POLINOMIAL CHEBYSHEV PADA SYARAT BATAS SERAP GELOMBANG AKUSTIK DUA DIMENSI

Transkripsi

1 Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.0 No. (06) Hal. 4-0 POLINOMIAL CHEBYSHEV PADA SYARAT BATAS SERAP GELOMBANG AKUSTIK DUA DIMENSI Mohammad Mahfuzh Shiddiq Program Studi Matematika Fakultas MIPA Uiversitas Lambug Magkurat Abstrak Masalah syarat batas pada persamaa gelombag mempuyai bayak jeis da metode peyelesaia. Salah satu masalah syarat batas adalah syarat batas serap pada persamaa gelombag. Syarat batas serap ii muul sebagai akibat domai atural pada permasalah perambata gelombag tidak terbatas da membutuhka perhituga yag besar. Metode peyelesaia seara umerik tidak bisa dihidari pada persamaa gelombag jeis ii. Solusi umerik yag aka dibahas pada makalah ii adalah dega medekati solusi masalah perambata gelombag akustik dua dimesi dega megguaka poliomial hebyshev. Beberapa perbadiga hasil solusi dega megg8uaka pedekata yag lai yag sudah dikerjaka juga diberika sehigga meujukka efektifitas solusi maa yag lebih baik. Kata kui: Poliomial Chebyshev, Solusi Numerik, Gelombag Akustik dua dimesi. PENDAHULUAN Masalah perambata gelombag sagat mearik utuk diteliti. Hal ii mejadi dasar teori pada abag ilmu aplikasi yag megguaka gelombag sebagai alat. Salah satu bidag yag megguaka adalah pemodela gelombag air laut, tsuami, geofisika, seismik, peitraa medik da lai sebagaiya [5,3]. Pemodela perambata gelombag biasa megguaka domai atural yag tidak terbatas serta melibatka perhituga yag besar. Hal ii meyebabka bayak peeliti megguaka syarat batas buata utuk meyederhaaka tapi masih bisa dipakai mesimulasika keadaa sebearya [,4] Syarat batas buata pada perambata gelombag utuk megatasi permasalaha tersebut diataraya adalah syarat batas serap. Syarat batas serap ii memugkika gelombag merambat di domai yag terbatas aka meeruska perambataya di batasbatas domai, dega kata lai memiimka gelombag patula di batas domai atau bahka meghilagka gelombag patula di batas. Pada peelitia sebelumya yag dilakuka oleh Shiddiq [7] telah meujukka bahwa pada masalah perambata gelombag akustik dua dimesi bisa memiimalka gelombag patul di batas domai. Selajutya Shiddiq [8] meyelesaika masalah tersebut dega megguaka pedekata umerik dega megguaka persamaa beda higga. Beberapa peeliti yag lai juga perah melakuka dega pedekata yag berbeda [,0] Pada paper ii aka ditetuka solusi dari masalah pada Shiddiq [7] dega pedekata umerik da memakai polyomial Chebysev utuk medekati syarat batas serap yag didefiisika pada masalah perambata gelombag. 4

2 Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.0 No. (06) Hal TINJAUAN PUSTAKA Persamaa gelombag akustik adalah tipe gelombag logitudial yag merambat dega kompresi da dekompresi adibiatik. Persamaa gelombag merambat dega keepata suara yag bergatug pada media dimaa gelombag tersebut merambat. Hal ii terjadi misalka pada defraksi, refleksi da iterfesi. Misalka diberika persamaa gelombag dua dimesi sebagai berikut u u u + = 0 t y () Didefiisika di dalam media terbatas ( ) {,,,0,0 } D= xyt L x L y M t T da = ω k meotasika keepata di media, ω adalah frekuesi sudut da k adalah bilaga gelombag. Persamaa gelombag () dega ilai awal u uxy (,,0) = F( x), ( xy,,0) = 0 t () Masalah ilai awal persamaa gelombag () da () dilegkapi dega syarat batas Dirihlet, yaitu atau syarat batas Neuma, yaitu u ± Lyt,, = 0, u xm,, t = 0 (,, ) (,, ) u ± Lyt u xmt = 0, = 0 y meghasilka gelombag patul pada batas dega amplitudo sama dega gelombag datag, yaitu koefisie patul sama dega. Koefisie patul ii didapatka dari mesubtitusika solusi dari persamaa gelombag (), yaitu ( ω si) ( ω si) i t kx ± ky i t+ kx ± ky u = e + Re, 0 (3) dega adalah sudut diatara bidag gelombag dega sumbu x da R adalah koefisie patul. Poliomial Chebyshev memiliki bayak maam da jeis. Salah satuya adalah poliomial jeis pertama da kedua, ( ) x. Poliomial Chebyshev jeis pertama biasa diguaka utuk fugsi yag didefiisika di,. Sedagka utuk poliomial Chebyshev jeis kedua dalam iterval [ ] diguaka utuk iterval yag lebih umum, yaitu [ ab, ]. Defiisi Poliomial Chebyshev T ( ) T x da U ( ) x jeis pertama adalah poliomial dalam x dega derajat da didefiisika dega 5

3 Mohammad Mahfuzh Shiddiq - Poliomial Chebyshev pada Syarat Batas Serap Gelombag Akuatik Dua Dimesi ( ) os, os T x = ketika x = (4) Jika ilai x berada di dalam iterval [,] maka ilai variabel berada di dalam iterval [ 0, ]. Berdasarka persamaa (4) maka dapat dilihat empat poliomial Chebyshev pertama sebagai berikut ( ) T x T x x T x x 0 =, =, = T x = 4x 3 x, T x = 8x 8x +, Poliomial Chebyshev juga bisa didefiisika seara rekursif jika dilihat dari (4) da sifat idetitas trigoometri, yaitu sebagai berikut dega ilai awal [6]. ( ) T x = xt x T x, =,3,, ( ), ( ) T x = T x = x 0 Pedekata poliomial dega derajat utuk fugsi kotiu f ( x ) yag diberika pada [,] adalah dega megiterpolasi diatara ilai dari f ( x ) di + titik yag dipilih seara bear di dalam iterval [,]. Misalka utuk iterpolasi di titik dega poliomial dibutuhka x, x,, x + ( ) 0 p x = + x+ + x 0 + x k + + x k = f xk, k=,, + Sedagka piliha yag baik dalam iterpolasi titik utuk mejami kekovergea seragam adalah himpua zeroes dari poliomial Chebyshev T + ( x), yaitu k + ( ) x= x = os, k =,, = (5) k Jadi poliomial derajat, p ( x ), megiterpolasi f ( ) x di dalam titik (5) dalam betuk jumlaha poliomial Chebyshev adalah sebagai berikut p x = T x i i i= 0 6

4 Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.0 No. (06) Hal. 4-0 dega koefisie i diberika oleh + = f x T x + i k i k k = Teorema. Jika f ( x ) adalah sebarag fugsi di dalam iterval [,] koefisie, j = 0,,, didefiisika dega j = f x T x j k j k k = 0 = Maka formula aproksimasi fugsi f ( x ) k+ j k+ f os os k = 0 f( x) T k k ( x) k = 0 adalah eksak utuk x sama dega ke semua zeroes T ( x ). 0 da jika 3. PEMBAHASAN Tijau kembali persamaa gelombag pada (), yaitu u u u + = 0 t y dega salah satu kelas dari solusi () yag direpresetasika oleh gelombag yag merambat ke kaa diberika oleh ( ω ± si) ( ω + ± si) i t kx ky i t kx ky u = e + Re Jika variabel ( yt, ) dibuat tetap, maka salah satu syarat batas orde satu + ik u = 0 x= L (6) aka meyebabka gelombag diteruska pada batas x= L da semua gelombag (3) tidak meghasilka gelombag patul, yaitu R = 0. Pada kasus yag umum, tidak mugki medesai syarat batas sedemikia sehigga patula tidak terjadi, sehigga syarat batas yag mugki dikotruksi adalah syarat batas yag mereduksi sebayak mugki sejumlah patula yag terjadi. Oleh karea itu, aka diari da ditaksir syarat batas pada (6) sedemikia sehigga koefisie patul dapat dibuat semiim mugki atau dega kata lai amplitudo gelombag patul medekati ol. 7

5 Mohammad Mahfuzh Shiddiq - Poliomial Chebyshev pada Syarat Batas Serap Gelombag Akuatik Dua Dimesi Ambil simbol syarat batas pada (6) yag diberika dega + ik = + ik si (7) Jika megguaka aproksimasi poliomial Chebyshev derajat ol utuk fugsi akar pagkat dua yaitu x = maka diperoleh ik si + = + ik dega megigat bahwa ik = i ω berkaita dega t hampira pertama syarat batas serap + u = 0 t sehigga didapatka (8) Selajutya aka ditetuka koefisie patul dari syarat batas serap (8) dega mesubstitusika ke (3) sehigga diperoleh i( ωt kx ± ky si) i( ωt+ kx ± ky si) ( ) i( ωt kx ± ky si) i( ωt+ kx ± ky si) ( e Re ) t i( ωt kx ± ky si) i( ωt+ kx ± ky si) + u e Re x t = = ik ( e + Re ) + iω i( ωt kx ± ky si) i( ωt+ kx ± ky si) ( e + Re ) Kedua ruas dibagi dega ik da didapatka R = = R + ( ) (9) Syarat batas serap (8) dapat diketahui bahwa bekerja haya pada kasus satu dimesi. Jadi aka ditetuka lagi syarat batas hampira dega megguaka derajat yag lebih tiggi. Jika ditijau kembali aproksimasi poliomial Chebyshev derajat satu utuk fugsi yaitu x = x maka dapat dilihat bahwa + ik si = + ik ( si ) 0 = ik 0.54ik si 0 = ik 0.939k k si 8

6 Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.0 No. (06) Hal. 4-0 Diketahui bahwa ik, t da y k da, k si berturut-turut berkaita dega t sehigga meghasilka hampira kedua syarat batas serap u 0 = xt t y (0) Dega mesubtitusi persamaa (0) ke dalam persamaa (3) diperoleh rumusa koefisie patul sebagai berikut R si = = R si ( ) () Jika ditijau kembali aproksimasi poliomial Chebyshev derajat dua utuk fugsi akar kuadrat, yaitu da diperoleh ( ) x = x x = x 0.786x 4 + ik si = + ik ( si 0.786si ) 4 0 = + ik ik si 0.786ik si = k ik ( ik ) k si ( ik ) k si Dega ara yag serupa diperoleh hampira ketiga syarat batas serap u = t t t y t y () da koefisie patul mempuyai rumusa sebagai berikut R si = = R si 3 ( ) (3) Nilai dari koefisie patul utuk aproksimasi poliomial Chebyshev derajat = 0,, pada sebagia sudut dapat dilihat pada tabel sebagai berikut Tabel. Koefisie Patul dega poliomial Chebyshev 0 6 ( ) R R ( ) R ( ) 4 3 9

7 Mohammad Mahfuzh Shiddiq - Poliomial Chebyshev pada Syarat Batas Serap Gelombag Akuatik Dua Dimesi Sedagka ilai koefisie dari hampira syarat batas serap dega peaksir Padé [9] dapat dilihat pada tabel sebagai berikut Tabel. Koefisie Patul dega peaksir Padé 0 6 ( ) R R ( ) R ( ) KESIMPULAN Berdasarka tabel diperoleh rata-rata terkeil dari ilai koefisie patul terjadi pada hampira ketiga syarat batas serap yaitu dega megguaka poliomial Chebyshev derajat. Sedagka jika dibadigka dega megguaka peaksir Padé pada tabel, hampira dega megguaka poliomial Chebyshev derajat dua tetap memiliki rata-rata terkeil. 5. DAFTAR RUJUKAN [] Bruer H da Ha H. 04. Artifiial Boudary Coditio ad Fiite Differee Approximatios for A Time-Fratioal Wave Equatioo o A two-dimesioal ubouded spatial domai. Joural of Computatioal Physis,76: [] Higdo R Numerial absorbig boudary oditios for wave equatio. Math. Comp [3] Hu, J., da Jia X. 06. Numerial Modelig of Seismi Wave Usig Frequey-Adaptive Meshes. Joural of Applied Geophysis. 3:4-53 [4] Li X da Yu X. 05. A fiite differee method for effetive treatmet of mild-slope wave equatio subjet to o-refletig boudary oditios. Applied Oea Researh, 53: [5] Mousavi, M. R. Karimi, M. da Jamshidi, A. 06. Probability Distributio of Aousti Satterig from Slightly Rough Sea Surfae. Oea Egieerig, : [6] Maso J.C da Hadsomb D. 00. Chebyshev Polyomials. A CRC Press Compay. Florida [7] Shiddiq, M. Mahfuzh. 0. Syarat batas serap pada gelombag akustik dua dimesi. Jural Matematika Muri da Terapa Epsilo. 05 () [8] Shiddiq, M. Mahfuzh. 03. Numerial solutio of absorbig boudary oditios o two dimesioal aousti wave. Jural Matematika Muri da Terapa Epsilo. 07 () [9] Shiddiq, M. 05. Numerial Solutio of Absorbig Boudary Coditio i Padé Approximatio. The 05 Iteratioal Coferee o Mathematis, Its Appliatio, ad Mathematis Eduatio. Yogyakarta. [0] Rowley C ad Coloius T Disretely orefletig boudary oditio for liear hyperboli system. J. Comput. Phys