Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014

Transkripsi

1 Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor 2 Oktober 2014

2 Pertemuan-2 Pertemuan ke-2 memuat 1. Ruang vektor operasi linier field definisi Contoh Kombinasi linier 1

3 2. Subruang definisi penentuan subruang spanned subruang

4 Ruang vektor operasi linier field definisi Contoh Kombinasi linier 2

5 Operasi Linier Misalkan x = (x 1,, x n ) dan y = (y 1,, y n ) adalah vektor berdimensi-n dan r R adalah sebuah skalar. Operasi linier meliputi 1. Penjumlahan x+y = (x 1 + y 1,, x n + y n ) 2. Perkalian dengan skalar rx = r(x 1,, x n ) = (rx 1,, rx n ) 3

6 3. Vektor nol 0 = (0,, 0) 4. Vektor negatif y = ( y 1,, y n ) 5. Pengurangan vektor x-y = x+(-y) = (x 1 y 1,, x n y n )

7 Field Misalkan F adalah himpunan tak kosong (F ) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian (F, +, ). F disebut lapangan jika memenuhi 1. a + b = b + a F 2. (a + b) + c = a + (b + c) F 3. 0 F a + 0 = 0 + a = a F 4. a F b F a + b = b + a = 0 F 4

8 5. a b = b a F 6. (a b) c = a(b c) F 7. 1 F a 1 = 1 a = a F 8. a F b F a b = b a = 1 F 9. a(b + c) = ab + ac F

9 Definisi informal: ruang vektor Ruang vektor = Ruang linier = Himpunan V yang terdiri atas element vektor-vektor yang bisa dijumlahkan dan dikalikan. Untuk u,v V dan r R maka u+v V dan ru V 5

10 Definisi formal: ruang vektor Sebuah himpunan V dikatakan ruang vektor atas field F jika dikenai operasi linier berupa α : V V V dan µ : F V V dan memenuhi sifat-sifat berikut ini 1. x+y=y+x, x,y V 2. (x+y)+z=x+(y+z), x,y,z V 3. Terdapat nilai tunggal 0 di V sedemikian sehingga 0+v=v+0=v, v V 6

11 4. Untuk setiap v V, terdapat v V sedemikian sehingga v+(-v)=(-v)+v=0 5. r(x + y) = rx + ry untuk setiap x,y V dan r F 6. (r + s)v = rv + sv 7. (rs)v = r(sv) 8. Terdapat nilai tunggal 1 di V sedemikian sehingga 1 v = v 1 = v Operasi α : V V V dikatakan operasi linier penjumlahan dan µ : F V V disebut dengan operasi perkalian skalar.

12 Contoh 1. {0} 2. R n 3. M m n (R) 7

13 contoh: detail vektor 0 Himpunan vektor 0 merupakan ruang vektor. 0 0 Ambil 1. Tertutup terhadap penjumlahan 0+0= Memenuhi sifat asosiatif 0+(0+0)=(0+0) Terdapat elemen identitas penjumlahan 0 0 sedemikian sehingga 0+0=0. Elemen identitas penjumlahan merupakan dirinya sendiri. 8

14 4. Terdapat elemen identitas perkalian 1 R sedemikian sehingga 0 1 = 1 0= = 0. 0

15 5. Memenuhi sifat distributif skalar l(0+0) = l = = l 0 + l 0. l 0 + l 0 l 0. l 0 + = l 0 + l 0 l 0. l 0

16 6. Memenuhi sifat distributif vektor (l + k)0 = = = (l + k)0. (l + k)0 l 0 + k 0. l 0 + k 0 l 0. l 0 + = l 0 + k 0 k 0. k 0

17 7. Memenuhi sifat asosiatif perkalian (l k)0 = = (l k)0. (l k)0 l(k 0). l(k 0) = l(k0)

18 8. Terdapat invers sehingga 0+(-0)=0 0+(-0) = =

19 contoh: detail Matriks Himpunan matriks M m n merupakan ruang vektor. Misalkan A, B M m n dan k, l R. A = a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n, B = b 1,1 b 1,n b m,1 b m,n 1. Tertutup terhadap penjumlahan A + B = = a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n + b 1,1 b 1,n b m,1 b m,n a 1,1 + b 1,1 a 1,n + b 1,n a m,1 + b m,1 a m,n + b m,n M m n 9

20 2. Memenuhi sifat asosiatif (A + B) + C = a 1,1 + b 1,1 + c 1,1 a 1,n + b 1,n + c 1,n..... a m,1 + b m,1 + c m,1 a m,n + b m,n + c m,n = a 1,1 a 1,n b 1,1 + c 1,1 b 1,n + c 1,n..... a m,1 a m,n b m,1 + c m,1 b m,n + c m,n = A + (B + C)

21 3. Terdapat matriks 0 sehingga B + 0 = 0 + B = B B + 0 = = b 1,1 b 1,n b m,1 b m,n b 1,1 b 1,n b m,1 b m,n Untuk setiap A M m n selali terdapat ( A) sede-

22 mikian sehingga A + ( A) = 0 A + ( A) = = a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n 5. Terdapat unsur identitas perkalian 1 sedemikian sehingga B 1 = 1 B = B B 1 = b 1,1 b 1,n b m,1 b m,n 1 = b 1,1 b 1,n b m,1 b m,n

23 6. Memenuhi sifat distributif skalar l(a + B) = = l(a 1,1 + b 1,1 ) l(a 1,n + b 1,n ) l(a m,1 + b m,1 ) l(a m,n + b m,n ) la 1,1 la 1,n la m,1 la m,n = la + lb + lb 1,1 lb 1,n lb m,1 lb m,n

24 7. Memenuhi sifat distribusi matriks (l + k)a = = = (l + k)a 1,1 (l + k)a 1,n (l + k)a m,1 (l + k)a m,n la 1,1 + ka 1,1 la 1,n + ka 1,n la m,1 + ka m,1 la m,n + ka m,n la 1,1 la 1,n la m,1 la m,n = la + ka + ka 1,1 ka 1,n ka m,1 ka m,n

25 8. Memenuhi sifat assosiatif perkalian skalar (l k)a = = = l (l k)a 1,1 (l k)a 1,n (l k)a m,1 (l k)a m,n l(ka 1,1 ) l(ka 1,n ) l(ka m,1 ) l(ka m,n ) = l(ka) ka 1,1 ka 1,n ka m,1 ka m,n

26 Masalah 1 Misalkan V R 3 adalah himpunan vektor dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai v 1 + v 2 = x 1 x 2 y 1 + y 2 = z 1 z 2 x 1 + x 2 1 y 1 + y 2 1 z 1 + z 2 1 dan operasi perkalian didefinisikan sebagai perkalian vektor biasa dimana cv 1 = c Apakah V ruang vektor? Misalkan v 1, v 2 V x 1 y 1 = z 1 cx 1 cy 1 cz 1 10

27 1. Tertutup terhadap penjumlahan v 1 + v 2 = x 1 + x 2 1 y 1 + y 2 1 V z 1 + z Memenuhi sifat asosiatif v 1 + (v 2 + v 3 ) = v 1 + = x 2 + x 3 1 y 2 + y 3 1 z 2 + z 3 1 = x 1 + x x 3 1 y 1 + y y 3 1 z 1 + z z 3 1 = (v 1 + v 2 ) + v 3 x 1 + x 2 + x 3 2 y 1 + y 2 + y 3 2 z 1 + z 2 + z 3 2 = x 1 + x 2 1 y 1 + y v 3 z 1 + z Terdapat elemen identitas penjumlahan

28 Misalkan θ adalah elemen identitas penjumlahan x 1 y 1 + z 1 x 1 + α 1 y 1 + β 1 z 1 + γ 1 v 1 + θ = v 1 α β = γ = x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 dengan kesamaan dua vektor akan kita dapatkan θ = Terdapat invers penjumlahan

29 Misalkan ψ adalah invers dari v 1 maka akan kita dapatkan a b c + ψ + v 1 = θ a + x 1 1 b + y 1 1 c + z 1 1 x 1 y 1 = z 1 = dengan kesamaan dua vektor akan kita dapatkan ψ = 2 x 1 2 y 1 2 z 1

30 5. sifat distributif. Misalkan l R. l(v 1 + v 2 ) = l = = x 1 + x 2 1 y 1 + y 2 1 z 1 + z 2 1 lx 1 + lx 2 l ly 1 + ly 2 l lz 1 + lz 2 l lx 1 ly 1 lz 1 + lx 2 ly 2 lz 2 l l l lv 1 + lv 2 Oleh karena V tidak memenuhi salah satu sifat dari ruang vektor yaitu sifat distributif, maka V bukan ruang vektor

31 sifat-sifat umum Pada ruang vektor V berlaku beberapa sifat berikut 1. vektor 0 bersifat unik (tunggal). 2. vektor ( v) dari vektor v bersifat unik. 3. Sifat cancellation Untuk x,y,z V dimana maka berlaku x+y=x+z y=z 11

32 bukti: sifat umum-1 Misalkan θ dan ψ adalah elemen identitas dari ruang vektor V. Kita dapatkan θ + ψ = θ dikarenakan ψ adalah unsur identitas penjumlahan pada V. Juga, ψ + θ = ψ dikarenakan θ adalah unsur identitas penjumlahan pada V. Dengan sifat komutatif pada penjumlahan pada ruang vektor θ + ψ = ψ + θ = θ = ψ 12

33 bukti: sifat umum-2 Misalkan θ dan ψ adalah invers dari x pada ruang vektor V. Dengan menjumlahkan ketiganya kita akan dapatkan sesuai sifat asosiatif dimana dan (θ + x) + ψ = θ + (x + ψ) (θ + x) + ψ = 0 + ψ = ψ θ + (x + ψ) = θ + 0 = θ dengan menyatukan semuanya, kita akan dapatkan (θ + x) + ψ = θ + (x + ψ) = θ = ψ 13

34 bukti: sifat umum-3 diketahui bahwa x,y,z V dan x+y=x+z. Oleh karena x V maka dijamin terdapat ( x) V sehingga bisa diperoleh x+y=x+z = (-x)+x+y=(-x)+x+z 0+y=0+z = y = z 14

35 Kombinasi linier Misalkan V adalah ruang vektor atas field F. Misalkan v V. Terdapat r 1,, r n F dan untuk v 1,, v n V berlaku v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n (1) maka v disebut kombinasi linier dari V. Himpunan seluruh kombinasi linier dari v 1,, v n V disebut span{v 1,, v n } 15

36 Subruang definisi penentuan subruang spanned subruang 16

37 definisi: subruang definisi 1. Sebuah himpunan W dikatakan subruang dari V jika W V dan W adalah ruang vektor dibawah operasi yang sama pada V. definisi 2. Sebuah himpunan bagian W dari ruang vektor V adalah subruang dari V jika dan hanya jika W bukan himpunan kosong dan tertutup terhadap operasi linier, atau dengan kata lain x,y W x+y W x W rx W, r R atau seringkali dituliskan sebagai αx + βy W, α, β R dan x,y W 17

38 Penentuan subruang Untuk menentukan W V adalah subruang maka Pastikan W Berlaku w 1 + w 2 W, w 1, w 2 W Berlaku cw 1 W, c R dan w 1 W atau buktikan bahwa αx+βy W, α, β R dan x,y W terpenuhi 18

39 Spanned subruang teorema 1. Misalkan W = span{v 1,, v n } untuk v 1,, v n V maka W subruang dari V. Bukti. Misalkan w 1, w 2 W. Oleh karena W = span{v 1,, v n } maka diperoleh w 1 = α 1 v 1 + α 2 v α n v n w 2 = β 1 v 1 + β 2 v β n v n 1. W bukan himpunan kosong 0v v n W 2. w 1 + w 2 = (α 1 + β 1 )v (α n + β n )v n W 19

40 3. cw 1 = (cα 1 )v 1 + (cα 2 )v (cα n )v n W atau untuk suatu a, b R diperoleh aw 1 + bw 2 = a(α 1 v 1 + α 2 v α n v n ) + b(β 1 v 1 + β 2 v β n v n ) = (aα 1 + bβ 1 )v (aα n + bβ n )v n karena a, b, α i, β i R, i = 1 n maka c = aα + bβ R sehingga aw 1 + bw 2 = (aα 1 + bβ 1 )v (aα n + bβ n )v n = c 1 v c n v n W

41 contoh : vektor subruang dari R 4 Misalkan W adalah himpunan vektor-vektor dalam bentuk dimana t, s R. Tunjukkan bahwa W 2s + 4t 2s 2s 3t 5t adalah subruang dari R 4. solusi. Untuk menunjukkan bahwa W adalah subruang dari R 4 cukup dengan menunjukkan bahwa W = span{v 1, v 2 } 20

42 dengan v 1, v 2 R 4. 2s + 4t 2s 2s 3t 5t = = s 2s 2s 2s t 0 4t 0 3t 5t sehingga W = span{v 1, v 2 } dengan v 1 = (4, 0, 3, 5) T dan v 2 = (2, 2, 2, 0) T 5

43 contoh : subruang vektor dari matriks Tunjukkan bahwa H yang [ merupakan ] himpunan matrikmatriks dalam bentuk dengan a, b, d R adalah a b 0 d subruang dari matriks M 2 2. solusi. 1. Jelas bahwa H tidak kosong, [ ] salah satunya 0 0 adalah a, b, d = 0 R sehingga H Misalkan h 1, h 2 H dimana h 1 = [ ] a2 b 2. 0 d 2 [ ] a1 b 1 0 d 1 dan h 2 = 21

44 [ ] a1 b 1 [ a2 b h 1 + h 2 = d 1 0 d 2 [ a3 = a = 1 + a 2 b 3 = b 1 + b 2 0 d 3 = d 1 + d 2 ] ] H, a 3, b 3, d 3 R 3. jelas bahwa tertutup terhadap perkalian dimana untuk α R berlaku [ ] [ ] a1 b αh 1 = α 1 a4 = αa = 1 b 4 = αb 1 H, a 0 d 1 0 d 4 = αd 4, b 4, d 4 R 1