FUNGSI KOMPLEKS. Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. Penulis: Ahmad Lubab, M.Si.

Transkripsi

1 FUNGSI KOMPLEKS Buku Perkuliaha Program S- Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sua Ampel Surabaya Peulis: Ahmad Lubab, M.Si. Supported by: Govermet of Idoesia (GoI) ad Islamic Developmet Bak (IDB)

2 KATA PENGANTAR REKTOR IAIN SUNAN AMPEL Merujuk pada PP 55 tahu 7 da Kepmedikas No 6 tahu 7, Kepmedikas No. 3/U/ tetag Peyusua Kurikulum Pedidika Tiggi da Peilaia Hasil Belajar Mahasiswa; Kepmedikas No. 45/U/ tetag Kurikulum Iti Pedidika Tiggi; da KMA No. 353 Tahu 4 tetag Pedoma Peyusua Kurikulum Pedidika Tiggi, IAIN Sua Ampel aka meerbitka buku perkuliaha sebagai upaya pegembaga kurikulum da peigkata profesioalitas dose. Utuk mewujudka peerbita buku perkuliaha yag berkualitas, IAIN Sua Ampel bekerjasama dega Govermet of Idoesia (GoI) da Islamic Developmet Bak (IDB) telah meyeleggaraka Workshop o Writig Textbooks for Specialiatio Courses da Workshop o Writig Textbooks for vocatioal Courses bagi dose IAIN Sua Ampel, sehigga masig-masig dose dapat mewujudka karya ilmiah yag dibutuhka oleh para mahasiswa-mahasiswiya. Buku perkuliaha yag berjudul Fugsi Kompleks ii merupaka salah satu di atara buku-buku yag disusu oleh para dose pegampu mata kuliah program S- program studi Matematika Fakultas Matematika IAIN Sua Ampel sebagai padua pelaksaaa perkuliaha selama satu semester. Dega terbitya buku ii diharapka perkuliaha dapat berjala secara aktif, efektif, kotekstual da meyeagka, sehigga dapat meigkatka kualitas lulusa IAIN Sua Ampel. Kepada Govermet of Idoesia (GoI) da Islamic Developmet Bak (IDB) yag telah memberi support atas terbitya buku ii, tim fasilitator da peulis yag telah berupaya keras dalam mewujudka peerbita buku ii, kami sampaika terima kasih. Semoga buku perkuliaha ii bermafaat bagi perkembaga pembudayaa akademik di IAIN Sua Ampel Surabaya. Rektor IAIN Sua Ampel Surabaya Prof. Dr. H. Abd. A la, M.Ag. ii

3 KATA PENGANTAR Puji syukur kita pajatka kepada Allah Swt. Berkat karuia-nya, buku perkuliaha Fugsi Kompleks ii bisa hadir sebagai salah satu buku referesi disampig buku referesi lai. Buku perkuliaha ii disusu sebagai salah satu saraa pembelajara pada mata kuliah Fugsi Kompleks. Secara rici buku ii memuat beberapa paket petig meliputi; ) Pegatar Bilaga Kompleks; ) Geometri Bilaga kompleks; 3) Fugsi Aalitik; 4) Limit da kotiuitas Fugsi Kompleks; 5) Turua Fugsi Kompleks; 6) Persamaa Cauchy Riema; 7) Fugsi-Fugsi Elemeter; 8) Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat; 9) Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear; ) Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik; ) Trasformasi w=si da w=cos ; ) Trasformasi koformal; 3) Itegral Berharga Kompleks dari bilaga real; 4) Itegral Fugsi Kompleks Akhirya, peulis ucapka terima kasih sebesar-besarya kepada semua pihak yag telah turut membatu da berpartisipasi demi tersusuya buku perkuliaha Fugsi Kompleks ii. Kritik da sara kami tuggu gua peyempuraa buku ii. Terima Kasih. Peulis v

4 PEDOMAN TRANSLITERASI Trasliterasi Tulisa Arab-Idoesia Peulisa Buku Perkuliaha Pedidika Karakter Mejadi Muslim da Muslimah Idoesia adalah sebagai berikut. No Arab Idoesia Arab Idoesia ا ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ` b t th j h} kh d dh r s sh s} d} ط ظ ع غ ف ق ك ل م ت و ه ء ي t} } gh f q k l m w h ` y Utuk meujukka buyi pajag (madd) dega cara meuliska tada coreta di atas a>, i>, da ي, ا)< u da و ). Buyi hidup dobel (diftog) Arab ditrasliterasika dega meggabug dua huruf ay da au seperti layyiah, lawwamah. Utuk kata yag berakhira ta marbutah da berfugsi sebagai sifat (modifier) atau mud}a>f ilayh ditraliterasika dega ah, sedag yag berfugsi sebagai mud}a>f ditrasliterasika dega at. vi

5 DAFTAR ISI PENDAHULU Halama Judul Kata Pegatar Rektor Kata Pegatar Pedoma Trasliterasi Daftar Isi Satua Acara Perkuliaha (ii) (v) (vi) (vii) (viii xii) ISI PAKET Paket : Pegatar Bilaga Kompleks ( ) Paket : Geometri Bilaga Kompleks (3 4) Paket 3 : Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks (5 36) Paket 4 : Turua Fugsi Kompleks (37 46) Paket 5 : Persamaa Cauchy Riema (47 54) Paket 6 : Fugsi Aalitik & Fugsi Harmoik (55 64) Paket 7 : Fugsi-Fugsi Elemeter (65 76) Paket 8 : Trasformasi Liier da Trasformasi Pagkat (77-87) Paket 9 : Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear (89-) Paket : Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik (-) Paket : Trasformasi w=si da w=cos (-8) Paket : Trasformasi Koformal (9-6) Paket 3 : Deret Fugsi Kompleks (7-4) Paket 4 : Itegral Fugsi Kompleks (43-59) PENUTUP Sistem Evaluasi da Peilaia 6 Daftar Pustaka 65 CV Peulis 67 vii

6 SATUAN ACARA PERKULIAHAN. Idetitas Nama Mata kuliah Jurusa/Program Studi Bobot Waktu Kelompok Matakuliah : Fugsi Kompleks : Pedidika Matematika : 3 sks : 3 x 5 meit/ Pertemua : MK. Deskripsi Mata kuliah ii membelajarka mahasiswa-mahasiswi utuk Memiliki pegusaa kosep ) Bilaga Kompleks; ) Geometri Bilaga kompleks; 3) Limit da kotiuitas Fugsi Kompleks; 4) Turua Fugsi Kompleks; 5) Persamaa Cauchy Riema; 6) Fugsi Aalitik & Fugsi Harmoik; 7) Fugsi-Fugsi Elemeter; 8) Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat; 9) Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear; ) Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik; ) Trasformasi w=si da w=cos ; ) Trasformasi koformal; 3) Itegral Berharga Kompleks dari bilaga real; 4) Itegral Fugsi Kompleks 3. Urgesi Mata kuliah ii merupaka cabag matematika muri yag sagat bergua utuk mempelajari kosep-kosep lai seperti dalam arus listrik, gelombag, image, bahka utuk studi tetag sidik jari. Hal ii dimugkika karea teryata tidak semua permasalaha mampu diselesaiaka dalam sistem bilaga real. Mata kuliah ii diberika sebagai bekal bagi mahasiswa yag igi melajutka ke jejag yag lebih tiggi 4. Kompetesi Dasar, Idikator, da Materi No KD Idikator Materi Mejelaska. Meuliska otasi Bilaga kompleks: bilaga kompleks, bilaga kompleks. Megoperasika. Defiisi bilaga kompleks viii

7 operasi da sifat-sifat aljabarya bilaga kompleks 3. Meyebutka sifat-sifat bilaga kompleks. Operasi bilaga kompleks 3. Sifat-sifat aljabar, 4. Kojugat da Modulus Mejelaska Geometri Bilaga Kompleks. Meyataka dalam betuk kartesius da kutub. Mejelaska sifat bilaga dalam berbagai betuk 3. meeragka pegertia fugsi dega variabel kompleks 4. meghitug limit fugsi kompleks. Geometri Bilaga kompleks. Koordiat kutub 3. Rumus Euler 4. Akar Kompleks 3. Limit Fugsi Kompleks. kotiuitas Fugsi Kompleks; 4 Mejelaska kosep dasar peurua fugsi kompleks. meetuka turua dari suatu fugsi kompleks. Meguraika persamaa Cauchy Riema 3. Meuruka persamaa Cauchy Riema 4. Meyelidiki keaalitika suatu fugsi 5. meetuka fugsi harmoik Turua dalam fugsi kompleks 5. Persamaa Cauchy Riema 6. Fugsi Aalitik & Fugsi Harmoik 7 Mejelaska kembali fugsi elemeter beserta sifat operasi. Meuliska kembali macam fugsi elemeter. Megoperasika fugsifugsi elemeter 3. Megguaka. Fugsi-fugsi elemeter; Fugsi liier, fugsi pagkat, fugsi kebalika, fugsi biliear, fugsi ix

8 Trasformasi Kompleks expoesial, fugsi logaritmik 8. Trasformasi Liier da Trasformasi Pagkat 9 3. Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear 4. Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik 5. Trasformasi w=si da w=cos 6. Trasformasi Koformal 3 Meyajika Fugsi Aalitik dalam Deret. megerti defiisi barisa da deret pagkat beserta sifat kekovergeaya.. Meyajika fugsi aalitik dalam deret Taylor, deret MacLauri atau deret Lauret.. Barisa. Deret 3. Koverge 4. Deret Taylor 5. Deret Maclauri 6. Deret Lauret 4 Mejelaska kosep itegral fugsi kompleks Meghitug itegral fugsi kompleks. Itegral fugsi kompleks. Itegral Cauchy 3. Modulus Maksimum 4. Itegral fugsi kompleks x

9 Bilaga Kompleks Paket PENGANTAR BILANGAN KOMPLEKS Pedahulua Perkuliaha pada paket pertama ii difokuska pada kosep bilaga kompleks, eksistesi bilaga kompleks, operasi aritmatik bilaga kompleks, sifat-sifat bilaga kompleks, serta kojugat da modulus dari suatu bilaga kompleks. Fokus materi pada paket ii merupaka dasar yag medasari materi pada paket-paket selajutya karea berisi kosep da operasi dasar vektor. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sekalipu sudah perah diterima di tigkat SMA. Pada awal Paket ii, mahasiswa aka diperkealka tetag pegertia bilaga kompleks da eksistesi bilaga kompleks. Selajutya mahasiswa aka meetuka hasil pejumlaha da selisih dua bilaga kompleks atau lebih serta perkalia da pembagia dua bilaga kompleks atau lebih. megkostruksi vektor hasil pejumlaha. Selai itu mahasiswa juga belajar sifat-sifat aljabar bilaga kompleks serta kojugat da modulus bilaga kompleks. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif TPS (Thik Pair Shared) agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk

10 Bilaga Kompleks megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Memahami bilaga kompleks, operasi da sifat-sifat aljabarya Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meuliska otasi bilaga kompleks. Melakuka operasi aljabar bilaga kompleks 3. Meyebutka sifat-sifat aljabar bilaga kompleks 4. Membuktika sifat-sifat aljabar bilaga kompleks 5. Meetuka kojugat bilaga kompleks 6. Meghitug modulus bilaga kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Pegatar bilaga kompleks meliputi:. Defiisi bilaga kompleks. Operasi bilaga kompleks 3. Sifat-sifat aljabar 4. Kojugat da Modulus Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Kotrak kuliah da mejelaska satua acara perkuliaha utuk satu semester. Mejelaska kompetesi dasar 3. Mejelaska idikator 4. Apersepsi materi bilaga kompleks yag telah diperoleh di SMA dega cara taya jawab

11 Bilaga Kompleks 5. Braistormig dega megerjaka soal bahwa bilaga real belum mampu megatasi permasalaha yata, serta memotivasi petigya mempelajari fugsi kompleks. Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket.. Dose membagi memita mahasiswa utuk membuktika sifat-sifat aljabar bilaga kompleks secara idividu. 3. Mahasiswa secara berpasaga mediskusika masalah yag telah dibuktika secara idividu sebelumya. 4. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 5. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika omor soal pada LK. 6. Selesai presetasi, pasaga lai memberika klarifikasi 7. Peguata hasil diskusi dari dose 8. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. 3

12 Bilaga Kompleks Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika sifat-sifat aljabar bilaga kompleks. Tujua Mahasiswa dapat membuktika sifat-sifat aljabar bilaga kompleks. Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol Lagkah-lagkah kegiata. Masig idividu medapatka tugas utuk membuktika sifat-sifat operasi aljabar bilaga kompleks, meliputi: a. Sifat Komutatif Pejumlaha b. Sifat Komutatif Perkalia c. Sifat Assosiatif Pejumlaha d. Sifat Asosiatif Perkalia e. Sifat Distributif. Secara berpasaga mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Pasaga yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. Uraia Materi BILANGAN KOMPLEKS Eksistesi Bilaga Kompleks Dalam berbagai masalah terapa, sistem bilaga real teryata tidak mecukupi utuk megkaji permasalahaya. Perhatika persamaa kuadrat berikut : xx + = Solusi dari persamaa di atas adalah xx =. Jelas bahwa xx = bukalah bilaga real, karea tidak ada bilaga real yag kuadratya sama dega. Secara umum utuk persamaa kuadrat berbetuk aaxx + bbbb + cc = dega Jurusa Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus (Surabaya: Jurusa Matematika FMIPA ITS, 9), 49 4

13 Bilaga Kompleks aa, tidak aka memiliki solusi ketika ilai dari DD = bb 4aaaa <. Sebagai cotoh carilah solusi dari persamaa kuadrat xx 4xx + 8 = dega megguaka rumus aaaaaa. Jelas persamaa tersebut tidak memiliki solusi dalam sistem bilaga real. Agar setiap persamaa kuadrat memiliki solusi, maka sistem bilaga yag diguaka harus diperluas. Perhatika kembali solusi dari persamaa persamaa kuadrat diatas. Solusi-solusi tersebut megadug akar bilaga egatif, jelas akar dari suatu bilaga egatif bukalah bilaga real. Setiap bilaga yag buka bilaga real berarti termasuk dalam kompleme bilaga real (R CC ). Utuk mempermudah peulisa, matematikawa abad 8 G>.W. Leibi memperkealka bilaga ii =. Jadi 4 = 4 = ±ii. Dega cara yag sama 49 = 49 = ±7ii. Bilaga seperti ii disebut bilaga imajier. Jadi bilaga imajier ialah bilaga yag dapat ditulis sebagai bbbb dega bb da bb R. Kuadrat dari bilaga imajier ii =. Selai bilaga real, teryata ada jeis bilaga lai yaitu bilaga imajier. Gabuga dari bilaga real da bilaga imajier membetuk satu bilaga baru yag disebut bilaga kompleks yag diotasika dega. Secara umum sistem bilaga yag ada dapat dilihat pada gambar berikut. Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis (Heidelberg: Spriger, 5), 5

14 Bilaga Kompleks Gambar. Sistem Bilaga Bilaga kompleks dapat dituliska sebagai = {aa + bbbb; aa, bb R} dega aa adalah bagia real diotasika dega RR() da bb merupaka bagia imajier diotasika dega II(). Jika RR() = da II(), maka diamaka imajier muri (pure imagiary). Jika RR() = da II() =, maka = ii da diamaka satua imajier (imagiary uit). Bila II() =, maka mejadi bilaga real RR(), sehigga dalam pegertia ii bilaga real xx dapat dipadag sebagai bilaga kompleks dega betuk = xx + ii 3. Sistem bilaga kompleks dapat diperkealka secara formal dega megguaka kosep pasaga terurut (ordered pair) bilaga yata, (aa, bb) 4. Himpua semua pasaga itu dega operasi-operasi tertetu yag sesuai padaya dapat didefiisika sebagai sistem bilaga kompleks. Dalam beberapa buku model seperti ii diguaka. 3 Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 3 4 Ibid 6

15 Bilaga Kompleks Operasi Aritmatika Seperti pada sistem bilaga real, dalam sistem bilaga kompleks didefiisika operasi aritmatika. Jumlah da selisih dua bilaga kompleks didefiisika dega mejumlahka atau meguragka bagia real da bagia imajier yag bersesuaia, misalka ada dua buah bilaga kompleks aa da bb, dega aa = xx + yyyy da bb = uu + vvvv, maka pejumlaha da peguraga bilaga kompleks didefiisika sebagai aa ± bb = (xx ± uu) + (yy ± vv)ii. Pejumlaha dua bilaga kompleks serupa dega pejumlaha da peguraga dua buah vektor. Secara grafik dapat digambarka Gambar. Perkalia dua buah bilaga kompleks Cotoh.: Jika aa = 5 5ii, bb = 3 + 4ii da cc = + 4ii dapatka aa + bb, aa bb, dddddd aa + bb + cc aa + bb = (5 5ii) + ( 3 + 4ii) = (5 3) + ( 5 + 4)ii = ii aa bb = (5 5ii) ( 3 + 4ii) = (5 ( 3)) ( 5 4)ii = 8 9ii 7

16 Bilaga Kompleks aa + bb + cc = (5 5ii) + ( 3 + 4ii) + ( + 4ii) = (5 3 + ) + ( )ii = 3 + 3ii Utuk perkalia dua buah bilaga kompleks dapat dituruka seperti berikut: aa. bb = (xx + yyyy). (uu + vvvv) = xxxx + xxxxxx + yyyyyy + yyyyii = xxxx + xxxxxx + uuuuuu + yyyy( ) = (xxxx yyyy) + (xxxx + uuuu)ii Sedagka utuk pembagia dua buah bilaga kompleks aa (xx + yyyy) = bb (uu + vvvv) (xx + yyyy) (uu vvvv) = xx (uu + vvvv) (uu vvvv) (xxxx + yyyy) (xxxx uuuu)ii = uu + vv (xxxx + yyyy) ( xxxx + uuuu) = uu + vv + uu + vv ii Cotoh. Jika aa = 5 5ii, bb = 3 + 4ii dapatka aa. bb, aa/bb aa. bb = (5 5ii). ( 3 + 4ii) = 5. ( 3) + 5.4ii + ( 5ii). ( 3) + ( 5ii). (4ii) = 5 + ii + 5ii ( ) = ( 5 ( )) + ( + 5)ii = ii aa (5 5ii) = bb ( 3 + 4ii) (5 5ii) ( 3 4ii) = xx ( 3 + 4ii) ( 3 4ii) (5( 3) + ( 5). 4) (5.4 ( 3). ( 5))ii = ( 3) + 4 = ii = ii 8

17 Bilaga Kompleks Jika merupaka suatu bilaga kompleks, maka ada satu da haya satu bilaga kompleks yag aka dilambagka dega, sedemika sehigga + ( ) = ; diamaka egatif (lawa pejumlaha) da jelas bahwa jika = xx + yyyy, maka = xx yyyy. Utuk suatu bilaga kompleks buka ol = xx + yyyy terdapat satu da haya satu bilaga kompleks atau / sedemikia sehigga = ; diamaka kebalika (lawa perkalia) da perhituga lagsug meghasilka xx = xx + yy yy xx + yy ii Sifat Aljabar Operasi-operasi aritmatik yag telah didefiisika diatas memeuhi hukum-hukum berikut:. Komutatif + = + ;. =.. Assosiatif + ( + 3 ) = ( + ) + 3 ;. (. 3 ) = (. ) Distributif ( + 3 ) = Eleme etral terhadap pejumlaha ( = + ii) + = + = 5. Eleme etral terhadap perkalia ( + + ii). =. = Kojugat Utuk sebarag bilaga kompleks = aa + bbbb, kojugat kompleks (kojugat) dari diotasika dega da didefiiska sebagai = aa bbbb Sebagai cotoh: kojugat dari = + 6ii adalah = 6ii, kojugat dari = 3 9ii adalah = 3 + 9ii, kojugat dari = 8 adalah = 8, da kojugat dari = ii adalah = ii. 9

18 Bilaga Kompleks Dalam pedefiisia pembagia bilaga kompleks, terlihat bahwa kojugat kompleks telah diguaka, yaitu sebagai pegali peyebutya. Demikia pula pada peyelesaia poliomial aa + aa xx + + aa xx = dega koefisie real. Dapat dibuktika bahwa dalam sistem bilaga kompleks, persamaa demikia selalu mempuyai peyelesaia, da jika adalah salah satu peyelesaiaya, maka juga merupaka peyelesaia. Sebagai cotoh carilah solusi dari persamaa xx 4xx + 8 =. Kojugat kompleks mempuyai sifat:. Distributivitas Kesekawaa + = + ; =. =. ; =. = 3. = [RR()] + [II()] Modulus Apabila suatu bilaga kompleks dipadag sebagai suatu vektor, maka pajag vektor tersebut diamaka modulus dari da diotasika dega. Jadi jika = aa + bbbb, maka = aa + bb Cotoh, jika = 4 3ii, maka = = 5 = 5 Perhatika jika = aa + ii ( bilaga real), maka = aa + = aa = aa Artiya modulus dari bilaga real sama dega ilai mutlak bilaga tersebut. Beberapa sifat modulus aka dibahas pada paket selajutya.

