SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK ZAENAL ARIFIN

Transkripsi

1 SEBARAN ASIMTOTI PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN EDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODI ZAENAL ARIFIN SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dega ii aya meyataka bawa tei Sebara Aimtotik Peduga Turua Pertama da Turua edua dari Fugi Iteia Suatu Proe Poio Periodik adala karya aya dega araa dari komii pembimbig da belum diajuka dalam betuk apapu kepada pergurua tiggi maapu. Sumber iformai yag beraal atau dikutip dari karya yag diterbitka maupu tidak diterbitka dari peuli lai tela diebutka dalam tek da dicatumka dalam Daftar Putaka di bagia akir tei. Bogor, Juli 008 Zaeal Arifi

3 ABSTRACT ZAENAL ARIFIN. Aymptotic Ditributio of Etimator for te Firt ad Secod Derivative of te Iteity Fuctio of a Periodic Poio Proce. Supervied by I WAYAN MANGU ad RETNO BUDIARTI We ca fid tocatic proce i our daily activitie i variou ector. Stocatic proce ca be ditiguied ito dicrete time tocatic proce ad cotiuou time tocatic proce. A pecific form of cotiuou time tocatic proce i a periodic Poio proce. A periodic Poio proce i a Poio proce wit periodic iteity fuctio. Ti proce, for example, ca be ued to model te arrival proce of cutomer i a ervice cetre wit period oe day. I ti proce, te iteity fuctio at expree te rate of te proce at time. Ti tei tudie etimatio of te firt ad ecod derivative of iteity fuctio of a periodic Poio proce uig geeral kerel fuctio. To formulate etimator for te firt ad ecod derivative of te iteity fuctio of a periodic Poio proce firt we eed a etimator for te iteity fuctio itelf. Te, we tudy tatitical propertie of te etimator for te firt ad ecod derivative of te iteity fuctio. Fially, we etabli aymptotic ormality of toe etimator. eyword : tocatic proce, periodic Poio proce, iteity fuctio, kerel fuctio, aymptotic ormality.

4 RINGASAN ZAENAL ARIFIN. Sebara Aimtotik Peduga Turua Pertama da Turua edua dari Fugi Iteita Suatu Proe Poio Periodik. Dibimbig ole I WAYAN MANGU da RETNO BUDIARTI. Proe tokatik merupaka ala atu betuk permaalaa yag berubuga dega kaida-kaida peluag, karea tidak bia diketaui ecara pati megeai perilaku yag aka terjadi. Proe tokatik dibedaka mejadi dua yaitu proe tokatik dega waktu dikret da proe tokatik dega waktu kotiu. Sala atu betuk kuu dari proe tokatik dega waktu kotiu adala proe Poio periodik. Proe Poio periodik adala uatu proe Poio dega fugi iteita berupa fugi periodik. Dalam bayak peerapa, di ampig diperluka peduga bagi fugi iteita uatu proe Poio periodik, diperluka pula peduga bagi turua fugi iteita terebut. Pada tulia ii dipelajari perumua peduga bagi turua pertama da turua kedua dari fugi iteita uatu proe Poio periodik dega megguaka fugi kerel umum. Selai itu dibaa pula ifatifat tatitikaya, da akirya ditetuka ebara ormal aimtotikya jika pajag iterval pegamata meuju tak igga. Utuk merumuka peduga turua pertama da kedua, terlebi daulu ditetuka peduga bagi fugi iteita lokal pada titik dari proe Poio periodik dega periode (diketaui) yag diamati pada iterval 0, yag dirumuka ebagai: x k, N dx k 0 0 Dari peduga di ata, kemudia dituruka peduga bagi yag dirumuka ebagai:,,, Selajutya dari peduga di ata, dituruka lagi peduga bagi yag dirumuka ebagai:,,,, 4 Pada ketiga peduga di ata,... diebut badwidt. Pegkajia yag dilakuka mecakup ifat-ifat tatitika erta ebara aimtotik dari peduga, da,. Dari ail pegkajia yag dilakuka diperole : 3, 6 (i). E x ( x) dx o.

5 , 3 3 (ii). Var x dx o. (4) (4), 3 (iii). E x ( x) dx o. 3, (iv). Var ( ) ( x) dx o. (v). Jika, utuk, maka 7 Normal, 3 d, utuk, dega x ( x) dx 6 da Jika 7 x dx. 0, utuk, maka Normal 0,. 3 d, (vi). Jika, utuk, maka 9 Normal, 5 d, utuk, dega (4) (4) x ( x) dx da ( ) ( x) dx. Jika 0, utuk, maka 9 Normal 0,. 5 d, ata kuci : proe tokatik, proe Poio periodik, fugi iteita, fugi kerel, ormalita aimtotik.

6 Hak cipta milik IPB, tau 008 Hak cipta dilidugi Udag-udag. Dilarag megutip ebagia atau eluru karya tuli ii tapa mecatumka atau meyebut umber. a. Pegutipa aya utuk kepetiga pedidika, peelitia, peulia karya ilmia, peyuua lapora, peulia kritik atau tijaua uatu maala. b. Pegutipa tidak merugika kepetiga yag wajar IPB.. Dilarag megumumka da memperbayak ebagia atau eluru karya tuli dalam betuk apapu tapa izi IPB.

7 SEBARAN ASIMTOTI PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN EDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODI ZAENAL ARIFIN Tei ebagai ala atu yarat utuk memperole gelar Magiter Sai pada Departeme Matematika SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008

8 Judul Tei Nama NIM : Sebara Aimtotik Peduga Turua Pertama da Turua edua dari Fugi Iteita Suatu Proe Poio Periodik : Zaeal Arifi : G Dietujui omii Pembimbig Dr. Ir. I Waya Magku, MSc. etua Ir. Reto Budiarti, MS. Aggota Diketaui etua Program Studi Matematika Terapa Deka Sekola Pacaarjaa Dr. Ir. Edar H. Nugraai, MS. Prof. Dr. Ir. airil A. Notodiputro, MS. Taggal Ujia : 8 Juli 008 Taggal Lulu :

9 Peguji Luar omii pada Ujia Tei : Dr. Ir. I Guti Putu Puraba, DEA

10 PRAATA Puji yukur peuli pajatka kepada Alla SWT ata ramat da idaya- Nya eigga karya ilmia ii dapat dieleaika. Salawat da alam emoga eatiaa dilimpaka kepada Raullulla Muammad SAW yag mejadi taulada bagi umatya da eatiaa kita atika yafa atya di duia ampai akerat. Ucapa terima kai ata doroga da pegorbaa peuli ampaika kepada itri tercita Haifa erta permooa maaf ata kuragya peratia da kai ayag kepada aada Zuairia Arifatul Hua da Gilag Perdaa Iaii. Selajutya ucapa terima kai peuli ampaika kepada :. Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc da Ir. Reto Budiarti, MS elaku pembimbig yag dega peu keabara memberika bimbiga kepada peuli.. Dr. Ir. I Guti Putu Puraba, DEA elaku peguji luar komii yag tela memberika ara da kritikya. 3. Departeme Agama Republik Idoeia yag tela memberika beaiwa kepada peuli elama meempu pedidika program magiter di Ititut Pertaia Bogor. 4. Tema-tema maaiwa S- Matematika Terapa IPB agkata tau Semua piak yag tela membatu peuli, yag tidak bia peuli ebutka atu peratu. Peuli meyadari bawa tulia ii mai jau dari empura. Ole karea itu peuli megarap kritik da ara demi kemajua peulia elajutya. Bogor, Juli 008 Peuli, Zaeal Arifi

11 RIWAYAT HIDUP Peuli dilairka di Pati pada taggal 0 Oktober 967 ebagai aak ketiga dari tiga beraudara, aak dari paaga H. Mayur da Hj. Rukiyati. Pada pertegaa tau 994, peuli meika dega Haifa da tela dikaruiai dua orag aak berama Zuairia Arifatul Hua da Gilag Perdaa Iaii. Peuli meempu pedidika daar da meega di Pati igga tau 987. Pada tau yag ama peuli melajutka pedidika arjaa di Uiverita Sarjaawiyata Tamaiwa Yogyakarta da lulu tau 99. eempata utuk melajutka ke program Magiter pada program tudi Matematika Terapa Sekola Pacaarjaa Ititut Pertaia Bogor diperole pada tau 006. Beaiwa pedidika pacaarjaa diperole dari Departeme Agama Republik Idoeia. Peuli bekerja ebagai taf pegajar di Madraa Taawiya Negeri Wiog abupate Pati ejak tau 995.

12 DAFTAR ISI Halama DAFTAR LAMPIRAN... xi BAB I PENDAHULUAN..... Latar Belakag..... Tujua BAB II TINJAUAN PUSTAA Proe Poio Periodik Pedugaa Fugi Iteita Proe Poio Periodik... 6 BAB III PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN EDUA FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODI Perumua Peduga bagi da Review Sifat-ifat Statitika, Sifat-ifat Statitika, Sifat-ifat Statitika,... 9 BAB IV SEBARAN ASIMTOTI Review Sebara Aimtotik dari, Sebara Aimtotik dari, Sebara Aimtotik dari,... 3 BAB V ESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAA LAMPIRAN... 39

13 DAFTAR LAMPIRAN. Beberapa Defiii da Lema Teki... 40

14 BAB I PENDAHULUAN.. Latar Belakag Bayak feomea yata dalam keidupa eari-ari yag dapat dimodelka dega proe tokatik, mialya, proe kedataga pelagga ke puat ervi (bak, kator po, upermarket, da ebagaiya). Proe tokatik merupaka ala atu betuk permaalaa yag berubuga dega kaidakaida peluag, karea tidak bia diketaui ecara pati megeai perilaku yag aka terjadi. Proe tokatik dibedaka mejadi dua yaitu proe tokatik dega waktu dikret da proe tokatik dega waktu kotiu. Dalam tulia ii pembaaa aya dibatai pada proe tokatik dega waktu kotiu. Sala atu betuk kuu dari proe tokatik dega waktu kotiu adala proe Poio periodik. Proe Poio periodik adala uatu proe Poio dega fugi iteita berupa fugi periodik. Proe ii atara lai dapat diguaka utuk memodelka proe kedataga pelagga ke puat ervi dega periode atu ari. Pada proe kedataga pelagga terebut, fugi iteita lokal meyataka laju kedataga pelagga pada waktu. Dalam bayak peerapa, di ampig diperluka peduga bagi fugi iteita uatu proe Poio periodik, diperluka pula peduga bagi turua fugi iteita terebut. Pada tulia ii dipelajari perumua peduga bagi turua pertama da turua kedua dari fugi iteita uatu proe Poio periodik dega megguaka fugi kerel umum. Selai itu dibaa pula ifatifat tatitikaya, da akirya ditetuka ebara ormal aimtotikya jika pajag iterval pegamata meuju tak igga.

15 Tujua peelitia Tujua peulia karya ilmia ii adala utuk : (i) Mempelajari perumua peduga turua pertama da turua kedua dari fugi iteita uatu proe Poio periodik dega fugi kerel umum. (ii) Mempelajari pedekata aimtotik dari ilai arapa peduga. (iii) Mempelajari pedekata aimtotik dari ragam peduga. (iv) Meetuka ebara aimtotik dari peduga yag dikaji.

16 BAB II TINJAUAN PUSTAA.. Proe Poio Periodik Defiii (Proe Stokatik) Proe Stokatik X X t, t T adala uatu impua dari peuba acak yag memetaka uatu ruag coto ke uatu ruag tate S. (Ro 003) Jadi utuk etiap t pada impua idek T, X(t) adala uatu peuba acak. ita erig megiterpretaika t ebagai waktu da X(t) ebagai tate (keadaa) dari proe pada waktu t. Defiii (Proe Stokatik Waktu otiu) Suatu proe tokatik X diebut proe tokatik dega waktu kotiu jika T adala uatu iterval. (Ro 003) Defiii 3 (Ikreme Beba) Suatu proe tokatik dega waktu kotiu X t, t T diebut memiliki ikreme beba jika utuk emua t 0 t t... t peuba acak X t X t0, X t X t,..., X t X t adala beba. (Ro 003) Dega kata lai, utu proe tokatik dega waktu kotiu X diebut memiliki ikreme beba jika proe berubaya ilai pada iterval waktu yag tidak tumpag tidi (tidak overlap) adala beba. Defiii 4 (Ikreme Staioer) Suatu proe tokatik dega waktu kotiu X t, t T diebut memiliki ikreme taioer jika X t X t memiliki ebara yag ama utuk

17 4 emua ilai t. (Ro 003) Dega kata lai, uatu poe tokatik dega waktu kotiu X diebut memiliki ikreme tatioer jika ebara (ditribui) dari perubaa ilai atara embarag dua titik aya tergatug pada jarak atara kedua titik terebut, da tidak tergatug dari lokai titik-titik terebut. Sala atu betuk kuu dari proe tokatik dega waktu kotiu adala proe Poio. Pada proe ii, kecuali diyataka ecara kuu, diaggap bawa impua idek T adala iterval bilaga real tak egatif, yaitu 0,. Defiii 5 (Proe Pecacaa) Suatu proe tokatik N t, t 0 diebut proe pecacaa jika N(t) meyataka bayakya kejadia yag tela terjadi ampai waktu t. Dari defiii terebut, maka uatu proe pecacaa N(t) aru memeui yaratyarat berikut : i. N t 0 utuk emua t 0,. ii. Nilai N(t) adala iteger. iii. Jika t maka N N t,, t 0,. iv. Utuk < t maka N(t) - N(), ama dega bayakya kejadia yag terjadi pada elag, t. (Ro 003) Defiii 6 (Proe Poio) Suatu proe pecacaa N t, t 0 diebut proe Poio dega laju, 0, jika dipeui tiga yarat berikut. i. N(0) = 0. ii. Proe terebut memiliki ikreme beba.

18 5 iii. Bayakya kejadia pada embarag iterval waktu dega pajag t, memiliki ebara (ditribui) Poio dega ilai arapa t. Jadi utuk emua t, > 0, t e t P N t N k, k 0,,,... k! k (Ro 003) Dari yarat (iii) dapat diliat bawa proe Poio memiliki ikreme yag taioer. Dari yarat ii juga dapat diperole E N t t. Defiii 7 (Proe Poio Tak Homoge) Suatu proe Poio N t, t 0 diebut proe Poio tak omoge jika laju pada embarag waktu t merupaka fugi tak kota dari t yaitu (t). (Ro 003) Defiii 8 (Fugi Iteita) Laju dari uatu proe Poio tak omoge N t, t 0, yaitu t diebut fugi iteita proe Poio pada t. Defiii 9 (Fugi Periodik) Suatu fugi diebut periodik jika ( + kt) = () utuk emua da k dega meyataka impua bilaga bulat. otata terkecil t yag memeui peramaa di ata diebut periode dari fugi terebut. (Browder 996) Defiii 0 (Proe Poio Periodik) Proe Poio periodik adala proe Poio tak omoge yag fugi iteitaya adala fugi periodik. (Magku 00)

19 6 Defiii (Iteita Lokal) Iteita lokal dari uatu proe Poio tak omoge N dega fugi iteita pada titik adala (), yaitu ilai fugi di. (Dudley 989) Defiii (Iteita Global) Mialka N 0, adala proe Poio pada iterval 0,. Fugi iteita global dari proe Poio ii didefiiika ebagai jika limit di ata ada. lim EN 0, (Magku 00).. Pedugaa Fugi Iteita Proe Poio Periodik Fugi iteita dari proe Poio merupaka laju dari proe Poio terebut. Dalam al ii fugi iteita dapat dibedaka mejadi dua, yaitu fugi iteita lokal da fugi iteita global. Fugi iteita lokal meyataka laju proe Poio di titik tertetu, edagka fugi iteita global meyataka rata-rata laju dari uatu proe Poio pada uatu elag dega pajag meuju tak igga. Pedekata yag dipakai pada pedugaa fugi iteita lokal dari uatu proe Poio di titik adala meakir rata-rata terjadiya kejadia proe Poio terebut dalam elag waktu di ekitar. Secara matemati, mialya 0 da N 0, t meyataka bayakya kejadia yag terjadi pada 0,t, maka iteita lokal di ekitar titik dapat diampiri ole N, Sedagka pedekata yag dipakai pada pedugaa fugi iteita global dari uatu proe Poio iala meakir rata-rata terjadiya kejadia proe Poio terebut dalam elag waktu 0,. Sacara matemati, iteita. global pada 0, dapat diyataka N 0,.

20 7 Beberapa peelitia tela dilakuka dalam pedugaa fugi iteita proe Poio periodik. Fugi iteita proe Poio diguaka dalam pemodela laju polui miyak di Laut Utara Belada (Helmer 995). Secara komputai, tela dirumuka megeai algoritma dalam meduga fugi iteita dari uatu proe Poio dega tre ekpoeial kuadratik da periodik ole Helmer da Zitiki (999). Dega pedugaa tipe kerel, kekoitea peduga fugi iteita proe Poio periodik tela dibuktika pada Helmer et al. (003), liat juga Magku (006a) utuk kau yag relatif ederaa dimaa periode dari fugi iteitaya diaumika diketaui. Selai itu, pembuktia kekoitea peduga fugi iteita lokal megguaka metode titik terdekat (earet eigbor etimatio) tela dikaji pada Magku (999). Pada proe Poio periodik, pedugaa fugi iteita dibedaka berdaarka periodeya, yaitu : periode yag diketaui da periode yag tidak diketaui. Utuk periode yag tidak diketaui, pedugaa fugi iteita lebi rumit dibadigaka ituai dimaa periodeya diketaui. Mekipu demikia, ifatifat tatitika utuk peduga terebut dega pedekata tipe kerel tela dirumuka ole Helmer et al. (005). Pemodela uatu feomea dega proe Poio periodik berkembag dega meyertaka tre liear dikaji pada Helmer da Magku (007) maupu megguaka periodik gada dalam fugi iteitaya tela dibuktika pada Helmer et al. (007). ekoitea pedugaa turua pertama da turua kedua dega megguaka fugi kerel eragam dari fugi iteita uatu proe Poio periodik tela dikaji pada Heriwati (007). Sedagka kekoitea erta ifat-ifat tatitika pedugaa turua pertama da turua kedua dega megguaka fugi kerel umum dari fugi iteita uatu proe Poio periodik tela dikaji pada Syamuri (007).

21 BAB III PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN EDUA FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODI 3.. Perumua Peduga bagi da Utuk merumuka peduga bagi da terlebi daulu perlu dirumuka peduga bagi ebagai berikut. Mialka N adala uatu proe Poio periodik dega fugi iteita? yag diamati pada uatu iterval [0,]. Pembaaa aya dibatai utuk kau periode t dari fugi iteita? yag diketaui. area N adala uatu proe Poio periodik yag memiliki fugi iteita? dega periode t > 0, dimaa t diketaui, maka berlaku k () utuk emua da k, dega meyataka impua bilaga bulat. Mialka adala baria bilaga real poitif yag koverge meuju ol, yaitu 0 jika. () ita peratika keadaa terburuk, yaitu kita aya memiliki ebua realiai dari proe Poio N yag diamati pada elag [0,]. area? adala fugi periodik dega periode t, maka maala utuk meduga? pada titik dega, dapat direduki mejadi maala meduga? pada titik dega 0,. Peduga dari fugi iteita? pada titik 0,, yaitu, dapat didefiiika ebagai :, x k N dx k 0 0 (3) dimaa : 0, yag memeui ifat-ifat berikut : (.) merupaka fugi kepekata peluag (.) terbata (.3) memiliki daera defiii pada,.

22 9 Ide di balik perumua dari peduga, dapat digambarka ebagai berikut. Nilai fugi di titik dapat didekati dega ilai rataa dari bayakya kejadia di ekitar titik, yaitu pada iterval [, ], utuk 0. Nilai rataa ii dapat diyataka ebagai : N,. (4) area fugi adala periodik, dega periode, maka utuk meduga ilai fugi dapat juga diguaka ilai rataa dari bayakya kejadia di ekitar titik k, dega k 0,. Seigga utuk etiap k, ilai rataaya dapat diyataka ebagai : N k, k 0,. (5) Bayakya k eigga k 0, adala medekati. Jadi ilai rata-rata dari emua rataa di ata utuk emua k eigga k 0,, adala k 0 N k, k 0, I k, ( ), k N dx k 0 0 x k k 0 0 N( dx) dimaa I. Agar peduga ii lebi umum, maka diguaka fugi, kerel umum yag memeui (.) (.3). Dega megguaka fugi kerel umum, kita perole peduga eperti yag diberika pada peramaa (3). Jika, adala peduga bagi, maka peduga bagi dapat dirumuka ebagai berikut :,,,. (6)

23 0 Peduga di ata diperole diperole dari fakta bawa, utuk ilai > 0 yag cukup kecil, maka ( ) Jika, adala peduga bagi, maka peduga bagi dapat dirumuka ebagai berikut :.,,,, 4 Peduga di ata diperole dari fakta bawa, utuk ilai > 0 yag cukup kecil, maka ( ). 4 (7) 3.. Review Sifat-ifat Statitika, Teorema. (Aprokimai aimtotik utuk ilai arapa, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Mialka pula 0 utuk, fugi kerel imetrik da memeui aumi (.), (.) da (.3). Jika turua keempat berigga pada, maka 4 da memiliki (4) 4 4 4, 4 E x ( x) dx x ( x) dx o( ) (8) jika. Bukti : (Liat juga Magku 006b) x k, N( dx) k 0 0

24 x k E, EN( dx) k 0 0 x k k 0 0 x k x I x 0, dx k 0 R x x k I x k 0, dx k 0 R x x I x k 0, dx k 0 R k 0 R x dx x x I x k 0, dx. (9) Peratika bawa I k 0,,. k 0 Maka rua kaa peramaa (9) mejadi R x x dx x x dx. R Mialka y (0) mejadi x atau x y, maka dx dy. Seigga rua kaa peramaa y y dy x x dx R jika. Dega megguaka deret Taylor, yaitu R x x dx () x x x x x o!! 3! 4! (4) maka peramaa () mejadi (0)

25 E x x x x x dx (4) ,!! 3! 4! o 4 jika. x dx x x dx x x dx 3 (4) x x dx x x dx o 6 4 () Dega aumi (.) da (.3) maka x dx. area kerel imetrik, maka x x dx 0 da 3 x x dx 0 eigga peramaa () mejadi E x x dx x x dx o (4) 4 4 4, 4 jika peramaa (8).. area 4, maka o 4. Akirya diperole Teorema. (Aprokimai aimtotik utuk ragam, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Mialka pula 0 utuk, fugi kerel memeui aumi (.), (.) da (.3), maka, ( ) ( ) Var x dx o (3) jika, aalka adala titik Lebegue bagi. Bukti : (Liat juga Magku 006b) Ragam dari, adala

26 3 x k Var, Var ( ) N dx. k 0 0 Utuk yag cukup bear, maka iterval k, k da j, j tidak overlap utuk etiap k j. Ii berimplikai bawa x k N dx da x j N dx alig beba utuk etiap k j. Seigga Var, VarN dx k 0 0 k 0 0 k 0 0 x k x k x k x dx EN dx. (4) area adala periodik, maka x Var x k I x k dx, 0, k 0 R k 0 R R x I x k 0, dx x I x k 0, dx R x x x k 0 I x k dx k 0 0,. (5) Peratika bawa (5) mejadi k 0 I x k 0,,. Akibatya peramaa x Var x dx, R x R dx. (6)

27 4 area kerel terbata da terdefiii pada [-,] da adala titik Lebegue dari, maka uku pertama peramaa di ata adala o, jika. Seigga rua kaa peramaa (6) mejadi x dx o jika. x dx o (7) 3.3. Sifat-ifat Statitika, Teorema 3 : (Aprokimai aimtotik utuk ilai arapa, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika 0, imetrik da memeui aumi (.), (.), (.3) da keempat berigga pada, maka 4 utuk, fugi kerel memiliki turua 3, 6 E x ( x) dx o( ) jika. (8) Bukti : E E,,, E, E,. ita igat kembali peramaa (8), yaitu (9) (4) 4 4 4, 4 E x ( x) dx x ( x) dx o( ) maka

28 5, E x ( x) dx 4 jika. (4) x x dx o, ( ) ( ) E x ( x) dx 4 jika. Dega deret Taylor, kita perole (4) x x dx o ( ) ( ) (0) () (4) o!! 3! 4! () (4) o!! (3) o (4) 4 4 (4) o!! 3! 4! (5) (4) o!! (6) o. (7) 4 4 Dega meubtituika peramaa (), (3), da (4) ke peramaa (0) maka peramaa (0) mejadi E o (4) 4 4, (4) o x ( x) dx o x x dx o ( ). Dega meubtituika peramaa (5), (6), da (7) ke peramaa () maka peramaa () mejadi (8)

29 6 E o (4) 4 4, (4) o x ( x) dx o x x dx o ( ). Dega meubtituika peramaa (8) da (9) ke dalam peramaa (9) maka rua kaa peramaa (9) mejadi x ( x) dx o 3 3 x ( x) dx o. 6 (9) Teorema 4 : (Aprokimai aimtotik utuk ragam, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika 0, fugi kerel memeui aumi (.), (.), (.3) da memiliki turua pertama berigga pada, maka, 3 3 Var x dx o (30) jika. Bukti : Var, dapat ditetuka ebagai berikut, Var Var ',,, Var, Var, Cov,,,. 4 Igat bawa x k, N( dx). Seigga megakibatka k 0 0

