporsi respode dalam merespo surat tersebut. Misalka X adalah variabel acak yag didefiisika sebagai proporsi

27 12 respode. X aka memuat semua ilai x dalam selag 0 x Fugsi Probabilitas bagi Variabel Acak Fugsi probabilitas dibagi mejadi dua macam, yaitu fugsi probabilitas diskrit da kotiu. a. Fugsi Probabilitas Diskrit Defiisi 2.12 Himpua pasaga terurut (x, p(x)) adalah suatu fugsi probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel acak diskrit X, jika 1. 0 p(x) 1 utuk setiap x, 2. p(x) x = 1, 3. P(X = x) = p(x). Cotoh 2.4 Pegirima 20 laptop ke toko pegecer berisi 3 yag rusak. Apabila ada sekolah yag membeli laptop secara acak sebayak 2 laptop, temukalah distribusi probabilitas utuk bayakya laptop yag rusak. Solusi: Misalka X adalah variabel acak yag ilaiya x, yaitu kemugkia bayakya laptop rusak yag dibeli oleh sekolah. Kemudia x haya dapat berisi ilai 0,1, da 2, sehigga diperoleh p(0) = P(X = 0) = (3 0 )(17 2 ) ( 20 2 ) = , p(1) = P(X = 1) = (3 1 )(17 1 ) ( 20 2 ) = , p(2) = P(X = 2) = (3 2 )(17 0 ) ( 20 2 ) =

28 13 Tabel 2.1. Fugsi probabilitas bayakya laptop yag rusak b. Fugsi Probabilitas Kotiu Defiisi 2.13 Fugsi f(x) adalah fugsi probabilitas utuk variabel acak kotiu X, jika 1. f(x) 0, utuk setiap x R, 2. f(x)dx = 1, b a 3. P(a < X < b) = f(x)dx. x p(x) Cotoh 2.5 Misalka suhu dalam yag diuji dalam pegotrola laboratorium adalah suatu variabel acak kotiu X yag mempuyai fugsi probabilitas x 2 f(x) = { 3, da 1 < x < 2, 0, laiya. a) Periksalah bahwa f(x) adalah fugsi probabilitas. b) Temuka P(0 < X 1). Solusi: a) Dega jelas, f(x) 0. Utuk memeriksa syarat kedua dalam Defiisi 2.13, diperoleh b) P(0 < X 1) = x f(x)dx = x2 dx = x = dx = x = 1 9.

29 14 3. Fugsi Distribusi Kumulatif Defiisi 2.14 Fugsi distribusi kumulatif F(x) dari variabel acak X dega fugsi probabilitas p(x) adalah p(t), dajika X diskrit F(x) = P(X x) = { t x x f(t)dt, dajika X kotiu 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas suatu variabel acak dicirika dega parameter lokasi da parameter skala. Defiisi 2.15 Misalka f(x; θ, λ) adalah sembarag fugsi probabilitas suatu variabel acak X. Parameter θ adalah parameter lokasi jika fugsi probabilitas dapat ditulis sebagai fugsi dari x θ; yaitu f(x; θ, λ) = h(x θ; λ) utuk setiap fugsi h( ; λ) yag tidak bergatug pada θ. Cotoh 2.6 Diberika fugsi probabilitas sebagai berikut f(x; μ, σ) = 1 [(x μ)/σ]2 e (1/2). σ 2π Misalka y = x μ, maka fugsi f(x; μ, σ) dapat ditulis sebagai h(y; σ) = 1 [y/σ]2 e (1/2). σ 2π Dega demikia, μ adalah parameter lokasi. Cotoh 2.7 Jika X~N(0, θ), maka X θ~n( θ, θ) mempuyai distribusi yag tidak bebas dari θ. Dega demikia, θ adalah buka parameter lokasi.

30 15 Defiisi 2.16 Misalka x 1, x 2,, x adalah variabel acak dari suatu distribusi dega fugsi probabilitas f(x; μ); μ Ω, Ω adalah ruag parameter. Peduga t(x 1,, x ) didefiisika sebagai ekuivaria lokasi jika da haya jika t(x 1 + c,, x + c) = t(x 1,, x ) + c, utuk semua ilai x 1,, x da sebuah kostata c. Dega kata lai, peambaha kostata c pada variabel acak aka meambah ilai dugaa sebesar c. Defiisi 2.17 Misalka x 1, x 2,, x adalah variabel acak dari suatu distribusi dega fugsi probabilitas f(x; μ); μ Ω, Ω adalah ruag parameter. Peduga t(x 1,, x ) didefiisika sebagai ivaria lokasi jika da haya jika t(x 1 + c,, x + c) = t(x 1,, x ), utuk semua ilai x 1,, x da sebuah kostata c. Dega kata lai, peambaha kostata c pada variabel acak tidak aka megubah ilai peduga. Cotoh 2.8 Apakah x adalah peduga ivaria atau ekuivaria lokasi? Solusi: Misalka t(x 1,, x ) = x. Kemudia, t(x 1 + c,, x + c) = i=1 (x i + c) = i=1 x i = x + c + c = t(x 1,, x ) + c.

