KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN

Transkripsi

1 KS96 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mencari ruang baris, ruang kolom, ruang null dari suatu ruang vektor Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page

3 Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL

4 A = a a a. a n a a a. a n a a a. a n.... a m a m a m. a mn r = ( a a a. a n ) R n disebut r = (a a a. a n ) R n vektor baris (A) r m = (a m a m a m. a mn ) R n RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 4

5 c = a c = a. c n = a n a a a n a a a n a m a m a mn c, c,, c n R m disebut vektor kolom (A) RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 5

6 Ruang Baris / Row Space: Ruang Kolom / Column Space: Ruang Nol / Null Space: RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 6

7 RUANG BARIS Diketahui matriks A eselon 4 x 5 sebagai berikut : Vektor baris dari A : r r r r 4 = (, 5,, 7,) = (,,,, ) = (,,,,6) = (,,,,) Karena memuat vektor NOL maka keempat vektor tersebut bergantung linier RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 7

8 Subruang yang dibangun / direntang oleh 4 vektor diatas disebut ruang baris dari matriks A ditulis baris(a), dalam hal ini baris(a) = 4. Dimensi dari ruang baris disebut rank baris dari matriksa,dalamhalinirankbarisdariaadalah. Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR 8 Page 8

9 RUANG KOLOM Diketahui matriks eselon, E= ketiga vektor kolom yang memuat elemen pivot merupakan vektor yang bebas linier. Ketiga vektor tersebut adalah : 7 k =, k =, k4 = Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR 9 Page 9

10 Vektor kolom yang tidak memuat elemen pivot merupakan kombinasi linier dari. Vektorvektormembentuk basis dari ruang kolom disebut rankkolom,dalamhaliniadalah. Subruang di Rm yang dibangun oleh n vektor disebut ruangkolomdituliskolom(a)dalamhalini=5. Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page

11 Jika A adalah matriks (m n), maka Rank (A) = dimensi basis ruang baris (A) = dimensi basis ruang kolom (A) Nullity (A) = dimensi basis ruang nol (A) Rank (A) + Nullity (A) = n RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL

12 DEFINISI:. Jika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama. Dimensi bersama dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank(a), dimensi ruang kosong atau kekosongan(a) Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page

13 Daftar Teorema RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL

14 . Ax = b konsisten b Ruang Kolom (A). Salah satu solusi Ax = b adalah x o ; {v, v, v,.., v k } basis dari Ruang Nol (Ruang Solusi Ax = ); maka semua solusi Ax = b dapat dinyatakan sebagai RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL x = x o + c v + c v + c v. + c k v k. O.B.E. tidak mengubah Ruang Nol (A) 4. O.B.E. tidak mengubah Ruang Baris (A) 4

15 5. Matriks A ekivalen-baris dengan matriks B; maka Himpunan vektor kolom di A bebas linier himpunan vektor kolom di B yang bersesuaian bebas linier Himpunan vektor kolom di A merupakan basis dari Ruang Kolom (A) himpunan vektor kolom di B yang bersesuaian merupakan basis dari Ruang Kolom (B) 6. Matriks R berbentuk eselon-baris; maka vektor-vektor baris dari R dengan utama membentuk basis dari Ruang Baris (R) dan vektor-vektor kolom yang berisi utama membentuk basis dari Ruang Kolom (R) RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 5

16 Contoh(): Anggap Ax=b adalah sistem linier. Tunjukkan bahwa b berada dalam rauang kolom A 9 = x x RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 6 Karena sistem tersebut konsisten, maka b berada dalam ruang kolom A,, _ 9 = = = = x x x sehingga x x

17 Penyelesaian : Contoh(): X + X X + X5 = X + 6X 5X X4 X6 = - 5X + X4 + 5X6 = 5 X + 6X + 6X4 + 4X5 + 8X6 = 6 *) Augmented Matriksnya RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 7

18 *) Matriks Eselon Tereduksi 4 / x = r 4s t, x4 = s, x = / 6 *) Ditulis dalam bentuk vektor : x r 4s t 4 x r x s = = = r + s + t x s 4 x t / / 5 x6 Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR 8 Page 8

19 Contoh(): Cari suatu basis untuk matriks berikut: RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 9 Vektorbaristaknolnyaadalah: u=(,-,,,),v=(,,,,),w=(,,,,) vektor tsb membentuk suatu basis untuk ruang baris, sehinggamembentukbasisuntuksub-ruangdarir 5