METODE POLINOMIAL TAYLOR DAN ESTIMASI ERROR UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM CAMPURAN. Ramadhani Syaputri 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE POLINOMIAL TAYLOR DAN ESTIMASI ERROR UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM CAMPURAN Rmdhni Syputri, Zulkrnin 2 Mhsisw Progrm Studi S Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Binwidy, Peknbru 28293, Indonesi rmdhni.syputri@yhoo.com ABSTRACT This rticle discusses the ppliction of the Tylor polynomil method to obtin n pproximted solution of mixed Volterr-Fredholm integrl eqution. The process begins by expnding the terms on mixed Volterr-Fredholm integrl eqution using Tylor polynomils tht led to system of liner equtions. Approximted solution of mixed Volterr-Fredholm integrl eqution is obtined by solving this system nlyticlly. At the end of the discussion n exmple is given to test the ccurcy of the proposed method. Keywords: Tylor polynomil method, Volterr-Fredholm integrl equtions, error estimtion ABSTRAK Artikel ini membhs penerpn metode polinomil Tylor untuk memperoleh solusi proksimsi persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn. Prosesny dimuli dengn mengekspnsikn suku-suku pd persmn integrl Volterr- Fredholm cmpurn menggunkn polinomil Tylor yng kemudin menghsilkn sistem persmn liner. Solusi proksimsi persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn diperoleh dengn menyelesikn sistem ini secr nlitik. Dikhir pembhsn diberikn sebuh contoh untuk menguji kekurtn metode yng diusulkn. Kt kunci: metode polinomil Tylor, persmn integrl Volterr-Fredholm, estimsi eror.. PENDAHULUAN Persmn integrl sering terlibt dlm berbgi bidng, seperti fisik, teknik, dn permslhn biologi. Dlm beberp thun terkhir, beberp metode untuk memechkn persmn integrl telh dipeljri secr numerik. Pendektn Repository FMIPA

2 ekspnsi untuk memechkn persmn integrl yng dismpikn oleh Knwl dn Liu [], dn metode ini dlh metode yng sukses dn efektif untuk memechkn permslhn yng lebih besr. Metode ini telh digunkn untuk memechkn persmn integrl Volterr[4], persmn integrl Volterr-Fredholm nonliner[8], dn persmn integro-diferensil Volterr-Fredholm dn liner orde tinggi [7, 3]. Berdsrkn bentukny persmn integrl memiliki beberp jenis, yitu persmn integrl Volterr, persmn integrl Fredholm, persmn integrl Volterr-Fredholm dn linny. Pd rtikel ini kn dibhs persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn [6, h ], yng berbentuk Ax)yx)+Bx)yhx)) =fx)+λ k x,t)yt)dt +λ 2 k 2 x,t)yht))dt, ) dimn fungsi k x,t), k 2 x,t), dn fx) dikethui mempunyi turunn ke-n pd intervl [,b], dn,b konstn, fungsi Ax), Bx), dn hx) dikethui, dn hx) <, yx) fungsi kontinu yng kn ditentukn, λ i R i =,2). Bil hx) polinomil orde pertm, persmn )direduksi ke fungsi persmnintegrl dengn penundn proposionl. Dengn menggunkn teorem terkenl Bnch fixed point [2], dpt membuktikn solusi dri ) d dn unik pd [,b]. Pd rtikel ini di bgin du di bhs urin penurunn rumus mendptkn solusi persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn dengn menggunkn metode polinomil Tylor. Pembhsn ini terdpt pd rtikel yng berjudul Tylor Polynomil Method nd Error Estimtion for A Kind of Mixed Volterr- Fredholm Integrl Equtions oleh Keyn Wng, Qisheng Wng [5]. Kemudin pd bgin tig dibhs estimsi error yng dihsilkn. Kemudin dilnjutkn dengn bgin empt mengpliksikn penggunn formul polinomil Tylor untuk menyelesikn persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn dn error yng dihsilkn dlm bentuk contoh numerik, dn di bgin lim merupkn kesimpuln. 2. METODE POLINOMIAL TAYLOR Diberikn metode numerik untuk menghitung solusi dri persmn integrl Volterr-Fredholm dengn menggunkn metode polinomil Tylor sebgi berikut y N x) = y N hx)) = n! yn) c)x c) n, x,c [,b]. 2) n! yn) c)hx) c) n, x,c [,b]. 3) yng merupkn polinomil Tylor berderjt N pd x = c, dimn y n) c), n = 0,,2,...,N merupkn koefisien yng kn ditentukn. Repository FMIPA 2

3 Mislkn persmn ) ditulis dengn bentuk dengn Y x)+y 2 x) = fx)+λ Vx)+λ 2 Fx), 4) Y x) = Ax)yx), Y 2 x) = Bx)yhx)), Vx) = Fx) = k x,t)yt)dt, k 2 x,t)yht))dt. Untuk mendptkn solusi persmn 4), pertm turunkn kedu rus persmn 4) terhdp x sebnyk n kli, mk persmn 4) diperoleh Y n) x)+y n) 2 x) = f n) x)+λ V n) x)+λ 2 F n) x). 5) Bgin yng memut integrl dri persmn 5) dinytkn dengn tu V n) x) = dn dx n F n) x) = dn dx n F n) x) = k x,t)yt)dt, 6) k 2 x,t)yht))dt, n k 2 x,t) x n yht))dt. 7) Dengn menggunkn turn Liebnitz [6, h. 7], mk diperoleh n n m ) n i V n) x) = h n m i ) i x)yhx))h x)) m) m dimn i=0 + n k x,t) x n yt)dt, 8) h i x) = i k x,t) x i. t=hx) Subtitusi persmn 2), 3), 7), 8) ke persmn 5) diperoleh n n m ) Y n) x)+y n) n i 2 x) =f n) x)+λ h n m i ) i x)y m) 3 x) m i=0 n k x,t) N ) +λ x n m! ym) x)t c) m dt +λ 2 n k 2 x,t) x n N ) m! ym) x)ht) c) m dt. 9) Repository FMIPA 3

4 Selnjutny, subtitusi x = c kepersmn 9) n Y n) c)+y n) 2 c) =f n) c)+λ dengn Selnjutny, mislkn +λ hc) +λ 2 Y n) c) = Ac) Y n) 2 c) = Bc) Y m) 3 c) = h c) H nm = T nm = m! K nm = m! n m n m i=0 n k x,t) x n n k 2 x,t) x n k=0 i=0 hc) ) n i m N x=c N x=c mk, persmn 0) menjdi sebgi berikut n Y n) c)+y n) 2 c) =f n) c)+λ h n m i ) i c)y m) 3 c) ) m! ym) c)t c) m dt m! ym) c)ht) c) m ) n) m! ym) c)t c) m, ) n) m! ym) c)ht) c) m, ) m) k! yk) c)ht) c) k. ) dt, 0) ) n i h n m i ) i c), ) m n k x,t) x n t c) m dt, 2) x=c n k 2 x,t) x n ht) c) m dt. 3) x=c H nm Y m) 3 c) N ) + λ T nm +λ 2 K nm )y m) c). 4) Jik dimbil m,n = 0,,...,N, mk persmn 4) menjdi sistem N + persmn, dn yng dpt ditulis menjdi persmn berikut Y +Y 2 λ T +λ 2 K)Y λ HY 3 = F, [Y +Y 2 λ T +λ 2 K) λ HY 3 ] Y = F, 5) Repository FMIPA 4

5 dengn Y = [ y 0) c)y ) c) y N) c) ] T, F = [ f 0) c)f ) c) f N) c) ] T, [ ] T Y = Y 0) c)y ) c) Y N) c), [ ] T Y 2 = Y 0) 2 c)y ) 2 c) Y N) 2 c), [ ] T Y 3 = Y 0) 3 c)y ) 3 c) Y N) 3 c). Elemen dri mtrik H = [H nm ],T = [T nm ], dn K = [K nm ]n,m = 0,,...,N) didefinisikn pd persmn 4). Sehingg, koefisien y n) c),n = 0,,...,N ditentukn secr khusus dri persmn 5). Persmn ) hny mempunyi stu solusi khusus yng dihmpiri dengn polinomil Tylor y N x) = n! yn) c)x c) n. 6) 3. ESTIMASI ERROR Pd rtikel ini, lkukn estimsi error untuk persmn ). Berdsrkn metode polinomil Tylor bhw solusi numerik y N x) kn konvergen ke solusi eksk yx) dri persmn ) ketik N. Mislkn fungsi Ax),Bx), dn k i i =,2) memenuhi sedemikin hingg dri persmn ) mempunyi solusi tunggl dn kekonvergenn metode polinomil Tylor diberikn pd Teorem. Teorem Asumsikn terdpt bilngn rel x [,b], mislkn y N x) dn yx) berturut-turut menunjukkn solusi proksimsi dn solusi eksk dri persmn), mk yx) y N x) yhx)) y N hx)) q +β p γ, 7) Repository FMIPA 5

6 dengn γ = sup λ x b β = sup λ 2 x b k x,t) dt, 8) k 2 x,t) dt, 9) p = min Ax), 20) x b q = mx Bx), 2) x b p γ > 0. Bukti: Dengn mensubtitusi solusi pendektn 6) ke persmn ) diperoleh Ax)y N x)+bx)y N hx)) = fx)+λ k x,t)y N t)dt +λ 2 k 2 x,t)y N ht))dt. 22) Kemudin persmn ) dikurngkn dengn persmn 22), didpt Ax) yx) y N x) ) =λ k x,t) yt) y N t) ) dt +λ 2 k 2 x,t) yht)) y N ht)) ) dt Bx) yhx)) y N hx)) ). 23) Dengn mengmbil nili mutlk dri persmn 23), diperoleh Ax)yx) y N x)) = λ k x,t) yt) y N t) ) dt +λ 2 k 2 x,t) yht)) y N ht)) ) dt Bx) yhx)) y N hx)) ). Dengn menggunkn sift-sift nili mutlk, didpt min Ax) yx) y N x) λ + λ 2 k x,t) yt) y N t) dt k 2 x,t) yht)) y N ht)) dt +mx Bx) yhx)) y N hx)). 24) Repository FMIPA 6

7 Subtitusi persmn 20) dn 2) ke persmn 24), sehingg diperoleh p yx) y N x) λ yx) y N x) k x,t) dt λ 2 yhx)) y N hx)) k 2 x,t) dt +q yhx)) y N hx)), mk, didpt yx) y N x) q + λ 2 k 2x,t) dt yhx)) y N hx)) p λ k x,t) dt q +β p γ. Oleh kren itu persmn 7) berlku dn terbukti. Kren deret Tylor yng digunkn terpotong tu ekspnsi polinomil yng berhubungn dlh solusi proksimsi dri persmn ), mk dengn mensubstitusi koefisien y n) c), n = 0,,...,N ke persmn 6), didpt ex) = yx) y N x), dimn ex) didefinisikn sebgi fungsi error. Sekrng, untuk x = x i [,b], diperoleh fungsi error ex i ) dlm bentuk berikut ex i ) = yx i ) y N x i ), mk tujun disini dlh bgimn menjdikn ex i ) 0 t i. Jik mksimum 0 t i = 0 t diberikn, dlm hl ini t bilngn bult positif sembrng, mk limit pemotongn N nik smpi perbedn ex i ) disetip titik lebih kecil dri 0 t yng diberikn dn fungsi error ex i ) menuju nol dengn peningktn n. 4. CONTOH NUMERIK Pd bgin ini kn diberikn sutu contoh untuk mengilustrsikn penggunn metode polinomil Tylor dn estimsi error dlm menemukn solusi untuk persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn. Contoh Temuknlh solusi dn estimsi error metode Polinomil Tylor untuk persmn integrl Volterr-Fredholm berikut dengn Ax)yx)+Bx)ye x ) = fx)+ e x 0 e x+t yt)dt 0 e x+t ye t )dt, 25) fx) = x 2 sinx+e 2x cosx e x e ex e 2x 2e x +2) 2) 3 e3 )), Ax) = sinx, Bx) = cosx, hx) = e x, k x,t) = e x+t, k 2 x,t) = e x+t λ =, λ 2 =, = 0, b =. Repository FMIPA 7

8 Solusi Mislkn solusi dri persmn 25) dlh y N x) = y N hx)) = n! yn) c)x c) n, x,c b. 26) n! yn) c)hx) c) n, x,c b. 27) yng merupkn polinomil Tylor berderjt N pd x = c, dimn y n) c), n = 0,,2,...,N merupkn koefisien yng kn ditentukn. Lngkh pertm bentuk persmn 25) menjdi persmn 4), dengn Y x) =yx)sinx), 28) Y 2 x) =ye x )cosx), 29) Y 3 x) =ye x )e x. 30) Mislkn c = = 0. Hitung nili H nm dengn n = 0,,2 dn m = 0,,2 dri formul persmn ) diperoleh H 00 H 0 H H = H 0 H H 2 = e 0 0 3) H 20 H 2 H 22 2e e 0 Kemudin hitung nili T nm, dengn formul persmn 2). Dikethui bhw c = = 0, mk T 00 T 0 T 02 e e 2 T = T 0 T T 2 = e e 32) 2 T 20 T 2 T 22 e e 2 LluhitungniliK nm, dengnformulpersmn 3). Dikethuibhwc = = 0, mk K 00 K 0 K 02 e e2 e K = K 0 K K 2 = e e2 e 3 33) K 20 K 2 K 22 e e2 e Lngkh berikuty yitu hitung turunn dri fx) terhdp x pd x = c = 0 f 0) e 3 e+ 8 F = f ) 3 3 = e 3 2e+ 34) f 2) 3 3 e 3 7e Selnjutny hitung turunn Y x),y 2 x), dn Y 3 x) terhdp x pd x = c = 0, diperoleh Y 0) 0) y 0) 0) Y = Y ) 0) = 0 0 y ) 0) 35) Y 2) 0) y 2) 0) Repository FMIPA 8

9 Y 2 = 2 0) 2 0) 2 0) Y 0) Y ) Y 2) = y 0) 0) y ) 0) y 2) 0) 36) Y 3 = 3 0) 3 0) 3 0) Y 0) Y ) Y 2) = y 0) 0) y ) 0) y 2) 0) 37) Kemudin substitusi nili-nili yng diperoleh dri persmn 3), 32), 33), 34), 35), 36), dn 37) ke persmn 5) sebgi berikut y 0) c) y ) c) y 2) c) y 0) c) y ) c) y 2) c) y 0) 0) y ) 0) y 2) 0) = = = f 0) c) f ) c) f 2) c) Dengn demikin diperoleh solusi polinomil Tylor untuk persmn 25) yitu y N x) = n! yn) c)x c) n, = 0! y0) 0)x 0 +! y) 0)x + 2! y2) 0)x 2, = x )x2, = x x 2. Adpun error ketik x berd di intervl [0, ] dlh solusi eksk dikurngi dengn solusi proksimsi, yitu Repository FMIPA 9

10 Tbel : Solusi eksk, solusi proksimsi, dn error yng dihsilkn untuk contoh x yx) y N x) Error KESIMPULAN Berdsrkn pembhsn yng telh dikemukkn sebelumny mk dpt disimpulkn bhw di dpt metode polinomil Tylor untuk persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn. Jenis persmn integrl Volterr-Fredholm yng dibhs dlh persmn integrl Volterr-Fredholm jenis kedu. Pd pembhsn ini, dilkukn proksimsi terhdp solusi persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn oleh polinomil Tylor yng berderjt N. Dengn menggunkn turn Liebnitz, diperoleh sutu sistem persmn liner yng digunkn untuk menentukn koefisien dri polinomil Tylor yng merupkn solusi hmpirn dri persmn integrl Volterr-Fredholm cmpurn. Ucpn Terimksih Penulis mengucpkn terimksih kepd Dr. Imrn M., M. Sc. yng telh memberikn rhn dn bimbingn dlm penulisn skripsi yng menjdi cun rtikel ini. DAFTAR PUSTAKA [] Knwl, R. P. & Liu, K. C A Tylor Expnsion Approch for Solving Integrl Eqution. Interntionl Journl of Mthemticl Eduction in Science nd Technology, 20: [2] Kuthen, J. P Continuous Time Colloction Methods for Volterr- Fredholm Integrl Equtions. Numerische Mthemtik, 56: [3] Mleknejd, K. & Mhmoudi, Y Tylor Polynomil Solution of High-order Nonliner Volterr-Fredholm Integro-Differentils Eqution. Applied Mthemtics nd Computtion, 45: Repository FMIPA 0

11 [4] Sezer, M Tylor Polynomil Solution of Volterr Integrl Equtions. Interntionl Journl of Mthemticl Eduction in Science nd Technology, 25: [5] Wng, K. Y. & Wng, Q. S Tylor Polynomil Method nd Error Estimtion for Kind of Mixed Volterr-Fredholm Integrl Equtions. Applied Mthemtics nd Computtion, 229: [6] Wzwz, A. M. 20. Liner nd Nonliner Integrl Equtions. Springer. Beijing. [7] Ylcinbs, S. & Sezer, M The Approximte Solution of High-order Liner Volterr-Fredholm Integro-Differentil Eqution in Terms of Tylor Polynomils. Applied Mthemtics nd Computtion, 2: [8] Yncibs, S Tylor Polynomil Solution of Nonliner Volterr-Fredholm Integrl Eqution. Applied Mthemtics nd Computtion, 25: Repository FMIPA