Universitas Tanjungpura Jalan Prof. Dr. Hadari Nawawi, Pontianak, Indonesia * Abstrak

Transkripsi

1 POSITRON, Vol. VII, No. (7), Hal ISSN: (print) ISSN: X (online) Model Sederana Gera Osilator dengan Massa Berua Teradap Watu Menggunaan Metode Runge Kutta Yulia Acu a, Boni Palanop Lapanporo a*, Arie Antasari Kusadiwijayanto a a Jurusan Fisia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetauan Alam Universitas Tanjungpura Jalan Prof. Dr. Hadari Nawawi, Pontiana, Indonesia * oni8poro@pysic.untan.ac.id Astra Persamaan gera osilasi pegas dengan massa erua teradap watu merupaan persamaan differensial non linear yang sulit diselesaian secara analiti. Pada penelitian ini persamaan gera osilasi terseut diselesaian menggunaan metode Runge Kutta orde empat dan Runge Kutta Felerg tingat lima. Metode Runge Kutta menawaran penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumuan truncation error yang jau lei ecil. Hasilnya menunjuan gera osilator dengan massa yang terus erurang teradap watu memilii sifat seperti osilator teredam dan menjadi gera armoni sederana saat massa osilator tetap. Metode Runge Kutta orde empat dan Runge Kutta Felerg mampu menggamaran eadaan sistem osilator dengan massa erua teradap watu. Kata Kunci : Gera Osilasi, Runge Kutta, Persamaan Diferensial. Latar Belaang Getaran atau osilasi merupaan gera ola ali suatu enda pada suatu lintasan yang memilii suatu posisi esetimangan. Gera armoni sederana mempunyai persamaan gera dalam entu sinusoidal dan digunaan untu menganalisis suatu gera periodi tertentu. Pitrianto (8) tela mengaji tentang gera pegas dan gera andul matematis menggunaan metode Runge Kutta orde empat. Dalam ajian terseut massa yang digunaan merupaan massa onstan []. Hasil yang diperole menggunaan metode numeri memilii nilai yang tida jau ereda dengan solusi analiti yani dengan isaran error %. Kemudian Rodrigues, d. (4) mengaji tentang gera osilator sederana dengan massa yang erua-ua teradap watu menggunaan metode []. Dalam model terseut diasumsian awa massa yang menggantung pada pegas merupaan massa fluida yang aan terus erurang teradap watu. Huum II Newton tida dapat secara langsung diapliasian dalam asus terseut arena uum II Newton anya erlau jia sistem memilii massa yang onstan (tida erua teradap watu). Dari sistem osilator terseut diperole persamaan diferensial non linier yang sulit diselesaian secara analiti. Dalam penelitian ini model gera pegas dengan massa erua teradap watu disimulasian emali secara numeri menggunaan metode Runge Kutta orde empat dan metode Runge Kutta Felerg tingat lima. Metode Runge Kutta merupaan alternatif lain ttp://dx.doi.org/.648/positron.v7i.376 dari metode Deret Taylor yang tida memerluan peritungan turunan [3]. Metode Runge Kutta orde empat dan Runge Kutta Felerg ini menawaran penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumuan truncation error yang jau lei ecil dan tingatan evaluasi fungsi yang lei anya jia diandingan dengan metode.. Gera Osilasi Pegas Pada diferensial yang mewaili sistem fisis adaalanya memilii entu yang as seingga memilii solusi analiti yang as. Namun, anya di antaranya tida isa diselesaian dengan teni penyelesaian secara analiti [4]. Gera getaran pada pegas merupaan sala satu conto gera armoni yang sering terjadi dalam eidupan seari-ari. Gaya gravitasi umi, gaya tari pegas, gaya gese dan gaya luar merupaan gaya yang aan mempengarui gera getaran pada pegas [5]. Pemodelan pegas dengan massa yang erua-ua teradap watu menggunaan ilustrasi massa pegas yaitu emer yang diisi dengan air. Air aan mengalir melalui luang ecil pada agian dasar emer seperti tela diilustrasian pada Gamar. Pada penelitian ini diasumsian awa ilangnya massa air dan gera osilator terjadi sepanjang sumu-z. Dalam sistem pegas pada Gamar gesean dapat diaaian. Sistem aan dienaan tiga gaya yang ereda, yaitu gaya elastis yang dierian ole pegas, gaya erat osilator, dan gaya teanan yang dierian ole air yang mengalir melalui luang pada dasar emer. Perilau dinami sistem diatur pada persamaan () [] 4

