SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK IHDA ANISSA INDRIASTUTI

Transkripsi

1 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK IHDA ANISSA INDRIASTUTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 ABSTRAK IHDA ANISSA INDRIASTUTI Sebara Aimtoti Peduga Turua Pertama da Turua Kedua Fugi Iteita Proe Poio Periodi Dibimbig oleh I WAYAN MANGKU da SISWANDI Pada arya ilmiah ii dibaha pedugaa turua pertama da turua edua dari fugi iteita uatu proe Poio periodi Utu memformulaia peduga turua pertama da turua edua fugi iteita ii, terlebih dahulu dirumua ebuah peduga fugi iteita proe Poio periodi itu ediri Kemudia dipelajari ifat-ifat tatiti dari peduga turua pertama da turua edua fugi iteita yag diaji Terahir ditetua ormalita aimtoti dari peduga terebut

3 ABSTRACT IHDA ANISSA INDRIASTUTI Aymptotic Ditributio of Etimator for the Firt ad Secod Derivative of the Iteity Fuctio of a Periodic Poio Proce Supervied by I WAYAN MANGKU ad SISWANDI Thi maucript i cocered with etimatio of the firt ad ecod derivative of iteity fuctio of a periodic Poio proce To cotruct the etimator for the firt ad ecod derivative of thi iteity fuctio, a etimator for the iteity fuctio itelf i formulated The, the tatitical propertie of the etimator for the firt ad ecod derivative of the iteity fuctio are dicued Fially, a aymptotic ormality of thoe etimator are etablihed

4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK IHDA ANISSA INDRIASTUTI Sripi ebagai alah atu yarat utu memperoleh gelar Sarjaa Sai pada Departeme Matematia DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

5 Judul Nama NRP : Sebara Aimtoti Peduga Turua Pertama da Turua Kedua Fugi Iteita Proe Poio Periodi : Ihda Aia Idriatuti : G Meyetujui Pembimbig I, Pembimbig II, Dr Ir I Waya Magu, MSc Dr Siwadi M,Si NIP NIP Megetahui: Ketua Departeme, Dr Berlia Setiawaty, MS NIP Taggal Lulu :

6 KATA PENGANTAR Puji da yuur peuli pajata epada Allah SWT ata egala rahmat da aruia-nya ehigga arya ilmiah ii berhail dieleaia Peyuua arya ilmiah ii juga tida lepa dari batua berbagai piha Utu itu peuli megucapa terima aih yag ebear-bearya epada: Dr Ir I Waya Magu, MSc elau doe pembimbig I (terima aih ata emua ilmu, eabara, motivai, da batuaya elama peulia ripi ii Dr Siwadi M,Si Selau doe pembimbig II (terima aih ata emua ilmu, ara, da batuaya elama peulia ripi ii 3 Ir Reto Budiarti, MS elau doe peguji (terima aih ata emua ilmu da araya 4 Semua doe Departeme Matematia (terima aih ata emua ilmu yag telah diberia 5 Pa Yoo, Ma Heri, Pa Boo, Bu Ade, Bu Sui, Ma Dei 6 Keluargau tercita : Ayah da Ibu (terima aih baya ata emua doa, duuga, da aih ayagya,om, tate, adi-adi u terayag, ae da ee (terima aih ata doaya 7 Dede Febriyato (terima aih ata watu, doa, duuga, ara, da egala batuaya 8 Iig, Ira, Vivi, Evi, Prima, Eli, Yatia, Ita, Nila, Chytia, Dia (terima aih ata doa, duuga, ara da egala batuaya, 9 Tema ebimbiga : Weti, Nadiroh, Pepi, Tita (maaih ata batuaya 0 Tema-tema Math 44 : Ruhiyat, Sia, Ligga, Yuyu, Lugia, Diaa, Yati, Lili, Ririh, Ea, Awi, Wahyu, Aqil, Aze, Nurul, Tati, Rachma, Mutia, Lili, Cita, Selvi, Tedhy, Ali, Lia, Irea, Deva, Nurul Ucu, Ititi, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dia, Viaey, Devi, Yogie, Copa, Ayug, Sari, Edro, Fitri Dora, Ima, Fajar, Nurfitriaa, Maayu, Deda, Ati, Dia, Fai, Iha, Della, Padi, Rizy, Tya, Aria, Imam, Rofi, Idi, Mariyam, Olih, Ipul, Nuru, Luma, Puyig, Naim (elamat berjuag tema-temau Tema-tema Math 4 : Ka Age, Ka Rice, Ka Ocoy, Ka Rata, da tema-tema Math 4 laiya (terima aih ata ara da egala batuaya Tema-tema Math 43 : Ka Emta, Ka Apri, Ka Supri, Ka Detya, Ka Vera, Ka Kabil, Ka Agug, Ka Rata, Ka Aii, Ka Tami, Ka Wira, Ka Suarih da tema-tema Math 43 laiya (terima aih ata duuga, ara, da egala batuaya 3 Adi-adi Math 45, Math 46, da TPB 47 (terima aih ata doa da duugaya 4 Tema-tema Perwira 48 (terima aih ata doaya Semoga arya ilmiah ii dapat bermafaat bagi duia ilmu pegetahua huuya Matematia da mejadi ipirai bagi peelitia-peelitia elajutya Bogor, April 0 Ihda Aia Idriatuti

7 RIWAYAT HIDUP Peuli dilahira di Tagerag pada taggal 9 Otober 989 ebagai aa pertama dari tiga beraudara, aa dari paaga Samiga da Suratiyah Tahu 00 peuli lulu dari SDN Sirabaya III Tahu 004 peuli lulu dari SMPN 3 Karawag Tahu 007 peuli lulu dari SMAN 5 Karawag da pada tahu yag ama lulu elei mau IPB melalui jalur Ujia Sariga Mau IPB (USMI Peuli memilih Jurua Matematia, Faulta Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Selama megiuti peruliaha, peuli mejadi aggota dalam Orgaiai Mahaiwa Daerah (OMDA Karawag pada periode

8 vii DAFTAR ISI Halama PENDAHULUAN Latar Belaag Tujua LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Peubah Aca da Fugi Sebara Mome Peubah Aca 3 Keovergea Peubah Aca 3 Peduga 3 Proe Poio Periodi 4 Beberapa Defiii da Lema Tei 5 HASIL PEMBAHASAN 7 Review Perumua Peduga Bagi λ ( da Sifat-ifat Statitiya 7 Review Perumua Peduga Bagi λ '( da Sifat-ifat Statitiya 7 Review Perumua Peduga Bagi λ "( da Sifat-ifat Statitiya 9 Sebara Aimtoti bagi λ, ' λ da " λ SIMPULAN 6 DAFTAR PUSTAKA 7 LAMPIRAN 8

9 PENDAHULUAN Latar Belaag Baya feomea yata dalam ehidupa ehari-hari yag dapat dimodela dega proe toati Model emacam ii megguaa atura-atura peluag yag meggambara perilau uatu item yag tida dietahui ecara pati di maa yag aa datag Mialya, proe edataga pelagga e uatu puat ervi (ba, ator po, upermaret, da ebagaiya Proe toati adalah uatu model matematia yag megguaa aidahaidah peluag Model ii umumya diguaa utu mejelaa feomeafeomea yag tida dapat dietahui ecara pati megeai perilauya yag aa terjadi Proe toati dibedaa mejadi dua yaitu proe toati dega watu diret da proe toati dega watu otiu Pada arya ilmiah ii pembahaa haya dibatai pada proe toati dega watu otiu Salah atu betu huu dari proe toati dega watu otiu adalah proe Poio periodi Proe Poio periodi merupaa uatu proe Poio dega fugi iteita berupa fugi periodi Proe ii atara lai dapat diguaa utu memodela proe edataga pelagga e uatu puat ervi dega periode atu hari Pada proe edataga pelagga terebut, fugi iteita loal meyataa laju edataga pelagga pada watu tertetu Dalam baya peerapa, ita tida megetahui ecara pati perilau uatu item di maa yag aa datag ehigga elai diperlua peduga bagi fugi iteita uatu proe Poio periodi, diperlua pula peduga bagi turua fugi iteita terebut Pada arya ilmiah ii dipelajari perumua peduga bagi turua pertama da turua edua dari fugi iteita uatu proe Poio periodi dega megguaa fugi erel eragam Selai itu dibaha pula ifat-ifat tatitiya, da ahirya ditetua ebara ormal aimtotiya jia pajag iterval pegamata meuju ta higga Tujua Tujua peulia arya ilmiah ii adalah utu : (i Mempelajari perumua peduga turua pertama da turua edua dari fugi iteita uatu proe Poio periodi dega fugi erel eragam (ii Mempelajari pedeata aimtoti dari ilai harapa peduga (iii Mempelajari pedeata aimtoti dari ragam peduga (iv Meetua ebara aimtoti dari peduga yag diaji

10 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Suatu percobaa yag dapat diulag dalam odii yag ama, yag hailya tida dapat dipredii ecara tepat tetapi ita dapat megetahui emua emugia hail yag mucul diebut percobaa aca Defiii (Ruag cotoh Ruag cotoh adalah himpua emua hail yag mugi dari uatu percobaa aca, da diotaia dega Ω (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiii (Kejadia Kejadia adalah uatu himpua bagia dari ruag cotoh Ω (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiii 3 (Kejadia lepa Kejadia A da B diebut alig lepa jia iria dari eduaya adalah himpua oog ( φ (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiii 4 (Meda-σ Meda-σ adalah uatu himpua yag aggotaya terdiri dari himpua bagia dari ruag cotoh Ω, yag memeuhi yarat beriut : Jia A, maa A c 3 Jia A, A,, maa U Ai i= (Hogg et al 005 Defiii 5 (Uura Peluag Miala Ω adalah ruag cotoh uatu percobaa da adalah meda-σ pada Ω Suatu fugi Ρ yag memetaa uur-uur e himpua bilaga yata, atau Ρ : diebut uura peluag jia : Ρ ta egatif, yaitu utu etiap A, Ρ( A 0 Ρ berifat aditif ta higga, yaitu jia A, A, dega A A = φ, j, j maa ( ( A Ρ U = Ρ A = = 3 Ρ berorma atu, yaitu ΡΩ ( = Paaga (Ω,,Ρ diebut ruag uura peluag atau ruag probabilita (Hogg et al 005 Defiii 6 (Kejadia alig beba Kejadia A da B diataa alig beba jia : Ρ( A B =Ρ( A Ρ ( B Secara umum, himpua ejadia { A ; i I} diataa alig beba jia : ( A i ( A i Ρ = Ρ i I J i J utu etiap himpua bagia J dari I (Grimmett ad Stirzaer 99 Peubah Aca da Fugi Sebara Defiii 7 (Peubah aca Miala Ω adalah ruag cotoh dari uatu percobaa aca Fugi X yag terdefiii pada Ω yag memetaa etiap uur ω Ω e atu da haya atu bilaga real X( ω diebut peubah aca Ruag dari X adalah himpua bagia bilaga real { x: x X( ω, ω } = = Ω (Hogg et al 005 Suatu peubah aca dilambaga dega huruf apital, mialya XYZ,,,edaga ilai dari peubah aca dilambaga dega huruf ecil eperti xyz,, Defiii 8 (Peubah aca diret Peubah aca X diataa diret jia emua himpua ilai dari peubah aca terebut merupaa himpua tercacah (Hogg et al 005 Defiii 9 (Fugi ebara Miala X adalah peubah aca dega ruag Miala ejadia A= (, x], maa peluag dari ejadia A adalah Ρ( X x = F X ( x Fugi F X diebut fugi ebara dari peubah aca X (Hogg et al 005 i

11 3 Defiii 0 (Fugi maa peluag Fugi maa peluag dari peubah aca diret X adalah fugi : 0, yag diberia oleh : px ( x =Ρ ( X = x (Hogg et al 005 Defiii (Peubah aca Poio Suatu peubah aca X diebut peubah aca Poio dega parameter λ, λ > 0, jia fugi maa peluagya diberia oleh λ λ px ( = e,! utu = 0,, (Ro 007 Lema (Jumlah peubah aca Poio Jia X da Y adalah dua peubah aca yag alig beba da memilii ebara Poio dega parameter berturut-turut λ da λ, maa X + Y adalah peubah aca berebara Poio dega parameter λ + λ (Taylor ad Karli 984 Buti : Lihat Lampira Mome Peubah Aca Defiii (Nilai harapa Miala X adalah peubah aca diret dega fugi maa peluag px ( x Nilai harapa dari X, diotaia dega Ε ( X, adalah Ε ( X = xpx ( x, x jia jumlah di ata overge mutla (Hogg et al 005 Defiii 3 (Ragam Miala X adalah peubah aca diret dega fugi maa peluag px ( x da ilai harapa Ε ( X Ragam dari X, diotaia dega Var ( X atau adalah σ, X σ X =Ε(( X Ε ( X = ( x Ε( X px ( x x (Hogg et al 005 Jia adalah bilaga bulat poitif, maa mome e- atau m dari peubah aca X adalah m =Ε ( X (Hogg et al 005 Defiii 5 (Mome puat e- Jia adalah bilaga bulat poitif, maa mome puat e- atau σ dari peubah aca X adalah σ =Ε(( X Ε ( X (Hogg et al 005 Nilai harapa dari peubah aca X juga merupaa mome pertama dari X Nilai harapa dari uadrat perbedaa atara peubah aca X dega ilai harapaya diebut ragam dari X Ragam merupaa mome puat e- dari peubah aca X Defiii 6 (Fugi Idiator Miala A adalah uatu ejadia Fugi idiator dari A adalah uatu fugi Ι Α : Ω [0,], yag diberia oleh : {, jia ω A Ι Α ( ω = 0, jia ω A (Grimmet ad Stirzaer 99 Dega fugi idiator ita dapat meyataa hal beriut : ΕΙ ( A =Ρ ( A Keovergea Peubah Aca Defiii 7 (Keovergea dalam ebara Miala,,, adalah peubah aca pada uatu ruag peluag Ω,,P Suatu baria peubah aca diataa overge dalam ebara e peubah aca X, dituli, utu, jia P x P utu, utu emua titi x dimaa fugi ebara P adalah otiu (Grimmett da Stirzaer 99 Defiii 4 (Mome e- Peduga

12 4 Defiii 8 (Statiti Statiti merupaa uatu fugi dari atu atau lebih peubah aca yag tida tergatug pada atu atau beberapa parameter yag ilaiya tida dietahui (Hogg et al 005 Defiii 9 (Peduga Miala X, X,, X adalah cotoh aca Suatu tatiti UX (, X,, X yag diguaa utu meduga fugi parameter g( θ, diataa ebagai peduga (etimator bagi g( θ, dilambaga dega g( θ Bilamaa ilai X = x, X = x,, X = x, maa ilai U( x, x,, x diebut ebagai ilai dugaa (etimator bagi g( θ (Hogg et al 005 Defiii 0 (Peduga Ta Bia (i Suatu peduga yag ilai harapaya ama dega parameter g( θ, yaitu Ε [ UX (, X,, X] = g( θ, diebut peduga ta bia bagi g( θ Apabila ebaliya, peduga di ata diebut berbia (ii Jia lim Ε [ UX (, X,, X] = g( θ, maa UX (, X,, X diebut ebagai peduga ta bia aimtoti bagi g( θ (Hogg et al 005 Defii (Peduga oite Suatu peduga yag overge dalam peluag e parameter g( θ, diebut peduga oite bagi g( θ (Hogg et al 005 Defiii (MSE uatu peduga Mea Square Error (MSE dari uatu peduga U bagi parameter g( θ didefiiia ebagai MSE( U =Ε( U g( θ = ( Bia( U + Var ( U dega Bia ( U =ΕU g( θ Proe Poio Periodi Defiii 3 (Proe Stoati Proe toati X = { Xt (, t T} adalah uatu himpua dari peubah aca yag memetaa uatu ruag cotoh Ω e uatu ruag tate X( t (Ro 007 Jadi, utu etiap t pada himpua ide T, X( t adalah uatu peubah aca Kita erig megiterpretaia t ebagai watu da X( t ebagai tate (eadaa dari proe pada watu t Defiii 4 (Proe toati watu otiu Suatu proe toati X diebut proe toati dega watu otiu jia T adalah uatu iterval (Ro 007 Defiii 5 (Ireme beba Suatu proe toati dega watu otiu { X( t, t T} diebut memilii ireme beba jia utu emua t 0 < t < t < < t, peubah aca Xt ( Xt ( 0, Xt ( Xt (,, Xt ( Xt ( adalah beba (Ro 007 Berdaara defiii di ata, maa uatu proe toati dega watu otiu X diebut memilii ireme beba jia proe berubahya ilai pada iterval watu yag tida tumpag tidih (tida overlap adalah beba Defiii 6 (Ireme taioer Suatu proe toati dega watu otiu X = { Xt (, t T} diebut memilii ireme taioer jia X( t+ Xt ( memilii ebara yag ama utu emua ilai t (Ro 007 Berdaara defiii di ata, maa uatu proe toati dega watu otiu X diebut memilii ireme taioer jia ebara dari perubaha ilai atara embarag dua titi haya tergatug pada jara atara edua titi terebut, da tida tergatug dari loai titi-titi terebut

13 5 Defiii 7 (Proe Pecacaha Suatu proe toati { Nt (, t 0} diebut proe pecacaha jia Nt ( meyataa bayaya ejadia yag telah terjadi ampai watu t (Ro 007 Dari defiii terebut, maa uatu proe pecacaha Nt ( haru memeuhi yaratyarat beriut : (i Nt ( 0utu emua t [0, (ii Nilai Nt ( adalah iteger (iii Jia < t maa N ( Nt ( dega t, [0, (iv Utu < t maa Nt ( N ( ama dega bayaya ejadia yag terjadi pada iterval (,] t Defiii 8 (Proe Poio Suatu proe pecacaha { Nt (, t 0} diebut proe Poio dega laju λ, λ > 0, jia dipeuhi tiga yarat beriut : (i N (0 = 0 (ii Proe terebut memilii ireme beba (iii Bayaya ejadia pada embarag iterval watu dega pajag t, memilii ebara Poio dega ilai harapa λ t Sehigga utu emua t>, 0, λt e ( λ t Ρ ( Nt ( + N ( = =,! = 0,, (Ro 007 Dari yarat (iii dapat dilihat bahwa proe Poio memilii ireme yag taioer Dari yarat ii juga dapat diperoleh : Ε ( Nt ( = λt Defiii 9 (Proe Poio ta homoge Suatu proe Poio { Nt (, t 0} diebut proe Poio ta homoge jia laju pada embarag watu t merupaa fugi ta ota dari t yaitu λ ( t Defiii 30 (Iteita loal Iteita loal dari uatu proe Poio ta homoge X dega fugi iteita λ pada titi adalah λ ( yaitu ilai fugi λ di (Creie 993 Defiii 3 (Fugi periodi Suatu fugi λ diebut periodi jia λ( + τ = λ( utu emua da Kotata terecil τ yag memeuhi peramaa di ata diebut periode dari fugi λ terebut (Browder 996 Defiii 3 (Proe Poio Periodi Proe Poio periodi adalah uatu proe Poio ta homoge yag fugi iteitaya adalah fugi periodi (Magu 00 Beberapa Defiii da Lema Tei Defiii 33 (Fugi teritegrala loal Fugi iteita λ diebut teritegrala loal jia utu embarag himpua Borel terbata B ita peroleh μ( B = B λ( d < (Dudley 989 Defiii 34 ( Ο ( da ο ( Ο da ( Simbol-imbol ( ο merupaa cara utu membadiga bearya dua fugi ux ( da vx ( dega x meuju uatu limit L (i Notai ux ( =Ο( vx (, x L, meyataa ux ( bahwa terbata, utu x L vx ( (ii Notai ux ( = ο((, vx x L, meyataa bahwa ux ( 0 vx (, utu x L (Serflig 980 Defiii 35 (Titi Lebeque Kita ataa adalah titi Lebeque dari λ jia berlau h lim ( x ( dx 0 h 0 h h λ + λ = (Wheede ad Zygmud 977 Lema (Formula Youg dari Teorema Taylor

14 6 Miala g memilii turua e- yag berhigga pada uatu titi x Maa ( g ( x g( y = g( x + ( y x + ο ( y x, =! utu y x (Serflig 980 Buti : Lihat Serflig 980 Lema 3 (Pertidaamaa Chebyhev Jia X adalah peubah aca dega ilai harapa μ da ragam σ, maa utu etiap > 0 σ Ρ( X μ Buti : Lihat Lampira (Ro 007 Lema 4 (Teorema Limit Puat Miala,,, adalah uatu cotoh aca dari uatu ditribui yag mempuyai ilai-harapa µ da variace σ Maa peubah aca Y = ( X σ = ( X i μ / μ / σ overge e ebara ormal dega ilaiharapa ol da ragam (Hogg ad Craig 005 Buti : Lihat Hogg ad Craig 005

15 7 HASIL PEMBAHASAN Review Perumua Peduga Bagi λ ( da Sifat-ifat Statitiya Miala N adalah uatu proe Poio periodi dega fugi iteita λ yag diamati pada uatu iterval [0, ] Pembahaa haya dibatai utu au periode τ yag dietahui dari fugi iteita λ Miala h adalah baria dari bilaga real poitif yag overge meuju ol, yaitu h 0 jia Peduga bagi λ ( dapat dirumua ebagai beriut : τ λ ( = = 0 h ( ([ + τ + τ + ] N h, h [0, ] Teorema : (Aproimai aimtoti utu ilai harapa λ ( Miala fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal erta h 0 a Jia λ memilii turua etiga 3 berhigga di da h, maa " 3 Ε λ( = λ( + λ ( h + o( h 6 jia ( b Jia λ memilii turua eempat 4 berhigga di da h, maa " (4 4 4 Ε λ ( = λ ( + λ ( h+ λ ( h + oh ( 6 0 jia (3 Buti : Lihat Pramarai 009 Teorema : (Aproimai aimtoti utu ragam λ ( Miala fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal erta h 0 a Jia λ memilii turua etiga berhigga pada, maa " τλ( τλ ( h h ( ( Var λ o = + + h jia (4 b Jia λ memilii turua eempat berhigga pada, maa " ( ( ( τλ τλ h Var λ ( = + h (4 3 3 τλ ( h h + + o 40 jia (5 Buti : Lihat Pramarai 009 Review Perumua Peduga Bagi λ '( da Sifat-ifat Statitiya Jia λ ( adalah peduga bagi λ (, maa peduga bagi λ'( dapat dirumua ebagai beriut : ( ' λ ( ( + h λ h λ = (6 h Peduga di ata diperoleh dari fata bahwa utu ilai h > 0 yag cuup ecil, maa ' λ( + h λ( h λ ( (7 h Teorema 3 : (Aproimai aimtoti utu ' ilai harapa λ ( Miala fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal 3 Jia h 0, h utu da λ memilii turua etiga berhigga pada, maa ' ' ''' Ε λ( = λ ( + λ ( h + o( h 3 jia (8 Buti : Nilai harapa rua iri dari peramaa (8 dapat diyataa ebagai beriut : ( ' λ h ( h ( + λ Ε λ = Ε h

16 8 = ( Ε λ + h Ελ( h (9 h Berdaara peramaa (, maa " 3 Ε λ ( + h = λ ( + h + λ ( + h h + o ( h 6 jia (0 da " 3 Ελ ( h = λ ( h + λ ( h h + o ( h 6 jia ( Dega megguaa deret Taylor maa diperoleh bahwa λ( + h = ' " ''' λ( λ ( λ ( ( 3 3 λ( + h+ h+ h+ oh (!! 3! ''' " " λ ( λ ( + h = λ ( + h + o( h (3! λ( h = ' " ''' λ( λ ( λ ( (4 3 3 λ( h+ h h+ o( h!! 3! ''' " " λ ( λ ( h = λ ( h + o( h (5! Dega meubtituia peramaa ( da (3 e peramaa (0 maa didapata Ε λ ( + h = ' " ''' 3 3 λ( + λ ( h + λ ( h + λ ( h + oh ( 3 3 jia (6 Dega meubtituia peramaa (4 da (5 e peramaa ( maa didapata Ε λ ( h = ' " ''' 3 3 λ( λ ( h + λ ( h λ ( h + oh ( 3 3 jia (7 Dega meubtituia peramaa (6 da (7 e peramaa (9 maa didapata ' ' ''' Ε λ ( = λ ( + λ ( h + o( h jia Teorema 3 terbuti 3 Teorema 4 : (Aproimai aimtoti utu ' ragam λ ( Miala fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal 3 Jia h 0, h utu da λ memilii turua etiga berhigga pada, maa " ' τλ( τλ ( Var( λ ( = + + o 3 4h 6h jia (8 Buti : Var( ' λ ( dapat ditetua ebagai beriut ( ' λ h ( h ( ( + Var Var λ λ = h = [ Var ( λ ( ( ( + h + Var λ h 4h Cov ( λ ( h, + λ( h] (9 Dari peramaa ( diperoleh : λ ( + h = τ N( [ + τ, + τ + h ] [0, ] = h da λ ( h = τ N( [ + τ h, + τ] [0, ] = h Dari h 0 jia maa utu ilai yag cuup bear, elag [ + τ, + τ + h ] da [ τ h, τ ] tidih, ehigga N [ τ, τ h ] N [ τ h, τ ] + + tida alig tumpag da + + adalah peubah aca beba Dega demiia Cov( λ (, + h λ( h = 0, ehigga peramaa (9 mejadi

17 9 ' Var( λ ( = [ Var( λ ( h Var( ( h ] + + λ 4h (0 Berdaara peramaa (4 diperoleh : Var( λ ( + h = " τλ ( + h τλ ( + h h h o + + h jia ( da Var( λ( h = " τλ ( h τλ ( h h + h o + h jia ( Dega meubtituia peramaa ( da (3 e ( maa diperoleh Var( λ( + h = ' " ''' τλ( τλ ( τλ ( τλ ( h + + h h o + + h 3 6 jia (3 Dega meubtituia peramaa (4 da (5 e ( maa diperoleh Var( λ( h = ' " ''' τλ( τλ ( τλ ( τλ ( h + h h o + h 3 6 jia (4 Dega meubtituia peramaa (3 da (4 e (0 maa " ' τλ( τλ ( Var( λ ( = + + o 3 4h 6h jia Teorema 4 terbuti Review Perumua Peduga Bagi λ "( da Sifat-ifat Statitiya Jia λ ( adalah peduga bagi λ (, maa peduga bagi λ "( dapat dirumua ebagai beriut : ( ( " λ ( ( + h + λ h λ λ = (5 4h Peduga di ata diperoleh dari fata bahwa, utu ilai h > 0 yag cuup ecil, maa : " ' ' λ ( + h λ ( h λ ( h " λ( + h + λ( h λ( λ ( (6 4h Teorema 5 : (Aproimai aimtoti utu " ilai harapa λ ( Miala fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal 4 Jia h 0, h utu da λ memilii turua eempat berhigga pada, maa " " (4 Ε λ ( = λ ( + λ ( h + o ( h jia (7 Buti : Nilai harapa di rua iri peramaa (7 dapat diyataa ebagai beriut : ( ( " λ h h ( ( + + λ λ Ε λ =Ε 4h = [ Ε λ ( ( + h +Ελ h 4h Ε λ ( ] (8 Berdaara peramaa (3, maa Ε λ ( + h = " (4 4 4 λ( + h + λ( + h h+ λ ( + h h + oh ( 6 0 jia (9 da Ε λ ( h = " (4 4 4 λ( h + λ( h h+ λ ( h h + oh ( 6 0 jia (30 Dega megguaa deret Taylor maa diperoleh bahwa

18 0 ' " λ ( λ ( λ( + h = λ( + h + 4h!! ''' (4 λ ( 3 λ ( h + 6 h + o( h, 3! 4! (3 " λ ( + h = ''' (4 " λ ( λ ( λ ( + h + 4 h + o( h,!! (3 (4 (4 λ ( + h = λ ( + o(, (33 ' " λ ( λ ( λ( h = λ( h + 4h!! ''' (4 λ ( 3 λ ( 4 4 8h + 6 h + o( h, 3! 4! (34 " λ ( h = ''' (4 " λ ( λ ( λ ( h + 4 h + o( h,!! (35 da (4 (4 λ ( h = λ ( + o( (36 Dega meubtituia peramaa (3, (3, da (33 e peramaa (9 maa didapata ' 3 " Ε λ ( + h = λ ( + λ ( h + λ ( h 6 5 ''' 3 ( λ ( h + λ ( h + oh ( 3 0 jia (37 Dega meubtituia peramaa (34, (35, da (36 e peramaa (30 maa didapata ' 3 " Ε λ ( h = λ ( λ ( h + λ ( h 6 5 ''' 3 (4 4 4 λ ( h + λ ( h + oh ( 3 0 jia (38 Dega meubtituia peramaa (3, (37, da (38 e peramaa (8 maa didapata " '' (4 Ε λ ( = λ ( + λ ( h + o ( h jia Teorema 5 terbuti Teorema 6 : (Aproimai aimtoti utu " ragam λ ( Miala fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal 4 Jia h 0, h utu da λ memilii turua eempat berhigga pada, maa Var( " λ ( = " (4 3 τλ( 5 τλ ( 3 τλ ( o 5 3 6h 96h 90h h jia (39 Buti : Var( " λ ( dapat ditetua dega ebagai beriut Var ( " λ( = Var λ ( ( + h + λ h λ( 4h = [ Var( λ ( h Var( ( h λ 6h + 4 Var ( λ ( ( (, Cov λ + h λ( h 4 Cov ( λ (, + h λ( 4 Cov ( λ ( h, λ( ] (40 Dari peramaa (, diperoleh λ ( + h = τ N( [ + τ + h, + τ + 3 h] [0, ] = h da λ ( h = τ N( [ + τ 3 h, + τ h] [0, ] = h Dari h 0, jia maa utu ilai yag cuup bear iterval[ + τ h, + τ+ h], [ + τ+ h, + τ+ 3h],da [ τ 3 h, τ h ] + + tida alig tumpag tidih, ehigga N [ + τ h, + τ+ h], [ τ, τ 3] [ τ 3, τ ] N+ + h + + h, da N+ h + h adalah beba

19 Dega demiia Cov( λ (, + h λ( h = 0, Cov( λ (, + h λ( = 0, da Cov( λ (, h λ( = 0,ehigga peramaa (40 mejadi " Var( λ ( [ ( = Var λ ( 4 + h 6h (4 + Var( λ ( h 4 Var( + λ( ] Berdaara peramaa (5, diperoleh : " τλ( + h ( ( ( τλ + h Var λ + h = + h h (4 3 τλ ( + h 3 h + h + o 40 jia (4 da " τλ( h ( ( ( τλ h Var λ h = + h h (4 3 τλ ( h 3 h + h + o 40 jia (43 Dega meubtituia peramaa (3, (3, da (33 e peramaa (4 maa τλ( τλ '( 3 τλ "( Var( λ( + h = + + h h (4 5 τλ "'( τλ ( h h o h jia (44 Dega meubtituia peramaa (34, (35, da (36 e peramaa (43 maa τλ( τλ '( 3 τλ "( Var( λ( h = + h h (4 5 τλ "'( τλ ( 3 3 h h o h jia (45 Dega meubtituia peramaa (44, (45, da (5 e peramaa (4 maa " (4 " 3 τλ( 5 τλ ( 3 τλ ( Var ( λ ( = o 5 3 6h 96h 90h h jia Jadi Teorema 6 terbuti Sebara Aimtoti bagi λ, ' λ da " λ Teorema 7 : (Normalita aimtoti utu λ Adaia fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal, (4 da mempuyai turua eempat λ berhigga pada Miala pula h 0 da 4 h, utu Berlau hal beriut : (i Jia 5 h, maa ( d h λ ( λ ( Normal ( μσ, (46 " utu, dega μ = λ ( da 6 τλ( σ = (ii Jia 5 h 0, maa ( d h λ ( λ ( Normal (0, σ utu (47 Buti : Rua iri peryataa (46 da peryataa (47 dapat dituli ebagai h ( ( ( ( λ Ε λ + h Ελ( λ( (48 Utu membutia Teorema ii cuup ditujua (a ( ( d h λ Ελ( Normal (0, σ utu, (49 (b jia (c jia 5 h, maa h " ( Ελ( λ( λ (, 6 utu, (50 5 h 0, maa h ( Ελ ( λ ( 0, utu (5 Kita perhatia peryataa (49 Rua iri peryataa (49 dapat dituli

20 ( λ ( ( ( Ελ h Var λ (5 Var( λ ( Maa utu membutia peryataa (49, cuup diperia λ ( Ελ ( d Normal(0,, (53 Var( λ ( da h ( Var λ( τλ( (54 jia Utu membutia peryataa (53 ita perhatia betu beriut Miala ([ τ, τ ] [ 0, ] X = N + h + + h, = 0,,, Karea h 0 jia, maa utu yag cuup bear, iterval [ + τ h, + τ + h] da [ jτ h, jτ h ] tida beriria utu emua j Hal ii berimpliai, utu emua j, peubah aca X da X j alig beba Lebih lajut lagi { X }, = 0,,,, adalah baria peubah aca iid, yag mempuyai ilai harapa + τ + h Ε X = λ ( x Ι( x [0, ] dx + τ h da ragam + τ + h Var ( X = λ( x Ι( x [0, ] dx + τ h yag berhigga Oleh area itu, peduga λ ( dapat dituli ebagai τ λ ( = X, h 0 = yag merupaa jumlah peubah aca iid dialia uatu otata Selajutya dega Teorema Limit Puat ita peroleh peryataa (53 Utu membutia peryataa (54, ita igat bahwa rua iri peryataa (54 dapat dituli mejadi h ( Var λ( Berdaara Teorema ita dapata uatita di ata ama dega τλ( τλ( + o( = + o(, jia Sehigga ita dapata peryataa (54 Selajutya dibutia peryataa (50 da peryataa (5 Dari Teorema diperoleh " 5 h ( Ελ( λ( = λ ( h 6 3 ( λ ( h h + o( h 40 (55 jia Karea h 0 jia, maa uu e dua pada rua aa 5 o h Sehigga peryataa (55 adalah ( rua aa peramaa (55 mejadi " ( h 5 o( h 5 6 λ + Dari aumi 5 h, utu, ita peroleh peryataa (50 Selai itu dari aumi 5 h 0, utu, ita peroleh peryataa (5 Dega demiia Teorema 7 terbuti Teorema 8 : (Normalita aimtoti utu ' λ Adaia fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal, erta mempuyai turua etiga dega ilai terhigga pada Miala pula 3 h 0 da h, utu Berlau hal beriut: (i Jia 7 h, maa ( 3 ' ' d h λ ( λ ( Normal ( μσ, (56 "' utu, dega μ = λ ( da 3 τλ( σ = 4 (ii Jia 7 h 0, maa ( 3 ' ' d h λ ( λ ( Normal (0, σ (57 utu

21 3 Buti : Rua iri peryataa (56 da peryataa (57 dapat dituli mejadi 3 ' ' 3 ' ' h( λ( Ε λ( + h( Ελ( λ ( (58 Karea itu, utu membutia Teorema ii cuup ditujua 3 ' ' d h( λ( Ελ( Normal(0, σ, (59 jia Jia 7 h maa h 3 ' ' "' ( Ελ( λ ( λ ( 3 utu, da jia 7 h 0 maa (60 3 ' ' h ( Ελ ( λ ( 0, (6 utu Kita perhatia peryataa (59 Rua iri peryataa (59 dapat dituli ebagai ' ' λ ( Ελ ' ( 3 ' h Var( ( λ Var ( ' λ ( (6 Oleh area itu, utu membutia peryataa (59, cuup diperia ' ' λ( Ελ ( d Normal(0,, Var( ' λ ( (63 da 3 ' τλ( h Var( λ(, 4 (64 jia Utu membutia peryataa (63, ita daara pada peramaa ( ehigga λ ( + h = τ N( [ + τ, + τ+ h ] [ 0, ] = h da λ ( h = τ N( [ + τ h, + τ] [ 0, ] = h Dari peramaa (6 maa diperoleh ([ + τ, + τ+ ] [ 0, ] ([ τ τ] [ ] ' τ N h λ ( = 4h = N + h, + 0, Miala = ([ + τ, + τ + ] [ 0, ] ([ τ, τ] [ 0, ] X N h N + h + utu = 0,,, Karea h 0 jia, maa utu yag cuup bear, iterval [ + τ h, + τ ] da [ + jτ h, + jτ ], juga [ + τ, + τ+ ] da [ + τ, + τ+ ], h j j h tida berpotoga utu emua j Hal ii berimpliai, utu emua j, peubah aca X da X j alig beba Lebih lajut lagi { X }, = 0,,,, adalah baria peubah aca iid, yag mempuyai ilai harapa Ε X =Ε N( [ + τ, + τ + h ] [ 0, ] ([ τ, τ] [ 0, ] Ε N + h + da ragam Var ( X =Ε N + τ, + τ+ h 0, ([ ] [ ] ([ τ, τ] [ 0, ] Ε N + h + dega ilai berhigga Oleh area itu, bia ' ita tuli peduga λ ( ebagai ' τ λ ( = 4 0 X, h = yag merupaa jumlaha peubah aca iid dialia uatu otata Selajutya dega Teorema Limit Puat ita peroleh peryataa (63 Utu membutia peryataa (64, rua iri dari peryataa (64 dapat dituli mejadi 3 ' hvar( λ ( Berdaara Teorema 4 ita dapata uatita di ata ama dega τλ( τλ( + o( = + o(, 4 4 jia, ehigga ita dapata peryataa (64

22 4 Selajutya aa dibutia peryataa (60 da peryataa (6 Dari Teorema 3 didapat 3 ' ' 7 "' h ( Ελ( λ( = h λ ( + o( h 3 jia Dari aumi 7 h, utu, ita peroleh peryataa (60 Selai itu dari aumi 7 h 0, utu, ita peroleh peryataa (6 Dega demiia Teorema 8 terbuti Teorema 9 : (Normalita aimtoti utu " λ Adaia fugi iteita λ adalah periodi (dega periode τ da teritegrala loal, (4 erta mempuyai turua eempat λ dega ilai terhigga pada Miala pula h 0 da Berlau hal beriut : (i Jia 9 h, maa 4 h, utu ( 5 " " d h λ ( λ ( Normal ( μσ, (65 (4 utu, dega μ = λ ( 3 τλ( da σ = 6 (ii Jia 9 h 0, maa 5 " " d h( λ ( λ ( Normal (0, σ utu (66 Buti : Rua iri peryataa (65 da peryataa (66 dapat dituli ebagai 5 " " 5 " " h ( λ ( Ε λ ( + h ( Ελ ( λ ( (67 Karea itu, utu membutia Teorema ii cuup ditujua 5 " " d h ( λ( Ελ( Normal(0, σ, (68 utu, jia 9 h maa h 5 " " (4 ( Ελ( λ ( λ ( utu, da jia 9 h 0 maa (69 5 " " h ( Ελ ( λ ( 0, (70 utu Kita perhatia peryataa (68 Rua iri peryataa (68 dapat dituli " " λ ( Ελ ' ( 5 " h Var( ( λ (7 Var ( " λ ( Maa utu membutia peryataa (68, cuup peria " " λ( Ελ( d Var( " λ ( Normal(0,, da 5 " 3 τλ( h Var( λ(, 6 jia (7 (73 Utu membutia peryataa (7, ita igat embali peramaa ( ehigga diperoleh λ ( + h = τ N( [ + τ+ h, + τ+ 3h] [ 0, ] = h da λ ( h = τ N( [ + τ 3 h, + τ h] [ 0, ] = h Dari peramaa (5 maa diperoleh " λ ( = N( [ + τ+ h, + τ+ 3h] [ 0, ] τ N( [ 3 h, h ] [ 0, τ + τ ] 8h = N( [ + τ h, + τ+ h] [ 0, ] Miala

23 5 X = ([ + τ +, + τ + 3 ] [ 0, ] ([ τ 3, τ ] [ 0, ] N ([ τ h τ h ] [ ] N h h + N + h + h +, + + 0, utu = 0,,, Karea h 0 jia, maa utu yag cuup bear, iterval [ + jτ h, + jτ+ 3h],[ + τ 3 h, + τ+ h] da [ + jτ 3 h, + jτ + h], juga [ + τ h, + τ + h] da [ + jτ h, + jτ + h] tida berpotoga utu emua j Hal ii berimpliai, utu emua j, peubah aca X da X j alig beba Lebih lajut lagi { X }, = 0,,,, adalah baria peubah aca iid, yag mempuyai ilai harapa Ε X = Ε N( [ + τ + h, + τ + 3h] [ 0, ] +Ε N( [ + τ 3 h, + τ h] [ 0, ] Ε N( [ + τ h, + τ + h] [ 0, ] da ragam Var( X = Ε N( [ + τ + h, + τ + 3h] [ 0, ] +Ε N( [ + τ 3 h, + τ h] [ 0, ] Ε N( [ + τ h, + τ + h] [ 0, ] yag berilai terhigga Oleh area itu, " peduga λ ( dapat dituli ebagai " τ λ ( = X, h = yag merupaa jumlah peubah aca yag iid dialia uatu otata Selajutya dega Teorema Limit Puat ita peroleh peryataa (7 Utu membutia peryataa (73, ita igat bahwa rua iri peryataa (73 dapat dituli mejadi 5 " hvar( λ ( Berdaara Teorema 6 ita dapata uatita di ata ama dega 3 τλ( 3 τλ( + o( = + o(, 6 6 jia Sehigga ita dapata peramaa (73 Selajutya aa dibutia peramaa (69 da peramaa (70 Dari Teorema 5 didapat 5 " " 9 (4 h ( Ελ( λ ( = h λ ( + o( jia Dari aumi 9 h, utu, ita peroleh peramaa (69 Selai itu dari aumi 9 h 0, utu, ita peroleh peramaa (70 Dega demiia Teorema 9 terbuti

24 6 SIMPULAN Pada tulia ii diaji uatu metode utu meduga turua pertama da turua edua uatu fugi iteita proe Poio periodi dega periode τ yag dietahui Utu tujua ii, terlebih dahulu ditetua peduga bagi fugi iteteita loal λ pada titi dega megguaa data yag diamati pada iterval [0, ] yag dirumua ebagai beriut: τ λ ( = = h ([ + τ + τ + ] N h, h [0, ] Dari peduga di ata, emudia diturua ' peduga bagi λ ( yag dirumua eperti ' ( ( beriut : λ ( + h λ h λ = h Selajutya dari peduga di ata, diturua lagi peduga bagi λ " ( yag dirumua ebagai : ( ( " λ ( ( + h + λ h λ λ = 4h Pada etiga peduga di ata, h diebut badwidth Pegajia yag dilaua difoua pada ebara aimtoti dari ' " peduga λ ( da λ ( Dari hail pegajia yag dilaua dapat diimpula bahwa : (i Jia 5 h, maa ( d h λ ( λ ( Normal ( μσ, " utu, dega μ= λ ( da 6 τλ( σ = (ii Jia 5 h 0, maa (iii Jia (iv Jia (v Jia (vi Jia ( λ λ d σ h ( ( Normal (0, τλ( utu, dega σ = 7 h, maa ( 3 ' ' d h λ ( λ ( Normal ( μσ, "' utu, dega μ= ( 3 λ da τλ( σ = 4 7 h 0, maa ( 3 ' ' d h λ ( λ ( Normal (0, σ τλ( utu, dega σ = 4 9 h, maa ( 5 " " d h λ ( λ ( Normal ( μσ, (4 utu, dega μ = λ ( 3 τλ( da σ = 6 9 h 0, maa ( 5 " " d h λ ( λ ( Normal (0, σ 3 τλ( utu, dega σ = 6

25 7 DAFTAR PUSTAKA Browder, A 996 Mathematical Aalyi: A Itroductio Spriger New Yor Creie, N A C 993 Statitic for Spatial Data Revied Editio Wiley New Yor Dudley, R M 989 Real Aalyi ad Probability Wadworth & Broo Califoria Grimmett, G R da D R Stirzaer 99 Probability ad Radom Procee Ed e- Claredo Pre Oxford Hogg, R V, A T Graig, da J MacKea, W 005 Itroductio to Mathematical Statitic Ed e-6 Pretice Hall, Eglewood Cliff New Jerey Magu, I W 00 Etimatig the Iteity of a Cyclic Poio Proce (PhDThei Uiverity of Amterdam Amterdam Pramarai, R G N 009 Sifat-ifat Statitia Peduga Turua Pertama da Turua Kedua Fugi Iteita Proe Poio Periodi [Sripi] Bogor : Ititut Pertaia Bogor Ro, S M 007 Itroductio to Probability Model Ed e-9 Academic Pre Ic Orlado Florida Serflig, R J 980 Approximatio Theorem of Mathematical Statitic Joh Wiley & So New Yor Taylor, H M da S Karli 984 A Itroductio to Stochatic Modellig Academic Pre Ic Orlado Florida Wheede, R L ad A Zygmud 977 Meaure ad Itegral: A Itroductio to Real Aalyi Marcel Deer, Ic New Yor

26 LAMPIRAN 8

27 9 Lampira Pembutia Lema Lema (Jumlah peubah aca Poio Miala X da Y adalah peubah aca yag alig beba da memilii ebara Poio dega parameter berturut-turut λ da λ Maa X + Y memilii ebara Poio dega parameter λ + λ (Taylor ad Karli 984 Buti : Dega megguaa atura peluag total (law of total probability, dapat ita yataa Ρ ( X + Y = = Ρ ( X =, Y = = 0 = Ρ ( X = Ρ ( Y = ( X da Y alig beba = 0 λ λ λe λ e = = 0! (! λ λ e e! = λ λ!!(! (74 = 0 Kita igat embali, dega perluaa biomial maa ita dapat meyataa, utu etiap iteger poitif, ( λ + λ = λ λ = 0! =!(! λ λ (75 = 0 Sehigga dega meubtituia peramaa (75 e (74 maa ita peroleh rua aa peramaa (74 adalah ( λ+ λ e ( λ+ λ (76! Betu peramaa (76 di ata merupaa fugi peluag dari ebara Poio dega parameter ( λ + λ Maa Lema terbuti

28 0 Lampira Pembutia Lema 3 Lema 3 (Pertidaamaa Chebyhev Jia X adalah peubah aca dega ilai harapa μ da ragam σ, maa utu etiap > 0, σ Ρ( X μ (77 (Ro 007 Buti : Utu membutia pertidaamaa Chebyhev diperlua pertidaamaa Marov (Lema 4 beriut : Lema 4 (Pertidaamaa Marov Jia X adalah peubah aca dega Ε ( X terbata, maa utu etiap a > 0, Buti : Miala A { X a} ( X Ε Ρ( X a (78 a = maa X aι Α, dega Α, jia Ι Α = 0, jia Jia ita tetua ilai harapaya, maa diperoleh Sehigga diperoleh ( X a ( X Ρ Ε a Jadi Lema 4 terbuti X X Ε X Ε( Ι = aει a Α Α Ι adalah fugi idiator dari A, yaitu : a < a = aρ( X a Selajutya dega pertidaamaa Marov (Lema 4 maa ita dapat membutia Lema 3 Jadi Lema 3 terbuti ( X μ (( X μ Ρ =Ρ Ε( X μ σ =