PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA QURROTUL A YUN
|
|
- Siska Jayadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA QURROTUL A YUN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
2 ABSTRAK QURROTUL A YUN. Penggunn Metode Perturbsi Homotopi untuk Menyelesikn Persmn Integrl Fuzzy Volterr. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dn SISWANDI. Bnyk fenomen yng terjdi lm dpt dijelskn dengn model mtemtik. Slh stu model mtemtik tersebut dpt dinytkn dlm bentuk persmn integrl fuzzy Volterr. Persmn integrl fuzzy Volterr yng dihsilkn bisny dlm bentuk tkliner. Ser nlitik mslh tkliner ini sulit diselesikn. Dlm tulisn ini, persmn integrl fuzzy Volterr diselesikn dengn menggunkn metode perturbsi homotopi yng dpt dinytkn dlm sutu deret pngkt terhdp sutu prmeter pdn memenuhi sutu fungsi homotopi yng didefinisikn. Diberikn du studi ksus yitu kernel dri fungsi liner dn trigonometri. Berdsrkn du ksus tersebut diperoleh bhw semkin tinggi orde penyelesin yng digunkn semkin mendekti penyelesin sesungguhny. Kt Kuni: metode perturbsi homotopi, persmn integrl fuzzy Volterr, mslh tkliner
3 ABSTRACT QURROTUL A YUN. The Use of Homotopy Perturbtion Method to Solve fuzzy Volterr integrl equtions. Supervised by JAHARUDDIN nd SISWANDI. Most phenomen in nture n be eplined in mthemtil models, suh s fuzzy Volterr integrl eqution. The fuzzy Volterr integrl eqution is nonliner integrl problem, whih is usully diffiult to solve by n nlytil solution. In this pper, fuzzy Volterr integrl eqution is solved using perturbtion homotopy method, whih n be written s power series in p nd stisfies ertin homotopy funtion. This mnusript disuss two se studies, i.e. the se of liner nd trigonometri kernel funtions. The result shows tht the greter pproimtion order being used, the wider onvergene solution re will be. Keywords: homotopy perturbtion method, fuzzy Volterr integrl eqution, nd nonliner problem
4 PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA QURROTUL A YUN Skripsi sebgi slh stu syrt untuk memperoleh gelr Srjn Sins pd Deprtemen Mtemtik DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
5 Judul Skripsi : Penggunn Metode Perturbsi Homotopi untuk Menyelesikn Persmn Integrl Fuzzy Volterr Nm : Qurrotul A yun NIM : G5479 Menyetujui Pembimbing I Pembimbing II Dr. Jhruddin, MS NIP Drs. Siswndi, M.Si. NIP Mengethui Ketu Deprtemen Mtemtik Dr. Berlin Setiwty, MS NIP Tnggl Lulus:
6 KATA PENGANTAR Puji dn syukur penulis pnjtkn kepd ALLAH SWT ts segl rhmt dn kruni-ny sehingg kry ilmih ini berhsil diselesikn. Penyusunn kry ilmih ini jug tidk leps dri bntun berbgi pihk. Untuk itu penulis mengupkn terim ksih yng sebesr-besrny kepd:. Kelurg terint : Muhtr (yh), Bidyh (umi), dn dik Moqodds Al-Aslmi dn Mwddh Addini ts semu do, dukungn, semngt, pengorbnn, nsiht, pendidikn, perhtin, int dn ksih syngny.. Dr. Jhruddin, M.S. dn Drs. Siswndi, M.Si. msing-msing sebgi dosen pembimbing I dn dosen pembimbing II ts semu ilmu, kesbrn, motivsi, dn bntunny selm penulisn skripsi ini. 3. Drs. Ali Kusnnto, M.Si. selku dosen penguji. 4. Semu dosen Deprtemen Mtemtik, ts semu ilmu yng telh diberikn. 5. Kelurg besr dn stf Deprtemen Mtemtik: Pk Yono, Bu Susi, Bu Ade, Pk Bono, Ms Hery, Ms Deni. 6. Kkk Mth 43 ts srn dn semu ilmuny. 7. Temn-temn Mth 44 : Uu, Istiti, Wewe, Devi, Dev, Nunuy, Res, Anis, Sri, Ruru, Sisk, Lingg, Lugin, Din, Ynti, Lilis, Ririh, Ek, Aswin, Whyu, Aqil, Aze, Tnto, Rhm, Melon, Lili, Tit, Ciit, Selvi, Tendi, Ali, Lin, Ayum, Sri, Yuli, Ze, Din, Viney, Pepi, Igoy, Cop, Ayung, Endro, Dor, Im, Fjr, Fni kodok, Msyu, Dik, Fni, Ikhsn, Dell, Pndi, Abe, Tys, Arin, Imm, Ndiroh, Rofi, Indin, Iym, Olih, Ipul, Nurus, Lukmn, Puyink, dn N im. 8. Temn-temn Mth 45 : bolo, Isn, rish, Git, Meg, Snti, Agustin, Yund, Ai dn lin-lin. 9. Ank-nk Kosn RZ : C, Lrs, Ik, K Ln, K Minl, K Nurm, K Eli, K Dwi, K Sury, K An, dn K Erik. Semog kry ilmih ini dpt bermnft dn menjdi inspirsi bgi penelitin-penelitin selnjutny. Bogor, Agustus Qurrotul A yun
7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilhirkn di Jkrt pd tnggl 6 September 99 sebgi nk pertm dri tig bersudr dri psngn Muhtr dn Bidyh. Pendidikn forml yng ditempuh penulis yitu di TK Islm Mdrijut Thlibin lulus pd thun 995, MI Mdrijut Thlibin lulus pd thun, MTsN 4 Jkrt lulus pd thun 4, MAN 3 Jkrt lulus pd thun 7 dn pd thun yng sm penulis diterim di Institut Pertnin Bogor mellui jlur USMI di Deprtemen Mtemtik, Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm. Selm menuntut ilmu di IPB, penulis ktif di orgnissi kemhsiswn Gugus Mhsisw Mtemtik (GUMATIKA) sebgi stf Sosinkom (Sosil Informsi dn Komuniksi). Selin itu penulis jug pernh menjdi sisten dosen untuk mt kulih Klkulus II dn Klkulus III.
8 DAFTAR ISI Hlmn DAFTAR GAMBAR... i DAFTAR TABEL... i DAFTAR LAMPIRAN... i I PENDAHULUAN.... Ltr Belkng.... Tujun....3 Sistemtik Penulisn... II LANDASAN TEORI.... Himpunn Fuzzy dn Bilngn Fuzzy.... Persmn Integrl Fuzzy Metode Perturbsi Homotopi... 3 III PEMBAHASAN Anlisis Metode Apliksi Metode... 8 V SIMPULAN... 4 DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 6
9 DAFTAR GAMBAR Hlmn Grfik Perbndingn penyelesin eksk dn penyelesin dengn metode perturbsi homotopi persmn (.6) Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.8)... 3 Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.3)... 3 DAFTAR TABEL Glt ntr penyelesin eksk dn metode pertubsi homotopi hingg orde 3 Hlmn dengn =... Glt ntr penyelesin eksk dn penyelesin dengn metode perturbsi homotopi suntuk = π DAFTAR LAMPIRAN Hlmn Penurunn Persmn (.7)... 7 Penyelesin Persmn (.6) Penurunn Persmn (3.9)... 4 Progrm Mple untuk Gmbr Progrm Mple untuk Gmbr i
10 I PENDAHULUAN. Ltr Belkng Persmn integrl sering munul dlm permslhn di bidng mtemtik terpn, fisik, teknik, biologi dn lin sebginy. Model seperti lju pertumbuhn penduduk, lju kelhirn, trnsfer rdisi dn proses penyringn sp rokok merupkn model yng disjikn dlm bentuk persmn integrl. Persmn integrl merupkn sutu bentuk persmn dimn vribel yng ingin dikethui terdpt dlm integrnd persmn integrl tersebut. Jerri (985) mengklsifiksikn persmn integrl berdsrkn bts pengintegrln pd integrl yng munul menjdi du bgin yitu persmn integrl Volterr dn persmn integrl Fredholm. Golberg (978) telh memberikn beberp metode numerik untuk menyelesikn persmn integrl, khususny untuk menyelesikn persmn integrl Fredholm dintrny metode pendektn kernel, kudrtur, glerkin, seminlitik dn proyeksi. Pembhsn mengeni persmn integrl Volterr telh bnyk dilkukn. Bbolin dn Dvri (6) menyelesikn persmn integrl Volterr dengn menggunkn dekomposisi Adomin. Beberp penelitin difokuskn untuk memperoleh penyelesin dri persmn yng dimodelkn dlm persmn tkliner. Dlm beberp thun terkhir, pr peneliti memfokuskn pd penyelesin persmn integrl Volterr ser numerik, seperti penggunn metode impliity Liner ollotion. Teori himpunn fuzzy merupkn r yng sering digunkn untuk pemodeln ketidkpstin dn untuk sutu proses yng smr-smr tu informsi subjektif dlm sutu model mtemtik. Konsep ini pertm kli diperkenlkn oleh Zdeh (965). Terpn dri himpunn fuzzy dlm kehidupn nyt ntr lin menkup kendli proses, klsifiksi dn penookn pol, mnjemen dn pengmbiln keputusn, riset opersi, teknik, dn ekonomi. Konsep pengintegrsin fungsi fuzzy pertm kli diperkenlkn oleh Dubois dn Prde (98). Pembhsn mengeni metode numerik untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy telh bnyk dilkukn khirkhir ini terutm yng berkitn dengn kontrol fuzzy. Dlm kry ilmih ini kn digunkn metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Metode perturbsi homotopi [He,] merupkn sutu metode pendektn nlitik untuk menyelesikn sutu mslh tk liner. Dlm metode ini, kn didefinisikn sutu opertor tkliner yng didsrkn pd bentuk tk liner dri mslh tkliner tersebut. penyelesin mslh tkliner dengn menggunkn metode perturbsi homotopi dimislkn dlm bentuk deret yng umum, sehingg tidk perlu dimislkn dlm bentuk deret pngkt (polinomil) seperti yng dilkukn pd metode dekomposisi Adomin. Metode perturbsi homotopi merupkn sutu metode perpdun dri metode homotopi dengn metode perturbsi. Dlm kry ilmih ini kn dibhs penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dengn menggunkn metode perturbsi homotopi... Tujun Berdsrkn ltr belkng di ts, mk tujun kry ilmih ini dlh :. Menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dengn menggunkn metode perturbsi homotopi. b. Membndingkn penyelesin eksk dengn hmpirn penyelesin yng diperoleh..3 Sistemtik Penulisn Kry ilmih ini terdiri dri empt bb. Bb pertm merupkn pendhulun yng berisi ltr belkng dn tujun penulisn. Bb kedu berup lndsn teori yng berisi beberp istilh dn konsep dri metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu pd pembhsn. Bb ketig berup pembhsn yng berisi nlisis metode yng digunkn untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Dlm bb ini jug disjikn hsil numerik untuk membndingkn penyelesin eksk dengn hmpirn penyelesin yng diperoleh. Bb terkhir pd tulisn ini berisi kesimpuln dri keseluruhn penulisn.