2 POSITRON, Vol. VII, No. (7), Hal ISSN: (print) dm mv w v z mg () dt Gamar. Pegas dengan massa erua. Seua emer erisi air yang digantungan pada pegas. Air aan mengalir melalui luang ecil pada agian awa emer [] Pada persamaan () z(t) adala perpindaan pusat massa yang diuur dari posisi awal eseimangan; w adala ecepatan rata-rata air meninggalan sistem; v z adala ecepatan osilator; adala onstanta pegas; dan g percepatan gravitasi. Untu ondisi m=w=, dm dt, dan v, pada watu t=, untu menentuan posisi titi esetimangan (te initial equilirium position) mg z () Pada persamaan () m adala massa awal osilator yaitu massa emer dengan massa awal air. Jia m onstan, sistem aan erosilasi di seitar z posisi eseimangan. Persamaan untu mengitung massa air yang terus erurang teradap watu (Massa air memilii etergantungan uadrat pada watu) [] : m t m ft w w g (3) Pada persamaan (3) m merupaan massa w a awal air; f adala rasio antara luas A penampang luang (a) dengan luas penampang ISSN: X (online) dasar emer (A); dan adala awal tinggi olom air. Massa osilator merupaan jumla massa emer m dan massa air yang ervariasi mw t. Dengan asumsi ocornya air terjadi pada teradap watu tingat yang sangat renda. Persamaan sistem gera pegas diatur pada persamaan (4) seagai eriut v z g m m w (4) Emer aan enar-enar osong dalam watu tertentu yang dierian pada persamaan (5) f g (5) Setela watu erlalu pada saat air dalam emer ais, maa osilasi aan diatur ole persamaan (6) v z g, t (6) m Energi ineti sistem pegas vertial dengan massa yang ilang dierian ole persamaan (7) mv T (7) Kemudian untu mengitung Energi potensial elastisitas diatur pada persamaan (8) z U (8) e Serta energi potensial gravitasi diatur pada persamaan (9) U mg z z (9) Dan untu mengitung energi total sistem diitung dengan menjumlaan semua Energi yang eerja pada sistem seperti diatur pada persamaan () E T U U () e 3. Metodologi 3. Setting Model Dalam penyelesaian asus gera pegas dengan massa erua teradap watu, nilai variael masuan adala massa awal air (mw) = g yang aan terus erurang seiring dengan erjalannya watu. Massa emer (m) = g, percepatan gravitasi umi (g) = 9,8 m/s, onstanta pegas () = N/m, etinggian air () =,5 m, ecepatan awal (v) = m/s, dan simpangan awal (z) = -,79 m. Rasio (f) antara luas penampang luang (a) dengan luas penampang permuaan air (A) adala,. Nilai 43

3 POSITRON, Vol. VII, No. (7), Hal ISSN: (print) =,5 s merupaan jara antar watu (te time step size). 3. Metode Metode merupaan metode yang paling sederana dan yang paling urang teliti jia diandingan dengan metode lainnya [6]. Metode yang aan digunaan untu menyelesaian persamaan (4) diatur pada persamaan () [] v v i i z t g i m m () w( t ) Persamaan () digunaan untu mengitung ecepatan sistem. Untu mengetaui posisi sistem diatur pada persamaan () seagai eriut [] z z v () i i i 3.3 Metode Runge Kutta Metode Runge Kutta pertama ali diemangan ole Carl Runge dan Wiliam Kutta dalam ranga meniru asil dari pendeatan deret Taylor tanpa arus melauan diferensial analiti secara erulang. Metode Runge Kutta merupaan metode yang memerian etelitian asil yang lei ai dan tida memerluan turunan dari fungsi. Metode Runge Kutta Orde empat sering digunaan arena memilii etelitian yang lei tinggi [6]. Untu menyelesaian persamaan gera menggunaan metode runge utta maa persamaan (5) diua menjadi persamaan diferensial orde satu seperti pada persamaan (3) dan persamaan (4) dz f v vt dt (3) dv g z z t g i dt m m w( t ) i (4) Metode Runge Kutta Orde empat yang digunaan untu menyelesaian persamaan (4) diatur pada persamaan (5) z z (5) i i Persamaan (5) digunaan untu mengitung posisi sistem. Sedangan untu mengitung ecepatan sistem diatur pada persamaan (6) v v l l l l (6) i i ISSN: X (online) Dengan dan l merupaan evaluasi fungsi yang diatur pada persamaan (7) dan persamaan (8) f v f v l f v l 3 f v l l 4 3 g z l g z l g z 3 l g z 4 3 (7) (8) Metode Runge Kutta Felerg tingat lima merupaan metode Runge Kutta yang memilii enam evaluasi fungsi. Metode ini mengasilan nilai ampiran yang mendeati nilai penyelesaian analiti [7]. Metode Runge Kutta Felerg yang digunaan untu menyelesaian persamaan (4) diatur pada persamaan (9) z z i i (9) Persamaan (9) digunaan untu mengitung posisi sistem. Untu mengitung ecepatan sistem diatur pada persamaan () v v l l l i i l l () dengan dan l merupaan evaluasi fungsi yang diatur pada persamaan () dan persamaan () 44

4 Selisi solusi posisi (m) POSITRON, Vol. VII, No. (7), Hal ISSN: (print) f v l f v 4 f v 3 l 9 l f 93 v l 7 l 796 l () f v l 8l l3 l f v l l l3 l4 l l g z l g z l g z l g z () l5 g z l6 g z Hasil dan Pemaasan Berdasaran Gamar dapat diliat awa amplitudo sistem mengalami penurunan seiring dengan erurangnya massa. Freuensi sistem getaran semain ertama. z-z (m) Massa Gamar. Posisi teradap watu Sistem aan erosilasi dengan amplitudo dan freuensi getaran yang onstan saat air dalam sistem ais. Sistem osilator dengan massa yang erurang teradap watu, memilii perilau seperti sistem osilator teredam, dan aan menjadi gera armoni sederana massa (g) z-z (m) ISSN: X (online) Gamar 3. Posisi teradap watu pada deti 3 s sampai 4 s Gamar 3 menunjuan awa osilasi yang terjadi pada metode terjadi lei cepat dari pada metode Runge utta. Hal ini diseaan proses peritungan metode yang lei sederana. Metode anya menggunaan dua evaluasi fungsi, sedangan metode Runge Kutta orde empat memilii empat evaluasi fungsi, dan metode Runge Kutta Felerg memili enam evaluasi fungsi. Air dalam emer aan ais pada watu 3,93 s. Pada watu terseut semua metode mulai menunjuan gera armoni sederana.,,5,,5 -,5 -, -,5 -, 3 4 Watu (s) RK 4 & RK F & RK F & RK 4 Gamar 4. Selisi solusi antara metode pada posisi Pada Gamar 4 dapat diliat awa selisi solusi antara metode pada posisi sangat ecil. Untu RSME (Root Mean Square Error) antara metode Runge Kutta orde empat dengan seesar,678 dan metode Runge Kutta Felerg dengan seesar,6647. RMSE antara metode Runge Kutta Felerg dengan metode Runge Kutta orde empat seesar,3. Berdasaran Gamar 4 terliat awa semain lama, selisi solusi antara metode semain esar. Hal ini diseaan esalaan pemulatan pada metode dalam peritungan. Besar esalaan pemulatan data pada data seelumnya aan mempengarui data selanjutnya. 45

5 POSITRON, Vol. VII, No. (7), Hal ISSN: (print) ecepatan (m/s) ecepatan (m/s) Gamar 5. Kecepatan teradap watu Gamar 6. Kecepatan teradap watu pada deti 3 s sampai 4 s.5 Percepatan (m/s ) Gamar 7. Percepatan teradap watu Pada Gamar 5 dan Gamar 7 dapat diliat awa ecepatan dan percepatan sistem aan terus ertama dan aan onstan pada saat air dalam sistem ais. Berdasaran persamaan (4) semain ecil massa yang mempengarui suatu sistem maa aan semain esar pula percepatan suatu sistem terseut. Berdasaran Gamar 6 ecepatan yang diasilan ole metode lei esar dari pada metode Runge Kutta. Semain lama peredaan fase antara metode dengan metode lainnya semain esar. Penyea peredaan ini adala terleta pada anyanya evaluasi fungsi masingmasing metode. Energi Kineti (J) ISSN: X (online) 3 4 Gamar 8. Energi ineti Berdasaran Gamar 8, Energi Kineti sistem aan erurang seiring dengan watu. Hal ini diseaan arena massa dan uadrat ecepatan sistem aan erpengaru pada energi ineti sistem. Berdasaran persamaan (7) semain esar massa sistem pegas, maa semain esar pula energi ineti yang diasilan. Pengurangan massa lei esar dan lei cepat jia diandingan dengan peningatan ecepatan yang sangat ecil. Hal inila yang menyeaan energi ineti semain menurun. 4 3 Energi Potensial Gravitasi (J) 3 4 Gamar 9. Energi potensial gravitasi Pada Gamar 9 dapat diliat awa Energi potensial gravitasi aan terus ertama pada awal sistem ergera. Kemudian Energi aan erurang sediit demi sediit dan airnya onstan. Energi potensial gravitasi dipengarui ole massa dan posisi dari sistem yang ditinjau seperti ditunjuan ole Gamar. Berdasaran persamaan (9) massa sistem yang terus erurang dan posisi sistem yang terus erua aan erpengaru pada energi potensial gravitasi. Energi potensial gravitasi mencapai nilai masimum etia pengaru massa dan posisi sistem memerian nilai tertinggi. Energi potensial gravitasi tertinggi seesar 3 J dan terjadi pada watu seitar s. 46

6 POSITRON, Vol. VII, No. (7), Hal ISSN: (print) Energi Potensial Elastisitas (J) Selisi solusi energi total (J) 3 4 Gamar. Energi potensial elastisitas Pada Gamar, Energi potensial elastisitas mengalami penurunan. Berdasaran persamaan (8) energi potensial elastisitas dipergarui ole uadrat posisi pegas setiap watu. Posisi dipengarui ole massa sistem. Seingga erurangnya massa sistem aan menyeaan energi potensial elastisitas menurun. Energi potensial elastisitas ernilai onstan saat air dalam sistem ais. Energi Total (J) Gamar. Energi total sistem. Metode warna mera tertimpa metode Runge Kutta. Energi total sistem merupaan penjumlaan dari energi ineti, energi potensial gravitasi, dan energi potensial elastisitas yang ererja pada sistem. Berdasaran Gamar dapat diliat awa, energi total sistem semain menurun. Energi total aan ernilai tetap pada watu 3 s sampai 4 s yaitu seitar Joule. Pada Gamar dapat diliat awa pada energi total sistem, selisi solusi antara metode sangat ecil. Untu RSME antara metode Runge Kutta orde empat dengan seesar,44 dan metode Runge Kutta Felerg dengan seesar,43. Kemudian RMSE antara metode Runge Kutta Felerg dengan metode Runge Kutta orde empat seesar,4. ISSN: X (online),4,3,, -, -, -,3 -,4 -,5 3 4 RK 4 & RK F & RK F & RK 4 Gamar. Selisi solusi antara metode pada energi total 5. Kesimpulan Berdasaran asil simulasi diatas dapat disimpulan awa metode Runge Kutta orde empat dan Runge Kutta Felerg mampu menggamaran eadaan sistem osilator dengan massa yang erua teradap watu. Pada asil simulasi dapat dietaui, awa amplitudo mengalami penurunan dan freuensi terus ertama. Sistem aan mengalami gera armoni sederana saat air dalam sistem suda ais. Daftar Pustaa [] Pitrianto, E., Simulasi dan Visualisasi Gera Osilasi (Studi Kasus : Gera Pegas dan Gera Bandul Matematis (Sripsi S). Pontiana: Universitas Tanjungpura. 8. [] Rodrigues, H., Panza, N., Portes, D., Soares, A., Te motion of a leaing oscillator: a study for te pysics class. Pysics Education. 4;4: p [3] Arisa, R., Helmi, Kiftia, M., Penyelesaian Persamaan Diferensial Bernoulli Menggunaan Metode Runge Kutta Orde Kelima. Bimaster. 4; 3(3): p [4] Suarga, Komputasi Numeri. Yogyaarta: ANDI. 4. [5] Dafi, Persamaan Diferensial Biasa (PDB): Masala Nilai Awal dan Batas. Jemer: FKIP Univeristas Jemer [6] Triatmodjo, B., Metode Numeri. Yogyaarta: Beta Offset.. [7] Capra, S.C., Canale, R.P., Numerical Metod for Engineers. 6t ed. United States: Te McGrawHill Companies Inc.. 47