diunduh dari

Transkripsi

1 diunduh dari

2

3 Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit PT Visindo Media Persada Mtgcvkh"Ogpi i wpcmcp"ocvgo cvkmc Untuk SMK/MAK Kelas XI Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan Penulis : Heri Retnawati Harnaeti Ilustrasi, Tata Letak : Tim Visindo Media Persada Perancang Kulit : Tim Visindo Media Persada Ukuran Buku : 7,6 5 cm 50.7 RET k RETNAWATI, Heri Kreatif menggunakan matematika : untuk kelas XI Sekolah Menengah Kejuruan/Madrasah Aliah Kejuruan Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan/ Heri Retnawati, Harnaeti. -- Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 008. vi, 6 hlm. : ilus.; 5 Cm. Bibliografi : hlm.6 Indeks ISBN Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II. Harnaeti Diterbitkan oleh Pusat Perbukuuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 008 Diperbanak oleh... kk

4 Mcvc"Uco dwvcp Puji sukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-na, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/ penerbit untuk disebarluaskan kepada masarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran ang memenuhi sarat kelaakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 008. Kami menampaikan penghargaan ang setinggi-tinggina kepada para penulis/penerbit ang telah berkenan mengalihkan hak cipta karana kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran ang telah dialihkan hak ciptana kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masarakat. Namun, untuk penggandaan ang bersifat komersial harga penjualanna harus memenuhi ketentuan ang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia ang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaikbaikna. Kami menadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutuna. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juli 008 Kepala Pusat Perbukuan kkk

5 Mcvc"Rgpi cpvct Matematika merupakan ilmu ang sangat berkaitan dengan kehidupan. Sebagai ibu dari ilmu pengetahuan, matematika merupakan ilmu dasar ang dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam bidang ilmu ang lain. Misalna, Fisika, Kimia, Biologi, Akuntansi, Ekonomi, Sosial, dan Astronomi. Melihat betapa pentingna matematika maka perlu adana peningkatan kualitas pendidikan matematika di sekolah agar membentuk manusia ang memiliki daa nalar dan data pikir ang kreatif dan cerdas dalam memecahkan masalah, serta mampu mengomunikasikan gagasan-gagasanna. Pendidikan matematika harus dapat membantu Anda menongsong masa depan dengan lebih baik. Atas dasar inilah, kami menusun buku Kreatif Menggunakan Matematika ini ke hadapan Anda, khususna para siswa sekolah menengah kejuruan. Buku ini menghadirkan aspek konstektual bagi Anda dengan menggunakan pemecahan masalah sebagai bagian dari pembelajaran untuk memberikan kesempatan kepada Anda membangun pengetahuan dan mengembangkan potensi diri. Materi pelajaran matematika dalam buku ini bertujuan membekali Anda dengan pengetahuan dan sejumlah kemampuan untuk memasuki jenjang ang lebih tinggi, serta mengembangkan ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, menempatkan Kreatif Menggunakan Matematika sebagai teori dalam kelas akan membantu pencapaian tujuan pembelajaran. Materi-materi bab di dalam buku ini disesuaikan dengan perkembangan ilmu dan teknologi terkini. Buku ini juga diajikan dengan bahasa ang mudah dipahami dan komunikatif sehingga mempermudah siswa dalam mempelajari buku ini. Kami menadari bahwa penerbitan buku ini tidak akan terlaksana dengan baik tanpa dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, dengan hati ang tulus, kami ucapkan terima kasih atas dukungan dan bantuan ang diberikan. Semoga buku ini dapat memberi kontribusi bagi perkembangan dan kemajuan pendidikan di Indonesia. Tim Penusun kx

6 Fchvct "Kuk Kata Sambutan iii Kata Pengantar iv Bab Program Linear... A. Grafik Himpunan Penelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear... 3 B. Model Matematika dari Soal Cerita... 0 C. Menentukan Nilai Optimum dari Fungsi Objektif pada Sistem Pertidaksamaan Linear... 5 D. Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik... 3 Evaluasi Materi Bab... 3 Bab Trigonometri A. Perbandingan Trigonometri B. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut ang Berelasi C. Menggunakan Tabel dan Kalkulator untuk Mencari Nilai Perbandingan Trigonometri... 6 D. Identitas Trigonometri E. Mengkonversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub.. 7 F. Aturan Sinus dan Cosinus G. Luas Segitiga Evaluasi Materi Bab... 9 Evaluasi Semester Tugas Observasi Semester x

7 Bab 3 Barisan dan Deret A. Barisan dan Deret Bilangan B. Barisan dan Deret Aritmetika... C. Barisan dan Deret Geometri... D. Pemecahan Masalah dengan Model Berbentuk Barisan dan Deret... 3 Evaluasi Materi Bab Evaluasi Semester Tugas Observasi Semester Evaluasi Akhir Tahun Kunci Jawaban... 5 Daftar Istilah Indeks Lampiran Daftar Simbol... 6 Daftar Pustaka... 6 xk

8 Bab Program Linear Pada bab ini, Anda diajak menelesaikan masalah program linear dengan cara membuat gra k himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear, menentukan model matematika dari soal cerita, menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear, dan menerapkan garis selidik. Program linear merupakan salah satu ilmu matematika ang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Program linear perlu dipelajari di SMK karena dalam kehidupan sehari-hari, Anda sering menemukan berbagai persoalan ang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum (masalah optimasi) dengan sumber terbatas. Masalah-masalah tersebut sering dijumpai dalam bidang industri, jasa, koperasi, juga dalam bidang perdagangan. Salah satuna adalah permasalahan berikut. Rina, seorang lulusan SMK Tata Boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin makanan tradisional asal Jawa Barat, aitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 500 gram tepung beras ketan dan 300 gram gula. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 400 gram tepung beras ketan dan 00 gram gula. Rina memiliki persediaan 5 kg tepung beras ketan dan 8 kg gula. Keuntungan dari satu adonan kue lupis Rp30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp5.000,00. Bagaimanakah model matematika dari permasalahan program linear tersebut agar Rina mendapatkan keuntungan ang sebesar-besarna? Sumber: dianekawh.blogspot.com om A. Grafik Himpunan Penelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear B. Model Matematika dari Soal Cerita C. Menentukan Nilai Optimum dari Fungsi Objektif pada Sistem Pertidaksamaan Linear D. Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik Program Linear

9 Peta Konsep Materi mengenai Program Linear dapat digambarkan sebagai berikut. Program Linear untuk mencari Nilai Optimum Dari Fungsi Objektif diselesaikan dengan Uji Titik Pojok Metode Garis Selidik dihasilkan Nilai Maksimum Nilai Minimum Soal Pramat ramateriate Kerjakanlah soal-soal berikut sebelum Anda mempelajari bab ini.. Gambarlah pertidaksamaan berikut pada sistem koordinat Cartesius. a. x + < b. x x 3 >. Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan berikut dalam bentuk grafik. a. x > b. 5x + > 9 c. 3x < 8 d. x x +4 > 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

10 A Grafik Himpunan Penelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Pada materi program linear, Anda akan mempelajari sistem persamaan linear seperti contoh berikut. ax + b r cx + d s x 0 0 Namun, sebelum Anda mempelajari program linear sebaikna Anda terlebih dahulu mempelajari cara membuat grafik himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Kata Kunci gra k pertidaksamaan linear daerah himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear. Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pertidaksamaan ang di dalamna memuat dua variabel ang masing-masing variabel berderajat satu dan tidak terjadi perkalian antarvariabelna. Bentuk-bentuk pertidaksamaan linear dua peubah dengan a, b, c ŒR serta x dan peubah adalah: ax + b < c ax + b c ax + b > c ax + b c Himpunan penelesaian adalah himpunan semua titik (x, ) pada sistem koordinat Cartesius ang memenuhi pertidaksamaan linear dua peubah. Misalna, untuk menggambar daerah ang memenuhi pertidaksamaan linear ax + b c maka terlebih dahulu gambarlah garis ax + b = c ang c memotong sumbu-x x di (, 0) dan memotong sumbu- di a c (0, ). Kemudian, ambil satu titik lain di luar garis. Jika titik b ang diambil memenuhi ax + b c maka daerah ang diarsir adalah daerah di mana titik tersebut berada. Daerah arsiran tersebut merupakan himpunan penelesaianna. Sebalikna, jika titik ang diambil tidak memenuhi ax + b c maka daerah ang diarsir adalah daerah ang tidak memuat titik tersebut. Program Linear 3

11 Apabila pertidaksamaanna menggunakan tanda > atau < maka garis digambar putus-putus. Titik-titik ang berada pada garis tersebut bukan merupakan penelesaianna. Apabila pertidaksamaanna menggunakan tanda atau maka garis digambar tidak putus-putus. Titik-titik ang berada pada garis tersebut merupakan penelesaianna. Agar Anda lebih memahami penjelasan tersebut, perhatikanlah cara penelesaian soal berikut. Contoh Soal. x + 3 = 6 O Daerah penelesaian (0, 3) O Bukan daerah penelesaian (0, ) Bukan daerah penelesaian (3, 0) Daerah penelesaian x (4, 0) x 3x + 4 = Tentukanlah grafik himpunan penelesaian dari pertidaksamaan linear, jika x dan bilangan real. a. x b. 3x + 4 Jawab: a. Grafik x Langkah-langkah untuk membuat grafik adalah sebagai berikut. ) Menentukan batas daerahna, aitu gambarlah garis dengan persamaan x + 3 = 6 pada bidang Cartesius. x = 0 maka = sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu- adalah (0, ) = 0 maka x = 3 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu-x adalah (3, 0) ) Menentukan uji sebarang titik, aitu menentukan daerah ang memenuhi x Ambil sebarang titik ang tidak terletak pada garis x + 3 = 6, misalna titik O(0, 0) maka diperoleh Jadi, titik O(0, 0) terletak pada daerah himpunan penelesaian. Dengan demikian, daerah ang diarsir pada gambar di samping menun jukkan himpunan penelesaian x b. Grafik 3x + 4 Langkah-langkah untuk membuat grafik adalah sebagai berikut. ) Menentukan batas daerahna, aitu gambarlah garis dengan persamaan 3x + 4 pada bidang Cartesius. x = 0 maka = 3 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu- adalah (0, 3) = 0 maka x = 4 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu-x adalah (4, 0) ) Menentukan uji sebarang titik, aitu menentukan daerah ang memenuhi 3x + 4. Ambil sebarang titik ang tidak terletak pada garis 3x + 4 =, misalna titik O(0, 0) maka diperoleh (salah) 4 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

12 Jadi, titik O(0, 0) tidak terletak pada daerah himpunan penelesaian. Daerah ang diarsir pada gambar menunjukkan himpunan penelesaian 3x + 4. Kegiatan Siswa. Buatlah kelompok ang beranggotakan empat orang siswa. Setiap anggota kelompok menentukan daerah penelesaian dan anggota daerah penelesaian dari salah satu soal-soal berikut.. 4x x x + 3 <. 4x x x + 3 > Kemukakan hasil ang telah Anda peroleh di depan kelas. Kesimpulan apa ang dapat diambil?. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear adalah sistem ang komponen-komponenna terdiri atas sejumlah pertidaksamaan linear. Penelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan penelesaian dari setiap pertidaksamaan. Jika Anda memperoleh penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear, penelesaian tersebut merupakan pe nelesaian untuk satu sistem, bukan penelesaian masing-masing pertidaksamaan. Contoh Soal. Soal Pilihan Soal Terbuka Pertidaksamaan x 3 memiliki daerah himpunan penelesaian seperti pada gra k Cartesius berikut. x O 6 4 x 3 = Titik O(0, 0) merupakan salah satu anggota daerah himpunan penelesaian. Tentukanlah titik-titik lain ang juga merupakan anggota daerah himpunan penelesaian. Gambarlah grafik himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut dengan x dan Œ. a. 3x + 6 x 0 0 b. x + 6 x x 0 0 Jawab: a. Langkah pertama menggambar grafik himpunan penelesaian adalah menentukan daerah himpunan pene lesaian untuk masing-masing pertidaksamaan, kemudian tentu kan daerah irisanna. x + 6 Titik potong garis 3x + = 6 dengan sumbu-x dan sumbu- adalah (0, 3) dan (, 0). Program Linear 5

13 3 O 3x 6 (0, 3) x 3x = 6 x O x x O x x 0 x x x 0 x x x 6, x 0, 3x 6, x x 6, x 3x 6, x 0, 0 (0, 3) x 3x = 6 b x x + 6, x + 3 9, x 0, 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

14 x x + 6 (0, 6) 0 (3, 0) 9 x + = 6 x x (0, 3) x + 3 = 9 (9, 0) x 0 x 0 0 x x x + 6, x + 3 9, x 0, 9 x x Jelaja ah Matematika atika Simbol > dan < untuk "lebih besar dari" dan "lebih kecil dari" telah ada sejak kara Thomas Harriot ang berjudul Artist Analticae Praxis dipublikasikan pada tahun 63. Simbol ang diperkenalkan Harriot merupakan simbol ang paling umum digunakan. Namun, pada abad ke 8, Oughtered juga mengembangkan beberapa variasi simbol pertidaksamaan. Sumber: (0, 3) (0, 6) x + = 6 x + 3 = 9 (3, 0) (9, 0) x Program Linear 7

15 kan sistem pertidaksamaan linear dari suatu daerah himpunan penelesaian ang diketahui? Anda dapat melakukan langkahlangkah seperti pada contoh berikut untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear. Contoh Soal.3 Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penelesaian ang ditunjukkan oleh gambar di samping. 3 O 3 x Jawab: x 0 dan 0 3x + = 6. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0). Substitusikan titik O ke persamaan 3x + = 6 sehingga diperoleh (3 0) + ( 0)6 = 0 < 6. Titik (0, 0) tidak terletak di daerah himpunan penelesaian sehingga daerah himpunan penelesaian ang memenuhi adalah 3x + 6. x + 3 = 6. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0). Substitusikan titik O ke persamaan x + 3 = 6 sehingga diperoleh ( 0) + (3 0) 0 < 6. Titik (0, 0) terletak di daerah penelesaian sehingga daerah himpunan penelesaian ang memenuhi adalah x Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penelesaian grafik tersebut adalah 3x + 6 x x 0 0 Contoh Soal.4 Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penelesaian ang ditunjukkan oleh gambar di samping. 6 3 O 3 6 x Jawab: x 0 dan 0. 3x + 6 = 8. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0), kemudian substitusikan titik O ke persamaan 3x + 6 = 8 sehingga diperoleh (3, 0) + (6, 0) = 0 < 8. Titik (0, 0) terletak didaerah penelesain sehingga daerah himpunan penelesaian ang memenuhi adalah 3x Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

16 5x + 3 = 5. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O(0, 0), kemudian substitusikan titik O ke persamaan 5x + 3 = 5 sehingga diperoleh (5, 0) + (3, 0) = 0 5. Titik (0, 0) terletak di daerah penelesaian sehingga daerah himpunan penelesaian ang memenuhi adalah 5x Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penelesaian grafik tersebut adalah 3x x x 0 0 Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Tentukan daerah himpunan penelesaian dari sistem per tidak samaan berikut. a. x + 3 x + 4 x 0 0 b. x + 3 x 0 0. Tentukan sistem pertidaksamaan ang dinatakan oleh daerah berarsir pada grafik berikut. a. 8 c. x x d. x x x 4 b. 6 x e. x + 6 x x Program Linear 9

17 c. d x 4 6 x B Model Matematika dari Soal Cerita Kata Kunc nci model matematika fungsi kendala Pada Subbab A, Anda telah mempelajari grafik penelesaian sistem persamaan linear. Pada Subbab B, Anda akan menggunakan materi tersebut untuk menerjemahkan permasalahan seharihari ke dalam bahasa matematika. Permasalahan sehari-hari akan lebih mudah diselesaikan jika telah dibuat ke dalam model matematika.. Model Matematika Model matematika merupakan penerjemahan permasalahan sehari-hari ke dalam kalimat matematika. Berikut ini merupakan contoh masalah sehari-hari ang dibuat model matematikana. Contoh Soal.5 Sumber: bangbangrattan.com Gambar. Produksi kursi dapat dibuat model matematikana. Pabrik A memproduksi dua jenis kursi, aitu kursi rotan dan kursi jati. Biaa produksi untuk dua set kursi rotan dan tiga set kursi jati adalah Rp ,00. Pabrik B ang merupakan cabang dari pabrik A memproduksi tiga set kursi rotan dan dua set kursi jati dengan biaa produksi Rp ,00. Buatlah model matematika untuk persoalan tersebut. Jawab: Jika biaa produksi satuan untuk kursi rotan adalah x dan biaa produksi satuan untuk kursi jati adalah maka Biaa produksi di pabrik A adalah x + 3 = Biaa produksi di pabrik B adalah 3x + = Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

18 Biaa produksi pembuatan kursi tidak mungkin bernilai negatif maka x 0 dan 0. Oleh karena itu, model matematika untuk persoalan tersebut adalah x + 3 = x + = x 0 0 Jela laj ah Matematika. Model Matematika Permasalahan Program Linear Pada umumna, model matematika pada program linear terdiri atas pertidaksamaan sebagai fungsi kendala dan sebuah fungsi objektif. Ciri khas model matematika pada program linear adalah selalu bertanda " " atau " " dengan nilai peubah x dan ang selalu positif. Contoh Soal.6 Rina, seorang lulusan SMK Tata Boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin makanan tradisional, aitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 500 gram tepung beras ketan dan 300 gram gula, sedangkan untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 400 gram tepung beras ketan dan 00 gram gula. Rina memiliki persediaan 5 kg tepung beras ketan dan 8 kg gula. Keuntungan dari satu adonan kue lupis Rp30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp5.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan program linear tersebut agar Rina mendapatkan keuntungan ang sebesar-besarna. Jawab: Agar lebih mudah dalam membuat model matematika, masukkan informasi pada soal cerita ke dalam tabel berikut. Kue lupis Kue kelepon Persediaan Terigu 500 gram 400 gram gram Gula 300 gram 00 gram gram Keuntungan Rp30.000,00 Rp5.000,00 Sumber: upload.wikimedia.org Program linear (Linear Programming) merupakan matematika terapan ang baru berkembang pada awal abad ke- 0. Program linear dikembangkan oleh seorang ekonom bernama W. W. Leontief. Program linear dapat digunakan untuk mengkaji berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalna masalah industri, masalah transportasi, atau masalah diet bagi penderita penakit tertentu agar memperoleh kombinasi makanan sehingga diperoleh gizi terbaik. Sumber: Kalkulus dan Geometri Analisis, Purcell, 00 Buatlah pemisalan dari permasalahan tersebut. Misalkan, banakna adonan kue lupis = x dan banakna adonan kue kelepon =. x dan menunjukkan jumlah adonan kue sehingga x 0 dan 0. Oleh karena banakna terigu dan gula terbatas maka Anda dapat membuat kendalana sebagai berikut. 500x Æ 5x x Æ 3x + 80 Program Linear

19 Fungsi objektif merupakan fungsi keuntungan ang dapat diperoleh, aitu f(x, ) = x sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah 5x x + 80 x 0 0 dengan fungsi objektif f(x, ) = x Menggambar Grafik Kendala Sistem Pertidaksamaan Linear Kendala pada program linear terdiri atas beberapa pertidaksamaan linear. Jika Anda ingin menggambar grafik suatu kendala, berarti Anda harus menggambar grafik semua pertidaksamaan linear pada kendala tersebut. Agar Anda lebih memahami pernataan tersebut, perhatikan contoh berikut. Contoh Soal.7 Gambar. Produksi kaos olahraga dapat dibuat model matematikana. Adi, seorang lulusan SMK Tata Busana memiliki perusahaan konveksi ang membuat kemeja dan kaos olahraga. Untuk membuat satu kemeja, diperlukan m kain katun dan m kain wol. Untuk membuat kaos olahraga, diperlukan m kain katun dan 4 m kain wol. Persediaan kain wol ang dimiliki Adi adalah 36 m dan persediaan kain katun 40 m. Gambarlah kendala permasalahan tersebut. Jawab: Agar lebih mudah dalam membuat model matematika, buatlah tabel ang berisi informasi soal. Kain Kemeja (x ) Kaos ( ) Persediaan Katun 40 Wol 4 36 Misalkan, x adalah jumlah maksimum kemeja ang dapat dibuat dan adalah jumlah maksimum kaos ang dapat dibuat maka kendalana: x + 40 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

20 x Oleh karena jumlah kemeja dan kaos tidak mungkin bernilai negatif maka x 0 dan 0. Kendala tersebut dapat digambarkan dalam diagram Cartesius berikut ang langkah-langkahna telah dijelaskan pada Subbab A halaman 5. 0 x + = 40 9 x + 4 = x Tugas Siswa. Amatilah permasalahan sehari-hari di sekitar Anda. Pilihlah satu masalah ang berhubungan dengan program linear. Buatlah masalah tersebut menjadi soal program linear. Kemudian, buatlah model matematikana. Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Bagas membeli 5 kg pisang dan 7 kg rambutan. Bagas harus membaar Rp4.000,00. Sementara itu, Au membeli 3 kg buah pisang dan 6 kg buah rambutan. Au harus membaar Rp33.000,00. Jika harga kg buah pisang adalah x dan kg rambutan adalah rupiah, buatlah model matematika untuk masalah tersebut. Sumber: Sebuah tempat wisata memiliki tempat parkir ang luasna 76 m. Tempat parkir tersebut mampu menampung 0 kendaraan (sedan dan bus). Jika luas rata-rata sedan adalah 4 m dan bus 0 m, serta biaa parkir untuk sedan dan bus berturut-turut adalah Rp.000,00/jam dan Rp5.000,00/ jam, tentukan model matematika untuk permasalahan tersebut. 3. Seorang pengusaha topi akan membuat jenis topi ang terdiri atas dua warna kain, aitu warna kuning dan biru. Persediaan kain warna kuning 00 m dan kain warna biru 40 m. Topi jenis I memerlukan kain Program Linear 3

21 warna kuning 5 cm dan warna biru 5 cm. Topi jenis II memerlukan kain warna kuning 5 cm dan warna biru 30 cm. Keuntungan dari topi jenis I adalah Rp3.000,00 dan topi jenis II adalah Rp 5.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut agar diperoleh keuntungan ang sebesarbesarna. 4. Seorang pengrajin mebel tradisional memproduksi dua jenis barang, aitu jenis A dan jenis B. Jenis A memerlukan bahan baku kau sebanak 0 unit dan 0 unit bambu, sedangkan jenis B memerlukan bahan baku kau sebanak 40 unit dan bambu sebanak 0 unit. Persediaan kau sebanak 4 unit, sedangkan persediaan bambu sebanak 6 unit. Jika laba pembuatan barang jenis A Rp60.000,00 per unit dan jenis B adalah Rp50.000,00, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. 6. Suatu perusahaan kerajinan ukiran akan memproduksi meja dan kursi. Material ang diperlukan untuk meja dan kursi masing-masing adalah unit dan 8 unit. Jam kerja masing-masing adalah 6 jam dan jam. Material ang tersedia adalah 96 unit dan jam kerja ang tersedia adalah 7 jam. Gambarkan grafik penelesaian untuk permasalahan tersebut. 7. Seorang pengusaha di bidang tataboga membuat dua jenis kue. Kue jenis A memerlukan 450 gram tepung dan 60 gram mentega, sedangkan kue jenis B diperlukan 300 gram tepung dan 90 gram mentega. Jika tersedia 8 kilogram tepung dan 4 kilogram mentega, gambarkan kendala untuk permasalahan tersebut. 8. Arni lulusan SMK Tata Boga mendirikan perusahaan selai. Perusahaan tersebut membuat dua jenis selai, aitu selai A dan selai B. Selai A memerlukan nanas 0 kg dan 60 kg apel, sedangkan selai B memerlukan nanas 80 kg dan 60 kg apel. Persediaan nanas 40 kg dan apel 480 kg. Gambarlah grafik penelesaian untuk permasalahan tersebut. Sumber: 5. Perusahaan bahan bangunan memproduksi dua jenis barang, aitu barang jenis I dan II. Untuk jenis I memerlukan bahan baku pasir sebanak unit dan memerlukan waktu penelesaian 6 jam. Sementara itu, barang jenis II memerlukan bahan baku pasir sebanak 8 unit dan menghabiskan waktu jam. Bahan baku ang tersedia 96 unit dan waktu ang tersedia 7 jam. Laba dari barang jenis I adalah Rp50.000,00 per unit dan dari jenis II adalah Rp40.000,00 per unit. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. Sumber: 4 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

22 C Menentukan Nilai Optimum dari Fungsi Objektif pada Sistem Pertidaksamaan Linear Perlu Anda ketahui, inti persoalan dalam program linear adalah menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi. Dalam kehidupan sehari-hari, permasalahan nilai optimum salah satuna adalah masalah penentuan jumlah kursi penumpang terbanak agar keuntungan ang diperoleh sebesar-besarna, tentu saja dengan batas-batas tertentu. Fungsi ang ditentukan nilai optimumna disebut fungsi objektif, fungsi sasaran, atau fungsi tujuan. Nilai fungsi objektif ditentukan dengan mengganti variabel (biasana x dan ) dalam fungsi tersebut dengan koordinat titik-titik pada himpunan penelesaian. Nilai optimum ang diperoleh dari suatu permasalahan program linear dapat berupa nilai terbesar atau nilai terkecil. Model kendala ang menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi objektif. Titik ang membuat nilai fungsi menjadi optimum disebut titik optimum. Nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear dapat ditentukan dengan beberapa cara, di antarana metode uji titik pojok dan garis selidik. Pada subbab ini, Anda akan mempelajari penentuan nilai optimum menggunakan metode titik pojok. Pada metode uji titik pojok, penentuan nilai optimum fungsi dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi objektif f(x, ) = ax + b pada setiap titik pojok daerah himpunan penelesaianna. Bandingkan nilai-nilai f(x, ) = ax + b tersebut, kemudian tetapkan hal berikut. a. Nilai terbesar dari f(x, ) = ax + b, dan b. Nilai terkecil dari f(x, ) = ax + b. Kata Kunci titik optimum nilai optimum uji titik pojok Notes Nilai ang terbesar merupakan nilai maksimum dari fungsi objektif Nilai ang terkecil merupakan nilai minimum dari fungsi objektif Contoh Soal.8 Dengan uji titik pojok, tentukanlah nilai maksimum fungsi objektif f(x, ) = 00x pada himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan x + 8 ; x + 3 ; x 0 ; dan 0. Program Linear 5

23 Jawab: Langkah-langkah penelesaianna sebagai berikut. a. Tentukan grafik himpunan penelesaian pertidaksamaan x x + 8 ; x + 3 ; x 0 ; dan 0. Grafik himpunan penelesaianna ditunjukkan oleh gambar berikut. Jelaj lajah Matemati atika 8 4 C x + = 8 B x + 3 = O A 4 6 x Sumber: Finite Mathematics and Its Applications, 994 Untuk mendapatkan solusi optimum dari permasalahan program linear, dapat menggunakan metode simpleks. Metode ini dikembangkan oleh G. B. Dantzig. Metode simpleks diaplikasikan dan disempurnakan oleh Angkatan Udara Amerika Serikat untuk memecahkan persoalan transportasi udara. Sekarang, program linear dapat diselesaikan menggunakan program komputer ang terdapat pada software Lindo, Mathcad, atau Eureka the Solver. Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis, 994 Daerah OABC adalah daerah himpunan penelesaian pertidak- samaan tersebut. b. Tentukan koordinat titik-titik pojok dari daerah himpunan penelesaian. Dari keempat titik-titik O, A, B, dan C, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong garis x + = 8 dan x + 3 =. Anda dapat menggunakan cara eliminasi. x x + = 8 x x + 3 = = 4 = Substitusikan = ke salah satu persamaan, misalkan xx + = 8. x x + = 8 x x + = 8 x x = 6 x = 3 Dari perhitungan, diperoleh titik potongna, aitu titik B dengan koordinat (3,). Jadi, semua koordinat titik pojokna adalah O(0, 0), A(4, 0), B(3, ), dan C(0, 4). c. Tentukan nilai maksimum f(x, ) = 00x pada titik pojok daerah penelesaian. Substitusikanlah semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif. Diperoleh hasil pada tabel berikut. Titik Pojok (x, ) Fungsi Objektif f(x(, ) = Titik O(0, 0) f(0, 0) = 00(0) + 80(0) = 0 Titik A(4, 0) f(4, 0) = 00(4) + 80(0) = 400 Titik B(3, ) f(3, ) = 00(3) + 80() = 460 Titik C(0, 4) f(0, 4) = 00(0) + 80(4) = 30 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

24 Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi diperoleh pada titik B(3, ), aitu sebesar 460. Jadi, nilai maksimumna adalah 460 pada titik B(3,). Contoh Soal.9 Dengan menggunakan uji titik pojok, tentukan nilai minimum fungsi objektif f(x, ) =.000x0 x pada daerah himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan berikut. x + 5 x x + 9, jika diketahui x 0 dan 0 Jawab: Langkah-langkah penelesaianna sebagai berikut. a. Tentukan grafik himpunan penelesaian pertidaksamaan. x + 5, x + 3 9, 3x x + 9, x 0, 0 Grafik himpunan penelesaianna ditunjukkan oleh gambar berikut O P Q 3x + = 9 R 3 5 x + = 5 x + 3 = 9 Daerah ang diarsir adalah himpunan penelesaian pertidaksamaan tersebut. b. Tentukan koordinat titik-titik pojok dari daerah himpunan penelesaianna. Dari daerah penelesaian fungsi terdapat 4 titik pojok. Dari keempat titik tersebut, koordinat titik Q dan R belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik Q dan R. Q merupakan titik potong garis 3x x + = 9 dan garis x + = 5. Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, diperoleh hasil sebagai berikut. x + = 5 3x x + = 9 x = 4 x = S 9 x Solusi Cerdas Nilai maksimum dari f(x, ) = 0x x + 8 untuk nilai x dan ang memenuhi x + 0; x + 48; 0 x 0, dan 0 48 adalah... a. 408 b. 456 c. 464 d. 480 e. 488 Jawab: Buatlah gra k daerah himpunan penelesaian 48 x = 0 C 0 D A B O 0 = 48 4 x x + = 0 x + = 48 Titik B merupakan titik potong garis x x + = 48 dengan x = 0. Substitusikan x = 0 ke persamaan x x + = 48 x x + = 48 (0) + = = 48 = 8 Jadi, koordinat titik B (0, 8) Titik Pojok Daerah A(0, 0) B(0, 8) C(0, 48) D(0, 0) f(x, ) = 0x + 8 0(0) + 8 = 40 0(0) + 8 = 408 0(0) + 8 = 8 0(0) + 8 = 8 Jadi, nilai maksimum f(x, ) = 0x x + 8 adalah 408 Jawaban: a Soal SPMB, 005 Program Linear 7

25 Soal Pilihanihan Nilai maksimum dari x + 6 ang memenuhi x 0, 0, 3 x , 7x adalah... a. 5 d. 49 b. 5 e. 48 c. 50 Soal SPMB, 00 c Substitusikan x = ke dalam salah satu persamaan, misal- na ke persamaan x + = 5. x + = 5 = 5 x = 5 = 3 Jadi, koordinat titik Q adalah (, 3). R merupakan titik potong garis x + = 5 dan garis x + 3 = 9. Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, diperoleh hasil sebagai berikut. x + = 5 x + 3 = 9 = 4 = Substitusikan = ke dalam salah satu persamaan, misalna x + = 5. x + = 5 x = 5 x = 5 = 3 Jadi, koordinat titik R adalah (3, ). Dari perhitungan tersebut, diperoleh semua titik pojok daerah penelesaian, aitu P(0, 9), Q(, 3), R(3, ), S(9, 0). f(x, ) = 00x pada titik pojok daerah penelesaian. Substitusikanlah semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif f(x, ) =.000x Hasil perhitunganna sebagai berikut. Titik Pojok (x, ) Fungsi Objektif f(x(, ) =.000x P(0, 9) f(0, 9) =.000(0) +.500(9) = Q(, 3) f(, 3) =.000() +.500(3) = R(3, ) f(3, ) =.000(3) +.500() = S(9, 0) f(9, 0) =.000(9) +.500(0) = Dari tabel tersebut, nilai minimum fungsi aitu diperoleh pada titik R(3, ). Jadi, titik optimumna R(3, ) dengan nilai optimum Contoh Soal.0 Pengusaha kue bolu membuat dua jenis adonan kue bolu, aitu kue bolu A dan kue bolu B. Kue bolu A memerlukan 300 gram terigu dan 40 gram mentega. Kue bolu B memerlukan 00 gram terigu dan 8 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

26 60 gram mentega. Jika tersedia kilogram terigu dan 3 kilogram mentega, berapa banak adonan kue bolu A dan kue bolu B ang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanak-banakna? Jawab: Langkah-langkah pengerjaanna sebagai berikut. a. Buatlah model matematika. Anda dapat membuat tabel seperti berikut untuk memudahkan penerjemahan soal cerita ke dalam model matematika. Bahan ang Diperlukan Mentega A 300 gram 40 gram Jenis Kue Bolu B 00 gram 60 gram Bahan ang Tersedia.000 gram gram Misalkan, x adalah banakna adonan kue bolu A dan adalah banakna adonan kue bolu B. Dari tabel tersebut, dapat Anda buat model matematikana sebagai berikut. 300x Æ 3x x Æ x Banakna adonan kue tidak mungkin bernilai negatif maka nilai x 0 dan 0. Dari soal cerita, Anda diminta menentukan banak adonan kue bolu A dan kue bolu B agar diperoleh jumlah kue sebanak-banakna. Artina, Anda diminta mencari nilai maksimum dari fungsi objektif. Fungsi objektif permasalahan ini adalah f(x, ) = x + (jumlah kue bolu A dan kue bolu B ang dapat diperoleh). b. Buatlah grafik himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan dari model matematika ang telah dibuat dengan fungsi kendala berikut. 3x + 0 x x 0 0 Grafik penelesaianna ditunjukkan oleh gambar berikut. Sumber: blog.fatfreevegan.com Gambar.3 Program linear dapat digunakan pada industri kue bolu. 60 C 50 B 3x + = 0 x + 3 = 50 O A Daerah ang diarsir adalah daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan. x Program Linear 9

27 c. Menentukan koordinat titik pojok dari daerah penelesaian. Dari gambar daerah penelesaian tersebut, terdapat 4 titik pojok, aitu titik O, A, B, dan C. Dari keempat titik tersebut, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong garis 3x + = 0 dan garis x x + 3 = 50 sehingga eliminasilah kedua persamaan garis tersebut untuk memperoleh koordinat titik B. 3x = 0 3 9x 6 = 360 x 3 = 50 4x 6 = 300-5x x = 60 x = Substitusikan nilai x = ke salah satu persamaan tersebut, misalna 3x x + = 0. 3x x + = 0 3() + = = 0 = 84 = 4 Jadi, koordinat titik B adalah (, 4). Dengan demikian, semua koordinat titik pojokna adalah O(0, 0), A(40, 0), B(, 4), dan C(0, 50). d. Menentukan nilai fungsi objektif f(x, ) = x + pada titik pojok daerah penelesaian. Substitusikan semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif f(x, ) = x + sehingga diperoleh hasil seperti pada tabel berikut. Titik Pojok (x, ) Fungsi Objektif f(x(, ) = x + Titik O(0, 9) f(0, 0) = = 0 Titik A(40, 0) f(40, 0) = = 40 Titik B(, 4) f(, 4) = + 4 = 54 Titik C(0, 50) f(0, 50) = = 50 Dari tabel tersebut nilai maksimum fungsi objektif adalah 54 untuk nilai x = dan nilai = 4. Jadi, agar diperoleh jumlah kue bolu sebanak-banakna, harus dibuat adonan kue bolu A sebanak dan adonan kue bolu B sebanak 4. Tugas Siswa. Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari model matematika ang Anda buat pada Tugas Siswa.. Kemudian, kumpulkan tugas tersebut pada guru Anda. 0 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

28 Evaluasi Materi.3 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Gambar berikut adalah grafik himpunan penelesaian suatu sistem pertidaksamaan. 6 O E(0, 6) D(, 6) 0 5 C(5, 4) B(7, ) A(8, 0) x Pada daerah himpunan penelesaian tersebut, tentukan nilai maksimum dari fungsifungsi berikut ini. a. f(x, ) = x + b. f(x, ) = x x + c. f(x, ) = 500x Tentukan nilai maksimum fungsi objektif f(x, ) = 3x + dari sistem pertidaksamaan berikut. + x x x 30 x 0, 0 3. Tentukan titik optimum, aitu titik ang memberikan nilai minimum pada fungsi objektif f (x, ) = 3x x + pada daerah himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan x + 8 x 5 x 6 4. Dari sistem pertidaksamaan x + 4 x + 6 x 4 x 4 Tentukan titik optimum, aitu titik ang memberikan nilai minimum fungsi objektif f(x, ) = x x Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x, ) = x x + 3 pada sistem pertidaksamaan berikut. x + 3 x x x + 6 x Seorang pengusaha tas memiliki modal Rp ,00. Ia bermaksud memproduksi dua model tas, aitu model A dan model B. Biaa pembuatan untuk sebuah tas model A adalah Rp30.000,00 dan biaa pembuatan sebuah tas model B adalah Rp40.000,00. Keuntungan dari penjualan setiap tas model A adalah Rp5.000,00 dan dari tas model B adalah Rp8.000,00. Pengrajin tas tersebut hana akan membuat 5 tas karena tempat penimpanan terbatas. Tentukanlah besar keuntungan maksimum ang bisa diperoleh. Berapa banak tas model A dan B ang harus dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimum tersebut? Sumber: 7. Seorang pedagang pakaian mendapatkan keuntungan Rp.000,00 dari setiap penjualan kemeja dewasa ang hargana Rp0.000,00 dan mendapat keuntungan Rp750,00 untuk setiap penjualan kemeja anak ang hargana Rp8.000,00. Modal ang ia miliki seluruhna Program Linear

29 adalah Rp ,00, sedangkan kapasitas tokona adalah 450 kemeja. a. Berapa banakna kemeja dewasa dan kemeja anak ang harus dibeli agar pemilik toko tersebut mendapat untung ang sebesar-besarna? b. Berapa keuntungan maksimum dari penjualan pakaian tersebut? 8. Seorang pengrajin membuat sapu lidi dan sapu ijuk. Dalam satu hari paling banak ia membuat 8 buah (untuk kedua jenis). Biaa ang dikeluarkanna untuk membuat sebuah sapu lidi adalah Rp500,00 dan untuk sebuah sapu ijuk adalah Rp.000,00. Pengrajin tidak mengeluarkan uang lebih dari Rp3.000,00 untuk pembelian bahan dalam satu hari.tentukan keuntungan maksimum ang diperoleh jika untuk setiap sapu lidi ia memperoleh keuntungan Rp00,00 dan Rp300,00 untuk setiap sapu ijuk. Tentukan pula banakna sikat dan sapu ang harus dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimum tersebut. Rp ,00, sedangkan untuk menanam sauran diperlukan biaa Rp00.000,00 per ha. a. Buatlah model matematikana. b. Gambarlah grafik daerah himpunan penelesaianna. c. Tentukan fungsi objektifna. d. Berapa ha masing-masing tanah harus ditanam agar biaa ang dikeluarkan seminimal mungkin? 0. Seorang pengusaha menerima pesanan 00 stel pakaian seragam SD dan 0 stel pakaian seragam SMP. Pengusaha tersebut memiliki dua kelompok pekerja, aitu kelompok A dan kelompok B. Kelompok A setiap hari dapat menelesaikan 0 stel pakaian seragam SD dan 4 stel pakaian seragam SMP dengan ongkos Rp00.000,00 per hari. Adapun kelompok B setiap hari dapat menelesaikan 5 stel pakaian seragam SD dan stel pakaian seragam SMP, dengan ongkos Rp80.000,00 per hari. Jika kelompok A bekerja x hari dan kelompok B bekerja hari, tentukan: a. model matematika; b. grafik himpunan penelesaian; c. fungsi objektif; d. biaa ang seminimal mungkin. Sumber: farm.static.flickr.com 9. Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 8 ha. Ia merencanakan akan menanam padi seluas ha sampai dengan 6 ha, dan menanam saur-sauran seluas 3 ha sampai dengan 7 ha. Biaa penanaman padi per ha Sumber: farm.static.flickr.com Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

30 D Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik Selain dengan menggunakan uji titik pojok, nilai optimum juga dapat ditentukan dengan menggunakan garis selidik. Persamaan garis selidik dibentuk dari fungsi objektif. Jika fungsi objektif suatu program linear f(x(, ) = ax + b maka persamaan garis selidik ang digunakan adalah ax + b = ab, dengan ab Œ.. Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Objektif f(x, ) = ax + b Untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi objektif f(x, ) = ax + b menggunakan garis selidik, ikutilah langkahlangkah berikut dan perhatikan Gambar.4. a. Setelah diperoleh daerah himpunan penelesaian pada grafik Cartesius, bentuklah persamaan garis ax + b = ab ang memotong sumbu-x x di titik ( b, 0) dan memotong sumbu- di titik (0, a). b. Buatlah garis-garis ang sejajar dengan ax + b = ab. Temukan garis sejajar ang melalui suatu titik pojok daerah himpunan penelesaian dan terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Misalna, garis sejajar tersebut adalah ax + b = k, melalui titik pojok (p, q) ang terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Titik (p, q) tersebutlah ang merupakan titik maksimum. Nilai maksimum fungsi objektif tersebut adalah f(p(, q) = ap + bq. Kata Kunci garis selidik fungsi objektif nilai maksimum nilai minimum ax + b = k ax + b = ab (p, q) (0, a) a (b, 0) O b Gambar.4 Daerah himpunan penelesaian Contoh garis selidik pada suatu daerah himpunan penelesaian. x Contoh Soal.0 Suatu program linear dapat diterjemahkan ke dalam model matematika berikut. x x + 8 x 0 0 Tentukan titik maksimum fungsi objektif f = x +. Kemudian, tentukan nilai maksimumna. Program Linear 3

31 Search Ketik: com/007/08/utakatik-program-linear. html Website tersebut memuat informasi mengenai program linear. Jawab: Langkah-langkah penelesaian a. Gambar grafik himpunan penelesaian dari model matematika. 8 3 O C B A 4 x + = 8 x + 3 = 9 9 x Daerah OABC adalah daerah himpunan penelesaian pertidak- samaan. b. Carilah titik B. Titik B merupakan perpotongan garis x + 3 = 9 dengan garis x x + = 8. Dengan cara eliminasi dan substitusi, tentukanlah koordinat titik B. x + 3 = 9 x + 3 = 9 x + = x + 3 = 4-5x x = 5 x = 3 Substitusikanlah x = 3 ke salah satu persamaan. Misalna, ke persamaan x + 3 = 9. x + 3 = 9 3 = 9 x 3 = = 6 = Jadi, koordinat titik B(3, ). c. Gambar garis x + = sebagai garis selidik. Kemudian, gambarlah garis-garis ang sejajar dengan garis x + = sampai diperoleh garis ang melalui titik pojok terjauh dari titik O(0, 0). 8 x x + = 8 x + = C 3 O B A 4 Garis selidik x + = titik pojok terjauh dari O(0, 0) x + 3 = 9 9 x 4 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

32 Dari gambar tersebut, titik B(3, ) adalah titik terjauh ang dilalui oleh garis ang sejajar dengan garis selidik x + =. Oleh karena itu, titik B(3, ) adalah titik maksimum. Nilai maksimumna diperoleh dengan menubstitusikan titik B(3, ) ke fungsi objektif. f(x, ) = x + f(3, ) = 3 + () = 7. Dengan demikian, diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x, ) = x +adalah 7. Contoh Soal. Seorang pedagang roti memiliki modal Rp60.000,00. Ia merencanakan menjual roti A dan roti B. Roti A dibeli dari agen Rp600,00 per bungkus, sedangkan roti B dibeli dari agen Rp300,00 per bungkus. Keuntungan ang diperoleh pedagang itu adalah Rp50,00 untuk setiap penjualan sebungkus roti A dan Rp00,00 untuk setiap penjualan sebungkus roti B. Oleh karena keterbatasan tempat, pedagang roti itu hana akan menediakan 50 bungkus roti. Tentukan keuntungan maksimum ang dapat diperoleh oleh pedagang. Berapa bungkus roti A dan roti B ang harus disediakan? Selesaikanlah masalah tersebut dengan menggunakan metode garis selidik. Jawab: Misalkan, pedagang menediakan x bungkus roti A dan bungkus roti B maka model matematika ang diperoleh adalah 600x x + 00 x + 50 x 0 0 f(x, ) = 50x x + 00 Daerah himpunan penelesaianna adalah daerah ang diarsir pada gambar berikut. 00 x + = 00 Sumber: farm.static.flickr.com Gambar.5 Perhitungan keuntungan maksimum roti dapat dilakukan dengan metode garis selidik B Titik potong x + = 50 dan xx + = 00 adalah (50, 00) x + 3 = 9 O x Buatlah garis selidik 50x x + 00 = dan buatlah garis-garis ang sejajar dengan garis 50x + 00 = tersebut. Program Linear 5

33 Garis sejajar ang terletak paling jauh dari O(0, 0) melalui titik B(50, 00). Titik maksimum fungsi diperoleh untuk titik B(50, 00). Nilai maksimum fungsi = f(50, 00) = 50(50) + 00(00) = Jadi, pedagang tersebut akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp7.500 dengan menjual roti A sebanak 50 bungkus dan roti B sebanak 00 bungkus. Tugas Siswa.3 Kerjakanlah bersama teman Anda. Selesaikan Contoh.9 dan.0 dengan menggunakan cara garis selidik. Setelah itu, selesaikan Contoh. dan. dengan menggunakan uji titik pojok. Apakah hasilna sama? Cara mana ang Anda anggap lebih mudah? Kemukakan alasanna. O Daerah himpunan penelesaian B(r, s) ax + b = m Garis selidik ax + b = ab x Gambar.6 Contoh garis selidik untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif.. Menentukan Nilai Minimum Fungsi Objektif f(x, ) = ax + b Untuk menentukan nilai minimum suatu bentuk fungsi objektif f(x(, ) = ax + b dengan menggunakan garis selidik, ikutilah langkah-langkah berikut dan perhatikan Gambar.6. a. Bentuklah persamaan garis ax + b = ab memotong sumbu-x di titik (b, 0) dan memotong sumbu- di titik (0, a) b. Buatlah garis-garis ang sejajar dengan ax + b = ab sehingga ditemukan garis ang melalui titik pojok ang terdekat dari titik O(0, 0). Misalkan garis ax + b = m, melalui titik (r, s) ang terletak pada daerah himpunan penelesaian dan terletak paling dekat dengan titik O(0, 0) titik (r, s) tersebut merupakan titik minimum. Nilai minimum fungsi objektif tersebut adalah f(r, s) = ar + bs. Contoh Soal.3 Suatu masalah program linear dapat diterjemahkan ke dalam model matematika berikut. x x + 3 x + 5 4x x + 8 x 0 0 Tentukan titik minimum fungsi objektif f(x, ) = 4x x + 7 dan tentukan nilai minimumna. 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

34 Jawab: Langkah-langkah penelesaian sebagai berikut. a. Gambar daerah himpunan penelesaian model matematika seperti pada gambar di samping. Daerah ang diarsir adalah daerah himpunan penelesaianna b. Carilah koordinat titik B dan C. Titik B merupakan perpotongan garis x + 3 = dan garis x + = 5. Dengan cara eliminasi dan substitusi dapat diperoleh koordinat titik B. x 3 = x 3 = x + = 5 3 3x 3 = 5 - x = 3 x = 3 Substitusikan x = 3 ke salah satu persamaan tersebut, misalna ke x + = 5. x + = 5 = 5 3 = Jadi, koordinat titik B adalah (3, ) Titik C merupakan perpotongan garis 4x + = 8 dan garis x + = 5. Dengan cara eliminasi dan substitusi, dapat diperoleh koordinat titik C. 4x + = 8 x + = 5 3x = 3 x = Substitusikan x = ke salah satu persamaan tersebut, misalna ke x + = 5. x + = 5 = 5 x = 5 =4 Jadi, koordinat titik C(, 4). c. Buat garis selidik dari fungsi objektif f(x, ) = 4x + 7. Gambarlah garis selidik 4x + 7 = 88 atau sederhanakan menjadi x + = 4. Gambarlah garis-garis ang sejajar dengan x + = 4. Temukan titik pojok ang terdekat dari titik O(0, 0) ang dilalui garis sejajar tersebut. Terlihat pada gambar titik C(, 4) dilalui oleh garis ang sejajar dengan garis selidik x + = 4. Oleh karena itu, titik C(, 4) merupakan titik minimum. Nilai minimum fungsi objektif diperoleh dengan menubstitusikan C(, 4) ke dalam f(x, ) = 4x + 7. f(, 4) = 4 () + 7 (4) = = 4 Dengan demikian, nilai minimumna adalah O D C 4x + = O D C 4x + = 8 B A x x + = 5 x + 3 = Garis selidik 4x x + 7 = 88 B A x + = 5 x x + 3 = Program Linear 7

35 Soal Pilihanihan Perhatikan gambar berikut. (, 3) Kegiatan Siswa. Carilah informasi mengenai penggunaan Microsoft Excel pada penelesaian masalah program linear. Kerjakan soal-soal Evaluasi Materi.3 dengan menggunakan Microsoft Excel. Bandingkan hasilna dengan perhitungan manual. Kemukakan hasilna di depan kelas. (4, ) Daerah ang diarsir pada gambar tersebut menatakan daerah penelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai minimum x + pada daerah penelesaian tersebut adalah... a. 9 d. 3 b. 7 e. c. 5 7 x Tugas Siswa.4 Diskusikan bersama teman sekelompok Anda untuk memperoleh solusi dari persoalan berikut. Bagilah anggota kelompok menjadi dua bagian. Satu bagian mengerjakan soal dengan metode uji titik pojok dan ang lainna menggunakan metode garis selidik. Bandingkan dan apa ang dapat Anda simpulkan? Pabrik x memproduksi dua model arloji, aitu arloji bermerek terkenal dan arloji bermerek biasa. Untuk memproduksi arloji tersebut dilakukan melalui dua tahap. Tahap pertama, untuk arloji bermerek terkenal memerlukan waktu produksi selama 6 jam dan pada tahap kedua selama 8 jam. Sementara itu, arloji bermerek biasa memerlukan waktu produksi selama 5 jam pada tahap pertama dan 4 jam pada tahap kedua. Kemampuan karawan melakukan produksi tahap pertama maksimum 560 jam setiap minggu dan untuk melakukan produksi tahap kedua maksimum 500 jam setiap minggu. Kedua model arloji ini akan dipasarkan dengan keuntungan sebesar Rp0.000, per buah untuk arloji bermerek terkenal dan sebesar Rp80.000, 00 per buah untuk arloji bermerek biasa.. Buatlah model matematika masalah program linear tersebut.. Berapakah banakna setiap model arloji harus diproduksi supaa memberikan keuntungan maksimum? 3. Berapakah keuntungan maksimum ang diterima oleh pabrik tersebut? 8 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

36 Evaluasi Materi.4 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. Gunakan garis selidik untuk menelesaikan sistem pertidaksamaan berikut.. Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, ) = x + 3 untuk sistem pertidaksamaan berikut. a. x x x 0 0 b. 8x + 8 7x + 8 x 0 0. Tentukan nilai maksimum fungsi objektif f(x(, ) = xx + 5 pada sistem pertidaksamaan berikut. x + x + 6 x Tentukan nilai minimum dari f(x, ) = 4x x + 3 untuk kendala sebagai berikut. a. 4x + 8 x x 0 0 b. x + 3 x + 0 x Tentukan nilai minimum dari f(x, ) = 3x x + 4 pada sistem pertidaksamaan berikut. x x + 8 x + 8 x + 6 x Seorang pengusaha pemancingan ikan memiliki tanah seluas 456 m. Dia akan membuat dua macam kolam ikan, aitu beberapa kolam ikan lele dengan luas masing-masing 6 m dan beberapa kolam ikan nila dengan luas masing-masing 4 m. Banak kolam ang akan dibuat tidak lebih dari 40 buah. Jika dari tiap kolam ikan lele akan diperoleh hasil Rp00.000,00 dan dari setiap kolam ikan nila akan diperoleh hasil Rp ,00, tentukan: a. model matematikana; b. bentuk objektifna; c. hasil ang dapat diperoleh sebanakbanakna. 6. Untuk membuat jam kau dari pinus, seorang seniman memerlukan waktu jam dan ons cairan pernis. Adapun untuk membuat jam kau oak diperlukan waktu jam dan 4 ons cairan pernis. Tersedia 6 ons pernis dan waktu kerja 0 jam. Keuntungan penjualan jam kau pinus dan jam kau oak berturut-turut Rp4.000,00 dan Rp3.000,00 per buah. Berapa banak jam ang harus dibuat untuk setiap jenis jam agar mendapat keuntungan maksimum? 7. Sinta membuat dua jenis taplak meja, kemudian dijual. Taplak jenis pertama memerlukan m kain dan taplak jenis kedua memerlukan 6 m kain. Kain ang diperlukan untuk membuat taplak jenis pertama adalah m dan taplak jenis kedua adalah 6 m, sedangkan kain ang tersedia adalah 4 m. Keuntungan penjualan taplak jenis pertama adalah Rp8.000,00 dan keuntungan penjualan taplak jenis kedua adalah Rp3.000,00. Berapa banak taplak setiap jenisna ang harus terjual agar mendapat keuntungan maksimum? Program Linear 9

37 Ringkasan Program linear merupakan salah satu ilmu matematika ang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Program linear terdiri atas fungsi objektif dan kendala. Kendala pada program linear berbentuk pertidaksamaan. Untuk menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) suatu fungsi objektif dapat digunakan metode uji titik pojok dan metode garis selidik. Kaji Diri Setelah mempelajari materi Bab Program Linear ini, adakah materi ang belum Anda pahami? Materi manakah ang belum Anda pahami? Diskusikanlah bersama teman dan guru Anda. 30 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

38 Evaluasi Materi ib Bb Ba ab b Kerjakan di buku latihan Anda. A. Pilihlah satu jawaban ang tepat.. Seorang koki membuat jenis roti. Roti I memerlukan 00 g tepung dan 5 g mentega, sedangkan roti jenis II memerlukan 50 g tepung dan 50 g mentega. Koki memiliki persediaan,5 kg tepung dan kg mentega. Jika x merupakan banak roti I dan merupakan banak roti II, pertidaksamaan ang mungkin untuk membuat kedua jenis roti sebanak-banakna adalah... a. x x + 0, x + 60, x 0, 0 b. 4x x + 60, x + 0, x 0, 0 c. x x + 30, x , x 0, 0 d. x + 0, x + 40, x 0, 0 e. x x + 30, x + 40, x 0, 0. Daerah ang diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penelesaian dari x a. x + 6, x, 0 b. x 6, x, 0 c. x + 6, x, 0 d. x + 6, x, 0 e. x 6, x, 0 3. Jika segilima OPQRS merupakan himpunan penelesaian program linear maka maksimum fungsi sasaran x + 3 terletak di titik... R(, 5) S(0, 3) O Q(5, 3) P(6, 0) x a. O(0, 0) b. P(6, 0) c. Q(5, 3) d. R(, 5) e. S(0, 3) 4. Daerah ang diarsir pada diagram berikut memenuhi sistem pertidaksamaan a. 3x + 9, 5x x +4 0, x 0, 0 b. 3x + 9, 5x x + 4 0, x 0, 0 c. 3x + 9, 5x x + 4 0, x 0, 0 d. 3x + 9, 5x x +4 0, x 0, 0 e. 3x + 9, 5x x + 4 0, x 0, 0 5. Nilai minimum fungsi objektif f(x(, ) = 3x x + 7 untuk sistem pertidaksamaan xx + 3 6, x + 3 3, x 0, dan 0 adalah... a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e Jika diketahui P = x + dan Q = 5x x + maka nilai maksimum dari P dan Q pada sistem pertidaksamaan x 0, 0, x + dan x x + adalah... a. 8 dan 30 d. 6 dan 4 b. 6 dan 6 e. 8 dan 4 c. 4 dan 6 7. Koordinat titik-titik segitiga ABC dari gambar berikut memenuhi pertidaksamaan... x Program Linear 3

39 8 6 C A B 8 x a. 4x + 8, 3x x + 4 4, x + 6 b. 4x + 8, 4x x + 3 4, 6x x + c. x + 8, 3x +4 4, x + 6 d. 4x + 8, 3x x + 4 4, 6x x + e. x + 4 8, 3x x + 4 4, x + 6 Perhatikan gambar berikut, untuk menjawab soal nomor 8. 8 (0, 8) I III (0, ) II (4, 0) 4 IV 8 x 8. Daerah I merupakan daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear... a. x 0, 0, x + 8 8; 4x + 6 b. x 0, 0, x + 8 8; 4x + 6 c. x 0, 0, x + 8 8; 4x + 6 d. x 0, 0, x + 8 8; 4x + 6 e. x 0, x + 8 8; 4x Daerah himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan x 0, 0, x adalah... a. I d. I dan II b. II e. semua salah c. III 0. Nilai maksimum pada daerah I untuk fungsi objektif f(x, ) = x x + adalah... a. 8 d. 64 b. 6 e. 8 c. 3. Nilai minimum pada daerah penelesaian IV untuk fungsi objektif f(x, ) = 3x x + 5 adalah... a. 0 d. 5 b. e. 0 c.. Seorang pengusaha taman hiburan ingin membeli sepeda anak-anak dan sepeda dewasa untuk disewakan. Jumlah kedua sepeda ang akan dibeli sebanak 5 buah. Harga sebuah sepeda anak-anak Rp ,00 dan sepeda dewasa Rp ,00. Modal ang tersedia Rp ,00. Model matematika ang memenuhi masalah tersebut adalah... a. x x + 5 x 0 0 b. 7x x x + 5 x 0 0 c. 7x x x + 5 x 0 d. 35x x + 35 x 0 0 e. 35x x + 5 x Seorang pedagang kerajinan tradisional membeli tidak lebih dari 5 benda kerajinan untuk persediaan. Ia ingin membeli benda jenis A dengan harga Rp30.000,00 dan sepatu jenis B seharga Rp40.000,00. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp ,00. Apabila ia mengharap laba Rp0.000,00 untuk setiap benda A dan Rp.000,00 untuk setiap benda B maka laba maksimum ang diperoleh pedagang adalah... a. Rp68.000,00 b. Rp86.000,00 c. Rp68.000,00 d. Rp86.000,00 e. Rp ,00 3 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

40 4. Pada pembuatan pakaian A diperlukan 6 jam pada mesin bordir dan 4 jam pada mesin jahit. Pembuatan pakaian B memerlukan jam pada mesin bordir dan 8 jam pada mesin jahit. Kedua mesin tersebut setiap harina bekerja tidak lebih dari 8 jam. Jika setiap hari dibuat x buah pakaian A dan buah pakaian B maka model matematika dari masalah tersebut adalah... a. 3x x + 9, x + 4 9, x 0, 0 b. x + 3 9, x + 9, x 0, 0 c. 3x x + 9, x +4 9, x 0, 0 d. 3x x + 9, x + 9, x 0, 0 e. 3x x + 9, x +4 9, x 0, 0 5. Titik-titik berikut ang bukan merupakan anggota himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan x + 0, x + 8 dan x + 4 adalah... a. (, 5) d. (4, 4) b. (, 6) e. (6, ) c. (3, 4) 6. Daerah segilima ABCDE merupakan himpunan penelesaian suatu program linear. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif 3x x untuk x dan bilangan asli adalah... B(3, 5) C(6, 4) A(0, 3) E(, 0) D(5, 0) a. 0 dan d. 5 dan b. 0 dan 6 e. 5 dan 0 c. 5 dan 6 7. Perhatikan gambar berikut x Daerah ang diarsir pada gambar tersebut merupakan daerah penelesaian dari suatu x sistem pertidaksamaan. Nilai minimum ang memenuhi fungsi objektif p = 4x + 3 adalah... a. d. 8 b. 5 e. 4 c Sebuah pesawat udara memiliki 48 tempat duduk ang terbagi ke dalam dua kelas, aitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A boleh membawa 60 kg barang, sedangkan penumpang kelas B hana 0 kg. Bagasi paling banak memuat.440 kg. Jika banak penumpang kelas A adalah x orang dan banak penumpang kelas B adalah orang maka sistem pertidaksamaan ang memenuhi persoalan tersebut adalah... a. x 0; 0 x + 48; 0x x b. x 0; 0 x + 48; 60x x c. x 0; 0 x + 48; 0x x d. x 0; 0 x + 48; 60x x e. x 0; 0 x + 48; 60x x Sinta seorang pembuat kue dalam satu hari paling banak dapat membuat 80 kue. Biaa pembuatan kue jenis pertama adalah Rp500,00 per buah dan biaa pembuatan kue jenis kedua adalah Rp300,00 per buah. Keuntungan kue jenis pertama Rp00,00 per buah dan keuntungan kue jenis kedua adalah Rp300,00 per buah. Jika modal pembuatan kue adalah Rp34.000,00 maka keuntungan terbesar ang diperoleh Sinta adalah... a. Rp.000,00 b. Rp9.000,00 c. Rp0.000,00 d. Rp.000,00 e. Rp5.000,00 0. Dengan persediaan kain polos 30 m dan kain bergaris 0 m seorang penjahit akan membuat dua model pakaian jadi. Model I memerlukan m kain polos dan,5 m kain Program Linear 33

41 bergaris. Model II memerlukan m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi akan maksimum jika model I dan model II masing-masing berjumlah... B. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, ) = 50x + 45 ang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut. x + 8 5x + 0 x 0, 0 x, Œc. Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x, ) = 3x + ang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut. 3x x + 6 x x + 4 x 0, 0 3. Pembuatan suatu jenis roti memerlukan 00 gram tepung dan 5 gram mentega. Roti jenis lain memerlukan 00 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia 4 kg tepung dan, kg mentega. Jika satu buah roti jenis pertama memberikan keuntungan Rp.000,00 dan satu buah roti jenis kedua memberikan keuntungan Rp.500,00, tentukan keuntungan maksimum ang diperoleh jika roti itu habis terjual? a. 4 dan 8 d. 7 dan 5 b. 5 dan 9 e. 8 dan 6 c. 6 dan 4 4. Seorang pemilik toko cinderamata mendapat untung Rp.000,00 untuk penjualan gelang ang hargana Rp0.000,00, dan mendapat untung Rp750,00 untuk penjualan gantungan kunci ang hargana Rp8.000,00. Modal ang ia miliki seluruhna adalah Rp ,00, sedangkan kapasitas tokona adalah 450 cinderamata. a. Berapa banak gelang dan gantungan kunci ang harus dibeli pemilik toko tersebut untuk mendapatkan untung sebesar-besarna? b. Berapakah keuntungan maksimumna? 5. Sebuah pabrik bubut kau sebagai bahan dasar pembuat kursi, memproduksi dua jenis kau bubut, dengan menggunakan tiga jenis mesin ang berbeda. Untuk memproduksi kau bubut jenis A menggunakan mesin I selama menit, mesin II selama 3 menit, dan mesin II selama 4 menit. Untuk memproduksi kau bubut jenis B, menggunakan mesin I selama 6 menit, mesin II selama 4 menit, dan mesin III selama 3 menit. Tentukan keuntungan maksimum ang diperoleh pabrik tersebut dalam setiap 3 jam, jika keuntungan setiap produk jenis I Rp.500,00 dan jenis II Rp3.000,00. Pilihan Karir Koki atau juru masak adalah orang ang meniapkan makanan untuk disantap. Istilah ini kadang merujuk pada chef walaupun kedua istilah ini secara profesional tidak dapat disamakan. Istilah koki pada suatu dapur rumah makan atau restoran biasana merujuk pada orang ang memiliki sedikit atau tanpa pengaruh kreatif terhadap menu dan dapur. Mereka biasana anggota dapur ang berada di bawah chef (kepala koki). Sumber: id.wikipedia.org 34 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

42 Bab Trigonometri Sumber: medicinewheel.vcsu.edu Pada bab ini, Anda akan diajak menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah, melalui menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut, mengkonversi koordinat Cartesius dan koordinat kutub, menerapkan aturan sinus dan cosinus, serta menentukan luas suatu segitiga. Menurut sejarah, awalna trigonometri dikembangkan untuk keperluan geografi (pembuatan peta) dan untuk keperluan astronomi (untuk memahami gerak benda-benda langit). Pada perkembangan berikutna, trigonometri tidak hana dimanfaatkan oleh matematika, tetapi juga menjadi alat penting bagi ilmu-ilmu dasar, seperti kimia, fisika, teknik mesin, teknik elektro, dan teknik geodesi. Oleh karena itu, trigonometri menjadi sangat penting untuk dipelajari. Dalam kehidupan sehari-hari banak permasalahan ang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep trigonometri. Salah satuna permasalahan berikut. Eko mengukur baangan sebuah tiang di tanah. Setelah diukur, panjangna mencapai 5, m. Kemudian, ia mengukur sudut ang terbentuk antara ujung baangan dengan ujung tiang. Besar sudut tersebut adalah 60. Tanpa mengukur langsung tiang tersebut, dapatkah Eko menentukan tinggi tiang ang sebenarna? A. Perbandingan Trigonometri B. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut ang Berelasi C. Menggunakan Tabel dan Kalkulator untuk Mencari Nilai Perbandingan Trigonometri D. Identitas Trigonometri E. Mengkonversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub F. Aturan Sinus dan Cosinus G. Luas Segitiga Trigonometri 35

43 Peta Konsep Materi mengenai Trigonometri dapat digambarkan sebagai berikut. Trigonometri materi ang dipelajari Perbandingan Trigonometri Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Aturan Sinus dan Aturan Cosinus Menghitung Luas Segitiga terdiri atas terdiri atas terdiri atas jika diketahui Suatu Sudut Segitiga Siku-Siku Sudut-Sudut Istimewa Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Identitas Trigonometri Mengubah Koordinat Cartesius Menjadi Koordinat Kutub Mengubah Koordinat Kutub Menjadi Koordinat Cartesius Aturan Sinus Jika Diketahui Dua Sudut dan Sebuah Sisi Aturan Cosinus Jika Diketahui Sebuah Sudut dan Dua Sisi ang Mengapitna Sebuah Sudut dan Dua Sisi ang Mengapitna Sebuah Sisi dan Dua Sudut ang Mengapitna Ketiga Sisina Soal Pramateri Kerjakanlah soal-soal berikut sebelum Anda mempelajari bab ini.. Perhatikan segitiga siku-siku berikut. b c Tentukanlah panjang sisi segitiga ang belum diketahui. a. c = 0, a = 6, b =... b. a = 3, b = 4, c =... c. b = 576, c = 676, a =.... Tentukanlah nilai berikut. a. (3 5 ) d. 45 a b. ( 7 ) e. 34 c Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

44 A Perbandingan Trigonometri Pada materi bab ini, Anda akan mempelajari perbandingan trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku sehingga Anda akan mengenal istilah sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, dan cotangen. Untuk memudahkan Anda mempelajari materi ini, coba ingat kembali dalil Pthagoras berikut "kuadrat dari sisi terpanjang (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat sisi lainna." Kata Kunci segitiga siku-siku sinus cosinus tangen. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku Sebelum mempelajari materi ini, lakukanlah kegiatan berikut. Kegiatan Siswa Lakukan kegiatan berikut bersama 3 4 orang teman Anda.. Gambarlah tiga buah segitiga siku-siku ang sebangun dengan ketentuan sebagai berikut. A sisi miring sisi di depan A a A a A a sisi di dekat A (i) (ii) (iii). Gunakan busur derajat untuk menghitung besar sudut A (ke derajat terdekat). Perlu Anda ingat bahwa besar sudut A lebih dari 0 dan kurang dari Gunakan penggaris untuk mengukur panjang masingmasing segitiga siku-siku tersebut, kemudian isikanlah pada tabel berikut. Trigonometri 37

45 Jelajah Matematika Segitiga ke- (i) (ii) (iii) Panjang sisi di depan A Panjang sisi miring Panjang sisi di dekat A Panjang sisi miring Panjang sisi di depan A Panjang sisi di dekat A Pthagoras lahir sekitar tahun 58 M di Pulau Samos, Yunani. Beliau menemukan dan membuktikan sebuah rumus sederhana dalam geometri tentang ketiga sisi pada segitiga sikusiku. Dalil ini dinamakan Dalil Pthagoras. Pthagoras meninggal sekitar tahun 497 SM pada usia 85 tahun. 4. Perhatikan nilai-nilai perbandingan ang Anda peroleh pada ketiga segitiga siku-siku tersebut. Apa ang Anda dapatkan dari hasil tersebut? 5. Sekarang, coba Anda perhatikan gambar ΔABC berikut. C Sumber: Oxford Ensiklopedi Pelajar, 999 B b A a. Dengan menggunakan busur dan penggaris, hitunglah: b (gunakan satuan ke derajat terdekat) AB, BC, dan AC (gunakan satuan ke cm terdekat) b. Tentukan nilai perbandingan panj ang sisi di depan b... = panj ang sisi mirin g... panj ang sisididekat b... = panj ang sisi mirin g... panj ang sisi di depan b panj ang sisidideka t b = Apakah nilai perbandingan untuk ΔABC sama dengan nilai perbandingan untuk ketiga segitiga sebelumna? Jika tidak sama, perubahan apakah dari ketiga segitiga sebangun ang membuat nilai perbandingan segitiga baru berbeda? 38 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

46 Hasil kegiatan ang telah Anda kerjakan dapat memperjelas bahwa hasil perbandingan sisi-sisi segitiga bergantung pada sudut a dan b. Jika sudutna ( a ) sama maka hasil perbandingan sisisisina akan sama. Perhatikan gambar berikut. D C A a B Gambar. ABC sebangun dengan AED ΔABC ΔAED (dibaca "segitiga ABC sebangun dengan segitiga AED"). Perbandingan sisi-sisi segitiga secara cepat dapat diketahui dengan menggunakan konsep trigonometri ang didefinsikan sebagai berikut.. BC ED = =sinus a = AC AD i a. AB AE = =cosinus a = AC AD a 3. BC ED = = tange n a = t AB AE a 4. AC AD = =cosecanta = c osec a BC ED 5. AC AD = =secant a = AB AE a 6. AB AE = =cotangea nt a = cotan a BC ED Berdasarkan penjelasan tersebut, dapat dibuat ringkasanna sebagai berikut. E b C a Perbandingan trigonometri untuk segitiga siku-siku ABC seperti pada Gambar. adalah:. sin a = a b 4. cosec a = b a A a c B. cos a = c b 3. tan a = a c 5. sec a = b c 6. cotan a = c a Gambar. Segitiga siku-siku dengan a sebagai salah satu sudutna Trigonometri 39

47 Jelajah Matematika Hipparchus (±70 5 M) Dari ringkasan tersebut, Anda dapat memperoleh hubunganhubungan berikut. a sin a. = b a b a = = = tan a cos a c b c c b Jadi, sin a tan a = cos a a b. sin a a = = b a Teorema perbandingan sisi-sisi pada segitiga telah digunakan bangsa Mesir dan Babilonia. Akan tetapi, perbandingan ang sekarang digunakan kali pertama ditetapkan sekitar tahun 50 SM oleh Hipparchus ang menusun perbandinganperbandingan itu di dalam tabel. Hipparchus dari Nicea sangat tertarik pada Astronomi dan Geografi. Hasil kerjana merupakan asal mula rumusan trigonometri. Hipparchus menerapkan trigonometri untuk menentukan letak kotakota di permukaan bumi dengan menggunakan garis bujur dan garis lintang. Sumber: Ensiklopedia Matematika dan Peradaan Manusia, 00 Jadi, sin a = atau cosec a = cosec a sin a c b 3. cos a sec a = = b c Jadi, cos a = atau sec a = sec a cos a a c 4. tan a t a = = c a Jadi, tan a = atau cotan a cotan a = tan a Tugas Siswa. Coba Anda buktikan kebenaran pernataan berikut. cos a cosec a = = cotan a sin a seca Contoh Soal. Jika sin b = 4, tentukanlah nilai perbandingan trigonometri lainna. 5 Jawab: Buatlah gambar ang mewakili sin b = Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

48 Tentukan sisi ang belum diketahui dengan rumus Pthagoras. x = 5 4 x = 5 6 = 9 x = 9 = 3 Dengan demikian, dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri lainna. 5 4 cos b = 3 5 sec b = 5 3 b x = 3 tan b = 4 3 cotan b = 3 4 cosec b = 5 4 Contoh Soal. Diketahui ΔABC dan ΔDEF seperti pada gambar berikut. F A a c b q C (a) B D a E Tentukanlah semua perbandingan trigonometri untuk sudut q. Jawab: a. sin q = = cos q = = (b) b. sin a = a b cos a = c b tan q = = tan a = a c cosec q = = cosec a = b a sec q = = sec a = b c cotan q = = cotan a = c a Trigonometri 4

49 Contoh Soal.3 Diketahui salah satu sudut segitiga siku-siku ABC adalah q. Jika diketahui sin q = 3 5 dan panjang sisi di seberang q adalah 6 cm. Hitunglah cos q, tan q, cosec q, sec q, dan cotan q. C Jawab: Diketahui sin q = 3 5 dan panjang sisi seberang q = BC = 6 cm. AC =... 6 cm Sebelum menghitung cos q, tan q, cosec q, sec q, dan cotan q, Anda harus mencari panjang sisi AB dan AC terlebih dahulu. Dari nilai sin q = 3, Anda dapat menemukan nilai AC. 5 A q AB =... B sin q = CB AC 3 5 = 6 AC AC = 6 5 = 0 cm 3 Oleh karena Anda telah mengetahui nilai AC dan BC, Anda dapat mencari nilai AB dengan rumus Pthagoras. AB = AC BC AB = 0 6 = AB = 64 AB = 64 = 8 cm Jadi, perbandingan trigonometrina adalah 8 4 cos q = = tan q = = cosec q = = sec q = = cotan q = = Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

50 Tugas Siswa.. Tentukan perbandingan trigonometri sesuai dengan gambar berikut. 0 6 q a. sin q b. cos q c. tan q d. cosec q e. sec q f. cotan q. Hitunglah panjang BC. Kemudian, tentukan nilai perbandingan trigonometrina. A 36 B a. sin b b b. cos b c. tan b 39 d. cosec b e. sec b C f. cotan b. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa Pada bagian sebelumna, Anda telah mempelajari perbandingan trigono metri. Sekarang, Anda akan mempelajari perbandingan trigono metri sudut-sudut istimewa. Sudut istimewa ang akan dibahas di sini adalah sudut ang besarna 0, 30, 45, 60, dan 90. Pernahkah Anda melihat benda-benda ang memiliki sudut 0, 30, 60, 60, dan 90? a. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 60 Perhatikan Gambar.3. ΔAOB merupakan segitiga samasisi dengan panjang sisi satuan, sehingga OA = AB = satuan. Oleh karena ΔAOB sama sisi, OAB = ABO = OAB = 60. AC merupakan garis tinggi ΔAOB. Garis OC merupakan setengah dari OB sehingga OC satuan. Dari keterangan tersebut, Anda dapat mencari panjang AC dengan rumus Pthagoras. Mengapa AC dicari dengan rumus Pthagoras? Selidikilah. A 60 O C Gambar.3 Segitiga samasisi OAB B x Trigonometri 43

51 Panjang AC dapat dicari dengan cara berikut. AC = OA - OC = = 3 Dari informasi ang telah diperoleh, Anda dapat menentukan perbandingan trigonometri untuk sudut 60. Perbandinganna sebagai berikut. AC 3 sin60 = = = OA 3 OC cos60 = = OA AC 3 tan6 0 = = = 3 OC OA ; cosec 60 = = = AC 3 OA ; sec60 = = = OC OC ; cotan6 0 = = = AC B O 45 P(,) A x b. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45 Perhatikan Gambar.4. Titik P memiliki koordinat (,). A merupakan titik pada sumbu-x ang ditarik dari titik P ang tegak lurus sumbu-x dan B merupakan titik pada sumbu- ang ditarik dari titik P ang tegak lurus sumbu-. Dapat diketahui PA = PB =. AOP = AOB = 45 Gambar.4 Grafik Cartesius dengan sebuah garis bersudut 45 terhadap sumbu-x 60 O 30 A C 3 B Gambar.5 Segitiga OAC pada segitiga OAB Oleh karena itu, OP dapat dicari dengan rumus Pthagoras. OP merupakan sisi miring Δ siku-siku OAC. OP = =, sehingga akan diperoleh perbandingan trigonometri berikut. AP sin45 = = = OP AO cos45 = = = OP AP tan 45 = = = AO OP ; cosec45 = = = AP OP ; sec45 = = = AO AO ; cotan45 = = = AP c. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30 Perhatikan gambar ΔAOB pada Gambar.5. ΔAOB merupakan segitiga sama sisi, sehingga AOB = OBA = OAB = 60. ΔOAC merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di C dan panjang sisi satuan. OAC merupakan setengah dari OAB. Dengan demikian, OAC = Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

52 OC sin30 = = OA AC 3 cos30 = = = OA 3 OC tan30 = = = AC OA ; cosec30 OC OA ; sec30 AC 3 = = = AC 3 ; cotan30 = = = OC 3 3 d. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0 Perhatikan Gambar.6(a). r merupakan sisi miring pada segitiga OAB dengan sudut a ( a 0). Bagaimana jika a = 0? Jika a = 0 maka gambar segitiga akan seperti pada Gambar.6(b). Dengan demikian, nilai x = nilai r =, nilai = 0. Dari nilai-nilai tersebut, Anda dapat menentukan perbandingan trigonometrina sebagai berikut. 0 sin0 r = = = 0 ; cosec0 Æ tak terdefinisi r 0 x cos0 = = = r r ; sec0 = = = x 0 tan0 x = = = 0 ; cotan 0 Æ tak terdefinisi x 0 e. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90 Perhatikan kembali Gambar.6(a). Bagaimana jika a = 90? Jika a = 90, r = OB akan berimpit dengan sumbu- (Perhatikan Gambar.7). Dengan demikian, nilai x = 0, nilai = nilai r =. Dari nilai-nilai tersebut, Anda dapat menentukan perbandingan trigonometrina sebagai berikut. sin90 = = = r r ;cosec90 = = = x 0 r cos90 = = = 0 ;sec90 = = Æ tak terdefinisi r x 0 x 0 tan90 = = Æ tak terdefinisi; cotan 90 = = = 0 x 0 Nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut 0 sampai 90 dirangkum pada tabel berikut. 3 O O Gambar.6 (a) Segitiga OAB dengan BOA = a (b) Sudut 0 pada diagram Cartesius O x = r B(0, ) 90 a r x Gambar.7 (a) (b) A = B Grafik Cartesius dengan sudut 90 B A(, 0) x x x Trigonometri 45

53 Perbandingan Trigonometri sin 0 Sudut-Sudut Khusus (Istimewa) cos 3 0 Solusi Cerdas tan tak terdefinisi Diketahui: sin a =, cosec tak terdefinisi 3 3 0º < a < 90º. Nilai cos a =. a. d. 4 b. 3 e. 4 8 c. Jawab: sec cotan Contoh Soal.4 tak terdefinisi tak terdefinisi 3 0 sin a = sin a = sin 30º a = 30º a = 60º cos a = cos 60º cos a = Jadi, cos a =. Jawaban: c UN SMK, 004 Dengan menggunakan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudutsudut istimewa, hitunglah nilai berikut. a. sin 30 + cos 60 b. sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 tan60 tan 30 c. tan 60 tan 30 Jawab: a. sin 30 + cos 60 = + = b. sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 Ê = ˆ Á + Ê 3 Ë Ë ˆ = = ( 6 ) 4 c. tan60 tan 30 tan 60 tan = 3 3 Ê 3 Ë 3 3 ˆ Ê ˆ Á = Ë 46 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

54 = 3 3 = 3 3 Contoh Soal.5 Eko mengukur baangan sebuah tiang ang menancap di tanah. Setelah diukur, panjang baanganna mencapai 5, m. Kemudian, ia mengukur sudut ang terbentuk antara ujung baangan dengan ujung tiang. Besar sudut tersebut adalah 60. Tentukan tinggi tiang ang sebenarna, tanpa mengukur langsung tiang tersebut. Jawab: Dari gambar di samping diperoleh x tan 60 = 5, x = 5, tan 60 = 5, 3 Jadi, tinggi tiang adalah 5, 3 m. Tiang x 60 panjang baangan = 5, m 3. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di Kuadran I, II, III, dan IV Perhatikan gambar berikut. P ( x, ) B P (x, ) Kuadran II r r Kuadran I C a x O x A x Kuadran III r r Kuadran IV P 3 ( x, ) D P 4 (x, ) Gambar.8 Kuadran pada grafik Cartesius Kedudukan titik P (x, ) dapat berubah bergantung pada sejauh mana garis OP diputar. Ada 8 kemungkinan kedudukan titik P jika dikaitkan dengan besar sudut putaran a, aitu: Trigonometri 47

55 90 B(0, ) P (, ) r. Jika a = 0 maka titik P terletak pada sumbu-x positif.. Jika 0 < < 90 maka titik P terletak di kuadran I. 3. Jika a = 90 maka titik P terletak pada sumbu- positif. 4. Jika 90 < < 80 maka titik P terletak di kuadran II. 5. Jika a = 80 maka titik P terletak pada sumbu-x negatif. 6. Jika 80 < a < 70 maka titik P teletak di kuadran III. 7. Jika a = 70 maka titik P terletak pada sumbu- negatif. 8. Jika 70 < a < 360 maka titik P terletak di kuadran IV. Hubungan antara x,, dan r menurut teorema Pthagoras adalah r = x +. Berdasarkan keterangan tersebut maka tanda (positif atau negatif) nilai perbandingan trigonometri pada berbagai kuadran dapat kita peroleh sebagai berikut. a. Kuadran I (0 < < 90 ) Perhatikan Gambar.9. Titik P (x, ) terletak di kuadran I dan membentuk sudut AOP = a, sehingga diperoleh hubungan antara r = OP, A, dan sebagai berikut. sin AOP =sin a = (pos itif) r cos AOP P = cos a = x (pos itif) r O a P(, 0) A x Gambar.9 tan AOP P = tan a = (pos itif) x cosec AOP = cosec a = r (pos itif) Sudut di kuadran I sec AOP = sec a = r (pos itif) x cotan AOP = cotan a = x (pos itif) 90 P ( x, ) r C( x, 0) a A(x, ) x 80 O Gambar.0 Sudut di kuadran II b. Kuadran II (90 < <80 ) Perhatikan Gambar.0. Titik P ( x, ) terletak di kuadran II dan membentuk sudut AOP = a, sehingga didapat hubungan antara r = OP, x, dan sebagai berikut. sin O sin a = ( positif iif) r cos cos = - x O a ( negatif ) r tan O tan a = ( negatif ) - x 48 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

56 r cosec O cosec a = ( positif iif) r sec O sec a = ( negatif ) - x cotan cotan = - x O a ( negatif ) c. Kuadran III (80 < < 70 ) Perhatikan Gambar.. Titik P 3 ( x, ) terletak di kuadran III dan membentuk sudut AOP 3 = a, sehingga didapat hubungan antara r = OP 3, x, dan sebagai berikut. sin sin = - O a ( negatif ) 3 r cos cos = - x O a ( negatif ) 3 r tan O tan = - iif - x = a ( positif) 3 x r cosec O cosec a = ( negatif ) 3 - r sec O sec a = ( negatif ) 3 - x cotan O cotan = - x iif - = x a ( positif) 3 d. Kuadran IV (70 < < 360 ) Perhatikan Gambar.. Titik P 4 (x, ) terletak di kuadran IV dan membentuk sudut AOP 4 = a, sehingga didapat hubungan antara r = OP 4, x, dan sebagai berikut. sin sin = - O a ( negatif ) 4 r x cos O cos a = ( positif iif) 4 r tan tan = - O a ( negatif ) 4 x r cosec O cosec a = ( negatif ) 4 - r sec O sec a = ( positif iif) 4 x x cotan O cotan a = ( negatif ) 4-90 B(0, ) C( x, 0) a 80 O r D(0, ) P 3 ( x, ) 70 Gambar. Sudut di kuadran III 90 B(0, ) C( x, 0) 80 O a r D(0, ) 70 Gambar. Sudut di kuadran IV A(x, 0) x A(x, 0) x P 4 (x, ) Trigonometri 49

57 Secara umum tanda-tanda perbandingan nilai trigonometri di berbagai kuadran dapat dituliskan seperti pada tabel berikut. a Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV sin + + cos + + tan + + cosec + + sec + + cotan + + Contoh Soal.6 A( 5, ) b C x O Soal Pilihan x Diketahui koordinat titik A ( 5, ) dan b adalah sudut ang dibentuk oleh garis OA dengan sumbu-x negatif. Tentukanlah nilai dari sin b, cos b, dan tan b. Jawab: r = x + = ( 5 ) + = = 69 = 3 sin b = = r 3 cos b = - x = - 5 r 3 tan b = = - x - 5 Contoh Soal.7 Jika diketahui tan A = dengan 90 < A < 80 maka nilai sin A cos A =... a. - d b. - 5 c. - 7 e. - 3 Diketahui sin a = 3 dan cos a =. Tentukan nilai tan a. Jawab: sin a = = - r x cos a = = r 3 maka = 3 dan r = maka x = dan r = Nilai tan a = = - 3 = - x 3 50 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

58 atau dapat juga memakai rumus berikut. tan - sin a a = = cos a 3 = - = Contoh Soal.8 Jika diketahui tan q = - 6, dan 90 < q < 80 maka tentukan nilai sin q dan cos q. Jawab: tan q = - 6, 90 < q < 80 (Ada di Kuadran II) x = = 6 r = ( ) + 6 = = 400 = sin q = = = r 0 5 x cosq = = - 3 = - r r 8 4 q 8 4 O x x Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Tentukanlah nilai perbandingan trigonometri untuk sudut a pada gambar berikut. c. 8 a. a a b. a 5 9. Jika q merupakan salah satu sudut pada segitiga siku-siku, hitunglah nilai perbandingan trigonometri lainna dari nilai trigonometri berikut. a. sin q = 5 3 b. cosq = 6 0 Trigonometri 5

59 c. tan q = 4 7 e. cosec a = d. cotan a = f. sec a = Pada segitiga siku-siku, diketahui panjang sisi miring 34 cm dan sin q = 8. Tentu kanlah 7 panjang sisi ang lain. 4. Sebuah tangga ang panjangna 3 m disandarkan pada sebuah tembok. Jarak ujung tangga dengan dasar tembok adalah m. Tentukanlah semua perbandingan trigonometri untuk sudut. 3 m q m 5. Perhatikan ΔABC berikut. C 8 7 b B A Dari segitiga ABC diketahui AC = 7 cm, 8 BC = 8 cm, dan sin b = 7. Hitunglah panjang sisi dan sinus sudut ang lainna. 6. Hitunglah nilai dari perbandingan trigonometri berikut. a. sin 30 + sin 45 + sin 60 b. sin 30 sin 45 + sin 60 sin 45 tan30 + sin 30 c. cos60 cos 30 tan30 + sin 60 d. tan45 tan 0 e. cos30 sin 30 tan60 tan 30 f. cos 30 sin 30 g. tan 30 sin 60 + tan 60 cos 30 sin30 cos 60 h. tan 30 + cosec 60 + cosec 90 sec 0 sec 30 sec Tentukanlah keenam perbandingan trigonometri pada titik berikut. a. P( 0, ) b. P( 6, 3 ) c. P( 7, ) d. P( 5, 5) 8. Tentukan kelima perbandingan trigonometri lainna jika diketahui sebagai berikut. a. tan q = 3, 80 < q < 70 b. cosq = - 5 3, q sudut tumpul c. sin q = - 3, 80 < q < Diketahui sec A = 5 dan sin B = Sudut A terletak di kuadran II dan sudut B terletak di kuadran IV. Tentukanlah nilai dari: a. cos A cos B + sin A sin B b. ( sin A) ( sin B) Ê cos ˆ Ê+ cos B ˆ c. Á Á Ë sin B Ë sin A d. (cosec A + sec B) (cosec A cos B) 0. Di suatu tempat wisata alam, Febi berdiri di sudut A pada tepi sungai ang lurus. Di seberang sungai tertambat dua sampan X dan Y ang berjarak 0 meter. Sampan X terletak tepat di seberang A. Jika besar sudut XAY 30, berapa meterkah lebar sungai tersebut? 5 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

60 B Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut ang Berelasi Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri suatu sudut di kuadran I, II, III, dan IV. Sekarang, Anda akan belajar mengenai sudut-sudut ang berelasi. Sudut berelasi artina pasangan sudut ang memiliki suatu hubungan sehingga perbandingan sudut-sudutna memiliki rumus tertentu.. Perbandingan Trigonometri di Kuadran I (Hubungan Sudut º dan Sudut (90 )º) Diketahui sebuah lingkaran ang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r. Pada lingkaran tersebut terletak sebuah titik A(x, ) ang membentuk sudut a dengan sumbu-x positif, seperti terlihat pada gambar berikut. Kata Kunci kuadran I kuadran II kuadran III kuadran IV sudut negatif A(x, ) r O a x B x Gambar. Sudut a pada kuadran I Jika diketahui AOB = a, OB = x, dan AB = maka diperoleh rumus-rumus perbandingan trigonometri berikut. sin a = r ; cosec a = r cos a = x r ; sec a = r x tan a = x ; cotan a = x Selanjutna, Anda dapat menemukan hubungan sudut a dengan penikuna, aitu (90 a). Trigonometri 53

61 Selanjutna, perhatikan Gambar.3. Titik A (x, ) dicerminkan terhadap garis = x maka baanganna adalah titik A'(, x). Oleh karena panjang AB = A' B', OB = OB', ABO = A'B'O = 90, ΔAOB =ΔA 'OB', akibatna AOB = A'OB' = a, dan A'OB = (90 a) º (perhatikan segitiga OA'C ang siku-siku di C). = x A'(, x) B' x a a (90 a ) A(x, ) O C B x Gambar.3 Hubungan sudut a dengan penikuna Oleh karena A'OB = (90 a ) dan koordinat titik A'(x, ), sehingga A'OB = A'OC = (90 a ) dan oleh karena panjang sisi OC = dan OB' = x maka diperoleh hasil berikut. sin (90 a ) = x r = sin a sin (90 a ) = sin a cos (90 a ) = r = cos a cos (90 a ) = cos a tan (90 a ) = x = tan a tan (90 a ) = tan a Tugas Siswa.3 Setelah Anda mempelajari hubungan sudut a dan penikuna, lengkapilah hubungan berikut. cosec (90 a) = =... cosec (90 a) =... sec (90 a) = =... sec (90 a) =... cotan (90 a) = =... cotan (90 a) =... Contoh Soal.9 Natakan perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri sudut penikuna. a. sin 50 b. cos 5 c. tan Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

62 Jawab: a. sin 50 = sin (90 40) = cos 40 b. cos 5 = cos (90 75) = sin 75 c. tan 35 = tan (90 55) = cotan 55. Perbandingan Trigonometri di Kuadran II (Hubungan Sudut dan Sudut (80 ) ) Jelajah Matematika A' A r r 80 a a a B' x O x Gambar.4 Hubungan sudut a dan sudut (80 a) Perhatikan Gambar.4 tersebut. Titik A(x, ) dicerminkan terhadap sumbu-, sehingga baanganna adalah titik A'( x, ). Dengan demikian, ΔAOB = ΔA'OB' maka AOB = A'OB' = a dan A'OB = (80 a ). Oleh karena A'OB = (80 a ) dan koordinat titik A'( x, ) maka diperoleh sin (80 a ) = r = sin a sin (80 a ) = cos a cos (80 a ) = -x r = cos a cos (80 a ) = sin a tan (80 a ) = Tugas Siswa.4 - x = tan a tan (80 a ) = cotan a Anda telah mengetahui hubungan sudut a dan sudut (80 a). Sekarang, lengkapilah perbandingan trigonometri berikut. cosec (80 a) = =... cosec (80 a) =... sec (80 a) = =... sec (80 a) =... cotan (80 a) = =... cotan (80 a) =... B x Sumber: Teodolit adalah alat dengan lensa pembidik ang dipakai untuk mengukur sudut-sudut vertikal dan horizontal tentang keadaan permukaan tanah (ketinggian, luas, dan sebagaina). Cara kerja teodolit menggunakan prinsip trogonometri, aitu mengukur sudutsudut vertikal dan hrizontal terhadap bidang ukur dengan memanfaatkan sinar infra merah. Teodolit memiliki alat memori untuk menimpan data ang diperoleh saat pengukuran. Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 00 Trigonometri 55

63 Soal Pilihan Soal Terbuka Cos 50 merupakan salah satu perbandingan trigonometri ang bernilai negatif. Carilah perbandingan trigonometri lainna ang juga bernilai negatif. Contoh Soal.0 Gunakan rumus hubungan sudut a dan sudut (80 a) untuk menederhanakan soal-soal berikut. a. sin 35 b. cos 50 c. tan 0 Jawab: a. sin 35 = sin (80 45) = sin 45 = b. cos 50 = cos (80 30) = cos 30 = 3 c. tan 0 = tan (80 60) = tan 60 = 3 3. Perbandingan Trigonometri di Kuadran III (Hubungan Sudut º dan Sudut (80 + ) º ) B' A'( x, ) (80 + a) r O a B Gambar.6 Hubungan sudut a dan sudut (80 + a ) r A(x, ) x Perhatikan Gambar.6. Gambar tersebut menunjuk kan sebuah titik A(x, ) ang dicerminkan terhadap titik pangkal sumbu koordinat sehingga diperoleh baanganna, aitu A'( x, ). Dengan demikian, diperoleh ΔAOB = ΔA'OB' dan akan berakibat AOB = A'OB' =a. Oleh karena A'OB = (80 + a ) dan koordinat titik A'( x, ) maka diperoleh sin (80 + a) = - r = - r = sin a sin (80 + a ) = sin a cos (80 + a ) = -x r = - x r = cos a cos (80 + a ) = cos a tan (80 + a ) = - -x = x = cotan a tan (80 + a ) = tan a Tugas Siswa.5 Anda telah mempelajari hubungan sudut a dan sudut (80 + a). Sekarang, lengkapilah hubungan berikut. 56 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

64 cosec (80 + a) = =... cosec (80 + a) =... sec (80 + a) = =... sec (80 + a) =... cotan (80 + a) = =... cotan (80 + a) =... Contoh Soal. Gunakan rumus hubungan sudut a dan sudut (80 + a ) untuk menederhanakan soal-soal berikut. a. cos 0 b. sin 40 c. tan 5 Jawab: a. cos 0 = cos ( ) = cos 30 = 3 b. sin 40 = sin ( ) = sin 60 = 3 c. tan 5 = tan ( ) = tan 45 = 4. Perbandingan Trigonometri di Kuadran IV (Hubungan Sudut Sudut (360 ) º ) º dan Perhatikan Gambar.7. Gambar tersebut menunjukkan sebuah titik A(x, ) ang dicerminkan terhadap sumbu-x, sehingga titik baanganna A'(x, ). Pada gambar terlihat bahwa ΔAOB = ΔA 'OB, sehingga besar AOB = A'OB = a. Ukuran sudut A'OB ang lancip dinatakan juga sama dengan a karena arahna searah jarum jam, sehingga tandana negatif, sedangkan ukuran sudut A'OB adalah (360 a ). Oleh karena sudut A'OB adalah (360 a ) dan titik A'(x, ) maka diperoleh rumus-rumus sebagai berikut. sin (360 a ) = - r = - r = sin a sin (360 a ) = sin a (360 a ) O Gambar.7 a r r A(x, ) B x A'(x, ) cos (360 a ) = x r = cos a cos (360 a ) = cos a Hubungan sudut a dan sudut (360 a) Trigonometri 57

65 tan (360 a ) = - x = - x = tan a tan (360 a ) = tan a Tugas Siswa.6 Soal Pilihan Nilai dari sin 40 + sin 5 + cos 35 adalah... a. - 3 d. 3 b. - 3 c. - e. 3 3 Soal UN SMK, 004 Anda telah mengetahui hubungan sudut a dan sudut (360 a). Sekarang, lengkapilah hubungan berikut. cosec (360 a) = =... cosec (360 a) =... sec (360 a) = =... sec (360 a) =... cotan (360 a) = =... cotan (360 a) =... Contoh Soal. Gunakan rumus hubungan sudut a dan sudut (360 a) untuk menederhanakan soal berikut. a. sin 300 b. cos 330 c. tan 35 Jawab: a. sin 300 = sin (360 60) = sin 60 = 3 b. cos 330 = cos (360 30) Y r O q q r P(x, ) B X P'(x, ) Gambar.8 Sudut q dan sudut q = cos 30 = 3 c. tan 35 = tan (360 45) = tan 45 = 5. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Negatif ( ) Perhatikan Gambar.8. Buatlah satu titik pada lingkaran di kuadran I. Sebut titik tersebut P dengan koordinat (x, ). Tariklah garis dari tegak lurus sumbu-x x hingga menentuh lingkaran pada kuadran IV. Sebut titik tersebut P' dengan koordinat (x, ). B adalah titik pada sumbu-x dengan koordinat (x, 0). Dari titik-titik tersebut dapat dibentuk sudut BOP dan sudut BOP'. Apa ang membedakan kedua sudut tersebut? 58 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

66 Pembedana adalah cara pengambilan sudut tersebut. BOP diambil berlawanan arah putaran jarum jam, sedangkan BOP' diambil searah jarum jam. Oleh karena itu, jika BOP merupakan maka BOP' merupakan q. Hubungan sudutsudut tersebut sebagai berikut. sin ( q ) = - r = sin q sin ( q ) = sin q cos ( q ) = x r = cos q cos ( q ) = cos q sin ( q ) = - x = tan q tan ( q ) = tan q Tugas Siswa.7 Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri untuk sudut q. Sekarang, isilah per bandingan trigonometri berikut. cosec ( q) = =... cosec ( q) =... sec ( q) = =... sec ( q) =... cotan ( q) = =... cotan ( q) =... Contoh Soal.3 Tentukanlah nilai trigonometri berikut. a. sin ( 5) b. cos ( 0) c. tan ( 300) Jawab: a. sin ( 5) = sin 5 = sin ( ) = ( sin 45) = - Ê ˆ Á - Ë = b. cos ( 0) = cos 0 = cos (80 60) = cos 60 = Soal Pilihan Nilai dari sin30 + cos330 + sin50 tan45 + cos 0 =... 3 a. 3 3 b. 3 3 c. 3 3 d. 3 3 e. 3 Soal UN SMK, 005 Trigonometri 59

67 c. tan ( 300) = tan 300 = tan (360 60) = ( tan 60 ) = ( 3 ) = 3 6. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut ang Lebih dari 360 º q (360 + q ) x Gambar.9 Sudut (360 + q) Perhatikan Gambar.9. Gambar tersebut menunjukkan sudut satu putaran ditambah q. Oleh karena besar sudut satu putaran 360 maka besar sudut ang lebih dari 360, misalna (360 + q ) akan sama dengan q. Dengan demikian, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut ang lebih dari 360 adalah sebagai berikut. sin (k q ) = sin q ; cosec (k q ) = cosec q cos (k q ) = cos q ; sec (k q ) = sec q tan (k q ) = tan q ; cotan (k q ) = cotan q dengan k Œ q bilangan bulat. Contoh Soal.4 Soal Pilihan Nilai dari cos.00 =... a. - 3 d. b. - e. 3 c. - Soal UN SMK, 005 Hitunglah nilai trigonometri berikut. a. sin 750 b. cos 40 c. tan ( 900) Jawab: a. sin 750 = sin ( ) = sin ( ) = sin 30 = b. cos 40 = cos ( ) = cos ( ) = cos 60 = c. tan ( 900) = tan 900 = tan ( ) = tan 80 = tan (80 0 ) = ( tan 0 ) = 0 60 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

68 Tugas Siswa.8 Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri sudut di suatu kuadran dan perbandingan trigonometri sudut-sudut ang berelasi. Gunakanlah pengetahuan Anda mengenai hal tersebut untuk menelesaikan soal-soal berikut. Tentukanlah semua nilai x ang memenuhi persamaan berikut.. sin x = 6. sin x = Soal Pilihan Soal Terbuka Diketahui nilai sin a =. Tentukanlah semua nilai a ang mungkin.. sin x = 7. cos x = 3 3. cos x = 8. cos x = 4. tan x = tan x = tan x = 0. sin x = Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Natakanlah bentuk perbandingan trigonometri berikut dalam sudut q. a. sin (90 q ) g. sin (80 + q ) b. cos (90 q ) h. cos (80 + q ) c. tan (90 q ) i. tan (80 + q ) d. sin (90 + q ) j. sin (70 q ) e. cos (90 + q ) k. cos (70 q ) f. tan (90 + q ) l. tan (70 q ). Natakanlah bentuk perbandingan trigonometri berikut dalam sudut lancip. Kemudian, tentukan nilaina. a. sin 35 f. cotan 0 b. sec50 g. sin 70 c. tan 40 h. cos 330 d. cosec 0 i. cosec 35 e. cos 5 j. tan 0 3. Hitunglah nilai trigonometri berikut tanpa menggunakan kalkulator. a. sin ( 30 ) f. sin 60 b. sin ( 5 ) g. tan 570 c. cos ( 40 ) h. cotan 85 d. cos ( 0 ) i. cos ( 390 ) e. tan ( 35 ) j. tan ( 480 ) 4. Diketahui sin 65 = 0,90; cos 65 = 0,755; tan 65 = 0,870. Hitunglah nilai sin 5, cos 5, dan tan Diketahui sin 35 = 0,574; cos 35 = 0,89; tan 35 = 0,700. Hitunglah nilai sin 45 + cos 5 tan Jika q sudut di kuadran IV dan cos q = 3 4, tentukan nilai sin q dan tan q. 7. Jika diketahui cos q = dan q sudut di 3 kuadran II, tentukan sin q dan cos q di kuadran I. 8. Jika q sudut di kuadran III dan sin q = 3, tentukan nilai dari: a. cos q dan tan q ; b. sin (80 q ), cos (80 q ), dan tan (80 q ); Trigonometri 6

69 c. sinus, cosinus, dan tangen untuk di kuadran IV. 9. Jika tan 5 = a, tentukan nilai dari tan5 tan 85 tan95 tan Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut. a. cos (80 a ) + sin (70 a ) + sin (90 a ) b. sin 40 x cos 330 sin ( 0 ) c. sin( 90 - a) sin( 80 - a ) d. tan( 80 - a), untuk a 0 cotan ( ) C Menggunakan Tabel dan Kalkulator untuk Mencari Nilai Perbandingan Trigonometri Kata Kunci tabel trigonometri kalkulator Anda telah mempelajari nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa, seperti 0, 30, 45, 60, dan 80. Tidak sulit untuk menemukan nilaina karena nilai-nilai perbandingan trigonometri tersebut mudah untuk dihafal. Bagaimana jika Anda harus mencari nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut ang bukan sudut istimewa? Misalna, Anda diminta mencari nilai sin 6,3, cos 36,78, dan tan 8,5. Apakah Anda dapat langsung menjawabna? Mungkin tidak mudah untuk mendapatkan nilai perbandingan trigonometrina. Namun, Anda dapat mencari nilai perbandingan trigonometrina dengan bantuan tabel trigono metri dan kalkulator.. Mencari Nilai Perbandingan Trigonometri Menggunakan Tabel Perhatikan Tabel. ang merupakan tabel perbandingan trigonometri untuk sinus. Selain tabel sinus, ada juga tabel cosinus dan tangen ang dapat membantu Anda untuk memperoleh nilai perbandingan trigonometri. Tabel perbandingan trigonometri terdiri atas beberapa bagian, aitu bagian judul tabel, kolom besar sudut (bagian bulat) di kolom paling kiri, angka di baris pertama menatakan desimal (satu angka saja), serta bagian nilai. 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

70 Tabel. Tabel Trigonometri Sinus Kolom besar sudut (bagian bulat) sin a a baris desimal baris desimal Bagian nilai Jelajah Matematika Berkembangna trigonometri di dunia barat membawa perkembangan trigonometri di Asia. Masarakat di Asia pun menelidiki trigonometri. Orang Cina meneliti Chou-pei-fuan-king ang menggunakan segitiga siku-siku untuk menghitung jarak. Banak pula pengaruh penelitian ang dilakukan di India, terhadap sistem bilangan dan nilai tempat. Pada masa kejaaan Dinasti Gupta, Arabhata menulis Arabharia ang merupakan kumpulan dari 33 versi, ang termasuk di dalamna algoritma untuk menghitung kuadrat, pangkat tiga, akar kuadrat, akar pangkat tiga, dan tabel sinus. Sumber: math.unipa.it Trigonometri 63

71 Sekarang, Anda akan belajar mencari nilai perbandingan trigonometri dengan bantuan tabel. Misalna, Anda ingin mencari nilai sin 7,4, langkah-langkah ang dapat Anda lakukan sebagai berikut.. Buka tabel sinus atau gunakan Tabel... Cari angka 7 pada kolom besar sudut (bagian bulat). 3. Tentukan nilai desimalna, aitu 0,4 pada baris desimal. 4. Nilai sin 7,4 adalah perpotongan baris 7 dengan kolom 0,4, aitu 0,990. Jadi, nilai sin 7,4 adalah 0,990. Sebalikna, bagaimana jika Anda memiliki nilai perbandingan trigonometri sin a = 0,990, kemudian Anda diminta untuk mencari nilai a? Berarti Anda diminta untuk mencari kebalikan dari nilai sin ang dapat ditulis sin atau arc sin. Hubungan sin dan sin adalah sebagai berikut. sin x = a sin a = x Artina, jika sin 7,4 = 0,990 maka sin 0,990 = 7,4. Dengan demikian, sin a digunakan untuk mendapatkan besar sudut ang nilai sinusna a. Pencarian besar sudut a ang diketahui nilai a-na dapat menggunakan tabel trigonometri dengan cara ang berkebalikan dengan cara mencari nilai perbandingan trigonometri. Untuk mencari besar sudut, langkah pertama ang dilakukan adalah mencari nilai sinus, cosinus, atau tangen pada tabel trigonometri bagian nilai, kemudian tarik garis sejajar hingga menemukan besar sudut (bagian bulat). Selanjutna, dari bagian nilai tarik garis vertikal ke atas hingga menemukan nilai desimal. Gabungan bagian bulat dan bagian desimal tersebut merupakan sudut ang dimaksud. Gunakanlah penjelasan tersebut untuk mencari besar sudut pada Tugas Siswa.9 (Tabel trigonometri dapat Anda lihat di halaman belakang buku ini). Notes Telitilah dalam menggunakan tabel trigonometri. Perhatikan judul tabel tersebut. Tugas Siswa.9 Dengan menggunakan tabel, tentukanlah nilai-nilai berikut. a. sin 30 f. sin 0,997 b. cos 7,8 g. cos 0,84 c. tan 73,5 h. tan 0,3939 d. cos 94 i. sin 0,767 e. sin 84,6 j. cos 0,7 64 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

72 . Mencari Nilai Perbandingan Trigonometri dengan Kalkulator Mencari nilai sinus, cosinus, atau tangen dengan menggunakan tabel memang mudah, tetapi keakuratanna kurang karena hasil ang diperoleh hana sampai empat desimal. Selain itu, besar sudut ang dicari pun terbatas pada bilangan ang berdesimal satu. Seandaina kita ingin mencari nilai cos 0,873, tentu tabel cosinus sederhana ang disediakan tidak dapat membantu Anda untuk mendapatkan nilaina. Oleh karena itu, Anda dapat menggunakan kalkulator scientific untuk mendapatkan nilai perbandinganna. Cara mencari nilai trigonometri dengan menggunakan kalkulator tidak selalu sama, bergantung pada jenis kalkulator ang digunakan. Misalna, Anda akan mencari nilai sin 6,35 dan sin 0,866. tombol berikut. Sin = Pada laar akan muncul angka 0, Jadi, sin 6,35 = 0,8 (3 desimal). Untuk menentukan kebalikanna, misalna Anda akan menentukan sin 0,866. Anda dapat menekan tombol berikut. Shift Sin Pada laar akan muncul 59, Jadi, sin 0,866. = 60 (pembulatan ke puluhan terdekat). menekan tombol berikut Sin Pada laar akan muncul angka 0, Jadi, sin 6,35 = 0,8. Untuk menentukan kebalikanna, misalna menentukan sin 0,866, Anda dapat menekan tombol berikut Shift Sin Pada laar akan muncul angka 59, Jadi, sin 0,866 = 60. Sumber: Gambar.0 Kalkulator scientific Trigonometri 65

73 Contoh Soal.4 A a.50 m aº c =.50 m.500 m C a =.500 m B Sebuah pesawat terbang ang mengangkut turis domestik take off dari landasan dengan sudut terbang (a) seperti ang ditunjukkan pada gambar di samping. Tentukanlah besar sudut terbangna (a). Jawab: Perhatikan bahwa besar sudut a diperoleh dengan menghitung tan a. Dari gambar di samping diperoleh.500 m tan a =.50 m = 0,67 a = tan 0,67 = 33, 8º Jadi, besar sudut terbangna (a) adalah 33,8º. Tugas Siswa.0 Gunakan kalkulator scientific, kemudian carilah nilai-nilai pada Tugas Siswa.9 dengan menggunakan kalkulator. Apakah hasil ang diperoleh sama dengan perhitungan menggunakan tabel? Evaluasi Materi.3 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Gunakan tabel trigonometri untuk menghitung nilai-nilai trigonometri berikut. a. sin 9, f. sin 0,4633 b. sin 94,6 g. cos 0,9033 c. cos 4,5 h. cos 0,77 d. cos 53,5 i. tan 0,843 e. tan 3, j. tan 0,0. Gunakan kalkulator untuk menentukan nilainilai trigonometri berikut. a. tan 7,843 b. cos 4,67 c. sin 68,47 d. cos 0,584 f. tan 0,3648 e. sin 0, Tentukan besar sudut q pada gambar berikut dengan menggunakan kalkulator. a. b. cm 5 cm 8 cm 3 cm q q 66 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

74 c. 5. Tentukan nilai trigonometri dari gambar berikut. 3 cm b a q 5 cm 4. Hitunglah panjang x,, dan z pada gambar berikut. a. b. c. 3 cm 5 cm 38 x cm 54 cm z 6 cm 5,3 8 cm cm q g 5 cm 0 cm a. sin a c. tan g b. cos q d. cos b 6. Di sebuah taman bermain terdapat jungkatjungkit ang panjangna 3,8 m dan membentuk sudut 50 apabila salah satu ujungna menentuh tanah. Tentukanlah tinggi jungkatjungkit pada keadaan tersebut. 7. Sebuah tangga ang panjangna 9 m disandarkan pada sebuah dinding. Jarak ujung tangga dengan dasar tembok tinggi na 6 meter. Berapakah sudut ang dibentuk oleh ujung tangga dengan tanah? 8. Seutas kawat ditarik dari puncak sebuah menara pemancar menuju ke sebuah jangkar ang letakna 00 m dari dasar menara. Jika besar sudut elevasina adalah 40, berapakah tinggi menara tersebut? 48 D Identitas Trigonometri Agar Anda lebih memahami materi identitas trigonometri, perhatikan Gambar.. Segitiga AOB siku-siku di B sehingga berlaku hubungan OA =OB + AB r = x + r = x + Perbandingan trigonometrina, aitu Kata Kunci perbandingan trigonometri identitas trigonometri pembuktian identitas trigonometri sin a = r cos a = x r Trigonometri 67

75 sin a = x A(x, ) r a O x B x Gambar. Segitiga A0B siku-siku di B Notes sin a tan a = cos a sec a = cos a cosec a = sin a cotan a = tan a Oleh karena cos a = x r maka x = r cos a Oleh karena sin a = r maka = r sin a Dari hasil tersebut dapat diperoleh r = x + r = (r cos a ) + (r sin a ) = r cos a + r sin a = r (cos a + sin a ) cos a + sin a = r r = Dari penjelasan tersebut, diperoleh hubungan berikut. cos a + sin a = Hubungan dan persamaan tersebut disebut identitas trigono metri. Dari identitas tersebut dapat diturunkan identitasidentitas trigonometri ang lainna. Identitas atau kesamaan adalah suatu bentuk persamaan ang selalu bernilai benar. Untuk membuktikan kebenaran suatu identitas dapat dilakukan dengan bermacam-macam cara, di antarana sebagai berikut.. Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi sama dengan ruas kanan.. Mengubah bentuk ruas kanan sehingga menjadi sama dengan ruas kiri. 3. Mengubah kedua ruas sehingga keduana menjadi sama. Contoh Soal.6 Dengan menggunakan nilai dari masing-masing fungsi trigonometrina, buktikanlah bahwa: a. cos 30 + sin 30 = c. cotan 45 = cos 45 sin 45 b. tan 30 = sin 30 cos30 d. sec 30 = + tan 30 Jawab: a. cos 30 + sin 30 = Bukti: Ruas kiri = cos 30 + sin Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

76 = ˆ ˆ Ê 3 Á Ë + Ê ÁÊ Ë = 4 (3) + 4 = = 4 = (ruas kanan) 4 b. tan 30 = sin 30 cos30 Bukti: Ruas kiri = ruas kanan tan 30 = sin 30 cos = = = = = = 3 3 (terbukti) c. cotan 45 = cos 45 Bukti: sin 45 Ruas kiri = ruas kanan = = (terbukti) d. sec 30 = + tan 30 Bukti: Ê ˆ Á Ë 3 3 = + Ê ˆ Á Ë 3 3 Search Ketik: jreed/math9/strand3/ trigonometr.swf Ketik: dikmenum. go.id/dataapp/elearning/bahan/ kelas3/images/ PENERAPAN%0 RUMUS%0 SINUS% 0KOSINUS.swf website-website tersebut memuat informasi mengenai trigonometri. Trigonometri 69

77 4 9 () 3 = + 9 () 3 9 = = 3 9 (terbukti) Contoh Soal.7 Buktikan bahwa: a. 3 cos b + 3 cos b = 3 b. (cos A + sin A) = + cos A sin A c. cos 4 q sin 4 q = cos q sin q Jawab: a. 3 cos b + 3 cos b = 3 Cara membuktikanna adalah dengan mengubah bentuk ruas kiri agar sama dengan ruas kanan. 3 cos b + 3 cos b = 3(cos b + cos b ) = 3() = 3 (terbukti) b. (cos A + sin A) = + cos A sin A Cara membuktikanna adalah dengan mengubah bentuk ruas kiri agar sama dengan ruas kanan. (cos A + sin A) = cos A + cos A sin A + sin A = cos A + sin A + cos A sin A = (cos A + sin A) + cos A sin A = + cos A sin A (terbukti) c. cos 4 q sin 4 q = cos q sin q Cara membuktikanna adalah dengan mengubah bentuk ruas kiri agar sama dengan ruas kanan. cos 4 q sin 4 q = (cos q + sin q )(cos q sin q ) = () (cos q sin q ) = cos q sin q (terbukti) Evaluasi Materi.4 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Gunakan nilai-nilai perbandingan trigonometri (sudut istimewa) untuk membuktikan pernataan berikut. a. sin 45 + cos 45 = b. + tan 30 = sec 30 c. sin 30 cotan 30 = sec30 d. cosec 45 = + cotan 45 e. tan 30 cos 30 = sin 30 f. sin 60 cotan 60 = cos Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

78 g. = sin 30 cosec 30 h. tan 45 = sin 45 sec 45. Buktikanlah identitas trigonometri berikut. a. ( + sin x)( sin x) = cos x b. (sin x cos x) = sin x cos x c. 3 cos x = 3 3 sin x d. (sin x + cos x) (sin x + cos x) = sin x e. (sin x cos x) + cos x sin x = f. - cos x sin x = sin x + cos x 4. Diketahui cos b = -7 5, untuk 90 < b < 80. Tentukanlah nilai sin b dan tan b Diketahui tan a = 0, untuk 70 < a < 360. Tentukanlah nilai sin a, cos a, cosec a, sec a, dan cotan a. 3. Diketahui sin A = 3 dan A sudut lancip. 5 Hitunglah nilai dari cos A, tan A, cotan A, sec A, dan cosec A. E Mengkonversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub. Perbedaan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Perhatikan Gambar. dan Gambar.3 agar Anda lebih mudah memahami perbedaan koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Pada koordinat Cartesius, letak suatu titik ditentukan berdasarkan jarak dan arah terhadap dua garis ang saling tegak lurus. Garis tegak lurus merupakan sumbu koordinat. Jarak titik ke sumbu horizontal (sumbu-x) disebut ordinat dan jarak titik tersebut ke sumbu vertikal (sumbu-) disebut absis. Pasangan koordinat titik P(x, ) artina titik P memiliki absis x dan ordinat. Selain dengan koordinat Cartesius, letak suatu titik pada bidang datar dapat juga dinatakan dengan koordinat kutub (koordinat polar) ang ditunjukkan oleh Gambar.3. Untuk menatakan letak suatu titik pada koordinat kutub, diperlukan dua ukuran, aitu jarak r (jarak dari suatu titik terhadap titik asal O) dan ukuran sudut a, aitu sudut antara garis sumbu-x positif dengan garis penghubung titik Kata Kunci koordinat Cartesius koordinat kutub P(x, ) (ordinat) O x(ordinat) x x Gambar. Titik P pada koordinat Cartesius Trigonometri 7

79 P(r, a) r a O x x Gambar.3 Titik P pada koordinat kutub A(5, 30 ) r = 5 30 O x tersebut dengan titik O ang ditarik berlawanan arah jarum jam. Koordinat kutub titik P dinatakan dengan P(r, a ). Selanjutna, Anda akan belajar menggambar letak titik pada koordinat kutub. Langkah menentukan koordinat kutub suatu titik adalah menentukan sudut ang diukur dari sumbu-x, kemudian menentukan panjang jarak dari titik O ke titik P sepanjang r satuan. Contoh Soal.8 Diketahui koordinat titik A(5, 30 ) dan koordinat titik B(5, 5 ) seperti ang ditunjukkan pada gambar di samping. Natakan kedua titik tersebut dalam koordinat Cartesius. Jawab: a. A(5, 30 ) ang diukur dari sumbu-x pada kuadran I. A dengan menarik garis pembentuk sudut 30 dari titik O sepanjang 5 satuan. A dengan koordinat kutub (5, 30 ). b. B(5, 5 ) dari sumbu-x pada kuadran III. B dengan menarik garis pembentuk sudut 5 dari titik O sepanjang 5 satuan. B dengan koordinat kutub (5, 5 ).. Hubungan Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius Perhatikan gambar berikut. r = 5 5 O B(5, 5 ) x P(x, ) = P(r, q ) r q O x P' x Gambar.4 Titik P dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub 7 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

80 Titik P dapat ditulis dalam dua bentuk koordinat, aitu koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Koordinat Cartesius ditulis P(x, ), koordinat kutub ditulis P(r, q ). Perhatikan ΔOPP'. OP merupakan jari-jari r = x + sin q = PP' OP = maka = r sin q r cos q = OP' OP = x maka x = r cos q r tan q = PP' OP' = x maka q = tan x Dari keterangan tersebut dapat diperoleh hubungan antara koordinat Caresius dan koordinat kutub sebagai berikut.. Jika koordinat Cartesius P(x, ) diketahui, Anda dapat memperoleh koordinat kutubna, aitu P(r, q ) dengan nilai r = x + dan q adalah sudut ang memenuhi tan q = (perhatikan kembali Gambar.4). x. Jika koordinat kutub P(r, q ) diketahui, Anda dapat memperoleh koordinat Cartesiusna, aitu P(x, ) dengan x = r cos q dan = r sin q. Contoh Soal.9 Ubahlah koordinat titik P(9, 3 3) ke dalam koordinat kutub P(r, q ). Jawab: Titik P(9, 3 3) berarti titik P terletak di kuadran I dengan x = 9 dan = 3 3. r = x + tan q = x = 9 ( 3 3 ) = = 8+ 7 = 3 3 = 08 q = tan 3 3 = 30 Jadi, koordinat titik kutub P(9, 3 3) adalah ( 08, 30 ). Trigonometri 73

81 Solusi Cerdas Diketahui koordinat Cartesius ( 5 3, 5) maka koordinat kutubna adalah... a. (0, 30 ) b. (0, 60 ) c. (0, 0 ) d. (0, 50 ) e. (0, 330 ) Jawab: Koordinat Cartesius ( 5 3, 5) berarti absis (x) = 5 3 dan ordinat () = 5. Anda harus mencari koordinat kutubna (r, a ). r = x = ( ) = = 00 r = 0 Oleh karena diketahui nilai x dan -na, Anda dapat mencari besar sudutna dengan menggunakan perbandingan trigonometri tangen sudut ang dicari adalah a maka tan a = x = = 3 3 a = tan 3 3 = arc tan 3 3 a = 50 Jadi, koordinat kutubna adalah (0, 50 ). Jawaban: d Soal UN SMK, 006 Contoh Soal.0 Ubahlah koordinat titik P( 3, ) ke dalam koordinat kutub P(r, q ). Jawab: Titik P( 3, ) berarti titik P terletak di kuadran III dengan x = 3, dan =. r = x + = ( ) ( ) tan q = x = = + 4 = 3 3 = 6 = 4 q = tan 3 3 = 0 (di kuadran III) Jadi, koordinat titik kutub P( 3, ) adalah (4, 0 ). Contoh Soal. Diketahui titik P mempunai koordinat kutub (3, 0 ). Tentukan koordinat Cartesiusna. Jawab: P(3, 0 ) berarti r = 3 dan q = 0 x = r cos q = 3 sin 0 = 3 sin( ) = 3( sin 30 ) x = 3( 3) x = 3 3 = r sin q = 3 cos 0 = 3 cos( ) = 3( cos 30 ) = 3( ) = 3 Jadi, koordinat Cartesius titik P(3, 0 ) adalah P( 3 3, 3 ). 74 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

82 Evaluasi Materi.5 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Ubahlah titik dalam koordinat kutub berikut ke dalam koordinat Cartesius. Kemudian, tunjukkan titik-titik tersebut pada satu bidang gambar. a. K(3, 45 ) d. N(, 330 ) b. L(, 35 ) e. O(5, 750 ) c. M(3, 70 ). Ubahlah titik-titik berikut ke dalam koordinat kutub. Kemudian, tunjukkan titiktitik tersebut pada satu bidang gambar. a. P(3 3, 3) d. S( 5, 5) b. Q(, 3) e. T( 3, 3 3) c. R( 3, ) 3. Diketahui koordinat Cartesius titik A( 8, ) dan koordinat kutubna A(r, 0 ). Tentukanlah nilai dari + r. 4. Koordinat kutub P adalah (, q) dan koordinat Cartesiusna adalah (, ). Jika P terletak di kuadran III, tentukanlah nilai q dan. 5. Sebuah perahu bergerak dari pelabuhan Barru ke pelabuhan Kajuadi dengan arah 60 dan kecepatan 50 km/jam. Setelah berlaar jam, perahu tersebut tiba di pelabuhan Kajuadi. Tentukanlah: a. jarak pelabuhan Kajuadi dari pelabuhan Barru; b. jarak pelabuhan Kajuadi dari pelabuhan arah Utara pelabuhan Barru; c. jarak pelabuhan Kajuadi dari pelabuhan arah Timur pelabuhan Barru. F Aturan Sinus dan Cosinus Pada subbab sebelumna, Anda telah mempelajari rumus trigonometri. Rumus trigonometri ang telah Anda pelajari tersebut hana berlaku pada segitiga siku-siku. Untuk segitiga sebarang Anda dapat menentukan unsur-unsur ang belum diketahui dengan menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus. Kedua aturan tersebut sebagai berikut.. Aturan Sinus Agar Anda lebih mudah mempelajari materi aturan sinus, perhatikan segitiga-segitiga pada Gambar.5. Kata Kunci segitiga sebarang panjang sisi besar sudut sd s s sd s sd sd sd (i) (ii) (iii) s (sd - sd - s) (sd - s - sd) (s - s - sd) Gambar.4 Segitiga dengan berbagai unsur ang diketahui Trigonometri 75

83 C b A x E c D a B Gambar.6 Segitiga ABC dengan AD sebagai garis tinggi Segitiga (i) dan (ii) diketahui salah satu sisi dan dua sudutna, sedangkan segitiga (iii) diketahui dua sisi dan sudut di depan salah satu sisi ang diketahui. Bagaimana Anda dapat mengetahui ukuran sudut dan sisi lain dari ketiga segitiga tersebut? Perhatikan segitiga ABC pada Gambar.6. Misalkan, AD = x, AD adalah garis tinggi maka perbandingan trigonometrina adalah sin C = x = b sin A... () b sin B = x = a sin B... () c Dari persamaan () dan () diperoleh b sin C = c sin B ang dapat dibuat bentuk berikut. b c = sin B sinc Dengan menggunakan persamaan tersebut, panjang b dan c dapat dinatakan sebagai berikut. b = c i B dan c = b C sinc sin B Selanjutna, untuk mencari panjang a, Anda dapat menggunakan garis tinggi CE. Misalna, CE disimbolkan dengan maka perbandingan trigonometrina adalah sin A = b = b sin A... (3) sin B = a = a sin B... (4) Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh b sin A = a sin B. b a sin B = sin A sehingga a b A = sin B b c Dari bentuk sin B = sinc dan b a sin B = sin A, diperoleh aturan sinus ang dirumuskan sebagai berikut. B a b c sin A = sin B = sinc c a Contoh Soal. A b 45 C Diketahui segitiga ABC seperti pada gambar di samping ang unsurunsurna sebagai berikut. A = 90, C = 45, dan a = 6 cm. Tentukan unsur-unsur lainna. 76 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

84 Jawab: Coba Anda ingat kembali jumlah ketiga sudut dalam suatu segitiga adalah 80, sehingga A + B + C = 80 B = 80 ( A + C) = 80 ( ) = 45 Selanjutna, gunakan aturan sinus untuk mencari unsur lainna. a b = sin A sin B b = a i B sin A = 6 90 sin 45 Jadi, b = 6 cm. b c = sin B sinc c = b C = 6 sin 45 sin B sin 90 Jadi, c = 6 cm. = 6 = = 6 = 6 = 6 Notes C c a b A B Ingatlah jumlah ketiga sudut segitiga adalah 80 sehingga jika diketahui sudut BAC = a dan ACB = c, Anda dapat mencari sudut ABC dengan cara ABC = 80 ( BAC + ACB) = 80 (a + b) Jadi, unsur-unsur lainna adalah B = 45, b = 6 c = 6 cm. cm, dan Contoh Soal.3 Diketahui segitiga PQR dengan PQR = 45, QPR = 75, dan panjang sisi PR 8 cm. Tentukanlah panjang QP dan QR. Jawab: Soal tersebut dapat Anda gambarkan seperti gambar di samping. Dengan mengingat kembali bahwa jumlah sudut segitiga adalah 80, Anda dapat menentukan besar PRQ dengan cara berikut. PRQ = 80 ( PQR + QPR) = 80 ( ) = 80 (0 ) PRQ = 60 Selanjutna, Anda dapat menggunakan rumus sinus untuk mencari panjang PR dan QR. Aturan sinus ang berlaku pada segitiga ini adalah PR QR QP = = sin PQR sin QPR sin PRQ 8 QR QP = = sin 45 sin 75 sin 60 8 Untuk mencari panjang QP ambil sin 45 = QP sin60 45 Q P 75 R Trigonometri 77

85 8 = QP = QP QP = 4 6 Untuk mencari panjang QR gunakan aturan sinus berikut. 8 sin 45 = QR sin75 8 QR = sin 75 dicari dengan menggunakan kalkulator 0, 965 atau sin 75º = (45º + 30º) QR = 0,9 cm Jadi, panjang QP = 4 6 cm dan panjang QR = 0,9 cm. Contoh Soal.4 A A B C D B C Perhatikan gambar di samping. Ruas garis AB merupakan bentangan kawat sepanjang 5 km dan titik C menggambarkan posisi pabrik. Jika dari titik A ke C dan dari titik B ke C dipasang kawat, akan terbentuk segitiga ABC dengan CAB = 30 dan ABC = 60. Dari informasi tersebut, tentukanlah: a. panjang kawat listrik ang diperlukan dari titik B ke titik C; b. panjang kawat listrik terpendek ang dibutuhkan agar pabrik memperoleh penerangan listrik. Jawab: Perhatikan gambar di samping. Diketahui CAB = 30 dan ABC = 60, sehingga ACB = 90. Selanjutna, Anda dapat menggunakan rumus sinus untuk menjawab pertanaan-pertanaan tersebut. a. Mencari panjang kawat listrik ang diperlukan dari titik B ke titik C berarti Anda harus mencari panjang BC. BC Aturan sinus ang berlaku AB = sin CAB sin BCA BC = AB sin CAB sin BCA = 5 30 sin 90 = 5 Ê ˆ Á Ë =,5 Jadi, panjang kawat listrik ang menghubungkan titik B dan C adalah,5 km. 78 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

86 b. Jarak terpendek dari pabrik ke bentangan kawat listrik adalah garis CD karena garis CD merupakan jarak terpendek dari C ke AB (CD tegak lurus AB). Pada segitiga BCD berlaku hubungan berikut. CD BC = sin CBD sin CDB 5 Ê ˆ BC sin CBD 5, sin60 Á CD = = = Ë 3 sincdb sin 90 = ª, Jadi, kawat listrik terpendek agar pabrik mendapat penerangan adalah, km.. Aturan Cosinus Perhatikan segitiga pada Gambar.7 berikut. Soal Pilihan Jika dari segitiga ABC diketahui AC = cm, BC = 0 cm, dan sudut A = 60 maka sudut C adalah... a. 05 d. 55 b. 90 e. 45 c. 75 Soal UMPTN, 00 S S S sd S S (a) (b) (s-sd-s) (s-s-s) Gambar.7 (a) segitiga ang diketahui dua sisi dan sudut ang diapitna (b) segitiga ang diketahui ketiga sisina Pada segitiga (a), diketahui sebuah sudut dan dua buah sisi ang mengapitna, sedangkan pada segitiga (b), diketahui panjang ketiga sisina. Bagaimana cara Anda mengetahui ukuran sudut dan sisi lainna dari kedua segitiga tersebut? Perhatikan segitiga pada Gambar.8. Misalkan, A, b, dan c diketahui. Kemudian, Anda diminta mencari panjang a. Langkah ang dapat Anda lakukan adalah sebagai berikut. Buat garis tinggi BD, sebut panjang BD adalah x cos A = AD AD = c cos A c Perhatikan segitiga ABD pada Gambar.8. Pada segitiga ABD berlaku dalil Pthagoras berikut. x = c AD = c (c cos A) = c c cos A A c Gambar.8 B x D b Segitiga ABC ang diketahui dua sisi dan sudut ang diapitna a C Trigonometri 79

87 Notes Garis tinggi pada segitiga merupakan garis ang ditarik dari titik puncak segitiga tegak lurus dengan alas segitiga. C DC = (b AD) = b bad + AD = b bc cos A + c cos A Perhatikan pula segitiga BCD. Pada segitiga BCD berlaku dalil Pthagoras berikut. a = DC + x = (b bc cos A + c cos A) + c c cos A = b + c bc cos A Tugas Siswa. A D B Pada gambar tersebut CD merupakan garis tinggi segitiga ABC. Dengan cara ang sama seperti pada uraian di atas, coba Anda buktikan rumus berikut. b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C b C a Dengan demikian, dapat diperoleh hasil berikut. Pada setiap segitiga ABC dengan panjang sisi BC, AC, dan AB berturut-turut a, b, dan c serta sudut di depan sisi-sisi tersebut berturut-turut A, B, C maka berlaku aturan cosinus berikut. a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C A c B Untuk menentukan besar sudut dalam suatu segitiga, aturan cosinus dapat dirumuskan sebagai berikut. Gambar.9 Segitiga ABC dan panjang sisina cos A = b c - a bc cos B = a + c - b ac cos C = a b - c ab C Contoh Soal.5 b = 8 cm 60 A c = 5 cm a B Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi b = 8 cm, sisi c = 5 cm, dan A = 60. Hitunglah sisi a. Jawab: a = b + c bc cos A = (8) (5) cos 60 = (40) Ê ˆ Á Ë 80 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

88 a = = 49 a = 49 = 7 Jadi, panjang sisi a adalah 7 cm. Contoh Soal.6 Hitunglah besar sudut-sudut pada segitiga ABC, jika diketahui a = 5 cm, b = 7 cm, dan c = 9 cm. Jawab: cos A = b a c - bc = = 7 ( )( 9) 6 Anda dapat mencari besar sudut A dengan mencari cos 0,833 menggunakan kalkulator. A = cos 0,833 = 33,6 Jadi, A = 33,6. cos B = a b + c - ac = () ( 9) = 90 = = 0,633 B = cos 0,633 = 50,7 Jadi, B = 50,7. C = 80 (33,6 + 50,7 ) = 80 84,3 = 95,7 Jadi, C = 95,7º. A b = 7 cm c = 9 cm C a = 5 cm B Contoh Soal.7 Utara C Pada sebuah peta dengan skala :00.000, letak tempat wisata C dari tempat wisata A adalah 30 seperti pada gambar di samping. Jika hasil pengukuran pada peta diperoleh jarak dari tempat wisata A ke tempat wisata C adalah 530 mm dan jarak dari tempat wisata A ke tempat wisata B adalah 465 mm, tentukanlah jarak sebenarna dari tempat wisata B ke tempat wisata C. A B 30 Timur Trigonometri 8

89 Jawab: Berdasarkan rumus cosinus pada segitiga ABC maka berlaku BC = AC + AB (AC)(AB) cos 0 = (530) + (465) (530) (465) Ê ˆ Á - Ë = BC = = 86,3 mm Jadi, jarak tempat wisata B ke tempat wisata C ang sebenarna adalah 86, m atau 86,3 km. Evaluasi Materi.6 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Tentukanlah unsur-unsur segitiga ABC lainna apabila diketahui unsur-unsur sebagai berikut. a. B = 30, C = 45, dan C = 4 cm b. a = 3 cm, B = 37, dan C = 30 c. a = 5 cm, A = 0, dan B = 30. Tentukan sisi-sisi segitiga ABC, jika diketahui sebagai berikut. a. a + b = 0, A = 30, dan B = 45 b. a + b = 30, B = 45, dan C = 45 c. A B = 5, A = 60, dan B = 60 d. A B = 5, A = 30, dan B = Tentukan sisi-sisi dari segitiga ABC jika a + b + c = 50, A = 50, dan B = Perhatikan gambar berikut. Ruas garis AB merupakan bentangan kawat sepanjang 4 km dan titik C mengambarkan posisi pabrik. Jika dari titik A ke C dan dari titik B ke C dipasang kawat, akan terbentuk segitiga ABC dengan CAB = ABC = 45. Hitunglah panjang kawat listrik terpendek ang dibutuhkan agar pabrik memperoleh penerangan listrik. A B penerima A dan B. Diketahui sudut elevasi antara sinal ang dipancarkan dan gedung penerima A adalah 75,0, sedangkan sudut elevasi dari gedung penerima B adalah 6,3. Jika jarak antara gedung penerima A dan B adalah.50 km, tentukan jarak satelit dari gedung penerima A. B A 6. Kapal laar berangkat dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan arah 70. Kemudian, kapal laar tersebut berlaar ke pelabuhan C dengan arah 40. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan B adalah 00 km. Pelabuhan C berada pada arah 0 dari pelabuhan A maka hitunglah: a. jarak pelabuhan C dari A; b. jarak pelabuhan C dari B. 7. Perhatikan gambar berikut. D C 5. Sebuah satelit komunikasi tepat berada di atas garis ang menghubungkan gedung A 5 B 35 8 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

90 Jika titik B terletak pada kaki bukit dan dari titik B terlihat puncak bukit, aitu D dengan sudut elevasi 35. Kemudian, titik A terletak sama tinggi dengan titik B. Dari titik A puncak bukit terlihat dengan sudut elevasi 5. Jika jarak AB adalah.00 meter maka hitunglah tinggi bukit tersebut. 8. Tentukan panjang sisi ketiga segitiga untuk setiap segitiga berikut. a. pada segitiga ABC, jika b =, c = 5, dan A = 60 b. pada segitiga ABC, jika a =, c = 5, dan B = 5 c. pada segitiga ABC, jika b = 6, c = 8, dan A = 55,8 9. Tentukanlah besar sudut pada segitiga ang diketahui unsur-unsurna sebagai berikut. a. A pada ΔABC, jika a =, b = 0, dan c = 8 b. B pada ΔABC, jika a = 6, b = 7, dan c = 5 c. R pada ΔPQR, jika p = 8, q = 0, dan r = 5 0. Dua buah satelit diamati dari sebuah stasiun pengamatan. Jarak salah satu satelit dengan stasiun adalah.500 km dan satelit lainna ber jarak.900 km dari stasiun. Sudut ang dibentuk kedua satelit dan stasiun pe ngamatan adalah 0. Tentukanlah jarak kedua satelit tersebut. satelit satelit.500 km 0 stasiun.800 km G Luas Segitiga. Luas Segitiga ang Diketahui Sebuah Sudut dan Dua Sisi ang Mengapitna Perhatikan segitiga ABC pada Gambar.30. Misalkan, panjang AB adalah c, panjang BC adalah a, panjang AC adalah b, dan panjang BD adalah x maka sin A = x x = c sin A c sin C = x a x = a sin C Kata Kunci sudut apit panjang sisi luas daerah L ΔABC = alas tinggi b x b csin A = = = bcsin A L ΔABC = alas tinggi b x b asin A = = = absinc Trigonometri 83

91 c x B a Sekarang, perhatikan segitiga pada Gambar.3. Misalkan, diketahui panjang AB = c, panjang BC = a, panjang AC = b, dan panjang AE = maka sin B = = c sin B c A b B D C Gambar.30 Segitiga ABC dengan BD sebagai garis tinggi sin C = = b sin C b L ΔABC = alas tinggi a = a = asin B = absin B alas tinggi atau L ΔABC = a = a = asinc = absinc Berdasarkan uraian tersebut diperoleh hasil berikut. Untuk menghitung luas daerah segitiga jika diketahui sebuah sudut dan dua sisi ang mengapitna Anda dapat menggunakan rumus berikut. c E a L = bc sin A A b C L = ac sin B Gambar.3 L = ab sin C Segitiga ABC dengan AE sebagai garis tinggi Contoh Soal.8 Hitunglah luas ΔABC, jika diketahui sisi b = 4, c = 5, dan A = 30. C Jawab: b = 4 L ΔABC = bc sin A A 30 c = 5 B = 4 5 sin 30 = 4 5 = 5 Jadi, luas ΔABC adalah 5 satuan luas. Contoh Soal.9 q = 7 cm R Diketahui luas ΔPQR adalah 43 cm. Jika panjang q = 7 cm dan r = 36 cm, berapakah besar P? Jawab: P r = 36 cm Q L ΔPQR = q r sin P 84 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

92 43 = 7 36 sin P 486 = 97 sin P sin P = = P = sin = 30 Jadi, besar P = 30.. Luas Segitiga ang Diketahui Dua Sudut dan Panjang Salah Satu Sisina Perhatikan Gambar.3. Misalkan, diketahui A, B, dan panjang c. Dari aturan sinus dan luas segitiga diperoleh a b sin A = sin B dan luas segitiga = L = ab sin C, sehingga a = b A sin B Jadi, luas segitiga = L = ab sin C = b A b sin C sin B = b i Asin C sin B A b C Gambar.3 c Segitiga ang diketahui dua sudut dan panjang salah satu sisina a B Tugas Siswa. Dengan cara ang sama seperti pada uraian di atas, buktikanlah rumus berikut. a Bsin C c i Asin B L = ; L = si A sinc Jadi, untuk menentukan luas segitiga jika diketahui sebuah sisi dan dua sudut ang mengapitna dapat digunakan rumus berikut. Trigonometri 85

93 Soal Pilihan Soal Terbuka Buatlah sebuah soal untuk segitiga ang diketahui dua sudut dan panjang salah satu sisina. Tukarlah soal tersebut dengan teman Anda. Kemudian, tentukanlah luas segitiga tersebut. Contoh Soal.30 a i BsinC L = sin A L b = A s inc sin B L c i = A s in B sinc Hitunglah luas segitiga berikut. a. C b. 0 cm B C A cm Jawab: a. Diketahui AB = 0 cm A = 30 B = 30 C = 80 ( ) = 0 ( ) sinb sin A L = sinc 0 sin 30 sin 30 = sin0 00 Ê = ÁÊ ˆ Ë Ê ÁÊ ˆ Ë Ê ÁÊ Ë 3 ˆ = 5 3 = 5 3 cm 3 b. Diketahui BC = 0 cm B = 60, C = 30 A = 80 ( ) = 90 L = ( ) sin Bsin C sin A 0 sin 60 sin30 = i = 3 Ê ÁÊ ˆ Ë = 5 3 cm B A 86 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

94 3. Luas Segitiga ang Diketahui Ketiga Sisina Perhatikan segitiga pada Gambar.33. Pada pelajaran sebelumna, Anda telah mempelajari bahwa rumus luas segitiga adalah L ΔABC = ac sin B...() Misalkan, s = a + b + c. Menurut rumus identitas trigonometri sin B = cos B = ( + cos B) ( cos B) Ê a + c -b ˆ Ê a + c -b ˆ = Á + Á - Ë ac Ë ac = ac + a + c - b ac - a c + b ac ac = ( ) - ( ) -( b + b ac ac ( ) = b )( b )( a b )( b 4ac = s( s b )( s s c )( s a) 4ac = s( s b) ( s c ) ( s a) 4ac = 4 s( a a) ( s b )( s c) ac A b Gambar.33 C c Segitiga ABC ang diketahui ketiga sisina a B sin B = ac a( s a) ( s b )( s c)...() Jika persamaan () disubstitusikan ke persamaan () maka Anda akan memperoleh rumus luas segitiga berikut. L ΔABC = s( s a) ( s b )( s c) Jadi, rumus luas ΔABC jika diketahui ketiga sisina adalah L = s( s a) ( s b )( s c) dengan s = a b + c Trigonometri 87

95 Contoh Soal.3 Hitunglah luas segitiga berikut. a. B 5 cm C b. R 8 cm P 4 cm 7 cm 7 cm 9 cm A Q B a = 5 cm C Jawab: a. Perhatikan gambar di samping Diketahui AB = 4 cm c = 4 cm BC = 5 cm a = 5 cm AC = 7 cm b = 7 cm S = (a + b + c) = ( ) = (6) = 8 c = 4 cm b = 7 cm L ΔABC = s( s a) ( s b )( s c) = 88 ( 8 5) ( 8 7 )( 8 4) A = 83 () () ( 4 ) = 96 = 6 6 = 4 6 Jadi, luas ΔABC adalah 4 6 cm. b. P = 7 cm Q = 8 cm R = 9 cm R q = 8 cm P S = (p + q + r) = ( ) = (4) = p = 7 cm Q r = 9 cm L ΔPQR = s( s p) ( s q )( s r) = ( 7) ( 8 )( 9) = () 5 ( 4 )() 3 = 5 5 = 5 Jadi, luas ΔPQR adalah 5 cm. 88 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

96 Evaluasi Materi.7 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Hitunglah luas segitiga ABC ang diketahui unsur-unsurna sebagai berikut. a. a = 6, b = 5, dan C = 45, satuan panjang dalam meter b. a = 4, b = 5, dan C = 45, satuan panjang dalam meter c. a = 5, c = 4, dan A = 79,3, satuan panjang dalam sentimeter d. a = 0, c = 0, dan B = 00, satuan panjang dalam milimeter. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, dan c = 5 cm. 3. Hitunglah luas segitiga XYZ, jika panjang XY = cm, XZ = 4 cm, dan YZ = 6 cm. 4. Hitunglah luas segitiga samasisi ABC, jika a = 8 cm. 5. Hitunglah luas segitiga samakaki ABC, jika a = b = 3 cm, dan C = 6,8. 6. Diketahui jajargenjang ABCD. Jika panjang AB = 6 cm, AD = 0 cm, dan besar A = 8,4. Hitunglah luas jajargenjang tersebut. 7. Dua sisi ang berdekatan pada suatu jajargenjang adalah 84 cm dan 68 cm. Sudut apit sisi itu adalah 7. Hitunglah luas jajargenjang tersebut. 8. Pada segiempat ABCD, diketahui A = 90, BDC = 54, AB = 4 cm, AD = 8 cm, dan CD = 6 cm. Hitunglah: a. panjang BD; b. luas ABCD. 9. Diketahui luas segitiga ABC adalah 0,7 cm, panjang AB = 6,4 cm, dan panjang AC = 8,54 cm. Hitunglah besar sudut A (Ada dua kemungkinan). 0. Panjang kedua sisi ang sama dari segitiga samakaki adalah 4, cm. Luas segitiga tersebut adalah 6 cm. Berapakah panjang sisi ketiga? (Ada dua kemungkinan). Trigonometri 89

97 Ringkasan Ilmu trigonometri telah dikenal sejak kurang lebih.000 tahun sebelum Masehi pada saat bangsa Yunani mengembangkan metode ilmiah untuk mengukur sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga. Jika diketahui segitiga ABC dengan siku-siku di C dan BAC = q maka perbandingan trigonometri untuk sudut q dapat dinatakan sebagai berikut. sin q = a c cos q = b c ; cosec q = c a ; sec q = c b tan q = a ; cotan q = b b a Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa, aitu 0, 30, 45, 60, dan 90 dapat ditentukan dengan mudah. Penentuan letak suatu titik selain dinatakan dalam bentuk koordinat Cartesius, dapat pula dinatakan dengan koordinat polar (kutub). Pada segitiga sebarang akan berlaku aturan sinus dan aturan cosinus. A b C c Aturan sinus dirumuskan sebagai berikut. a b c = = sin A sin B sinc Aturan cosinus dirumuskan sebagai berikut. a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C Luas segitiga dapat dicari dengan rumus berikut. L = alas tinggi L = ab sin C L = ac sin B L = bc sin A a B L = s( s a) ( s b )( s c), dengan S = (a + b + c) Kaji Diri Setelah mempelajari materi Bab Trigonometri ini, adakah materi ang belum Anda pahami? Materi manakah ang belum Anda pahami? Diskusikanlah bersama teman dan guru Anda. 90 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

98 Evaluasi Materi Bab Kerjakan di buku latihan Anda. A. Pilihlah satu jawaban ang tepat.. Nilai sin a pada segitiga berikut adalah... C 7 a. b. c. B a d. e. A Jika diketahui tan a adalah 4 maka pernataan ang tepat adalah 3... a. sin a = 3 b. sin a = 3 4 c. sin a = 3 5 d. cos a = 3 5 e. cos a = Sebuah tangga ang panjangna 6 meter disandarkan pada tembok dan membentuk sudut 60 dengan lantai. Tinggi tembok dari lantai sampai ke ujung tangga adalah... a. 3 3 d. 3 b. 3 e. 3 c. 4. Nilai cos 45 sama dengan nilai... a. cos 35 d. sin 35 b. cos 5 e. tan 35 c. cos adalah nilai dari a. sin 60 b. cos 30 c. cos ( 60) d. cos 40 e. sin 0 sin 5 (cos 45 + sin 90 ) =... tan45 + sin 45 a. d. b. e. 3 c cos tan 40 sin 45 =... a. 5 9 d b. 5 9 e. 9 5 c Jika sin a adalah dan cos a adalah maka a terletak pada kuadran... a. I d. IV b. II e. I dan II c. III 9. Pernataan mengenai perbandingan trigonometri ang salah adalah... a. sin 50 = cos 45 b. tan 35 = cotan 55 c. cotan 35 = tan 65 d. sin 45 = cos 45 e. cos 5 = sin Jika tan A = 3 4 dalam interval 80 < A < 70 maka nilai sin (80 A) + cos (80 + A) adalah... Trigonometri 9

99 Panjang sisi AB pada a. 3 6 d. 5 5 b. 4 8 e. 5 5 c. 5. Jika diketahui sin a = 0,47 maka pernataan ang benar adalah... a. sin (90 a) = 0,47 b. sin (90 + a) = 0,47 c. sin (80 + a) = 0,47 d. sin (80 a) = 0,47 e. sin (360 a) = 0,47. Nilai tan 35 sama dengan nilai... a. tan 45 b. tan 45 c. cotan 45 d. tan 5 e. tan ( + cos a) ( cos a) =... a. sin a d. tan a b. cos a e. cotan a c. tan a 4. B 5 cm C 60 segi tiga di samping adalah... a. 5 cm b. 5 cm c. 5 3 cm d. 0 cm A 5 e. cm 5. Pada segitiga ABC tumpul, cos BAC = 3 5, sin ABC =, dan panjang sisi BC = 8 cm. 5 panjang sisi AC =... cm. a. 30 b. 45 c. 35 d. 30 atau 50 e. 45 atau Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm, sisi AC = 4 cm, dan sin A =. Nilai cos B adalah... a. d. 3 5 b. e. 5 3 c Ditentukan ΔABC, AB = 9 cm, BC = 6 cm, dan AC = 4 cm. Besar sudut ang terbesar pada ΔABC adalah... a. 30 d. 0 b. 45 e. 50 c Diketahui segitiga dengan panjang sisi berturutturut adalah 0 cm, cm, dan 3 cm. Luas segitiga tersebut adalah... a. 74 d b. 74 e.. 48 c Pada ΔPQR diketahui P = 65 dan R = 85. Panjang sisi QR = 4 cm dan sisi PQ = 8 cm. Luas ΔPQR adalah... cm. a. 8 d. 4 b. 6 e. 3 c Luas segitiga berikut adalah... R 6 45 P 7 Q a. d. 0 b. e. 0 c. 3 9 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

100 B. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Seorang wisatawan ingin menentukan tinggi sebuah tugu. Dia menelungkup pada jarak 5 m dari tugu dengan sudut pandang 60. Berapakah tinggi pohon tersebut?. Seorang tukang ukur mengukur sebidang tanah. Batas tanah AB panjangna 440 m. Tonggak batas C diukur dengan arah letakna dari A dan dari B menghasilkan besar BAC = 48 dan ABC = 75. Hitunglah jarak tonggak batas C dari A dan dari B. 3. a. Natakan titik P (3, 3), Q ( 3, ), dan R (, 3 ) ke dalam koordinat kutub. b. Natakan titik P(4, 60 ), Q(0, 50 ), dan R(0, 40 ) ke dalam koordinat Cartesius. 4. Dafa dan Ahmad melihat sebuah menara dari tempat ang berbeda, tetapi masih dalam satu garis lurus. Jarak Ahmad ke menara adalah 6 m, sedangkan jarak antara keduana 9 m. Jika sudut ang terbentuk antara tempat Ahmad berdiri dan menara adalah 60, tentukanlah jarak Dafa ke menara. 5. Tentukanlah besar sudut dan panjang sisi-sisi ang belum diketahui dari segitiga berikut. Kemudian, hitung luasna. B A cm 45 C Pilihan Karir Desainer grafis merupakan pembuat alat komunikasi visual ang menggunakan teks dan atau gambar untuk menampaikan informasi atau pesan. Desainer grafis menata tampilan huruf dan ruang komposisi untuk menciptakan sebuah rancangan ang efektif dan komunikatif. Pada awalna, desainer grafis hana membuat desain grafis ang diterapkan untuk media-media statis, seperti buku, majalah, dan brosur. Sejalan dengan perkembangan zaman, desain grafis juga diterapkan dalam media elektronik ang sering disebut sebagai "desain interaktif" atau "desain multimedia". Sumber: id.wikipedia.org Trigonometri 93

101 Evaluasi Semester Kerjakan di buku latihan Anda. A. Pilihlah satu jawaban ang tepat.. Daerah himpunan penelesaian dari < x 4 adalah... a.. Daerah himpunan penelesaian dari 3x x + 4 < adalah... a b. b c. 4 c. 4 3 d. d e. e Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

102 3. Perhatikan grafik berikut. x = 3 d x x Daerah ang diarsir merupakan himpunan pene lesaian dari... a. x, 0, 5x b. x, 0, 5x c. x, 0, 5x+3 5 d. x, 0, 3x e. x, 0, 3x Grafik himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan x 0 0 3x x + 6, adalah... a. b. c x x x e Harga sendal A adalah Rp0.000,00 dan harga sendal B adalah Rp8.000,00. Modal ang ada hana Rp ,00 dan kapasitas tempat berjualan hana 450 pasang sendal. Model matematika untuk masalah tersebut adalah... a. x 0, 0, 4x , x b. x 0, 0, 5x , x c. x 0, 0, 5x , x d. x 0, 0, 4x , x e. x 0, 0, 5x , x Luas suatu daerah parkir adalah 360 m. Luas rata-rata ang diperlukan sebuah mobil sedan adalah 6 m dan untuk sebuah bus adalah 4 m. Daerah parkir itu tidak dapat menampung lebih dari 30 kendaraan. Jika biaa parkir untuk sebuah sedan Rp5.000,00 dan untuk bus adalah Rp0.000,00, pendapatan maksimum ang dapat diperoleh adalah... a. Rp00.000,00 b. Rp50.000,00 c. Rp00.000,00 d. Rp50.000,00 e. Rp ,00 7. Jika segilima OPQRS merupakan himpunan penelesaian program linear maka maksimum fungsi x + 3 terletak di titik x Evaluasi Semester 95

103 S (0, 3) O R (, 5) Q (5, 3) P (6, 0) a. O d. R b. P e. S c. Q 8. Nilai maksium f(x, ) = 0x + 30 dengan sarat x + 40, 3 + x 90, x 0, 0 adalah... a. 950 e. 50 b. 000 d. 00 c Himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan x + 40, x + 40, x 0, 0 terletak pada daerah berbentuk... a. laang-laang b. persegi panjang c. segitiga d. trapesium e. jajar genjang 0. Koordinat titik-titik di dalam dan sepanjang sisi segitiga BCD dalam gambar berikut me menuhi pertidaksamaan... (0, 8) (0, 6) (0, ) D B C (, 0) (8, 0) (, 0) a. 4x + 8, 3x + 4 4, x + 6 b. 4x + 8, 4x + 3 4, 6x + c. x + 4 8, 3x + 4 4, x + 6 d. 4x + 8, 3x + 4 4, 6x + e. x + 4 8, 3x + 4 4, x + 6. Perhatikan ΔABC berikut. B a g b a b C c A Aturan sinus ang berlaku pada segitiga tersebut adalah... a. a b = sin a b c d. = sing sing sin a b. b a = sin b b c e. = sing sin b sin a c. c b = sing sin a. Jika nilai cos x = maka sudut x ang mungkin adalah... a. 60 dan 50 b. 60 dan 0 c. 30 dan 0 d. 60 dan 300 e. 30 dan Jika sin 60 º = m maka nilai m adalah... a. 0 b. c. d. 3 e Agar tidak tumbang, pohon kelapa ang tinggi batangna 4 meter dan membentuk sudut 30 dengan permukaan tanah, di topang dengan batang bambu. Jika batang bambu penopang tadi tegak lurus permukaan tanah dan menangga pohon kelapa maka panjang batang bambu tersebut sama dengan... meter. 96 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

104 a. b. c.,5 d. 3 e Jika diketahui sin a = 0,96 dan sudut a lancip maka cos a adalah... a. 0,96 b. 0,84 c. 0,7 d. 0,8 e. 0,8 6. Jika diketahui sin a = 5 3 dan cos b = 3 5 maka tan a tan b =... a b. 5 9 c. 5 6 d. 9 5 e Jika diketahui cos a = 0,75 maka pernataan ang benar adalah... a. sin (80 a) = 0,75 b. sin (90 a) = 0,75 c. sin (360 a) = 0,75 d. sin (80 + a) = 0,75 e. sin (90 + a) = 0,75 8. Satu adalah nilai trigonometri dari... a. tan ( 45) b. tan 35 c. tan ( 5) d. tan 5 e. tan Titik P(, ) jika diubah ke dalam koordinat kutub P(r, q ) adalah... a. P(, 45 ) b. P(, 45 ) c. P(, 35 ) d. P(, 35 ) e. P(, 35 ) 0. Titik P(4, 35 ) jika diubah ke dalam koordinat Cartesius adalah... a. P(, ) b. P(, ) c. P(4, ) d. P( 3, 3 ) e. P( 3, 3 ). Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 7 cm, BC = 4 cm, dan ABC = 0. Panjang sisi AC =... cm. a. 37 b. 7 c. 8 d. 93 e. 7. Seorang seniman membuat ukiran pada pigura seperti pada gambar berikut A C 8 Panjang sisi BC pada pigura adalah... a. b. c. 3 d. 5 e Diketahui ΔPQR, dengan panjang PQ = 9 cm, QR = 6 cm, dan PR = 4 cm. Besar sudut ang ter besar pada ΔPQR adalah... B Evaluasi Semester 97

105 a. 30 b. 45 c. 60 d. 0 e Pada ΔABC ditentukan bahwa a = 8 cm, b = 0 cm, dan kelilingna 40 cm. Luas segitiga tersebut adalah... a. 40 cm b. 30 cm c. 0 cm d. 0 cm e. 8 cm 5. Pada segitiga KLM diketahui k = 6 cm, l = 0 cm, dan luas segitiga adalah 40 cm. Besar sudut apit sisi k dan sisi l adalah... a. 75 b. 60 c. 45 d. 30 e. 5 B. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Andi memiliki uang Rp.000,00. Dia akan membeli 4 buku tulis dan pensil. Sementara itu, Ani memiliki uang Rp6.500,00 dan akan membeli 5 buku dan pensil. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut, jika uang ang dimiliki Andi dan Ani habis untuk membeli buku dan pensil.. Tentukan nilai maksimum f(x, ) = x + 3 dengan kendala sebagai berikut. x + 5 0, x + 4 6, x 0, 0 3. Tentukan nilai minimum f(x, ) = 4x + 3 dengan kendala sebagai berikut. 4x + 5 8, x + 6, x 0, dan 0 4. Seorang penjahit akan membuat jenis pakaian. Pakaian jenis A memerlukan 4 m kain katun dan m kain batik. Pakaian jenis B memerlukan m kain katun dan 4 m kain batik. Biaa ang dikeluarkan penjahit tersebut untuk membuat pakaian jenis A adalah Rp75.000,00 dan pakaian jenis B adalah Rp50.000,00. Tentukan biaa minimum ang dapat dikeluarkan oleh penjahit tersebut jika ia memiliki paling banak 50 m kain katun dan 60 m kain batik. 5. Suatu pesawat memiliki tempat duduk tidak lebih dari 48 kursi. Setiap pe num pang kelas bisnis mendapat jatah bagasi seberat 60 kg, sedangkan penum pang kelas ekonomi men dapat bagasi ang dibatasi seberat 0 kg. Pesawat tersebut hana dapat membawa bagasi se berat 440 kg. a. Jika banak penumpang kelas bisnis dinatakan dengan x dan penumpang kelas ekonomi dinatakan dengan, buatlah model matematikana. b. Gambarlah grafik himpunan penelesaian dari model matematika tersebut. c. Jika tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp ,00 dan untuk kelas ekonomi adalah Rp ,00, tentukanlah laba maksimum ang dapat diperoleh. 6. Suatu tangga panjangna 6 m disan darkan pada dinding sebuah rumah sehingga jarak pangkal tangga dengan rumah adalah 8 m. Tentu kanlah besarna sudut ang dibentuk oleh tangga dengan tanah. 7. Natakanlah bentuk perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan sudut lancip. Kemudian, tentukan nilaina. 98 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

106 a. sin 750 b. cos 30 c. tan Kerjakanlah soal-soal konversi koordinat Cartesius dan koordinat kutub berikut. a. Jika koordinat kutub titik P adalah (3, 0 ) maka tentukanlah koordinat Cartesiusna. b. Koordinat Cartesius titik Q adalah ( 3, ). Tentukanlah koordinat kutubna. 9. Penampang kuda-kuda atap sebuah rumah menerupai gambar berikut. A 0. Hitunglah luas segitiga berikut. a. b. A P cm 7 C R 8 5 B Q 4 m B Tentukanlah panjang BC. C Tugas Observasi Semester 99

107 Tugas Observasi Semester Anda telah mempelajari materi Program Linear pada Bab. Sekarang, Anda akan menggunakan materi tersebut untuk menelesaikan permasalahan ang berhubungan dengan jurusan Anda. A. Seni Sumber: Kunjungilah perusahaan pembuatan kerajinan di daerah Anda. Kumpulkan informasi untuk menentukan keuntungan maksimum ang dapat diperoleh pengusaha kerajinan tersebut. Langkah-langkah ang dapat Anda lakukan sebagai berikut.. Kumpulkanlah data mengenai jenis kerajinan ang dibuat oleh perusahaan tersebut berikut waktu ang diperlukan untuk membuat kerajinan. Tuliskan data tersebut seperti pada tabel berikut. Waktu ang Diperlukan Waktu Pembuatan Terlama (Jam) Proses Meja Kursi Pembuatan Pengecatan Kumpulkanlah data mengenai keuntungan setiap kerajinan ang dibuat. Tuliskan data-data tersebut seperti pada tabel berikut. No. Jenis Kerajinan Keuntungan/Buah. Meja.... Kursi Buatlah sistem pertidaksamaan linear dari data pada langkah nomor. 4. Buatlah fungsi objektif dari data pada langkah nomor. 5. Selesaikanlah persoalan tersebut hingga Anda memperoleh keuntungan maksimumna. 6. Kumpulkanlah tugas ang telah Anda kerjakan kepada guru Anda. 00 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

108 B. Pariwisata Sumber: Kunjungilah salah satu penewaan bus pariwisata di daerah Anda. Kumpulkan informasi untuk menentukan keuntungan maksimum ang dapat diperoleh pengusaha penewaan bus pariwisata tersebut. Langkah-langkah ang dapat Anda lakukan sebagai berikut.. Kumpulkan data jumlah bus kecil dan bus besar ang dimiliki perusahaan tersebut. Kumpulkan data kapasitas bus kecil dan bus besar. Tuliskan data-data tersebut seperti pada tabel berikut. Jenis Bus Bus Kecil Bus Besar Persediaan Banak bus Kapasitas kursi Kumpulkan data mengenai keuntungan ang diperoleh dari setiap pene waan bus kecil dan bus besar. Tuliskan data tersebut seperti pada tabel berikut. No. Jenis Bus Keuntungan. Bus kecil.... Bus besar Buatlah sistem pertidaksamaan linear dari data pada langkah nomor. 4. Buatlah fungsi objektif dari data pada langkah nomor. 5. Selesaikanlah persoalan tersebut hingga Anda memperoleh keuntungan maksimum dari penewaan bus tersebut. 6. Kumpulkanlah tugas ang telah Anda kerjakan kepada guru Anda. C. Teknologi Kerumahtanggaan Kunjungilah salah satu salon kecantikan di daerah Anda. Kumpulkan informasi untuk menentukan pendapatan maksimum ang dapat diperoleh pengusaha salon tersebut. Langkah-langkah ang dapat Anda lakukan sebagai berikut. Tugas Observasi Semester 0

109 . Kumpulkan data mengenai jenis pelaanan ang diberikan salon tersebut per hari berikut waktu pengerjaan setiap pelaanan. Tuliskan data-data tersebut seperti pada tabel berikut. Jenis Pelaanan Waktu ang Diperlukan Rambut Panjang Rambut Pendek Waktu Maksimum Pelaanan Pemotongan rambut Creambath Kumpulkan data mengenai biaa setiap pelaanan. Tuliskan data tersebut seperti pada tabel berikut. No. Jenis Pelaanan Biaa. Pemotongan rambut.... Creambath Buatlah sistem pertidaksamaan linear dari data pada langkah nomor. 4. Buatlah fungsi objektif dari data pada langkah nomor. 5. Selesaikanlah persoalan tersebut hingga Anda memperoleh pendapatan maksimum dari salon tersebut. 6. Kumpulkanlah tugas ang telah Anda kerjakan kepada guru Anda. 0 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

110 Bab 3 Barisan dan Deret Sumber: i74.photobucket.com Pada bab ini, Anda diajak menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi pola, barisan, dan deret bilangan, menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika, serta menerapkan konsep barisan dan deret geometri. Pada saat Anda duduk di bangku SMP kelas IX, Anda sudah mempelajari konsep pola bilangan. Coba Anda ingat kembali materi tentang barisan dan deret bilangan ang telah dipelajari tersebut. Materi tersebut akan dipelajari kembali secara luas dan mendalam serta penerapanna dalam pemecahan masalah sehari-hari. Salah satuna masalah berikut. Jumlah penduduk suatu kota dalam 0 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan pada tahun 00 mendatang akan mencapai 6,4 juta orang. Dapatkah Anda menentukan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 960? Agar Anda dapat menjawab pertanaan tersebut, pelajarilah bab ini dengan baik. A. Barisan dan Deret Bilangan B. Barisan dan Deret Aritmetika C. Barisan dan Deret Geometri D. Pemecahan Masalah dengan Model Berbentuk Barisan dan Deret Barisan dan Deret 03

111 Peta Konsep Materi mengenai Barisan dan Deret dapat digambarkan sebagai berikut. Barisan dan Deret karena ada Keteraturan Pola Tertentu dibedakan menjadi Barisan Aritmetika U n = a + (n )b membentuk Barisan Geometri U n = ar n membentuk Deret Aritmetika n S = n ÎÈ ( n ) b a + (n - Deret Geometri a( r n - ) Sn = r - membentuk Deret Geometri tak Hingga a S = - r Soal Pramateri Kerjakanlah soal-soal berikut sebelum Anda mempelajari bab ini.. Tentukanlah sepuluh bilangan asli ang pertama.. Tentukanlah tiga bilangan berikutna dari masing-masing barisan berikut. a. 3, 6, 9,,...,...,... b. -, -7, -, 3,...,...,... c., 5, 9, 3,...,..., Hitunglah. a. 5 4 ˆ4 b. Ê Á Ë 3 c. ( ) 4 d. () 3 e. 04 = n, n = Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

112 A Barisan dan Deret Bilangan Dalam kehidupan sehari-hari, Anda pasti pernah melihat nomor rumah ang berada di suatu jalan. Kalau Anda perhatikan, biasana rumah ang berada di sebelah kiri jalan bernomor ganjil dan rumah ang berada di sebelah kanan jalan bernomor genap. Nomor-nomor rumah tersebut dikatakan membentuk suatu pola tertentu. Di sebelah kiri jalan, nomor rumah membentuk pola bilangan ganjil, aitu, 3, 5, 7,... Sebalikna, di sebelah kanan jalan nomor rumah membentuk pola bilangan genap, aitu, 4, 6, 8,... Sekarang, coba perhatikan angka-angka pada kalender berikut. Kata Kunci pola bilangan barisan bilangan deret bilangan Gambar 3. Angka-angka pada kalender membentuk pola bilangan tertentu. Sebutkan angka-angka ang menunjukkan hari Senin. Berdasarkan angka-angka pada hari Senin, apa ang dapat Anda ketahui tentang angka-angka tersebut? Coba Anda buat pola bilangan untuk hari lainna. Hasil apa ang Anda peroleh?. Pola Bilangan Pola bilangan adalah salah satu cara menunjukkan aturan suatu barisan bilangan. Perhatikan contoh berikut. a. Pola bilangan ganjil Coba Anda lanjutkan bilangan berikutna.... Barisan dan Deret 05

113 Jelajah Matematika b. Pola bilangan genap Coba Anda lanjutkan bilangan berikutna. c. Pola bilangan kuadrat Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban, 00 Blaise Pascal (63 66) seorang Prancis ang merupakan keajaiban dalam dunia matematika. Segitiga aritmetika ang ditunjukkan di sini telah dikenal selama 600 tahun. Pascal menemukan bahwa banak dari sifatsifat segitiga dihubungkan dengan barisan-barisan dan deret-deret ang istimewa. Pola-pola dalam segitiga Pascal ketika segitiga tersebut selesai dibuat, terdapat bilangan-bilangan ganjil di dalam baangan setiap persegi. Anda akan melihat sebuah pola ang muncul. Ilustrasi ini memperlihatkan pola di atas 30 baris. Jika proses ini terus Anda lakukan, bahkan lebih banak efek ang luar biasa akan muncul. Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban, 00 atau Coba Anda lanjutkan bilangan berikutna. d. Pola bilangan segitiga Coba Anda lanjutkan bilangan berikutna. e. Pola bilangan persegipanjang Coba Anda lanjutkan bilangan berikutna. f. Pola bilangan segitiga pascal Coba Anda lanjutkan barisan bilangan berikutna. 06 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

114 . Barisan Bilangan Anda tentu pernah mengenal barisan bilangan. Contohna barisan bilangan berikut. a., 3, 5,...,... b. 500, 400, 30, 56,...,... c.,,, 3, 5,...,... d., 3, 5, 8, 3,,...,... Dapatkah Anda menuliskan dua angka berikutna ang mungkin untuk masing-masing barisan tersebut? Berikan satu aturan ang dapat dipakai untuk menusun barisan tersebut. Barisan bilangan pada contoh tersebut sering muncul dalam kehidupan sehari-hari. Anda mungkin menjumpai sebagian dari barisan (a) jika mencari rumah ang bernomor 8, Anda mungkin menerka bahwa rumah ang dicari ada pada sisi lain dari jalan. Barisan (b) merupakan harga televisi dalam ribuan rupiah ang disusutkan 0% per tahun. Barisan (c) dan (d) adalah barisan bilangan Fibonaci ang dapat Anda teliti dalam susunan daun, segmen-segmen dalam buah nanas, atau biji cemara. Ternata banak fenomena alam dalam kehidupan sehari-hari ang termasuk ke dalam barisan bilangan. Mempelajari barisan bilangan bukanlah suatu hal ang menakutkan. Anda dapat mempelajari barisan bilangan dengan melakukan kegiatan berikut. Sumber: Gambar 3. Penomoran pada rumah biasana membentuk barisan bilangan. Kegiatan Siswa 3. langkah-langkah berikut.. Pada selembar kertas, buatlah 0 baris dan minta seorang teman menuliskan sebuah bilangan pada baris pertama.. Minta teman lainna untuk menuliskan bilangan lain pada baris kedua. 3. Minta salah satu dari mereka untuk menambahkan bilanganbilangan mereka dan tulis jumlahna pada baris ke Minta mereka untuk meneruskan barisan tersebut, dengan cara menjumlahkan dua bilangan ang terakhir. 5. Pada saat teman Anda sampai pada baris ke-7, lihatlah dengan cepat pada kertas tadi. Kemudian, kalikan bilangan pada baris tersebut dengan. Tuliskanlah hasilna, kemudian balikkan kertas tadi secara berlawanan. 6. Pada saat teman Anda selesai menjumlahkan bilangan ke-0, mintalah mereka menjumlahkan semua bilangan pada kertas. 7. Tunjukkanlah jawaban Anda untuk menunjukkan bahwa Anda telah mendapatkan jawabanna. Jelaskanlah, mengapa Anda sudah tahu jawabanna. Barisan dan Deret 07

115 Notes Selisih dua suku pada barisan bilangan dinamakan beda. Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan ang tersusun menurut pola tertentu. Setiap unsur bilangan dalam susunan bilangan tersebut disebut suku barisan. Secara umum, barisan bilangan dapat ditulis sebagai berikut. U, U, U 3,..., U n, U n dengan U merupakan suku ke- U merupakan suku ke- U 3 merupakan suku ke-3 U n merupakan suku ke-(n ) U n merupakan suku ke-n Selisih antara dua suku ang berurutan pada barisan bilangan dinamakan beda dan dinotasikan dengan b. b = U U, U 3 U, U 4 U 3,..., U n U n Perbandingan antara dua suku ang berurutan disebut rasio ang biasa dinotasikan dengan r. r = U U3 U4 Un,,, U U U..., 3 U n Agar lebih memahami pernataan tersebut, perhatikan barisan berikut., 5, 9, 3, 7,..., U n Dari barisan tersebut, diketahui bahwa U =, U = 5, U 3 = 9, U 4 = 3, U 5 = 7. Anda dapat menentukan bilanganbilangan berikutna dengan memperhatikan aturan urutan suku-suku pada barisan bilangan. Suku-suku barisan tersebut merupakan fungsi dari bilangan asli. U n = f(n), n ŒA Dengan demikian, dapat diketahui bahwa pola tertentu pada suatu barisan merupakan rumus fungsi ang memetakan n ke U n. Contoh Soal 3. Sebuah barisan didefinisikan U n = n n, dengan n bilangan asli. a. Tuliskan bentuk barisanna. b. Tentukan nilai suku ke-0. Jawab: a. U = () () = U = () () = U 3 = (3) (3) = U 4 = (4) (4) = 7 U 5 = (5) (5) = 4 Jadi, barisan tersebut adalah,,, 7, 4, Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

116 b. Suku kesepuluh dapat dicari sebagai berikut. U 0 = (0) (0) = 79 Anda dapat menentukan rumus suku ke-n sebuah barisan dengan mengikuti aturan barisan tersebut atau dengan mengamati pola barisan. Agar Anda lebih memahami pernataan tersebut, Perhatikan uraian berikut. U = (+) = 4 U = (+) = U 3 = 3(3+) = 4 U 4 = 4(4+) = 40 U 5 = 5(5+) = 60 Urutan 5 suku pertama barisan tersebut adalah 4,, 4, 40, 60. Dari pola barisan tersebut, coba Anda buat rumus suku ke-n dari bentuk tersebut. U n =...( ) Contoh Soal 3. Suatu grup musik dijadwalkan latihan setiap hari Rabu pada bulan Agustus. Jika latihan pertama dilakukan pada tanggal 3, tentukan jadwal latihan musik pada bulan tersebut. Jawab: Anda dapat mencari polana sebagai berikut. Rabu ke- 3 Rabu ke = 0 Rabu ke = 7 Rabu ke = 4 Rabu ke = 3 (7 merupakan jumlah hari dalam satu minggu) Jadi, jadwal latihan musik pada tanggal adalah 3, 0, 7, 4, 3. Aturan pada barisan tanggal latihan musik tersebut diperoleh dengan menambahkan 7 hari pada setiap suku. Suku-suku pada barisan tersebut sebagai berikut. U = 3 U = U + 7 = = 0 U 3 = U + 7 = = 7 U 4 = U = = 4 U 5 = U = = 3 Jadi, rumus berulang untuk barisan tanggal tersebut adalah U n + = U n + 7, untuk n =,, 3, 4, 5 dan U = 3 atau dapat juga U n = 7n 4, untuk n =,, 3, 4, 5. Sumber: Gambar 3.3 Jadwal latihan band ang teratur dapat dicari pola bilanganna. Barisan dan Deret 09

117 3. Deret Bilangan Deret bilangan merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan bilangan. Jika U, U, U 3,..., U n adalah barisan bilangan maka U + U + U U n adalah sebuah deret bilangan. Sebagai contoh, jika 0, 0, 30,, 00 adalah barisan bilangan maka merupakan deret bilangan. Deret bilangan dinotasikan oleh S n,. Oleh karena S n merupakan jumlah n suku barisan bilangan maka Anda dapat menuliskan S n = U + U + U U n. Selanjutna, untuk menentukan nilai S n dengan n =,, 3,, n. Anda dapat menuliskan S = U (jumlah suku pertama) S = U + U (jumlah suku pertama) S 3 = U + U + U 3 (jumlah 3 suku pertama) S n = U + U + U U n (jumlah n suku pertama) Agar Anda lebih memahami uraian tersebut, perhatikan contoh berikut. Contoh Soal 3.3 Diketahui barisan bilangan, 4, 6,, 00 a. Tuliskan deret 3 bilangan pertama b. Hitunglah jumlahna Jawab: a. Barisan bilangan,4,6,, 00 berarti U =, U = 4, U 3 = 6, dan U n = 00. Deret 3 bilangan pertama = S 3 = U + U + U 3 = b. S 3 = U + U + U 3 = = Contoh Soal 3.4 Diketahui suatu barisan dengan rumus U n = 3n 4n. Tentukanlah jumlah deret empat suku pertama. Jawab: U = 3() 4() = U = 3() 4() = 4 U 3 = 3(3) 4(3) = 5 U 4 = 3(4) 4(4) = 3 + S 4 = 50 Jadi, jumlah 4 suku pertama adalah Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

118 Evaluasi Materi 3. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Tebaklah tiga suku berikutna dari masingmasing barisan berikut. a. 0, 3, 6, 9,...,...,... b. 0, 3, 8, 5,...,...,... c., 4, 9, 6,...,...,... d., 9, 6, 3,...,...,... e., 3, 7, 5,...,...,... f.,, 33, 44,...,...,... g. 60, 57, 54, 5,...,...,... h. 3, 34, 345, 456,...,...,.... Tentukan aturan barisan bilangan berikut. a. 4, 7, 0, 3,... b., 8, 7, 64,... c., 4, 6, 64,... d., 3, 5, 8, 3,... e. 9, 0, 9, 9, 48, Tentukan rumus suku ke-n untuk barisan bilangan berikut. a. 3, 4, 5, 6,... b. 0, 3, 6, 9,... c. 9, 4, 9, 4,... d., 6, 8, 54,... e. 400, 00, 00, 50,... f. 3, 8, 5, 4, Tentukan jumlah deret bilangan ang rumus suku ke-n na diketahui. a. U n = n 5, untuk 0 bilangan ang pertama b. U n = n + 3, untuk 7 bilangan ang pertama c. U n = n(n ), untuk 5 bilangan ang pertama d. U n = 3()n, untuk 4 bilangan ang pertama e. U n = n +, untuk 4 bilangan ang n pertama f. U n = n(n + )(n +), untuk 4 bilangan ang pertama 5. Perhatikan barisan 4,,, 5,... a. Tentukan pola atau aturan dari barisan tersebut. b. Tentukan bilangan ke Perhatikan barisan bangun geometri berikut. a. Gambarlah barisan bangun segienam sampai kelompok bangun ke-5. b. Ada berapa segienam kongruen pada kelompok bangun ke-4 dan ke-5? c. Tuliskan barisan bilangan ang sesuai dengan jumlah segienam kongruen pada barisan bangun tersebut. 7. Tuliskan 4 bilangan pertama dari barisan dengan rumus berikut. a. U n = n + b. U n = n(n + ) c. U n = 5 ; U n + = U n + 3 d. U = ; U n + = U n 4 e. U n = 3n 5 f. U = 5 ; U n = U n Tuliskan 4 bilangan pertama dari barisan dengan rumus berikut. a. U n = n n b. U n = 3n + 7 c. U = 3 ; U n + = 3U n d. U = 0 ; U n + = 3U n 4 e. U n = (n + ) f. U 5 = 5 ; U n = (U n ) Barisan dan Deret

119 9. Suku ketiga sebuah barisan adalah 0. Nilai setiap suku adalah 3 lebih besar dari suku sebelumna. a. Tuliskan lima suku pertamana. b. Tuliskan rumus suku ke-n. c. Berapakah suku ke-90? 0. Suku pertama sebuah barisan adalah 40. Nilai setiap suku adalah 5 lebih kecil dari suku sebelumna. a. Tuliskan lima suku pertamana. b. Tuliskan rumus suku ke-n. c. Berapakah suku ke-00? B Barisan dan Deret Aritmetika Kata Kunci suku beda jumlah n-suku. Barisan Aritmetika Agar Anda lebih mudah dalam memahami pengertian barisan aritmetika, perhatikan uraian berikut. Harga satu tiket masuk pameran kerajinan tradisional adalah Rp.0.000,00. Jika membeli tiket, pengunjung harus membaar Rp.9.000,00. Pengunjung harus membaar Rp.8.000,00 jika membeli 3 tiket. Demikian seterusna, setiap penambahan tiket biaa bertambah Rp.9000,00. Jika pembelian tiket tersebut disusun ke dalam barisan bilangan, susunanna adalah 0.000, 9.000, 8.000, dan seterusna. Dari uraian tersebut suku-suku ang berurutan dari barisan bilangan memiliki selisih ang tetap, aitu Rp.9000,00.Barisan bilangan ang memiliki selisih tetap seperti ini disebut barisan aritmetika. Dengan demikian, barisan aritmetika merupakan barisan bilangan ang selisih dua suku berurutanna selalu tetap. Selisih tetap ini disebut sebagai beda dari barisan aritmetika. Perhatikan kembali uraian tentang pembelian tiket masuk pameran kerajinan tradisional. Harga tiket sebesar Rp0.000,00 merupakan suku pertama dari barisan aritmetika tersebut, suku pertama dapat dinotasikan U = a. Suku berikutna aitu Rp ,00 merupakan suku kedua ang dinotasikan U. Demikian seterusna sampai suku ke-n ang dinotasikan U m. Telah disebutkan bahwa selisih pembelian tiket dan tiket adalah Rp.9.000,00. Demikian juga untuk pembelian tiket dan 3 tiket memiliki selisih pembaaran Rp.9.000,00. Begitu sterusna setiap penambahan pembelian tiket, selisihna sebesar Rp ,00. Selisih pada barisan aritmetika bersifat tetap dan dinamakan beda. Beda dinotasikan sebagai b. Secara matematis, nilai beda (b) diperoleh dari U U = U 3 U = U m U m. Pada kasus ini, nilai beda diperoleh dari = = Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

120 Beda ang Anda temukan pada kasus tersebut bernilai positif. Mungkinkah suatu benda bernilai negatif? Sebagai contoh, diketahui barisan aritmetika 0, 6,,,. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut.. Rumus Suku ke-n Barisan Aritmetika Perhatikanlah barisan aritmetika berikut., 5, 9, 3, 7,,... Barisan tersebut memiliki suku pertama (a) = dan bedana adalah 4. Dapatkah Anda menentukan suku ke-5 (U 5 ), U 5, dan U 30? Untuk menjawabna, Anda dapat mengurutkan barisan tersebut sampai suku ke-30. Berapa lama pekerjaan tersebut dapat dilakukan? Tentu saja memerlukan waktu ang lama. Agar Anda lebih mudah mencari nilai suatu suku, Anda dapat menentukan terlebih dahulu rumus suku ke-n dari barisan tersebut. Perhatikanlah tabel berikut untuk menentukan bentuk umum dari barisan aritmetika, 5, 9, 3, 7,,.. Tabel 3. Penentuan Bentuk Umum Barisan Aritmetika Bilangan Suku ke(u...) Uraian Bentuk Umum U U = a 5 U U = 5 = + 4 = a + b a + b 9 U 3 U 3 = 9 = = U + b a + b = (a + b) + b = a + b 3 U 4 U 4 = U 5 U 5 = U 6 U 6 = Dari Tabel 3. Anda dapat menemukan bentuk umum setiap suku barisan sebagai berikut. U = a U = a + b U 3 = a + b U 4 = a + 3b U 5 = a + 4b U 6 = a + 5b Demikian seterusna hingga suku ke-n Dari bentuk umum U n = a + (n )b, Anda dapat menentukan rumus umum barisan aritmetika dengan suku pertama (a) adalah dan beda (b) adalah dengan cara berikut. Jelajah Matematika Fibonacci Fibonacci, ang nama lengkapna adalah Leonardo of Pisa (80 50), adalah putra seorang saudagar Italia. Dalam perjalananna ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemaranna pada bilangan. Dalam kara terbesarna, Liber A baci; ia menjelaskan suatu teka-teki ang membawana kepada apa ang sekarang Anda kenal sebagai barisan bilangan Fibonacci. Barisanna adalah,,, 3, 5, 8, 3,,... Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumna. Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban, 00 Barisan dan Deret 3

121 Solusi Cerdas Rumus suku ke-n dari barisan 5,, 3, 7,... adalah... a. U n = 4n b. U n = 4n 9 c. U n = n 6 d. U n = n 7 e. U n = 6n + Jawab: Barisan 5,, 3, 7,... a = 5 b = ( 5) = 4 U n = a + (n )b U n = 5 + (n )4 = 5 + 4n 4 U n = 4n 9 Jawaban: b UN SMK, 006 U n = a + (n )b U n = + (n )4 = + (4n 4) = 4n 3 Dengan demikian, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika, 5, 9, 3, 7,, adalah U n = 4n 3. Selanjutna, Anda dapat menentukan nilai U 5, U 5, dan U 30 dengan menggunakan rumus suku ke-n tersebut. U n = a + (n )b U 5 = + (5 )4 = + (4)(4) = 57 U 5 = + (5 )4 = + (4)(4) = 97 U 30 = + (30 )4 = + (9)(4) = 7 Sama halna dengan penjelasan sebelumna, Anda dapat menentukan rumus umum suku ke n dari barisan aritmetika. Misalkan U, U, U 3, U n merupakan suku-suku dari barisan aritmetika dengan a adalah suku pertama, dan b adalah beda, maka U = a U = U + b a + b U 3 = U + b = a + b + b = a + b U n = U n + b = a + (n )b + b =a + (bn b + b) = a + bn b = a + (n )b Dari uraian tersebut, diperoleh rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika. U n = a + (n )b dengan a = suku pertama barisan b = beda n = banakna suku U n = suku ke-n Barisan aritmetika akan naik jika b > 0 dan barisan aritmetika akan turun jika b < 0. 4 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

122 Contoh Soal 3.4 Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut. a. 3, 6, 9,,... b., 7,, 3,... c. 50, 5, 00, 75,... Jawab: a. 3, 6, 9,,... a = 3 b = 6 3 = 9 6 = 3 U n = a + (n )b = 3 + (n )3 = 3 + 3n 3 = 3n b., 7,, 3,... a = b = 7 ( ) = ( 7) = 5 U n = a + (n )b = + (n )5 = + 5n 5 = 5n 7 c. 50, 5, 00, 75,... a = 50 b = 5 50 = 5 U n = a + (n )b = 50 + (n ) 5 = 50 5n + 5 = 75 5n Notes Suatu barisan disebut barisan aritmetika jika selisih (beda) antara setiap dua suku ang berurutan selalu merupakan bilangan tetap. Contoh Soal 3.5 Jika suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah dan suku ke-0 adalah 39. Tentukanlah: a. rumus suku ke-n; b. besar suku ke-5. Jawab: a. U 3 = a + b Æ a = U 3 b U 0 = a + 9b Æ a = U 0 9b U 3 b = U 0 9b 9b b = U 0 U 3 7b = U 0 U 3 b = U U Soal Pilihan Suku kedua dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku keempat dan keenam dari deret tersebut adalah 8 maka suku ke 9 adalah... a. 9 b. c. 6 d. 8 e. 9 Soal SPMB, 004 Barisan dan Deret 5

123 Soal Pilihan Soal Terbuka Apakah perbedaan barisan bilangan dengan barisan aritmetika? Jelaskan dengan kalimat Anda = 7 = 8 7 = 4 U 3 = a + b = a + (4) = a + 8 a = 3 Jadi, rumus suku ke-n adalah: U n = a + (n )b = 3 + (n )4 = 3 + 4n 4 = 4n b. U 5 = 4(5) = 00 = 99 Tugas Siswa 3. Kerjakanlah dan diskusikanlah bersama teman sekelompok Anda. Buktikanlah pernataan berikut. a. b. U U 3 U U 5 = U c. = U 3 U U = U 6 3 Hasil apa ang Anda peroleh dari pembuktian tersebut? Pada barisan aritmetika ang memiliki jumlah suku ganjil, dapatkah ditentukan suku tengahna? Coba tentukan suku ke berapakah suku tengah dari barisan aritmetika, 4, 7, 0,..., 6 dan berapa nilaina? 3. Deret Aritmetika Anda telah mempelajari penjumlahan barisan bilangan ang disebut dengan deret bilangan pada bagian sebelumna. Demikian pula dengan barisan aritmetika. Jika Anda menjumlahkan setiap suku barisan aritmetika maka akan menghasilkan suatu deret aritmetika. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut. Misalkan U, U, U 3,, U n merupakan barisan aritmetika maka U + U + U U n merupakan deret aritmetika. Sebagai contoh, sebuah perusahaan makanan dapat menjual 0 makanan dalam jam pertama. Pada jam berikutna perusahaan tersebut menjual makanan dan 4 makanan pada 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

124 jam berikutna. Demikian seterusna setiap penambahan jam, perusahaan tersebut dapat menjual makanan lebih banak dari jam sebelumna. Berapa jumlah makanan ang terjual pada 5 jam pertama? Persoalan ini dapat Anda tulis sebagai berikut. Penjualan pada jam pertama = U = a = 0 Penjualan pada jam kedua = U = U + = 0 + = Penjualan pada jam ketiga = U 3 = U + = + = 4 Penjualan pada jam keempat = U 4 = U 3 + = 4 + = 6 Penjualan pada jam kelima = U 5 = U 4 + = 6 + = 8 Dengan demikian, jumlah makanan ang terjual pada 5 jam pertama = U + U + U 3 + U 4 + U 5 = = 70 makanan 4. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika Pada persoalan tertentu, seringkali Anda harus menjumlahkan bilangan dengan pola tertentu. Misalna, diketahui deret aritmetika berikut =... Jika jumlah deret tersebut adalah J, maka penjumlahan tersebut dapat Anda tulis sebagai berikut. J = J = J = J = 00 0 = J = = 5050 Dapatkah Anda menentukan jumlah dari deret-deret berikut? a =... b (n ) + n + (n ) =... Dengan mengikuti pola penelesaian penjumlahan pada contoh tersebut, Anda dapat menentukan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika. Solusi Cerdas Dari suatu deret aritmetika suku ke-5 adalah dan suku ke- adalah + 9. Jumlah 0 suku pertama adalah... a b c d e Jawab: U 5 = a + 4b = U = a + 0b = + 9 Eliminasi kedua persamaan tersebut. a + 4b = a + 0b = + 9 6b = b = + Substitusikan nilai b ke salah satu persamaan tersebut. Misalkan, ke persamaan pertama. a + 4( + ) = a = a = Jumlah 0 suku pertama adalah U 0 U 0 = 0 (( ) + 9( + )) U 0 = Jawaban: d Soal UMPTN, 00 Barisan dan Deret 7

125 Jumlah n suku pertama dinotasikan S n. Perhatikanlah uraian berikut. S n = U + U + U U n + U n S n = [a] + [a + b] + [a + b] [a + (n )b] + [a + (n )b] S n = [a +(n )b] + [a + (n )b] + [a + (n 3)b] [a + b] + [a] S n = [a +(n )b] + [a + (n )b] + [a + (n )b] [a + (n )b] + [a + (n )b] Notes Ciri-ciri barisan dan deret aritmetika sebagai berikut.. U n U n = b, nilai b selalu tetap;. U n merupakan fungsi linear dalam n; 3. S n S n = U n ; 4. S n merupakan fungsi kuadrat dari n dengan bentuk: nb n S = + n ( a b) S n = n[a + (n )b] ada n suku S n = n [a + (n )b] Jadi, rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah S n = n [a + (n )b] Anda suatu saat mungkin menemukan bentuk lain dari rumus tersebut seperti bentuk berikut. S n = n [a + (n )b] = n [a + a + (n )b] = n [a + U n ], dengan a = U Jadi, rumus jumlah n suku pertama pada deret aritmetika adalah S n = n [U + U n ] Contoh Soal 3.6 Tentukanlah jumlah 50 buah bilangan asli ang pertama. Jawab: U = U 50 = 50 S 50 = 50 ( + 50) = 5(5) =.75 8 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

126 Contoh Soal 3.7 Tentukanlah rumus deret aritmetika berikut dan tentukan pula jumlah 0 suku pertamana. a b Jawab: a a = 5 b = 0 5 = 5 S n = n [a + (n )b] = n [ 5 + (n )5] = n [0 + 5n 5] = n [5n + 5] S 0 = 0 [ ] = 5(55) = 75 b a = 50 b = = 0 S n = n [a + (n )b] = n [ 50 + (n )( 0)] = n [00 + ( 0n) + 0] = n [0 0n] S 0 = 0 [0 0(0)] = 5(0) = 50 Soal Pilihan Sebuah deret aritmetika memiliki suku pertama a dan beda b, jika jumlah n suku ang pertama deret ini sama dengan n 3n maka nilai a dan b adalah... a. a = 4 dan b = b. a = dan b = c. a = 4 dan b = d. a = 4 dan b = 4 e. a = dan b = 4 Soal SPMB, 00 Contoh Soal 3.8 Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika diberikan oleh persamaan S n = n + 3n. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari barisan tersebut. Barisan dan Deret 9

127 Jawab: Untuk mendapatkan suku ke-n, gunakan rumus U n = S n S n. S n = n + 3n S n = (n ) + 3(n ) = n n U n = 4n + Untuk mendapatkan beda, gunakan rumus b = U n U n U n = 4n + U n = 4(n ) + = 4n 3 b = 4 Jadi, beda untuk deret tersebut adalah 4. Solusi Cerdas Iuran bulanan warga setiap tahun selalu naik Rp5.000,00 dari tahun sebelumna. Jika iuran warga pada tahun pertama Rp0.000,00 per bulan maka jumlah total iuran warga tersebut setelah 8 tahun adalah... a. Rp80.000,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 e. Rp ,00 Jawab: a = b = n S a + (nn - b = n ( ( ) ) Jumlah total iuran warga setelah 8 tahun adalah bulan S 8 Ê 8 = Á Ë ˆ 7 ( )) ( ( 0 000) = (4( )) = (4(55.000)) = = Jawaban: d UN SMK, 006 Contoh Soal 3.9 Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika diberikan oleh persamaan S n = 3n 4n. Tentukanlah suku ke-0 deret tersebut. Jawab: Untuk mendapatkan suku ke-n, gunakan rumus U n = S n S n dengan S n = 3n 4n. U 0 = S 0 S 9 S 0 = 3(0 ) 4(0) = 60 S 9 = 3(9 ) 4(9) = 07 U 0 = = 53 Jadi, suku ke-0 dari barisan tersebut adalah 53. Contoh Soal 3.0 Hitunglah jumlah semua bilangan antara 50 dan.000 ang habis dibagi 7. Jawab: Anda harus mencari suku pertama dan suku terakhir dari barisan tersebut. Suku pertama adalah bilangan ang lebih besar dari 50 dan habis dibagi 7, aitu 5. Suku terakhir adalah bilangan ang lebih kecil dari.000 dan habis dibagi 7, aitu 994. Jadi, barisan aritmetika ang dimaksud adalah 5, 59,..., 994 dengan a = 5, b = 7. Hitunglah banakna suku dari bentuk berikut. 994 = U n = a + (n )b = 5 + (n )7 = 5 + 7n 7 = 7n n = = 749 n = =07 0 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

128 Oleh karena itu, jumlah semua suku S n = n (U + U ) adalah n S 07 = 07 ( ) = Evaluasi Materi 3. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Manakah dari barisan-barisan berikut ang merupakan barisan aritmetika? a. 4,, 6,,... b. 3, 3, 3, 3,... c. a, a + k, a + k, a + 3k 3,.... Manakah dari barisan-barisan berikut ang merupakanbarisan aritmetika, jika diketahui rumus umumna sebagai berikut. a. U n = + 3n c. U n = n(6 n) b. U n = 4 + n 3. Tentukan rumus suku ke-n untuk masingmasing barisan aritmetika berikut. a. 7, 3, 9,... b. 8,, 4,... c. 0, 7, 4,... d. 3, 3 4, 3,... e. 5, 3,,, Jika suku ke-6 dari barisan aritmetika sama dengan 7 dan suku ke- adalah 48. Carilah suku ke Seorang pemandu wisata menerima gaji sebesar Rp ,00 per bulan. Setiap 6 bulan ia akan menerima kenaikan gaji sebesar Rp75.000,00. Tentukan gajina setelah 5 tahun bekerja. 6. Hitunglah jumlah bilangan berikut. a b. ( ) + ( 7) + ( ) c. ( ) Tentukanlah jumlah deret aritmetika berikut. a sampai 0 suku b sampai 0 suku c sampai 5 suku 8. Tentukan unsur-unsur ang ditanakan pada barisan aritmetika berikut. a. a = 5 dan b = 3 U 9 =... dan S 0 =... b. b = 7 dan U = 336 a =... dan S 8 =... c. a = dan b = 8 U n = 99 dan n =... ; S n =... d. a =, b = 9, dan n = 5 U n =... dan S n =... e. a = 4, U n = dan S n = 99 b = Jika rumus jumlah suku ke-n suatu deret aritmetika S n = n a (a + U n ) a. Apakah U = S = a? b. Sn Buktikan bahwa Un = - a. n c. Jika diketahui rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika S n = n + n, tentukan a, U n, dan bedana. d. Jika S + 5n, dapatkah Anda n menentukan langsung bedana (b)? 0. Di sebuah restoran, setiap 5 menit sekali datang dua orang pengunjung ang akan makan di restoran tersebut. Tentukan jumlah pengunjung restoran setelah jam, dengan catatan tidak ada pengunjung restoran ang meninggalkan restoran. Barisan dan Deret

129 C Barisan dan Deret Geometri. Barisan Geometri Kata Kunci rasio suku barisan deret Agar Anda lebih mudah dalam memahami barisan geometri, perhatikan uraian berikut. Sebuah mobil dijual dengan harga 9 juta rupiah. Nilai jual mobil tersebut mengalami penurunan (depresiasi) sebesar dari nilai jualna per tahun. 4 Anda dapat menuliskan harga jual mobil setiap tahun dengan cara sebagai berikut. Tahun ke- : 9 Tahun ke- : 9 (9) = 44 4 Tahun ke-3 : 44 (44) = 08 4 Tahun ke-4 : 08 (08) = 8, dan seterusna. 4 Harga mobil setiap tahun membentuk barisan 9, 44, 08, 8,..., ang bukan merupakan barisan aritmetika karena beda dua suku ang berurutan tidak tetap. Akan tetapi, rasio atau hasil bagi tiap suku dengan suku sebelumna selalu tetap, aitu sebesar 0,75. Oleh karena itu, barisan bilangan seperti ini termasuk barisan geometri. Dalam kehidupan seharihari, banak per masalahan ang berkaitan dengan barisan geometri, diantarana perhitungan bunga majemuk pada dunia perbankan, pertumbuhan populasi makhluk hidup, peluruhan, dan inflasi. Agar Anda lebih mengenal barisan geometri, lakukanlah kegiatan berikut. Kegiatan Siswa 3. Bagilah teman sekelas Anda dalam beberapa kelompok, satu kelompok terdiri atas paling sedikit 6 orang. setiap kelompok mengerjakan tugas berikut.. Dalam selembar kertas, buat 6 sampai 0 baris dan mintalah seorang teman Anda untuk menuliskan bilangan pada baris pertama.. Buatlah kesepakatan dalam kelompok Anda untuk menentukan bilangan ang tetap sebagai pengalina. Mintalah teman kedua untuk mengalikan bilangan awal dengan pengali tetap, isikanlah pada kolom kedua. Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

130 3. Kalikan bilangan pada baris kedua dengan bilangan tetap tadi, sampai seluruh teman-teman dalam kelompok Anda mengalikanna. 4. Kelompok ang lebih dahulu selesai dan membuat barisan ang unik tersebut adalah pemenangna. Anda dapat mengambil satu contoh barisan ang dibuat oleh kelompok teman Anda, misalna 3,, 48, 9,... Ternata, bilangan pengalina 4. Empat merupakan pengali atau rasio ang biasa disingkat dengan r. Perhatikan kembali barisan geometri 3,, 48, 9,... Dapatkah Anda menentukan suku ke-6? Jika Anda mengalikan satu per satu setiap suku untuk mencari suku ke-6 maka Anda akan memperoleh Pekerjaan tersebut tentu saja memerlukan waktu ang lama. Agar Anda lebih mudah menentukan suku ke-n, buatlah rumus barisan geometrina. Namun, sebelumna pelajari dahulu bentuk umum dari barisan geometri. U = 3 = a U = = 3 4 = a r U 3 = 48 = 4 = U 4 = ar r = ar U 4 = 9 = 48 4 = U 3 4 = ar r = ar 3 Perhatikan pola barisan tersebut. Dari pola barisan tersebut Anda dapat menentukan U 6 = ar (6 ) = ar 5. Anda juga dapat menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri, aitu U n = ar n. Berdasarkan uraian tersebut, dapat memperjelas bahwa suatu barisan disebut barisan geometri jika perbandingan (rasio = r) dua suku ang berurutan selalu merupakan bilangan tetap. U U3 Un Jadi, r = = =... = U U U akibatna, U n - U r = U n n - U n = U n r U = a = ar 0 U = U r = ar U 3 = U r = ar U 4 = U 3 r = ar 3 U n = U n r = ar n Notes a. Barisan geometri akan naik jika untuk setiap n berlaku U n > U n. b. Barisan geometri akan turun jika untuk setiap n berlaku U n < U n. c. Barisan geometri bergantian naik turun jika r < 0. Barisan dan Deret 3

131 Jadi, rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah U n = ar n dengan a merupakan suku awal r merupakan rasio n merupakan banak suku U n merupakan suku ke-n Soal Pilihan Soal Terbuka Jelaskan dengan kata-kata Anda tentang perbedaan barisan aritmetika dan barisan geometri. Contoh Soal 3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut. Kemudian, tentukan suku ke-0. a. 4,, 36, 08,... b. 0, 0, 5, 5,... c. 3, 6,, 4,... Jawab: a. 4,, 36, 08,... a = 4 r = 4 = 3 U n = a r n = 4 3 n U 0 = = 4(9.683) = b. 0, 0, 5, 5,... a = 0 r = 0 0 = U n = a r n = 0( )n U 0 = 0( )9 = 0(, ) = 3,906 0 c. 3, 6,, 4,... a = 3 r = -6 3 = U n = a r n 4 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

132 = 3 ( ) n U 0 = 3( ) 9 = 3( 5) =.536 Contoh Soal 3. Suatu barisan geometri suku ke-4na adalah 8 dan suku ke-5 adalah 6. Carilah suku pertama dan rasiona. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut. Jawab: U 4 = 8; U 5 = 6 U 4 = ar 3 = 8 U 5 = ar 4 = 6 U5 6 r = = = U ar = 8 a = = r Ê Á Ë 3 U = a = 486 Ê U = a r = 486 ˆ Á Ë 3 = 6 Ê U 3 = ar = 486 Á Ë ˆ3 ˆ 3 ˆ3 Ê U 4 = ar 3 = 486 Á Ë 3 4 ˆ4 = 54 = 8 = 486 Ê U 5 = ar 4 = 486 Á = 6 Ë 3 Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah 486, 6, 54, 8, 6. Soal Pilihan Suatu barisan geometri diketahui suku keduana adalah, sedangkan suku keenamna adalah 8. Perbandingan positif barisan geometri tersebut adalah... a. 4 b. c. 4 d. e. UN SMK, 004 Contoh Soal 3.3 Diketahui barisan geometri dengan U = dan U 7 = 64. Tentukan suku ke-0. Jawab: U = ar = U 7 = ar 6 = 64 U U 7 = ar 6 ar = - 64 Barisan dan Deret 5

133 = - 5 r 3 r 5 = 3 5 r = -3 = U = ar = a( ) = a = - - = Jadi, U 0 = ar 9 = ( ) 9 = 5.. Deret Geometri Anda telah mempelajari barisan geometri di mana jika U, U, U 3,..., U n merupakan barisan geometri maka sukusukuna dapat ditulis a, ar, ar,..., ar n. Sama halna dengan barisan aritmetika, Anda dapat menjumlahkan suku-suku pada barisan geometri. Jika Anda memiliki barisan geometri a, ar, ar,..., ar n maka jumlahna adalah a + ar + ar ar n. Penjumlahan tersebut dinamakan deret geometri. Anda dapat mencari rumus untuk jumlah deret geometri a + ar + ar ar n dengan cara berikut. S n = a + ar + ar + ar ar n r S n = a + ar + ar ar n + ar n S n r S n = a ar n ( r)s n = a( r n ) Dari uraian tersebut, diperoleh rumus jumlah n suku pertama deret geometri berikut. Notes Ciri-ciri barisan atau deret geometri sebagai berikut. Un. r =,selalu tetap, Un -. U n merupakan fungsi eksponen dari n, 3. S n merupakan fungsi eksponen dalam n, 4. U n = S n S n. S S Contoh Soal 3.4 n n a( r n ) =, untuk r < - r atau a( r n - ) = r -, untuk r > Tentukan rasio, suku ke-8, dan jumlah delapan suku pertama barisan geometri berikut. a., 6, 8, 54,... b. 0, 0, 5, 5,... 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

134 Jawab: a., 6, 8, 54,... a = r = = = = U n = ar n sehingga U 8 = ar 7 = (3 7 ) = S n = a n ( r ṉ ) sehingga S 8 = 3 ( 8 ) = r 3 b. 0, 0, 5, 5,... a = r = = = = U 8 = ar 7 = 0( 5 )7 = 3 S 8 = a ( r n ) - r 8 Ê 0 - Ê ˆ8 ˆ Á Ë ÁÊ Ë = - = Contoh Soal 3.5 Suatu deret geometri diketahui S n = 50, S n+ = 55, dan S n+ = 57,5. Tentukanlah suku pertama deret tersebut. Jawab: U n+ = S n+ S n+ = 57,5 55 =,5 U n+ = S n+ S n = = 5 U n+ = r U n+,5 = r(5) r = 0,5 Jumlah n suku pertama deret geometri adalah a( r n ) Sn = - r Solusi Cerdas Bentuk umum suku ke-n dari barisan geometri,, 4, 8,... adalah... a. U n = ( ) n b. U n = n c. U n = n + d. U n = e. U n = n - n + Jawab: Dari barisan geometri,, 4, 8,... diperoleh a = U n = a r n U n = ( ) n U n = ( ) n r = - = Jawaban: a UN SMK, 004 Barisan dan Deret 7

135 n 50 = a ar - r = a U n + - r a - 5 = - 0, 5 a = 50(0,5) + 5 = 80 Jadi, suku pertama deret geometri tersebut adalah 80. Contoh Soal 3.6 Soal Pilihan Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri. Jika hasil kalina adalah 6 dan jumlahna 6 maka rasio deret tersebut adalah... a. 3 atau 3 b. 3 atau 3 c. 3 atau d. 3 atau Diketahui bahwa n = Tentukanlah nilai n. Jawab: n = 3.79 Perhatikan bahwa ruas kiri merupakan suku ke-n dari deret geometri, sehingga n ar ( -) Sn = r - n 33 ( -) = = 3(3 n ) 3 n =.86 3 n = 87 = 3 7 n = 7 Jadi, nilai n adalah 7. Tugas Siswa 3. e. atau SPMB, 003 Diketahui barisan geometri, 6, 8, 04,... Di antara dua suku disisipkan dua suku baru sehingga membentuk barisan geometri baru. a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan baru ini. b. Tentukan rumus suku ke-n dari deret ang dibentuk dari barisan baru. 3. Deret Geometri Tak Hingga Seperti ang telah Anda ketahui sebelumna bahwa deret geometri dengan jumlah suku n dituliskan sebagai berikut. U + U + U U n = a + ar + ar ar n, sedangkan a( r n ) untuk jumlahna ditentukan oleh Sn =. - r 8 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

136 Sekarang, bagaimanakah jumlah suatu deret geometri jika banak suku-suku penjumlahan deret geometri ini bertambah terus tanpa henti? Perhatikanlah uraian berikut. Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan banakna suku tak hingga sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. U + U + U 3 + U = a + ar + ar + ar Jumlah deret geometri tak hingga dilambangkan S. Pada deret geometri tak hingga a + ar + ar + ar , berlaku: r < ( < r < ) ang ditentukan oleh a S = - r jika r >. Contoh Soal 3.7 Soal Pilihan Jika jumlah tak hingga suatu deret geometri ang suku pertamana 5 adalah 5 maka rasio deret tersebut adalah... a. d. 5 b. c e. 3 5 Soal UN SMK, 006 Tentukanlah jumlah deret tak hingga dari deret berikut. a b Jawab: a. a = 8 a S - r 4 8 r = = = = = b. a = 54 r = = = - 6 = a S = = - r - Ê Á - = ˆ + Ë 3 3 = 3 5 Contoh Soal 3.8 Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4 n. Tentukan jumlah tak hingga deret tersebut. Jawab: U n = 4 n U = a = 4 = 4 Barisan dan Deret 9

137 U = 4 = 6 r = U = 6 = U a S = - r = - 4 = 4 = Evaluasi Materi 3.3 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Manakah di antara barisan-barisan berikut ang merupakan barisan geometri? a., 3, 5, 7,... b., 3, 9, 7,... c. 3, 3, 3, 3,... d. 0,, 4, 6, 8,... e. 4,, 6,,... f., 0, 00, 000,... g. 0, 0, 5, 5, Diketahui barisan geometri dengan suku ketiga dan kelima masing-masing adalah 7 dan 3. Tentukan barisan geometri tersebut. 4. Tentukan tiga suku pertama pada barisan geometri ang suku ketigana 5 dan suku 4 ketujuhna Suku kedua dari barisan geometri 4 dan suku keempat. Tentukan suku ketigana. 5 h., 6, 8, 54,.... Tentukanlah rumus umum suku ke-n untuk barisan geometri berikut. a., 3, 3, 3,... 3 b., 3, 9, 7,... c. 3, 6, 3, 6,... d. 4,,,,... e. 4,,, 3,... f., 6, 8, 54,... g. 5 5,, 5 4, 5 8,... h. 3, 4 9, 8 7, 6 8, Diketahui barisan geometri, tentukan jumlah tiga suku pertama deret geometri berikut. a.,, 4,... b.,, ( ),... c.,, 4,... d.,, 4, 8, Hitung jumlah deret geometri berikut. a b n 30 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

138 8. Pada barisan geometri terdapat lima besaran, aitu a, r, n, U n, dan S n. Tentukan nilai besaran ang tidak diketahui. a. a =, r = 3, U n = 43, n =..., dan S n =... b. a = 8, U n =, S = 5, r =..., dan n S n = Dalam deret geometri diketahui S = 4 dan S 4 = 40. Tentukan tiga suku pertama dari barisan geometrina. 0. Tentukan suku dan jumlah suku dari barisan geometri berikut. a. U = 6, U 3 = 9, a =... b. U = 6, U 5 = 0 4, r =... c. r = 3, n = 5, S = 80, a =... n d. r = 3, S 6 = 3640, a =... e. a = 6, r = 3, S =, n =... n f. a =, S 3 = 3 4, r =... c d Suku pertama dari deret geometri adalah dan jumlah tak hinggana adalah 4. Carilah rasiona. 3. Rasio sebuah deret geometri adalah 5 dan jumlah sampai tak hinggana adalah 5. Hitunglah: a. suku pertama; b. suku ke Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 4. Jika suku pertamana 8, tentukanlah rasio dari deret tersebut. 5. Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian meter. Setiap kali bola itu memantul, ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian ang dicapai sebelumna. Hitunglah panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti.. Hitunglah nilai jumlah tak hingga dari deret berikut. a b D Pemecahan Masalah dengan Model Berbentuk Barisan dan Deret Pada materi Bab, Anda telah mempelajari pemecahan masalah dengan model berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sama halna dengan sistem persamaan linear dua variabel, barisan dan deret pun dapat digunakan untuk pemecahan masalah sehari-hari. Pada permasalahan kali ini, Anda akan belajar memecahkan masalah dengan model berbentuk barisan dan deret. Kata Kunci pemecahan masalah model matematika Barisan dan Deret 3

139 Contoh Soal 3.9 Pada saat ang sama, Roni mulai menabung Rp00.000,00 dan Risma menabung Rp80.000,00. Setelah itu, setiap bulan Roni menabung 0.000,00 dan Risma menabung Rp5.000,00. Setelah berapa bulan, tabungan Roni dan Risma berjumlah sama? Jawab: Soal tersebut dapat dipandang sebagai suatu barisan aritmetika. U = b = U n = U + (n )b tanda aksen) U ' = b' = U n ' = U ' + (n )b' Jumlah tabungan Roni = Jumlah tabungan Risma S n = S n ' U + (n )b = U ' + (n )b' (n )0.000 = (n ) = (n )( ) = (n ) n = = Jadi, jumlah tabungan Roni akan sama dengan tabungan Risma setelah 4 bulan (suku ke-5). Contoh Soal 3.0 Sumber: i30.photobucket.com Gambar 3.5 Jumlah wisatawan dapat dihitung menggunakan deret aritmetika. Seorang petugas tiket masuk tempat wisata mencatat jumlah wisatawan ang datang setiap harina. Ternata, banakna wisata wan ang datang pada hari ke-n memenuhi persamaan U n = n. Tentukan jumlah wisatawan ang datang ke tempat wisata tersebut selama 0 hari pertama. Jawab: U n = n Jumlah wisatawan ang datang pada hari pertama adalah a = U a = U = () = 40 Jumlah wisatawan ang datang pada hari ke-0 adalah U 0 U 0 = (0) = 30 Jumlah wisatawan S n = n(a + U ) n S 0 = (0)( ) = 0(70) = Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

140 Jadi, banakna wisatawan ang datang ke tempat wisata tersebut selama 0 hari pertama adalah.700 orang. Contoh Soal 3. Seorang pedagang meminjam modal x rupiah di bank dengan bunga tunggal % per bulan ang dibaarkan per bulan. Setelah satu tahun, pengembalian oleh pedagang tersebut ternata nilai pinjaman dan bungana berjumlah Rp ,00. Berapakah besar modal ang dipin jam pedagang tersebut? Jawab: Permasalahan tersebut dapat dipandang sebagai barisan aritmetika, dengan suku pertama (a) = x; beda (b) = 00 x = 0,0x; n = 3 dan suku terakhir (U n ) = U n = a + (n )b = x + (n )0,0x = x + (3 )0,0x = x ( + 0,4) x = = , Jadi, modal ang dipinjam pedagang adalah Rp ,00 Search Ketik: go.id/dataapp/ e-learning/bahan/ kelas/images/ BARIS%0 dan%0deret.swf website ini memuat informasi mengenai materi, simulasi, latihan, dan tes tentang barisan dan deret. Contoh Soal 3. Jumlah penduduk suatu kota dalam 0 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 00 mendatang jumlah penduduk kota tersebut akan mencapai 6,4 juta orang. Berapakah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 960? Jawab: Ø Ø a =...? 6,4 juta r = n = 6 U 6 = 6,4 juta = U 6 = ar = a() a = = = Jadi, jumlah penduduk pada tahun 960 adalah 00 ribu orang. Sumber: i74.photobucket.com Gambar 3.6 Pertambahan penduduk mengikuti deret geometri. Barisan dan Deret 33

141 Contoh Soal 3.3 Soal Pilihan Sebuah perusahaan, pada tahun pertama memproduksi unit barang. Produksi pada tahun-tahun berikutna meningkat menjadi 0 dari tahun sebelumna. Banakna produksi pada tahun ke-5 adalah... a unit b unit c unit d..00 unit e..000 unit Soal UN SMK, 006 Suatu tali dibagi menjadi enam bagian dengan panjang masingmasing bagian membentuk barisan geometri. Jika panjang tali ang paling pendek 3 cm dan ang paling panjang 96 cm, berapakah panjang tali sebelum dipotong? Jawab: Keenam potongan tali ang membentuk barisan geometri itu adalah a, ar, ar, ar 3, ar 4, ar 5 Misalkan, tali ang paling pendek adalah a dan ang paling panjang adalah ar 5 maka suku pertamana (a) adalah 3, suku terakhirna (ar 5 ) adalah 96 dan banak suku barisan (n) adalah 6. a = 3 ; n = 6 ar 5 = 96 3r 5 = 96 r 5 = 96 3 = 3 5 r = 3 = S n = a n ( r ṉ ) r S n = 3 ( 6 ) = 89 Jadi, panjang tali sebelum dipotong adalah 98 cm. Tugas Siswa 3.3 Kerjakanlah bersama teman sekelompok Anda. Buatlah sebuah permasalahan ang model matematikana merupakan: a. barisan aritmetika; b. deret aritmetika; c. barisan geometri; d. deret geometri. Selesaikanlah permasalahan ang Anda buat oleh teman Anda, sedang kan Anda menelesaikan permasalahan ang dibuat oleh teman Anda. 34 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

142 Evaluasi Materi 3.4 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda Selesaikan persoalan nomor 4 menggunakan konsep barisan aritmetika.. Pada awal bekerja, seorang pemandu wisata memperoleh gaji Rp ,00 per bulan. Setiap tahun gaji pemandu wisata tersebut bertambah sebesar Rp50.000,00. Berapa gaji pemandu wisata tersebut setelah bekerja selama 7 tahun? Sumber: Pada awal produksi, sebuah perusahaan pakaian memproduksi 00 potong pakaian per hari. Perusahaan merencanakan untuk menambah hasil produksina secara tetap setiap bulan. Pada bulan ke-0 perusahaan tersebut memproduksi 335 pakaian/hari. Berapa kenaikan produksina per bulan? (Anggap bulan sama dengan 30 hari). 3. Sebuah bak mandi berisi 8 liter air. Kemudian, kran ledeng dibuka dan mengalir air sebanak 3 liter per menit. Berapa liter air ang berada di bak jika lama membuka kran tersebut adalah menit? 4. Seorang pengrajin membuat pigura dari kau ang berbentuk segitiga siku-siku sisi-sisi pigura tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringna 0 cm, berapakah panjang sisi pigura ang terpendek? Selesaikan persoalan nomor 5 7 menggunakan konsep deret aritmetika. 5. Untuk mempersiapkan pergelaran busana, seorang perancang busana melibatkan sebanak 50 orang penjahit pakaian dari hari Senin sampai Jum'at. Agar lebih cepat selesai, setiap minggu ditambah orang penjahit. Setelah minggu, pekerjaan ter- sebut selesai. Berapa rupiah uang ang harus dikeluarkan oleh perancang busana tersebut jika upah penjahit Rp45.000,00 per hari? 6. Seorang salesman pada bulan pertama berkeliling menawarkan produkna menggunakan sepeda motor dengan menempuh jarak.000 km. Pada setiap bulan berikutna, jarak tempuh salesman berkurang 60 km. Berapa uang ang harus dikeluarkan untuk mengisi bahan bakar sampai akhir bulan ke-5 jika harga bahan bakar per literna Rp5.000,00 dan setiap literna dapat menempuh jarak 60 km? 7. Di suatu gedung kesenian terdapat banak kursi. Baris pertama dapat memuat 30 kursi, baris kedua 36 kursi, dan seterusna bertambah 6 kursi. Berapa jumlah kursi jika dalam gedung kesenian tersebut terdapat 9 baris? Sumber: Barisan dan Deret 35

143 Selesaikan persoalan nomor 4 meng gunakan konsep barisan aritmetika. 8. Populasi serangga di suatu tempat pada tanggal 4 April 008 adalah ekor. setiap hari bertambah 0% dari jumlah semula. Berapa populasi serangga tersebut pada tanggal 4 April 008? 9. Harga sebuah mesin pembuat roti pada saat pembelian adalah Rp ,00. Setiap tahun me nusut 5% terhadap nilai pembelian. Berapa harga mesin tersebut pada akhir tahun ke-5? 0. Suatu bola jatuh dari ketinggian 7 m, kemudian memantul di tanah dan memantul kembali 80% dari tinggi semula. Begitu seterusna hingga sampai dengan 6 pantulan. Berapa tinggi bola pada pantulan ke-6? Ringkasan Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan ang tersusun menurut pola tertentu dan setiap unsur bilangan ang tersusun itu disebut suku barisan. Jumlah dari barisan bilangan dinamakan dengan deret. Barisan bilangan dituliskan dengan U, U, U 3, U 4,... Deret bilangan dituliskan dengan U + U + U 3 + U Berdasarkan keteraturan pola setiap suku barisanna, barisan bilangan dapat dibedakan menjadi barisan aritmetika dan barisan geometri. Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U n = a + (n )b dengan U n merupakan suku ke-n, a merupakan suku awal, b merupakan beda, dan n merupakan banakna suku. Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah S n = n [a + (n )b] atau S n = n (U + U n ) Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah U n = ar n dengan U n merupakan suku ke-n, a merupakan suku awal, r merupakan rasio, dan n merupakan banak suku. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah S n = a ( r n ), untuk r < - r S n = a n ( r ṉ ), untuk r > r Deret geometri tak hingga memiliki jumlah deret jika dan hana jika r < ( < r < ) a dan ditentukan oleh S =. - r Kaji Diri Setelah mempelajari materi Bab Barisan dan Deret, adakah materi ang belum Anda pahami? Materi manakah ang belum Anda pahami? Diskusikanlah bersama teman dan guru Anda. 36 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

144 Evaluasi Materi Bab 3 Kerjakan di buku latihan Anda. A. Pilihlah satu jawaban ang tepat.. Diketahui barisan aritmetika, 4, 6, 8,..., rumus suku ke-n barisan ini adalah... a. n + b. n + c. n d. n + e. 4 n. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika 8,, 4, 7, 0,... adalah... a n b n c. 3 5n d. 5 3n e n 3. Suku ke- dan ke-5 dari barisan aritmetika 9, 5,, 7,... adalah... a. 39 dan 5 b. 08 dan 35 c. 75 dan 93 d. 7 dan 90 e. 65 dan Suatu barisan aritmetika memiliki suku ken ang dirumuskan oleh U n = n + 6. Beda barisan itu adalah... a. b. 3 c. 4 d. 6 e. 5. Diketahui 3 suku ang berurutan dari suatu barisan aritmetika adalah x +, x + 3, dan 5x x 6. Nilai x adalah... a. b. 4 c. 5 4 d. e Dari suatu deret diketahui S n = 3n 5n. Nilai U n = 0 untuk n =... a. b. c. 3 d. 4 e Jumlah n buah suku pertama suatu deret aritmetika dinatakan oleh S n = n (n 3). Beda deret tersebut adalah... a. b. c. d. e. 8. Pada sebuah deret U n = an + b + 4 dan S n = 3bn + an, nilai a dan b berturut-turut adalah... a. dan 4 b. dan 4 c. dan 4 d. dan 4 e. 4 dan 9. Dalam sebuah deret hitung, suku keduana adalah 5 serta jumlah suku keempat dan keenamna adalah 8. Suku ang kesembilan adalah... a. 8 b. 6 c. d. 9 e Misalkan, S adalah jumlah n suku pertama dari barisan 3, 7,,... dan T adalah jumlah n suku pertama dari barisan 8, 0,,... Jika S = T maka n =... a. 4 b. 5 Barisan dan Deret 37

145 c. 6 d. 7 e. 8. Jika barisan geometri 3, 9, 7, 8,..., rumus suku ke-n dari barisan geometri tersebut adalah... a. 3 n b. 3 n c. 3 n d. 3 n e. 3(3 n ). Jika sebuah deret geometri,, 4, 8,... suku ke-8 dari barisan tersebut adalah... a. 64 b. 8 c. 96 d. 46 e Diketahui (a 4), (a ), (a + 4),... membentuk barisan geometri. Rasio dari barisan tersebut adalah... a. b. 3 c. 4 d. 5 e Suku ke-3 dan ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 8 dan 3. Suku ke-7 barisan tersebut adalah... a. 8 b. 8 c. 8 d. 8 e Jika diketahui deret ukur tak hingga x, (x ), (x ) 3,... konvergen (jumlahna ada) untuk nilai-nilai x =... a. < x < b. 0 < x < c. x > d. x < e. untuk semua x 6. Suku ke-n suatu deret geometri 4 n. Jumlah deret tak hingga dari deret geometri tersebut adalah... a. 3 b. c. d. e Jumlah deret geometri tak hingga adalah... 5 a. b. 3 c. d. e Jumlah deret geometri dari adalah... 4 a. 5 b. 6 c. 3 4 d. 5 e Sebuah deret geometri tak hingga jumlahna 40 dan suku pertamana 0. Rasio dari deret geometri tersebut adalah... a. 4 b. c. 4 d. e Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

146 0. Diketahui barisan geometri, 6, 8, 54,... Rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah... B. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Hitunglah jumlah deret aritmetika berikut. a sampai 5 suku b sampai 8 suku. Seorang penjual kue mencatat hasil penjualanna selama 0 hari. Jika penjualan hari pertama 8 toples kue dan mengalami kenaikan tetap sebanak 4 toples setiap hari, tentukan jumlah hasil penjualan kue selama dua bulan. 3. Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut. a a. 3n d. 3 n b. 3n e. 3n + c. 3 n 4. Jumlah 5 suku pertama deret geo metri adalah 33. Jika nilai perbandinganna adalah, tentukanlah jumlah nilai suku ke-3 dan ke-4 dari deret tersebut. 5. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian. Panjang setiap potongan membentuk barisan geometri. Jika tali ang terpendek adalah 6 cm dan tali ang terpanjang adalah 8 cm, berapakah panjang tali semula? b. + ( 6) ( 54) +... Barisan dan Deret 39

147 Evaluasi Semester Kerjakan di buku latihan Anda. A. Pilihlah satu jawaban ang tepat.. Dari suatu deret hitung diketahui jumlah 4 suku pertama sama dengan 7 dan jumlah 8 suku pertama sama dengan 58. Suku pertama dari deret tersebut adalah... a. b. c. d. 3 e. 4. Suku ke-0 dari barisan bilangan, 4, 6,... adalah... a. 38 b. 40 c. 4 d. 50 e Banakna jumlah suku dari deret aritmetika adalah... a. 5 b. 50 c. 75 d. 50 e Sebuah barisan aritmetika memiliki suku ke-3 = 6 dan suku ke-6 = 7. Suku ke-8 adalah... a. b. 0 c. d. 64 e Rumus suku ke-n dari barisan 3, 5, 7, 9,... adalah... a. n + b. 3n c. n d. n + e. 4 n 6. Jumlah semua bilangan asli antara dan 00 ang habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 5 adalah... a. 33 b. 35 c. 733 d..368 e Jumlah n suku pertama suatu barisan diberikan oleh rumus S n = n 3 + n. Suku ke-4 dari barisan tersebut adalah... a. 33 b. 39 c. 49 d. 63 e Seorang pengusaha minuman ringan menerima pesanan.500 cangkir pada bulan Januari. Selanjutna, setiap bulan bertambah 40 cangkir. Jumlah minuman ang dibuat sampai bulan November di tahun ang sama adalah... cangkir. a b c..800 d e Seorang petugas kebersihan diberi upah pada bulan pertama sebesar Rp ,00. Oleh karena rajin, jujur, dan terampil maka upahna bertambah Rp0.000,00 setiap bulan. Upah petugas tersebut pada bulan ke- adalah... a. Rp60.000,00 b. Rp6.000,00 c. Rp70.000,00 d. Rp70.000,00 e. Rp ,00 40 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

148 0. Banakna bilangan antara 5 dan 50 ang habis dibagi 4 adalah... a. 35 b. 34 c. 33 d. 3 e. 3. Hasil produksi suatu industri kerajinan ukiran kau setiap bulan dinatakan dengan persamaan U n = 0n + (n menatakan banakna bulan) jumlah hasil produksi selama tahun adalah... unit. a. b. 44 c. 804 d. 78 e Pada hari pertama, suatu pergelaran seni dihadiri oleh.000 penonton. Pada hari kedua, pergelaran seni tersebut dihadiri oleh.050 penonton. Jika peningkatan jumlah penonton setiap hari adalah tetap maka jumlah penonton pada hari ke-0 adalah... a..800 b..850 c..900 d..950 e Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi unit barang. Produksi pada tahun-tahun berikutna turun secara tetap sebesar 80 unit per tahun. Perusahaan tersebut memproduksi unit barang pada tahun ke-... a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e Jika diketahui barisan geometri 50, 60, 4,... maka rasio dari barisan tersebut adalah... a. 5 b. 5 c. 5 d. 5 e Jumlah sembilan suku pertama dari barisan geometri 3, 3,,... adalah... 3 a. 5 b. 5 c. d. e Jika barisan geometri, 6, 8, 54,... maka rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah... a. 3n b. 3n c. 3 n d. 3 n e. 3n + 7. Sebuah deret geometri tak hingga jumlahna 5 dan suku pertamana. Rasio dari deret geometri tersebut adalah... a. 5 b. 5 c. 5 d. 4 e. 5 Evaluasi Semester 4

149 8. Suku ke-8 dari barisan geometri 6, 3, 3,... adalah... a. 8 b. 3 8 c. 3 d e Suku ke- dari suatu barisan geometri adalah dan suku ke-5 adalah 6. Suku ke- 8-na adalah... a. 3 b. 64 c. 8 d. 56 e Pada suatu barisan geometri diketahui U 4 = 7 dan U 6 = 43. Suku pertama (a) dari barisan geometri tersebut adalah... a. b. 3 c. 7 d. 54 e. 79. Jika diketahui suatu barisan geometri pada suku ke-3 adalah dan suku ke-5 adalah 3 maka barisan geometri tersebut adalah... a. 7, 8,, 8, 3 b. 7, 8,, 8, 3 c. 36, 0,, 0, 3 d. 48, 4,, 6, 3. Sebuah deret geometri terdiri atas 8 suku. Jumlah 3 suku pertamana adalah 0 dan jumlah 3 suku terakhirna adalah 6. Jumlah dua suku pertama deret tersebut adalah... a. 0 d. 60 b. 5 e. 90 c Jumlah dari adalah... 8 a. b. c. 4 d. 6 e Diketahui (a + ), (a ), (a 7),... membentuk barisan geometri. Rasio dari barisan tersebut adalah... a. b. c. d. e. 5. Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian meter. Setiap kali setelah bola tersebut memantul, ia mencapai keting gian tiga per empat dari ketinggian ang dicapai sebelumna. Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti adalah... a. 8 b. 0 c. d. 6 e. 3 e. 48, 4,, 6, 3 4 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

150 B. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Suku ke-4 dan suku ke-7 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 7 dan 9. Tentukan suku ke-5 barisan tersebut.. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika ditentukan oleh rumus S n = n 6n. Tentukanlah: a. beda dari deret tersebut; b. nilai suku ke-5; c. jumlah 0 suku pertama. 3. Seorang petani memetik buah cokelat setiap hari dan mencatatna. Ternata, banakna buah cokelat ang dipetik pada hari ke-n tersebut memenuhi persamaan U n = n. Tentukan jumlah buah cokelat ang telah dipetik selama 30 hari pertama. 4. Suku ke-3 dan ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 8 dan 3. Tentukanlah: a. rasio dari barisan geometri tersebut; b. nilai suku ke-7 barisan tersebut; c. jumlah 0 suku pertama barisan tersebut. 5. Pak Johan melakukan perjalanan dengan sepeda motorna selama lima hari. Jarak tempuhna dari hari pertama ke hari berikutna membentuk barisan geometri dengan rasio 3. Jika hari terakhir ia hana menempuh jarak 6 km, berapa jarak ang sudah Pak Johan tempuh selama lima hari? Evaluasi Semester 43

151 Tugas Observasi Semester Anda telah mempelajari materi Barisan dan Deret pada Bab 3. Sekarang, Anda akan menggunakan materi tersebut untuk menelesaikan permasalahan ang berhubungan dengan jurusan Anda. A. Seni Sumber: kotapalembang.blogspot.com Kunjungilah perusahaan kerajinan tradisional di daerah Anda ang telah berdiri minimal sepuluh tahun. Kumpulkan data hasil produksi dari sepuluh tahun lalu hingga sekarang sehingga Anda dapat memperkirakan jumlah produksi 0 tahun mendatang. Langkah-langkah ang dapat Anda lakukan sebagai berikut.. Kumpulkanlah data hasil produksi dari sepuluh tahun lalu hingga sekarang. Kemudian, tuliskan data-data tersebut seperti pada tabel berikut. No. Jenis Kerajinan Jumlah Produksi Hitunglah perubahan jumlah produksi setiap tahunna dan tuliskan pada tabel berikut. No. Jenis Kerajinan Perubahan Jumlah Produksi Susunlah jumlah produksi setiap jenis makanan dalam barisan bilangan. 4. Tentukanlah perkiraan hasil produksi 0 tahun mendatang. 5. Kumpulkanlah tugas ini kepada guru Anda. 44 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

152 B. Pariwisata Sumber: crut-z.com Kunjungilah tempat wisata di daerah Anda. Kumpulkanlah data biaa perawatan tempat wisata tersebut setiap tahunna dari sepuluh tahun lalu hingga saat ini sehingga Anda dapat menentukan biaa perawatan 0 tahun ang akan datang.. Kumpulkan data biaa perawatan tempat wisata setiap tahunna dari sepuluh tahun lalu hingga saat ini. Tuliskan data tersebut seperti pada tabel berikut. Tahun Besar Biaa Perawatan Hitunglah perubahan biaa perawatan setiap tahunna. 3. Susunlah biaa perawatan setiap tahun dalam barisan bilangan. 4. Tentukanlah perkiraan biaa perawatan tempat wisata 0 tahun ang akan datang. 5. Kumpulkanlah tugas ini kepada guru Anda. C. Teknologi Kerumahtanggaan Kunjungilah perusahaan makanan ang telah beroperasi minimal 0 tahun. Kumpulkan data jenis makanan ang diproduksi dan jumlah produksina setiap tahun dari sepuluh tahun ang lalu. Dengan demikian, Anda dapat menentukan jumlah produksi 0 tahun mendatang. Tugas Observasi Semester 45

153 . Kumpulkan data hasil produksi sepuluh tahun dari sekarang. Kemudian, tuliskan data-data tersebut seperti pada tabel berikut. No. Jenis Makanan Jumlah Produksi Hitunglah perubahan jumlah produksi setiap tahunna dan tuliskan pada tabel berikut. No. Jenis Makanan Perubahan Jumlah Produksi Susunlah jumlah produksi setiap jenis makanan dalam barisan bilangan. 4. Tentukanlah, termasuk barisan bilangan apakah soal tersebut. 5. Tentukan rumus U n na. 6. Hitunglah jumlah produksi 0 tahun mendatang. 7. Kumpulkanlah tugas ang telah Anda kerjakan kepada guru Anda. 46 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

154 Evaluasi Akhi hir Tahu hun Kerjakan di buku latihan Anda. A. Pilihlah satu jawaban ang tepat.. Sistem pertidaksamaan ang memenuhi daerah ang diarsir pada grafik berikut adalah x a. x + 5, 4x x + 7 8, x, b. x + 5, 4x x + 7 8, x, c. x + 5, 4x x + 7 8, x, d. x + 5, 7x x +4 8, x, e. x + 5, 7x x + 4 8, x,. Perhatikan gambar berikut. 6 5 tersebut paling banak memuat.000 orang. Panitia telah mengeluarkan uang sebesar Rp ,00 untuk persiapan acara tersebut. Model matematika untuk permasalahan tersebut adalah... a x0 x ; x + >.000; x 0; 0 b x0 x ; x +.000; x 0; 0 c x0 x ; x +.000; x 0; 0 d x0 x ; x +.000; x 0; 0 e x0 x ; x +.000; x 0; 0 4. Daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x x + 8 4; 6x x ; x 0; 0 adalah pada nomor x Daerah ang diarsir merupakan penelesaian dari sistem pertidaksamaan... a. 4x x + 6 4; 5x x ; x 0; 0 b. 6x x + 4 4; 5x x ; x 0; 0 c. 6x x +4 4; 5x x ; x 0; 0 d. 6x x + 4 4; 5x x ; x 0; 0 e. 6x x + 4 4; 5x x ; x 0; 0 3. Panitia pentas seni tradisional menjual dua jenis tiket masuk untuk menaksikan acara tersebut. Jenis pertama, aitu tiket untuk pelajar ang dijual dengan harga Rp5.000,00. Jenis kedua, aitu tiket untuk umum dijual dengan harga Rp8.000,00. Ruangan ang digunakan untuk acara 3 0 II I IV III 5 a. I b. II c. III d. IV e. tidak ada jawaban 5. Seorang pedagang buah mempunai uang Rp50.000,00. Ia membeli mangga dan jeruk ang masing-masing berharga Rp4.000,00 dan Rp5.000,00 per kg. Buah-buahan tersebut akan dijual menggunakan gerobak ang hana dapat menampung buah tidak lebih dari 60 kg. Ia mengharapkan mendapat keuntungan dari hasil penjualan mangga dan jeruk tersebut 8 x Evaluasi Akhir Tahun 47

155 masing-masing Rp500,00 dan Rp600,00 per kg. Keuntungan maksimum ang dapat diperoleh pedagang tersebut adalah... a. Rp30.000,00 b. Rp30.600,00 c. Rp3.000,00 d. Rp34.600,00 e. Rp36.000,00 6. Daerah ang diarsir merupakan penelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum untuk fungsi P(x, ) = x x + 3 adalah... 6 (4, 4) 0 5 x a. 8 d. 0 b. 0 e. 4 c. 8 Soal UN SMK, Daerah ang diarsir, pada grafik merupakan daerah penelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk z = 7.000x adalah (0, 40) 0 50 a d b e c Nilai maksimum fungsi f(x, ) = 5x x + 8 ang memenuhi sistem persamaan 5x x ; 5x x 3 5; x 0; = 0 adalah... x a. 60 d. 30 b. 50 e. 0 c Seorang pengusaha keramik membuat dua jenis keramik, aitu guci dan lampu duduk. Biaa pembuatan guci sebesar Rp5.000,00 dan dijual dengan keuntungan Rp8.000,00. Biaa pembuatan lampu duduk sebesar Rp30.000,00 dan dijual dengan untung Rp0.000,00. Pengusaha tersebut akan membuat tidak lebih dari 500 keramik. Jika modal ang dimiliki Rp ,00 maka laba terbesar ang dapat diperoleh pengusaha tersebut adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 e. Rp ,00 0. Seorang pengusaha tas rajut membuat dua model tas rajut dari benang wol. Model tas pertama memerlukan,5 gulung benang wol warna merah dan gulung benang wol warna hitam. Tas kedua memerlukan gulung benang wol berwarna merah dan 3 gulung benang wol berwarna hitam. Persediaan benang wol berwarna merah ang dimiliki pengusaha sebanak 0 gulung, sedangkan benang wol warna hitam 65 gulung. Jika pengusaha menjual tas model pertama dengan keuntungan Rp5.000,00 dan tas kedua Rp0.000,00 maka keuntungan maksimum ang dapat diperoleh pengusaha tersebut adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 e. Rp ,00. P Q a R Jika panjang sisi PQ adalah 6 cm dan panjang sisi QR adalah 8 cm maka sin a adalah Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

156 a. b. c d. e Nilai trigonometri (sin 30 )(cos 45 )(tan 60 ) adalah... a. 6 d. 8 b. 8 6 e. 6 c Nilai tan 45 + sin 0 + cos 5 cos 30 adalah... a. + b. c. d. e. 4. Jika diketahui tan a = dan 0 a 90 maka nilai sin a + cos a adalah... a. d. b. e. c Nilai tan 300 sama dengan nilai... a. tan 30 d. tan 60 b. tan 30 e. tan 60 c. tan Nilai sin 450 adalah... a. 3 d. b. e. c Koordinat kutub suatu titik (4, 45 ). Koordinat Cartesius titik tersebut adalah... a. (, ) d. (, ) b. (4, ) e. (, ) c. (, ) Soal UN SMK, Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 8 cm, BC = cm, dan CA = 5 cm. Jika a sudut di hadapan sisi BC maka nilai 0 sin a adalah... a. d. b. e. c. Soal SPMB, Dino mengecat tembok dengan menggunakan tangga. Sudut ang dibentuk antara tangga dan tembok adalah 30. Jika panjang tangga m, jarak kaki tangga ke tembok adalah... a. 5 m d. 5 m b m e. 5 m c. 5 3 m 0. Diagonal bujur sangkar ABCD ang sisisisina 4a berpotongan di titik S. Jika T titik tengah ruas garis SC maka sin TBS adalah... a. 3 3 d. 7 7 b. c. 5 5 e Soal SPMB, 00. Suku ke-n suatu barisan bilangan dirumuskan dengan U n = 3 5n. Salah satu suku barisan tersebut adalah 7 ang terletak pada suku ke... a. 5 d. 357 b. 5 e. 363 c. 70 Evaluasi Akhir Tahun 49

157 . Diketahui barisan aritmetika suku kelima dan suku kesepuluh 4. Suku kelima puluh barisan aritmetika tersebut adalah... a. 97 b. 98 c. 99 d. 00 e. 0 Soal UN SMK, Suatu barisan aritmetika diketahui U 5 = 33 dan U =. Nilai U 3 dari barisan tersebut adalah... a. 8 b. 9 c. 0 d. e. 4. Diketahui jumlah deret tak hingga = Jika suku pertama = 5 maka rasiona adalah... a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 Soal UN SMK, Suku pertama dan suku keempat suatu barisan geometri masing-masing dan 54. Jumlah 6 suku pertama dari barisan tersebut adalah... a. 468 b. 365 c. 365 d. 486 e Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 4 dan suku kelima adalah 34. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah... a b c. 3.0 d. 3. e. 3.4 Soal UN SMK, Suatu barisan aritmetika suku ketiga = 6 dan suku keenam = 7. Suku kedelapanna adalah... a. b. 0 c. d. 64 e. 9 Soal UN SMK, Jika suatu barisan geometri diketahui suku ke- na adalah, sedangkan suku ke-6 = 8. Perbandingan positif barisan geometri tersebut adalah... a. 4 b. c. d. e Seorang pemilik toko pakaian mencatat banakna pakaian ang terjual setiap harina. Banakna pakaian ang terjual pada hari ke-n tersebut memenuhi persamaan U n = n + 3. Jumlah pakaian ang terjual selama 0 hari pertama adalah... a. 47 d. 44 b. 46 e. 43 c Setiap bulan gaji Pak Anto dinaikkan 0% dari gaji pokok. Jika gaji pokokna adalah Rp ,00, dan gaji pertama Pak Anto sebesar Rp ,00 maka besar gaji Pak Anto pada bulan ke- adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 e. Rp ,00 50 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

158 B. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Seorang penjahit akan membuat dua jenis jaket, aitu jaket A dan jaket B. Kedua jaket tersebut memerlukan dua bahan kain, aitu kain katun dan kain parasut. Persediaan kain katun 0 meter dan kain parasut 60 meter. Setiap jaket A memerlukan kain katun dan kain parasut berturut-turut meter dan,5 meter. Adapun setiap jaket B dibutuhkan 0,5 meter kain katun dan meter kain parasut. Keuntungan dari jaket A dan jaket B masing-masing Rp00.000,00 dan Rp50.000,00. Buatlah model matematika dari masalah di atas untuk mendapatkan keuntungan maksimum.. Seorang penjual buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual jeruk dan mangga. Harga pembelian jeruk Rp5.000/kg dan mangga Rp6.000/kg. Modal ang tersedia adalah Rp ,00. Harga penjualan jeruk Rp6.500/kg dan mangga Rp8.000/kg. Jika gerobakna hana dapat memuat 0 kg jeruk dan mangga maka berapakah laba maksimum ang dapat diperoleh penjual tersebut? 3. Sebuah kereta api mempunai kapasitas tempat duduk 48 kursi dalam satu gerbong. Setiap penumpang kelas utama boleh mendapat jatah bagasi 60 kg, sedangkan kelas ekonomi mendapat jatah bagasi 0 kg. Kapasitas bagasi kereta api.440 kg. Harga tiket kelas utama Rp50.000,00 dan kelas ekonomi Rp00.000,00. Supaa pendapatan dari penjualan tiket pada saat kereta penuh mencapai maksimum, berapakah jumlah tempat duduk untuk kelas utama? 4. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokona dengan sepatu laki-laki paling sedikit 00 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 50 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki Rp.000,00 dan setiap pasang sepatu wanita Rp500,00. Jika banakna sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 50 pasang maka berapakah keuntungan terbesar ang akan diperoleh oleh pemilik toko tersebut? 5. Tentukan nilai dari sin30 + cos330 + sin50 tan45 + cos 0 6. Sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi b = 6 cm, panjang sisi c = 8 cm, dan besar sudut A = 60. Berapakah luas segitiga ABC? 7. Kota Cirebon terletak 00 km sebelah Utara kota Tasikmalaa dan kota Bandung terletak 50 km Barat Laut kota Tasikmalaa. Berapakah jarak antara kota Bandung dan kota Cirebon? 8. Suatu perusahaan katering pada tahun pertama melaani pelanggan. Pada tahun-tahun berikutna pelanggan turun secara tetap sebesar 80 orang per tahun. Pada tahun berapakah perusahaan tersebut melaani pelanggan? 9. Keuntungan seorang pedagang kue bertambah setiap bulan dengan jumlah ang sama. Jika keuntungan sampai bulan keempat 30 ribu rupiah, dan sampai bulan kedelapan 7 ribu rupiah maka berapakah keuntungan sampai bulan ke-8? 0. Jumlah penduduk sebuah kota setiap 0 tahun berubah menjadi kali lipatna. Berdasarkan perhitungan, pada tahun 00 nanti akan mencapai 64 juta orang. Tentukan berapakah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 980. Evaluasi Akhir Tahun 5

159 Kunci Jawaban Bab Evaluasi Materi Bab A.. e. c 3. d 3. c 5. d 5. e 7. a 7. c 9. b 9. b B Rp67.500,00 5. Rp35.000,00 b (, 36) 4 48 Bab Evaluasi Materi Bab A.. c. d 3. a 3. a 5. d 5. b 7. b 7. d 9. c 9. a B.. 8,66 m 3. P(3, 45 ) Q(, 330 ) R(4, 0 ) 5. B = 05 AC = 6,833 cm BC = 3,54 cm L = 8,54 cm Evaluasi Semester I A.. a 5. d 3. d 7. e 5. b 9. b 7. d. b 9. d 3. d. d 5. d 3. d B. 3. Ê 6 Á -, Ë ˆ 5. a. x x x + 7 x a. sin 30 = b. cos 60 = c. tan 60 = cm Bab 3 Evaluasi Materi Bab 3 A.. c. a 3. c 3. b 5. c 5. b 7. b 7. d 9. d 9. e B.. a..065 b. 56 c a. 9 b. / 5. Evaluasi Semester A.. c 5. e 3. c 7. c 5. d 9. c 7. b. d 9. d 3. b. c 5. a 3. c B Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

160 Evaluasi Akhir Tahun A.. a. e. a 3. d 3. d 3. b 5. c 5. b 5. c 7. c 7. e 7. a 9. d 9. d 9. e B.. maksimum f(x, ) = x kendala x + 0,5 0 atau 4x x + 0,5x x + 60 atau 3x x +4 0 x kursi ,68 km 9. Rp ,00 Kunci Jawaban 53

161 Daftar Istilah A Absis: titik ang terletak pada sumbu mendatar B Barisan aritmetika: barisan bilangan ang selisih (beda) antara setiap dua suku ang berurutan selalu Barisan bilangan: sekumpulan bilangan ang Barisan geometri: barisan bilangan ang perbandingan (rasio = r) antara dua suku ang berurutan selalu Beda: selisih antara dua suku ang berurutan pada K Koordinat: perpotongan antara sumbu vertikal dan Kuadran: seperempat bagian bidang datar ang dibagi oleh sumbu koordinat dalam sistem koordinat Cartesius siku-siku x 0 M Model matematika: penerjemahan masalah sehari- O Ordinat: titik ang terletak pada sumbu tegak koor- D Deret aritmetika: jumlah suku-suku pada barisan Deret bilangan: jumlah suku-suku pada barisan Deret geometri: jumlah suku-suku pada barisan Deret geometri tak hingga: deret geometri dengan G Grafik Cartesius: salah satu bentuk penajian data H Hipotenusa: sisi segitiga siku-siku ang terletak di depan sudut siku-siku, merupakan sisi terpanjang P Program linear: metode penelesaian masalah Pola bilangan: urutan bilangan-bilangan ang R Rasio: perbandingan dua suku ang berurutan pada S Segitiga: bangun ang dibentuk dari tiga garis lurus Segitiga sebarang: segitiga ang tidak mempunai sepasang sisi sama panjang, ketiga sisina tidak sama Segitiga siku-siku: segitiga ang salah satu sudutna Suku barisan 54 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

162 Indeks A Absis 46, 47 Aturan cosinus 34, 87, 47 Aturan Sinus 33, 34, 73 B Barisan 03, 04, 07, 08, 09, 00, 99, 00, 0, 07, 0, 6, 7, 6, 30, 36, 46, 47 Barisan aritmetika 08, 09, 0,, 5, 6, 0, 6, 4, 46, 53, 9, 30, 3, 33, 35, 7 Barisan bilangan 03, 04, 30, 46, 47 Barisan geometri 6, 7, 8, 9, 0,, 3, 4, 5, 8, 9, 30, 3, 3, 34, 35, 4 Beda 35, 04, 07, 08, 09, 0, 3, 4, 6, 7, 30, 35, 46 D Deret 99, 00, 0, 05, 07,, 6, 0, 3, 6, 30, 36, 46, 47 Deret aritmetika 99, 08,, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 30, 3, 3, 33, 35 Deret Bilangan 99, 0, 05 Deret geometri 3, 30, 46, 47 Deret tak hingga 3, 3, 4 E Eliminasi, 5 F Fibonacci 08, 47 Fungsi kendala 9, 8, 46 Fungsi objektif, 8, 47 G Garis selidik, 3, 4, 5, 6, 47 Grafik himpunan penelesaian, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 0,,, 95 I Identitas Trigonometri 33, 65 J Jumlah bilangan 47 K Koordinat Cartesius 33, 34, 69, 70, 7, 95, 4, 47 Koordinat Kutub 33, 34, 69, 70 Kuadran 45, 46, 47, 48, 49, 5, 53, 54, 55, 46, 47 L Luas daerah 8 M Model matematika, 9, 0,,, 3, 8,, 0, 3, 3, 9,, 5, 7, 8, 30, 95, 6, 43 N Nilai maksimum 7, 9, 4, 30, 3, 40, 47 Nilai minimum 4, 6, 7, 0,, 4, 5, 7, 8, 3, 95 Nilai Optimum,, 4, O Ordinat 46, 47 P Pascal 0, 47 Perbandingan trigonometri 33, 34, 35, 38, 39, 4, 4, 44, 46, 49, 50, 5, 5, 53, 54, 57, 58, 59, 60, 6, 65, 68, 7, 87, 88, 95 Pola bilangan 0, 0, 46, 47 Pola bilangan ganjil 0, 47 Pola bilangan genap 0, 47 Pola bilangan kuadrat 0, 47 Program Linear, 0,, 96, 47 Pthagoras 35, 36, 39, 40, 4, 4, 46, 77, 47 R Rasio 5, 3, 34, 35, 46, 47 Rumus suku ke-n 05, 06, 07, 08, 09, 0,, 5, 8, 3, 3 S Segitiga Pascal 47 segitiga siku-siku 34, 35, 36, 37, 40, 43, 49, 50, 6, 73, 9, 46 Sisi miring 47 sistem pertidaksamaan linear, 3, 5, 8, 4, 30, 96, 97, 98, 6, 40 Indeks 55

163 sudut apit 8, 94 Sudut istimewa 4, 48 sudut negatif 5 suku ke-n 04, 05, 06, 07, 08, 09, 0,, 4, 5, 6, 7, 8,,, 3, 4, 30, 3, 33, 47, 53 Suku pertama 07, 5, 5, 33, 34, 4, 48 T tabel trigonometri 60, 6, 64 Titik maksimum 48 Titik minimum 48 Titik optimum 48 Titik potong 5, 4, 48 Trigonometri 33, 35, 4, 4, 43, 44, 45, 5, 53, 54, 55, 56, 33, 34, 35, 5, 60, 65, 47, 54, 48, 60, 6, 63, 58 U uji titik 4, 6,, 4, 6, 8, 4 56 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

164 Lampiran Tabel Cosinus a Evaluasi Akhir Tahun 57

165 Tabel Sinus a Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

166 Tabel Tangen a Lampiran 59

167 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

168 Daftar Simbol n  k = k : jumlah k bilangan untuk k = sampai dengan n z = f(x, ) : fungsi objektif U n S n Δ : suku ke-n dari suatu barisan aritmetika : jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika : segitiga : sudut < : kurang dari : kurang dari atau sama dengan > : lebih dari : lebih dari atau sama dengan : akar pangkat º : derajat Lampiran 6

169 Daftar Pustaka Badan Standar Nasional Pendidikan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Kejuruan. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Departemen Pendidikan Nasional. Soal-soal Ujian Akhir Nasioanal (UAN) Tahun 00 Sampai dengan Tahun 003. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Departemen Pendidikan Nasional. Soal-Soal Ujian Nasional (UN) tahun 004 sampai dengan Tahun 006. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Departemen Pendidikan Nasional. Soal-Soal Ujian Nasional (UN) SMK tahun 004 sampai dengan Tahun 006. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Negoro, ST dan B. Harahap, 003. Ensiklopedi Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Purcell, E. dan D. Varberg. 00. Kalkulus dan Geometri Analitis (Alih Bahasa) Jilid dan. Jakarta: Erlangga. Sembiring, Suwah. 00. Olimpiade Matematika. Bandung: Yrama Wida. Sukarman, Herr. 00. Trigonometri. Yogakarta: Widaiswara PPPG Matematika. Seta Budhi, Wono Model Buku Pelajaran Matematika SMA Panduan Pengembangan. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Winarno Bimbingan Pemantapan Matematika Dasar. Bandung: Yrama Wida Sumber Lain en.wikipedia.org id.wikipedia.org math.unipa.it 6 Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan

170