SOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN ABSTRACT

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "SOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN ABSTRACT"

Sonny Budi Susanto
6 tahun lalu
Tontonan:

1 SOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN Imm Tufik 1, Symsudhuh, Zulkrnin 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Binwidy Peknbru (893), Indonesi immtufik73@gmilcom ABSTRACT This pper discusses how to obtin polynomil solution of liner Fredhlom integrodifferentil eqution with constnt coefficients using mtrix method The Liner Fredhlom integro-differentil eqution with constnt coefficients nd its initilboundry conditions re trnformed into mtrix, resulting system of liner equtions Polynomil solutions of liner Fredhlom integro-differentil is obtined by solving the system of liner equtions Keywords: liner Fredhlom integro-differentil eqution, Tylor series, mtrix, system of liner equtions ABSTRAK Artikel ini membhs solusi polinomil persmn integro-diferensil Fredhlom liner dengn koefisien konstn yng kondisi wlny dikethui, dengn menggunkn metode mtriks Persmn integro-diferensil Fredholm liner besert syrt wlny diubh dlm bentuk mtriks, sehingg menghsilkn sutu sistem persmn liner Solusi polinomil integro-diferensil Fredholm liner diperoleh dengn menyelesikn sistem persmn liner tersebut Kt kunci: persmn integro-diferensil Fredholm, deret Tylor, mtriks, sistem persmn liner 1 PENDAHULUAN Persmn integro-diferensil Fredholm liner muncul dlm berbgi bidng ilmu seperti pertumbuhn populsi [6, h 7], permbtn gelombng [6, h 93], rektor nuklir [6, h 301], dn viscoelstisits [6, h 310] Slh stu bentuk umum persmn integro-diferensil Fredholm liner dlh P k y (k) (x) = g(x)+λ K(x,t)y(t)dt; x,t b, (1) JOM FMIPA Volume No 1 Februri

2 dn nili wl m 1 ( ik y (k) ()+b ik y k (b)+c ik y (k) (c) = λ i ; i = 0,1,,,m 1, () dengn P k R,k = 1,,3,,m, g(x) dn K(x,t) dlh fungsi yng terdefinisi pd intervl I = [,b], dimn ik,b ik,c ik dn λ i dlh sutu bilngn konstn Pd tulisn ini persmn (1) dengn syrt wl persmn () diselesikn dengn memislkn solusi y(x) berup deret Tylor, dn mentrnsformsiknny kebentuk sistem persmn liner sehingg diperoleh solusi polinomil persmn (1) Pembhsn ini merupkn review dri rtikel Kurt etl[4] yng berjudul Polynomil solution of high-order liner Fredholm integro-differentil equtions with constnt coeffisients Untuk pembhsn ini dibgin du, dibhs bgimn mentrnformsikn persmn integro-diferensil Fredholm liner dengn koefiseien konstn ke sistem persmn liner dn teknik menyelesikn sistem persmn liner tersebut sehingg diperoleh solusi persmn (1) Pd bgin tig diberikn du contoh persmn integro-diferensil Fredholm liner yng diselesikn dengn menggunkn metode yng dipprkn pd bgin du SOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN Mislkn y(x) dlh solusi polinoml persmn integro-diferensil Fredholm liner pd persmn (1) dn disumsikn y(x) dpt diekspnsi dengn deret Tylor yitu y(x) = d0 y(c) (x c) 0 + d1 y(c) (x c) ++ dn y(c) (x c) N (3) dx 0 0! dx 1 dx N N! Persmn (3) dpt disederhnkn menjdi y(x) = N i=0 d i y(c) (x c) i dx i i! = N i=0 y (i) (c) (x c)i (4) i! Persmn (4) dpt ditulis dlm bentuk perklin vektor Definisikn y(x) = [ 1 (x c) (x c) (x c) N] y 0 y (1) (c) y () (c)! y (N) (c) N! X(x) = [1 (x c) (x c) (x c) N ], (5) JOM FMIPA Volume No 1 Februri

3 dn Y = [ y 0 y (1) (c) sehingg y(x) dpt dituliskn sebgi y () (c)! ] y (N) T (c) N! Turunn pertm untuk persmn (5) dlh y(x) = X(x)Y (6) X (1) (x) = [0 1 (x c) N(x c) N 1 ], yng dpt dituliskn sebgi hsil kli ntr X(x) dn sutu mtrik B n n dimn ] X (1) (x) = X(x)B T = [1 (x c) (x c) (x c) N , N dengn Turunn ke k dri X(x) dlh B = N 0 X (k) (x) = X(x)(B T ) k 1 B T X (k) (x) = X(x)(B T ) k, (7) dengn k N Perhtikn kembli bentuk pd persmn (6) Kren Y dlh konstnt, mk diperoleh y (k) (x) = X (k) (x)y, (8) dengn mensubstitusi persmn (7) ke persmn (8) diperoleh y (k) (x) = X(x)(B T ) k Y (9) Subsitusikn persmn (9) ke dlm persmn (1), sehingg diperoleh P i X(x)(B T ) i Y = g(x)+λ K(x, t)y(t)dt (10) i=0 Selnjutny nytkn fungsi K(x, t) sebgi ekspnsi Tylor du vribel disekitr (x,t) = (c,c) sehingg diperoleh K(x,t) = N m=0 n=0 N k m,n (x c) m (t c) n, (11) JOM FMIPA Volume No 1 Februri