31 16 Oleh karea peambaha kostata c pada variabel acak aka meambah ilai dugaa x sebesar c, maka x adalah peduga ekuivaria lokasi da tidak ivaria. Cotoh 2.9 Apakah s 2 adalah peduga ivaria atau ekuivaria lokasi? Solusi: Misalka t(x 1,, x ) = s 2 = Kemudia, (x i ( x 2 i=1 i i=1 )) 1 (x i + c ( i=1 x i + c i=1 )) t(x 1 + c,, x + c) = 1 Oleh karea peambaha kostata c pada variabel acak tidak megalami perubaha ilai dugaa s 2, maka s 2 adalah peduga ivaria lokasi da tidak ekuivaria. = (x i + c (x + c)) 2 i=1 1 = i=1 (x i x ) 2 1 (x i ( i=1 x i i=1 )) = 1 = s 2 = t(x 1,, x ) Defiisi 2.18 Misalka f(x; θ) adalah sembarag fugsi probabilitas suatu variabel acak X. Keluarga fugsi probabilitas f(x/θ) θ, utuk θ > 0, parameter θ adalah parameter skala bagi f(x) jika da haya jika distribusi dari x θ tidak bergatug pada θ.

32 17 Cotoh 2.10 Diberika fugsi probabilitas sebagai berikut f(x) = 1 θ e (x/θ). Misalka y = x/θ, maka keluarga fugsi probabilitas f(x/θ) θ dapat ditulis sebagai f(y) θ = 1 θ e (y) f(y) = e (y), utuk y > 0 Dega demikia, θ adalah parameter skala. Defiisi 2.19 Misalka x 1, x 2,, x adalah variabel acak dari suatu distribusi dega fugsi probabilitas f(x; μ); μ Ω, Ω adalah ruag parameter. Peduga t(x 1,, x ) didefiisika sebagai ekuivaria skala jika da haya jika t(cx 1,, cx ) = ct(x 1,, x ), utuk semua ilai x 1,, x da sebuah kostata c > 0. Defiisi 2.20 Misalka x 1, x 2,, x adalah variabel acak dari suatu distribusi dega fugsi probabilitas f(x; μ); μ Ω, Ω adalah ruag parameter. Peduga t(x 1,, x ) didefiisika sebagai ivaria skala jika da haya jika t(cx 1,, cx ) = t(x 1,, x ), utuk semua ilai x 1,, x da sebuah kostata c > 0. Dega kata lai, peduga bersifat ivaria terhadap skala jika ilaiya tidak megalami perubaha dega adaya perkalia dega c. Cotoh 2.11 Apakah x adalah peduga ivaria atau ekuivaria terhadap skala?

33 18 Solusi: Misalka t(x 1,, x ) = x. Kemudia, t(cx 1,, cx ) = i=1 cx i = c i=1 x i = cx = ct(x 1,, x ). Oleh karea peambaha kostata c pada variabel acak aka megubah ilai dugaa x, maka x adalah peduga ekuivaria terhadap skala da tidak ivaria. a. Nilai Harapa atau Rata-rata dari Variabel Acak Defiisi 2.21 Misalka X adalah variabel acak dega fugsi probabilitas p(x). Nilai harapa atau rata-rata dari X adalah xp(x), dajika X diskrit μ = E(X) = { x xf(x)dx, dajika X kotiu Teorema 2.1 Diberika a, b suatu kostata, E(aX + b) = ae(x) + b. Bukti: Berdasarka Defiisi 2.21, diperoleh: utuk variabel acak diskrit, E(aX + b) = (ax + b) p(x) x = (ax p(x) + b p(x)) x

34 19 Utuk variabel acak kotiu, = a x p(x) + b p(x) x = ae(x) + b. E(aX + b) = (ax + b)f(x)dx = a xf(x)dx x + b f(x)dx = ae(x) + b. Lemma 2.1 Diberika a = 0, maka E(b) = b. Bukti: Utuk variabel acak diskrit, Utuk variabel acak kotiu, E(b) = x bp(x) = b x p(x) = b(1) = b. xe(b) = bf(x)dx = b f(x)dx = b. Lemma 2.2 Diberika b = 0, maka E(aX) = ae(x). Bukti: Utuk variabel acak diskrit, E(aX) = x axp(x) = a x xp(x) = ae(x). Utuk variabel acak kotiu, E(aX) = axf(x)dx = a xf(x)dx = ae(x). Teorema 2.2 Misalka X adalah variabel acak dega fugsi probabilitas p(x) da g 1 (X), g 2 (X),, g k (X) adalah k buah fugsi dari X; maka E[g 1 (X) + g 2 (X) + + g k (X)] = E[g 1 (X)] + E[g 2 (X)] + + E[g k (X)].

35 20 Bukti: Aka dibuktika dega k = 2, tetapi lagkah tetap sama utuk setiap k. Meurut Defiisi 2.21, diperoleh: utuk X diskrit, E[g 1 (X) + g 2 (X)] = [g 1 (x) + g 2 (x)]p(x) x = g 1 (x)p(x) + g 2 (x)p(x) x x = E[g 1 (X)] + E[g 2 (X)]. Utuk X kotiu, E[g 1 (X) + g 2 (X)] = [g 1 (x) + g 2 (x)]p(x)dx = g 1 (x)f(x)dx + g 2 (x)f(x)dx = E[g 1 (x)] + E[g 2 (x)]. b. Variasi dari Variabel Acak Defiisi 2.22 Jika X adalah variabel acak dega rata-rata E(X) = μ, maka variasi dari X didefiisika sebagai ilai harapa dari (X μ) 2, yaitu σ 2 = V(X) = E[(X μ) 2 ] (x μ) 2 p(x), dajika X diskrit, x = { (x μ) 2 f(x)dx Stadar deviasi dari X adalah akar dari V(X)., jika X kotiu. Cotoh 2.12 Diberika 7 kompoe sebagai sampel yag terdiri atas 4 kompoe tidak rusak da 3 kompoe rusak. Peguji megambil sampel secara acak