19 Bilaga Kompleks Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Sistem bilaga real teryata belum mampu mejawab semua permasalaha yag ada. Bilaga kompleks dapat dituliska sebagai = {aa + bbbb; aa, bb R} dega aa adalah bagia real diotasika dega RR() da bb merupaka bagia imajier diotasika dega II(). 3. Jumlah da selisih dua bilaga kompleks didefiisika dega mejumlahka atau meguragka bagia real da bagia imajier yag bersesuaia 4. Bilaga kompleks memeuhi sifat-sifat aljabar seperti komutatif, asosiatif, da distributif terhadap pejumlaha da perkalia. 5. Apabila suatu bilaga kompleks dipadag sebagai suatu vektor, maka pajag vektor tersebut diamaka modulus dari da diotasika dega. Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Kerjaka operasi-operasi berikut da yataka dalam aa + bbbb a. ( 8 3ii) ( 4ii) b. (5 ii) + (7 + 3ii) c. (5 ii)( + 3ii) d. ii(5 + ii) e. 6ii/(6 5ii) f. (aa + bbbb)/(aa bbbb) g. ii, ii, ii 3,, ii. Tujukka bahwa jika = ii maka + + = 3. Buktika bahwa utuk setiap, berlaku: a. RR() = ( + ) b. II() = ( ) ii

20 Bilaga Kompleks 4. Tetuka RR(), II(), da a. = 5ii + 3 4ii 3+4ii 5ii 5ii b. = (+ii)(+ii)(+3ii) 5. Buktika utuk sebarag bilaga da ww, berlaku: ww + ww = RR(ww ) Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Jurusa Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus. Surabaya: Jurusa Matematika FMIPA, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987.

21 Geometri Bilaga Kompleks Paket GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS Pedahulua Perkuliaha pada paket kedua ii difokuska pada kosep geometri bilaga kompleks, bidag kompleks, betuk kutub bilaga kompleks, da akar bilaga kompleks. Materi pada paket ii merupaka lajuta dari paket pertama da merupaka prasyarat materi pada paket-paket selajutya yaitu limit da kotiuitas fugsi kompleks. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sekalipu materi dalam paket ii tergolog mudah. Pada awal Paket ii, mahasiswa aka diperkealka tetag geometri bilaga kompleks, bidag kompleks, yaitu bagaimaa meggambarka bilaga kompleks sebagai sebuah titik da sebuah vektor pada bidag datar. Selajutya mahasiswa aka diajarka bagaimaa meuliska betuk lai dari bilaga kompleks salah satuya dalam betuk kutub. Materi terakhir pada paket ii adalah meetuka akar dari bilaga kompleks. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 3

22 Geometri Bilaga Kompleks Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Memahami bilaga kompleks, operasi da sifat-sifat aljabarya Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meetuka kojugat bilaga kompleks. Meghitug modulus bilaga kompleks 3. Meyataka dalam betuk kartesius da kutub 4. Mejelaska sifat bilaga dalam berbagai betuk Waktu 3x5 meit Materi Pokok Pegatar bilaga kompleks meliputi:. Kojugat da Modulus. Maka geometri: sebagai vektor, sebagai titik, 3. Koordiat kutub, Rumus Euler 4. Pearika akar kompleks Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi materi koordiat kartesius yag telah diperoleh di SMA dega cara taya jawab 4. Braistormig dega megerjaka soal sederhaa, serta memotivasi petigya mempelajari fugsi kompleks. Kegiata Iti ( meit) 4

23 Geometri Bilaga Kompleks. Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa meuruka formula mecari akar bilaga kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Meuruka rumus umum mecari akar bilaga kompleks. Tujua Mahasiswa dapat meemuka sediri formula utuk meetuka akar bilaga kompleks dega memafaatka betuk kutub bilaga kompleks da operasiya. 5

24 Geometri Bilaga Kompleks Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol Lagkah-lagkah kegiata. Masig-masig kelompok mediskusika formula utuk mecari akar bilaga kompleks dega memafaatka betuk kutub bilaga kompleks da operasiya.. Membuat satu cotoh mecari akar bilaga kompleks beserta peyelesaiaya 3. Presetasi hasil diskusiya didepa kelas. Uraia Materi GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS Geometri Bilaga Kompleks Defiisi awal bilaga kompleks telah meciptaka secara alami suatu padaa (korespodesi) satu-satu atara himpua bilaga kompleks da himpua titik-titik pada bidag xxxx. Jadi bilaga kompleks = aa + iiii dipadaka dega titik (aa, bb) di bidag datar da sebalikya. Idetifikasi bilaga kompleks dega titik pada bidag datar sedemikia kuatya sehigga dalam praktikya, atara bilaga aa + iiii da titik (aa, bb) serig tidak dibedaka. Karea Idetifikasi ii, bidag xxxx yag telah dikeal selajutya disebut bidag kompleks atau bidag. Dega sumbu xx da sumbu yy masigmasig diamaka sumbu yata da sumbu khayal. Dari keteraga diatas, bilaga kompleks dapat disajika dalam pasaga berurut ( x, y), sehigga secara geometri dapat disajika sebagai titik ( x, y) pada bidag kompleks (bidag xy), dega sumbu x (sumbu riil) da sumbu y (sumbu imajiair). Selai itu, bilaga kompleks = x + iy = ( x, y) juga dapat disajika sebagai vektor dalam bidag kompleks dega titik pagkal pada titik asal da ujug vektor merupaka titik ( x, y). Bilaga kompleks dapat disajika dalam suatu diagram yag serig disebut sebagai diagram Argad. Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 9 6

25 Geometri Bilaga Kompleks Gambar. Diagram Argad Apabila suatu bilaga kompleks disajika dalam diagram Argad, bilaga kompleks tersebut dapat dipadag sebagai suatu vektor, maka pajag vektor tersebut diamaka modulus dari da diotasika dega. Jadi jika = aa + bbbb, maka = aa + bb Cotoh, jika = 4 3ii, maka = = 5 = 5 Perhatika jika = aa + ii ( bilaga real), maka = aa + = aa = aa Artiya modulus dari bilaga real sama dega ilai mutlak bilaga tersebut. Sifat-sifat modulus adalah sebagai berikut: a. = b. Re ( ) Re( ) c. Im ( ) Im( ) d. = e. = 7

26 Geometri Bilaga Kompleks f. = g. Pertidaksamaa Segitiga : + + h. + i. j L + L. Betuk Kutub Bilaga Kompleks Selai modulus, diagram Argad juga memperlihatka sebuah sudut yag dibetuk oleh vektor dega sumbu yata positif. Sudut ii kemudia dikeal dega Argume da diotasika dega arg. Dega kata lai, arg (aa + iiii), adalah suatu sudut θθ sedemikia sehigga si θθ = bb/ da cos θθ = aa/ Argume ol tidak dapat didefiisika secara berarti. Secara aljabar, hal ii jelas, karea diperoleh betuk /. Sedagka secara geometris, vektor ol yag mejadi padaa bilaga kompleks =, tidak mempuyai pajag, sehigga tidak dapat membetuk suatu sudut dega sumbu yata positif. Dari pejelasa diatas, jelas bahwa argume bilaga kompleks bukalah suatu besara tuggal. Keyataaya, setiap mempuyai tak higga bayakya argume yag khusus, yag berbeda satu dega yag lai dega kelipata ππ. Dalam suatu kasus kodisi seperti ii mugki tidak diharapaka, sehigga utuk megatasi masalah ii diperkealka suatu kosep yag disebut argume pokok arg. Utuk sebarag bilaga, argume pokok arg didefiisika sebagai ilai tuggal arg yag memeuhi ππ < arg ππ arg = arg + kkkk, kk =, ±, ±, Kosep modulus da argume ii selajutya diguaka utuk mejelaska hubuga matematika semua titik pada bidag datar yag terletak didalam ligkara yag pusatya da jari-jariya rr yaitu < rr. Selajutya suatu titik (xx, yy) pada bidag datar dapat juga diyataka dalam betuk koordiat kutub rr da θθ 8

27 Geometri Bilaga Kompleks Misalka dalam betuk kutub dega = r cisθ x = r cosθ da y = r siθ maka = x + iy dapat diyataka ( cosθ + i θ ) = r cosθ + i r siθ = r si r = modulus (ilai mutlak) = = θ = argume dari = arg y = arc tg, x. x x + y. Gambar. Ilustrasi Betuk Kutub Bilaga Kompleks Cotoh. ( + i)( + i 3) Diketahui =. Tetuka betuk kutub dari da. + i Peyelesaia : Megguaka sifat argume diperoleh : π π ( cis )( cis ) = 4 3 3π cis 4 π = cis 6 π π 3π π = cis + = cis Operasi Aljabar Betuk Kutub Bilaga kompleks 9

28 Geometri Bilaga Kompleks Misalka = r ( cosθ + i θ ) da = r ( cosθ + i θ ) si dega r =, r =, arg = θ, arg = θ. a. Perkalia = r r cis = ( θ + θ ) ( θ + θ ) cis arg = +. arg arg b. Pembagia ( ) r ( θ θ ) = ( θ ) = cis cis θ r arg = arg arg. c. Ivers sebarag bilaga kompleks = = cis r arg = arg. ( θ ). si. iθ = r e yaitu Selai dalam betuk umum = x + iy da betuk kutub ( cosθ i siθ ) = r +, bilaga kompleks juga dapat diyataka dalam betuk ekspoe. Betuk ekspoe bilaga kompleks dega iθ = r e = x + iy yaitu iθ e = cosθ + i siθ diamaka rumus Euler. Misalka maka megguaka atura pagkat seperti pada bilaga riil diperoleh iθ i θ = ( r e ) = r e iθ = r e,

29 Geometri Bilaga Kompleks Jika r =, maka betuk pagkat di atas mejadi iθ i θ = ( e ) = e, iθ i θ atau ( e ) = e, =, ±, ±, K. Selajutya dapat ditulis dalam betuk (cos θ + i siθ ) = cos θ + i si θ yag disebut Rumus Moivre. Akar Kompleks Misalka = r cisθ, akar pagkat dari bilaga kompleks ditulis atau. Jika diberika bilaga kompleks da bilaga bulat positif, maka diperoleh buah akar utuk yaitu k = r θ + kπ θ + kπ cos + i si, k =,,, K, ( ). Secara geometri, buah akar tersebut merupaka titik-titik sudut segi beratura pada suatu ligkara dega pusat titik O da jari-jari r. Cotoh. : Tetuka semua akar dari 3 dalam bidag kompleks. 8i, kemudia gambarka akar-akar tersebut Peyelesaia : Misalka = 8i, maka r = = 8 da θ = arctg 8 = π, π π + + = 3 kπ k = 3 + si π 8 i 8 cos i, k =,,. k 3 3 Sehigga diperoleh

30 Geometri Bilaga Kompleks π π + = 3 + i π π 8 cos si = cos( ) + i si( ) = 3 i π π = cos( ) i si( ) = i +. 7π 7π = cos( ) + i si( ) = 3 i. 6 6 Gambar.3 Akar 3 8i dalam bidag Kompleks Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Bilaga kompleks dapat disajika dalam suatu diagram yag disebut sebagai diagram Argad. Misalka x = r cosθ da y = r siθ maka = x + iy dapat diyataka dalam betuk kutub = r cos θ + i r siθ = r( cosθ + i siθ ) = r cisθ. dega r = modulus (ilai mutlak) = = θ = argume dari = x + y. y arg = arc tg, x. x

31 Geometri Bilaga Kompleks 3. Betuk ekspoe bilaga kompleks = x + iy yaitu iθ = r e dega iθ e = cosθ + i siθ diamaka rumus Euler. Jika r =, maka betuk pagkat di atas selajutya dapat ditulis dalam betuk (cos θ + i siθ ) = cos θ + i si θ yag disebut Rumus Moivre. 4. Jika diberika bilaga kompleks da bilaga bulat positif, maka diperoleh buah akar utuk k = r yaitu θ + kπ θ + kπ cos + i si, k =,,, K, ( ). Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Gambarka bilaga-bilaga a ii b. ii c. + ii d. + 3ii. Tuliska dalam betuk kutub setiap bilaga berikut a. ( 4ii) b. + ii c. 7 3ii d. ( 8 3ii) ( 4ii) e. (5 ii) + (7 + 3ii) f. (5 ii)( + 3ii) g. ii(5 + ii) 3. Tetuka semua akar dari persamaa =. 4. Selesaika persamaa + ii =, selajutya guaka utuk meyelesaika 4 + ii =. 3

32 Geometri Bilaga Kompleks Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Jurusa Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus. Surabaya: Jurusa Matematika FMIPA, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga,

33 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks Paket 3 LIMIT DAN KONTINUITAS FUNGSI KOMPLEKS Pedahulua Perkuliaha pada paket ketiga ii difokuska pada kosep fugsi dega variabel kompleks, limit da kotiuitas fugsi kompleks. Materi pada paket ii merupaka lajuta dari paket kedua da merupaka bekal utuk materi pada paket-paket selajutya yaitu turua fugsi kompleks. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sekalipu materi dalam paket ii tergolog mudah. Pada awal Paket 3 ii, mahasiswa aka diperkealka tetag fugsi dega variabel kompleks, dalam paket ii juga diperluka pegetahua megeai topologi seperti himpua, ligkuga. Ligkuga terhapus iterior, kompleme, titik batas, batas, himpua terbuka, himpua tertutup, regio, regio terbuka, regio tertutup. Selajutya mahasiswa aka diajarka bagaimaa kosep limit dari fugsi kompleks. Materi terakhir pada paket ii adalah tetag kotiuitas fugsi kompleks. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 5

34 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska macam-macam fugsi kompleks Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. meeragka pegertia fugsi dega variabel kompleks. meghitug limit fugsi kompleks 3. Meetuka kekotiua fugsi kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Pegatar bilaga kompleks meliputi:. Fugsi variabel kompleks. Pemetaa 3. Limit fugsi kompleks 4. Kotiitas fugsi kompleks Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi materi fugsi kompleks dega membadigka dega fugsi real. 4. Braistormig dega megerjaka soal sederhaa, serta memotivasi petigya mempelajari fugsi kompleks. Kegiata Iti ( meit) 6

35 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks. Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 3.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa meuruka formula mecari akar bilaga kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Meuruka kosep limit da kotiuitas fugsi kompleks. Tujua Mahasiswa dapat megkostruks sediri kosep megeai limit da kotiuitas fugsi kompleks serta sifat-sifat yag melekat pada kosep limit da kotiuitas fugsi kompleks. 7

36 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk meuruka kosep limit da kotiuitas fugsi kompleks. a. lim( f ( ) + g( ) ) = A + B. b. lim f ( ) g( ) = AB. f ( ) A c. lim =. g( ) B. Jika f da g kotiu pada daerah D maka a) ff + gg kotiu b) ff gg kotiu c) ff. gg kotiu d) ff/gg kotiu kecuali di D sehigga gg( ) =. 3. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 4. kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. Uraia Materi LIMIT DAN KONTINUITAS FUNGSI KOMPLEKS Fugsi Dega Variabel Kompleks Misalka SS himpua bilaga kompleks. Fugsi kompleks ff pada SS adalah atura yag megawaka setiap S dega bilaga kompleks w. Da diotasika dega ww = ff(). Dalam hal ii, S disebut domai dari ff da diamaka peubah/variabel kompleks. Peubah Kompleks ialah suatu titik umum dari himpua tertetu pada bidag datar. Fugsi Peubah kompleks secara formal didefiisika sebagai pasaga terurut dua bilaga kompleks (, ww) yag memeuhi syarat-syarat 8

37 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks tertetu. Hal ii berarti ada proses pemadaa yag megawaka setiap ilai peubah ke ilai ww yag tuggal. Misalka ww = uu + iiii adalah ilai fugsi ff di = xx + iiii, sehigga uu + iiii = ff(xx + iiii) Masig-masig bilaga riil uu da vv bergatug pada variabel riil xx da yy, sehigga ff() dapat diyataka sebagai pasaga terurut dari variabel riil xx da yy, yaitu ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy). Jika koordiat polar rr da θθ pada xx da yy diguaka, maka uu + iiii = ff(rree iiii ) dimaa ww = uu + iiii da = rree iiii. Sehigga ff() dapat ditulis mejadi ff() = uu(rr, θθ) + iiii(rr, θθ). Cotoh 3. Misalka ww = ff() = + 3. Tetuka uu da vv serta hitug ilai dari ff pada = + 3ii. Nyataka juga uu da vv dalam betuk polar. Peyelesaia: Misal = xx + iiii, sehigga f ( ) = f ( x + iy) = ( x + iy) + 3( x + iy) = x + 3x y + i(xy + 3y) Jadi u = x + 3x y da v = xy + 3y. Utuk = + 3ii maka f ( ) = f ( + 3i) = ( + 3i) + 3( + 3i) = 5 + 5i. Jadi uu(,3) = 5 da vv(,3) = 5. Jika koordiat polar diguaka dimaa = rree iiii, maka f ( ) = f ( re iθ ) = ( re = r = r iθ ) + 3( re cos θ + ir cos θ + 3r cosθ + i( r iθ ) = r e iθ + 3re si θ + 3r cosθ + 3ir siθ iθ si θ + 3r siθ ) Jadi u = r cos θ + 3r cosθ da v = r si θ + 3r siθ. Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 3 9

38 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks Geometri Fugsi Kompleks Misalka sebuah fugsi kompleks ww = ff(). Meurut defiisi, setiap ilai peubah bebas = xx + iiii (dalam domai ff) aka meghasilka ilai tuggal ww = uu + iiii sebagai peubah tak bebas. Masig-masig peubah mempuyai dua dimesi, sehigga gabuga dari keduaya aka meghasilka besara empat dimesi yag sulit utuk digambarka. Oleh karea itu grafik fugsi kompleks diwakili oleh dua bidag kompleks yag serig disebut dega bidag da bidag ww. Artiya jika diketahui ww = ff() utuk setiap = xx + iiii dalam domaiya bidag, dihitug padaaya ww = uu + iiii da ditempatka di bidag ww. Proses yag sama diulag utuk setiap ilai dalam himpua SS dalam domai ff aka meghasilka bayaga SS dibawah ff pada bidag ww. Gambar 3. Grafik Fugsi Kompleks Gambar diatas adalah gambar fugsi ww =. Utuk setiap ilai peubah bebas = xx + iiii diperoleh ww = xx iiii. Misalka = + 3ii aka meghasilka ww = 3ii. Kemudia = ii aka meghasilka ww = + ii. Da seterusya. Limit Fugsi Kompleks Secara umum defiisi limit dalam kompleks sama dega defiisi limit pada bilaga riil dalam kalkulus. Kalau pada bilaga riil bila xx medekati xx haya medekati sepajag garis riil sedagka pada bilaga kompleks bila medekati aka medekati dari semua arah dalam bidag kompleks. Defiisi Limit Fugsi Kompleks 3

39 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks lim f ( ) = w dibaca limit ff() utuk meuju sama dega ww, da didefiisika sebagai berikut: lim f ( ) = w berlaku ε > δ > < < δ f ( ) w < ε. Secara geometri defiisi di atas megataka bahwa utuk setiap ligkuga-ε dari ww, yaitu ww ww < ε ada suatu ligkuga-δ dari, yaitu < < δ sedemikia sehigga setiap titik pada image ww berada pada ligkuga-ε. Dalam hal ii Jika limit tersebut ada, maka limitya tuggal medekati dari berbagai arah atau litasa Jika utuk litasa yag berbeda, ilai ff() utuk meuju berbeda maka lim f ( ) tidak ada ff() tidak disyaratka terdefiisi di = Cotoh 3. i i Misalka f ( ) =, <. Buktika lim f ( ) =. Bukti: Ambil εε > sebarag. Pilih δ = ε < δ berlaku i f ( ) i i = = i( ) = δ ε < = = ε i = = i Jadi utuk setiap da ε positif berlaku f ( ) < ε bila < < ε, Sehigga meurut defiisi limit terbukti lim f ( ) = i. 3

40 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks Cotoh 3.3 Misalka f ( ) =. Buktika lim f ( ) tidak ada. Bukti: Aka ditujukka ilai limit dega litasa yag berbeda. Pedekata sepajag sb-x positif, dalam hal ii y =. x + iy x + i. lim f ( ) = lim = lim = lim =. ( x, y) (,) x iy ( x,) x i. x Pedekata sepajag sb-y positif, dalam hal ii x =. x + iy + i. y lim f ( ) = lim = lim = lim =.\ ( x, y) (,) x iy (, y) i. y y Pedekata sepajag garis y = x. x + iy x + i. x x( + i) + i lim f ( ) = lim = lim = lim = x x x iy x x i. x x x( i). (, ) (,) i Karea pedekata sepajag arah yag berbeda meghasilka ilai yag tidak sama maka dapat disimpulka bahwa lim f ( ) = tidak ada. Teorema Adaika ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy), = xx + iiyy, ωω = uu + iivv, maka lim f ( ) = ω lim u( x, y) = u da lim v( x, y = v ) ( x, y) ( x y ) ( x, y) ( x y ), Bukti: ( ) Misalka lim u( x, y) = u da lim v( x, y) = v, ( x, y) ( x, y ) artiya ε ε > δ, δ u u <, ε v v <, < Pilih δ = mi( δ, δ ). < ( x x ( x x ( x, y) ( x, y ) ) ) + ( y y + ( y y ), ) < δ < δ 3

41 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks Karea ) ( ) ( ) ( ) ( v v u u v v i u u iv u iv u + + = + + da ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( iy x iy x y y i x x y y x x + + = + = + maka ε ε ε = + < + + ) ( ) ( u iv iv u bila < δ + + < ) ( ) ( x iy iy x. Jadi ) ( lim = ω f. ) ( Misalka ) ( lim = ω f, artiya ε δ ε < + + > ) ( ) ( u iv iv u bila δ < + + < ) ( ) ( x iy iy x Perhatika bahwa ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( iv u iv u v v i u u v v iv u iv u v v i u u u u + + = = + da ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y y x x y y i x x iy x iy x + = + = + + Sehigga ε ε < < v v da u u bila < δ + < ) ( ) ( y y x x. Jadi ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( lim ), ( lim,, v y x v da u y x u y x y x y x y x = =. Teorema Adaika B g A f = = ) ( lim, ) ( lim maka ( ) B A g f + = + ) ( ) ( lim. AB g f = ) ( ) ( lim. 33

42 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks f ( ) lim g( ) = A. B Kadag-kadag suatu bidag kompleks memuat titik di tak higga.bidag kompleks yag memuat titik tersebut disebut bidag kompleks yag diperluas. Teorema Jika da w titik-titik pada bidag da w, maka ) lim f ( ) = lim = f ( ) ) lim f ( ) = w lim f = w 3) lim f ( ) = lim = f (/ ) Kekotiua Fugsi ff() dikataka kotiu di = jika lim f ( ) ada ff( ) ada lim f ( ) = f ( ) Dega kata lai ff() dikataka kotiu di = jika lim f ( ) = f ( ) ε > δ > < δ berlaku f ) f ( ) < ε. ( Fugi kompleks ff() dikataka kotiu pada regio DD jika ff() kotiu pada tiap titik dalam DD. Misalka ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) kotiu di = xx + iiyy, uu(xx, yy) da vv(xx, yy) kotiu di (xx, yy ) lim u( x, y) = u( x, y ) da lim v( x, y) = v( x, y ). ( x, y) ( x, y ) ( x, y) ( x, y ) 34

43 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks Sifat-sifat Fugsi Kotiu 5. Fugsi kosta kotiu pada bidag kompleks 6. Jika f da g kotiu pada daerah D maka e) ff + gg kotiu f) ff gg kotiu g) ff. gg kotiu h) ff/gg kotiu kecuali di D sehigga gg( ) =. Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Peubah Kompleks ialah suatu titik umum dari himpua tertetu pada bidag datar.. Fugsi Peubah kompleks secara formal didefiisika sebagai pasaga terurut dua bilaga kompleks (, ww) yag memeuhi syarat-syarat tertetu 3. Grafik fugsi kompleks diwakili oleh dua bidag kompleks yag serig disebut dega bidag da bidag ww 4. Limit Fugsi Kompleks didefiisika dega lim f ( ) = w dibaca limit ff() utuk meuju sama dega ww, da didefiisika sebagai lim f ( ) = w ε > δ > < < δ berlaku f ( ) w < ε. 5. Fugsi ff() dikataka kotiu di = jika lim f ( ) ada, ff( ) ada, lim f ( ) = f ( ) Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Uraika setiap fugsi yag diberika dalam uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) kemudia dalam uu(rr, θθ) + iiii(rr, θθ) a. ff() = b. ff() = ii + II(ii/) 35

44 Limit da Kotiuitas Fugsi Kompleks. Gambarka dega kawaya ww yag diberika dibawah fugsi yag bersagkuta. a. ww = ii =, ii,, ii, ii, + ii b. ww = ee xx cos yy + iiee xx si yy =, ππ, ππππ, ππππ, + (ππππ/) 3. Misalka aa da bb kostata kompleks. Guaka defiisi limit utuk membuktika a) lim( a + b) = a + b b) lim( + b) = + b 4. Buktika bahwa, utuk sebarag da sebarag bilaga bulat tak egatif, lim = ( ), utuk Sebagai akibatya, buktika bahwa fugsi ff() = kotiu dimaamaa 5. Buktika bahwa fugsi ff() = l + ii AAAAAA Tidak kotiu sepajag sumbu yata tak positif. Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Jurusa Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus. Surabaya: Jurusa Matematika FMIPA, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga,

45 Turua Fugsi Kompleks Paket 4 TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Pedahulua Perkuliaha pada paket keempat ii difokuska pada kosep turua fugsi kompleks. Materi pada paket ii merupaka lajuta dari paket ketiga da merupaka bekal utuk materi pada paket-paket selajutya yaitu Persamaa Cauchy Riema. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sekalipu materi dalam paket ii tergolog mudah. Pada awal Paket 4 ii, dilakuka braistormig kepada mahasiswa tetag turua pada fugsi real sebelum masuk pada materi turua fugsi kompleks. Selajutya mahasiswa aka dibimbig bagaimaa defiisi fugsi kompleks dituruka, terakhir mahasiswa dikostruk utuk membuktika tekik-tekik turua dega melakuka geeralisasi megguaka defiisi turua. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kosep dasar cara peurua fugsi kompleks 37

46 Turua Fugsi Kompleks Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meyelesaika turua fugsi kompleks. Meyebutka syarat fugsi yag differesiabel Waktu 3x5 meit Materi Pokok Pegatar bilaga kompleks meliputi:. Turua fugsi kompleks. Tekik turua 3. Atura Ratai Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi materi fugsi kompleks dega membadigka dega fugsi real. 4. Braistormig dega megerjaka soal sederhaa, serta memotivasi petigya mempelajari fugsi kompleks. Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 4.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep turua pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear 38

47 Turua Fugsi Kompleks memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika tekik turua pada fugsi kompleks. Tujua Mahasiswa dapat membadigka tekik turua pada fugsi real dega turua pada fugsi kompleks. Selai itu mahasiswea dapat membuktika tekik-tekik turua pada fugsi kompleks. Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk meuruka tekik turua pada fugsi kompleks. d a. [ f ( ) + g( ) ] = f ( ) + g ( ) d 39

48 Turua Fugsi Kompleks d d d d b. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g ( ) = c. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) f ( ) g ( ) d. = d f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) d g( ) = [ g( ) ]. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. Uraia Materi + TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Gambar 4. Turua Turua Fugsi Kompleks Dari gambar diatas, misalka fugsi kompleks ww = ff(), titik berada dalam domai DD bagi ff. Adaika = + = xx + yyyy 4

49 Turua Fugsi Kompleks Adalah suatu titik di dalam DD, kemudia dibetuk hasil beda ff() ff( ) Jika limit hasil bagi ii ada utuk, maka dikataka ww = ff() dapat dideferesialka di, limitya diamaka turua ff di da diotasika dega ww () atau ff (). Dari pejelasa diatas, ww = ff() dikataka terdeferesialka di asalka limit dari ff() ff( ) ada. Hal ii bisa dituliska dega ff () = lim ff() ff( ) Perhatika bahwa ff () adalah bilaga kompleks. Jika titik khusus tidak perlu di sebutka, turua serigkali diotasika dega dddd aaaaaaaa dddd dddd dddd Ada dua betuk yag serig diguaka dalam medefiisika turua dari ww = ff() yaitu Da ff () = lim ff( + ) ff( ) ww () = lim xx ww ww Turua dapat diperoleh dega cara lagsug meerapka defiisi. Cara seperti ii sama dega yag duguaka pada kalkulus. Ada cara-cara yag lebih cepat dalam meghitug turua suatu fugsi. Cara-cara tersebut dituruka dari defiisi turua da serig disebut sebagai tekik turua. Cotoh 4. Dega megguaka defiisi, dapatka turua dari ff() = + 3 Peyelesaia : Substitusika fugsi yag aka dituruka ke dalam defiisi turua ff ff( + ) ff( ) () = lim Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 45 4

50 Turua Fugsi Kompleks = lim = lim ( + ) + 3( + ) ( + 3) = lim = lim = + 3 Jadi diperoleh turua dari ff() = + 3 adalah ff () = + 3 Tekik Turua Jika setiap meghitug turua diguaka defiisi, maka waktu yag diperluka waktu yag cukup lama utuk meyelesaika beberapa turua. Oleh karea itu dikembagka apa yag disebut tekik turua yag dikembagka dari defiisi turua. Dega megguaka tekik turua ii waktu yag diguaka dalam meghitug turua suatu fugsi kompleks lebih asigkat. Tidak semua tekik diberika bukti geeralisasiya dari defiisi turua, beberapa tekik bisa digeeralisasika sediri dari defiisi turua sebagai latiha. Tekik-tekik tersebut meliputi: d. ( c) = d Bukti: ff ff( + ) ff( ) () = lim cc cc = lim = lim = d. ( ) = d Bukti: ff () = lim ff( + ) ff( ) 4

51 Turua Fugsi Kompleks = lim = lim = (cc + ) cc d 3. [ c( f ( ) ] = cf ( ) d d 4. ( ) =,, Ζ d Bukti: ff() ff ff( ) () = lim = lim ( )( ) = lim = lim ( ) = Teorema Adaika bahwa ff da gg dapat dituruka pada setiap titik dalam himpua SS da bahwa ff dapat dituruka pada gg() utuk setiap dalam SS, maka d d 5. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g ( ) d d + 6. [ f ( ) g( ) ] = f ( ) g ( ) d d = 7. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) f ( ) g ( ) =

52 Turua Fugsi Kompleks 8. d f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) d g( ) = [ g( ) ] Cotoh 4. Tetuka turua dari fugsi berikut:. ff() = ( + ii) 5 ( i). f ( ) = pada i + i Peyelesaia :. Dega megguaka atura turua (4) da atura ratai diperoleh 4 4. f ( ) = 5( + i).4 = ( + i). Dega megguaka atura turua (7) diperoleh f ( ) = f ( ) g( ) Sehigga utuk = i diperoleh i i f ( i) = = = i. ( i + i) 4i f ( ) g ( ) ( + i) ( i) = = i [ g( ) ] ( + i) ( + i) Atura Ratai Misalka ff mempuyai turua di, da gg mempuyai turua di ff( ). Maka fugsi FF() = gg[ff()] mempuyai turua di, da turuaya adalah F ( ) = g [ f ( )]. f ( ). Dega kata lai, jika ww = ff() da WW = gg(ww) = FF(), maka meurut atura ratai Cotoh 4.3 dw dw dw =. d dw d 44

53 Turua Fugsi Kompleks Tetuka turua dari fugsi ff() = ( + ii) 5 dega megguaka atura ratai! Peyelesaia: Misalka ww = + ii da WW = ww 5. Maka meurut atura ratai dddd dddd = dddd dddd dddd dddd = (5ww4 )(4) = ( + ii) 4 Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Turua fugsi ff di, ditulis dega f ) didefisika sebagai berikut: f ( + ) f ( ) f ( ) = lim jika limitya ada. d. Notasi utuk turua ff di adalah f ( ) = f ( ). d 3. Jika ff mempuyai turua di, da gg mempuyai turua di ff( ). Maka fugsi FF() = gg[ff()] mempuyai turua di, da turuaya adalah F ) = g [ f ( )]. f ( ). ( ( Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Dega megguaka defiisi turua, carilah turua dari: a. ff() = b. ff() = c. ff() = 3. Guaka tekik turua utuk meghitug turua fugsi kompleks berikut: a. ff() = ( + 8) 8 ( + ) 45

54 Turua Fugsi Kompleks b. ff() = ( + 8) 8 /( + ) 3. Tetuka ff ( ) a. ff() = 3 dddd = ii b. ff() = dddd = + ii 4. Buktika bahwa jika ff ( ) ada, maka ff kotiu di 5. Jika suatu fugsi ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) mempuyai turua, maka ff diberika oleh ff () = uu xx + iivv xx atau ff () = vv yy iiuu yy Perlihatka kebeara relasi ii dega medapatka ff utuk a. ff() = b. ff() = 3 c. ff() = Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Jurusa Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus. Surabaya: Jurusa Matematika FMIPA, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 46

55 Persamaa Cauchy Riema Paket 5 PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN Pedahulua Perkuliaha pada paket kelima ii difokuska pada syarat perlu da syarat cukup yag merupaka prasyarat suatu fugsi kompleks terdeferesiabel. Materi pada paket ii merupaka lajuta dari paket keempat da merupaka bekal utuk materi pada paket-paket selajutya yaitu materi fugsi aalitik. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket 5 ii, dilakuka braistormig kepada mahasiswa tetag turua fugsi kompleks. Selajutya mahasiswa aka dibimbig bahwa ada suatu kodisi tertetu, syarat perlu da syarat cukup, yag apabila dipeuhi dapat mejami adaya turua pada fugsi kompleks yag dimaksud bahka titik-titik dimaa turua itu berada atau titik-titik yag meyebabka fugsi kompleks tersebut tidak dapat dituruka. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 47

56 Persamaa Cauchy Riema Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kosep persamaa Cauchy-Riema Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Megguaka persamaa Cauchy Riema utuk meyelesaika turua pada fugsi kompleks. Medapatka turua fugsi kompleks dega persamaa cauchy- Riema Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Persamaa Cauchy Riema Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi materi turua fugsi kompleks megguaka defiisi. 4. Braistormig dega megerjaka soal sederhaa, serta memotivasi mahasiswa bahwa dapat dikostruksi suatu syarat perlu da syarat cukup yag mejami adaya turua pada suatu fugsi kompleks. Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 5.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep turua pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 48

57 Persamaa Cauchy Riema 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika syarat perlu da syarat cukup agar suatu fugsi memiliki turua. Tujua Mahasiswa dapat membuktika teorema-teorema yag mejadi syarat perlu da syarat cukup suatu fugsi memiliki turua. Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol 49

58 Persamaa Cauchy Riema Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk membuktika teoremateorema yag mejadi syarat perlu da syarat cukup agar suatu fugsi memiliki turua. a. Teorema Diketahui ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy), adaika bahwa i. uu(xx, yy), vv(xx, yy) da semua turua parsialya uu xx, vv xx, ii. uu yy dddddd vv yy kotiu di semua titik dalam suatu ligkuga NN bagi titik = (aa, bb). Pada titik, uu xx = vv yy da vv xx = uu yy Maka ff ( ) ada, da b. Teorema ff = uu xx + iivv xx = vv yy iiuu yy Adaika bahwa fugsi ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) mempuyai turua pada suatu titik = (aa, bb) Maka pada titik itu Jadi ff = uu xx + iivv xx = vv yy iiuu yy uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 5

59 Persamaa Cauchy Riema Uraia Materi PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN Persamaa Cauchy Riema Dalam paket ii aka dikembagka syarat perlu da syarat cukup agar suatu fugsi yag diberika mempuyai turua. Utuk megembagka syarat ii bisa didekati melalui dua teorema. Teorema yag pertama melegkapi syarat cukup yag jika dipeuhi aka mejami adaya turua fugsi tersebut. Teorema ii juga meujukka titik-titik dimaa turua itu terdefisika da titik-titik dimaa turua itu tidak terdefiisika. Teorema yag kedua memberika rumus utuk turua, jika turua itu ada. Teoremateorema tersebut adalah sebagai berikut Teorema 5. Diketahui ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy), adaika bahwa. uu(xx, yy), vv(xx, yy) da semua turua parsialya uu xx, vv xx, uu yy dddddd vv yy kotiu di semua titik dalam suatu ligkuga NN bagi titik = (aa, bb).. Pada titik, uu xx = vv yy da vv xx = uu yy Maka ff ( ) ada, da ff = uu xx + iivv xx = vv yy iiuu yy Teorema 5. Adaika bahwa fugsi ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) mempuyai turua pada suatu titik = (aa, bb) Maka pada titik itu ff = uu xx + iivv xx = vv yy iiuu yy Jadi uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy 5

60 Persamaa Cauchy Riema Persamaa diferesial parsial uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy kemudia dikeal dega persamaa Cauchy-Riema. Persamaa Cauchy Riema merupaka persamaa yag sagat petig pada aalisis kompleks. Persamaa ii mejadi petig karea persamaa ii diguaka utuk meguji keaalitika suatu fugsi kompleks ww = ff() = uu (xx, yy) + iiii (xx, yy). Cotoh 5. Guaka persama Cauchy-Riema utuk membuktika bahwa turua ff() = ada utuk semua da bahwa ff () =. Peyelesaia Dega meuliska ff dalam betuk uu + iiii diperoleh ff() = xx yy + xxxxxx Jadi uu(xx, yy) = xx yy vv(xx, yy) = xxxx uu xx = xx vv xx = yy uu yy = yy vv yy = xx Eam fugsi diatas jelas kotiu pada setiap titik = (xx, yy) pada bidag datar, kemudia uu xx = vv yy = xx dddddd vv xx = yy = uu yy Utuk semua (xx, yy). Ii berarti teorema 5. terpeuhi, artiya ff () ada utuk semua. Hal ii berimplikasi pada terpeuhiya teorema 5. utuk semua. Jadi dapat disimpulka bahwa ff () = uu xx + iivv xx = xx + yyyy = (xx + iiii) = Cotoh 5. Tetuka titik-titik yag membuat ff() = xx iiii mempuyai turua. Jika ff ()ya ada tetuka ilaiya Peyelesaia Utuk ff() = xx iiii maka 5

61 Persamaa Cauchy Riema uu(xx, yy) = xx uu xx = xx uu yy = vv(xx, yy) = yy vv xx = vv yy = yy Eam fugsi diatas jelas kotiu pada setiap titik = (xx, yy) pada bidag datar, kemudia uu xx = vv yy = xx = yy dddddd vv xx = uu yy = Persamaa Cauchy-Riema aka terpeuhi jika xx = yy, da hal aka terpeuhi jika yy = xx. Jadi meurut Teorema 5. ff ada haya pada titik-titik pada garis yy = xx. Selajutya dega teorema 5. diperoleh bahwa ff = uu xx + iivv xx = xx aaaaaaaa ff = vv yy iiuu yy = yy Cotoh 5.3 Perlihatka bahwa fugsi ff() = cos yy ii si yy tidak mempuyai dimaapu juga. Peyelesaia Utuk ff() = cos yy ii si yy maka uu(xx, yy) = cos yy uu xx = uu yy = si yy vv(xx, yy) = si yy vv xx = vv yy = cos yy Eam fugsi diatas jelas kotiu pada setiap titik = (xx, yy) pada bidag datar, kemudia persamaa \Cauchy-Riema aka dipeuhi jika cos yy = dddddd si yy = Terepeuhi secara simulta. Jelas hal ii tidak mugki terjadi, oleh karea itu dapat disimpulka bahwa ff tidak ada pada titik maapu. 53

62 Persamaa Cauchy Riema Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Persamaa diferesial parsial uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy kemudia dikeal dega persamaa Cauchy-Riema. Suatu fugsi kompleks ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) memiliki turua jika memeuhi persamaa Cauchy-Riema da turuaya adalah ff = uu xx + iivv xx = vv yy iiuu yy Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Tetuka titik-titik yag membuat fugsi berikut mempuyai turua da apabila turua itu ada, carilah turua itu a. ff() = xx + iiyy b. ff() = 3 c. ff() = si xx cosh yy + ii cos xx sih yy d. ff() = e. ff() = xx + 3yy 3 ii. Adaika bahwa ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) dapat dideferesialka pada suatu titik buka ol. Maka buktika bahwa pada titik itu betuk kutub persamaa Cauchy-Riemaya ialah rr. uu rr = vv θθ dddddd rr. vv rr = uu θθ Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Jurusa Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus. Surabaya: Jurusa Matematika FMIPA, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga,

63 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik Paket 6 FUNGSI ANALITIK & FUNGSI HARMONIK Pedahulua Perkuliaha pada paket keeam ii difokuska pada fugsi aalitik, fugsi meyeluruh, daerah aalitisitas, titik sigular da harmoik sekawa. Materi fugsi aalitik bisa dikataka sebagai kosep terpetig dalam teori peubah kompleks. Fugsi-fugsi yag memiliki sifat aalitik mewarisi suatu struktur dalam yag sagat kokoh da ii dimaifestasika ke luar oleh sifat-sifat yag dimiliki oleh fugsi-fugsi yag aalitik. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket 6 ii, mahasiswa diberika bekal defiisi tetag keaalitika suatu fugsi kompleks, syarat-syarat yag harus dipeuhi oleh siuatu fugsi sehigga dikataka aalitik. Selajutya mahasiswa diberika bekal tetag daerah aalitisitas da titik sigular. Materi terakhir pada paket ii membahas tetag syarat suatu fugsi dikataka fugsi harmoik da fugsi harmoik sekawa. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 55

64 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kosep dasar peurua fugsi kompleks Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meyelidiki keaalitika suatu fugsi. meetuka fugsi harmoik Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Fugsi Aalitik. Titik Sigular 3. Fugsi Harmoik 4. Fugsi Harmoik Sekawa Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi materi fugsi aalitik. 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk pegembaga fugsi-fugsi aalitik baik teori mapupu peerapaya. Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 6. 56

65 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep keaalitika fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika syarat perlu da syarat cukup agar suatu fugsi memiliki turua. Tujua Mahasiswa dapat membuktika teorema-teorema keaalitika suatu fugsi da sifat-sifat dari fugsi aalitik. Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol 57

66 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk membuktika teoremateorema tetag keaalitika suatu fugsi da sifat-sifatya. a. Teorema Adaika. ff() da gg() aalitik pada himpua SS.. ff aalitik pada setiap gg() utuk semua dalam SS Maka jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, da gabuga (komposisi) ff da gg juga merupaka fugsi aalitik pada setiap titik di SS asalka terdefiisika. b. Teorema Misalka ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy), Adaika bahwa. Fugsi-fugsi uu, vv da turua parsialya uu xx, vv xx, uu yy dddddd vv yy kotiu disemua titik didalam suatu ligkuga tertetu NN dari titik.. Persamaa Cauchy-Riema uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy berlaku pada setiap titik di NN. Maka ff() aalitik pada. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 58

67 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik Uraia Materi FUNGSI ANALITIK DAN FUNGSI HARMONIK Fugsi Aalitik Suatu fugsi ff() dikataka aalitik (disebut juga dega holomorfik atau regular atau moogeik) pada titik, asalka turuaya ada disemua titik pada suatu ligkuga. Dari defiisi tersebut terlihat bahwa ada hubuga atara diferesiabilitas da aalitisitas suatu fugsi pada suatu titik. Tetapi tetap ada perbedaa kosep diatara keduaya, aalitisitas di berimplikasi diferesibilitas di tetapi tidak sebalikya. Diferesibilitas tidak berimplikasi pada pada aalitisitas karea secara umum ff boleh ada pada sebarag tipe himpua bahka pada titik terasig atau suatu peggal garis. Sedagka aalitisitas berhubuga sagat erat dega himpua terbuka, hal ii sesuai dega defiisi aalitisitas di yag meghedaki bahwa ff harus ada pada ligkuga tertetu dari titik tersebut. Cotoh 6. Teliti apakah fugsi ff() = xx iiyy aalitik? Peyelesaia Pada paket sebelumya telah diketahui bahwa fugsi diatas memiliki turua haya pada titik-titik di sepajag garis yy = xx. Setiap ligkuga bagi setiap titik pada garis itu memuat titik-titik yag berada diluar garis yy = xx yag megakibatka ff tidak ada. Hal ii megakibatka ff tidak aalitik dimaamaa, karea aalitisitas pada suatu titik meutut adaya ff di seluruh ligkuga pada titik tersebut. Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 54 59

68 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik Fugsi Meyeluruh Jika suatu fugsi aalitik pada setiap titik dalam suatu himpua SS, maka fugsi tersebut dikataka aalitik pada SS. Suatu fugsi yag aalitik pada seluruh bidag kompleks diamaka fugsi meyeluruh. Fugsi poliomial PP() = aa + aa + aa + + aa merupaka fugsi meyeluruh karea PP () ada pada semua. Suatu fugsi yag terbetuk dari hasil bagi dua fugsi meyeluruh diamaka fugsi meromorfik. Jika suatu fugsi aalitik pada suatu titik, maka meurut defiisi fugsi tersebut aalitik pada suatu himpua terbuka yag memuat titik tersebut. Dari keyataa ii mucul suatu istilah utuk memberi ama bagi keseluruha titik pada bidag datar yag membuat ff aalitik. Istilah tersebut adalah regio of aalyticity (daerah aalitisitas) Cotoh 6. Teliti apakah fugsi aalitik? ff() = Peyelesaia Fugsi diatas adalah hasil bagi dua fugsi meyeluruh, karea pembilag da peyebutya merupaka poliomial. Sesuai dega teorema pada paket sebelumya ff () ada utuk semua ilai, kecuali pada = ±ii yag tidak terdefiisika. Maka ff aalitik pada semua kecuali di ii da ii. Titik Sigular Suatu titik diamaka sigularitas atau titik sigular bagi fugsi ff jika da haya jika ff gagal mejadi aalitik pada da setiap ligkuga memuat palig sedikit satu titik yag membuat ff aalitik. Pada cotoh 6., ff aalitik kecuali pada = ±ii. Jadi pada fugsi tersebut titik ii da ii merupaka sigularitas. Sedagka fugsi pada cotoh 6. tidak memiliki 6

69 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik sigularitas meskipu fugsi tersebut gagal mejadi aalitik pada setiap titik dalam bidag datar. Teorema Adaika. ff() da gg() aalitik pada himpua SS.. ff aalitik pada setiap gg() utuk semua dalam SS Maka jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, da gabuga (komposisi) ff da gg juga merupaka fugsi aalitik pada setiap titik di SS asalka terdefiisika. (Bukti utuk latiha) Teorema Misalka ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy), Adaika bahwa 3. Fugsi-fugsi uu, vv da turua parsialya uu xx, vv xx, uu yy dddddd vv yy kotiu disemua titik didalam suatu ligkuga tertetu NN dari titik. 4. Persamaa Cauchy-Riema uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy berlaku pada setiap titik di NN. Maka ff() aalitik pada (Bukti utuk latiha) Teorema Adaika fugsi ff() = uu(xx, yy) + iiii(xx, yy) aalitik pada. Maka berlaku uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy Pada setiap titik di suatu ligkuga titik Fugsi Harmoik Fugsi yag aalitik memiliki sifat yag istimewa yaitu jika ff aalitik pada titik, maka ff juga aalitik. Dari sifat ii selajutya dikembagka suatu teori yag mejadi peghubug atara teori da terapa fugsi kompleks. 6

70 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik Misalka ff() = uu + iiii aalitik pada ; maka ff juga aalitik pada. Selajutya karea ff adalah turua dari ff maka ff juga aalitik pada da demikia pula semua turua ff. Karea fugsi yag diferesiabilitas juga kotiu, maka ff, ff, ff, semua kotiu pada. Dari teorema pada paket sebelumya diketahui bahwa turua fugsi kompleks dapat diyataka dalam turua parsial fugsi-fugsi kompoeya. Selajutya, karea ff, ff, ff, kotiu pada, akibatya turua parsial dari fugsi uu da vv utuk semua tigkat juga kotiu. Keyataa ii berakibat bahwa turua parrsial silag tigkat dua adalah sama uu xxxx = uu yyyy dddddd vv xxxx = vv yyyy Keyataa lai meujukka bahwa ff aalitik pada, akibatya uu xx = vv yy dddddd vv xx = uu yy dega melakuka diferesiasi pada fugsi tersebut diperoleh uu xxxx = vv yyyy, vv xxxx = uu yyyy, uu xxxx = vv yyyy, vv xxxx = uu yyyy Dega melakuka substitusi diperoleh uu xxxx + uu yyyy = dddddd vv xxxx + vv yyyy = Persamaa ii dikeal dega persamaa Laplace. Sebarag fugsi ff(xx, yy) yag memeuhi persamaa Laplace didalam suatu ligkuga titik = (aa, bb) dikataka harmoik pada, asal fugsi tersebut memiliki turua parsial tigkat dua yag kotiu pada titik tersebut. Jadi, kompoe-kompoe yata da khayal fugsi aalitik ff = uu + vv merupaka fugsi harmoik. Pasaga fugsi harmoik ii diamaka fugsi harmoik sekawa. Bila diberika suatu fugsi harmoik uu, maka dapat diperoleh harmoik sekawaya vv da kemudia membetuk fugsi aalitik ff() = uu + iiii. Proses memperoleh harmoik sekawa ii bisa dilihat melalui cotoh berikut: Cotoh 6.3 Carilah harmoik sekawa dari fugsi vv(xx, yy) = xxxx Peyelesaia 6

71 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik Pertama dicek apakah vv harmoik, da karea vv xxxx = vv yyyy = jelas bahwa vv harmoik. Selajutya aka dicari harmoik sekawaya yaitu uu(xx, yy) sehigga ff() = uu + iiii aalitik. Jika ff aalitik, maka persamaa Cauchy-Riema terpeuhi. Kareaya vv yy = xx, haruslah uu xx = xx. Dega itegrasi diperoleh uu(xx, yy) = xx + h(yy) Dari hasil itegrasi ii diperoleh uu yy = h (yy). Karea ff aalitik maka haruslah uu yy = vv xx. Sedagka vv(xx, yy) = xxxx, sehigga vv xx = yy. Artiya h (yy) = yy. Dega itegrasi diperoleh h(yy) = yy + cc Jadi diperoleh uu(xx, yy) = xx yy + cc Oleh karea itu ff = uu + iiii = + cc Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Suatu fugsi ff() dikataka aalitik pada titik, asalka turuaya ada disemua titik pada suatu ligkuga.. Suatu fugsi yag aalitik pada seluruh bidag kompleks diamaka fugsi meyeluruh 3. Suatu titik diamaka sigularitas atau titik sigular bagi fugsi ff jika da haya jika ff gagal mejadi aalitik pada da setiap ligkuga memuat palig sedikit satu titik yag membuat ff aalitik. 63

72 Fugsi Aalitik da Fugsi Harmoik 4. Persamaa beikut ii dikeal dega persamaa Laplace. uu xxxx + uu yyyy = dddddd vv xxxx + vv yyyy = 5. Sebarag fugsi ff(xx, yy) yag memeuhi persamaa Laplace didalam suatu ligkuga titik = (aa, bb) dikataka harmoik pada, asal fugsi tersebut memiliki turua parsial tigkat dua yag kotiu pada titik tersebut Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Tetuka da buktika daerah aalitisitas fugsi berikut: a. yy b. 3 c. d. + ( +) e. ee xx yy (cos xxxx + ii si xxxx) f. II( ). Diketahui ff() = (), carilah titik-titik, jika ada, yag membuat ff ada. Apakah ff aalitik dimaa-maa? 3. Buktika bahwa betuk kutub persamaa Laplace adalah rr uu rrrr + rruu rr + uu θθθθ = 4. Betuklah suatu fugsi aalitik ff = uu + iiii dega medapatka fugsi harmoik sekawa bagi uu(xx, yy) = yy. Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 64

73 Fugsi-fugsi Elemeter Paket 7 FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Pedahulua Perkuliaha pada paket ketujuh ii difokuska pada defiisi pemetaa da trasformasi, serta memperkealka fugsi kompleks elemeter tertetu beserta sifat aljabar da aalitikya. Materi fugsi-fugsi kompleks pada paket ii haya dasarya saja, sifat-sifat pemetaa fugsi-fugsi ii aka dipelajari pada paket-paket selajutya.. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket 7 ii, mahasiswa diberika bekal defiisi tetag istilah pemetaa da trasformasi. Selajutya mahasiswa diajak utuk meggali defiisi da sifat-sifat yag melekat pada fugsi-fugsi elemeter fugsi kompleks. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 65

74 Fugsi-fugsi Elemeter Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kembali fugsi elemeter beserta sifat operasiya. Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meuliska kembali macam fugsi elemeter. Megoperasika fugsi-fugsi elemeter Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Pemetaa da Trasformasi. Fugsi Liier 3. Fugsi Pagkat, 4. Fugsi kebalika, 5. Fugsi Biliear, 6. Fugsi Expoesial, 7. Fugsi Logaritmik Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi pemetaa da trasformasi 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk mempelajari materi berikutya Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 7. 66

75 Fugsi-fugsi Elemeter. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika syarat perlu da syarat cukup agar suatu fugsi memiliki turua. Tujua Mahasiswa dapat membuktika teorema-teorema keaalitika suatu fugsi da sifat-sifat dari fugsi aalitik. Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol 67

76 Fugsi-fugsi Elemeter Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk mecari tahu tetag suatu fugsi da sifat-sifat yag berkaita dega fugsi tersebut. a. Fugsi Liier b. Fugsi Pagkat, c. Fugsi kebalika, d. Fugsi Biliear, e. Fugsi Expoesial, f. Fugsi Logaritmik. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 68

77 Fugsi-fugsi Elemeter Uraia Materi FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Pemetaa Pada paket terdahulu telah dibahas geometri fugsi kompleks yag dapat diaalogika dega pegirima titik-titik pada bidag ke titik-titik pada bidag ww. Lebih umum, suatu fugsi dapat dipikirka sebagai proses yag memetaka sebagia bidag secara keseluruha ke bidag ww. Hal ii megakibatka muculya istilah pemetaa da trasformasi sebagai ama lai dari fugsi. Misalka fugsi ww = + ii memetaka = ii ke ww = ii. atau kalimat fugsi ww = iiii + ii metrasformasika bujur sagkar AAAAAAAA mejadi bujursagkar AA BB CC DD. Jika suatu fugsi ff memetaka ke ww, maka dikataka bahwa ww adalah bayaga dibawah ff da adalah pembayag ww. Meskipu defiisi suatu fugsi lebih bayak berbicara tetag bayaga titik, titik ww boleh mempuyai lebih dari satu pembayag dibawah suatu fugsi. Misalka dibawah fugsi ww = 4 +, titik ww = 3 mempuyai empat pembayag yaki =,, ii, ii. Pemetaa yag memiliki sifat tidak ada titik ww yag mempuyai lebih dari satu pembayag diamaka pemetaa satu-satu. Jika tidak memiliki sifat ii disebut bayak ke satu. Dari pejelasa diatas dapat dijelaska bahwa ff satu-satu jika maka ff( ) ff( ). Iversi Sebelum mempelajari fugsi-fugsi elemeter, terlebih dahulu diperkealka secara sigkat kosep iversi suatu fugsi. Meurut defiisi, gg() diamaka iversi fugsi ff() jika ff gg() = gg ff() =. Ivers suatu fugsi tidak harus sebuah fugsi, tetapi jika ff satu-satu maka iversiya biasa ditulis ff juga merupaka suatu fugsi. Misalka ff() = 3 5ii. ff 69

78 Fugsi-fugsi Elemeter merupaka fugsi satu-satu. Dapat dilihat bahwa ff () = ( + 5ii)/3 dega memeriksa bahwa ff ff () = ff ff() = Fugsi Liear Adalah sebuah fugsi yag berbetuk ff() = aaaa + bb dega aa da bb merupaka kostata kompleks. Turua dari fugsi ii adalah ff () = aa yag terdefiisi pada setiap. Jadi fugsi liear meruupaka fugsi meyeluruh. Jika aa = fugsi ii mejadi fugsi kosta, jika aa = da bb = fugsi ii mejadi fugsi idetitas. Fugsi liear merupaka fugsi satu-satu. Ivers fugsi ii berbetuk = aa ww bb aa yag juga merupaka fugsi liear. Da dapat dipikirka sebagai pemetaa dari bidag ww kembali ke bidag. Fugsi Pagkat Adalah sebuah fugsi yag berbetuk ff() = Fugsi ii merupaka fugsi meyeluruh karea ff ada da terdefiisi utuk semua. Jika >, fugsi ii merupaka fugsi bayak ke satu. Akibatya iversiya buka merupaka fugsi. Fugsi Kebalika Adalah fugsi yag berbetuk ff() = Fugsi ii merupaka fugsi satu-satu, kecuali = da ww =. Turua fugsi ii diberika oleh ff = / yag terdefiisi utuk semua kecuali =. Jadi fugsi ii aalitik pada semua kecuali pada pusat koordiat. Dibawah fugsi ff() = /, jika dibiarka, maka ff() yag bersesuaia aka mejadi bilaga yag modulusya besar tak berbatas; jadi 7

79 Fugsi-fugsi Elemeter utuk, ww meuju tak berhigga. Dega titik tak berhigga dapat dikataka bahwa dibawah fugsi kebalika, bayaga = adalah ff() = da pembayag dari ff() = adalah =. Fugsi Biliear Jika bilaga bulat tak egatif da aa, aa,, aa adalah kostata kompleks maka fugsi pp() = aa + aa + + aa diamaka suku bayak. Jika PP() da QQ() adalah dua suku bayak, maka fugsi FF() = PP() QQ() \ Yag didefiisika utuk semua asalka QQ(), diamaka fugsi rasioal. Fugsi rasioal merupaka fugsi aalitik kecuali titik-titik yag membuat peyebutya berilai ol. Salah satu fugsi rasioal yag mearik adalah fugsi rasioal yag berbetuk aaaa + bb ff() = (aaaa bbbb ) cccc + dd Da diamaka fugsi biliear. Karea fugsi ii fugsi rasioal maka, fugsi biliear aalitik kecuali di = dd/cc. Jika cc =, maka fugsi bilier berubah mejadi fugsi liear. Fugsi biliear termasuk fugsi satu-satu. Titik = dd/cc dipetaka ke titik ww = da titik = dipetaka ke ww = aa/cc. Ivers dari fugsi biliear diperoleh melalui maipulasi aljabar sederhaa. Ivers tersebut diberika oleh dddd + bb = cccc aa Terlihat bahwa ivers fugsi biliear juga merupaka fugsi bilear. Fugsi Ekspoesial Fugsi ekspoesial peubah kompleks = xx + iiii didefiisika dega ee = ee xx (cos yy + si yy) Jika adalah khayal muri (xx = ), diperoleh ee iiii = cos yy + si yy 7

80 Fugsi-fugsi Elemeter Yag merupaka rumus euler. Fugsi ekspoesial merupaka fugsi meyeluruh, da dd dddd (ee ) = ee Sifat-sifat ee. ee. ee = 3. ee +ww = ee ee ww 4. ee ww = ee /ee ww 5. ee = ee 6. ee = ee +ππππ 7. Jika = xx + iiii, maka ee = ee xx da arg(ee ) = yy Fugsi Logaritmik Utuk sebarag bilaga kompleks, ada log. Simbol ii membetuk perluasa bagi logaritma real l xx. jika adalah bilaga yata positif, makalog = l. Sifat-sifat yag dimiliki oleh l juga dimiliki oleh log, khususya log() = log + log ww da log( αα ) = αα log Utuk setiap bilaga kompleks, ww da αα. Misalka = rree iiii adalah bilaga kompleks yag diberika, maka log = log(rree iiii ) = log rr + log ee iiii = log rr + iiii log ee = log rr + iiii l ee = l rr + iiii = l + ii arg Berdasarka sifat-sifat logaritma yag dimiliki oleh oleh log, diperoleh log = l + ii arg 7

81 Fugsi-fugsi Elemeter Berdasarka uraia diatas didefiisika logaritma log = l + ii arg Cotoh 7. Tetuka logaritma bilaga-bilaga = ii,, eeee, dddd Peyelesaia log ii = l ii + ii arg ii = l() + ii ππ + kkkk = ii ππ + kkkk log = l + ii arg = l() + ii (kkkk) = l + kkkkkk log( eeee) = l(ee) + ii 3ππ + kkkk = + 3ππ + kkkk ii log( ) = (ππ + kkkk)ii Sifat-sifat log. log() = log + log ww. log(/ww) = log log ww 3. log ee = 4. ee log = 5. log( pp ) = pp. log Fugsi trigoometrik da Hiperbolik Jika xx merupaka bilaga yata, maka dega megguaka rumus Euler diperoleh si xx = ii eeiiii ee iiii dddddd si xx = ii eeiiii + ee iiii Rumusa ii mewakili betuk kompleks fugsi yata sius da cosius. Defiisi fugsi sius da cosius utuk peubah kompleks dikembagka dari rumusa diatas. Fugsi sius da cosius didefiisika oleh si = ii eeiiii ee iiii dddddd si = ii eeii + ee iiii Utuk semua bilaga kompleks. Empat fugsi lai didefiisika dega si cos ta = cot = sec = csc = cos si cos si 73

82 Fugsi-fugsi Elemeter Dari defiisi fugsi si da cos merupaka fugsi meyeluruh. Sedagka fugsi yag lai tidak aalitik tepat pada titik-titik yag membuat peyebutya samadega ol. Sifat-sifat si da cos. si = jika da haya jika = kkkk, kk bilaga bulat. cos = jika da haya jika = ππ + kkππ, kk bilaga bulat 3. si( ) = si 4. cos( ) = cos 5. si + cos = 6. si( + ww) = si cos ww + si ww cos 7. si( ww) = si cos ww si ww cos 8. si = si xx + sih yy, dimaa = xx + iiii 9. cos = cos xx + sih yy, dimaa = xx + iiii. dd [si ] = cos dddd. dd [cos ] = si dddd Sius hiperbolikus didefiisika dega sih = (ee ee ) Sedagka cosius hiperbolikus didefiisika dega cosh = (ee + ee ) Jelas bahwa kedua fugsi berikut merupaka fugsi meyeluruh da turuaya diberika oleh dd dddd [si h] = cosh dddddd dd [cosh ] = sih dddd 74

83 Fugsi-fugsi Elemeter Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Fugsi Liear adalah sebuah fugsi yag berbetuk ff() = aaaa + bb. Fugsi Pagkat adalah sebuah fugsi yag berbetuk ff() = 3. Fugsi Kebalika adalah fugsi yag berbetuk ff() = 4. Fugsi Biliear berbetuk aaaa + bb ff() = (aaaa bbbb ) cccc + dd 5. Fugsi ekspoesial peubah kompleks = xx + iiii didefiisika dega ee = ee xx (cos yy + si yy) 6. Logaritma didefiisika log = l + ii arg 7. Fugsi sius da cosius didefiisika oleh si = ii eeiiii ee iiii dddddd si = ii eeiiii + ee iiii Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Tuliska fugsi berikut dalam betuk aa + iiii a. ee iiii/ b. ee ππππ l +ππππ/3 c. ee d. ee ππππ. Carilah semua yag memeuhi a. ee = 3ii b. ee = ii 3. Carilah logaritma setiap bilaga berikut a. + ii b ii c. ii 4. Buktika utuk sebarag kostata kompleks cc, 75

84 Fugsi-fugsi Elemeter dd dddd [eecccc ] = ccee cccc 5. Tujukka bahwa, utuk sebarag bilaga yata xx a. si xx = ii eeiiii ee iiii b. cos xx = ii eeiiii + ee iiii 6. Buktika bahwa sifat yag telah dikeal si xx pada fugsi sius yata tidak dimiliki oleh si, demikia pula utuk cos Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 76

85 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Paket 8 TRANSFORMASI LINEAR DAN TRANSFORMASI PANGKAT Pedahulua Perkuliaha pada paket kedelapa ii difokuska trasformasi liear da trasformasi pagkat. Trasformasi liear sebagai gabuga putara, regaga, a pergesera. Sifat-sifat trasformasi liear da trasformasi pagkat Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket 8 ii, mahasiswa diajak utuk melakuka eksplorasi terhadap trasformasi liear. Selajutya mahasiswa diajak utuk meggali sifat-sifat yag melekat. Setelah medapatka materi tetag trasformasi liear mahasiswa diperkealka dega trasformasi pagkat da sifatsifatya. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 77

86 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kembali fugsi elemeter beserta sifat operasiya. Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meuliska kembali macam fugsi elemeter. Megoperasika fugsi-fugsi elemeter 3. Megguaka Trasformasi Kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Trasformasi Liier. Trasformasi Pagkat Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi trasformasi liear da trasformasi pagkat 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk mempelajari materi berikutya Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 8.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 78

87 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Metrasformasika suatu bidag dega trasformasi liear da trasformasi pagkat. Tujua Mahasiswa dapat membuktika bahwa trasformasi liear merupaka gabuga putara regaga da pergesera serta megetahui sifat-sifat trasformasi pagkat. Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol 79

88 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk mecari cotoh trasformasi da bagaimaa proses trasformasi yag terjadi. Trasformasi tersebut adalah a. Trasformasi Liier b. Trasformasi Pagkat,. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 8

89 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Uraia Materi TRANSFORMASI LINEAR DAN TRANSFORMASI PANGKAT Trasformasi Liear Fugsi liier adalah sebuah fugsi yag berbetuk ff() = aaaa + bb dega aa da bb merupaka kostata kompleks. Sifat-sifat pemetaa ii palig mudah dilihat dega memeriksa secara terpisah pemetaa-pemetaa ζζ = aaaa dddddd ww = ζζ + bb Kemudia digabugka mejadi ww = ζζ + bb = aaaa + bb Pemetaa pertama ζζ = aaaa disebut regaga putara. Istilah ii mucul dari hubuga-hubuga ζζ = aa bb dddddd arg ζζ = arg aa + arg bb Dua relasi ii dapat dijabarka sebagai berikut, bahwa dibawah pemetaa ζζ = aaaa, bayaga titik adalah titik ζζ yag modulusya diregagka dega faktor aa da argumeya adalah arg diputar dega sudut aa. Proses regaga putara ii digambarka dalam gambar 8. berikut : Gambar 8. Regaga Putara Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 83 8

90 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Catat bahwa pemetaa ii mejaga kesamaaya karea memutar setiap titik dega sudut yag sama (aa) da melipatgadaka modulus setiap titik dega faktor yag sama aa. Selajutya, trasformasi ww = ζζ + bb diamaka pergesera. Sifat fugsi ii meggeser atau memidahka setiap titik ζζ dega vektor kosta bb. Pemetaa ii jelas memelihara kesamaa da kesebaguaya. Gambar 8. berikut meggambarka kejadia peggesera. Gambar 8. Pergesera Dari dua pemetaa diatas, dapat dilihat bahwa trasformasi liear ff() = aaaa + bb terjadi akibat gabuga terhadap regaga putara ζζ = aaaa yag diikuti dega peggesera ww = ζζ + bb. Gambar 8.3 berikut meujukka gabuga pemetaa-pemetaa tersebut 3. Cotoh pemetaa liear di titik PP = + ii, peggal garis SS arg = ππ 4, < <, busur AA =, 3ππ 4 arg 3ππ da garis tegak LL: RR() = dibawah fugsi ww = iiii + + ii dapat dilihat pada gambar 8.4. Ibid 3 Ibid, hal 84 8

91 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Gambar 8.3 Trasformasi Liear Gambar 8.4 Cotoh Trasformasi liear dibawah ww = iiii + + ii 83

92 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Trasformasi Pagkat Adalah sebuah fugsi yag berbetuk ff() =. Fugsi ii merupaka fugsi meyeluruh karea ff ada da terdefiisi utuk semua. Jika >, fugsi ii merupaka fugsi bayak ke satu. Akibatya iversiya buka merupaka fugsi. Sifat-sifat pemetaa tertetu pada trasformasi pagkat lebih mudah dipelajari dalam betuk kutubya. Dega meyataka fugsi pagkat dalam betuk kutub diperoleh ww = rr (cos + ii si ) Dari betuk kutub ii dapat dilihat bahwa jika Maka = rr dddddd arg = tt ww = rr dddddd arg = Dari betuk kutub diatas dapat disimpulka bahwa trasformasi pagkat memetaka suatu titik dega modulus rr da argume tt ke suatu titik dega modulus rr da argume. Sebagai cotoh, dibawah fugsi ww = 3, = cccccc ππ dipetaka ke ww = 8 cciiii ππ. 3 Pada umumya, dibawah trasformasi pagkat suatu siar yag dipacarka dari pusat sumbu koordiat dega sudut ikliasi αα dipetaka mejadi suatu siar yag bersudut ikliasi. Sehigga suatu sektor ligkara dega jari-jari rr bersudut pusat φφ ditrasformasika ke sektor ligkara dega jari-jari rr bersudut pusat. Proses trasformasi ii bida dilihat pada gambar Ibid, hal 88 84

93 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Gambar 8.5 Pemetaa ww = Sebagai cotoh, dibawah ww =, kuadra pertama bidag dipetaka ke setegah ligkara atas bidag ww. Setegah ligkara atas bidag dipetaka ke seluruh bidag ww. Jika diambil seluruh bidag maka bidag ww aka ditutupi dua kali. Secara geeral, dibawah trasformasi pagkat ww =, bidag dipetaka ke bidag ww, kali. Artiya setiap titik pada bidag ww, kecuali ww = merupaka bayaga titik yag berbeda dari bidag. Cotoh 8. Fugsi ww = jika diuraika meghasilka uu(xx, yy) = xx yy da vv(xx, yy) = xxxx. Selajutya, perhatika hiperbola tegak lurus xx yy = cc, cc Jelas uu = cc da bila xx da yy megambil seluruh ilai yag mugki maka ilai vv bergerak dari higga +. Hal ii meujukka bahwa dibawah ww =, hiperbola diatas dipetaka mejadi garis tegak uu = cc. Selajutya perhatika hiperbola xxxx = kk, kk Jelas bahwa dibawah fugsi tersebut, bayagaya adalah garis medatar vv = kk. 85

94 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Sifat-sifat pemetaa liiear palig mudah dilihat dega memeriksa secara terpisah pemetaa-pemetaa ζζ = aaaa dddddd ww = ζζ + bb Kemudia digabugka ww = ζζ + bb = aaaa + bb. Sifat-sifat pemetaa pada trasformasi pagkat lebih mudah dipelajari dalam betuk kutubya. 3. Trasformasi pagkat memetaka suatu titik dega modulus rr da argume tt ke suatu titik dega modulus rr da argume. Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Carilah bayaga kurva-kurva = ππ, =, RR() =, da II() = 3 dibawah fugsi berikut; gambar kurva da bayagaya a. ww = + b. ww = ( + ii) c. ww = ( ii) + ( ii) d. ww = ii( + + ii). Carilah bayaga tiap-tiap kurva berikut atau daerah pada bidag dibawah pemetaa ww = a. xx yy = 3 b. yy = xx c. > d. < RR() < 3. Suatu titik diamaka titik tetap pada fugsi ww = ff(), asalka ff( ) =. Sehigga utuk titik tetap pada suatu fugsi dapat diperoleh dega meyelesaika persamaa = ff(). Guaka keyataa ii utuk medapatka titik-titik tetap, jika ada, fugsi berikut 86

95 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat a. ww = iiii b. ww = ii c. ww = 5 + ii d. ww = + bb, bb 4. Buktika bahwa satu-satuya trasformasi liear dega lebih dari satu titik tetap adalah pemetaa idetitas ww = 5. Dibawah pemetaa ww = 5, = dipetaka ke ww =. Carilah empat titik lagi yag berbeda yag juga dipetaka ke ww = dibawah fugsi tersebut. 6. Dega megguaka keyataa bahwa uraia fugsi kuadrat ww = meghasilka uu = xx yy da vv = xxxx, tujukka bahwa, utuk fugsi ii, vv = 4xx (xx uu) = 4yy (uu + yy ) Kemudia tujukka bahwa dibawah ww =, garis-garis medatar (yy = kk ) da tegak lurus (xx = cc ) dipetaka mejadi parabola. Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 87

96 Trasformasi Liear da Trasformasi Pagkat 88

97 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Paket 9 TRANSFORMASI KEBALIKAN DAN TRANSFORMASI BILINEAR Pedahulua Perkuliaha pada paket kesembila ii difokuska trasformasi kebalika da trasformasi biliear. Trasformasi kebalika sebagai gabuga iversi dalam ligkara satua da kesekawaa. Sedagka trasformasi bilear merupaka pecaha silag. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket 9 ii, mahasiswa diajak utuk melakuka eksplorasi terhadap trasformasi kebalika. Selajutya mahasiswa diajak utuk meggali sifat-sifat yag melekat padaya. Setelah medapatka materi tetag trasformasi kebalika mahasiswa diperkealka dega trasformasi biliear da sifat-sifatya. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 89

98 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kembali fugsi elemeter beserta sifat operasiya. Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meuliska kembali macam fugsi elemeter. Megoperasika fugsi-fugsi elemeter 3. Megguaka Trasformasi Kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Trasformasi kebalika. Trasformasi biliear Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi trasformasi kebalika da biliear 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk mempelajari materi berikutya Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 9.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 9

99 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Metrasformasika suatu bidag dega trasformasi liear da trasformasi pagkat. Tujua Mahasiswa dapat membuktika bahwa dibawah trasformasi kebalika titik dipetaka ke ww = /, da syarat aaaa bbbb pada trasformasi biliear Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol 9

100 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk membuktika bahwa dibawah trasformasi kebalika titik dipetaka ke ww = /. Buktika, megapa pada trasformasi biliear aaaa + bb ww = cccc + dd aaaa bbbb 3. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 4. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 9

101 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Uraia Materi TRANSFORMASI KEBALIKAN DAN TRANSFORMASI BILINEAR DAN Trasformasi Kebalika Fugsi kebalika adalah fugsi yag berbetuk ff() = Fugsi ii merupaka fugsi satu-satu, kecuali = da ww =. Turua fugsi ii diberika oleh ff = / yag terdefiisi utuk semua kecuali =. Jadi fugsi ii aalitik pada semua kecuali pada pusat koordiat. Secara aluriah ampak jelas bahwa dibawah fugsi kebalika, titiktitik yag hampir medekati = dipetaka ke titik-titik di daerah jauh pada bidag ww. Sedagka titik-titik di tempat jauh dari = dipetaka ke titiktitik yag dekat pada ww =. Secara geometri hal ii bisa didekati dega meuliska da ww dalam betuk kutub. Jika = rr cccccc tt maka ww = rr cos( tt) Yag dapat di jelaska dega, dibawah fugsi kebalika suatu titik dega modulus rr da argume tt dipetaka mejadi suatu titik dega modulus /rr da argume tt. Geometri trasformasi ii dapat dilihat pada gambar 9.. Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 9 93

102 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Cotoh 9. Gambar 9. Kostruksi ww = / Perhatika garis tegak xx =, dibawah pemetaa ww = / Peyelesaia Peguraia fugsi ww = / = Diperoleh uu = xx xx + yy yy xx + yy ii xx xx + yy dddddd vv = yy xx + yy Garis tegak yag diberika xx =, sehigga setiap titik yag diberika berbetuk = + yyyy, da didapatka uu = yy dddddd vv = + yy + yy Dega megkuadratka keduaya da mejumlahka keduaya didapatka uu + vv = uu Dega melegkapi kuadrat diatas dihasilka ligkara ww = Ligkara ii merupaka bayaga garis yag diberika RR() =. 94

103 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Dega megembagka cotoh 9. diperoleh bahwa setegah bidag RR() > dipetaka ke bagia dalam ligkara diatas, da juga bahwa setegah bagia atas pada setegah bidag dipetaka ke bagia bawah setegah ligkara, da sebalikya. Cotoh 9. Ligkara =, dibawah pemetaa ww = / Peyelesaia Peguraia fugsi ww = / = xx xx + yy yy xx + yy ii Diperoleh xx uu = xx + yy dddddd vv = yy xx + yy Dega meyederhaaka = diperoleh xx + yy = xx Substitusi ke uu da vv diperoleh uu = dddddd vv = yy xx Karea = (xx, yy) berubah ubah sepajag ligkara yag diberika, vv megambil semua ilai yata, semetara uu tetap kosta pada /. Sehigga disimpulka bahwa bayaga yag diberika adalah uu = /. Dega megembagka cotoh ii bagia dalam ligkara yag diberika dipetaka pada setegah bidag disebelah kaa bayaga garis uu = / tetapi dega kebalika setegah bidag bagia atas da bagia bawahya. Akhirya, dibawah trasformasi kebalika garis-garis da ligkaraligkara dipetaka ke garis-garis atau ligkara-ligkara. Hal ii didasarka pada keyataa bahwa = xx xx + yy ii yy xx + yy 95

104 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Da persamaa ligkara aa(xx + yy ) + bbbb + cccc + dd = jika (aa ) da mewakili suatu garis (aa = ). Trasformasi Biliear Jika aa, bb, cc, da dd kostata kompleks, maka aaaa + bb ww =, uuuuuuuuuu aaaa bbbb cccc + dd Diamaka trasformasi biliear. Trasformasi biliear memiliki sejumlah sifat pemetaa yag mearik. Sifat yag pertama adalah Dibawah trasformasi biliear garis-garis da ligkara-ligkara dipetaka mejadi garis-garis atau ligkara-ligkara Sifat pertama ii didasarka pada keyataa. Pertama keyataa bahwa pemetaa biliear merupaka gabuga dari tiga fugsi diataraya ζζ = cccc + dd, ξξ = ζζ, dddddd ww = aa bbbb aaaa + ξξ cc cc Artiya pemetaa biliear merupaka gabuga dari pemetaa liear diikuti dega pemetaa kebalika da terakhir pemetaa liear. Kedua, pemetaa liear merupaka trasformasi serupa da trasformasi kebalika memetaka garis-garis da ligkara-ligkara ke garis-garis atau ligkara-ligkara. Suatu garis atau ligkara KK, pada bidag ditrasformasika dibawah fugsi bilear. Oleh fugsi ζζ = cccc + dd garis KK aka diputar, diperbesar, kemudia digeser mejadi garis atau ligkara KK. Selajutya oleh fugsi ξξ = aka dibalikka mejadi garis atau ζζ ligkara KK. Terakhir oleh fugsi ketiga ww = aa + bbbb aaaa ξξ aka diputar, cc cc diperbesar, da digeser mejadi garis atau ligkara KK. Cotoh 9. Tujukka bahwa pemetaa bilear ww = memetaka setegah bidag + RR() > mejadi cakram satua ww < 96

105 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Peyelesaia Pemetaa ii dibagi dalam tiga tahapa, ζζ = +, ξξ = ζζ, dddddd ww = ξξ +. Dibawah pemetaa ζζ = +, setiap titik pada setegah bidag yag diberika diputar sebesar radia, diperbesar dega faktor da terakhir digeser dega vektor sehigga meghasilka setegah bidag RR(ζζ) >. Setegah bidag RR(ζζ) > kemudia dipetaka dibawah ξξ = ζζ kedalam ligkara ξξ =, tetapi dega setegah bagia atas da bawah salig dipertukarka. 3. Terakhir dibawah ww = ξξ +, bagia dalam ligkara aka diputar sebesar ππ radial mejadi bagia dalam ligkara ξξ + =, pertukara ii aka meukar letak setegah bagia atas da bawah cakram tersebut. Putara ii kemudia diikuti dega regaga dega faktor mejadi bagia dalam ligkara ξξ + =, da akhirya digeser dega vektor meghasilka cakram ww < Proses trasformasi ii dapat dilihat pada gambar 9.. Sifat kedua trasformasi biliear diyataka sebagai beikut: bila diketahui sebarag tiga titik berbeda,, 3 pada bidag da sebarag tiga titik berbeda ww, ww, ww 3 pada bidag ww, maka terdapat trasformasi biliear yag tuggal yag memetaka jj ke ww jj, jj =,,3. Trasformasi biliear yag tuggal ii diperoleh dega (ww ww )(ww ww 3 ) (ww ww 3 )(ww ww ) = ( )( 3 ) ( 3 )( ) Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 97 97

106 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear Cotoh 9. Gambar 9. Trasformsi biliear ww = + Carilah trasformasi biliear yag memetaka =, = ii, 3 = ke ww =, ww = + ii, ww 3 = secara beruruta Peyelesaia Dega substitusi,, 3 da ww, ww, ww 3 ke (ww ww )(ww ww 3 ) (ww ww 3 )(ww ww ) = ( )( 3 ) ( 3 )( ) diperoleh (ww )ii ( + ii) = (ww )( + ii) ( + )ii Meghasilka persamaa biliear 98

107 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear ww = Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Dibawah fugsi kebalika suatu titik dega modulus rr da argume tt dipetaka mejadi suatu titik dega modulus /rr da argume tt. Pemetaa biliear merupaka gabuga dari pemetaa liear diikuti dega pemetaa kebalika da terakhir pemetaa liear Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Carilah bayaga masig-masig titik berikut dibawah trasformasi kebalika a. + ii b. 5 ii c ii d. /( ii). Ligkara satua = da sumbu koordiat membagi bidag mejadi delapa daerah. Dapatka bayaga masig-masig daerah ii dibawah ww = / 3. Tujukka bahwa sebarag garis xx = cc, cc dipetaka mejadi ligkara ww cc = cc dibawah trasformasi kebalika 4. Carilah bayaga setiap titik =,,, ii, ii, dibawah pemetaa ww = iiii + + ii 99

108 Trasformasi Kebalika da Trasformasi Biliear 5. Carilah titik-titik tetap pada trasformasi a. ww = iiii+ii ii b. ww = 6. Carilah bayaga setegah bidag II() dibawah pemetaa ww = Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5

109 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Paket TRANSFORMASI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK Pedahulua Perkuliaha pada paket kesepuluh ii difokuska trasformasi ekspoesial da logaritmik. Pedefiisia fugsi logaritma pada variabel kompleks didasari oleh bagaimaa meyelesaika persamaa ee ww =, dega ww da bilaga kompleks. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket ii, mahasiswa diajak utuk meyelesaika dua buah kasus tetag trasformasi ekspoesial. Selajutya dari kasus tersebut mahasiswa diajak utuk membuat ikhtisar dari temua-temua yag diperoleh. Setelah medapatka materi tetag trasformasi ekspoesial mahasiswa diperkealka dega trasformasi logaritmik yag merupaka ivers dari trasformasi ekspoesial. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka.

110 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kembali fugsi elemeter beserta sifat operasiya. Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meuliska kembali macam fugsi elemeter. Megoperasika fugsi-fugsi elemeter 3. Megguaka Trasformasi Kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Trasformasi kebalika. Trasformasi biliear Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi trasformasi kebalika da biliear 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk mempelajari materi berikutya Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK.

111 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Memeriksa dua kasus khusus pada trasformasi ekspoesial Tujua Mahasiswa dapat membuat geeralisasi trasformasi ekspoesial dari dua kasus khusus yag diberika. Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol 3

112 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk a. Tetuka bayaga garis medatar yy = bb dibawah ww = ee, b. Tetuka bayaga xx = cc, ππ < yy < ππ dibawah ww = ee,. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 4

113 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Uraia Materi TRANSFORMASI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK Trasformasi Ekspoesial Fugsi ekspoesial ww = ee Bisa dipelajari melalui dua kasus khusus. Dari dua kasus ii kemudia digeeralisasi. Cotoh. Tetuka bayaga garis medatar yy = bb dibawah ww = ee, Peyelesaia Jika ww = ee, maka ww = ee xx da arg ww = yy. Setiap titik pada garis yag diberika berbetuk = xx + iiii, < xx < Karea xx berubah-ubah dari higga +, ilai ee xx berubah-ubah dari higga + semetara yy tetap pada yy = bb. Dega kata lai, jika ilai xx berubah-ubah dari higga +, ww berubah-ubah dari higga + sedagka arg ww tetap arg ww = bb. Hal ii berarti, jika berubah-ubah sepajag garis yag diberika, ww meetuka suatu siar yag dipacarka dari pusat koordiat (tapi tidak termasuk koordiatya) dega sudut ikliasi bb radial. (lihat gambar. ) Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 5

114 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Gambar. Bayaga yy = bb dibawah ww = ee Cotoh. Tetuka bayaga xx = cc, ππ < yy < ππ dibawah ww = ee, Peyelesaia Setiap titik pada peggal garis tersebut berbetuk = cc + iiii, ππ < yy < ππ Jika yy berubah-ubah dari ππ ke ππ, cos yy + ii si yy meetuka suatu ligkara legkap. Sedagka ww tetap tiggal pada ee cc. Dega kata lai, jika berubah-ubah sepajag peggal garis yag diberika, ww meetuka suatu ligkara berpusat pada ww = da berjari-jari ee cc. Jika yy diperbolehka utuk domai yag lebih luas dalam garis tegak yag sama, ww aka megulagi jejakya pada ligkara yag sama. Jika diambil seluruh titik pada garis tegak xx = cc, maka ligkara ww = ee cc aka terulag tak berhigga kali. Dari dua cotoh diatas, bisa diikhtisarka bahwa: dibawah ww = ee xx garis medatar dipetaka ke siar-siar yag dipatulka dari ww = da garis tegak dipetaka ke ligkara-ligkara yag berpusat di ww =. 6

115 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Jika diambil semua garis medatar dalam ππ < yy ππ, bayagaya merupaka semua siar dega sudut-sudut ikliasi yag berbeda-beda dari ππ arg ww ππ. Secara keseluruha semua siar-siar itu meghabiska semua titik pada bidag ww kecuali ww =. Lihat gambar.. Gambar. Garis ke siar dibawah ww = ee Jika diambil semua peggal garis tegak yag termuat atara ππ < yy < ππ, bayagaya merupaka ligkara ligkara yag berpusat di ww =. Ligkara itu aka meutup ww kecuali ww =. Lihat gambar.3 3. Gambar.3 Garis ke Ligkara dibawah ww = ee Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 3 ibid 7

116 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Trasformasi Logaritmik Fugsi log(ee ) = Berlaku utuk semua. Sifat ii meyataka keyataa bahwa fugsi log merupaka ivers fugsi ee. Jika ditetuka ee utuk setiap da diterapka fugsi llllll pada ee, diperoleh kembali. Secara sigkat dapat disimpulka bahwa log meiadaka apa yag dikerjaka oleh ee utuk sebarag. Dari fugsi diatas dapat diperoleh ww = l + ii aaaaaa Artiya uu = l dddddd vv = arg Jika berubah-ubah pada semua ilai kecuali ol, berubah-ubah atara da + ; jadi l berubah-ubah dari ke +, oleh karea itu < uu <.Selai itu karea argume pokok mempuyai syarat yaitu berada pada ππ < arg ππ didapatka ππ < vv ππ. Dega meggabugka uu da vv diperoleh lajur pokok pada bidag ww. Utuk lebih jelasya lihat gambar.4 4. Gambar.4 Lajur pokok dibawah ww = log 4 Ibid, halama 3 8

117 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Dibawah ww = ee xx garis medatar dipetaka ke siar-siar yag dipatulka dari ww = da garis tegak dipetaka ke ligkara-ligkara yag berpusat di ww =. Trasformasi logaritma log meiadaka apa yag dikerjaka oleh ee utuk sebarag Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Tetuka bayaga setiap kurva berikut dibawah ww = ee a. Siar yy =, xx > b. Siar yy =, xx > c. Peggal garis xx =, 3ππ < yy < 3ππ d. Garis yy = 3 e. Garis xx = 8. Carilah bayaga kurva berikut dibawah ww = log a. Ligkara = cc, cc > b. Siar yag dipacarka dari pusat koordiat kecuali pusatya yag mempuyai sudut ikliasi αα = ππ/4 3. Carilah bayaga dibawah fugsi ekspoesial segi bayak yag dibetuk dega meghubugka titik-titik,, + ii, + ii, ii, ii, da Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga,

118 Trasformasi Ekspoesial da Logaritmik Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5

119 Trasformasi w = si da w = cos Paket TRANSFORMASI ww = ssssss da ww = cccccc Pedahulua Perkuliaha pada paket kesebelas ii difokuska trasformasi ww = si da ww = cos. Materi trasformasi ii sagat petig utuk diketahui. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket ii, mahasiswa diajak utuk mempelajari trasformasi ww = si. Trasformasi ii didekati dega meguraika si kedalam betuk uu da vv. Selajutya dega cara yag sama dieksplorasi trasformasi ww = cos. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka.

120 Trasformasi w = si da w = cos Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kembali fugsi elemeter beserta sifat operasiya. Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meuliska kembali macam fugsi elemeter. Megoperasika fugsi-fugsi elemeter 3. Megguaka Trasformasi Kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Trasformasi ww = si. Trasformasiww = cos Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi trasformasi ww = si da ww = cos 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk mempelajari materi berikutya Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK.

121 Trasformasi w = si da w = cos 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Memetaka peggal garis dibawah pemetaa ww = si Tujua Mahasiswa dapat memetaka peggal garis yag diberika dibawah pemetaa ww = si Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol 3

122 Trasformasi w = si da w = cos Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk a. Buktika bahwa dibawah ww = si, sepajag peggal garis medatar yy = bb, kkkk ππ xx kkkk + ππ Dipetaka ke setegah bagia atas atau setegah bagia bawah ellips uu vv cosh bb + sih bb = Tergatug bb > da bb < b. Dibawah ww = si, sebarag garis tegak xx = cc, cc kk ππ, kk = bbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbb Dipetaka ke setegah sebelah kaa atau setegah sebelah kiri hiperbola uu si cc + cos cc = Tergatug pada apakah kkkk < cc < kkkk + ππ atau kkkk ππ < cc < kkkk. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. vv 4

123 Trasformasi w = si da w = cos Uraia Materi TRANSFORMASI ww = ssssss da ww = cccccc Trasformasi ww = ssssss Pada fugsi ww = si dddddd ww = cos si dapat diuraika mejadi si = si xx cosh yy + ii sih yy cos xx Sehigga diperoleh persamaa uu = si xx cosh yy dddddd vv = sih yy cos xx Persamaa diatas dijadika pedoma utuk megeal sifat-sifat pemetaa fugsi sius. Dimulai dega beberapa cotoh Perhatika iterval berikut ππ xx ππ, yy = Jika yy =, maka cosh yy = da sih yy =, sehigga utuk sebarag titik pada iterval yag diberika diperoleh uu = si xx dddddd vv = Karea xx berubah-ubah atara ππ/ da ππ/ maka ilai si xx berubah-ubah atara da. Akibatya, dibawah ww = si, iterval yag diberika dipetaka ke uu, vv =, Pada bidag ww. Lihat gambar.. Megguaka pealara yag sama, dapat ditujukka bahwa sumbu yata bidag dipetaka ke iterval yag sama dega cotoh diatas yaitu iterval uu, vv =, Pada bidag ww. Pemetaa sumbu yata bidag meutup iterval tak berhigga kali Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 5 5

124 Trasformasi w = si da w = cos Gambar. Trasformasi ww = si Pada cotoh selajutya aka ditujukka bahwa sumbu khayal xx = dipetaka ke sumbu khayal uu =, dibawah pemetaa sius. Bila xx =, maka uu = dddddd vv = sih yy Karea yy berubah-ubah dari ke pada sumbu khayal, maka vv = sih yy berubah-ubah dari ke. Sedagka uu tetap berada pada. Artiya sumbu xx = dipetaka ke sumbu uu =. Pada pemetaa ii separo bagia atas dipetaka ke separo bagia atas da separo bagia bawah dipetaka ke separo bagia bawah. Trasformasi ww = cccccc Pada trasformasi ww = cos, cos dapat diuraika mejadi cos = cos xx cosh yy ii si xx sih yy Dega megguaka idetitas cos = si + ππ Dapat diketahui sifat-sifat pemetaa cos. Yaitu melalui gabuga pemetaa ζζ = + ππ dddddd ww = si ζζ 6

125 Trasformasi w = si da w = cos Cotoh. Tetuka bayaga iterval TT: ππ xx, yy = Dibawah pemetaa ww = si + ππ Peyelesaia Iterval dibawah pergesera TT: ππ xx, yy = ζζ = + ππ Dipetaka ke TT : ππ RR(ζζ) ππ, II(ζζ) = Selajutya dibawah ww = si ζζ TT dipetaka ke TT : uu, vv =. Akhirya disimpulka bahwa dibawah ww = cos, iterval ππ xx, yy =. dipetaka ke uu, vv =. Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. si dapat diuraika mejadi si = si xx cosh yy + ii sih yy cos xx Sehigga diperoleh persamaa uu = si xx cosh yy dddddd vv = sih yy cos xx. Karea cos = si + ππ sifat sifat pemetaa ww = cos dapat diperoleh melalui gabuga pemetaa ζζ = + ππ dddddd ww = si ζζ 7

126 Trasformasi w = si da w = cos Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Tujukka bahwa setiap iterval berikut dipetaka dibawah ww = si ke iterval SS: uu, vv = a. 3ππ xx ππ, yy = b. ππ xx, yy = c. xx ππ, yy = ππ d. xx 3ππ, yy =. Tetuka bayaga, dibawah ww = si, persegi pajag pada gambar berikut, dega meetuka secara tepat bayaga ke eam titik AA, BB, CC, DD, EE, FF Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 8

127 Trasformasi Koformal Paket TRANSFORMASI KONFORMAL Pedahulua Perkuliaha pada paket keduabelas ii difokuska trasformasi koformal. Kosep umum keserupaa meligkupi topik-topik yag beraeka ragam, yag lagsug atau tidak lagsug berhubuga dega mata ratai yag palig petig atara teori da terapa. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket ii, mahasiswa diajak membuktika teorema. Selajutya membuktika akibat teorema yag telah dibuktika sebelumya. Setelah megetahui akibat teorema mahasiswa membuat kesimpula tetag trasformasi koformal. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 9

128 Trasformasi Koformal Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kembali fugsi elemeter beserta sifat operasiya. Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meuliska kembali macam fugsi elemeter. Megoperasika fugsi-fugsi elemeter 3. Megguaka Trasformasi Kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Trasformasi koformal Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi trasformasi koformal 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk mempelajari materi berikutya Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi

129 Trasformasi Koformal yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika teorema pemetaa serupa da akibat teorema Tujua Mahasiswa dapat memahami kosep pemetaa koformal dari teorema da akibat teorema yag diberika Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk membuktika teorema da akibat teorema a. Teorema Adaika bahwa ff() aalitik pada da bahwa ff ( ). Misalka AA adalah suatu kurva mulus melewati da

130 Trasformasi Koformal misalka AA meujukka bayaga AA dibawah ff. Maka, jika sudut ikliasi AA pada adalah αα, maka sudut ikliasi AA pada ff( ) adalah αα + arg ff ( ) b. Akibat Teorema Adaika bahwa ff() aalitik pada da bahwa ff ( ). Misalka AA da BB adalah dua kurva mulus yag berpotoga pada da membetuk sudut θθ diukur dari AA ke BB Maka, bayagaya, AA da BB, dibawah ff membetuk sudut yag diukur dari AA ke BB sebesar θθ. Secara sigkat, dibawah ff, sudut perpotoga atara AA da BB adalah tetap tak berubah dalam besar da arah.. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas.

131 Trasformasi Koformal Uraia Materi TRANSFORMASI KONFORMAL Trasformasi koformal Kosep pemetaa koformal dapat dipikirka sebagai iterpretasi geometrik pada aalitisitas. Aspek geometrik utama pada keserupaa ialah kesamaa sudut dalam besar da arahya. Misalka fugsi ww = ff() aalitik pada titik da adaika bahwa ff (), maka meurut defiisi ff aalitik pada suatu ligkuga misalka NN. Pegembaga berikut berlaku didalam NN. Adaika suatu kurva mulus (yaitu kurva yag dapat diyataka secara parametrik oleh dua fugsi yag dapat dideferesialka xx = (tt), yy = φφ(tt) pada iterval αα tt ββ) AA melewati da bahwa suatu titik berubah-ubah medekati sepajag AA. Dibawah ff, AA mempuyai bayaga AA pada bidag ww, da karea medekati sepajag AA, ww = ff() medekati ww = ff( ) sepajag AA. Maka karea ff ( ) ada, diketahui bahwa Yag dapat diugkapka dega artiya Implikasiya uuuuuuuuuu, ff ( ) = lim ww ww ww ww ff ( ) arg ww ww arg ff ( ) [arg(ww ww ) arg( )] arg ff ( ) Hubuga terakhir ii berlaku bagi kelipata ππ 3

132 Trasformasi Koformal Gambar. Pemetaa = αα + arg ff ( ) Dari gambar. diatas. Jika, garis seka SS meuju TT, yag merupaka garis siggug AA pada, yag kehadiraya dijami oleh defiisi kurva mulus. Dega melambagka sudut ikliasi TT dega αα, terlihat bahwa jjjjjjjj, arg( ) αα Sedagka pada bidag ww jjjjjjjj, ww ww Maka garis seka SS meuju TT, yag merupaka garis siggug AA pada ww. Dega melambagka sudut ikliasi TT dega terlihat bahwa jjjjjjaa, arg(w w ) Sehigga dega meggabugka persamaa-persamaa diatas diperoleh jjjjjjjj, ( αα) arg ff ( ) Dega megguaka limitya diperoleh = αα + arg ff ( ) Teorema Adaika bahwa ff() aalitik pada da bahwa ff ( ). Misalka AA adalah suatu kurva mulus melewati da misalka AA meujukka bayaga AA dibawah ff. Maka, jika sudut ikliasi AA pada adalah αα, maka sudut ikliasi AA pada ff( ) adalah αα + arg ff ( ) Joh D. Paliouras, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur (Jakarta: Erlagga, 987), 7 4

133 Trasformasi Koformal Dega istilah yag berbeda, teorema diatas megataka bahwa setiap kurva mulus yag melewati diputar dega sudut samadega arg ff ( ). Akibat dari teorema ii adalah sudut atara dua kurva mulus sebarag yag berpotoga pada aka tetap dalam besar da arahya oleh suatu pemetaa ff yag aalitik pada da yag turuaya tidak ol pada titik itu. Hal iilah yag dimaksud dega kesamaa sudut yag ditujukka di awal, da suatu fugsi yag memiliki sifat ii diamaka trasformasi serupa atau pemetaa serupa. Akibat Teorema Adaika bahwa ff() aalitik pada da bahwa ff ( ). Misalka AA da BB adalah dua kurva mulus yag berpotoga pada da membetuk sudut θθ diukur dari AA ke BB Maka, bayagaya, AA da BB, dibawah ff membetuk sudut yag diukur dari AA ke BB sebesar θθ. Secara sigkat, dibawah ff, sudut perpotoga atara AA da BB adalah tetap tak berubah dalam besar da arah. Akibat teorema ii terlihat jelas pada gambar. berikut: Gambar. Pemetaa Serupa Aspek geometrik pemetaa serupa bisa dilihat dari fugsi ww ww, ff ( ) Artiya, ww ww ff ( ) 5

134 Trasformasi Koformal Hal ii berarti, dalam limit ww ww merupaka kelipata kosta, dimaa kostata tersebut adalah bilaga yata positif ff ( ). Kostata kesebadiga ff ( ) diamaka rasio pembesara pada. Jadi setiap pajag dalam ligkuga yag kecil diperbesar dega faktor positif yag sama. Akhirya ff dikataka sebagai pemetaa yag memelihara skala pada dalam pegertia ifiitsimal. Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. si dapat diuraika mejadi. Aspek geometrik utama pada keserupaa ialah kesamaa sudut dalam besar da arahya. Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Guaka fugsi ww = titik yag sesuai da pilih dua kurva sebarag utuk meggambarka bahwa jika syarat ff ( ) tidak terpeuhi, maka keserupaa tidak terjadi. Buktika bahwa pemetaa liear ww = aaaa + bb, aa memutar setiap kurva pada bidag datar dega sudut sama dega arg aa Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 6

135 Deret Fugsi Kompleks Paket 3 DERET FUNGSI KOMPLEKS Pedahulua Perkuliaha pada paket ketigabelas ii difokuska pada deret fugsi kompleks. Seperti halya dalam bilaga riil, dalam bilaga kompleks juga dikeal istilah barisa da deret kompleks serta sifat-sifat kekovergeaya. Hal petig dalam bab ii yaitu setiap fugsi aalitik dapat disajika dalam deret pagkat (deret Taylor, deret MacLauri atau deret Lauret). Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai prasyarat utuk mempelajari paket-paket selajutya. Pada awal Paket 3 ii, mahasiswa diajak megeal kembali barisa da deret. Selajutya dibahas tetag deret pagkat, jari-jari kekovergea.. Setelah itu mahasiswa diajak utuk meyajika fugsi-fugsi aalitik dalam deret pagkat. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 7

136 Deret Fugsi Kompleks Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Meyajika Fugsi Aalitik dalam Deret Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Megerti defiisi barisa da deret pagkat beserta sifat kekovergeaya.. Meyajika fugsi aalitik dalam deret Taylor, deret MacLauri atau deret Lauret. Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Barisa. Deret 3. Koverge 4. Deret Taylor 5. Deret Maclauri 6. Deret Lauret Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi trasformasi koformal 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari sagat bermafaat utuk mempelajari materi berikutya 8

137 Deret Fugsi Kompleks Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 3.. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika teorema pemetaa serupa da akibat teorema Tujua Mahasiswa dapat memahami kosep pemetaa koformal dari teorema da akibat teorema yag diberika 9

138 Deret Fugsi Kompleks Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol Lagkah-lagkah kegiata. Masig kelompok medapatka tugas utuk meetuka deret MacLauri da deret Lauret dari a. f ( ) = 4 b. f ( ) = 4 + c. f ( ) =. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 3

139 Deret Fugsi Kompleks Uraia Materi DERET FUNGSI KOMPLEKS Barisa da Deret Bilaga Kompleks Barisa bilaga kompleks merupaka fugsi yag memetaka setiap bilaga bulat positif dega suatu bilaga kompleks. Notasi barisa bilaga kompleks : =,,,,. Barisa atau { } { }, 3 K koverge jika ada C sehigga lim =. Jika ε >, N sehigga < ε utuk. Seperti halya dalam barisa bilaga riil, pada bilaga kompleks berlaku beberapa teorema berikut. Teorema 3. Jika = x + i y dega x R da R a + ib = jika da haya jika ke b. y, maka koverge ke x koverge ke a da y koverge Teorem 3. Jika da w berturut-turut koverge ke da w, da c kostata kompleks, maka. w + koverge ke + w.. c koverge ke c. 3. w koverge ke w. 3

140 Deret Fugsi Kompleks 4. koverge ke asalka da utuk setiap. Diberika deret bilaga kompleks dega suku-suku deret yaitu =,, 3,K. Misalka, S = merupaka jumlah suku pertama S + = merupaka jumlah dua suku pertama S + M 3 = + 3 merupaka jumlah tiga suku pertama S = + + K + merupaka jumlah suku pertama Bilaga S meyataka jumlah deret di atas apabila deret = = = lim S koverge ke S jika da haya jika lim = S S. S = S. Jadi, da ditulis Teorema 3.3 Diberika deret bilaga kompleks dega = x + i y, x da = y bilaga riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :. =. = koverge x da = = koverge lim =. y koverge. 3

141 Deret Fugsi Kompleks 3. = koverge terdapat bilaga riil M sehigga M, N. 4. = koverge koverge. = Seperti dalam deret bilaga riil, kekovergea deret dapat diuji = dega beberapa uji kekovergea berikut.. koverge lim =. = lim diverge. =. = koverge = koverge mutlak. = koverge da = diverge = koverge bersyarat. 3. koverge mutlak koverge. = = 4. Uji Badig b da b koverge = = a da = 5. Ratio Test a diverge = koverge. diverge. 33

142 Deret Fugsi Kompleks + lim = L 6. Root Test lim = L 7. Deret Geometri Betuk umum : = q L <, L >, = = L =, uji L <, L >, diverge gagal = = L =, uji = + q + q Jika q < maka deret koverge. Jika q maka deret diverge. 8. Deret pp Betuk umum : = + L = + + p p p 3 Jika p < maka deret koverge. Jika p maka deret diverge. koverge diverge gagal + L koverge mutlak mutlak Deret Pagkat Deret pagkat dalam berbetuk : = a ( ) = a + a ( ) + a ( ) +L 34

143 Deret Fugsi Kompleks dega bilaga kompleks, bilaga kompleks sebarag yag disebut pusat deret, yaitu a a,, L kostata kompleks yag disebut koefisie deret., a Apabila diperoleh betuk khusus dari suatu deret pagkat dalam = = a = a + a + a +L Utuk setiap deret pagkat = a ) ( terdapat bilaga tuggal ρ dega ρ yag diamaka jari-jari kekovergea deret. Sedagka = ρ disebut ligkara kekovergea deret. Teorema 3.4 Misal diberika deret pagkat = a ) ( ρ maka ρ adalah jari-jari kekovergea. a. Jika lim = ρ, dega a + Teorema 3.5 Misal diberika deret pagkat = a ) ( ρ maka ρ adalah jari-jari kekovergea.. Jika lim = ρ, dega a Sifat jari-jari kekovergea deret pagkat.. Jika ρ = maka deret koverge haya di = (pusat deret).. Jika < ρ < maka deret koverge mutlak (atau koverge ) utuk setiap dega > ρ. < ρ da deret diverge utuk setiap dega 35

144 Deret Fugsi Kompleks 3. Jika ρ = maka deret koverge mutlak (atau koverge ) utuk setiap dega <. Deret Taylor da Maclauri Suatu fugsi f () tidak dapat direpresetasika dalam dua deret pagkat dega pusat deret yag sama. Apabila f () dapat diyataka dalam deret pagkat dega pusat, maka deret tersebut tuggal. Setiap fugsi aalitik dapat disajika dalam deret pagkat. Apabila f () aalitik di dalam ligkara C maka f () dapat disajika dalam deret Taylor atau deret MacLauri bergatug pada pusat deretya. C r f () aalitik di dalam C Gambar 3. Ligkara C dega pusat deret Jika f () aalitik di dalam ligkara C yag berpusat di da berjarijari r ( lihat Gambar 5. ), maka utuk setiap titik di dalam C berlaku ( ) f ( ) f ( ) f ( ) +! = = ( ). (3.) Persamaaa diatas disebut deret Taylor dari f () di sekitar titik Jika pada persamaa (3.), = maka utuk setiap titik di dalam C berlaku f f f ( ) () ( ) = () +. (3.)! = Persamaa ii disebut deret MacLauri dari f (). 36

145 Deret Fugsi Kompleks Deret Lauret Apabila f () tidak aalitik di, tetapi f () aalitik utuk setiap di dalam aulus R < < R, maka f () dapat diekspasi dalam deret Lauret. Jika f () aalitik di dalam aulus R < < R, da C sebarag litasa tertutup sederhaa di dalam aulus R < < R yag megeliligi, maka utuk setiap di dalam R < < R, f () dapat diyataka sebagai dega b f ( ) = (3.3) ) a b a ( ) + = = ( f ( ) =, = d + i C π ( ) = ( ) f i C π ( ) + d,,, K, =,,3, K Persamaa (5.) serig ditulis dega dega c = f ( ) = c ( ) (3.4) = ( ),,,, K f d = ± ± i ( ) C π + Ruas kaa persamaa (3.3) da (3.4) disebut deret Lauret f () dalam aulus R < < R. Apabila f () aalitik utuk < R, maka a f ( ) = i C + π ( ) ( d =! f ) da = ( ) f b d =, C π i ( ) + 37

146 Deret Fugsi Kompleks sehigga persamaa (3.3) mejadi deret Taylor f ( ) f ) ( ) = ( =! Jadi deret Taylor merupaka kejadia khusus dari deret Lauret. Cotoh 3. Tetuka deret MacLauri da deret Lauret dari f ( ) = ( )( ) Peyelesaia : f ( ) = = + ( )( ) ( ) ( ) Titik sigular f () yaitu = da =. Dibuat aulus < <, sehigga dapat diperoleh deret MacLauri utuk < da deret Lauret utuk < < da >. a. Deret MacLauri utuk <. f () aalitik utuk <, sehigga f ( ) = + ( ) ( ) = = = + =, < b. Deret Lauret utuk < <. f () aalitik utuk < <. f ( ) = +. ( ) ( ) 38

147 Deret Fugsi Kompleks < = < = = = + =,, = + = < = < = =,, Jadi,., ) ( ) ( ) )( ( ) ( < < = + = = = = + + f c. Deret Lauret utuk >. ) ( f aalitik utuk >. ) ( ) ( ) ( + = f.,, > = < = = = + = = + = > = < = =,, 39

148 Deret Fugsi Kompleks Jadi, f ( ) = = + ( )( ) ( ) ( ) =, > + + = =. Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut.. Setiap fugsi aalitik dapat disajika dalam deret pagkat (deret Taylor, deret MacLauri atau deret Lauret) bergatug pada pusat deretya.. Apabila f () tidak aalitik di, tetapi f () aalitik utuk setiap di dalam aulus R < < R, maka f () dapat diekspasi dalam deret Lauret. Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Tetuka jari-jari kekovergea deret a. = 3 + ( + i) b. = + ( + )!. Tetuka deret Taylor dari fugsi berikut dega pusat deret. a. b. f ( ) =, = + i + f ( ) =, = + 3i c. f = ( ), = + i 4 3 4

149 Deret Fugsi Kompleks 3. Ekspasika fugsi berikut dalam deret Lauret dega pusat deret di. a. f ( ) =, = i + b. f ( ) = ( + ), = + + i c. f ( ) =, = i ( + i) Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 4

150 Deret Fugsi Kompleks 4

151 Itegral Fugsi Kompleks Paket 4 INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Pedahulua Perkuliaha pada paket keempatbelas ii difokuska pada itegral fugsi kompleks. Seperti halya dalam fugsi riil, dalam fugsi kompleks juga dikeal istilah itegral fugsi kompleks serta sifat-sifatya. Sifat keaalitika suatu fugsi dalam suatu litasa tertutup petig dalam perhituga itegral. Oleh karea itu pemahama terhadap materi ii petig utuk ditekaka sebagai bekal utuk mempelajari ilmu-ilmu terapa. Pada awal Paket 4 ii, mahasiswa diajak megeal kembali litasa kurva mulus. Selajutya dibahas tetag itegral garis, itegral litasa. Setelah itu mahasiswa diajak utuk megeksplor lebih jauh lagi yaitu tetag itegral Cauchy da modulus maksimum. Proses perkuliaha didesai dega model kooperatif agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi utuk terlibat secara aktif dalam perkuliaha. Lembar kegiata yag diguaka terdapat beberapa permasalaha yag dikerjaka secara idividu, kemudia didiskusika secara berpasaga, kemudia dipresetasika di depa kelas. Peyiapa media pembelajara dalam perkuliaha ii sagat petig. Perkuliaha ii memerluka media pembelajara berupa LCD da laptop sebagai salah satu media pembelajara yag dapat megefektifka perkuliaha, serta kertas plao, spidol da solasi sebagai alat meuagka hasil diskusi kelompok. Lagkah tersebut diupayaka utuk meggali ide-ide da potesi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam mejali komuikasi sosial yag lebih efektif. Dari sii, peta pegetahua da keterampila sosial mereka aka diketahui utuk kemudia dilakuka diskusi da simulasi perkuliaha. Pegguaaa multi media dalam perkuliaha juga diharapka utuk megoptimalisasi pecapaia kompetesi dasar da idikator yag telah ditargetka. 43

152 Itegral Fugsi Kompleks Recaa Pelaksaaa Perkuliaha Kompetesi Dasar Mejelaska kosep itegral fugsi kompleks Idikator Pada akhir perkuliaha mahasiswa-mahasiswi diharapka mampu:. Meghitug itegral fugsi kompleks Waktu 3x5 meit Materi Pokok Materi pada paket ii meliputi:. Kurva Mulus. Litasa 3. Itegral Cauchy 4. Modulus Maksimum 5. Itegral fugsi kompleks Lagkah-lagkah Perkuliaha Kegiata Awal (35 meit). Mejelaska kompetesi dasar. Mejelaska idikator 3. Apersepsi trasformasi itegral 4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yag aka dipelajari merupaka materi terakhir da merupaka materi yag aka bergua utuk studi lajut Kegiata Iti ( meit). Dose mejelaska beberapa kosep petig yag diperluka dalam meyelesaika LK. Mahasiswa meyimak pejelasa dose dega batua uraia materi pada paket 4. 44

153 Itegral Fugsi Kompleks. Dose membagi memita mahasiswa berkumpul dega kelompokya utuk mediskusika bagaimaa kosep pemetaa da trasformasi pada fugsi kompleks sesuai dega lagkah-lagkah yag ada di LK. 3. Dose membimbig mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa berdiskusi dega aggotaya da bertaya pada dose jika ada materi yag tidak dipahami. Masig-masig pasaga harus bear-bear memahami keseluruha hasil diskusi karea perwakila pasaga aka presetasi di depa kelas dipihak secara acak. 4. Dose memaggil aggota dega o.urut tertetu pada salah satu kelompok utuk mempresetasika hasil diskusiya. 5. Selesai presetasi, kelompok lai memberika klarifikasi 6. Peguata hasil diskusi dari dose 7. Dose memberi kesempata kepada mahasiswa utuk meayaka sesuatu yag belum paham atau meyampaika kofirmasi Kegiata Peutup ( meit). Meyimpulka hasil perkuliaha. Memberi doroga psikologis/sara/asehat 3. Refleksi hasil perkuliaha oleh mahasiswa Kegiata Tidak Lajut (5 meit). Memberi tugas latiha. Mempersiapka perkuliaha selajutya. Lembar Kegiata Mahasiswa Membuktika teorema pemetaa serupa da akibat teorema Tujua Mahasiswa dapat memahami kosep pemetaa koformal dari teorema da akibat teorema yag diberika Baha da alat Lembar kegiata, kertas HVS, Kertas Plao, Spidol Lagkah-lagkah kegiata 45

154 Itegral Fugsi Kompleks. Masig kelompok medapatka tugas utuk megeksplorasi teoremateorema dalam itegral kompleks da cotohya a. Teorema 4.4 b. Teorema 4.5 c. Teorema 4.6 d. Teorema 4.7 e. Teorema 4.8 f. Teorema 4.9. Secara berkelompok mediskusika permasalaha yag diberika. 3. Kelompok yag medapatka gilira mempresetasika hasil diskusiya didepa kelas. 46

155 Itegral Fugsi Kompleks Uraia Materi INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Fugsi kompleks dari variabel riil Misalka F (t) adalah fugsi kompleks dari variabel riil t, ditulis sebagai F ( t) = u( t) + i v( t) dega u (t) da v (t) adalah fugsi riil. Jika u (t) da v (t) kotiu pada iterval tertutup a t b, maka b t) dt = u( t) dt + i a b F ( v( t) dt. a Sifat-sifat itegral fugsi kompleks sebagai berikut:. b b Re F( t) dt = ( F t ) dt a Re ( ) a. b b Im F( t) dt = ( F t ) dt a Im ( ) a 3. b b k F( t) dt = k F t dt a ( ) a 4. b a F( t) dt = F( t) dt a b b b 5. F( t) dt = F( t) dt a a Litasa Jika g da h fugsi berilai riil da kotiu dari variabel t dalam iterval tertutup a t b, maka himpua titik-titik di bidag xy dapat diyataka dalam betuk parametrik x = g(t), y = h(t), a t b. Oleh karea itu, himpua titik-titik dalam bidag kompleks juga dapat diyataka dalam betuk parametrik. b a Defiisi 4. Kurva di bidag datar merupaka kurva mulus (smooth curve) jika da haya jika kurva tersebut dapat diyaka dega dua fugsi berilai riil 47

156 Itegral Fugsi Kompleks x = g( t), y = h( t), α t β sedemikia sehigga dx g' ( t) dy = da = h' ( t ) ada da kotiu dalam dt dt iterval α t β. Kurva dega betuk parametrik merupaka cotoh kurva mulus. maka 3π x = cost, y = si t, t Jika C merupaka kurva mulus dega betuk parametrik : x = g( t), y = h( t), α t β titik pada C yag berpadaa dega t = α disebut titik awal C. titik pada C yag berpadaa dega t = β disebut titik akhir C. Selajutya, C disebut litasa (path) bila C terdiri dari berhigga bayak kurva mulus, C = C + C + L + C dega C, C, L, C merupaka kurva mulus. Pegertia litasa ii sagat petig dalam itegral fugsi kompleks karea berpera sebagai selag pegitegrala dalam itegral fugsi riil dari satu variabel. Catata :. C disebut litasa tertutup jika titik akhir C berhimpit dega titik awal C.. C disebut litasa terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dega titik awal C. 3. C disebut litasa sederhaa jika litasa tidak memotog diriya sediri. 4. C disebut litasa bergada jika litasa memotog diriya sediri. 48

157 Itegral Fugsi Kompleks C C C 3 a. Litasa tertutup C C C 3 b. Litasa terbuka c. Litasa sederhaa d. Litasa bergada Gambar 4. Cotoh Litasa Teorema 4. Jika C litasa tertutup sederhaa di bidag datar, maka bidag datar itu dibagi oleh C mejadi 3 bagia, yaitu. Kurva C.. Bagia dalam C, ditulis It (C), yag merupaka himpua terbuka da terbatas. 3. Bagia luar C, ditulis Ext (C), yag merupaka himpua terbuka da tidak terbatas. Kurva C merupaka batas dari himpua It (C) da Ext (C). Itegral Garis Misalka kurva mulus C disajika dega x = g(t), y = h(t), a t b. g (t) da h (t) kotiu di a t b. g '( t) da h '( t) kotiu di a t b. Kurva C mempuyai arah dari titik awal A ( g( a), h( a)) ke titik akhir B ( g( b), h( b)) da P( x, y) suatu fugsi yag terdefiisi di C. Teorema 4.. Jika P( x, y) kotiu di C, maka P ( x, y) dx da C P ( x, y) dy C ada da 49

158 Itegral Fugsi Kompleks B. ( x, y) dx = A ( x, y) dx = b C a C P P[ g( t), h( t) ] g' ( t) dt P ( x, y) dy P[ g( t), h( t)] h'( t) dt A B = b a P P( x, y) dx 3. Jika P( x, y) da Q ( x, y) kotiu di C, maka { P( x, y) dx Q( x, y dx} x, y) dx + Q( x, y) dx = + P ( ). C C C Teorema 4.3 Jika P( x, y) da Q ( x, y) serta turua parsial tigkat pertama kotiu pada seluruh daerah tertutup R yag dibatasi litasa tertutup C, maka Q P { P dx + Q dy} = dx dy C x y. R Cotoh 4. Tetuka itegral garis fugsi M ( x, y) = x + y sepajag litasa C + K dega C : garis dari (,) ke (,) da K : garis dari (,) ke (,). Peyelesaia : dx =. (,) C (,) (,) C : y =, x K K : x =, y Pada kurva C : dy = da pada kurva K : C+ K M ( x, y) dx = = C C M ( x, y) dx + ( x + y) dx K M ( x, y) dx 5

159 Itegral Fugsi Kompleks C+ K M ( x, y) dy = = x dx =. = C K M ( x, y) dy + ( x + y) dy ( + y ) dx = 6 = K M ( x, y) dy Itegral Litasa Kompleks dega Diberika litasa C dalam betuk parametrik x = g(t), y = h(t) kotiu di a t b. g (t) da h (t) kotiu di a t b. g '( t) da h '( t) a t b. Jika = x + i y, maka titik-titik terletak C. Arah pada kurva C ( g ( a), h( a)) ke ( g( b), h( b)) atau dari = α sampai = β dega α = ( g( a), h( a)) da β = ( g( b), h( b)). Defiisi 4. Diberika fugsi f ( ) = u( x, y) + i v( x, y) dega u da v fugsi dari t yag kotiu sepotog-potog pada sepajag litasa C dega arah dari β a t b. Itegral fugsi f () = α sampai = β adalah [ g( t) + i h( t) ] { g'( t) i h'( t } ( ) d = f + α b f ) a dt Sifat sifat itegral litasa kompleks β. ( ) d = α α f f ( ) d. k f ( ) d = k f ( ) d C 3. [ ( ) + g( ) ] d = f ( ) d + C β C f g( ) d C C 5

160 Itegral Fugsi Kompleks Cotoh 4. Hitug e d jika γ : garis lurus dari = γ ke = + i Peyelesaia : = = + i (,) (,). Persamaa garis γ : y = da mempuyai betuk parametrik : x = g( t) = t y = h( t) =, t [, ] Dari persamaa diatas diperoleh : Karea = g( t) + i h( t) = t + i { g' ( t) + i h'( t) } dt = dt d =. Sehigga, γ f ( ) = e maka f [ g( t) i h( t) ] e Itegral Cauchy d = = ( t + i) e ( t+ i) f ( t i) ( t i) e ( t+ i) + = + = +. dt ( t+ i) ( t + i) e dt (guaka subtitusi : u = ( t + i) ) 3+ 4i [ e ] = e Teorema 4.4 (Teorema Cauchy). Jika f () aalitik da f '( ) kotiu di dalam da pada litasa tertutup sederhaa C, maka f ( ) d =. C C f () aalitik da f '( ) kotiu 5

161 Itegral Fugsi Kompleks Teorema 4.5 (Teorema Cauchy Goursat) Jika f () aalitik di dalam da pada litasa tertutup sederhaa C, maka f ( ) d =. C C f () aalitik Teorema 4.6 Jika fugsi f () aalitik di seluruh domai terhubug sederhaa D, maka utuk setiap litasa tertutup C di dalam D, berlaku f ( ) d =. Teorema 4.7 Diberika suatu litasa tertutup C, sedagka C C, C, K, C adalah litasa-litasa tertutup yag terletak di iterior C sedemikia sehigga C, C, K, tidak salig berpotoga. Jika fugsi f () aalitik di dalam C daerah tertutup yag terdiri dari titik-titik pada C da titik-titik di dalam C, kecuali titik-titik iterior C, C, K, C, maka f ) d = f ( ) d + f ( ) d + + ( L f ( ) d. C C C C C C f () tidak aalitik f () aalitik Cotoh 4. 53

162 Itegral Fugsi Kompleks Hitug C Peyelesaia : d, jika C : =. ( 3) f ( ) = tidak aalitik di = 3 yag berada di dalam iterior C. 3 Dibuat litasa tertutup C di dalam C berpusat di = 3 yaitu C : 3 =. Diperoleh i t = 3 + e, π Meurut Teorema Cauchy Goursat yag diperluas, d d 3 = C ( 3) C ( = = i π π = π i. ) i e dt i t e i t dt t t da d = e i dt. Itegral Tetu da Itegral Tak Tetu Jika fugsi f aalitik di dalam domai terhubug sederhaa D, maka F( ) f ( ξ ) dξ mempuyai turua utuk setiap titik di dalam D = dega F '( ) = f ( ), asalka litasa pegitegrala dari ke seluruhya terletak di dalam D. Jadi F () juga aalitik di dalam D. Teorema 4.8 Jika α da β di dalam D, maka D β α f ( ) d = F( β ) F( α). 54

163 Itegral Fugsi Kompleks α f () aalitik β Teorema 4.9 Rumus Itegral Cauchy Jika f () aalitik di dalam da pada litasa tertutup C da sebarag titik di dalam C, maka atau f ( ) = π i C f ( ) d f ( ) d = π i. f ( ). C C f () aalitik Turua Fugsi Aalitik f ( ) f ( ) f '( ) = d. '( ) i C π ( ) d = π i f C ( )! f ( ) f ( ) π i f ''( ) = d d. f ''( ) i C 3 3 π ( ) = C ( )! M! f ( ) = C + π i ( ) f ( ) Cotoh 4. d Hitug C 3 dega = Peyelesaia : f ( ) π i d d =. f ( ) C + ( )! 55

164 Itegral Fugsi Kompleks Diambil : f ( ) = ( f () aalitik di dalam da pada C ) = 3 di dalam C. f ( ) = f (3) = Megguaka rumus itegral Cauchy, diperoleh d = π i. f ( ) π i. = π i C 3 =. Cotoh 4.3 Hitug C 3 d ( ) dega C : 3 =. Peyelesaia : Diambil : f ( ) = ( f () aalitik di dalam da pada C ) 3 = di dalam C. 3 3 f '( ) = f '( ) '() 4 = f =. 6 Megguaka turua fugsi aalitik, diperoleh d π i π i 3 3 =. f ( ) =.( ) = π i. C 3 ( )! 6 8 Teorema 4. Teorema Morera Jika f () kotiu dalam domai terhubug D da utuk setiap litasa tertutup C dalam D berlaku f ( ) d =, maka f () aalitik di seluruh D. C Teorema 4. Jika f () aalitik da f () terbatas di seluruh bidag kompleks, maka f () adalah suatu fugsi kosta Modulus Maksimum 56

165 Itegral Fugsi Kompleks Jika f () aalitik da M ilai maksimum dari f () utuk di dalam :, da jika f ( ) = M, maka f () kosta di daerah D { r } = seluruh daerah D. Akibatya, jika f () aalitik da tidak kosta pada D, maka f ( ) < M. Prisip Modulus Maksimum Jika fugsi tak kosta f () aalitik di, maka di setiap kitar dari, terdapat titik da f ( ) < f ( ). Teorema 4.3 Teorema Modulus Maksimum Jika f () aalitik di dalam da pada litasa tertutup sederhaa C, da f () tidak kosta, maka f () mecapai ilai maksimum di suatu titik pada C, yaitu pada perbatasa daerah itu da tidak di titik iterior. Teorema 4.3 Ketaksamaa Cauchy Jika f () aalitik di dalam da pada litasa tertutup sederhaa C : = r, da f () terbatas pada C, f ( ) M, C maka f! M ( ), =,,,K r Ragkuma Dari berbagai papara di atas, maka pada bagia ii dapat dikerucutka dalam beberapa kesimpula sebagai berikut. 57

166 Itegral Fugsi Kompleks. Sifat keaalitika fugsi kompleks di dalam da pada suatu litasa tertutup merupaka hal yag harus diperhatika dalam perhituga itegral fugsi kompleks. Latiha Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii!. Hitug e d jika γ : kurva y = x dari γ = + i =.. Hitug f ( ) d jika C 3 f ( ) = dega : C setegah ligkara = dari = i ke = i. 3. Hitug itegral fugsi f () sepajag litasa tertutup C berikut : e a. f ( ) =, C : = (couterclockwise). (4 + π i) b. f e ) = ( ) ( ( + 4), C : ellips x + 4y = 4 (couterclockwise). L ( + 3) + cos c. f ( ) =, C : segiempat dega titik-titik ( + ) sudut = ± da = ± i (couterclockwise). 3 3 d. f ( ) =, C : terdiri dari = ( i) (couterclockwise) da = (clockwiswe). ( + )si e. f ( ) =, C : i = (couterclockwise). ( ) e f. f ( ) =, C : segiempat dega titik-titik sudut ( i) = ±3 ± 3i (couterclockwise) da = (clockwiswe). 58

167 Itegral Fugsi Kompleks 3 + si g. f ( ) =, C : segitiga dega titik-titik sudut 3 ( i) = ±, = i (couterclockwise). Daftar Pustaka Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Paliouras. Joh D, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 59

168 Sistem Evaluasi da Peilaia SISTEM EVALUASI DAN PENILAIAN A. Proses Peilaia Perkuliaha Pegambila ilai dalam mata kuliah Fugsi Kompleks ii megguaka Sistem Evaluasi Peilaia sebagaimaa dalam Buku Padua Peyeleggaraa Pedidika IAIN Sua Ampel Tahu 3 yag terdiri atas 4 macam peilaia:. Ujia Tegah Semester (UTS) UTS dapat dilaksaaka setelah mahasiswa meguasai miimal 7 paket I baha perkuliaha (paket 7). Materi UTS diambil dari pecapaia idikator pada tiap-tiap paket. Betuk soal dapat berupa piliha gada, essay, atau perpadua atara keduaya. Waktu ujia jam ( meit). Kompoe da jumlah soal diserahka kepada Dose pegampu matakuliah dega skor maksimal.. Tugas Tugas merupaka produk (hasil kreatifitas) mahasiswa dari keuggula potesi utama yag ada dalam diriya. Hasil kreatifitas dapat disusu secara idividual atau kelompok yag bersifat futuristik da memberi mafaat bagi orag lai (bagsa da egara). Petujuk cara megerjaka tugas secara lebih rici diserahka kepada Dose pegampu. Skor tugas mahasiswa maksimal. 3. Ujia Akhir Semester (UAS) UAS dapat dilaksaaka setelah mahasiswa meguasai miimal 7 paket II baha perkuliaha (paket 8 4). Materi UAS diambil dari pecapaia idikator pada tiap-tiap paket. Betuk soal dapat berupa piliha gada, essay, atau perpadua atara keduaya. Waktu ujia jam ( meit). Kompoe da jumlah soal diserahka kepada Dose pegampu matakuliah dega skor maksimal. 4. Performace Performace, merupaka catata-catata keaktifa mahasiswa dalam megikuti perkuliaha mulai pertemua pertama higga pertemua terakhir atara 4 6 pertemua. Dose dapat memberi catata pada setiap proses perkuliaha kepada masig-masig mahasiswa dega megamati: () ketepata waktu kehadira dalam perkuliaha, () 6

169 Sistem Evaluasi da Peilaia peguasaa materi (3) kualitas ide/respo terhadap materi yag dikaji, da lai-lai (Dose dapat meambah hal-hal lai yag perlu diamati). Dose merekap seluruh catata selama perkuliaha, da memberi peilaia performace pada masig-masig mahasiswa dega skor maksimal. Dose dapat megcopy abse perkuliaha, utuk memberi catatacatata peilaia performace atau membuat format sediri. Catata peilaia performace tidak diperkeaka lagsug di dalam abse perkuliaha mahasiswa. B. Nilai Matakuliah Akhir Semester Nilai matakuliah akhir semester adalah perpadua atara Ujia Tegah Semester (UTS) %, Tugas 3 %, Ujia Akhir Semester (UAS) 4 %, da Performace %. Nilai matakuliah akhir semester diyataka dega agka yag mempuyai status tertetu, sebagaimaa dalam tabel berikut. Agka Iterval Skor (skala 4) Huruf Keteraga Skor (skala ) 9 3,76 4, A+ Lulus ,5 3,75 A Lulus ,6 3,5 A- Lulus , 3,5 B+ Lulus 7 75,76 3, B Lulus ,5,75 B- Lulus 6 65,6,5 C+ Lulus 56 6,,5 C Lulus 5 55,76, C- Tidak Lulus 4 5,75 D Tidak Lulus < 39 E Tidak Lulus 6

170 Sistem Evaluasi da Peilaia Keteraga: a. Nilai huruf C- da D pada matakuliah akhir semester harus diulag dega memprogram kembali pada semester berikutya b. Nilai huruf C da C+ boleh diperbaiki dega ketetua harus memprogram ulag da ilai huruf semula diyataka hagus/gugur c. Rumus meghitug ilai matakuliah (NMK) akhir semester: NMK = (NUTSx)+(NTx3)+(NUASx4)+(NPx) NMK = Nilai Matakuliah NUTS = Nilai Ujia Tegah Semester NT = Nilai Tugas NUAS = Nilai Ujia Akhir Semester NP = Nilai Performace d. NMK bisa dihitug apabila terdiri dari empat kompoe SKS, yaitu: UTS, Tugas, UAS, da performace. Apabila salah satu kosog (tidak diikuti oleh mahasiswa), maka ilai akhir tidak bisa diperoleh, kecuali salah satuya medapat ol (mahasiswa megikuti proses peilaia aka tetapi ilaiya ol), maka ilai akhir bisa diperoleh. e. Nilai akhir matakuliah, ditulis ilai bulat ditambah agka di belakag koma. Cotoh: 3,.,8, dst. 63

171 Daftar Pustaka DAFTAR PUSTAKA Freitag, Eberhard da Busam, Rolf. Complex Aalysis. Heidelberg: Spriger, 5. Huybrechts, Daiel. Complex Geometry a Itroductio. Berli: Spriger, 5 Jurusa Matematika ITS. Seri Buku Ajar Kalkulus. Surabaya: Jurusa Matematika FMIPA, 5. Paliouras. Joh D. Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur. Jakarta: Erlagga, 987. Saff, E.B ad A.D Sider. Fudametals of complex Aalysis with Apllicatio to Egieerig ad Sciece, New Jersey: Pearso Educatio Ic, 3 Wegeer, Igo. Complexity Theory Explorig the Limits of Efficiet Algorithms. Berli: Spriger, 5 65

172 CV Peulis CURRICULUM VITAE TIM PENULIS AHMAD LUBAB, M.Si, lahir di Tuba 8 Nopember 98. Pedidika dasar, meegah, da atas diselesaika di Tuba. Pedidika tiggi S- ditempuh di Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam (MIPA) Istitut Tekologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya (5), kemudia melajutka S- di Pascasarjaa ITS Surabaya jurusa Matematika (9). Karya ilmiah yag telah dipublikasika atara lai: Sistem diamik dega fuy umber (9), Kalkulus (), Aalisis Vektor (). 67