4 dengn 1 m+n K(c,c) k m,n = ; m,n = 0,1,,,N (1) m! n! x m t n Selnjutny perhtikn persmn (11) yng dpt ditulis dlm bentuk perklin vektor menjdi K(x,t) = [ 1 (x c) (x c) (x c) N] k 0,0 k 0,1 k 0, k 0,N k 1,0 k 1,1 k 1, k 1,N k,0 k,1 k, k,n k N,0 k N,1 k N, k N,N Fungsi K(x, t) selnjutny ditulis dlm bentuk mtriks menjdi dengn A = [k m,n ] 1 (t c) (t c) (t c) N K(x,t) = X(x)AX T (t), (13) X(x) = [1 (x c) (x c) (x c) N ], X(t) = [1 (t c) (t c) (t c) N ] T Perhtikn kembli bentuk integrl pd persmn (1) Subsitusikn persmn (13) ke (1) sehingg diperoleh Definisikn selnjutny X T (t)x(t) = X T (t)x(t) = K(x, t)y(t)dt = X(x)KX T (t)x(t)ydt ( ) K(x, t)y(t)dt = X(x)A X T (t)x(t)dt Y (14) Q = 1 (t c) (t c) (t c) N X T (t)x(t)dt, (15) ] [1 (t c) (t c) (t c) N 1 (t c) (t c) (t c) N (t c) (t c) (t c) 3 (t c) N+1 (t c) (t c) 3 (t c) 4 (t c) N+ (t c) N (t c) N+1 (t c) N+ (t c) N, JOM FMIPA Volume No 1 Februri

5 sehingg nili Q pd persmn(15) dlh Q = X T (t)x(t)dt (b c) ( c) (b c) ( c) Q = (b c) 3 ( c) 3 3 (b c) N+1 ( c) N+1 N+1 (b c) ( c) (b c) 3 ( c) 3 3 (b c) 4 ( c) 4 4 (b c) N+ ( c) N+ N+ (b c) 3 ( c) 3 3 (b c) 4 ( c) 4 4 (b c) 5 ( c) 5 5 (b c) N+3 ( c) N+3 N+3 (b c) N+1 ( c) N+1 N+1 (b c) N+ ( c) N+ N+ (b c) N+3 ( c) N+3 N+3 (b c) N+1 ( c) N+1 N+1 Selnjutny Q dpt ditulis q 11 q 1 q 13 q 1,N+1 q 1 q q 3 q,n+ Q = q 31 q 3 q 33 q 3,N+3 q N+1,1 q N+1, q N+1,3 q N+1,N+1 dengn Q = [q i,j ], (16) q i,j = (b c)i+j 1 ( c) i+j 1 i+j 1 i,j = 1,,,N +1 (17) Selnjutny persmn (14) dpt ditulis menjdi K(x, t)y(t)dt = X(x)AQY (18) Perhtikn kembli persmn () dn persmn (9) mk didptkn m 1 ( ) ik X()+b ik X(b)+c ik X(c) (B T ) k Y = λ i, (19) dengn i = 0,1,,,m 1 Fungsi g(x) didekti dengn ekspnsi Tylor dimn g(x) = N n=0 g (n) (c) (x c) n! = g (0) (c) (x c) 0! g(x) = g 0 (c)+g (1) (c) (x c) +g (1) (c) (x c) ++g (N) (c) (x c)n N! ++g (N) (c) (x c)n N (0) JOM FMIPA Volume No 1 Februri

6 Persmn (0) dpt ditulis dlm bentuk perklin vektor menjdi g 0 g ] g(x) = [1 (1) (c) (x c) (x c) (x c) N g () (c)!, (1) g (N) (c) N! dn G = [ g 0 g (1) (c) g () (c)! ] g (N) T (c) N! Jdi dengn menggunkn persmn (5) mk persmn (1), dpt ditulis sebgi g(x) = X(x)G () Dengn mensubsitusikn persmn (18) dn () kepersmn (1) diperoleh P k X(x)(B T ) k Y = X(x)G+λX(x)AQY, (3) ( m ) X(x)I P k (B T ) k Y ( ) = X(x)I G+λAQY (4) Dengn menglikn kedu rus dengn (X(x)I) 1 sehingg persmn (4) dpt ditulis P k (B T ) k Y = G+λAQY P k (B T ) k Y λaqy = G ( ) P k (B T ) k λaq Y = G (5) Definisikn W = P k (B T ) k λaq, (6) mk persmn (5) menjdi WY = G (7) JOM FMIPA Volume No 1 Februri

7 Selnjutny syrt wl yng diberikn pd persmn () dpt ditulis menjdi U i = m 1 sehingg persmn (19) menjdi ( ) ik X()+b ik X(b)+c ik X(c) (B T ) k, (8) UY = λ i (9) Bentuk mtriks W dengn menggnti m bris terkhir mtriks W dengn mtriks U Kemudin bentuk jug mtriks G dengn menggnti m bris terkhir vektor G dengn vektor λ = [λ 0 λ 1λ m 1 ] T, sehingg diperoleh Jik rnk W = N +1, mk WY = G Y = W 1 G Sehingg solusi dri persmn (1) dlh y(x) = X(x)Y 3 CONTOH KOMPUTASI Contoh 1 Perhtikn persmn diferensil liner orde ke 8 dengn syrt wl y (8) (x) y(x) = 8e x, 0 x 1 (30) y(0) = 1, y (1) (0) = 0, y () (0) = 1, y (3) (0) =, y (4) (0) = 3, y (5) (0) = 4, y (6) (0) = 5, y (7) (0) = 6 Solusi y(x) dihmpiri dengn polinomil Tylor y(x) = Dri persmn (30) diperoleh 8 n=0 y n x n ; y n = y(n) (0) n! N = 8, c = 0, P 0 = 1, P 1 = P = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = 0, P 8 = 1, g(x) = 8e x, λ = 0 JOM FMIPA Volume No 1 Februri

8 Berdsrkn persmn (6) diperoleh W = I +(B T ) 8 Kemudin dengn persmn (1) diperoleh G = [ ] T 5040 Dri syrt wl pd persmn (8) diperoleh U i = m 1 ( ) ik X()+b ik X(b)+c ik X(c) (B T ) k, sehingg diperoleh ik = 1 dn b ik = c ik = 0 kemudin mtriks nili wl dlh U i = ik X()(B T ) k, i,k = 0,1,,3,,m 1 Selnjutny, dri mtriks W dn U diperoleh W dn dri mtriks G dn [λ i ] diperoleh G, yitu [ ] T G = , sehingg [ W G] = Selnjutny perhtiknn bhw rnk ( W) = 9 sehingg W puny invres Jdi WY = G Y = W 1 G, sehingg Y = [ ] T 5760 JOM FMIPA Volume No 1 Februri

9 Solusi persmn (30) dlh Contoh y(x) = X(x)Y y(x) = 1 x 3 x3 8 x4 30 x5 144 x6 840 x x8 Perhtikn persmn integro-diferensil Fredhlom liner berikut Dri persmn (31) diperoleh y(x) = (x+1) (xt+x t )dt (31) P 0 = 1, g(x) = (x+1), λ = 1, K(x,t) = xt+x t Dengn menggunkn persmn (6) diperoleh W = (B T ) 0 AQ, dengn B T = Selnjutny untuk menentukn ekspnsi Tylor K(x, t), digunkn persmn (1), sehingg diperoleh A = Dri persmn (17) diperoleh 0 Q = Kemudin dri persmn (1) diperoleh G = [1 1] T JOM FMIPA Volume No 1 Februri

10 Solusi Y diperoleh dri persmn (7), yitu WY = G Y = (I KQ) 1 G Y = Jdi, solusi persmn integro-diferensil Fredhlom liner persmn (31) dlh y(x) = X(x)Y 1 1 = y(x) = 1+6x+ 5 9 x DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H1995 Aljbr Liner Elementer, 5 th Ed, Terj Dri Elementry Liner Algebr, 5 th Ed, Oleh Pntur Silbn & Nyomn Susil I Penerbit Erlngg, Jkrt [] Burden, R L & J D Fires 001 Numericl Anlysis 9 th Ed Brooks Cole, New York [3] Jcob, B 1990 Liner Algebr, WH Freemn nd Compny, New York [4] Kurt N, M Sezer 008 Polynomil solution of high-order liner Fredholm integro-differentil equtions with constnt coefficients Journl of the Frnklin Institute 345: [5] Ly, D C 01 Liner Algebr nd Its Applictions, 4 th Ed Addison-Wesley, Boston [6] Lksmikhnthm, V & M R M Ro 1995 Theory of Integro-Differentil Equtions Gordon nd Brech Science Publishers, Amsterdm [7] Suprnto, J 1993 Pengntr Mtriks Lembg Penerbit Fkults Ekonomi Universits Indonesi, Jkrt [8] Wzwz, A M 011 Liner nd Nonliner Integrl Equtions Springer-Verlg, Berlin Heidelberg JOM FMIPA Volume No 1 Februri

dokumen-dokumen yang mirip

METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR ABSTRACT

METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR Azhrr Fortun Drno 1, Symsudhuh 2, Aziskhn 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun