MENAKSIR NILAI INTEGRAL BESAR ABSTRACT. This article discusses a new method to estimate the value of the integral of the form.

Transkripsi

1 MENAKSIR NILAI INTEGRAL BESAR Muty Prtmi 1, M.Ntsir, Agusni 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Binwidy Peknbru (893), Indonesi mutyprtmi9@yhoo.co.id ABSTRACT This rticle discusses new method to estimte the vlue of the integrl of the form exp(f(x))dx, where M nd x > 0. The discussion includes the reduction method with First Approximtion nd Further Approximtions. Furthermore, supported by few exmple of the use of this new method. Keywords: First pproximtion, further pproximtions, integrl estimtion. ABSTRAK Artikel ini membhs tentng metode bru untuk menksir nili integrl tentu dengn bentuk exp(f(x))dx, dimn M dn x > 0. Pembhsn meliputi penurunn metode dengn Aproksimsi wl dn Aproksimsi lnjut. Selnjutny didukung dengn beberp contoh penggunn metode bru. Kt kunci: Aproksimsi wl, proksimsi lnjut, estimsi integrl. 1. PENDAHULUAN Secr umum dlm klkulus, bentuk integrl dri fungsi f pd [,b] sebgi berikut b f(x)dx. (1) Berdsrkn klkulus dijelskn jik f(x) dlh fungsi kontinu pd [, b], mk integrl (1) d. Slh stu cr untuk menyelesikn integrl dengn menggunkn metode numerik dlh dengn mengproksimsi integrl(1) dengn cr menggnti JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

2 f(x) dengn fungsi proksimsi yng mn integrlny d. Du metode numerik yng pling sering digunkn untuk mengevlusi integrl (1) dlh turn trpesium dn turn Simpson. Aturn trpesium menggunkn interpolsi polinomil liner untuk mengproksimsi f(x) pd [,b]. Kemudin dengn memprtisi intervl [,b] menjdi n subintervl dn mislkn h = (b )/n dlh pnjng tip subintervl, bentuk umum turn trpesium dlh [ 1 T n (f) = h f(x 0)+f(x 1 )+f(x )+ +f(x n 1 )+ 1 ] f(x n), dengn x j = +jh dlh titik khir dri subintervl, untuk j = 0,1,...,n. Sedngkn turn Simpson menggunkn interpolsi polinomil kudrtik untuk mengproksimsi f(x) pd [, b]. Mislkn n dlh bilngn bult genp dn mislkn h = (b )/n pnjng tip subintervl, bentuk umum turn Simpson dlh S n (f) = h 3 [f(x 0)+4f(x 1 )+f(x )+4f(x 3 )+f(x 4 ) + + f(x n )+4f(x n 1 )+f(x n )], dengn x j = +jh, untuk j = 0,1,...,n. Aturn trpesium dn turn Simpson memiliki kekurtn yng bergntung pd bnyk subintervl n, semkin besr n mk semkin besr kekurtn dri kedu turn tersebut. Aturn trpesium dn turn Simpson tidk bis digunkn pd integrl besr seperti pd persmn (1) pbil b, mk untuk menyelesikn integrl besr perlu dicri teknis lterntif lin. Pd rtikel ini, di bgin du dn tig dibhs metode bru yitu dengn Aproksimsi wl dn Aproksimsi lnjut untuk menemukn estimsi pd integrl (1) yng merupkn review dri rtikel Ir Rosenholtz[4], dengn judul Estimting Lrge Integrls: The Bigger They Are, The Hrder They Fll, kemudin dilnjutkn di bgin empt melkukn uji komputsi. Dikethui integrl dengn bentuk. APROKSIMASI AWAL exp(f(x))dx, () dimn integrl kn menuju tk hingg jik M dn x dlh bilngn positif. Aproksimsi wl dlm menksir nili integrl () dlh exp(f(m)). (3) f (M) JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

3 y y = g(x) = exp(f(x)) LusABC = exp(f(m)) f (M) (M,g(M)) = (M,exp(f(M))) C A M g(m) g (M) = M 1 f (M) M B x Gmbr 1: Ilustrsi Kelykn Estimsi Awl Untuk mengethui bgimn terbentukny estimsi (3), gmbrlh fungsi positif dimn fungsi tersebut fungsi nik, terbuk ke ts, dn menuju tk hingg jik x. Mislkn fungsi tersebut dlh g(x) = exp(f(x)). Kemudin pilih nili besr M dn gunkn metode Newton (pd Gmbr 1). Kemudin but gris tngen menyinggung kurv pd titik (M,g(M)) = (M,exp(f(M))) dn memotong sumbu-x pd M g(m)/g (M) = M 1/f (M). Perhtikn segitig ABC yng dihsilkn mempunyi lus (1/)exp(f(M))/f (M), tu setengh dri estimsi wl (3). Hl itu berrti lus re di bwh kurv tetpi di ts gris tngen kirkir telh diestimsi oleh estimsi wl (3) jug. Teorem 1 (Aproksimsi Awl) [4] Mislkn I(M) = exp(f(x))dx dn = exp(f(m))/f (M), dimn f merupkn fungsi kontinu terdiferensilkn du kli pd [, ). Andikn Mk /I(M) = 1. f (x) > 0 untuk x, dn [f (x)] = 0. Untuk membuktikn Teorem 1 dilkukn dengn cr : Bukti 1. Andikn jik = L, mk L = 0. x [f (x)] Jik f dnf positif, mk g(x) = 1 positif. Dri Teorem Uji Nik/Turun f (x) [, h. 135], kren f (x) > 0 untuk semu x [, ), mk f(x) dlh fungsi JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

4 nik. Selnjutnyfungsiturun jikg (x) = f (x) < 0. Kreng(x) 0mkg(x) [f (x)] terbts di bwh. Kemudin g(x) mempunyi it, ktkn M, untuk x. Kemudin 0 = [g(x+1) g(x)]. (4) Dri Teorem Nili Rt-rt [h ]koko, terdpt c x di ntr x dn x+1, diperoleh g(x+1) g(x) = g (c x )(1) g(x+1) g(x) = f (c x ) [f (c x )] [g(x+1) g(x)] = f (c x ) [f (c x )], (5) dn jik f (x) [f (x)] = L, mk f (c x ) = L. Mk dri persmn (4) dn [f (c x )] persmn (5) diperoleh bhw L = 0 = L. Kren f(x) dlh fungsi nik, mk diperoleh bhw I(M) menuju. Kemudin = ( [f (M)] f (M) ) exp(f(m)) [f (M)] ( ) = 1 f (M) exp(f(m)), [f (M)] dn berdsrkn Teorem Dsr Klkulus [3, h ], I (M) = exp(f(m)). Kemudin diperoleh ( ) I (M) = 1 f (M) [f (M)] ( ) I (M) = 1 f (M) [f (M)] I (M) = 1. = 1 f (M) [f (M)] Berdsrkn Aturn L Hôspitl [, h. 163], diperoleh bhw I(M) = I (M) = 1. (6) JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

5 Bukti. Berdsrkn integrl dri persmn diperoleh sebgi berikut ( ) 1 I(M) = exp(f(x))dx = (f (x)exp(f(x))dx), (7) f (x) integrlkn secr prsil persmn 7, mislkn dv = f (x)exp(f(x))dx dn u = 1/f (x), diperoleh dn diperoleh I(M) = udv = 1 M f (x) exp(f(x)) M ( ) + exp(f(x))dx [f (x)] ( exp(f(m)) = exp(f()) ) ( ) + exp(f(x))dx f (M) f () [f (x)] ( ) I(M) = ( A())+ exp(f(x))dx, [f (x)] I(M) = A()+ ( [f (x)] ) exp(f(x))dx. Andikn ǫ dlh bilngn rel positif. Pilih X 1 sedemikin hingg jik x X 1 mk f (x) < ǫ/. Kemudin pilih X [f sedemikin hingg (x)] ( X1 ) [f (x)] exp(f(x))dx A() < ǫ I(X ). Kemudin jik M mx{x 1,X }, ( X1 ( ) ) I(M) 1 [f (x)] L exp(f(x))dx A() I(M) Terbukti bhw I(M) = 1. X + 1 [f (x)] exp(f(x))dx I(M) I(M) 1 < ǫ + ǫ = ǫ. JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

6 3. APROKSIMASI LANJUT Aproksimsi lnjut untuk menksir nili integrl () berwl dri Teorem 1 (Teorem Aproksimsi Awl). Mislkn A 0 (M) = exp(f(m)) dn A 1 (M) = = exp(f(m)). Dri persmn (6) diperoleh bhw f (M) A 1 (M) exp(f(x))dx A 1 (M) exp(f(x))dx I(M) = Kemudin dri persmn (8) diperoleh bhw A 1 (M) exp(f(x))dx I (M) = 1 = exp(f(m)) = 1 A = 1(M) A 0 (M) A = 1(M) A 0 (M) exp(f(x))dx = = 1. (8) A 1 (M)A 0 (M). (9) A 1(M) Mislkn A (M) = A 1(M)A 0 (M), mk proksimsi lnjut untuk menksir nili A 1(M) integrl () dlh A (M). Jdi, secr umum dpt dinytkn bhw metode bru menggunkn proksimsi lnjut untuk menksir nili integrl () dlh A 0 (M) = exp(f(m)) A 1 (M) = A 0(M) f (M). =. A n+1 (M) = A n(m)a 0 (M). A n(m) (10) JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

7 4. KOMPUTASI NUMERIK Berikut ini kn dilkukn uji komputsi estimsi dri 0 10 N 0 exp(x )dx dn exp(exp(x))dx dlm hl jumlh perhitungn nili fungsi dengn menggunkn brisn estimsi dri metod bru. 10 N Tbel 1: Estimsi dri exp(x )dx 0 N = 1 N = N = 3 N = 4 A B C A B C A B C A B C Tbel 1 merupkn nili estimsi yng diperoleh dri persmn (10) dengn menggunkn Mple 13. Dri persmn (10) diperoleh sebgi berikut M =10 N, A =A 1 (M) = exp(m )exp(m ), (M)exp(M ) B =A (M) = M exp(m ) M 1, C =A 3 (M) = M(M 1)exp(M ). 4M 4 4M 1 Dpt diliht bhw dengn menggunkn metode bru, jumlh perhitungn nili fungsi menjdi lebih singkt. Berdsrkn Tbel 1 dpt diliht bhw nili estimsi untuk N = 1,,3 dn 4 dlh , , , dn berturut-turut. Sedngkn untuk N 5 Mple 13 tidk dpt menunjukkn hsil estimsi. JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

8 Tbel : Estimsi dri exp(exp(x))dx 0 M = 10 M = 0 A B C A B C Tbel merupkn nili estimsi yng diperoleh dri persmn (10) dengn menggunkn Mple 13. Dri persmn (10) diperoleh sebgi berikut M =10 N, A =A 1 (M) = exp(exp(m))exp(exp(m)), exp(exp(m)+(m)) B =A (M) = exp(exp(m)) exp(m) 1, C =A 3 (M) = (exp(m) 1)exp(exp(M)). exp(m)(exp(m) ) Dpt diliht bhw dengn menggunkn metode bru, jumlh perhitungn nili fungsi menjdi lebih singkt. Berdsrkn Tbel 1 dpt diliht bhw nili estimsi untuk M = 10 dn 0 dlh dn berturut-turut. Sedngkn untuk M > 0 Mple 13 tidk dpt menunjukkn hsil estimsi. Dri hsil komputsi numerik, dpt disimpulkn bhw dengn menggunkn metode bru dpt menksir nili estimsi dri integrl besr yng fungsiny eksponensil dengn jumlh perhitungn nili fungsi yng cukup kecil dibndingkn dengn turn trpesium dn Simpson, meskipun hsil estimsi ny mendekti hsil dri turn trpesium dn Simpson. DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K. E Elementry Numericl Anlysis, Second Edition. John Wiley & Son, Inc., New York. [] Mrtono, K Klkulus. Erlngg, Jkrt. [3] Stewrt, J Klkulus, Edisi Keempt:Jilid 1. Terj. dri Clculus, Fourth Edition, oleh Susil, I.N. & Gunwn, H. Penerbit Erlngg, Jkrt. JOM FMIPA Volume No. 1 Februri

9 [4] Rosenholtz, I Estimting Lrge Integrls: The Bigger They Are, The Hrder They Fll. The College Mthemtics Journl, 3 (5): JOM FMIPA Volume No. 1 Februri