PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR WALIDATUSH SHOLIHAH G
|
|
- Susanto Oesman
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR WALIDATUSH SHOLIHAH G54338 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7
2 RINGKASAN WALIDATUSH SHOLIHAH Pedugaa Fugsi Itesitas Global dari Proses Poisso Periodik dega Tre Liear Dibimbig oleh I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI Proses stokastik bayak kita temuka dalam kehidupa sehari-hari Misalya, proses kedataga pelagga pada suatu atria di pusat servis (bak, kator pos, supermarket, da sebagaiya da proses kedataga peggua lie telepo Salah satu betuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisso periodik Proses ii adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik Proses Poisso periodik atara lai dapat diguaka utuk memodelka proses kedataga pelagga ke suatu pusat servis dega periode satu hari, atau memodelka feomea-feomea serupa Jika laju kedataga pelagga tersebut meigkat seara liear terhadap waktu, maka model yag lebih tepat utuk diguaka adalah proses Poisso periodik dega tre liear Fugsi itesitas dari proses tersebut umumya tidak diketahui Sehigga diperluka suatu metode utuk meduga fugsi tersebut Pada bayak kasus, kita haya tertarik utuk meduga rata-rata dari fugsi itesitas pada proses Poisso periodik pada selag waktu satu periode, yag disebut fugsi itesitas global Karya ilmiah ii membahas suatu metode utuk meduga fugsi itesitas global dari kompoe periodik suatu proses Poisso periodik dega tre liear yag diamati pada iterval [,] Pada tulisa ii, kita asumsika bahwa periodeya diketahui (seperti: satu hari, satu miggu, da lai-lai, tetapi slope pada kompoe liear da kompoe periodik dari fugsi itesitas pada [, keduaya tidak diketahui Sehigga didefiisika peduga bagi θ da a Dari hasil pegkajia yag dilakuka, diperoleh bahwa peduga bagi θ da a keduaya adalah kosiste jika pajag iterval pegamata proses meuju takhigga Mea Square Error (MSE dari kedua peduga di atas juga koverge ke ol jika pajag iterval pegamata proses meuju takhigga Disampig itu, dihasilka juga pedekata asimtotik utuk bias da ragam bagi pedugapeduga yag dikaji Akhirya dirumuska peduga dega bias yag telah dikoreksi utuk θ, serta dihasilka pedekata asimtotik bagi ragam peduga tersebut i
3 PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh : WALIDATUSH SHOLIHAH G54338 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7
4 Judul : Pedugaa Fugsi Itesitas Global dari Proses Poisso Periodik dega Tre Liear Nama : Walidatush Sholihah NRP : G54338 Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Dr Ir I Waya Magku, MS Ir Reto Budiarti, MS NIP NIP Megetahui, Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Prof Dr Ir Yoy Koesmaryoo, MS NIP Taggal Lulus :
5 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Badug pada taggal Desember 984 sebagai aak sulug dari dua bersaudara, aak dari pasaga Sudarjat (alm da Nurulhuda Tahu 997 peulis lulus dari SDN Sidagbarag 6 Bogor Tahu peulis lulus dari SMPN 4 Bogor Tahu 3 peulis lulus dari SMAN Bogor da pada tahu yag sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujia Sariga Masuk IPB (USMI Peulis memilih Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Selama megikuti perkuliaha, peulis mejadi asiste mata kuliah Kalkulus II pada tahu ajara 5/6 da 6/7 serta asiste mata kuliah Persamaa Diferesial Biasa pada tahu ajara 5/6 Peulis juga aktif pada kegiata kemahasiswaa Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika sebagai ketua Departeme Keputria pada periode 5 6 da staf Biro Kaderisasi Departeme Pegembaga Sumber Daya Mausia (PSDM periode 6 7 iv
6 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala rahmat da karuia-nya sehigga karya ilmiah ii berhasil diselesaika Peyusua karya ilmiah ii juga tidak lepas dari batua berbagai pihak Utuk itu peulis meguapka terima kasih yag sebesar-besarya kepada: Dr Ir I Waya Magku, MS selaku dose pembimbig I (terima kasih atas semua ilmu, kesabara, motivasi, da batuaya selama peulisa skripsi ii Ir Reto Budiarti, M S selaku dose pembimbig II (terima kasih atas semua ilmu, sara, da motivasiya 3 Drs Siswadi, M Si selaku dose peguji (terima kasih atas semua ilmu da saraya 4 Semua dose Departeme Matematika (terima kasih atas semua ilmu yag telah diberika 5 Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Boo, Mas Dei, Mas Yoo 6 Keluargaku terita: bapak (terima kasih atas semua asihat da motivasiya Pese Bapak udah Walidah laksaaka, ibu (terima kasih bayak atas semua doa, dukuga, da kasih sayagya Ibu memag ibu terbaik seduia, ii, mag Iam (makasih udah batui biki presetasi, mag Tata, mag Wada, wa Ipik, mag Kada, mag Asep (makasih atas doaya 7 Tema-tema Math 4: Uli, Yuda, Dwi, Sri, Agatha, Heri, Mayag, Mika, Idah, Iha, Ami, Elis, Nhi, Marli, Ulfa, Mitha, Mukafi, Sawa, Mufti, Ari, Jayu, Demi, Febria, Prima, Dimas, Ali, Beri, Aam, Lili, Yudi, Septi, Ahie, Ifi, Tiwi, Metha, Via, Abay, Ali, Rama, Mato, Rusli, Ato, Berri, Azis da teme-teme Math 4 laiya (selamat berjuag tema-temaku 8 Tema-tema Math 4: LiaY, Diah, Ai, Dia, Armi, Ayu, da laiya (terima kasih atas doaya Ayo epat meyusul Tema-tema Math 4: Hikmah, Ahi, Hapsari, Jae, Lisda, Gita, Rike, Nike, Yui, Nyoma, Ayu, Ages, Mukhtar, Fahri da laiya (makasih buat dukugaya 9 Adik-adik TPB 43: Baby, Elsha, Sadra, Esa, Evie, Rai, Taia, Momo, Yoyo, Marel, Kalia, Dia, Oi, Tasya, Susa, Iez, Novi, Shati, Yei (makasih atas semagat da dukugaya Para Pegajar MSC: K Syam, K Hepy, K Taufik, K Jae, K Idra, Mba Novi, Mba Nuqi, Ria, Dewi, Poppy (makasih atas semagat da motivasiya Tema-tema Forkom Alim SMANSA (terima kasih atas doaya Tedy Bear: Bai (makasih motivasiya, Iri (makasih semagatya, Reto, Ira, Sisi (kalia semua sahabat yag terbaik 3 Tema-tema KSR PMI kota Bogor (makasih atas semagat da doaya 4 K Ari mat 39 (makasih batuaya merapika omor halama, K Irfa (terima kasih atas bimbiga, asihat, sara da motivasiya selama ii Semoga k Ir tetap semagat da sehat selalu Semoga karya ilmiah ii dapat bermafaat bagi duia ilmu pegetahua khususya Matematika da mejadi ispirasi bagi peelitia-peelitia selajutya Bogor, Jauari 7 Walidatush Sholihah v
7 DAFTAR ISI Halama DAFTAR ISI vi DAFTAR GAMBAR vii DAFTAR LAMPIRAN vii PENDAHULUAN Latar Belakag Tujua LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Peubah Aak da Fugsi Sebara Mome, Nilai Harapa da Ragam Kekovergea Peubah Aak 3 Peduga 3 Proses Stokastik 4 Proses Poisso 4 Beberapa Defiisi da Lema Tekis 5 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi θ 6 Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ 8 Reduksi Bias KESIMPULAN 5 DAFTAR PUSTAKA 5 LAMPIRAN 7 vi
8 DAFTAR GAMBAR Halama Cotoh grafik fugsi itesitas periodik dega tre liear 6 DAFTAR LAMPIRAN Halama Pembuktia Lema 8 Pembuktia Lema 5 9 Pembuktia Lema 6 vii
9 PENDAHULUAN Latar Belakag Proses stokastik bayak kita temuka dalam kehidupa sehari-hari Misalya, proses kedataga pelagga pada suatu atria di pusat servis (bak, kator pos, supermarket, da sebagaiya Proses kedataga peggua lie telepo juga merupaka suatu proses stokastik Salah satu betuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisso periodik Proses ii adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik Proses Poisso periodik atara lai dapat diguaka utuk memodelka proses kedataga pelagga ke suatu pusat servis dega periode satu hari, atau memodelka feomea-feomea serupa Jika laju kedataga pelagga tersebut meigkat seara liear terhadap waktu, maka model yag lebih tepat utuk diguaka adalah proses Poisso periodik dega tre liear Pada pemodela stokastik dari suatu feomea yag dimodelka dega proses Poisso periodik dega tre liear, fugsi itesitas dari proses tersebut umumya tidak diketahui Sehigga diperluka suatu metode utuk meduga fugsi tersebut Pada bayak kasus, kita haya memerluka iformasi tetag rata-rata dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik Rata-rata dari fugsi itesitas ii pada selag waktu satu periode disebut fugsi itesitas global Pada tulisa ii dikaji suatu metode utuk meduga fugsi itesitas global dari kompoe periodik suatu proses Poisso periodik dega tre liear, yag merupaka rekostruksi dari Magku (5 Tujua Tujua peulisa karya ilmiah ii adalah utuk : (i Mempelajari perumusa peduga itesitas global pada proses Poisso periodik dega tre liear (ii Membuktika kekosistea pedugapeduga yag diperoleh (iii Meetuka pedekata asimtotik dari bias, ragam da MSE dari pedugapeduga yag dikaji (iv Mempelajari perumusa peduga dega bias yag telah dikoreksi utuk itesitas global dari kompoe periodik pada proses Poisso periodik dega tre liear, serta meetuka pedekata asimtotik bagi ragam peduga tersebut LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Suatu perobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi seara tepat tapi kita bisa megetahui semua kemugkia hasil yag muul disebut perobaa aak Defiisi (Ruag Cotoh Ruag otoh adalah himpua semua hasil yag mugki dari suatu perobaa aak, da diotasika dega Ω (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi (Kejadia Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag otoh Ω (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi 3 (Kejadia Lepas Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi 4 (Meda-σ Meda-σ adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia ruag otoh Ω, yag memeuhi syarat berikut: F Jika A F, maka A F 3 Jika A, A, F, maka U Ai F i=
10 Meda-σ di atas disebut meda Borel jika Ω= (,] da aggotaya disebut himpua Borel (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi 5 (Ukura Peluag Misalka Ω adalah ruag otoh suatu perobaa da F adalah meda-f pada Ω Suatu fugsi P yag memetaka usur-usur F ke himpua bilaga yata, atau P : F disebut ukura peluag jika: P tak egatif, yaitu utuk setiap A F, P(A P bersifat aditif tak higga, yaitu jika A, A, F dega A j A k =, j k, maka Ρ U A = Ρ( A = = 3 P berorma satu, yaitu P(Ω = Pasaga (Ω, F, P disebut ruag ukura peluag atau ruag probabilitas (Hogg ad Craig 995 Defiisi 6 (Kejadia Salig Bebas Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: Ρ( A B =Ρ( A Ρ ( B Seara umum, himpua kejadia {A i ; i I} dikataka salig bebas jika: Ρ I Ai = Ρ( Ai i J i J utuk setiap himpua bagia J dari I (Grimmett ad Stirzaker 99 Peubah Aak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah Aak Misalka Ω adalah ruag otoh dari suatu perobaa aak Fugsi X yag terdefiisi pada Ω yag memetaka setiap usur ω Ω ke satu da haya satu bilaga real X(ω = x disebut peubah aak Ruag dari X adalah himpua bagia bilaga real A = {x : x = X(ω, ω Ω} (Hogg ad Craig 995 Peubah aak diotasika dega huruf kapital, misalya X, Y, Z Sedagka ilai peubah aak diotasika dega huruf keil seperti x, y, z Defiisi 8 (Peubah Aak Diskret Peubah aak X dikataka diskret jika semua himpua ilai dari peubah aak tersebut merupaka himpua teraah (Hogg ad Craig 995 Defiisi 9 (Fugsi Sebara Misalka X adalah peubah aak dega ruag A Misalka kejadia A=(-,x] A, maka peluag dari kejadia A adalah px ( A =Ρ( X x = FX ( x Fugsi F X disebut fugsi sebara dari peubah aak X (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Fugsi Kerapata Peluag Fugsi kerapata peluag dari peubah aak diskret X adalah fugsi p : [,] yag diberika oleh: px ( x =Ρ ( X = x (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peubah Aak Poisso Suatu peubah aak X disebut peubah aak Poisso dega parameter λ, λ >, jika fugsi kerapata peluagya diberika oleh k λ λ ( ( px k =Ρ X = k = e, k! utuk k =,, (Ross 3 Lema (Jumlah Peubah Aak Poisso Misalka X da Y adalah peubah aak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut λ da λ Maka X+Y memiliki sebara Poisso dega parameter λ + λ Bukti: lihat Taylor ad Karli 984 Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi (Nilai Harapa Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi kerapata peluag px ( x =Ρ ( X = x Nilai harapa dari X, diotasika dega E(X, adalah Ε X = xρ X = x = xp x ( ( X (, x jika jumlah di atas koverge mutlak (Hogg ad Craig 995 x
11 Defiisi 3 (Ragam Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi kerapata peluag px ( x da ilai harapa E(X Maka ragam dari X, diotasika dega Var ( X atau σ X, adalah σ X =Ε ( X Ε ( X = ( X Ε X px ( x ( ( x (Hogg ad Craig 995 Defiisi 4 (Mome ke-k Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome ke-k atau m k dari peubah aak X adalah mk k ( X =Ε (Hogg ad Craig 995 Defiisi 5 (Mome Pusat ke-k Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome pusat ke-k atau σ k dari peubah aak X adalah k σ k =Ε( ( X m (Hogg ad Craig 995 Nilai harapa dari peubah aak X juga merupaka rataa atau mome pertama dari X Nilai harapa dari kuadrat perbedaa jarak atara peubah aak X dega ilai harapaya disebut ragam atau variae dari X Ragam merupaka mome pusat ke- dari peubah aak X Defiisi 6 (Fugsi Idikator Misalka A adalah suatu kejadia Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi ΙA : Ω [,], yag diberika oleh:, jikaω A Ι A ( ω =, jikaω A (Grimmett ad Stirzaker 99 Dega fugsi idikator kita dapat meyataka hal berikut : ΕΙ =Ρ A A ( Kekovergea Peubah Aak Terdapat beberapa ara utuk megiterpretasika peryataa kekovergea barisa peubah aak, X X utuk Defiisi 7 (Kekovergea Dalam Peluag Misalka X, X,, X adalah barisa peubah aak pada suatu ruag peluag (Ω, F, P Barisa peubah aak X dikataka koverge dalam peluag ke X, diotasika p X X, jika utuk setiap ε > berlaku Ρ( X X > ε, utuk (Grimmett ad Stirzaker 99 Peduga Defiisi 8 (Statistik Statistik adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah aak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketahui (Hogg ad Craig 995 Defiisi 9 (Peduga Misalka X, X,, X adalah otoh aak Suatu statistik U(X, X,, X yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g(θ, dikataka sebagai peduga (estimator bagi g(θ, dilambagka oleh ĝ ( θ Bilamaa ilai X = x, X = x,, X = x, maka ilai U(X, X,, X disebut sebagai dugaa (estimate bagi g(θ (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peduga Tak Bias (i Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g(θ, yaitu E[U(X, X,, X ] = g(θ disebut peduga tak bias bagi parameter g(θ Jika sebalikya, peduga di atas disebut berbias (ii Jika lim Ε U( X, X,, X = g( θ K utuk, maka U(X, X,, X disebut sebagai peduga tak bias asimtotik (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peduga Kosiste Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter g(θ, disebut peduga kosiste bagi g(θ (Hogg ad Craig 995 Defiisi (MSE suatu Peduga Mea Square Error (MSE dari suatu peduga U bagi parameter g(θ didefiisika sebagai MSE(U = E(U-g(θ 3
12 = (Bias(U + Var(U, dega Bias(U = EU - g(θ Proses Stokastik Defiisi 3 (Proses Stokastik Proses stokastik X = {X(t, t T} adalah suatu himpua dari peubah aak yag memetaka suatu ruag otoh Ω ke suatu ruag state S (Ross 3 Jadi, utuk setiap t pada himpua ideks T, X(t adalah suatu peubah aak Kita serig megiterpretasika t sebagai waktu da X(t sebagai state (keadaa dari proses pada waktu t Defiisi 4 (Proses Stokastik Waktu Kotiu Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval (Ross 3 Defiisi 5 (Ikreme Bebas Suatu proses stokastik dega waktu kotiu {X(t, t T} disebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t < t < t < < t, peubah aak X(t X(t, X(t X(t,, X(t X(t - adalah bebas (Ross 3 Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak tumpag tidih (tidak overlap adalah bebas Defiisi 6 (Ikreme Stasioer Suatu proses stokastik dega waktu kotiu {X(t, t T} disebut memiliki ikreme stasioer jika X(t+s X(t memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t (Ross 3 Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme stasioer jika sebara (distribusi dari perubaha ilai atara sembarag dua titik haya tergatug pada jarak atara kedua titik tersebut, da tidak tergatug dari lokasi titik-titik tersebut Proses Poisso Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso Pada proses ii, keuali diyataka seara khusus, diaggap bahwa gugus ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif, yaitu [, Defiisi 7 (Proses Peaaha Suatu proses stokastik {N(t, t } disebut proses peaaha jika N(t meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t Dari defiisi tersebut, maka suatu proses peaaha N(t harus memeuhi syaratsyarat berikut: (i N(t utuk semua t [, (ii Nilai N(t adalah iteger (iii Jika s < t maka N(s N(t, s, t [, (iv Utuk s < t maka N(t N(s, sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada selag (s,t] (Ross 3 Defiisi 8 (Proses Poisso Suatu proses peaaha {N(t, t } disebut proses Poisso dega laju λ, λ>, jika dipeuhi tiga syarat berikut (i N( = (ii Proses tersebut memiliki ikreme bebas (iii Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara (distribusi Poisso dega rataa λt Jadi utuk semua t, s >, t k e ( ( ( ( λ λt Ρ Nt+ s Ns= k=,k =,, k! (Ross 3 Dari syarat (iii dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme yag stasioer Dari syarat ii juga dapat diperoleh : E (N(t = λt Defiisi 9 (Proses Poisso Tak Homoge Suatu proses Poisso {N(t, t } disebut proses Poisso tak homoge jika laju λ pada sembarag waktu t merupaka fugsi tak kosta dari t yaitu λ(t Selajutya λ(t disebut fugsi itesitas dari proses tersebut (Ross 3 4
13 Defiisi 3 (Fugsi Periodik Suatu fugsi λ disebut periodik jika λ s + k = λ s ( ( utuk semua s da k Kostata terkeil yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi λ tersebut (Browder 996 Defiisi 3 (Proses Poisso Periodik Proses Poisso periodik adalah proses Poisso tak homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik (Magku Defiisi 3 (Fugsi Itesitas Global Misalka N( [, ] adalah proses Poisso pada iterval [,] Fugsi itesitas global θ dari proses Poisso ii didefiisika sebagai ΕN ([, ] θ = lim jika limit di atas ada Lema (Fugsi Itesitas Global Jika N([,] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ, maka limit di atas ada da θ = λ ( s ds Bukti: lihat Lampira Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi 33 (Fugsi Teritegralka Lokal Fugsi itesitas λ adalah teritegralka lokal, jika utuk sembarag himpua Borel terbatas B kita peroleh µ ( B = λ( s ds < B (Dudley 989 Defiisi 34 (O( da o( Simbol-simbol ii merupaka ara utuk membadigka besarya dua fugsi u(x da v(x dega x meuju suatu limit L (i Notasi u( x = O( v( x, x L, meyataka bahwa u ( x v( x terbatas, utuk x L (ii Notasi u( x = o( v( x, x L, meyataka bahwa u ( x v ( x x L (Serflig 98 Lema 3 (Teorema Fubii Misalka (X, A, µ da (Y, B, µ adalah dua ruag ukura σ-fiit Jika f atau f dµ < maka f x, y µ dy µ = f dµ ( ( ( XY = f ( x, y µ ( µ ( dy Y X Bukti: lihat Durret 996 Lema 4 (Pertaksamaa Chebyshev Jika X adalah peubah aak dega rataa µ da ragam σ, maka utuk setiap k >, σ Ρ{ X µ k} k Bukti: lihat Lampira Lema 5 (Pertaksamaa Cauhy-Shwarz Utuk setiap X da Y berlaku Ε( XY Ε( X Ε ( Y Bukti: lihat lampira 3 XxY 5
14 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi θ Misalka N adalah proses Poisso pada iterval [, dega rataa µ yag kotiu mutlak, da fugsi itesitas λ yag teritegralka lokal Sehigga, utuk setiap himpua Borel terbatas B maka: µ ( B =Ε N( B = λ( s ds < Fugsi λ diasumsika terdiri atas dua kompoe yaitu kompoe periodik λ, dega periode > (diketahui da kompoe tre liear as, dega slope a tidak diketahui Dega kata lai, utuk setiap s [,, fugsi itesitas λ dapat dituliska sebagai berikut: λ( s = λ ( s + as ( dega λ ( s adalah fugsi periodik dega periode Dalam tulisa ii, kita asumsika λ adalah periodik sehigga persamaa λ( s + k = λ( s ( berlaku utuk setiap s [, da k, dega adalah himpua bilaga bulat Cotoh fugsi itesitas yag memeuhi persamaa ( adalah π s λ( s = 4expos + s 5, yag grafikya dapat dilihat pada gambar berikut B 5 5 Gambar Cotoh grafik fugsi itesitas periodik dega tre liear Di sii kita perhatika proses Poisso titik pada [, karea λ harus memeuhi ( da harus tak-egatif Dega alasa yag sama, kita haya perhatika utuk kasus a> Misalka utuk suatu ω Ω, ada sebuah realisasi N( ω dari proses Poisso N yag didefiisika pada ruag peluag (Ω,F,P dega fugsi itesitas λ seperti pada (, yag diamati pada iterval terbatas [,] Tujua kita dalam pembahasa ii adalah utuk mempelajari peyusua peduga kosiste bagi itesitas global θ = µ ([, ] λ ( s ds = (3 dari kompoe periodik λ dari fugsi itesitas λ pada ( Pada tulisa ii, kita asumsika bahwa periode diketahui (seperti: satu hari, satu miggu, da lai-lai, tetapi slope a da fugsi λ pada [, keduaya tidak diketahui Pada situasi ii kita defiisika peduga a da θ sebagai berikut N( [, ] aˆ = (4 da ˆ N([ k,( k + ] [, ] θ = l / k ( k = aˆ + l ( / Peduga a yaitu a ˆ diperoleh dari: ([ ] Ε N, = ( λ ( s + as ds = λ ( s ds + as = λ ( s ds + a (5 Bila kedua ruas dibagi dega maka persamaa di atas mejadi ([ ] λ ( sds ΕN, = + a Bagia pertama dapat ditulis sebagai λ( s ds λ( s ds = λ ( s ds Perhatika bahwa merupaka rata-rata λ ( s pada iterval [,] yag 6
15 merupaka suatu kostata Semetara koverge ke jika Maka ΕN( [, ] = a Dega kata lai ΕN( [, ] a = Sehigga diperoleh peduga seperti pada (4 Selajutya, kita uraika ide utuk megkostruksi peduga dari θ yaitu ˆ θ sebagai berikut: ( k + θ = λ ( s ds (6 k Misalka L = Ι ( k [, ], maka k = k dega (6 diperoleh: θ = θ Ι( k [, ] L k k = ( k + = λ (( s s [, ] ds L k = k Ι k Dega megguaka persamaa ( maka kuatitas di atas sama dega ( k + θ = ( λ( s as Ι( s [, ] ds L k k = k = k = k ( k + = λ(( s Ι s [, ] ds L k k ( k + ( as Ι( s [, ] ds L k k Dega perubaha batas itegral pada suku kedua ruas kaa persamaa di atas, maka diperoleh ( k + θ = λ(( s Ι s [, ] ds L k k = a ( s k ( s k [, ] ds L k k + Ι + = Ε X ([ k,( k + ] [, ] = L k k = a s ( s k [, ] ds L Ι + k k = k = k a Ι ( s+ k [, ] ds L (7 Perhatika bahwa Ι ( s + k [, ] = L + O ( L k = k (8 (lihat Tithmarsh 96 da sds= a Bagia kedua pada (7 adalah Misalka ζ = ( x k [, ] Ι + k = (9 Perhatika bahwa ζ utuk setiap Bagia ketigaya mejadi a a ( s k [, ] ds L Ι + = + ζ k = L a aζ = + L L a L ( dimaa ζ utuk setiap Sehigga (7 mejadi Ε N( [ k,( k + ] [, ] θ L k = k a + L ( Dari ( da L l dega diperoleh: Ε N( [ k,( k + ] [, ] θ l / k ( k = a + l / ( ( Dega megambil padaa stokastik dari bagia pertama, maka diperoleh persamaa (5 da juga meggati a dega a (karea belum diketahui ˆ 7
16 Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ Lema 6: Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka θ Ε ( aˆ = a+ + O (3 da a Var( aˆ = + O 3 (4 dega Sehigga a ˆ merupaka peduga a yag kosiste Mea Squared Error (MSE-ya diberika oleh MSE( aˆ ( ˆ ( ˆ = bias a + Var a Dari (3 θ Bias( aˆ ˆ =Εa a = + O, jika Dari (4 diperoleh a Var( aˆ = + O 3 sehigga 4θ a MSE( aˆ = + + O 3 ( = (4θ + a + O 3 jika Bukti dari lema ii dapat dilihat pada jural Helmers da Magku (5 Teorema : (Kekosistea ˆ θ Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka ˆ P θ θ jika (5 Dega kata lai, ˆ θ merupaka peduga yag kosiste bagi θ MSE dari ˆ θ koverge ke jika Bukti: Teorema aka dibuktika setelah bukti Teorema Teorema : (Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka ˆ ( γθ ( γ/ + ζ a Ε ( θ = θ + o l l ( (6 jika Dega γ =,577 adalah kostata Euler Serta θ a π + a ( γ 6 ( ˆ a Var θ = + l ( / ( l ( / + o ( l (7 Bukti: Pertama, aka dibuktika (6 Nilai harapa dari persamaa ( adalah ˆ Ε N( [ k,( k + ] [, ] Ε θ = k = k l + Εaˆ l (8 Bagia pertama pada (8 sama dega Ε N( [ k,( k+ ] [, ] k = k l k+ = λ( x Ι( x [, ] k = k l k Dega perubaha batas itegral, maka persamaa di atas mejadi = λ( x + k Ι ( x+ k [, ] k = k l Dega persamaa ( diperoleh = λ ( x+ k + a( x+ k k k = l Ι ( x+ k [, ] = λ ( x + k Ι ( x+ k [, ] k = k l + axι ( x + k [, ] k = k l + akι ( x + k [, ] k = k l 8
17 Dega persamaa (, persamaa di atas mejadi = λ ( x ( x k [, ] l / Ι + k ( ( ( k = k = k = a + x ( x k [, ] l / Ι + k a + Ι ( x+ k [, ] l / (9 Diketahui bahwa Ι ( x + k [, ] = l + γ + o ( k = k, ( x, jika da seragam pada [ ] (Lihat Tithmarsh 96 Dega mesubstitusi ( pada bagia pertama (9, maka λ ( x Ι ( x+ k [, ] k = k l = λ ( x l γ o( + + l γ = λ( x λ( x + l + λ ( x ( o( l θγ = θ + + o l l ( Dega ara yag sama, bagia kedua pada (9 mejadi a x Ι ( x+ k [, ] k = k l a [, ] = x l γ o( + + l a aγ o( a = x x x + + l l Karea x=, maka persamaa di atas mejadi a aγ + + o l l a aγ = + + o, l l ( jika Perhatika bahwa Ι ( x+ k [, ] = + ζ k = (lihat Tithmarsh 96 (3 Sehigga bagia ketiga pada (9 mejadi a Ι ( x + k [, ] k = l a = + ζ l a aζ = + l l a aζ = + (4 l l Dega mesubstitusika (3 ke bagia persamaa (8, maka + Εaˆ l θ = + a O + + l a θ a = O l θ O l l a a θ = + O l l jika (5 9
18 Dega meggabugka (, (, (4 da (5, maka persamaa (6 terbukti sebagai berikut ˆ θγ a Ε ( θ = θ + + o + l ( / l aγ a + + o + l ( / l l ( / aζ a a + l / l / ( ( θ O + l / ( θγ + ( aγ / + aζ θ = θ + + o l / l ( γ ( ( γθ + ζ a = θ + o l / l ( jika Selajutya aka dibuktika persamaa (7 Telah didefiisika peduga bagi θ yaitu ˆ θ pada persamaa (5 Misalka didefiisika N([ k,( k + ] [, ] A = k = k l (6 da B ˆ = a + l ( / (7 Sehigga kita dapat meuliska ˆ θ = A B (8 Kemudia kita dapat meghitug ragam dari ˆ θ sebagai berikut Var( ˆ θ = Var( A + Var( B Cov( A, B (9 Catata, utuk setiap j k, j, k =,,, maka ([ j,( j ] [, ] ([ k,( k ] [, ] + da + tidak salig tumpag tidih (tidak overlap Sehigga N j,( j [, ] N k,( k+ [, ] ([ + ] da ([ ] adalah bebas, utuk k j Sehigga Var( A dapat dihitug sebagai berikut Var( A = Var( N([ k,( k + ] [, ] ( l( / k= k = λ( x+ k( Ι x+ k [, ] ( l( / k= k Dega megguaka persamaa (, maka Var ( A = λ( ( ( [, ] x+ k + ax+ k Ι x+ k k= k ( l ( / = λ( ( [, ] x+ kι x+ k k= k ( l ( / + ( ( [, ] ax+ k Ι x+ k k= k ( l ( / Kemudia, dega persamaa ( diperoleh Var( A = ( ( [, ] λ x Ι x+ k k = k ( l ( / a + x Ι ( x+ k [, ] k = k ( l ( / a + Ι ( x+ k [, ] k = k ( l ( / (3 Perhatika bahwa π Ι ( x + k [, ] = + o ( k = k 6 (3 x, (Lihat jika, seragam pada [ ] Tithmarsh 96 Dega megguaka persamaa (3, bagia pertama dari persamaa (3 mejadi λ ( x Ι ( x + k [, ] ( l ( / k = k π = ( ( λ x + o l ( / 6 ( π = o( θ + 6 ( l ( / θ π 6, = + o ( l ( / l ( jika (3
19 Bagia keduaya mejadi a x Ι ( x+ k [, ] l / k = k ( ( a π = x o( + 6 ( l ( / a π = o( + 6 ( l ( / a π 6 = + o, ( l ( / l ( (33 jika Dega megguaka persamaa (, bagia ketigaya mejadi a Ι ( x + k [, ] k = k l a = l γ o( + + l a = l γ o( + + l a aγ = + + o l l ( l (34 jika Dega meggabugka persamaa (3, (33 da (34, diperoleh θ a π a a + + γ 6 Var( A = + l / l / ( ( ( + o ( l (35 Selajutya, dega megguaka persamaa (4 Var( B mejadi Var( B = Var aˆ + l ( = Var( aˆ Var + l ( a = + O 3 + l ( / a = + O, ( l ( / l ( / jika (36 Kemudia, aka kita hitug Cov( A, B sebagai berikut: Cov( A, B = + l ( / l ( / Cov( N ([ k,( k + ] [, ], N ([, ] k= k Karea N( [ k,( k + ] [, ] adalah himpua bagia dari N [, ], maka ( Cov(A,B dapat ditulis sebagai berikut Cov( A, B = + ( l ( / l ( / Var ( N ([ k,( k + ] [, ] k= k Karea N adalah peubah aak Poisso, maka Var( N = Ε N Sehigga kita peroleh Cov( A, B = + ( l ( / l ( / ( λ ( x + ax ( x k [, ] Ι + k= k + + ( l ( / l ( / (37 Substitusi persamaa ( ke bagia pertama persamaa (37 aka kita peroleh O, jika l ( Lalu dega mesubstitusi persamaa (3 ke bagia kedua persamaa (37 aka diperoleh a + O, jika l l ( Maka a Cov( A, B = + O ( l ( / l ( / Sehigga bagia ketiga persamaa (9 mejadi
20 4a Cov( A, B = + O, jika Maka Teorema terbukti ( l ( / l ( / Bukti Teorema : Dega megguaka persamaa (6, diperoleh lim Ε( ˆ θ γ ( ( γθ + ζ a = lim θ + o l( / l = θ Atau dapat ditulis sebagai Ε ( ˆ θ = θ + o(, jika (38 Sedagka persamaa (7 megakibatka lim Var( ˆ θ θ a π + a ( γ a 6 = lim + + θ ( l l l = Dapat ditulis juga sebagai Var( ˆ θ = o(, jika (39 Selajutya, aka dibuktika bahwa ˆ θ adalah peduga kosiste bagi θ, yaitu bahwa utuk setiap ε > berlaku Ρ ˆ θ θ > ε, jika ( Ruas kiri persamaa di atas dapat ditulis sebagai berikut Ρ ˆ θ θ > ε =Ρ ˆ θ Ε ˆ θ +Ε ˆ θ θ > ε ( ( (4 Dega ketaksamaa segitiga maka persamaa (4 mejadi Ρ ˆ θ Ε ˆ θ +Εˆ θ θ > ε ( ( θ θ ε θ θ =Ρ ˆ Ε ˆ > Εˆ (4 Berdasarka persamaa (38, maka ada o sehigga ˆ ε Εθ θ, (4 utuk setiap > o Dega mesubstitusika persamaa (4 ke persamaa (4, maka ruas kaa persamaa (4 mejadi ˆ ˆ ε =Ρθ Ε θ > Kemudia diperoleh ( ˆ ˆ ˆ ε Ρ θ θ > ε Ρ θ θ Ε > Dega megguaka pertaksamaa Chebyshev, maka 4 ( ˆ ˆ ˆ ε Var θ Ρθ Ε θ > ε (43 Dega (39, maka ruas kaa persamaa (43 koverge ke jika Mea Squared Error-ya adalah ˆ MSE( θ = Bias ( ˆ θ + Var( ˆ θ Dari persamaa (38, diperoleh Bias( ˆ θ = Ε ˆ θ θ = o(, jika, sehigga Bias ( θ = o(, jika Dari persamaa (39, diperoleh Var( ˆ θ = o(, jika ˆ Jadi, MSE( ˆ θ = o(, jika, dega kata lai MSE( ˆ θ, jika Maka Teorema terbukti Reduksi Bias Utuk megevaluasi bias dari ˆ θ, kita perhatika suatu kasus khusus, yaitu proses Poisso dega fugsi itesitas λ( s = λ ( s + as π s = Aexp ρos + φ + as Kita pilih ρ =, = 5, φ = da a = 5 Dega parameter tersebut, fugsi itesitas mejadi π s λ( s = Aexp os + 5s 5 (44 Kita pertimbagka tiga ilai θ yaitu θ=66 (A =, θ = 53 (A = da θ=5644 (A = 4 Utuk A =, kita peroleh 5 π s θ = exp os ds 66 5 = 5 Kita guaka iterval pegamata [,]
21 Cotoh : Pada otoh ii kita pelajari perilaku dari θ (dalam Teorema, dega fugsi ˆ itesitas λ(s diberika oleh (44 Pedekata asimtotik bagi bias da ragam pada Teorema aka dibadigka dega suatu hasil simulasi yag diambil dari Magku (5 (i Utuk θ = 66, dega persamaa (6 da (7 diperoleh peduga asimtotik utuk bias da ragam dari ˆ θ sebagai berikut: Bias ( ˆ θ =Εˆ θ θ 5778 ( 5778(66 (55 = l(/5 = π + 5( 5778 ˆ Var ( θ = + l l 5 5 = 3 Dari simulasi, dega megguaka M=, realisasi yag bebas dari proses N yag diobservasi pada iterval [,], diperoleh Bias ˆ ( ˆ θ = 3793 da Var ˆ ( ˆ θ =, dimaa Bias ˆ ( ˆ θ adalah rata-rata otoh (yag diperoleh dari simulasi dikuragi ilai θ yag sebearya da Var ˆ ( ˆ θ adalah ragam otoh Jadi, Bias( ˆ θ Bias ˆ ( ˆ θ = 3734 ( 3793 = 59 Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 3 = (ii Utuk θ=53, dega (6 da (7, da dari simulasi (M= diperoleh Bias( ˆ θ Bias ˆ ( ˆ θ = 737 ( 733 = 66 da Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = = 7 (iii Utuk θ=5644, dega (6 da (7 da simulasi (M= diperoleh Bias( ˆ θ Bias ˆ ( ˆ θ = 3938 ( 4 = 7 da Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = = 43 Dari Cotoh, kita lihat bahwa peduga asimtotik utuk bias da ragam pada (6 da (7 sudah ukup baik utuk memperkiraka bias da ragam dari peduga ˆ θ dega ukura otoh yag terbatas Tetapi bias dari ˆ θ masih ukup besar Kita dapat mereduksi bias ii dega meambahka peduga dari bagia kedua pada persamaa (6 ke dalam ˆ θ Dega demikia, kita peroleh peduga dega bias yag telah dikoreksi utuk θ sebagai berikut ˆ γ ( γ θ ˆ + ζ a ˆ ˆ θ = θ + b, l (45 Teorema 3: (Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ b, Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka ˆ Ε θ = θ + o b, l (46 jika, da θ a π + a( γ ˆ a 6 + Var( θ = + b, l ( / l / jika + o, (l ( ( (47 Bukti: Pertama, aka dibuktika persamaa (46 Utuk membuktikaya, kita tulis kembali peduga ˆ θ b, pada (45 sebagai berikut ˆ ( γ ˆ ( γ /+ ζ θ = aˆ b, + θ l( / l( / (48 Dega (6, ilai harapa bagia pertama pada (48 mejadi 3
22 ( γ = ˆ + Εθ l( / ( ( ( γ ( γθ γ/ + ζ a = + θ + o l( / l l γ + ζ a = θ + + o, l l (49 jika Dega (3, ilai harapa bagia kedua pada (48 mejadi ( γ /+ ζ = Ε aˆ l( / ( γ /+ ζ θ = a + + O l( / ( γ /+ ζ a = + o, l ( / l (5 Jika Kemudia, dega meggabugka (49 da (5, kita peroleh persamaa (46 Selajutya, aka dibuktika persamaa (47 Dega megguaka (48, Var( ˆ θ dapat dihitug sebagai berikut b, Var( ˆ θ b, γ + ζ ( γ ˆ = Var( θ + + Var( aˆ l / l / ( ( ( γ + ζ ( γ + Cov( ˆ θ, aˆ l ( / l ( / (5 Dega (7, bagia pertama persamaa (5 sama dega θ a π + a( γ a 6 a + + l ( / l / l / + o ( l ( ( ( ( θ a π + + a( γ a 6 = + + o, l ( / ( l ( / ( l (5 jika Dega (4, bagia kedua pada (5 adalah O yag mejadi o (l (l jika Kemudia dega pertaksamaa Cauhy-Shwarz, bagia ketiga (5 mejadi o jika Sehigga, (l diperoleh (47 Teorema 3 terbukti Cotoh : Pada otoh ii, kita pelajari perilaku dari peduga ˆ θ, b pada persamaa (45 dega fugsi itesitas λ(s pada (44 Hasil simulasi yag diguaka sebagai pembadig diambil dari Magku (5 (i Utuk θ = 66, dari simulasi (M= da dega (47, diperoleh peduga asimtotik utuk bias da ragam dari ˆ θ sebagai berikut: b, Bias ˆ ( ˆ θ b, = 9 da Var ( ˆ θb, 5 (66/5 + 5/( π /6 + 5( 5778 = + l 5 l 5 = 83 Var ( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = = 7 b, b, (ii Utuk θ=53, dari simulasi (M= da dega (47, diperoleh Bias ˆ ( ˆ θ = 56 b, Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = b, b, = 47 (iii Utuk θ=5644, dari simulasi (M= da dega (47, diperoleh Bias ˆ ( ˆ θ = 3993 b, Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 78 5 b, b, = 33 Jelas bahwa bias dari ˆ θ, b jauh lebih keil dari bias ˆ θ Jadi, reduksi bias pada (45 berhasil 4
23 KESIMPULAN Pada tulisa ii dikaji suatu metode utuk meduga fugsi itesitas global dari kompoe periodik suatu proses Poisso periodik dega tre liear Kita guaka ˆ N ([ k,( k + ] [, ] θ = l ( / k = k aˆ + l ( / da peduga dega bias yag telah dikoreksi ˆ θ sebagai peduga fugsi b, N [ ] itesitas global θ da (, aˆ = sebagai peduga bagi a, dega a adalah slope dari kompoe liear proses yag dikaji Dari hasil pegkajia yag dilakuka, dapat disimpulka bahwa: (i Kuatitas ˆ θ merupaka peduga kosiste bagi θ, serta MSE( ˆ θ, jika (ii Bias dari ˆ θ adalah (iii Bias( ˆ θ ( γθ ( γ/ + ζ a = + o, l ( / l jika Ragam dari ˆ θ adalah ( θ / + /( π a( γ ˆ a a /6 Var( θ = + l ( / ( l ( / + o, ( l jika (iv Bias dari ˆ θ b, adalah o l, jika (v Ragam dari ˆ θ, b adalah + o ( l jika ( θ / + a/( π /6 + a( γ ˆ a Var ( θb, = + l ( / l /, ( ( DAFTAR PUSTAKA Browder, A 996 Mathematial Aalysis : A Itrodutio Spriger New York Damiri, S D 3 Metode utuk Meduga Fugsi Itesitas Global pada Proses Poisso Periodik Departeme Matematika Istitut Pertaia Bogor Bogor Dudley, R M 989 Real Aalysis ad Probability Wadsworth & Brooks Califoria Durret, R 996 Probability : Theory ad Examples Ed ke- Duxbury Press New York Grimmett, G R da D R Stirzaker 99 Probability ad Radom Proesses Ed ke- Claredo Press Oxford Ghahramai, S 5 Fudametals of Probability with Stohasti Proesses Ed ke-3 Pearso Pretie Hall New Jersey Helmers, R da I W Magku 5 Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proesses i the Presee of Liear Tred CWI, Amsterdam Hogg, R V da A T Craig 995 Itrodutio to Mathematial Statistis Ed ke-5 Pretie Hall, Eglewood Cliffs New Jersey Magku, I W Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proess (PhDThesis Uiversity of Amsterdam Amsterdam Magku, I W 5 A Note o Estimatio of The Global Itesity of a Cyli Poisso Proess i The Presee of Liear Tred Joural of 5
24 Mathematis ad Its Appliatios Vol 4 No Ross, S M 3 Itrodutio to Probability Model Ed ke-8 Aademi Press I Orlado, Florida Serflig, R J 98 Approximatio Theorems of Mathematial Statistis Joh Wiley & Sos New York Taylor, H M ad S Karli 984 A Itrodutio to Stohasti Modelig Aademi Press, I Orlado, Florida Tithmarsh, E C 96 The Theory of Futios Oxford Uiversity Press Lodo Wheede, R L ad A Zygmud 977 Measure ad Itegral : A Itrodutio to Real Aalysis Marel Dekker, I New York 6
25 L A M P I R A N 7
26 Lampira Pembuktia Lema Lema (Fugsi Itesitas Global Jika N([,] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ, maka pada defiisi (3 ada da θ = λ ( s ds ΕN lim ([, ] Bukti: Berdasarka defiisi proses Poisso, diketahui bahwa ([, ] parameter µ ([, ] = λ ( s ds, sehigga ([ ] Ε, = λ ( s ds N memiliki sebara Poisso dega Oleh karea itu, maka ΕN( [, ] lim = lim ( s ds λ (53 Misalka = da r = Maka r < Sehigga ruas kaa (53 sama dega lim λ ( s ds λ ( s ds lim λ ( s ds lim λ ( s ds + = + (54 Perhatika bahwa limit pada suku kedua pada (54 berilai ol Maka tiggal meujukka bahwa λ s ds = lim ( λ ( s ds (55 Utuk memperoleh hal di atas, kita tulis ruas kiri (55 sebagai berikut lim λ ( s ds (56 Perhatika bahwa ( s ds ( s ds ( s ds λ = λ = λ Maka limit pada (56 dapat dihitug sebagai berikut λ s ds = r ( lim λ( s ds lim Jadi, utuk kasus ([, ] periodik dega periode, maka Lema terbukti r = λ ( s ds lim = λ ( s ds N adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ yag θ = λ ( s ds 8
27 Lampira Pembuktia Lema 4 Lema 4 (Pertaksamaa Chebyshev Jika X adalah peubah aak dega rataa µ da ragam σ, maka utuk setiap k >, σ Ρ{ X µ k} k (Ross 3 Bukti : Utuk membuktika pertaksamaa Chebyshev diperluka Pertaksamaa Markov (Lema 7 berikut: Lema 7 (Pertaksamaa Markov Jika X adalah peubah aak yag takegatif, maka utuk setiap a >, Ε( X Ρ{ X a} a Bukti : Jika X kotiu dega fugsi kepekata peluag f, maka Ε ( X = x f( x a = x f( x + x f( x a = a xf( x af( x a a f( x a = aρ{ X a} Utuk kasus X diskret, dapat dibuktika dega ara serupa, yaitu dega meggati itegral dega otasi pejumlaha serta fugsi kepekata peluag dega fugsi kerapata peluag Jadi Ε( X aρ{ X a} Ε X Sehigga dapat ditulis Ρ( X a a Jadi Lema 7 terbukti Selajutya dega Pertaksamaa Markov (Lema 7, maka kita dapat membuktika Lema 4 Ρ X µ k =Ρ X µ k Jadi Lema 4 terbukti ( ( ( Ε σ = k ( X µ k 9
28 Lampira 3 Pembuktia Lema 5 Lema 5 (Pertaksamaa Cauhy-Shwarz Utuk setiap peubah aak X da Y berlaku Ε( XY Ε( X Ε ( Y (Ghahramai 5 Bukti: Utuk setiap bilaga real a, ( X ay Sehigga X axy + Y Karea peubah aak takegatif memiliki ilai harapa takegatif, maka Ε( X axy + a Y Ε( X aε ( XY + a Ε( Y Misalka A =Ε ( Y, B = Ε ( XY,da C =Ε ( X Perhatika bahwa jika poliom derajat dua memiliki palig bayak sebuah akar real maka diskrimiaya takpositif Sehigga B 4AC [ ] 4 Ε( XY 4 Ε( X Ε( Y [ ] Ε( XY 4 Ε( X Ε( Y Kemudia jika kedua ruas diakarka maka Ε( XY Ε( X Ε( Y Jadi, Lema 5 terbukti Ε( XY Ε( X Ε( Y
LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi
Lebih terperinciPENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PEPI RAMDANI
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PEPI RAMDANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN CASMAN
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN CASMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN
EONSISTENAN PENDUGA OMPONEN PERIODI FUNGSI INTENSITAS BERBENTU PERALIAN FUNGSI PERIODI DENGAN TREN UADRATI PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN TASLIM SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0 PERNYATAAN
Lebih terperinciPENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PENDAHULUAN
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI Abstrat I tis mausript, estimatio of te periodi
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciBeberapa Definisi Ruang Contoh Kejadian dan Peluang Definisi L.1 (Ruang contoh dan kejadian) . Definisi L.2 (Kejadian lepas )
33 LAMPIRAN 34 35 Beberapa Defiisi Ruag Cooh Kejadia da Peluag Suau percobaa yag dapa diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya idak dapa diprediksi dega epa eapi kia bisa megeahui semua kemugkia hasil
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.
BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MUKTI RAHAYU G
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MUKTI RAHAYU G540409 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya
5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT
Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciBab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.
Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 52 59 ISSN : 233 29 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciStatistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram
Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da
Lebih terperinciBAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM. ) menyatakan banyaknya kejadian pada interval [ 0, n ] dan h
BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM 4.1 Peduga dega Kerel Seragam Pada bab ii diguaka peduga dega kerel eragam. Hal ii karea aya belum berail memperole ebara aimtotik dari
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI
SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciBAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada
8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia
Lebih terperinciPEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 71 75 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK SUCI SARI WAHYUNI,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma
Lebih terperinciSelang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan
Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK ZAENAL ARIFIN
SEBARAN ASIMTOTI PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN EDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODI ZAENAL ARIFIN SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)
3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real
Lebih terperincimempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.
Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah
Lebih terperinciStatistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:
Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis Peaksira
Lebih terperinciTEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB ENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Dalam kehidupa yata, hampir seluruh feomea alam megadug ketidak pastia atau bersifat probabilistik, misalya pergeraka lempega bumi yag meyebabka gempa, aik turuya
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciPENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA. Oleh: MERYALDI G
PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA Oleh: MERYALDI G5400 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 006 PENDUGA KEPEKATAN KERNEL
Lebih terperinci9 Departemen Statistika FMIPA IPB
Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciTEORI ANTRIAN. Gambar 1 Proses antrian pada suatu sistem antrian
TEORI ANTRIAN Teori atria merupaka studi matematis megeai atria atau waitig lies yag di dalamya disediaka beberapa alteratif model matematika yag dapat diguaka utuk meetuka beberapa karakteristik da optimasi
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
Lebih terperincioleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciHALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
Lebih terperinciREPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program
Lebih terperinciPENDUGA RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KUARTIL VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA DAN PENGATURAN PERINGKAT MEDIAN
PEDUGA RASIO UTUK RATA-RATA POPULASI MEGGUAKA KUARTIL VARIABEL BATU PADA PEGAMBILA SAMPEL ACAK SEDERHAA DA PEGATURA PERIGKAT MEDIA ur Khasaah, Etik Zukhroah, da Dewi Reto Sari S. Prodi Matematika Fakultas
Lebih terperinciAji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru
Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.8 No.2 (24) Hal. 39-45 APLIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENENTUKAN FORMULA TRANSFORMASI LAPLACE Aji Wiratama, Yui Yulida, Thresye Program Studi Matematika
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da
Lebih terperinciBARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer. New York. Dudley, R.M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret, R. 1996. Probability
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT LIA YULIAWATI G
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLBAL DARI PRSES PISSN PERIDIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT LIA YULIAWATI G5444 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BGR BGR 8
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Pengertian
TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi
Lebih terperinciPendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani /
Pedugaa Parameter 7 Debria Puspita Adriai E-mail : debria.ub@gmail.com / debria@ub.ac.id Outlie Pedahulua Pedugaa Titik Pedugaa Iterval Pedugaa Parameter: Kasus Sampel Rataa Populasi Pedugaa Parameter:
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuha Betuk ugsi pertumbuha satu jeis spesies pada umumya megguaka otasi ugsi aalitik yag diyataka dalam satu persamaa. Secara umum ugsi pertumbuha meyataka hubuga
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi
Lebih terperinciHomomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus
Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor
Lebih terperincib. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinciHendra Gunawan. 14 Februari 2014
MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga
Lebih terperinciInduksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT
Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag
Lebih terperinciModul Kuliah statistika
Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
Lebih terperinciSupriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi
Lebih terperinciSEBARAN t dan SEBARAN F
SEBARAN t da SEBARAN F 1 Tabel uji t disebut juga tabel t studet. Sebara t pertama kali diperkealka oleh W.S. Gosset pada tahu 1908. Saat itu, Gosset bekerja pada perusahaa bir Irladia yag melarag peerbita
Lebih terperinciBAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI
BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas
Lebih terperinci