30 7 x k, N( dx), da k 0 0 x k, N( dx). k 0 0 area I [,], da dari 0, utuk yag bear, maka elag k, k da elag k, k tidak alig tumpag tidi x k (tidak overlap). Seigga N( dx) da x k N( dx) alig beba. Dega demikia Cov, 0, maka,, Var Var Var.,,, 4 (3) emudia igat kembali peryataa Var x dx o, jika. Peryataa ii megakibatka Var, x dx o Var, x dx o demikia peramaa (3) mejadi, jika, da, jika. Dega Var x dx o x dx o, 4 4 x dx o. (3) Dega deret Taylor, kita perole o o,. Seigga rua kaa peramaa (3) mejadi

31 8 o 4 4 x dx o x dx o o 3 3 x dx o 3 3. Berdaarka defiii erta megguaka Teorema 3 da Teorema 4 maka diperole Mea Squared Error (MSE) dari, yag diberika corollary berikut ii. Corollary : (Aprokimai aimtotik utuk MSE, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika 0 da imetrik da memeui aumi (.), (.) da (.3) erta ke empat berigga pada, maka 4 utuk, fugi kerel memiliki turua, 6 MSE x ( x) dx jika. 4 5 x dx o( ) 3 o 3 (33) 3.4. Sifat-ifat Statitika, Teorema 5 : (Aprokimai aimtotik utuk ilai arapa, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika 0, imetrik da memeui aumi (.), (.), (.3) da keempat berigga pada, maka 4 utuk, fugi kerel memiliki turua

32 9 jika. (4) (4), 3 E x ( x) dx o (34) Bukti : E E,,,, 4 E, E, E,. 4 (35) ita igat kembali peramaa (8), yaitu (4) 4 4 4, 4 E x ( x) dx x ( x) dx o maka, E x ( x) dx 4 jika. (4) x x dx o ( ),, E x ( x) dx 4 jika. Dega deret Taylor, kita perole (4) x x dx o ( ), (36) (37) (4) o!! 3! 4! (38) (4) 4 o!! (39) o (40) 4 4 (4) o!! 3! 4! (4) (4) 4 o!! (4)

33 0 o. (43) 4 4 Dega meubtituika peramaa (38), (39), da (40) ke peramaa (36) maka peramaa (36) mejadi 4 E o (4) 4 4, 4 (4) o x ( x) dx o x x dx o ( ). Dega meubtituika peramaa (4), (4), da (43) ke peramaa (37) maka peramaa (37) mejadi 4 E o (4) 4 4, 4 (4) o x ( x) dx o x x dx o ( ). Dega meubtituika peramaa (44) da (45) ke dalam peramaa (35) maka rua kaa dari peramaa (35) mejadi (44) (45) 4 (4) 4 (4) ( ) x x dx o 4 3 (4) (4) x ( x) dx o. 3 Teorema 6 : (Aprokimai aimtotik utuk ragam, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika 0, fugi kerel memeui aumi (.), (.), (.3) da memiliki turua kedua berigga pada, maka 3, Var ( ) ( x) dx o (46) jika.

34 Bukti : Var, dapat ditetuka ebagai berikut : Var Var,,,, 4 4 Var,,, 6 Var, Var, 4Var, 6 4 Cov, 4Cov,,,,, 4Cov,.,, ita liat kembali peramaa (3), yaitu, x k N dx k 0 0. Peryataa ii megakibatka (47) x k, N dx k 0 0 da x k, N dx. k 0 0 Dari 0 da utuk yag cukup bear maka elag k, k, k, k 3, k 3, k tidak alig tumpag tidi (tidak overlap). Ii berimplikai dega x k N dx, x j N dx, da x l N dx alig beba. Dega demikia Cov, 0, da Cov,,, 0,,, Cov, 0.,, Seigga (35) mejadi

35 Var Var Var 4 Var., 4,,, 6 Selajutya kita liat kembali peramaa (3), yaitu (48) ( ), ( ). Var x dx o Peryataa ii megakibatka, ( ) ( ) Var x dx o, ( ) ( ) Var x dx o Dega meubtitika ke (48) diperole, jika, da, jika. ( ) ( ) ( ), 4 6 Var ( x) dx ( x) dx 4 ( x) dx o x dx o 4 5 ( ) ( ) 4 ( ) ( ). 6 Dega deret Taylor, kita perole o, o. Seigga rua kaa peramaa 49 mejadi (49) ( ) ( ) 4 ( ) ( x) dx o x dx o ( ) ( ). 8 Berdaarka defiii erta megguaka Teorema 5 da Teorema 6 maka diperole Mea Squared Error (MSE) dari. ii. yag diberika corollary berikut

36 3 Corollary : (Aprokimai aimtotik utuk MSE, ) Mialka fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika 0 da imetrik da memeui aumi (.), (.) da (.3) erta ke empat berigga pada, maka 4 utuk, fugi kerel memiliki turua (4) (4), 3 MSE x ( x) dx jika. 4 ( ) ( x) dx o 5 o (50)

37 BAB IV SEBARAN ASIMTOTI 4.. Review Sebara Aimtotik dari, Teorema 7 (Normalita Aimtotik utuk, ) Adaika fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal, da mempuyai turua keempat berigga 4 pada. Mialka kerel imetrik da memeui aumi (.), (.), (.3). Mialka pula 0 da 4, utuk. (i) jika, utuk, maka 5, d, Normal (5) utuk, dega x x dx da x dx. (ii) jika 0, utuk, maka 5 d 0,., Normal (5) Bukti : (Liat juga Magku 006b) ita tuli rua kiri peryataa (5) da peryataa (5) mejadi E E. (53),,, area itu, utuk membuktika Teorema ii cukup meujukka 0, d, E, Normal (54) jika ; jika, utuk, maka 5, ( ), E x x dx (55) jika ; da jika 0, utuk, maka 5 E 0, (56),

38 5 jika. ita peratika peryataa (54). Dari rua kiri peryataa (54) dapat dituli Var E,,,. Var, (57) Maka utuk membuktika (54), cukup perika E,, d Var, Normal 0,, (58) da,, Var x dx (59) jika. Utuk membuktika (58) kita peratika betuk berikut. Mialka k = 0,,,... x k X k N dx 0 area 0 jika, maka utuk yag cukup bear, iterval k, k da j, j tidak berpotoga utuk emua k j. Ii berimplikai, utuk emua k j, peuba acak X da X alig beba. Lebi lajut lagi X k, k 0,,,..., adala baria peuba acak yag i.i.d, yag mempuyai ilai arapa da ragam x k EX k x dx 0 x k Var X k x dx 0. k j yag berigga ebagai akibat kerel terletak pada iterval,. area itu, bia kita tuli peduga, adala, X k, k 0

39 6 yag merupaka jumla peuba acak yag i.i.d dikalika uatu kotata. Selajutya dega Teorema Limit Puat kita perole (58). Utuk membuktika (59), kita igat bawa rua kiri peryataa (59) dapat dituli mejadi Var., Berdaarka Teorema kita dapatka kuatita di ata ama dega x dx o x dx o, jika. Seigga kita dapatka (59). Selajutya aka dibuktika (55) da (56). Dari Teorema E, 5 (4) ( ) ( ) x x dx x x dx o 4 jika. area 0 jika, maka uku ke dua pada rua kaa (60) adala 5 o. Seigga rua kaa peramaa (60) mejadi (60) x ( x) dx o. 5 5 Dari aumi, utuk, kita perole (55). Juga dari aumi 5 0, utuk, kita perole (56). Dega demikia Teorema 7 5 terbukti. 4.. Sebara Aimtotik dari, Teorema 8 (Normalita Aimtotik utuk, ) Adaika fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal, da mempuyai turua ketiga berigga pada. Mialka kerel imetrik da memeui aumi (.), (.), (.3). Mialka pula 0 da 3, utuk

40 7 (i) jika, utuk, maka 7 Normal, (6) 3 d, utuk, dega x ( x) dx da 6 x dx. (ii) jika 0, utuk, maka 7 Normal 0,. (6) 3 d, Bukti : Rua kiri peryataa (6) da (6) dapat dituli ebagai E E. (63) 3 3,,, Utuk membuktika Teorema ii aka ditujukka jika. E Normal (0, ), (64) 3 d,, Jika, utuk, maka 7 jika. 3, 6 E x ( x) dx (65) Jika 0, utuk, maka 7 E 0, (66) 3, jika. ita peratika rua kiri peryataa (64) dapat kita tuli Var 3 E,,,. Var, (67) Utuk membuktika (64), aka diperika

41 8 E,, d Var, Normal 0,, (68) da 3 d, Var x dx, (69) jika. Utuk membuktika (68), kita igat kembali peramaa (3), yaitu, x k N dx k 0 0, maka, da x k N dx k 0 0 x k, N dx. Dari peramaa (6), yaitu, maka diperole k 0 0,,, x k N( dx) x k N( dx) k x k N( dx) x k N( dx). k Mialka utuk k = 0,,,... X x k N( dx) x k N( dx) k 0 0 area 0 jika, maka utuk yag cukup bear, iterval k, k da j, j, juga k, k da j, j tidak berpotoga utuk emua k j. Ii berimplikai,

42 9 utuk emua k j, peuba acak X da X alig beba. Lebi lajut lagi k X, k 0,,,..., adala baria peuba acak yag i.i.d, yag mempuyai ilai k arapa da ragam x k x k EX k x dx x dx 0 0 j x k x k Var X k x dx x dx 0 0 yag berigga ebagai akibat kerel terletak pada iterval,. area itu, bia kita tuli peduga, adala, k 0 X k yag merupaka jumla peuba acak yag i.i.d dikalika uatu kotata. Selajutya dega Teorema Limit Puat kita perole (68). Utuk membuktika (69), kita liat rua kiri peryataa (69) dapat dituli Var. 3, Berdaarka Teorema 4, kita dapatka kuatita di ata ama dega x dx o x dx o jika. Seigga didapatka (69). Selajutya kita buktika (65) da (66). Dari Teorema 3, 3 7, 6 E x ( x) dx o( ) jika.

43 30 Dari aumi, utuk, kita perole (65). Juga dari aumi 7 0, utuk, kita perole (66). Dega demikia Teorema 8 7 terbukti Sebara Aimtotik dari, Teorema 9 (Normalita Aimtotik utuk, ) Adaika fugi iteita adala periodik (dega periode ) da teritegralka lokal, da mempuyai turua keempat 4 berigga pada. Mialka kerel imetrik da memeui aumi (.), (.), (.3). Mialka pula 0 da, utuk (i) jika, utuk, maka 9 Normal, (70) 5 d, utuk, dega (4) (4) x ( x) dx da ( ) ( x) dx. 8 (ii) jika 0, utuk, maka 9 Normal 0,. (7) 5 d, Bukti : Rua kiri peryataa (70) da (7) dapat dituli E E (7) 5 5,,, Utuk membuktika teorema ii, cukup ditujukka jika. E Normal 0,, (73) 5 d,, Jika, utuk, maka 9

44 3 jika. 5 (4) (4), 3 E x ( x) dx (74) Jika 0, utuk, maka 9 E 0 (75) 5, jika. ita peratika rua kiri peryataa (73) dapat dituli Var 5 E,,,. Var, (76) Utuk membuktika (73), aka diperika E,, d Var, Normal 0,, (77) da 5 d 3, 8 Var ( ) ( x) dx (78) jika. Utuk membuktika (77), kita igat kembali peramaa (3), yaitu Seigga diperole x k, N dx. k 0 0 x k, N dx da k 0 0 x k, N dx k 0 0 emudia kita igat kembali peramaa (7), yaitu, eigga diperole,,,, 4

45 3 x k x k N dx N dx, 3 4 k Mialka x k N dx. 0 x k x k X k N dx N dx utuk k = 0,,,... x k N dx area 0 jika, maka utuk yag cukup bear, iterval k, k 3 da j, j 3, k 3, k da j 3, j,juga k, k da j, j tidak berpotoga utuk emua k j. Ii berimplikai, utuk emua k j, peuba acak X da X alig beba. Lebi lajut lagi X k, k 0,,,..., adala baria peuba acak yag i.i.d, yag mempuyai ilai arapa da ragam x k x k EX k x dx x dx x k x dx x k x k Var X k x dx x dx x k x dx k j yag berigga ebagai akibat kerel terletak pada iterval,. area itu, bia kita tuli peduga, adala, 3 4 k 0 X k

46 33 yag merupaka jumla peuba acak yag i.i.d dikalika uatu kotata. Selajutya dega Teorema Limit Puat kita perole (77). Utuk membuktika (78), kita igat bawa rua kiri (78) dapat dituli Var 5, Berdaarka Teorema 6, maka kuatita di ata ama dega 3 3 ( ) ( x) dx o ( ) ( x) dx o 8 8 jika. Seigga diperole (78). Selajutya aka dibuktika (74) da (75). Dari Teorema (4) (4), 3 E x ( x) dx o jika. Dari aumi, utuk, kita perole (74). Juga dari aumi 9 0, utuk, kita perole (75). Dega demikia Teorema 9 9 terbukti.