11 II LANDASAN TEORI Pd bgin ini kn dibhs teori-teori yng digunkn dlm penyusunn kry ilmih ini. Teori-teori tersebut meliputi himpunn fuzzy yng disrikn dri [Kusumdewi, 4], bilngn fuzzy, persmn integrl fuzzy Volterr yng disrikn dri [T.Allhvirnloo, ] dn metode perturbsi homotopi yng disrikn dri [He, ].. Himpunn Fuzzy dn Bilngn Fuzzy Himpunn fuzzy merupkn perlusn konsep dri himpunn klsik yng menggunkn nili kenggotn {,} menjdi [,]. Pd himpunn klsik, nili kenggotn sutu item dlm sutu himpunn A, yng sering ditulis A[], memiliki du kemungkinn yitu, yng berrti bhw sutu item menjdi nggot dlm sutu himpunn dn yng berrti bhw sutu item tidk menjdi nggot dlm sutu himpunn. Sedngkn pd himpunn fuzzy nili kenggotn terletk pd rentng smpi. Nili menunjukkn slh, nili menunjukkn benr, dn msih d nili-nili yng terletk ntr benr dn slh. Himpunn fuzzy dpt jug didefinisikn sebgi sekumpuln objek di mn msing-msing objek memiliki nili kenggotn tu disebut jug nili kebenrn. Jik X dlh sekumpuln objek dn dlh nggot dri X, mk himpunn fuzzy A yng memiliki domin X didefinisikn sebgi A =, μ A X, dengn μ A merupkn nili kenggotn pd himpunn fuzzy A yng bernili [,]. Sutu bilngn fuzzy u R didefinisikn sebgi psngn (u, u) dri fungsi (u(r), u(r)) yng memenuhi sift sift berikut :. Fungsi u merupkn fungsi yng monoton nik, terbts, dn kontinu kiri pd [,].. Fungsi u merupkn fungsi yng monoton turun, terbts, dn kontinu knn pd [,]. 3. u r u r dengn r. Untuk lebih memhmi bilngn fuzzy, berikut ini diberikn slh stu ontoh bilngn fuzzy yitu bilngn fuzzy segitig dengn prmeter u = (m, α, β) yng didefinisikn dengn u = m α m β +, m α m, +, m m + β,, selinny dn diperoleh bentuk prmetrik sebgi berikut: u r = m r α, u r = m + r β. Berikut ini opersi penjumlhn dn perklin sklr pd himpunn bilngn fuzzy. Untuk sembrng bilngn fuzzy u = (u, u) dn v = (v, v) didefinisikn penjumlhn (u + v) sebgi berikut: u + v r = u r + v(r), u + v r = u r + v r (.) dn untuk bilngn rel k didefinisikn perklin sklr sembrng bilngn fuzzy sebgi berikut: ku r = ku r, ku r, k ; ku r, ku r, k <. (.) Selnjutny, untuk sembrng bilngn fuzzy u = (u, u) dn v = (v, v) didefinisikn fungsi jrk ntr u dn v sebgi berikut D u, v = m sup r u r v r, sup r u r v r. (.3) Mislkn D: E [,] memenuhi D u, u =, D u, v u v, D u, v = D(v, u), dn D u, v D u, w + D(w, v), mk D merupkn metrik untuk E dn (E, D) merupkn sutu rung metrik kren himpunn E dilengkpi dengn sutu metrik D. Berikut ini kn didefinisikn konsep integrl dri fungsi fuzzy dengn menggunkn konsep integrl Riemn. Mislkn f:, b E. untuk setip prtisi p = {t, t,, t n } dengn = m t i t i
12 3 dn untuk sembrng ε i dengn t i ε i t i, i n, mislkn R p = n i= f ε i t i t i (.4) Integrl f() pd [, b] didefinisikn sebgi berikut : b f d = lim R p, (.5) slkn limit tersebut d terhdp metrik D. Jik f kontinu terhdp metrik D, mk integrl tentu dri f() tersebut d, kemudin didefinisikn b f, r d b f, r d b = f, r d b = f, r d (.6). Persmn Integrl Fuzzy Volterr Persmn integrl Volterr tipe kedu dpt dinytkn dlm bentuk berikut: u = f + k(, t)u t dt, (.7) dengn k, t didefinisikn sebgi fungsi kernel pd derh persegi b dn t. Fungsi f() merupkn fungsi dri dengn b. Persmn integrl Volterr tipe kedu pd persmn (.7) bnyk munul pd mslh osilsi dlm fisik. Mslh osilsi dinytkn dlm persmn differensil bis orde du berikut u"() + A()u + B()u = g(), penyelesin persmn differensil bis tersebut berup sutu persmn integrl Volterr tipe kedu. (Lmpirn ) Pd persmn integrl Volterr tipe kedu jik f() berup fungsi fuzzy yitu fungsi f = f(, r), mk persmn tersebut kn memiliki penyelesin dlm bentuk fuzzy. Mislkn f, r = f, r, f(, r) dn u, r = (u, r, u(, r)), r yng msing-msing merupkn bentuk prmetrik dri fungsi f() dn u() untuk, b, mk bentuk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dlh: u, r = f, r + k, t, u t, r, u t, r dt, u, r = f, r dengn dn + k, t, u t, r, u t, r dt k, t, u t, r, u t, r k, t u, r, k, t ; = k, t u, r, k, t < k, t, u t, r, u t, r = k, t u, r, k, t ; k, t u, r, k, t <, untuk setip r dn t. (.8) (.9) (.).3 Metode Perturbsi Homotopi Berikut ini diberikn ilustrsi konsep dsr metode perturbsi homotopi berdsrkn lur pd pustk [He, ]. Mislkn ser umum diberikn sutu persmn integrl sebgi berikut: A u = f, Ω (.) dengn A merupkn sutu opertor yng melibtkn persmn integrl, u merupkn fungsi yng kn ditentukn dn f() merupkn fungsi yng dikethui. Selnjutny didefinisikn pul sutu opertor liner L yng memenuhi L y =, bil y =. (.) Mislkn u () pendektn wl dri penyelesin persmn (.) dn p [,] sutu prmeter. Didefinisikn fungsi rel U, : Ω [,] R dn sutu fungsi H sebgi berikut: H U, p = p [L U L[u ]] + p A U f (.3) Berdsrkn persmn (.3), mk untuk p = dn p = msing-msing memberikn persmn berikut: H U(, ), = L[U(, )] L[u ()]
13 4 dn H U(, ), = A[U, ] f() Sehingg menurut persmn (.) dn persmn (.) diperoleh bhw fungsi dn U, = u () U, = u() msing-msing merupkn penyelesin dri persmn dn H U(, ), = H U(, ), =. Dengn demikin peningktn nili p dri ke menytkn perubhn nili H(U, p) dri L[U u ] ke A[U] f(). Dlm topologi, proses ini disebut deformsi. Proses deformsi yng ditinju meliputi deformsi orde nol dn orde tinggi. Pd deformsi orde nol memberikn penyelesin wl u, sedngkn deformsi orde tinggi memberikn penyelesin u, u,, u i. Dlm metode perturbsi homotopi, Penyelesin fungsi H U, p = disumsikn dpt ditulis dlm bentuk deret Tylor fungsi U(, p) terhdp p sebgi berikut: U, p = u + i= u i p i. (.4) Berdsrkn persmn (.4) untuk p =, mk kn diperoleh U, = u + i= u i () Kren u = U(, ), mk diperoleh u() = u + u i (). (.5) i= Hsil ini menunjukkn hubungn ntr penyelesin eksk dri persmn (.) dengn pendektn wl u () dn u i (), i =,, yng kn ditentukn. Untuk menentukn u i (), i =,, diperoleh dengn menggunkn metode perturbsi, dimn persmn (.4) disubstitusikn ke dlm persmn (.3) dn diperoleh u i. Ser umum u i diperoleh dengn menymkn koefisien perpngktn p, dn u () merupkn pendektn wl dri penyelesin u(). Selnjutny, untuk lebih memhmi metode ini, mislkn diberikn sebuh persmn integrl Volterr tipe kedu sebgi berikut: u = e + e dengn dn f = e + (e ) k, t =. u (t)dt. (.6) Penyelesin eksk persmn (.6) dlh u = e. Berikut ini kn diri penyelesin dri persmn (.6) dengn menggunkn metode perturbsi homotopi. Selnjutny didefinisikn opertor L sebgi berikut L[U] = U dn A U = U k(, t)u(t)dt sehingg berdsrkn persmn (.3) diperoleh persmn fungsi H sebgi berikut: tu H U, p = p U, p u +p U, p f() k, t U(t)dt H U, p = p U. p u +p U, p U t dt e e. (.7) dengn U(, p) merupkn peyelesin dri H U, p = tu,
14 5 U, p = p u p e e + U t, p dt. (.8) Mislkn penyelesin persmn (.8) dinytkn dlm bentuk: U, p = u + pu + p u +. (.9) Jik persmn (.9) disubstitusikn ke dlm persmn (.8), mk koefisien p, p, p, msing-msing memberikn sebgi berikut u = u, u = u t dt, u = u t u t dt, Berdsrkn persmn (.5), mk hmpirn penyelesin dri persmn (.6) dlh u e + e e 3 e3 + 9 e3 + e + Perbndingn penyelesin eksk persmn (.6) dn penyelesin dengn metode perturbsi homotopi diberikn pd Gmbr. Pd Gmbr terliht bhw penyelesin eksk dn penyelesin dengn menggunkn metode perturbsi homotopi terliht sngt dekt untuk nili tertentu. dn seterusny diperoleh u 3, u 4, dn. (Lmpirn ) Kren dipilih pendektn wl sebgi berikut: u = e + e, mk diperoleh: u = e 3 e3 + 9 e3 +e e 6 e e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4 Gmbr Perbndingn penyelesin eksk dn penyelesin dengn menggunkn metode perturbsi homotopi. dn seterusny diperoleh pul u (), u 3 (), u 4 (),.
15 III PEMBAHASAN Pd bgin ini kn dibhs kegunn metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn sutu mslh tkliner. Metode ini kn digunkn untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Agr vlidits metode ini terjmin, mk kn diberikn sutu ontoh ksus dri persmn integrl fuzzy Volterr dn membndingkn penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin yng diperoleh dengn metode perturbsi homotopi. 3. Anlisis Metode Dlm kry ilmih ini kn digunkn metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Bentuk umum dri persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu diberikn pd persmn (.8). Perlusn dri konsep dsr metode perturbsi homotopi yng telh diurikn di lndsn teori memerlukn fungsi U(, p, r) yng tidk hny bergntung pd prmeter dn p, tetpi jug bergntung pd prmeter r dengn r. Mislkn fungsi H dinytkn sebgi berikut H U, p, r, p = p U, p, r U, r + p U, p, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt tu H U, p, r, p = U, p, r U, r dn + p U, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt H U, p, r, p = p U, p, r U, r + p U, p, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt tu H U, p, r, p = U, p, r U, r + p U, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt (3.) Selnjutny, berdsrkn persmn (3.) untuk nili p = diperoleh dn H U,, r, = U,, r U, r H U,, r, p = U,, r U, r. (3.) Kemudin untuk nili p = diperoleh persmn berikut dn H U,, r, = U,, r f, r k, t U t,, r dt k, t U t,, r dt
16 7 H U, p, r, p = U,, r f, r k, t U t,, r dt k, t U t,, r dt (3.3) Mislkn fungsi U(, p, r) dn U(, p, r) msing-msing merupkn penyelesin dri H U, p, r, p = dn H U, p, r, p =. Berdsrkn persmn (3.), mk kn diperoleh U, p, r = U, r dn U, p, r = U, r + p f, r U, r + k, t U t, p, r dt + k, t U t, p, r dt + p f, r U, r + k, t U t, p, r dt + k, t U t, p, r dt (3.4) Fungsi U(, p, r, p) dn U(, p, r, p) tidk hny bergntung pd prmeter dn p, tetpi jug bergntung pd prmeter r. Berdsrkn persmn (3.4), mk untuk p = diperoleh msing-msing penyelesin dri persmn H U,, r, = dn H U,, r, = sebgi berikut dn U,, r = U, r U,, r = U, r. Selnjutny, untuk p = diperoleh penyelesin persmn berikut. U,, r = f, r + k, t U t,, r dt dn + k, t U t,, r dt U,, r = f, r + k, t U t,, r dt + k, t U t,, r dt (3.5) Berdsrkn metode perturbsi homotopi, fungsi U(, p, r) dn U(, p, r) dpt disumsikn dlm bentuk deret pngkt dlm p berikut dn U, p, r = p i u i, r, U, p, r = i= i= p i u i (, r). (3.6) Berdsrkn persmn (3.6) dn persmn (3.4), mk kn diperoleh koefisien dri perpngktn p. Koefisien p memberikn dn u, r = U (, r) u, r = U (, r). (3.7) Selnjutny, koefisien untuk p memberikn u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt dn u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt. (3.8)
17 8 Ser umum, koefisien p i+ untuk i memberikn dn u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt. (3.9) (Lmpirn 3) Dengn membut nili p =, mk kn diperoleh dn u, r = lim p U, p, r = u, r = lim p U, p, r = i= i= u i, r u i, r (3.) Dengn demikin pbil diberikn sutu persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu seperti pd persmn (.8), mk dengn menggunkn metode perturbsi homotopi kn diperoleh hmpirn penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu sebgi berikut dn u, r i= u i, r u, r u i, r, i= (3.) dengn u i (, r) dn u i (, r) diperoleh dri persmn (3.8) dn persmn (3.9) sert u (, r) dn u (, r) merupkn pendektn wl yng dipilih. 3. Apliksi Metode Tinju persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu yng diberikn pd persmn (.8). Berdsrkn persmn (.9) dn persmn (.), mk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dpt ditulis sebgi berikut:. dn u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt, (3.) dengn k(, t) merupkn fungsi kernel. Nili ditentukn berdsrkn nili k(, t) tknegtif untuk t dn k(, t) tkpositif untuk t. Untuk lebih memhmi penggunn metode perturbsi homotopi pd persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu, mk berikut ini diberikn du ilustrsi persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dengn fungsi kernel yng berbed. Pd ksus pertm fungsi kernel yng diberikn berup fungsi liner dn pd ksus kedu diberikn fungsi kernel berup fungsi trigonometri. Ksus I: kernel berup fungsi liner Misl dengn k, t = t, (3.3) dn t sert =, b =, dn diberikn fungsi f(, r) dn f, r sebgi berikut: dn f, r = r 3 r r f, r = r + + r (3.4) + 3 r3 r + r (3.5) Penyelesin eksk untuk ksus ini dlh: u, r = r, (3.6)
18 9 dn u, r = r. (3.7) Pd ontoh ini, diperoleh nili k(, t) tknegtif untuk t dn k(, t) tkpositif untuk t, sehingg diperoleh =. Berdsrkn persmn (3.), mk kn memberikn bentuk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dri persmn (3.4) dn persmn (3.5) sebgi berikut dn u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt (3.8) Berdsrkn pendektn metode homotopi yng telh diurikn di wl, mk berdsrkn persmn (3.4) kn diperoleh penyelesin persmn homotopi dri persmn (3.8) sebgi berikut U(, p, r) = U, r + p[ f, r U, r dn + k, t U t, p, r dt + k, t U t, p, r ] U(, p, r) = U, r + p[f, r U, r + k, t U t, p, r dt + k, t U(t, p, r)dt]. (3.9) Untuk memperoleh hmpirn penyelesin dri persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu, mk kn ditentukn terlebih dhulu koefisien dri perpngktn p. Berdsrkn persmn (3.7) -(3.9), diperoleh koefisien p, dn p msing-msing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt Ser umum diperoleh + k, t u t, r dt. u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt Selin itu, koefisien p, dn p msingmsing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt Ser umum diperoleh + k, t u t, r dt. u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt Selnjutny, pilih pendektn wl U, r = dn U, r =, mk kn diperoleh u, r = dn u, r =..
19 Berdsrkn urin di ts, mk diperoleh u(, r) r [ r r ], (3.) u(, r) ( r) [ r r r ], (3.) r 4 r 49 5r r r 5r 4r u (, r) , (3.) r r 5r r r 5 5r 8 4r u (, r) , (3.3) r 3 3r 3 3r r u3(, r) r 3r 7 r 43 43r 47 47r r, 3 3 (3.4), r 3 3r 3 3r r u3( ) r 99 3r r 43r 47r 8r Dengn demikin, penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu yng dinytkn oleh persmn (3.8) hingg orde tig berbentuk dn u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r, u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r. (3. 5), Dengn menggunkn softwre MAPLE diperoleh grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.8) seperti yng diberikn pd Gmbr. Gmbr Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.8)
20 Gmbr merupkn grfik u terhdp r dengn nili r. Berikut ini kn diberikn Tbel yng merupkn selisih ntr penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin dengn menggunkn metode perturbsi homotopi dengn orde tig. Tbel Glt ntr penyelesin eksk dn metode perturbsi homotopi hingg orde 3 dengn =. r u eks ; r u pm, r u eks ; r u pm, r..9699e-6.54e e-6.898e-..55e-6.656e e-6.844e e-6.67e e-7.393e e-7.688e e e e e e e-3..75e-7.75e-4 Ksus II: kernel berup fungsi trigonometri Misl k, t = os t, (3.6) dengn π dn t sert =, b = π, dn diberikn fungsi f(, r) dn f(, r) sebgi berikut: f, r = r 5 + r [3 3 os ] (3.7) dn f, r = 6 r 3 [3 3 os ] (3.8) Penyelesin eksk yng diberikn untuk ksus ini dlh sebgi berikut: dn u, r = 3 r 5 + r (3.9) u, r = 3 6 3r 3 (3.3) Pd ontoh ini, nili k(, t) sellu bernili tknegtif untuk t, Sehingg diperoleh nili =. Berdsrkn persmn (3.) kn memberikn bentuk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dri persmn (3.7) dn persmn (3.8) sebgi berikut dn u, r = f, r + k, t u t, r dt u, r = f, r + k, t u t, r dt. (3.3) Berdsrkn pendektn metode homotopi yng telh diurikn di wl, mk berdsrkn persmn (3.4) diperoleh penyelesin persmn homotopi dri persmn (3.3) sebgi berikut dn U(, p, r) = U, r U(, p, r) = U, r + p f, r U, r + k, t U(t, p, r)dt + p f, r U, r + k, t U(t, p, r)dt. (3.3) Untuk memperoleh hmpirn penyelesin dri persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu yng dinytkn pd persmn (3.3), mk kn ditentukn terlebih dhulu koefisien dri perpngktn p. Berdsrkn persmn (3.7)-(3.6), mk diperoleh koefisien p, dn p, msingmsing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r Ser umum diperoleh + k, t u t, r dt. u i+, r = k, t u i t, r dt.
21 Selin itu, koefisien p, dn p msingmsing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt. Ser umum diperoleh u i+, r = k, t u i t, r dt. Selnjutny, dipilih pendektn wl U, r = dn U, r =, sehingg diperoleh u, r = dn u, r =. Berdsrkn urin di ts, mk diperoleh u 5 (, r ) ( r r ) (3 3 Cos [ ]), (3.33) u r r Cos 3 (, ) 6( ) (3 3 [ ]), (3.34) 3 4 u (, r) r( r ) (4( 3 ) ( ) Cos[ ] Sin[ ]), (3.35) 9 3 u (, r) ( r ) (4( 3 ) ( ) Cos[ ] Sin[ ]), (3.36) 4 4 u3(, r) r( r ) (88( 3 ) 3(88 5 ) os[ ] (69 ) sin[ ]) 6 3 u r r os sin 6 (3.37) 3 4 3(, ) ( ) (88( 3 ) 3(88 5 ) [ ] (69 ) [ ]) Dengn demikin penyelesin persmn integrl fuzzy volterr tipe kedu yng dinytkn oleh persmn (3.3) hingg orde tig berbentuk u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r, (3.38) dn u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r. Dengn menggunkn Softwre MAPLE diperoleh grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu pd ontoh ini seperti diberikn pd Gmbr 3. Gmbr 3 Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin.persmn (3.3)
22 3 Gmbr 3 merupkn grfik u terhdp r dengn nili r. Selisih dri penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin yng merupkn tingkt keslhn metode perturbsi homotopi yng diberikn pd Tble. Tbel. Glt ntr penyelesin eksk dn penyelesin dengn metode Perturbsi homotopi untuk = π 4. r u eks ; r u pm, r u eks ; r u pm e-3..58e e e e e e e e e e e-4 3.8e e-4.866e-3.8.e-3.577e e-3.958e e-3.776e-3, r
23 IV SIMPULAN Metode perturbsi homotopi merupkn slh stu metode nlitik yng dpt digunkn untuk menyelesikn sutu mslh tkliner. Dlm metode ini terdpt sutu prmeter dn sutu fungsi yng dpt dipilih sembrng. Pemilihn kedu prmeter ini dpt mengkibtkn perlusn derh kekonvergenn (derh dimn nili penyelesin hmpirn mendekti nili penyelesin eksk). Slh stu pliksi dri penggunn metode perturbsi homotopi dlh penerpnny untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr. Persmn integrl ini menggunkn konsep bilngn fuzzy sehingg persmn tersebut dinytkn dlm bentuk prmetrik dengn prmeter dn. Dengn menggunkn progrm MAPLE diperoleh grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin dri persmn integrl fuzzy Volterr. Grfik yng diperoleh menunjukkn bhw penyelesin yng diperoleh dengn metode perturbsi homotopi sngt dekt dengn penyelesin eksk untuk nili vribel bebs tertentu.
24 DAFTAR PUSTAKA Allhvirnloo T, Khezerloo M, Ghnbri M, Khezerloo S..The Homotopy perturbtion method for fuzzy Volterr integrl equtions. Interntionl journl of omputtionl ognition, vol. 8, No.. Bbolin,E, A. Dvri. 5. Numeril implementtion of Adomin deomposition method for liner volter integrl equtions of the seond kind, Appli. Mth. Comput. 65, 3-7. Dubois D, Prde H. 98. Towrds fuzzy differentil lulus:prt 3, differentition, Fuzzy Sets nd System. 8:5-33. Numeril Methods for Integrl Eqution. Plennum Press, New York, He, J.H.,. A oupling method of homotopy tehnique nd perturbtion tehnique for nonliner problems. Interntionl Journl Nonliner Mehni., Vol.35, No.: Jerri A J Introdution to Integrl Eqution with Applitions, Mrel Dekker In., New York. Kusumdewi, S.. Anlisis dn Desin Sistem Fuzzy, Grh Ilmu. Golberg M A Solution Methods for Integrl Equtions: A Survey of.
25 LAMPIRAN
26 7 Lmpirn Penurunn Persmn (.7) Tinju persmn differensil bis orde du u" + A()u + B()u = g(). dengn kondisi wl berikut u = u, u = u. Jik persmn differensil bis di ts diintegrlkn terhdp t, mk diperoleh tu u = A t u t dt B t u t dt + g t dt + u, u = Au B A t u t dt + g t dt + A u + u. Jik persmn differensil di ts diintegrlkn untuk yng kedu kliny, mk diperoleh Kren y u = Aud du B t A t u t dt y + du g t dt + A u + u + u. mk persmn untuk u menjdi y du f(t) = t f t dt u = A t + t B t A t u t dt + t g t dt + A u + u + u. Mislkn k, t = t B t A t A t, f = t g t dt A u + u + u. Persmn untuk u() menjdi u = f + k, t u t dt
27 8 Lmpirn Penyelesin Persmn (.6) Tinju persmn (.6) sebgi berikut: u = e + e u (t)dt. Persmn tersebut merupkn persmn integrl volterr tipe kedu dengn f = e + e dn k, t =. Berdsrkn persmn (.8) diperoleh U, p = p u p e e + U (t, p)dt Mislkn penyelesin persmn integrl tersebut dinytkn sebgi berikut:. U, p = u + pu + p u + + p i u i (). Jik persmn (.9) disubstitusikn ke dlm persmn (.8), mk diperoleh u + pu + = p u Koefisien p memberikn u = u e e + p e e + u t + pu t + dt u t dt.. Koefisien p memberikn u = u t u (t)dt. Mislkn dipilih pendektn u = e + e, mk diperoleh u = e 3 e3 + 9 e3 + e e 6 e e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4. u = (e + e ) e 3 e3 + 9 e3 + e e 6 e e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4 dt.
28 9 Dengn demikin penyelesin persmn (.6) dengn menggunkn metode perturbsi homotopi dlh tu u = u + u + u + u = (e + e ) e 3 e3 + 9 e3 + e e 6 e e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4.
29 Lmpirn 3 Penurunn Persmn (3.9) Berdsrkn persmn (3.4) berikut: dn U(, p, r) = U, r + p[f, r U, r + + k, t U(t, p, r)dt] U(, p, r) = U, r + p[f, r U, r + + k, t U(t, p, r)dt] k, t U t, p, r dt k, t U(t, p, r)dt Mislkn U, p, r = U, p, r = i= i= p i u i (, r) p i u i (, r) Jik persmn (3.6) disubstitusikn ke dlm persmn (3.4), mk diperoleh Untuk i = diperoleh u (, r) + pu (, r) = U, r u, r + pu, r Koefisien p memberikn + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r dt + k, t u (t, r) + pu (t, r) dt. = U, r + pf, r pu, r + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt. u, r = f, r U, r + + p k(, t) u (t, r))dt k, t u t, r dt + k, t u t, r dt
30 Kemudin u, r + pu, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r dt + k, t u t, r + pu t, r dt. u, r + pu, r = U, r + pf, r pu, r Koefisien p memberikn + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p k(, t)u t, r dt. u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt. Untuk i = diperoleh u, r + pu, r + p u (, r) = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p u (t, r) dt + k, t u t, r + pu t, r + p u (t, r) dt. u, r + pu, r + p u, r = U, r + pf, r pu, r + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p 3 k, t u t, r dt + p 3 k(, t)u (t, r)dt.
31 Koefisien p memberikn u, r = k, t u t, r dt + k, t u t, r dt. Kemudin u, r + pu, r + p u, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p t, r dt + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r dt. u, r + pu, r + p u, r = U, r + pf, r pu, r Koefisien p memberikn + p k, t u t, r dt + p k(, t)u t, r + p 3 k(, t)u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p 3 k(, t)u t, r dt. dt u, r = k(, t)u t, r dt + k(, t) u t, r dt. Untuk i = 3 diperoleh u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt.
32 3 u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + pf, r pu, r Koefisien p 3 memberikn + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p 3 k(, t) u t, r dt + p 4 k(, t) u 3 t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t)u t, r dt + p 3 k(, t)u t, r dt + p 4 k(, t)u 3 t, r dt. u 3, r = k(, t) u t, r dt + k(, t)u t, r dt. Kemudin u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt. Koefisien p 3 memberikn u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + pf, r pu, r + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p 3 k(, t) u t, r dt + p 4 k(, t) u 3 t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t)u t, r dt + p 3 k(, t)u t, r dt + p 4 k(, t)u 3 t, r dt. u 3, r = k(, t) u t, r dt + k(, t)u t, r dt.
33 4 Ser umum, untuk i diperoleh u i+, r = k(, t) u i t, r dt + k(, t)u i t, r dt
34 5 Lmpirn 4 Progrm Mple untuk Gmbr
35 6
36 7 Lmpirn 5 Progrm Mple untuk Gmbr 3
METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR ABSTRACT
METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR Azhrr Fortun Drno 1, Symsudhuh 2, Aziskhn 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Lebih terperinciVEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Lebih terperinciIntegral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Lebih terperinciINTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Lebih terperinciTeorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
Lebih terperinciBab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinci6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Lebih terperinciMETODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Fitra Anugrah 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
METODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Fitr Anugrh 1, Zulkrnin 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Lebih terperincir x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
Lebih terperinciMODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
Lebih terperinciMENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
Lebih terperinci15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
Lebih terperinciIntegral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
Lebih terperinci7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
Lebih terperinciDETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
Lebih terperinciFISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Lebih terperinciPROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Lebih terperinciBAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Lebih terperinci12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperinciSTRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Lebih terperinciKerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Lebih terperinciPERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Lebih terperinciINTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Lebih terperinciPROSIDING ISBN : RUANG LINEAR BERNORMA CESS. Muslim Ansori
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 RUANG LINEAR BERNORMA C (, L ([, b ] An-1 Muslim Ansori Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Lmpung Almt : Jln. Soemtri Brodjonegoro No.1 Bndr Lmpung E-mil: nsomth@yhoo.com
Lebih terperinciAljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Lebih terperinciM A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Lebih terperinciDeret Fourier. (Pertemuan X) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 47 Mtemtik III Deret Fourier (Pertemun X) Dr. AZ Jurusn Teknik Sipil Fkults Teknik Universits Brwijy Pendhulun Deret Fourier ditemukn oleh ilmun Perncis, Jen Bptiste Joseph Fourier (768-83) yng menytkn
Lebih terperinciVektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan dengan Logaritma. Persamaan & Fungsi logaritma. Pengertian Logaritma 10/9/2013
10/9/013 Penyelesin Persmn dengn Logritm Persmn & Fungsi logritm Tim Dosen Mtemtik FTP Logritm dpt digunkn untuk mencri bilngn yng belum dikethui (bilngn x) dlm sebuh persmn, khususny persmn eksponensil
Lebih terperinciTwo-Stage Nested Design
Mteri #13 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN Two-Stge Nested Design Nested design dlh slh stu ksus dri desin multi fktor dimn level dri slh stu fktor (misl: fktor B) serup tpi tidk identik untuk setip level yng
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Lebih terperinciSistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
Lebih terperinciBAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Lebih terperinciVEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Lebih terperinciGEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum,
Lebih terperinciLIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
Lebih terperinciAUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA
JMP : Volume Nomor Oktober 9 AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA Eddy Mrynto Fkults Sins dn Teknik Universits Jenderl Soedirmn Purwokerto Indonesi emil: eddy_mrynto@unsoed.c.id Abstrct. A deterministic
Lebih terperinciJarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Lebih terperinciDETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Lebih terperinciCatatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
Lebih terperinciSOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN ABSTRACT
SOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN Imm Tufik 1, Symsudhuh, Zulkrnin 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun
Lebih terperinciBAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
Lebih terperinciMETODE ITERASI DUA LANGKAH BERDASARKAN ATURAN KUADRATUR BARU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Meutia Raya Fitri 1 ABSTRACT
METODE ITERASI DUA LANGKAH BERDASARKAN ATURAN KUADRATUR BARU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Meuti Ry Fitri Mhsisw Progrm Studi S Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus
Lebih terperinciIII. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Lebih terperinci1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Lebih terperinciBABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO
. Jwbn : C 8 3 8 6 3 3 3 6 BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO. Jwbn : C Tig bilngn prim pertm yng lebih besr dri 0 dlh 3, 9, dn 6. Mk 3 + 9 + 6 = 73. Jdi, jumlh tig bilngn
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi
Lebih terperinciBAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS
BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS Mtriks A dn mtriks B diktkn sm (A = B), jik dn hny jik: 1. Ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B 2. Setip elemen yng seletk pd mtriks A
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinciPERLUASAN METODE INTEGRASI HASIL-KALI BERTIPE TRAPESIUM. Eko Budiansyah 1 ABSTRACT
PERLUASAN METODE INTEGRASI HASIL-KALI BERTIPE TRAPESIUM Eko Budinsyh Mhsisw Progrm Studi S Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Binwidy Peknbru (28293), Indonesi eko budinsyh@yhoo.com
Lebih terperinci14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn
Lebih terperinciINTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN. Penelitian dilaksanakan pada bulan Oktober sampai dengan November 2011
III. METODE PENELITIAN 3.1. Tempt dn Wktu Penelitin Penelitin dilksnkn pd buln Oktober smpi dengn November 2011 bertempt di Lbortorium Rekys Bioproses dn Psc Pnen, Jurusn Teknik Pertnin, Fkults Pertnin,
Lebih terperinciMenerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
Lebih terperinci4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
Lebih terperinciBAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Lebih terperinciKegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1
Pge of 8 Kegitn eljr 5. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr 5, dihrpkn sisw dpt. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn sinus b. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn kosinus. Menghitung
Lebih terperinciMASALAH STURM-LIOUVILLE SINGULAR FRAKSIONAL
MASALAH STURM-LIOUVILLE SINGULAR FRAKSIONAL Nurul Qomriyh, Sutrim, dn Supriydi Wibowo Progrm Studi Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Sebels Mret Surkrt Abstrk. Mslh Sturm-Liouville
Lebih terperinciBAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.
DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut
Lebih terperinciANALISIS DISPARITAS INPUT PEMBANGUNAN, 2010
BADAN PUSAT STATISTIK ANALISIS DISPARITAS INPUT PEMBANGUNAN, 2010 ABSTRAKSI Ltr belkng: 1. Pelksnn Otonomi Derh msih bnyk ditemukn permslhn kibt perbedn ltr belkng demogrfi, geogrfi, infrstruktur, ekonomi,
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn
Lebih terperincimatematika K-13 TRIGONOMETRI ATURAN SEGITIGA K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TRIGONOMETRI TURN SEGITIG Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi turn sinus dn kosinus, sert pembuktinny.. Memhmi turn sinus dn
Lebih terperinci2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
Lebih terperinciMatriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh memeljri mteri ini, kmu dihrkn memiliki kemmun berikut.. Memhmi definisi logritm.. Dt menentukn nili logritm dengn menggunkn tbel
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi
Lebih terperinciAntiremed Kelas 11 Matematika
Antiremed Kels Mtemtik Persipn UAS 0 Doc. Nme: ARMAT0UAS Version : 06-09 hlmn 0. Pd ulngn mtemtik, dikethui nili rt -rt kels dlh 8, Jik rt-rt nili mtemtik untuk sisw priny dlh 6, sedngkn untuk sisw wnit
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Lebih terperinciMETODE NEWTON-COTES TERTUTUP BERDASARKAN TURUNAN PADA TITIK TENGAH. Haryono Ismail ABSTRACT
METODE NEWTON-COTES TERTUTUP BERDASARKAN TURUNAN PADA TITIK TENGAH Hryono Ismil Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Bin Widy, Peknbru
Lebih terperinciMatriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
Lebih terperinciTRIGONOMETRI I. KOMPETENSI YANG DICAPAI
TRIGONOMETRI I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt : 1. Membuktikn identits trigonometri.. Menghitung hubungn ntr sudut dn sisi segitig dengn Rumus Sinus. 3. Menghitung hubungn ntr sudut dn sisi segitig
Lebih terperinciSTATIKA (Reaksi Perletakan)
STTIK (Reksi erletkn) Meknik Rekys I Norm uspit, ST.MT. Tumpun Tumpun merupkn tempt perletkn konstruksi tu dukungn bgi konstruksi dlm meneruskn gy gyyng bekerj ke pondsi Dlm ilmu Meknik Rekys dikenl 3
Lebih terperinciINTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Lebih terperinciRumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia
Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.
Lebih terperincimatematika wajib ATURAN SEGITIGA K e l a s Kurikulum 2013
Kurikulum 03 mtemtik wjib K e l s X TURN SEGITIG Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi turn sinus dn kosinus, sert pembuktinny.. Dpt menerpkn turn sinus
Lebih terperinciSuku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
Lebih terperinciINTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
Lebih terperinciMATEMATIKA INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI. Teknik substitusi aljabar yang telah dipelajari sebelumnya memiliki bentuk
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 04 Sesi NGAN INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI Teknik substitusi ljbr yng telh dipeljri sebelumny memiliki bentuk n+ n n u [ f ( )] f ( ) u n + + Di mn: u f()
Lebih terperinciMetoda Penyelesaian Pendekatan
Metod Elemen Hingg Dlm Hidrulik Bb 3 Dsr Pertm: Metod Penyelesin Pendektn Ir. Djoko Luknnto, M.Sc., Ph.D. milto:luknnto@ugm.c.id I. Tig Lngkh Pokok (hl.54). Bentuk sebuh penyelesin pendektn Û. Optimsikn
Lebih terperinci