36 21 sebayak 3 kompoe. Temuka ilai harapa da variasi dari bayakya kompoe rusak di dalam pegambila sampel tersebut. Solusi: Misalka X adalah variabel acak yag meujukka bayakya kompoe rusak di dalam sampel. Fugsi probabilitas dari X adalah Diperoleh: Oleh karea itu, p(x) = (3 x )( 4 3 x ) ( 7 3 ), x = 0,1,2,3. p(0) = (3 0 )(4 3 ) ( 7 3 ) = 4 35, p(1) = (3 1 )(4 2 ) ( 7 3 ) = 18 35, p(2) = (3 2 )(4 1 ) ( 7 3 ) = 12 35, p(3) = (3 3 )(4 0 ) ( 7 3 ) = μ = E(X) = (0) ( 4 ) + (1) (18) + (2) (12 ) + (3) ( 1 ) = σ 2 = V(X) = (x 1.3) 2 p(x) x=0 = (0 1.3) 2 ( 4 35 ) + + (3 1.3)2 ( 1 35 ) = Cotoh 2.13 Diberika variabel acak X yag mempuyai fugsi kotiu sebagai berikut: (3 8)x2, 0 dax 2 f(x) = { 0, dalaiya Temukalah ilai harapa da variasi bagi X. Solusi: Meurut defiisi ilai harapa da variasi, diperoleh:

37 22 2 μ = E(X) = x ( 3 ) 8 x2 dx 0 σ 2 2 = V(X) = (x 1.5) 2 ( 3 ) 8 x2 dx 0 = ( 3 8 ) (1 4 ) x4 ] 0 2 = 1.5. = ( ) (x2 3x )x 2 dx 0 = ( ) (x4 3x x 2 )dx 0 = ( 3 8 ) ((1 5 ) x5 ( 3 4 ) x4 + ( ) x3 )] = ( 3 40 x x4 + ( ) x3 = )]0 2 0 Teorema 2.3 Misalka X adalah variabel acak diskrit dega fugsi probabilitas p(x) da rata-rata E(X) = μ; maka V(X) = σ 2 = E[(X μ) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2. Bukti: V(X) = σ 2 = E[(X μ) 2 ] = E(X 2 2μX + μ 2 ) = E(X 2 ) 2μE(X) + E(μ 2 ) = E(X 2 ) 2μ 2 + μ 2 = E(X 2 ) μ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2. Cotoh Distribusi Normal Distribusi probabilitas kotiu yag palig bayak diguaka adalah distribusi Normal.

38 23 Defiisi 2.23 Variabel acak X dikataka berdistribusi Normal jika da haya jika utuk σ > 0 da < μ <, fugsi probabilitas dari X adalah f(x) = 1 σ 2π e (x μ)2 /(2σ 2), < x <. Teorema 2.4 Jika X adalah variabel acak berdistribusi Normal dega parameter μ da σ, maka Bukti: E(X) = μ da V(X) = σ 2. Rata-rata dari distribusi Normal diberika dega E(X μ) = x μ 2πσ e 1 2 (x μ σ Misalka z = (x μ) σ da dx = σ dz, maka E(X μ) = σ 2π )2 dx. z 2 ze 2 dz = 0 karea fugsi dari z adalah fugsi gajil. Dega megguaka Teorema 2.1, diperoleh: E(X μ) = 0 E(X) μ = 0 E(X) = μ. Variasi dari distribusi Normal diberika dega E[(X μ) 2 ] = (x μ)2 σ 2π Misalka z = (x μ) σ da dx = σ dz, maka E[(X μ) 2 ] = σ2 2π z2 e z 2 1 e 2 (x μ σ )2 dx 2 dz. Misalka u = z da dv = ze z2 2 dz, maka du = dz da v = e z2 2, sehigga diperoleh:.

39 24 E[(X μ) 2 ] = σ2 2π ( ze z 2 2 = σ 2 (0 + 1) = σ 2. + e z2 2 dz) Teorema 2.4 meujukka bahwa parameter μ berada pada pusat distribusi da σ megukur peyebaraya. Grafik fugsi probabilitas Normal ditujukka pada gambar berikut. Gambar 2.1. Fugsi probabilitas Normal Variabel acak Normal X dapat diubah ke variabel acak Normal stadar Z dega megguaka hubuga Z = X μ σ. Kemudia melalui Tabel distribusi Normal Stadar (Tabel Z), dapat diguaka utuk meghitug probabilitas. Nilai rata-rata Z harus 0 da stadar deviasiya harus 1. Cotoh 2.15 Skor prestasi utuk ujia masuk pergurua tiggi memiliki rata-rata 75 da stadar deviasi 10. Hituglah P(80 < X < 90). Solusi: Igat bahwa Z = X μ σ.

40 25 Dega demikia, X μ P(80 < X < 90) = P ( < < 10 σ = P(0.5 < Z < 1.5) = P(Z > 0.5) P(Z > 1.5) = = ) 10 Hasil tersebut dapat diperoleh dega megguaka Tabel Z (terlampir). Cotoh 2.16 Misalka Z adalah variabel acak Normal dega rata-rata 0 da stadar deviasi 1. a) Temuka P(Z > 2). b) Temuka P( 2 Z 2). Solusi: a) Karea μ = 0 da σ = 1, maka dega megguaka Tabel distribusi Normal, diperoleh P(Z > 2) = b) Karea fugsi probabilitas Normal simetri pada rata-rata μ = 0, maka dega megguaka Tabel Z (terlampir), diperoleh P( 2 Z 2) = 1 2(P(Z > 2)) = 1 2(0.0228) = Cotoh Distribusi Chi-Square Variabel acak kotiu X berdistribusi chi-square dega derajat bebas v, jika fugsi probabilitasya diberika dega 1 f(x; v) = { 2 v x v 2 1 e x 2, dax > 0, 2Γ(v 2) 0, dalaiya, dega v adalah bilaga bulat positif da Γ(v 2) adalah fugsi Gamma.

41 26 Teorema 2.5 Jika X adalah variabel acak berdistribusi chi-square dega derajat bebas v, maka ilai harapa (rata-rata) da variasiya adalah Bukti: Misalka c = μ = E(X) = v da σ 2 = V(X) = 2v. 1 v 22Γ(v 2). E(X) = xcx v 2 1 e x 2dx 0 = c x v 2e x 2dx 0 = c {[ 2x v 2e x 2] + 2 v 0 2 xv 2 1 e x 2dx} 0 = c {(0 0) + v x v 2 1 e x 2dx} 0 = v cx v 2 1 e x 2dx 0 = v. (berdasarka Defiisi 2.13 (2)) Berdasarka Teorema 2.3, V(X) = E[(X μ) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2. E(X 2 ) = x 2 f(x)dx = x 2 cx v 2 1 e x 2dx 0 = c x v 2 +1 e x 2dx 0

42 27 = c { 2x v 2 +1 e x 2] + 2 ( v ) xv 2e x 2dx} 0 = c {(0 0) + (v + 2) x v 2e x 2dx} 0 = c(v + 2) { x v 2e x 2dx} 0 = c(v + 2) {[ 2x v 2e x 2] + 2 v 0 2 xv 2 1 e x 2dx} 0 = c(v + 2) {(0 0) + v x v 2 1 e x 2dx} 0 = v(v + 2) { cx v 2 1 e x 2dx} 0 0 = v(v + 2){ xf(x)dx} = v(v + 2), (berdasarka Defiisi 2.13 (2)) [E(X)] 2 = v 2 V(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = v(v + 2) v 2 = v(v + 2 v) = 2v. c. Mome da Fugsi Pembagkit Mome (FPM) Defiisi 2.24 Mome ke-k dari variabel acak X didefiisika sebagai E(X k ) da diotasika dega μ k dega k = 1,2,3,.

43 28 Defiisi 2.25 Fugsi pembagkit mome dari variabel acak X diberika dega E(e tx ) da diotasika dega M X (t), t R. Oleh karea itu, e tx p(x), jika dax diskrit, M X (t) = E(e tx ) = { x e tx f(x) dx, jika dax kotiu. Cotoh 2.18 Temukalah FPM dari Cotoh 2.12 da Cotoh Solusi: Utuk Cotoh 2.12, diperoleh: M X (t) = E(e tx ) = e tx p(x) Utuk Cotoh 2.13, diperoleh: x = e 0t p(0) + e t p(1) + e 2t p(2) + e 3t p(3) = et e2t e3t. = 1 35 (4 + 18et + 12e 2t + e 3t ); t R. M X (t) = E(e tx ) = e tx f(x) dx = x2 e tx dx 0 Dega megguaka itegral parsial, diperoleh hasil sebagai berikut:

44 29 M X (t) = 3 e tx 8 {[x2 ] t = 3 8 [(4e2t t t xetx dx} 0 ) 2 2 t xetx dx] 0 Dega megguaka kembali itegral parsial, diperoleh: M X (t) = 3 8 [(4e2t t ) 2 t (xetx t ] t etx dx)] 0 = 3 8 [(4e2t t ) 2 t (2e2t 1 t t [etx t ] )] 0 2 = 3 8 [(4e2t t ) 2 t (2e2t 1 t t (e2t t 1 t ))] = 3 8 [(4e2t t ) 2 t (2e2t e2t t t t 2)] = 3 8 [4e2t t = 3 8 [2 t (2e2t 2e2t t = 3 4t (2e2t 2e2t t 4e2t t 2 + 2e2t + 2 t 3 ] + e2t + 1 t 2 )] + e2t + 1 t 2 ).

45 30 C. Distribusi Samplig Kesimpula pada statistika pada dasarya berkaita dega geeralisasi da dugaa yag diperoleh dari sampel. Oleh karea itu, sampel yag diamati harus memiliki distribusi probabilitas. Defiisi 2.26 Distribusi probabilitas dari statistik disebut sebagai distribusi samplig. Distribusi samplig dari statistik bergatug pada distribusi populasi, ukura sampel, da metode pemiliha sampel. Distribusi probabilitas dari x disebut distribusi samplig dari rata-rata. Distribusi samplig dari x da s 2 dapat diguaka utuk membuat kesimpula pada parameter μ da σ Teorema Limit Pusat Jika dilakuka pearika sampel dari populasi dega distribusi yag tidak diketahui, maka distribusi samplig dari x aka tetap medekati Normal dega rata-rata μ da variasi σ2, asalka ukura sampelya besar. Hal ii adalah akibat lagsug dari Teorema Limit Pusat (TLP). Teorema 2.6 (TLP) Misalka x 1, x 2,, x merupaka variabel acak salig bebas da terdistribusi dega E(x i ) = μ da V(x i ) = σ 2 <. Variabel acak U didefiisika sebagai U = ( x μ ) dega x = 1 x σ/ i=1 i. Fugsi distribusi dari U koverge ke fugsi distribusi Normal stadar utuk, yaitu lim P(U u) = 1 u 2π e t2 2 dt, u.

46 31 Teorema 2.7 Misalka X da X 1, X 2,, X adalah variabel acak dega FPM m(t) da m 1 (t), m 2 (t), m 3 (t),, da seterusya. Jika lim m (t) = m(t), t R, maka fugsi distribusi dari X koverge ke fugsi distribusi dari X utuk. Bukti: Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability with Martigales. New York: Cambridge Uiversity Press. Halama: 185. Bukti Teorema Limit Pusat Diketahui: x μ U = ( σ ) = ( = ( i=1 X i μ ) = σ dega z i = X i μ σ. i=1 x i μ ) σ ( i=1 X i μ σ ) = 1 ( z i=1 i), Karea variabel acak x i salig bebas da berdistribusi secara idetik, maka z i dega i = 1,2,..., juga salig bebas da berdistribusi secara idetik dega E(z i ) = 0 da V(z i ) = 1. Karea fpm dari bayakya variabel acak salig bebas masig-masig adalah hasil kali dari masig-masig fpm, maka da m Zi (t) = m Z1 (t) m Z2 (t) m Z (t) = [m Z1 (t)] m U (t) = m Zi ( t ) = [m Z 1 ( t )]. Dega megguaka Teorema Deret Taylor di sekitar 0 da dega suku sisa betuk Lagrage, m Z1 (t) = m Z1 (0) + m Z1 (0)t + m Z1 (ξ) t2 2, dega 0 < ξ < t,

47 32 sehigga m U (t) = [1 + m Z 1 (ξ ) ( t 2 2 ) ] = [1 + m Z1 (ξ )t2 ], dega 0 < ξ 2 < t. Perhatika bahwa karea, ξ 0 da m Z1 (ξ )(t 2 2) m Z1 (0)(t 2 2) = E(Z 2 1 )(t 2 2) = (t 2 2) dega E(Z 1 2 ) = V(Z 1 ) = 1. Perlu diigat bahwa jika lim b = b, maka lim (1 + b ) = e b. Akhirya diperoleh, ) lim m U (t) = lim [1 + m Z1 (ξ )(t2 2 ] = e (t2 2 ), fpm utuk variabel acak Normal stadar. Dega meerapka Teorema 2.7, dapat disimpulka bahwa U memiliki fugsi distribusi yag koverge ke fugsi distribusi dari variabel acak Normal stadar. 2. Distribusi t Defiisi 2.27 Misalka Z = x μ ( 1)s2 adalah variabel acak Normal stadar da W = σ/ σ 2 berdistribusi χ 2 dega derajat bebas v. Jika Z da W salig bebas, maka berdistribusi t dega derajat bebas v. T = Z W/v Lemma 2.3 Misalka x 1, x 2,, x sebagai variabel acak salig bebas berdistribusi Normal dega rata-rata μ da stadar deviasi σ; maka variabel acak T = x μ s/ berdistribusi t dega derajat bebas v = 1. Bukti: Berdasarka Defiisi 2.27,

48 33 T = Z W/v = (x μ) (σ/ ) [( 1)s 2 /σ 2 ] ( 1) = = (x μ) σ s 2 /σ 2 (x μ) σ s/σ = (x μ) s berdistribusi t dega derajat bebas v = ( 1). Cotoh 2.19 Temuka P( t < T < t ). Solusi: Dari tabel distribusi t (terlampir) diperoleh, P( t < T < t ) = = D. Pedugaa Parameter Pedugaa adalah pokok bahasa dalam statistika yag berhubuga dega pedugaa ilai-ilai parameter berdasarka data yag diukur/data empiris yag berasal dari sampel acak. Tujua dari percobaa atau peelitia statistik adalah utuk meduga satu atau lebih parameter yag relva. Pedugaa parameter adalah suatu proses utuk membuat kesimpula tetag parameter populasi berdasarka sampel acak. 1. Pedugaa (Estimasi) Di dalam statistika, pedugaa-pedugaa dilakuka utuk meyimpulka karakteristik dari populasi (parameter). Defiisi 2.28 (Wackerly, et al., 2008: 391) Peduga adalah suatu atura, yag diyataka dalam betuk rumus, yag memberitahuka bagaimaa cara meghitug ilai suatu dugaa berdasarka pegukura yag termuat di dalam sampel.

49 34 Peduga dari parameter θ adalah statistik θ. Cotoh dari parameter θ dapat berupa rata-rata µ, stadar deviasi σ, da proporsi p yag diduga dega rata-rata x, stadar deviasi s, da proporsi p. 2. Macam-Macam Pedugaa Parameter Nilai parameter dapat diduga dega dua cara, yaki: peduga titik da peduga selag Peduga Titik Defiisi 2.29 Peduga titik adalah peetua suatu ilai tuggal berdasarka atas sampel yag dega baik meduga parameter yag sebearya. Bias da Rata-rata Galat Kuadrat dari Peduga Titik Dalam pemiliha sampel, hal yag serig dilakuka adalah memilih aggota yag palig cocok dari populasi. Cara tersebut dapat meyebabka kesimpula yag keliru megeai populasi da dapat dikataka sebagai bias. Oleh karea itu, diperluka pemiliha sampel secara acak. Misalka seorag pria meembak satu tembaka pada suatu sasara da megeai sasara tersebut. Apakah dapat disimpulka bahwa pria tersebut adalah peembak jitu? Apakah igi disimpulka dugaa semetara pada tembaka kedua? Jelas, tidak bisa disimpulka bahwa pria tersebut adalah seorag ahli meembak berdasarka bukti yag sedikit. Di sisi lai, jika 100 tembaka berturut-turut dapat meembak tepat sasara, mugki dapat diperoleh keyakia bahwa orag tersebut adalah seorag peembak jitu da berkeyakia besar utuk meembak tepat sasara. Dapat dikataka bahwa hal itu adalah distribusi dari pedugaa yag tepat megeai parameter sasara, seperti yag ditujukka pada Gambar 2.2. Dega kata lai, rata-rata atau ilai yag diharapka dari distribusi ilai dugaa aka sama dega parameter ilai dugaa,

50 35 yaitu E(θ ) = θ. Peduga titik yag memeuhi sifat ii dikataka sebagai peduga tak bias. Distribusi samplig utuk suatu peduga titik bias positif adalah E(θ ) > θ, ditujukka pada Gambar 2.3. θ θ Gambar 2.2. Distribusi Nilai Dugaa Gambar 2.3. Distribusi Samplig utuk Peduga Titik Bias Positif Defiisi 2.30 Misalka θ adalah peduga titik dari parameter θ, maka θ adalah peduga tak bias bagi θ jika E(θ ) = θ. Jika E(θ ) θ, maka θ dikataka peduga yag bias bagi θ. Defiisi 2.31 Bias dari peduga titik θ didefiisika sebagai B(θ ) = E(θ ) θ. Cotoh 2.20 Misalka x 1, x 2,, x adalah sampel acak dega E(x i ) = μ da V(x i ) = σ 2. Tujukka bahwa s 2 = 1 (x i=1 i x ) 2 adalah peduga bias bagi σ 2 da bahwa s 2 = 1 1 (x i x ) 2 i=1 adalah peduga tak bias bagi σ 2.

51 36 Solusi: (x i x ) 2 = (x 2 i 2x x i + x 2 ) i=1 sehigga, i=1 = x i 2 2x x i + x 2 i=1 i=1 = x 2 2 i 2x x + x i=1 i=1 = x 2 2 i 2x + x 2 = x 2 2 i x i=1 E [ (x i x ) 2 ] = E [ x i x ] = E [ x i ] E[x 2 ] i=1 i=1 = E[x 2 i ] E[x 2 ] i=1 Karea E[X i 2 ] sama utuk i = 1,2,, da maka da i=1 i=1 V(X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = E[X 2 ] μ 2, E[X 2 ] = V(X) + μ 2 E [ (x i x ) 2 ] = E[x 2 i ] E[x 2 ] i=1 i=1 = [V(x i ) + μ 2 ] [V(x ) + μ 2 ] i=1 = (σ 2 + μ 2 ) ( σ2 + μ2 ) i=1 = (σ 2 + μ 2 ) ( σ2 + μ2 ) = σ 2 + μ 2 σ 2 μ 2 = ( 1)σ 2

52 37 Oleh karea itu, E(s 2 ) = 1 E[ (x i=1 i x ) 2 Dega demikia, s 2 E(s 2 ) σ 2. Aka tetapi, ] = 1 [( 1)σ2 ] = 1 σ2, maka 1 E(s 2 ) = σ 2. adalah peduga bias bagi σ 2 karea E(s 2 ) = 1 1 E [ (x i x ) 2 ] i=1 = 1 1 [( 1)σ2 ] = 1 1 σ2 = σ 2, sehigga s 2 adalah peduga tak bias bagi σ 2 karea E(s 2 ) = σ 2. Defiisi 2.32 Rata-rata kuadrat galat (Mea Square Error) dari peduga titik θ adalah MSE(θ ) = E [(θ θ) 2 ]. MSE(θ ) adalah fugsi dari variasi da biasya. Defiisi 2.33 Variasi peduga titik θ adalah V(θ ) = E [(θ E(θ )) 2 ].

53 38 Teorema 2.8 Jika B(θ ) meujukka bias dari peduga titik θ, maka MSE(θ ) = V(θ ) + [B(θ )] 2. Bukti: Petujuk: (θ θ) = [θ E(θ )] + [E(θ ) θ] = [θ E(θ )] + B(θ ). Dega megguaka petujuk di atas, diperoleh: MSE(θ ) = E [(θ θ) 2 ] = E [((θ E(θ )) + B(θ )) ((θ E(θ )) + B(θ ))] = E [(θ E(θ )) (θ E(θ )) B(θ ) + (B(θ )) 2 ] = E [(θ E(θ )) 2 ] + 2B(θ )E[θ E(θ )] + [B(θ )] 2 = V(θ ) + 2B(θ )(E[θ ] E[E(θ )]) + [B(θ )] 2 = V(θ ) + 2B(θ )[E(θ ) E(θ )] + [B(θ )] 2 = V(θ ) + [B(θ )] 2. Tabel 2.2. Nilai Harapa da galat stadar Beberapa Peduga Titik Parameter Peduga Ukura Galat stadar Sasara Titik E(θ ) Sampel σ θ θ θ μ X μ p p = X μ 1 μ 2 1 da 2 X 1 X 2 μ 1 μ 2 σ 1 2 p σ pq σ 2 p 1 p 2 1 da 2 p 1 p 2 p 1 p 2 p 1q p 2q 2 2 2

54 Peduga Selag Kepercayaa Defiisi 2.33 Peduga selag adalah suatu peetua selag ilai yag dihitug berdasarka pegukura sampel da mempuyai peluag tertetu, aka memuat parameter yag sebearya. Idealya, selag yag dihasilka aka memiliki dua sifat: Pertama, aka memuat parameter sasara θ; kedua, meghasilka selag yag relatif sempit. Salah satu atau kedua batas dari selag mejadi fugsi dari pegukura sampel, yag aka bervariasi secara acak dari sampel yag satu ke sampel laiya. Peduga selag biasa disebut Selag Kepercayaa. Probabilitas bahwa selag kepercayaa aka memuat parameter sasara θ disebut Koefisie Kepercayaa. Jika diketahui bahwa koefisie kepercayaa memiliki ilai yag tiggi, maka dapat dipercaya bahwa setiap selag kepercayaa yag dibetuk dega megguaka hasil dari sampel aka memuat parameter sasara θ. Misalka θ L da θ U adalah batas bawah da atas utuk parameter θ. Jika P(θ L θ θ U) = 1 α, utuk 0 < α < 1, maka probabilitas (1 α) adalah koefisie kepercayaa. Selag θ L θ θ U dihitug dari sampel yag diseleksi, ii adalah selag kepercayaa 100(1 α)%, da titik akhir θ L da θ U sebagai titik batas terbesar da terkecil dari selag kepercayaa. Jadi, sebagai cotohya, ketika α = 0.05, berarti diperoleh selag kepercayaa 95%, da ketika α = 0.01, diperoleh selag kepercayaa 99%. Semaki lebar selag kepercayaa, maka selag kepercayaa tersebut memuat parameter yag tidak diketahui. Aka tetapi, lebih baik jika meghasilka selag yag relatif pedek dega tigkat kepercayaa yag tiggi.

55 40 Selag acak yag dihasilka didefiisika dega [θ L, θ U] yag disebut sebagai Selag Kepercayaa Dua Sisi. Defiisi 2.34 Selag kepercayaa satu sisi yag diyataka dega P(θ L θ) = 1 α aka meghasilka selag kepercayaa satu sisi bawah, yaitu [θ L, ), da P(θ θ U) = 1 α aka meghasilka selag kepercayaa satu sisi atas, yaitu (, θ U]. Salah satu metode yag sagat bergua utuk mecari selag kepercayaa adalah Metode Pivot. Metode ii tergatug pada suatu ilai yag disebut besara Pivot. Besara ii memiliki dua karakteristik, yaitu: i. Merupaka fugsi dari pegukura sampel da parameter θ yag tidak diketahui. ii. Distribusi probabilitas dari besara ii tidak tergatug pada parameter θ. Jika distribusi probabilitas dari besara Pivot diketahui, maka besara tersebut dapat diguaka utuk membetuk ilai dugaa selag yag diigika. Cotoh 2.21 Diberika pegamata tuggal X dari distribusi ekspoesial dega rata-rata θ. Guaka X utuk membetuk selag kepercayaa bagi θ dega koefisie kepercayaa Solusi:

56 41 Fugsi desitas probabilitas bagi X diberika dega f(x) = { (1 θ ) e x θ, dax 0 0, dalaiya Dega megguaka Metode Pivot, aka diperiksa apakah U = X θ memeuhi syarat sebagai besara Pivot? 1) U = X θ adalah fugsi dari X (ukura sampel) da θ tidak diketahui. 2) U = X θ f u (u) =? Utuk x < 0, F(x) = 0. Utuk x 0, 0 F(x) = 0 dt + = e x θ + 1. x ( 1 θ ) e t 1 θ dt = θ ( θ)e t θ] x 0 0 F(x) = { 0, dax < 0 e x θ + 1, dax 0 F u (u) = P(U u) = P ( X θ u) = P(X uθ) = F(uθ) = e uθ θ + 1 = e u + 1. F u (u) = { 0, dau < 0 e u + 1, dau 0 f u (u) = { 0, dau < 0 e u, dau 0 f u (u) tidak bergatug pada θ.

57 42 Kedua syarat besara Pivot terpeuhi f(u) a 0.90 b u Gambar 2.4. Fugsi probabilitas bagi U Selajutya aka dicari selag kepercayaa bagi θ a P(U < a) = e u du = e u ] a 0 = e a = 0.05 e a = 0.95 l(e a ) = l(0.95) a = a = *P(U > b) = e u du = 0.05 b sehigga, e u ] b = 0.05 e b = 0.05 l(e b ) = l(0.05) b = b = = P(0.051 U 2.996) = P (0.051 X θ 2.996). Karea aka dicari peduga selag bagi θ, maka diperoleh: 0.9 = P (0.051 X θ 2.996) = P (0.051 X 1 θ X ) 0.9 = P ( X X X X θ ) = P ( θ )

58 43 Dega demikia, diperoleh batas bawah da batas atas utuk selag kepercayaa θ adalah X da X Selag Kepercayaa Sampel Besar Utuk sampel besar, semua peduga titik aka medekati distribusi samplig Normal dega galat stadar yag telah ditujukka pada Tabel 2.2. Jika parameter sasara θ adalah μ, p, μ 1 μ 2, atau p 1 p 2, maka utuk sampel besar, Z = θ θ σ θ aka medekati distribusi Normal stadar. Akibatya, Z adalah suatu besara Pivot da Metode Pivot dapat diguaka utuk meghasilka selag kepercayaa utuk parameter sasara θ. Cotoh 2.22 Misalka θ adalah statistik berdistribusi Normal dega rata-rata θ da galat stadar σ θ. Temuka selag kepercayaa bagi θ yag memiliki koefisie kepercayaa (1 α). Solusi: Nilai Z = θ θ σ θ berdistribusi Normal. Sekarag, pilih dua ilai di dalam selag, yaitu z α 2 da z α 2, sehigga P( z α 2 Z z α 2 ) = 1 α.

59 44 α/2 1 - α α/2 0 z α 2 z α 2 Gambar 2.5. Letak z α 2 da z α 2 Dega mesubstitusi ilai Z = θ θ σ θ, diperoleh P ( z α 2 θ θ z σ α 2 ) = 1 α. θ Pada ketidaksamaa tersebut, kalika semuaya dega σ θ, diperoleh P( z α 2 σ θ θ θ z α 2 σ θ ) = 1 α P( θ z α 2 σ θ θ θ + z α 2 σ θ ) = 1 α P(θ z α 2 σ θ θ θ + z α 2 σ θ ) = 1 α Dega demikia, titik akhir utuk 100(1 α)% selag kepercayaa bagi θ diberika dega θ L = θ z α 2 σ θ da θ U = θ + z α 2 σ θ. Dega cara yag sama, dapat ditetuka pula 100(1 α)% batas kepercayaa satu sisi, yaitu 100(1 α)% batas bawah bagi θ = θ z α σ θ. 100(1 α)% batas atas bagi θ = θ + z α σ θ. Cotoh 2.23 Suatu supermarket mecatat waktu belaja 64 sampel acak dari kosume yag datag. Rata-rata da variasi dari ke-64 kosume tersebut adalah 33 da 256 meit. Tetuka peduga waktu rata-

60 45 rata setiap kosume (µ) dega koefisie kepercayaa dari 1 α = 0.9. Solusi: Diketahui: = 64, x = 33 da s 2 = 256. Variasi dari populasi tidak diketahui, maka diguaka s 2 utuk meduga σ 2. Batas selag kepercayaa adalah aka mejadi θ ± zα σ 2 θ x ± zα ( σ 2 ) x ± zα ( s 2 ) Dega megguaka Tabel Z (terlampir), diperoleh zα = z = 1.645; oleh karea itu, batas kepercayaaya adalah x zα ( s 16 2 ) = ( ) = 29.71l, 64 x + zα ( s 16 2 ) = ( ) = Dega demikia, selag kepercayaa bagi μ adalah (29.71,36.29). Dalam pegambila sampel berulag, sekitar 90% dari semua selag yag berbetuk x ± 1,645 (s/ ) aka memuat μ, yaitu rata-rata sebearya dari waktu belaja setiap pelagga. E. Kosistesi Peduga Defiisi 2.36 Peduga θ dikataka sebagai peduga kosiste bagi θ jika ε > 0, atau lim P( θ θ ε) = 1, lim P( θ θ > ε) = 0.

61 46 Teorema 2.9 Suatu peduga tak bias θ bagi θ adalah peduga kosiste bagi θ jika Bukti: lim V(θ ) = 0. Jika X adalah sembarag variabel acak dega E(X) = μ da V(X) = σ 2 < da k > 0, dapat diguaka Teorema Tchebysheff yag meyataka bahwa P( X μ > kσ) 1 k 2. Bukti Teorema Tchebysheff terdapat pada buku Wackerly, et al. (2008). Mathematical Statistics with Applicatios. Seveth Editio. Duxbury: Thomso Brooks/Cole. Halama: 208. Karea θ adalah peduga tak bias bagi θ, itu meujukka bahwa E(θ ) = θ. Misalka σ θ = V(θ ) meotasika galat stadar bagi θ. Dega meerapka Teorema Tchebysheff utuk variabel acak θ, diperoleh: P( θ θ > kσ θ ) 1 k 2. Misalka adalah ukura sampel, k = ε, ε > 0, k > 0. σ θ Peerapa Teorema Tchebysheff utuk pemiliha ilai k tersebut meujukka bahwa P( θ θ > ε) = P ( θ θ > [ ε ] σ σ θ ) θ Dega demikia, 0 P( θ θ > ε) V(θ ) ε 2. Bila lim V(θ ) = 0, maka utuk, 1 (ε σ θ ) 2 = V(θ ) ε 2. lim 0 lim V(θ ) P( θ θ > ε) lim ε 2 = 0.