Program Linear B A B. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. B. Model Matematika. C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

Transkripsi

1 Program Linear Program Linear B A B 2 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel B. Model Matematika C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif Sumber: Dalam dunia usaha, seorang pengusaha pada umumna ingin memperoleh keuntungan sebanak-banakna dari bidang usaha ang digelutina. Untuk itu, pengusaha tersebut membuat perencanaan untuk mengoptimalisasi sumber daa ang tersedia, seperti bahan baku, transportasi, sumber daa manusia, dan lain-lain. Upaa optimalisasi ini dapat dimodelkan dengan program linear. Bab 2 Program Linear 35

2 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinatakan dengan persamaan ang berbentuk: a 1 a 2 b Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel dan (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel 1, 2,... n dalam bentuk berikut. a 1 1 a a n n b dengan a 1, a 2,..., a n, b adalah konstanta-konstanta real Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut. a 11 1 a a 1n n b 1 a 21 1 a a 2n n b 2 a n1 1 a n a mn n b n dengan 1, 2,..., n adalah variabel a 11, a 12,..., a 1n, a 21, a 22,..., a 2n,..., a mn adalah konstanta real. Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda diganti dengan,,,. Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskan sebagai berikut. Misalna, kalian menggambar garis 2 dapat digambarkan sebagai berikut O Gambar 2.1 Garis 2 Garis 2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, aitu daerah 2 dan daerah 2. Sekarang, substitusi titik sembarang, misalna titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut. Didapat, Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah 2. Daerah 2 ini diarsir seperti pada gambar berikut Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

3 O Gambar 2.2 Daerah penelesaian 2 Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai, 0, maka diperoleh gambar seperti berikut O HP Gambar 2.3 Himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan 2, 0, dan 0 Daerah ang diarsir berupa daerah segitiga. Tampak bahwa daerah ini merupakan himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear 2, 0, dan 0. Untuk selanjutna, himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear ini disebut daerah penelesaian. Bab 2 Program Linear 37

4 Contoh Tentukanlah daerah penelesaian dari pertidaksamaan dengan 3, 3 3 0, dan 0. Jawab: Daerah ang diarsir berikut merupakan daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 3, 3 3 0, dan O HP daerah kanan ASAH KEMAMPUAN Waktu : 60 menit 1. Gambarlah daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk, R. a. 5 10, 5 b. 2 3, 0 4 c. 0 2, 2 2 d , 0 e. 3, 1, 3 f , 6 12, 0, 4 g , , 0, 0 h , 2 6, , 8, 4, 0 2. Gambarlah daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk, R , Tentukanlah luas daerah penelesaian tersebut. Kesimpulan apa ang diperoleh? Bobot soal: 80 Bobot soal: Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

5 B. Model Matematika Sistem pertidaksamaan linear ang telah dijelaskan sebelumna dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika. Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, aitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesna melalui dua mesin, aitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencanana perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan ang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banak ban motor dan banak ban sepeda ang akan diproduksina dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut. Perusahaan tersebut memisalkan banak ban motor ang diproduksi sebagai dan banak ban sepeda ang diproduksi sebagai, dengan dan bilangan asli. Dengan menggunakan variabel dan tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut. Pada mesin I : Persamaan 1 Pada mesin II : Persamaan 2 Pada mesin III : Persamaan 3, bilangan asli : 0, 0. Persamaan 4 Sumber: Fungsi tujuan (objektif) ang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah f(, ) Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear. DEFINISI Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi. Contoh Lia ingin membuat puding buah dan es buah. Untuk membuat puding buah, ia membutuhkan 3 kg mangga dan 2 kg melon. Sedangkan untuk membuat es buah, ia membutuhkan 1 kg mangga dan 4 kg melon. Lia memiliki persediaan 11 kg mangga dan 14 kg melon. Buatlah model matematika dari persoalan ini! Jawab: Misalkan: banakna puding buah banakna es buah Sumber: electronicintifada.net Bab 2 Program Linear 39