47 BAB V ESIMPULAN DAN SARAN Pedugaa turua pertama da kedua, terlebi daulu ditetuka peduga bagi fugi iteita lokal pada titik dari proe Poio periodik dega periode (diketaui) yag diamati pada iterval 0, yag dirumuka ebagai:, x k N dx k 0 0. Dari peduga di ata, kemudia dituruka peduga bagi yag dirumuka ebagai:,,,. Selajutya dari peduga di ata, dituruka lagi peduga bagi yag dirumuka ebagai:,,,, 4. Pada ketiga peduga di ata, diebut badwidt. Pegkajia yag dilakuka mecakup ifat-ifat tatitika erta ebara aimtotik dari peduga, da,. Dari ail pegkajia yag dilakuka dapat diimpulka bawa: 3, 6 (i). E x ( x) dx o., 3 3 (ii). Var x dx o. (4) (4), 3 (iii). E x ( x) dx o. 3, (iv). Var ( ) ( x) dx o. (v). Jika, utuk, maka 7

48 35 Normal, 3 d, utuk, dega x ( x) dx 6 da Jika 7 x dx. 0, utuk, maka Normal 0,. 3 d, (vi). Jika, utuk, maka 9 Normal, 5 d, utuk, dega (4) (4) x ( x) dx da ( ) ( x) dx. Jika 0, utuk, maka 9 Normal 0,. 5 d,

49 36 DAFTAR PUSTAA Browder, A.996. Matematical Aalyi: A Itroductio. Spriger. New York. Dudley, R. M Real Aalyi ad Probability. Wadwort & Brook. Califoria. Durrett, R Probability : Teory ad Example. Ed. ke-. Duxbury Pre. New York. Grimmett, G. R. ad D. R. Stirzaker. 99. Probability ad Radom Procee. Ed. ke-. Claredo Pre. Oxford. Helmer, R O etimatig te iteity of oil-pollutio i te Nort-Sea. CWI Note BS-N950. Helmer, R. ad Zitiki, R O etimatio of Poio iteity fuctio. Aal Ititute of Statitical Matematic, 5,, Helmer, R, Magku, IW ad Zitiki, R Coitet etimatio of te iteity fuctio of a cyclic Poio proce. Joural of Multivariate Aalyi. 84, Helmer, R, Magku, IW ad Zitiki, R Statitical propertie of a kereltype etimator of te iteity fuctio of a cyclic Poio proce. Joural of Multivariate Aalyi. 9, -3 Helmer, R, Magku, IW ad Zitiki, R A o-parametric etimator for te doubly-periodic Poio iteity fuctio. Statitical Metodology, 4, Helmer, R, ad Magku, IW Etimatig te iteity of a cyclic Poio proce i te preece of liear tred. Accepted by Aal Ititute of Statitical Matematic. Heriwati ekoitea Peduga Turua Pertama da Turua edua dari Fugi Iteita uatu Proe Poio Periodik. Departeme Matematika IPB. Skripi. Bogor. Hogg, R. V. ad A. T. Craig Itroductio to Matematical Statitic. Ed.ke-5. Pretice Hall, Eglewood Cliff. New Jerey. Magku, I W Nearet Neigbor Etimatio of te Iteity Fuctio of a Cyclic Poio Proce. CWI Report PNA-R994. Magku, I W. 00. Etimatig te Iteity of a Cyclic Poio Proce. Uiverity of Amterdam, Amterdam.

50 37 Magku, I W. 006a. Weak ad tog covergece of a kerel-type etimator for te iteity of a periodic Poio proce. Joural of Matematic ad It Aplicatio, 5. Magku, I W. 006b. Aymtotic ormality of a kerel-type etimator for te iteity of a periodic Poio proce. Joural of Matematic ad It Aplicatio, 5. Ro, S. M Itroductio to Probability Model. Ed. ke-8. Academic Pre Ic. Orlado, Florida. Serflig, R. J Approximatio Teorem of Matematical Statitic. Jo Wiley & So. New York. Syamuri Pedugaa Turua Pertama da Turua kedua dari Fugi Iteita uatu Proe Poio Periodik. Departeme Matematika IPB. Tei. Bogor. Taylor, H. M. ad S. arli A Itroductio to Stocatic Modelig. Academic Pre, Ic. Orlado, Florida. Weede, R. L. ad A. Zygmud Meaure ad Itegral : A Itroductio to Real Aalyi. Marcel Dekker, Ic. New York.

51 LAMPIRAN 38

52 39 Lampira. Beberapa Defiii da Lema Teki Ruag Coto, ejadia, da Peluag Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodii yag ama, yag ailya tidak bia diprediki dega tepat tetapi kita bia megetaui emua kemugkia ail yag mucul diebut percobaa acak. Defiii 3 (Ruag Coto) Ruag coto adala impua emua ail yag mugki dari uatu percobaa acak, da diotaika dega. (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiii 4 (ejadia) ejadia adala uatu impua bagia dari ruag coto. (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiii 5 (ejadia Lepa) ejadia A da B diebut alig lepa jika iria dari keduaya adala impua koog ( ). (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiii 6 (Meda-) Meda- adala uatu impua bagia ruag coto, yag memeui yarat berikut :.. Jika A, maka c A. yag aggotaya terdiri ata impua 3. Jika A, A,..., maka i A. i (Hogg ad Craig 995)

53 40 Mialka (impua bilaga yata) da adala impua dari emua elag terbuka di. Jika eigga adala meda-, maka diebut meda- Borel yag aggotaya diebut impua Borel. Defiii 7 (Ukura Peluag) Mialka adala ruag coto uatu percobaa da adala meda- pada. Suatu fugi P yag memetaka uur-uur ke impua bilaga yata, atau P : diebut ukura peluag jika:. P tak egatif, yaitu utuk etiap A, P A 0. P berifat aditif tak igga, yaitu jika A, A,... dega A j A k =, j k maka P A P A. 3. P berorma atu, yaitu P( ) =. Paaga,, P diebut ruag ukura peluag atau ruag probabilita. (Hogg ad Craig 995) Defiii 8 (ejadia Salig Beba) ejadia A da B dikataka alig beba jika : P A B P A P B. Secara umum, impua kejadia Ai ; i I dikataka alig beba jika : P A P A i i J i J i utuk etiap impua bagia J dari I. (Grimmett ad Stirzaker 99) Peuba Acak da Fugi Sebara Defiii 9 (Peuba Acak)

54 4 Mialka adala ruag coto dari percobaa acak. Fugi X yag terdefiii pada yag memetaka etiap uur ke atu da aya atu bilaga real X x diebut peuba acak. Ruag dari X adala impua bagia bilaga real A x : x X,. (Hogg ad Craig 995) Peuba acak diotaika dega uruf kapital, mialya X, Y, Z. Sedagka ilai peuba acak diotaika dega uruf kecil eperti x, y, z. Setiap peuba acak memiliki fugi ebara. Defiii 0 (Peuba Acak Dikret) Peuba acak X dikataka dikret jika emua impua ilai dari peuba acak terebut merupaka impua tercaca. (Hogg ad Craig 995) Defiii (Fugi Sebara) Mialka X adala peuba acak dega ruag. Mialka kejadia A, x, maka peluag dari kejadia A adala P A P X x F x. X X Fugi F X diebut fugi ebara dari peuba acak X. (Hogg ad Craig 995) Defiii (Fugi erapata Peluag) Fugi kerapata peluag dari peuba acak dikret X adala fugi p : 0, yag diberika ole : px x P X x (Hogg ad Craig 995)

55 4 Defiii 3 (Peuba Acak Poio) Suatu peuba acak X diebut peuba acak Poio dega parameter, 0, jika fugi kerapata peluagya diberika ole px k P X k e k. k!, utuk k = 0,,. (Ro 003) Lema (Jumla Peuba Acak Poio) Mialka X da Y adala peuba acak yag alig beba da memiliki ebara Poio dega parameter berturut-turut da. Maka X + Y memiliki ebara Poio dega parameter. Bukti : liat Taylor ad arli 984. (Taylor ad arli 984) Nilai Harapa, Ragam da Mome Defiii 4 (Nilai Harapa) Mialka X adala peuba acak dikret dega fugi kerapata peluag px x P X x. Nilai arapa dari X, diotaika dega E(X), adala E X xp X x x p x, x jika jumla di ata koverge mutlak. x X (Hogg ad Craig 995) Defiii 5 (Ragam)

56 43 Mialka X adala peuba acak dikret dega fugi kerapata peluag px x da ilai arapa E(X). Maka ragam dari X, diotaika dega Var (X) atau adala, X X E X E X x E X p x. X X (Hogg ad Craig 995) Defiii 6 (Mome ke-k) Jika k adala bilaga bulat poitif, maka mome ke-k atau X adala mk dari peuba acak k mk E X. (Hogg ad Craig 995) Defiii 7 (Mome Puat ke-k) Jika k adala bilaga bulat poitif maka mome puat ke-k atau k dari peuba acak X adala k k E X m. (Hogg ad Craig 995) Nilai arapa dari peuba acak X juga merupaka mome pertama dari X. Nilai arapa dari kuadrat perbedaa atara peuba acak X dega ilai arapaya diebut ragam atau variace dari X. Ragam merupaka mome puat ke- dari peuba acak X. Defiii 8 (Peuba Acak Idikator) Mialka A adala uatu kejadia. Fugi idikator dari A adala uatu fugi I : 0,, yag diberika ole : A I A, jika 0, jika A A

57 44 Dega fugi idikator kita dapat meyataka al berikut : EI A P A. (Grimmett ad Stirzaker 99) ekovergea Peuba acak Terdapat beberapa cara utuk megiterpretaika peryataa kekovergea baria peuba acak, X X utuk. Defiii 9 (ekovergea Dalam Peluag) Mialka X, X,..., X adala baria peuba acak pada uatu ruag peluag,, P. Baria peuba acak X dikataka koverge dalam peluag ke X, p diotaika X X, jika utuk etiap 0 berlaku P X X 0, utuk. (Grimmett ad Stirzaker 99) Peduga da Sifat-ifatya Defiii 30 (Statitik) Statitik adala uatu fugi dari atu atau lebi peuba acak yag tidak tergatug pada atu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketaui. (Hogg ad Craig 995) Defiii 3 (Peduga) Mialka X, X,..., X adala coto acak. Suatu tatitik U X, X,..., X yag diguaka utuk meduga fugi parameter g, dikataka ebagai peduga (etimator) bagi g, dilambagka dega g. Bilamaa ilai X x, X x,..., X x, maka ilai U X, X,..., X diebut abagai dugaa (etimate) bagi g. (Hogg ad Craig 995)

58 45 Defiii 3 (Peduga Tak Bia). Suatu peduga yag ilai arapaya ama dega parameter g, yaitu E U X, X,..., X g diebut peduga tak bia bagi parameter g. Jika ebalikya, peduga di ata diebut berbia.. Jika lim E U X, X,..., X g utuk, maka U X, X,..., X diebut ebagai peduga tak bia aimtotik. (Hogg ad Craig 995) Defiii 33 (Peduga oite) Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter g, diebut peduga koite bagi g. (Hogg ad Craig 995) Defiii 34 (MSE uatu Peduga) Mea Square Error (MSE) dari uatu peduga U bagi parameter g didefiiika ebagai MSE U E U g U Bia U Var U, dega Bia U EU g. Defiii 35 (Fugi Teritegralka Lokal) Fugi iteita adala teritegralka lokal, jika utuk embarag impua Borel terbata B kita perole B B d (Dudley 989)

59 46 Defiii 36 (O(.) da o(.)) Simbol-imbol ii merupaka cara utuk membadigka bearya dua fugi u(x) da v(x) dega x meuju uatu limit L. (i). Notai u x v x, x L, meyataka bawa u x v x terbata, utuk x L. u x (ii). Notai u x o v x, x L, meyataka bawa 0, utuk v x x L. (Serflig 980) Defiii 37 (Titik Lebegue) ita kataka adala titik Lebegue dari fugi jika berlaku lim x dx 0. 0 (Weede ad Zygmud 977) Lema (Teorema Fubii) Mialka X, A, da X, A, adala dua ruag ukura -fiit. Jika f 0 atau f d maka f x, y dy dx f d f x, y dx dy. X Y XxY Y X Bukti : liat Durret 996 (Durret 996) Lema 3 (Formula Youg dari Teorema Taylor) Mialka g memiliki turua ke- yag beriga pada atu titik. Maka

60 47 ( k ) g x k g y g x y x o y x k k! Bukti : liat Serflig 980, utuk y x. (Serflig 980) Lema 4 (Pertidakamaa Cebyev) Jika X adala peuba acak dega ilai arapa etiap k >0, da ragam, maka utuk P X k k. (Ro 003) Bukti : liat Ro 003 Lema 5 (Teorema Limit Puat) Mialka X,X,...,X adala uatu coto acak dari uatu ditribui yag mempuyai ilai-arapa da variace Maka peuba acak Y X / X / koverge ke. i ebara ormal dega ilai-arapa ol da ragam. (Hogg ad Craig 995) Bukti : liat Hogg ad Craig 995