BAB II PROGRAM LINEAR

Transkripsi

1 BAB II PROGRAM LINEAR A RINGKASAN MATERI. Pengertian Program linear adalah suatu permasalahan dalam matematika dengan tujuan untuk mengoptimalkan fungsi obektif ang berbentuk linear dengan kendala/batasan berupa pertidaksamaan linear.. Persamaan Garis Lurus persamaan garis bergradien m dan melalui titik (, ) adalah : = m( ) persamaan garis ang melalui titik-titik (, ) dan (, ) adalah : = ( ) persamaan garis ang melalui titik (b, 0) dan (0, a) adalah : a + b = ab 3. Sistem Persamaan Linear dua Peubah Penelesaian dari persamaan linear dua peubah dapat dilakukan dengan beberapa cara, diantarana : Kombinasi elimenasi dan substitusi Determinan matriks 4. Pertidaksamaan Linear Daerah penelesaian pertidaksamaan linear dua peubah a + b c atau a + b c dapat dicari dengan cara : Gambar garis a + b = c, sehingga koordinat Cartesius terbagi menjadi dua bagian. Uji dengan sebuah titik diluar garis untuk memastikan daerah penelesaian. Bila titik tersebut memenuhi pertidaksamaan ang diminta, maka disitulah daerah penelesaian dan bila tidak, maka sebalikna. 5. Langkah-langkah menelesaikan permasalahan dalam program linear Terjemahkan permasalahan ke dalam bahasa matematika (model matematika) a. Misalna peubah dalam dan b. Tentukan fungsi obektif dan kendala- kendalana Menggambar daerah kendala pada bidang Cartesius Tentukan titik-titik sudut/pojok dari himpunan penelesain dari kendala Substitusikan titik titik pojok tersebut ke fungsi obektif untuk mendapatkan nilai optimum ang diinginkan (maksimum atau minimum) B SOAL DAN PEMBAHASAN. Tunjukanlah daerah himpunan penelesaian dari pertidaksamaan 0, 0, + 4 dan + 6. Buat garis + = 4 untuk = 0 maka 0 + = 4 =, sehingga diperoleh titik (0, ) untuk = 0 maka + 0 = 4 = 4, sehingga diperoleh titik (4, 0) 6 Buat garis + = 6 untuk = 0 maka 0 + = 6 = 6, sehingga diperoleh titik (0, 6) untuk = 0 maka + 0 = 6 = 3, sehingga diperoleh titik (3, 0) Gambarkan garis ang diperoleh dalam bidang Cartesius 3 4 Untuk garis + = 4 pilih titik P(0, 0) sebagai titik uji maka + = 4 + = 6 diperoleh 0 +(0) = 0 4 (benar), maka titik P terletak pada daerah himpunan penelesaian dari + 4

2 Untuk garis + = 6 pilih titik P(0,0) sebagai titik uji dan diperoleh (0)+ 0 = 0 6 (benar), maka titik P terletak pada daerah himpunan penelesaian dari + 6 Jadi, daerah himpunan penelesaianna merupakan daerah ang diarsir.. Ebtanas 997 Daerah ang diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan a. 0, 6 +, b. 0, 6 +, c. 0, 6 +, d. 0, + 6, e. 0, + 6, Jawaban: a O 4 Pertidaksamaan ang sesuai dengan daerah ang diarsir adalah batas garis = 0, karena daerah penelesaian sebelah kanan maka pertidaksamaanna 0 batas garis melalui titik (0, ) dan (, 0) adalah + = 4 atau 6 + =, karena daerah penelesaian sebelah kiri maka pertidaksamaanna 6 + batas garis melalui titik (0, 5) dan (4, 0) adalah = 0, karena daerah penelesaian sebelah kanan maka pertidaksamaanna Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerah arsiran adalah 0, 6 + dan UAN 00 Tentukan nilai minimum fungsi objektif + 3 ang memenuhi pertidaksamaan 3 +, +, +, 0 adalah... a. b. 9 c. d. e. 4 Jawaban: a Gambarkan daerah himpunan penelesaian pada koordinat Cartesius. Himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan 3 +, +, +, 0 ditunjukkan oleh daerah ang diarsir. Tentukan titik-titik pojokna. 3 + = + = = 4 = = + = + = = 3 Koordinat titik potongna (, 3) Jadi, Koordinat titik pojokna adalah (0, ), (0, 6), (, 3), dan (, 0) Tentukan nilai fungsi objektifna. (, ) z = + 3 (0, ) = 4 (0, 6) 0 + = (, 3) + 9 = (, 0) + 3(0) = Jadi, nilai minimumna adalah + = 4. Tempat parkir seluas 600 m hana mampu menampung 5 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan 6 m dan bus 4 m. Biaa parkir tiap mobil Rp. 500,- dan bus Rp. 750,-. Pendapatan maksimum dari tempat parkir tersebut adalah. a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 e. Rp ,00 Jawaban: b Misalna parkir tersebut terdapat mobil dan bus, maka diperoleh model : Fungsi objektif : maksimum z = Dengan kendala (batasan) : + 5 ; ; 0 ; (, 3) + = O =

3 Gambarkan daerah himpunan penelesaian pada koordinat Cartesius = = 5 Tentukan titik-titik pojokna. + = = = = 600 = 5 = 4 = = 5 = 44 (44, 4) Koordinat titik pojokna adalah titik-titik (0, 0), (5, 0), (0, 5), dan (44, 4) Tentukan nilai fungsi objektifna. (, ) z = (0, 0) 500 (0) (0) = 0 (5, 0) 500 (5) (0) =.900 (44, 4) 500 (44) (4) = (0, 5) 500 (0) (5) =.750 Jadi, pendapatan maksimum dari parkir tersebut adalah Rp ,00 dicapai saat 44 mobil dan 4 bus parkir. C LATIHAN SOAL. Daerah ang memenuhi sistem pertidaksamaan ,,, dan 0, berbentuk. a. trapesium d. jajar genjang b. segitiga e. titik c. belah ketupat. Ebtanas 99 Daerah ang diarsir pada gambar merupakan grafik himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan. C(0, 4) 0 B(3, 6) A(7, 0) a. 3 +, + 3, 0, 0 b. + 3, 3, 0, 0 c. 3 +, + 3, 0, 0 d. 3, + 3, 0, 0 e. 3, 3, 0, 0 3. Ebtanas 000 Himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan 5 + 0, +, ditunjukkan oleh daerah. a. I b. II c. III d. IV e. V 0 I IV II III V 0 4 3

4 4. UN 00 Daerah ang diarsir pada gambar merupakan himpunan penelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f(, ) = adalah. a. b. 94 c. 0 d. 06 e UAN Nilai maksimum dari bentuk objektif k = ang memenuhi sistem pertidaksamaan 0, 0, +, + 0, dengan, R adalah... a. 36 d. 7 b. 3 e. 4 c UAN 00 Nilai maksimum fungsi obektif 4 + pada himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan + 4, + 9, + 3, 3 adalah. a. 6 d. 36 b. 4 e. 4 c Dalam himpunan penelesaian pertidaksamaan,, + 6, + 3 5, nilai minimum dari sama dengan... a. 9 d. b. 0 e. 3 c.. Ebtanas 999 Pedagang teh mempunai lemari ang hana cukup ditempati untuk 40 boks teh. Teh A dibeli dengan harga Rp6.000,00 setiap boks dan teh B dibeli dengan harga.000,00 setiap boks. Jika pedagang tersebut mempunai modal Rp ,00 untuk membeli boks teh A dan boks teh B,maka sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah. a , + 40, 0, 0 b , + 40, 0, 0 c , + 40, 0, 0 d , + 40, 0, 0 e , + 40, 0, 0 9. Suatu perusahaan cat menediakan campuran A dan B untuk dibuat satu jenis cat. Campuran A mengandung 400 gr bahan I dan 600 gram bahan II. Campuran B mengandung 00 gr bahan I dan 00 gr bahan II. Cat tersebut berkualitas baik bila mengandung minimal 4 kg bahan I dan kg bahan II. Jika harga tiap kg campuran A Rp ,- dan B Rp ,- maka berapa banakna campuran A dan B agar biaa ang dikeluarkan minimum. a. 4 kg campuran A dan kg B b. 4 kg campuran A dan kg B c. kg campuran A dan 4 kg B d. kg campuran A dan kg B e. kg campuran A dan kg B 4

5 0. UN 006 Seorang tukang roti mempunai bahan A, B, dan C masing-masing sebanak 60 kg, 0 kg, dan 50 kg. Roti I memerlukan kg bahan A, kg bahan B, dan kg bahan C. Roti II memerlukan kg bahan A, kg bahan B, dan 3 kg bahan C. Sebuah roti I dijual dengan harga Rp ,00 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp ,00. Pendapatan maksimum ang dapat diperoleh tukang roti tersebut adalah. a. Rp ,00 d. Rp ,00 b. Rp ,00 e. Rp ,00 c. Rp ,00. UN 007 Luas daerah parkir.760 m. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m dan mobil besar 0 m. Daa tampung maksimum hana 00 kendaraan, biaa parker mobil kecil Rp.000,00/jam dan mobil besar Rp.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan ang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah. a. Rp ,00 d. Rp ,00 b. Rp ,00 e. Rp ,00 c. Rp ,00. UN 00 Seorang pembuat kue mempunai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 0 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 0 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum ang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah. a. Rp ,00 d. Rp ,00 b. Rp ,00 e. Rp00.000,00 c. Rp ,00 3. UN 00 Untuk menambah penghasilan seorang ibu setiap harina memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalna Rp00,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalna Rp300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal ang tersedia setiap harina adalah Rp00.000,00 dan paling banak hana dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar ang dapat dicapai ibu tersebut dari modalna adalah. a. 30% d. 36% b. 3% e. 40 % c. 34% 5