6 Kalian dapat merumuskan kendala-kendala dalam permasalahan ini sebagai berikut Persamaan Persamaan 2 0 Persamaan 3 0 Persamaan 4 Asah Kompetensi 1 1. Liliana memiliki sejumlah uang. Seperempat dari uang ini digunakanna untuk membeli buku, seperlimana untuk membeli spidol, dan sepertigana untuk membeli majalah. Harga buku tidak lebih dari Rp15.000,00, harga spidol tidak lebih dari Rp12.000,00, dan harga majalah tidak lebih dari Rp30,000,00. Jika sisa uangna Rp13.000,00, buatlah model matematika dari masalah tersebut! Sumber: 2. Luas suatu tempat parkir 300 m 2. Untuk memarkir mobil diperlukan tempat seluas 10 m 2 dan untuk bus diperlukan 20 m 2. Tempat parkir tersebut tidak dapat menampung lebih dari 15 mobil dan bus. Buatlah model matematika dari persoalan ini! Sumber: Fortune, 16 September Umar Bakri adalah pedagang roti. Ia menjual roti menggunakan gerobak ang hana dapat memuat 600 roti. Roti ang dijualna adalah roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing Rp5.500,00 dan Rp4.500,00 per bungkusna. Dari penjualan rotiroti ini, ia memperoleh keuntungan Rp500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp600,00 dari sebungkus roti tawar. Jika modal ang dimiliki Umar Bakri Rp ,00, buatlah model matematika dengan tujuan untuk memperoleh keuntungan sebesar-besarna! 4. Sebuah pabrik pembuat boneka akan memproduksi boneka Si Unil dan Pak Ogah dengan menggunakan dua mesin. Waktu ang diperlukan untuk memproduksi kedua boneka ini dapat dilihat pada tabel berikut. Jenis Boneka Waktu untuk membuat sebuah boneka Mesin I Mesin II Si Unil Pak Ogah Mesin I dan mesin II masing-masing beroperasi 8 jam per hari. Jika pabrik tersebut menjual boneka Si Unil dan boneka Pak Ogah dengan keuntungan masing-masing Rp10.000,00 dan Rp8.500,00 per buah, buatlah model matematika dari permasalahan ini agar pabrik tersebut dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarna! Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

7 Jumlah uang Niko Sentera dan Butet kurang dari Rp5.000,00. Jumlah uang mereka ini juga kurang dari uang Ivan setelah ditambah Rp3.000,00. Adapun uang Ivan kurang dari Rp1.000,00 dikurangi uang Niko Sentera. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut! C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif Dalam pemodelan matematika masalah produksi ban PT. Samba Lababan, kalian akan mencari nilai dan sedemikian sehingga f(, ) maksimum. Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(, ) a b. Suatu fungsi ang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, aitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik. C. 1. Metode Uji Titik Pojok Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut. a. Gambarlah daerah penelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut. b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penelesaian itu. c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif. d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(, ), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(, ). Sebagai contoh, kalian akan memaksimumkan keuntungan PT. Samba Lababan dari produksi ban dengan model matematika f(, ) Bab 2 Program Linear 41

8 200 D C 0 Daerah kanan O HP HP B 0 Daerah A atas Gambar 2.4 Daerah penelesaian ang memenuhi ; ; 0, Perhatikan daerah penelesaian dari grafik pada gambar di atas. a. Titik-titik pojokna adalah titik O, A, B, C, dan D. Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0). Titik A adalah titik potong antara garis 80 dan sumbu-. Jadi, titik A(80, 0). Titik B adalah titik potong antara garis 80 dan garis Substitusi 80 ke persamaan Jadi, titik B(80, 40). Titik C adalah titik potong antara garis dan Dari didapat Substitusi nilai ke persamaan (200 2) Substitusi 25 ke persamaan Jadi, titik C(25, 150). Titik D adalah titik potong antara garis dan sumbu-. Substitusi 0 ke persamaan Jadi, titik D(0, 160). Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

9 b. Uji titik-titik pojok ke fungsi objektif f(, ) , sehingga fungsi objektif ini maksimum. Titik Pojok (, ) f(, ) A(80, 0) B(80, 40) C(25, 150) D(0, 160) Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(, ) adalah f(25, 150) Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum. Untuk menentukan nilai minimum dilakukan langkah ang sama. Lebih jelasna, perhatikan contoh berikut ini. Contoh Tentukan nilai minimum fungsi objektif f(, ) 2 10 ang memenuhi 2 10, 3 15, 0, dan 0. Jawab: 15 C 0 Daerah kanan HP 0 Daerah 5 B atas A O a. Titik-titik pojokna adalah titik A, B, dan C. Titik A adalah titik potong garis 2 10 dengan sumbu-. Substitusi 0 ke persamaan Jadi, titik A(0, 10). Titik B adalah titik potong garis 2 10 dengan garis 3 15 Dari 2 10 diperoleh Substitusi nilai ke persamaan (10 2) Bab 2 Program Linear 43

10 Substitusi nilai 3 ke persamaan Jadi, titik B(4, 3). Titik C adalah titik potong garis 3 15 dengan sumbu-. Substitusi 0 ke persamaan Jadi, titik C(0, 15). b. Uji titik-titik pojok. Titik Pojok (, ) f(, ) 2 10 A(10, 0) 20 B(4, 3) 38 C(0, 15) 150 Dari tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(, ) 2 10 adalah f(10, 0) 20. C. 2. Metode Garis Selidik Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut. a. Tentukan garis selidik, aitu garis-garis ang sejajar dengan garis a b k, a 0, b 0, dan k R. b. Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius! c. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik ang jarakna terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik ang jarakna terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penelesaian. Sebagai contoh, grafik berikut ini adalah produksi ban PT. Samba Lababan C 0 Daerah kanan HP 0 Daerah 5 B atas A O Gambar 2.5 Daerah penelesaian ang memenuhi ; ; 0; Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

11 Garis selidik dari fungsi objektif f(, ) adalah 4 3 k. Ambil k 120, didapat garis selidik Ambil k 240, didapat garis selidik Ambil k 550, didapat garis selidik Gambarkan garis-garis selidik ini sehingga kamu dapat menentukan nilai maksimum fungsi objektif f(, ) O Gambar 2.6 Garis-garis selidik ang memenuhi = 800; = 550; = 800; = 240; = 120 Perhatikan bahwa garis selidik ang menebabkan fungsi objektif maksimum adalah Dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis selidik dengan , kamu mendapatkan nilai maksimum fungsi objektif sebagai berikut (4 3) (550) Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(, ) adalah Dari gambar di atas tampak bahwa garis selidik melalui titik C(25, 150). Ini berarti, fungsi objektif f(, ) mencapai maksimum pada titik C(25, 150). Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum Rp ,00. Asah Kompetensi 2 1. Gambarkan daerah penelesaian dari setiap sistem pertidaksamaan berikut ini. Kemudian, tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari fungsi tujuanna dengan metode uji titik pojok dan metode garis selidik! a , 0 Fungsi tujuanna f(, ) 8 6 b , 0 Fungsi tujuanna f(, ) Bab 2 Program Linear 45

12 c. d , 0 Fungsi tujuanna f(, ) , 0 Fungsi tujuanna f(, ) e , Fungsi tujuanna f(, ) Sebuah pesawat udara mempunai 48 buah tempat duduk ang terbagi dalam dua kelas, aitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak membawa barang seberat 60 kg, sedang penumpang kelas B hana 20 kg, tempat bagasi paling banak dapat memuat kg. Bila banakna penumpang kelas A orang, sedang kelas B orang, maka: a. buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! b. gambarkan daerah penelesaian sistem pertidaksamaan tersebut! 2 Waktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN 1. Dengan modal Rp , Pak Jeri membeli pepaa seharga Rp1.000,00 dan jeruk seharga Rp3.500,00 per kilogram. Buah-buahan ini dijualna kembali dengan menggunakan gerobak ang dapat memuat maksimum 300 kg. Jika keuntungan dari penjualan pepaa Rp500,00 per kilogram dan dari penjualan jeruk Rp1.000,00 per kilogram, tentukanlah keuntungan maksimum ang diperoleh Pak Jeri! 2. PT. Ketok Magic akan memproduksi dua jenis sepatu, aitu sepatu sepakbola dan sepatu kets. Sepatu sepakbola akan dijual Rp ,00 sepasang dan sepatu kets akan dijual Rp ,00 sepasang. Dari penjualan kedua jenis sepatu ini, direncanakan akan diperoleh keuntungan Rp ,00 dari sepasang sepatu sepakbola dan Rp dari sepasang sepatu kets. Jika kapasitas produksi sebulan pasang sepatu dan modal ang disediakan 15 milar rupiah, tentukanlah keuntungan maksimal ang mungkin didapat PT. Ketok Magic! Sumber: member.at.infoseek.co.jp Bobot soal: 20 Sumber: Bobot soal: Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

13 3. Ling ling membeli 120 ton beras untuk dijual lagi. Ia menewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis a memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis b memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis a adalah Rp ,00 sekali jalan dan truk jenis b adalah Rp50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menewa truk itu sekurang-kurangna 48 buah. Berapa banak jenis truk a dan b ang harus disewa agar biaa ang dikeluarkan minimum? 4. Robi Sigara adalah pedagang asongan ang menjual dua jenis rokok, aitu rokok kretek dan rokok filter. Rokok kretek dibeli dari agen Rp4.000,00 dan dijual Rp4.500,00 per bungkus. Rokok filter dibeli Rp4.750,00 dan dijual Rp5.500,00 per bungkus. Di kantongna terdapat uang Rp ,00 dan ia bermaksud membeli kedua jenis rokok tersebut. Namun karena keterbatasan tempat, ia tidak mau membeli lebih dari 150 bungkus. Jika kedua jenis rokok tersebut diperkirakan akan laku semuana, tentukanlah: a. fungsi tujuanna b. kendalana dalam bentuk suatu sistem pertidaksamaan dan gambarkanlah daerah penelesaianna c. titik-titik pojok dari daerah penelesaian tersebut. d. nilai fungsi tujuan dari setiap titik pojok tersebut. e. keuntungan maksimum ang dapat diperoleh dari penjualan kedua jenis rokok tersebut dan berapa bungkus rokok kretek dan rokok filter ang harus dibeli Robi Sigara untuk memperoleh keuntungan maksimum itu? Sumber: lh3.google.com Bobot soal: 20 Sumber: member.at.infoseek.co.jp Bobot soal: 40 Info Math Pada mulana program linear ini dikembangkan pada tahun 1940 oleh John Van Neumam, George B. Dantzig, dan para mitrana. Mula-mula digunakan oleh Marsekal Wood pada angkatan udara Amerika Serikat (USAF). Rangkuman 1. Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah a b e c d f 2. Daerah ang merupakan himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan disebut daerah laak. 3. Nilai optimum fungsi objektif (himpunan penelesaian) dapat ditentukan dengan menggunakan nilai metode, aitu: metode uji titik pojok metode garis selidik Bab 2 Program Linear 47

14 Ulangan Bab 2 I. Pilihlah jawaban ang paling tepat! 1. Daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini menunjukan himpunan titik (, ). Batasbatas ang memenuhi adalah.... C. E. (0, 4) ( 2, 2) (0, 2) O (6, 0) D. A. 0, 0, , 2 B. 0, 0, , 2 C. 0, 0, , 2 D. 0, 0, , 2 E. 0, 0, , 2 2. Daerah ang laak memenuhi , 0 berbentuk.... A. segitiga D. persegi panjang B. segi empat E. segi enam C. segi lima 3. Himpunan penelesaian dari pertidaksamaan ( )( ) 0 adalah.... A. B. 4. Daerah ang memenuhi pertidaksamaan I adalah.... II 3 A. I III B. II IV C. III 1,5 6 D. IV 3 E. III dan IV 5. Jika daerah ang diarsir pada diagram di bawah ini merupakan daaerah penelesaian dengan fungsi objektif f(, ), maka nilai maksimum f(, ) adalah O Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

15 A. f(2, 0) D. f(3, 2) 9 5 B. f, E. f(2, 1) C. f 2, 3 6. Jika 0,, 2 6, dan 2 6, maka fungsi Q mempunai nilai maksimum.... A. 6 D. 3 B. 5 E. 2 C Nilai maksimum fungsi objektif z 8 6, dengan sarat adalah.... A. 132 D. 144 B. 134 E. 164 C Nilai maksimum dari 6 ang memenuhi 0, 0, , dan adalah.... A. 52 D. 49 B. 51 E. 25 C Nilai maksimum dari z 3 6 ang memenuhi 4 20, 20, 10, 0, 0 adalah.... A. 180 D. 60 B. 150 E. 50 C Nilai minimum fungsi objektif f(, ) ang memenuhi , 0 adalah.... A. 0 D B E C Daerah ang diarsir pada gambar tersebut ini adalah himpunan semua (, ) ang Bab 2 Program Linear O memenuhi.... A. 2 30, , 0, 0 B. 2 30, , 0, 0 C. 2 30, , 0, 0 D. 2 30, , 0, 0 E. 2 30, , 0, Himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan 2 40, 2 40, 0, 0 terletak pada daerah ang berbentuk.... A. persegi panjang D. segi lima B. segitiga E. trapesium C. segi empat O 3 I II 1,5 6 Daerah ang memenuhi penelesaian dari adalah.... A. I D. IV B. II E. V C. III 14. Nilai maksimum fungsi tujuan z 8 dengan sarat , 0 adalah.... III IV V 49

16 A. 120 D. 64 B. 108 E. 12 C Untuk (, ) ang memenuhi 4 4, dan , nilai minimum untuk f adalah.... A. B. C D E II. Jawablah pertanaan berikut dengan jelas dan tepat! 1. Wingki akan mendaftar ke sekolah favorit. Sarat untuk masuk ke sekolah tersebut adalah nilai Bahasa Indonesia tidak boleh kurang dari 6 dan nilai Matematika tidak boleh kurang dari 7, sedangkan jumlah nilai Bahasa Indonesia dan Matematika tidak boleh kurang dari 12. Wingki mendapat nilai dengan jumlah tiga kali nilai Bahasa Indonesia dan empat setengah kali nilai Matematika sama dengan 45. Apakah Wingki diterima di sekolah favorit tersebut? 2. Harga permen A Rp2.000,00 per bungkus dijual dengan keuntungan Rp200,00 per bungkus. Harga permen B Rp3.000,00 per bungkus dijual dengan keuntungan Rp300,00 per bungkus. Seorang pedagang mempunai modal Rp ,00 dan kiosna mampu menampung 500 bungkus permen. Berapa banak permen A dan permen B untuk memperoleh keuntungan maksimum? Gambarkanlah dengan laakna! 3. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokona dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 460 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki Rp10.000,00 dan setiap pasang sepatu wanita Rp5.000,00. Jika banak sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, tentukanlah keuntungan maksimum ang diperoleh pemilik toko! 4. Untuk membuat satu cetak roti A dipergunakan 50 gram mentega dan 60 gram tepung. Untuk membuat satu cetak roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung, tentukanlah jumlah kedua roti terbanak ang dapat dibuat! 5. Suatu proek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam hari dengan biaa proek per hari ( /) ratus ribu rupiah. Agar biaa proek minimum, berapa lamakah proek tersebut diselesaikan? Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam