PAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik

Transkripsi

1 Pendahuluan PAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/ Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

2 Permasalahan Pendahuluan Permasalahan Motivasi Bagaimana menghitung hampiran dari f (x)? Bagaimana menghitung hampiran dari f (x),f (x),...f (n) (x)? Bagaimana menghitung hampiran dari turunan parsial, misalnya f(x, t)/ x? 2 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

3 Motivasi Pendahuluan Permasalahan Motivasi Banyak sekali fenomena alam yang dimodelkan oleh persamaan matematika yang melibatkan turunan (persamaan diferensial). Contoh:... Untuk masalah-masalah yang lebih realistis, model matematika (persamaan diferensial) yang dihasilkan sulit/tidak ada penyelesaian eksaknya. Dengan demikian diperlukan pendekatan numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut dengan mencari hampiran turunannya terlebih dahulu. 3 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

4 Teorema Taylor Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Teorema Taylor Misalkan n N, I = [a,b], dan f : I R sedemikian sehingga f dan turunannya f,f,...,f (n) kontinu pada I dan f (n+1) ada pada (a,b). Jika x I, maka untuk sebarang x I terdapat titik c di antara x dan x sedemikian sehingga f(x) = f( x)+f ( x)(x x)+ f ( x) (x x) 2 2! + + f (n) ( x) (x x) n + f (n+1) (c) n! (n+1)! (x x)n+1. (1) Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil. 4 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

5 Teorema Taylor Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Pers. (1) dapat juga ditulis dengan [tunjukkan!] f(x +h) = f(x)+hf (x)+ h2 2! f (x)+ + hn n! f (n) (x) + hn+1 (n+1)! f (n+1) (x +θh), 0 < θ < 1. (2) Untuk selanjutnya ditulis h n+1 (n+1)! f (n+1) (x +θh) = O(h n+1 ) dan suku ini disebut galat pemotongan orde h n+1. Perhatikan bahwa untuk h 1, galat O(h n+1 ) 0 bilamana n 5 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

6 Pendahuluan Konstruksi awal metode beda hingga Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Salah satu metode yang biasa digunakan untuk menghitung hampiran turunan adalah metode beda hingga (finite difference). Pada metode ini, variabel domain x dipartisi atas sejumlah titik partisi dengan lebar selang yang sama. Misalkan x [a,b] dipartisi atas N +1 titik partisi dengan lebar selang h. Dengan demikian titik-titik partisinya adalah x i = a+ih,i = 0,1,...,N. Dalam hal ini x 0 = a dan x N = b. Selanjutnya nilai fungsi di masing-masing titik partisi ditulis f i = f(x i ). 6 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

7 Ilustrasi untuk N = 6 Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi 7 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

8 Jenis beda hingga Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Ada tiga jenis beda hingga yang biasa digunakan: 1 Beda maju (forward difference) Hampiran menggunakan informasi di titik x i dan beberapa titik di kanannya, yaitu x i+1,x i+2,... 2 Beda mundur (back difference) Hampiran menggunakan informasi di titik x i dan beberapa titik di kirinya, yaitu...,x i 2,x i 1. 3 Beda pusat/tengah (central difference) Hampiran menggunakan informasi di titik x i dan beberapa titik di kiri dan kanannya secara simetris (sama banyak). 8 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

9 Beda maju Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Dari pers. (2) dapat ditulis atau f(x +h) = f(x)+hf (x)+o(h 2 ), f (x) = f(x +h) f(x) h +O(h). Jadi rumus beda maju untuk f (x) diberikan oleh f (x) f(x +h) f(x), h dengan galat O(h). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapat ditulis f i f i+1 f i, h 9 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

10 Beda mundur Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Dari pers. (2) dapat ditulis atau f(x h) = f(x) hf (x)+o(h 2 ), f (x) = f(x) f(x h) h +O(h). Jadi rumus beda mundur untuk f (x) diberikan oleh f (x) f(x) f(x h), h dengan galat O(h). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapat ditulis f i f i f i 1, h 10 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

11 Beda pusat Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Perhatikan bahwa f(x +h) = f(x)+hf (x)+ h2 2! f (x)+o(h 3 ), f(x h) = f(x) hf (x)+ h2 2! f (x)+o(h 3 ). Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah, diperoleh f f(x +h) f(x h) (x) = +O(h 2 ). 2h Jadi rumus beda pusat untuk f (x) diberikan oleh f f(x +h) f(x h) (x), 2h dengan galat O(h 2 ). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapat ditulis i f i+1 f i 1, 2h f 11 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

12 Catatan (1) Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Dalam hal galat yang dihasilkan, beda pusat lebih baik daripada beda maju dan beda mundur. Namun untuk beberapa kasus tertentu (misalnya pada masalah nilai batas), beda maju atau beda mundur lebih tepat digunakan daripada beda pusat. Untuk memperkecil galat atau meningkatkan orde ketelitian, tambahkan deret Taylor untuk titik-titik sebelum atau sesudahnya dua tingkat atau lebih, dan eliminasi suku-suku yang sesuai. Semakin banyak keterlibatan titik-titik sebelum dan sesudahnya, semakin kecil galat yang dihasilkan. Tetapi hal itu harus dibayar dengan semakin berat beban komputasi yang dibutuhkan. 12 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

13 Catatan (2) Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Sebagai contoh, beda maju untuk f (x) dengan galat O(h 2 ) dapat diformulasi dengan menggunakan kedua persamaan f(x +h) = f(x)+hf (x)+ h2 2! f (x)+o(h 3 ), f(x +2h) = f(x)+2hf (x)+ 4h2 2! f (x)+o(h 3 ), dan eliminasi f (x), sehingga diperoleh [tunjukkan!] f (x) = 3f(x)+4f(x +h) f(x +2h) 2h +O(h 2 ). Koefisien rumus beda hingga untuk beberapa orde ketelitian dapat dilihat di difference coefficient Ada beberapa metode alternatif untuk memformulasi hampiran turunan dengan ketelitian yang lebih tinggi tetapi dengan beban komputasi yang lebih ringan, salah satunya adalah metode spektral (tidak dipelajari dalam kuliah ini). 13 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

14 Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Beda hingga untuk turunan tingkat tinggi Hampiran turunan tingkat tinggi dari f(x), yaitu f,f,f (4), dst dapat dicari dengan menambahkan deret Taylor untuk titik-titik sebelum atau sesudahnya dua tingkat atau lebih, dan mengikutsertakan suku-suku turunan yang lebih tinggi, serta mengeliminasi suku-suku yang sesuai. Sebagai contoh, beda pusat untuk f (x) diformulasi dengan menggunakan kedua persamaan f(x +h) = f(x)+hf (x)+ h2 2! f (x)+ h3 3! f (x)+o(h 4 ), f(x h) = f(x) hf (x)+ h2 2! f (x) h3 3! f (x)+o(h 4 ), dan eliminasi f (x), sehingga diperoleh [tunjukkan!] f (x) = f(x +h) 2f(x)+f(x h) h 2 +O(h 2 ). 14 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

15 Catatan (3) Pendahuluan Dasar Teori dan Konstruksi Awal Jenis Beda Hingga dan Rumusnya Turunan Tingkat Tinggi Sama halnya pada turunan pertama, hampiran turunan tingkat tinggi dapat ditingkatkan orde ketelitiannya dengan memperbanyak keterlibatan titik-titik sebelum dan sesudahnya, namun hal itu mengakibatkan semakin berat beban komputasi yang dibutuhkan (metode alternatif untuk mengatasi hal ini tidak dipelajari di kuliah ini). Secara umum, algoritma untuk membangkitkan rumus beda hingga (maju, mundur, dan pusat) untuk turunan ke-n dari f(x) dan untuk orde ketelitan ke-m diberikan oleh Bengt Fornberg [Fornberg, Bengt (1988), Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids, Mathematics of Computation 51 (184): ]. Beberapa di antaranya dapat dilihat di difference coefficient. 15 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

16 Pendahuluan - motivasi Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h 2 ) adalah f (x) f(x +h) f(x h) 2h Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h 4 ) adalah... Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h 2n ) adalah... Apakah ada cara sistematis (iteratif) untuk memperoleh rumus hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h 2n )? 16 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

17 Pendahuluan - ide Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h 2 ): Untuk selang h adalah f (x) = D 0 (h) h2 f (x) 6 dengan D 0 (h) = f(x+h) f(x h) 2h. Untuk selang 2h adalah f (x) = D 0 (2h) 4h2 f (x) 6 +O(h 4 ), +O(h 4 ), dengan D 0 (2h) = f(x+2h) f(x 2h) 4h, Eliminasi suku yang memuat f (x), diperoleh [tunjukkan!] f (x) = D 1 (h)+o(h 4 ), dengan D 1 (h) = f(x 2h) 8f(x h)+8f(x+h) f(x+2h) 12h. 17 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

18 Pendahuluan - definisi Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan Perhatikan bahwa rumus D 1 (h) pada persamaan sebelumnya sama persis dengan rumus hampiran turunan beda pusat orde O(h 4 ) yang diperoleh dari deret Taylor. [periksa!] Metode untuk memperoleh rumus hampiran turunan dengan orde yang lebih tinggi dari hampiran dengan orde yang lebih rendah disebut dengan ekstrapolasi. Metode tersebut dikembangkan oleh Lewis Fry Richardson di awal abad 20, sehingga metode tersebut kemudian dikenal dengan ekstrapolasi Richardson 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

19 Pendahuluan - teorema Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan Teorema Misalkan D k 1 (h) dan D k 1 (2h) adalah dua hampiran untuk f (x) dengan orde O(h 2k ), yaitu f (x) = D k 1 (h)+h 2k C(x)+O(h 2k+2 ), f (x) = D k 1 (2h)+4 k h 2k C(x)+O(h 2k+2 ). Maka perbaikan dari hampiran f (x) diberikan oleh f (x) = D k (h)+o(h 2k+2 ) = 4k D k 1 (h) D k 1 (2h) 4 k 1 +O(h 2k+2 ). (3) Perhatikan bahwa rumus (3) melibatkan nilai fungsi pada selang yang semakin menjauh dari x, yaitu menggunakan hampiran pada selang h dan 2h. 19 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

20 Pendahuluan Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan - memperhalus selang partisi Rumus (3) dapat dimodifikasi dengan memperhalus selang. Perhalus selang h menjadi h/2, sehingga diperoleh [tunjukkan!] D k (h/2) = D k 1 (h/2)+ D k 1(h/2) D k 1 (h) 4 k. 1 Perhalus selang h/2 menjadi (h/2)/2 = h/2 2, sehingga diperoleh D k (h/2 2 ) = D k 1 (h/2 2 )+ D k 1(h/2 2 ) D k 1 (h/2) 4 k. 1 Lakukan sampai selang menjadi h/2 j, sehingga diperoleh D k (h/2 j ) = D k 1 (h/2 j )+ D k 1(h/2 j ) D k 1 (h/2 j 1 ) 4 k Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

21 Pendahuluan Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan - penerapan Dalam notasi indeks, persamaan terakhir dapat ditulis D(j,k) = D(j,k 1)+ D(j,k 1) D(j 1,k 1) 4 k, 1 dimana k terkait dengan orde dan j terkait dengan lebar selang. Jadi, untuk menghitung f (x) dengan ekstrapolasi Richardson, mulai dengan lebar selang h kemudian diperhalus menjadi setengahnya, dan seterusnya. Turunan diperoleh pada saat j = k. Nilai-nilai D(j, k) dapat disusun dalam bentuk matriks segitiga bawah: D(0, 0) D(1,0) D(1,1) D(2,0) D(2,1) D(2,2) Algoritma? Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

22 Pendahuluan - algoritma Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan 22 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

23 Pendahuluan - contoh Motivasi dan Definisi Teorema dan Penerapan 23 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

24 Pendahuluan Turunan parsial pertama Pertama Kedua (Campuran) Turunan parsial pertama dapat dihitung secara numerik dengan menggunakan metode beda hingga dengan cara yang serupa dengan perhitungan pada turunan biasa. Misalkan kita ingin menentukan turunan parsial pertama untuk fungsi dua variabel f(x,y). Dengan menggunakan beda pusat, diperoleh f x f y f(x + x,y) f(x x,y), 2 x f(x,y + y) f(x,y y). 2 y 24 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

25 Pendahuluan Turunan parsial kedua (campuran) Pertama Kedua (Campuran) Misalkan kita ingin menentukan turunan parsial dari f(x, y) terhadap x dan y, yaitu 2 f x y = ( ) f. x y Bentuk terlebih dahulu ekspresi beda hingga (dalam hal ini beda pusat) untuk turunan parsial terhadap x dari turunan parsial terhadap y, yaitu 2 f f f x y y (x + x,y) yf(x x,y). 2 x Selanjutnya turunan parsial f y (x ± x,y) dapat diaproksimasi oleh f y f(x ± x,y + y) f(x ± x,y y) (x ± x,y). 2 y Jadi 2 f x y 25 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik

26 Contoh Pendahuluan Pertama Kedua (Campuran) Hitunglah f/ x, f/ y, dan 2 f/ x y untuk fungsi berikut di x = y = 1 secara (a) analitik, dan (b) numerik dengan x = y = 0,0001. f(x,y) = 3xy +3x x 3 3y Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik