PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PEPI RAMDANI

Transkripsi

1 PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PEPI RAMDANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 ABSTRAK PEPI RAMDANI Pedugaa Kompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Fugsi Periodik Kali Tre Kuadratik Suatu Proses Poisso No-Homoge Dibimbig oleh I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI Pada karya ilmiah ii dibahas pedugaa kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk fugsi periodik kali tre kuadratik suatu proses Poisso o-homoge Diperhatika keadaa terburuk, haya terdapat realisasi tuggal dari proses Poisso dega fugsi itesitas yag terdiri atas kompoe periodik dikalika dega kompoe tre kuadratik yag diamati pada iterval [0,] Diasumsika bahwa periode dari kompoe periodik adalah diketahui Peduga kompoe periodik dari fugsi itesitas tersebut telah disusu da Mea Square Error (MSE) peduga telah dibuktika koverge meuju ol utuk Selai itu, juga telah diformulasika aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, da Mea Square Error (MSE) dari peduga yag dikaji Ditetuka juga badwidth optimal asimtotik bagi peduga tersebut Kata kui: proses Poisso periodik, fugsi itesitas, fugsi periodik, tre kuadratik, kekosistea, Mea Square Error (MSE), aproksimasi asimtotik, badwidth

3 ABSTRACT PEPI RAMDANI Estimatio of Periodi Compoet of the Itesity Futio of Form Periodi Futio Multiplied by Quadrati Tred of a No-Homogeeous Poisso Proess Supervised by I WAYAN MANGKU ad RETNO BUDIARTI This mausript is oered with estimatio of periodi ompoet of the itesity futio of form periodi futio multiplied by quadrati tred of a o-homogeeous Poisso proess It is osidered the worst ase, where there is oly a sigle realizatio of a Poisso proess with itesity futio of form periodi ompoet multiplied by a quadrati tred were observed i the iterval [0,] It is assumed that the period of the periodi ompoet is kow A estimator of the periodi ompoet of the itesity futio has bee formulated ad its Mea Square Error (MSE) has bee proved overges to zero as I additio, asymptoti approximatios to the bias, variae, ad the Mea Square Error (MSE) of the estimator have bee formulated A asymptotially optimal badwidth for this estimator is also determied Keywords: periodi Poisso proess, itesity futio, periodi futio, quadrati tred, oistey, Mea Square Error (MSE), asymptoti approximatio, badwidth

4 PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PEPI RAMDANI G Skripsi sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Departeme Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

5 Judul Skripsi : Pedugaa Kompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Fugsi Periodik Kali Tre Kuadratik Suatu Proses Poisso No-Homoge Nama : Pepi Ramdai NRP : G Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Dr Ir I Waya Magku, MS Ir Reto Budiarti, MS NIP NIP Megetahui, Ketua Departeme Matematika, Dr Berlia Setiawaty, MS NIP Taggal Lulus:

6 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala rahmat da karuia-nya sehigga karya ilmiah ii berhasil diselesaika Peyusua karya ilmiah ii juga tidak lepas dari batua berbagai pihak Utuk itu peulis meguapka terimakasih yag sebesar-besarya kepada: Dr Ir I Waya Magku, MS selaku dose pembimbig I (terima kasih atas semua ilmu, kesabara, motivasi, da batuaya selama peulisa skripsi ii) Ir Reto Budiarti, MS selaku dose pembimbig II (terima kasih atas semua ilmu, kesabara, da motivasiya) 3 Dr Ir Hadi Sumaro, MS selaku dose peguji (terimakasih atas semua ilmu da saraya) 4 Semua dose Departeme Matematika (terima kasih atas semua ilmu yag telah diberika) 5 Bu Susi, Bu Ade, Mas Boo, Mas Dei, Mas Yoo, Mas Heri 6 Keluargaku terita: bapak da ibu (terima kasih atas semua doa, dukuga, da kasih sayagya), Kakakku Novi, da Adikku Rii 7 Ibu Ayi (terima kasih atas doa da motivasiya) 8 Tema sebimbiga: Weti, Ais, Tita, da Nadiroh 9 Tema-tema Math 44: Ruhiyat, Devi, Lugia, Dia, Solihudi, Puyig, Ipul, Edro, Na im, Dika, da tema-tema Math 44 laiya (Selamat berjuag tema-temaku) 0 Kakak-kakak 44: Ka Apri, Ka Agug, Ka Ae, Ka Wira, Ka Nau, da kakak-kakak Math 43 laiya Tema-tema TPB: Samsi, Ari, da Eo Tema-tema Podok Hadayai: Riski, Gajar, Mas Wisu, Mas Rahmat, Pa Sem, Pa Urim, da Dia (terima kasih atas doa da motivasiya) Semoga karya ilmiah ii dapat bermafaat bagi duia ilmu pegetahua khususya Matematika da mejadi ispirasi bagi peelitia-peelitia selajutya Bogor, Maret 0 Pepi Ramdai

7 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Sumedag pada taggal April 989 sebagai aak kedua dari tiga bersaudara, aak dari pasaga Aep Saepudi da Mimi Tahu 00 peulis lulus dari SDN Wado Tahu 004 peulis lulus dari SMPN Wado Tahu 007 peulis lulus dari SMAN Malagbog ( sekarag SMAN 9 Garut ) da pada tahu yag sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujia Sariga Masuk IPB (USMI) Peulis memilih Departeme Matematika, Fakultas Maatematika da Ilmu Pegetahua Alam Selama megikuti perkuliaha, peulis mejadi asiste praktikum utuk mata kuliah Aalisis Numerik pada tahu ajara 00/0 Peulis juga aktif pada kegiata kemahasiswaa Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Biro Kesekretariata pada periode da staf Forsmath (Forum Alumi Matematika) pada periode

8 vii DAFTAR ISI Halama DAFTAR ISI vii DAFTAR LAMPIRAN viii I PENDAHULUAN Latar Belakag Tujua II LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Peubah Aak da Fugsi Sebara 3 Mome, Nilai Harapa, da Ragam 4 Kekosistea Peduga 3 5 Proses Stokastik 4 6 Proses Poisso 4 7 Beberapa Defiisi da Lema Tekis 5 III HASIL DAN PEMBAHASAN 6 3 Perumusa Masalah 6 3 Perumusa Peduga 6 33 Kekovergea MSE Peduga 7 34 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, da MSE Peduga 0 35 Peetua Badwidth Optimal Asimtotik IV KESIMPULAN 3 DAFTAR PUSTAKA 4 LAMPIRAN 5

9 viii DAFTAR LAMPIRAN Halama Pembuktia Lema 6 Pembuktia Lema 3 7

10 I PENDAHULUAN Latar Belakag Terdapat bayak feomea yag terjadi dalam kehidupa sehari hari yag dapat dimodelka dega suatu proses stokastik Model semaam ii megguaka aturaatura peluag utuk meggambarka perilaku suatu sistem yag tidak diketahui dega pasti di masa yag aka datag Proses stokastik mempuyai peraa yag ukup petig dalam kehidupa sehari hari Feomea sederhaa misalya, proses kedataga pelagga ke pusat servis (bak, kator pos, supermarket, da sebagaiya) da proses kedataga peggua lie telepo dapat dimodelka dega proses stokastik Proses stokastik terdiri atas proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu Pada karya ilmiah ii pembahasa haya dibatasi pada proses stokastik dega waktu kotiu Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik Proses ii atara lai dapat diguaka utuk memodelka proses kedataga pelagga ke pusat servis dega periode satu hari Pada proses kedataga tersebut, fugsi itesitas lokal s meyataka laju kedataga pelagga pada waktu s Salah satu otoh peerapa proses Poisso periodik adalah proses tersebut dapat diguaka utuk memprediksi proses kedataga pelagga utuk hari berikutya Namu, model periodik utuk jagka pajag pada bayak kasus tidak releva sehigga perlu megakomodasi kehadira suatu tre Pada karya ilmiah ii pembahasa haya dibatasi pada fugsi itesitas yag berbetuk fugsi periodik kali tre kuadratik Sehigga karya ilmiah ii mempelajari peduga kompoe periodik fugsi itesitas yag berbetuk fugsi periodik kali tre kuadratik suatu proses Poisso o-homoge Tujua Tujua karya ilmiah ii adalah utuk: (i) Meetuka perumusa peduga kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk fugsi periodik kali tre kuadratik suatu proses Poisso ohomoge (ii) Membuktika kekosistea peduga yag dikaji (iii) Meetuka aproksimasi asimtotik bagi bias peduga (iv) Meetuka aproksimasi asimtotik bagi ragam peduga (v) Meetuka aproksimasi asimtotik bagi MSE peduga (vi) Meetuka badwidth optimal dari peduga II LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Suatu kejadia yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi seara tepat, tetapi kita bisa megetahui semua kemugkia hasil yag muul disebut perobaa aak Defiisi (Ruag Cotoh) Ruag otoh adalah himpua semua hasil yag mugki dari suatu perobaa aak da diotasika dega Ω (Grimmet ad Stirzaker 99) Defiisi (Kejadia) Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag otoh Ω (Grimmet ad Stirzaker 99) Defiisi 3 (Kejadia Lepas) Kejadia A da B disebut kejadia lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog (Grimmet ad Stirzaker 99) Defiisi 4 (Meda-σ) Meda- adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia ruag otoh Ω, yag memeuhi syarat berikut: Ø F Jika A F, maka A F 3 Jika A, A, F, maka i A F i (Hogg et al 005)

11 Defiisi 5 (Ukura Peluag) Misalka Ω adalah ruag otoh suatu perobaa da F adalah meda-σ pada Ω Suatu fugsi P yag memetaka usur usur F ke himpua bilaga yata, atau P:F disebut ukura peluag jika: P tak egatif, yaitu utuk setiap A F, P(A) 0 P bersifat aditif tak higga, yaitu jika A, A, F dega A A, j k, maka P A P A 3 P berorma satu, yaitu P(Ω)= Pasaga (Ω, F, P) disebut ruag ukura peluag atau ruag probabilitas (Hogg et al 005) Defiisi 6 (Kejadia Salig Bebas) Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: P(A B)=P(A)P(B) Seara umum, himpua kejadia A i I dikataka salig bebas jika: P Ai P Ai ij ij utuk setiap himpua bagia J dari I (Grimmet ad Stirzaker 99) Peubah Aak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah Aak) Misalka Ω adalah ruag otoh dari suatu perobaa aak Fugsi X yag terdefiisi pada Ω yag memetaka setiap usur ω Ω ke satu da haya satu bilaga real X(ω) disebut peubah aak Ruag dari X adalah himpua bagia x; x X, bilaga real A j k ; i (Hogg et al 005) Peubah aak diotasika dega huruf kapital, misalya X, Y, Z Sedagka ilai peubah aak diotasika dega huruf keil Defiisi 8 (Peubah Aak Diskret) Peubah aak X dikataka diskret jika semua himpua ilai dari peubah aak tersebut merupaka himpua teraah (Hogg et al 005) Defiisi 9 (Fugsi Sebara) Misalka X adalah peubah aak dega ruag A, X A, A Misalka kejadia maka peluag dari kejadia A adalah P X x FX x Fugsi FX disebut fugsi sebara dari peubah aak X (Hogg et al 005) Defiisi 0 (Fugsi Massa Peluag) Fugsi massa peluag dari peubah aak diskret X adalah fugsi p : 0, yag diberika oleh : px x P X x (Hogg et al 005) Defiisi (Peubah Aak Poisso) Suatu peubah aak X disebut peubah aak Poisso dega parameter λ, λ > 0 jika fugsi massa peluagya diberika oleh: k px k e, utuk k 0,, k! (Ross 007) Lema (Jumlah Peubah Aak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah aak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut turut da Maka X + Y memiliki sebara Poisso dega parameter (Taylor ad Karli 984) Bukti: lihat Lampira 3 Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi (Nilai Harapa) Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi massa peluag p x Nilai X harapa dari X, diotasika dega E X, adalah E X xpx x jika jumlah di atas koverge mutlak (Hogg et al 005) Defiisi 3 (Ragam) Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi massa peluag p x da X ilai harapa E X Ragam dari X, diotasika dega Var X atau X, adalah

12 3 X E X E X x E X px x = x (Hogg et al 005) Defiisi 4 (Mome ke k) Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome ke-k atau mk dari peubah aak X adalah k E X mk (Hogg et al 005) Defiisi 5 (Mome Pusat ke k) Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome pusat ke-k atau k dari peubah aak X adalah k E X m k (Hogg et al 005) Nilai harapa dari peubah aak X juga merupaka mome pertama dari X Nilai harapa dari kuadrat perbedaa atara peubah aak X dega ilai harapaya disebut ragam atau variae dari X Ragam merupaka mome pusat ke- dari peubah aak X Defiisi 6 (Fugsi Idikator) Misalka A adalah suatu kejadia Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi I A 0,, yag diberika oleh :, jika A I A 0, jika A (Grimmet ad Stirzaker 99) Dega fugsi idikator kita dapat meyataka hal berikut : EI P A A 4 Kekosistea Peduga Terdapat beberapa ara utuk megiterpretasika peryataa kekovergea barisa peubah aak, X X utuk Defiisi 7 (Kekovergea dalam Peluag) Misalka X, X, X, adalah barisa peubah aak pada suatu ruag peluag (Ω, F, P) Barisa peubah aak X dikataka koverge P dalam peluag ke X, diotasika X X, jika utuk setiap 0 berlaku P X X 0, utuk (Grimmet ad Stirzaker 99) Defiisi 8 (Statistik) Statistik adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah aak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketahui (Hogg et al 005) Defiisi 9 (Peduga) Misalka X,,, X X adalah otoh aak Suatu statistik U X,,, X X yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g, dikataka sebagai peduga estimator bagi g, dilambagka gˆ Bilamaa ilai dega X x, X x,, X x, maka ilai U X,,, X X disebut sebagai dugaa estimate bagi g (Hogg et al 005) Defiisi 0 (Peduga Tak Bias) (i) Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g, yaitu E U X, X,, X g, disebut peduga tak bias bagi g Jika sebalikya, peduga di atas disebut berbias lim E U X, X,, X g, U X X X disebut (ii) Jika maka,,, peduga tak bias asimtotik bagi g (Hogg et al 005) Defiisi (Peduga Kosiste) Suatu peduga yag koverge dalam peluag g, disebut peduga ke parameter kosiste bagi g (Hogg et al 005) Defiisi (MSE suatu Peduga) Mea Square Error (MSE) dari suatu peduga U bagi parameter g didefiisika sebagai E = BiasU Var U MSE U U g

13 4 dega Bias U U g 5 Proses Stokastik E Defiisi 3 (Proses Stokastik) Proses stokastik X X t, t T adalah suatu himpua dari peubah aak yag memetaka suatu ruag otoh Ω ke suatu ruag state S (Ross 007) Jadi utuk setiap t pada himpua T, X t adalah suatu peubah aak Kita serig megiterpretasika t sebagai state (keadaa) dari proses pada waktu t Defiisi 4 (Proses Stokastik Waktu Kotiu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval (Ross 007) Defiisi 5 (Ikreme Bebas) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X X t, t T disebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t0 t t t, peubah aak X t X t0, X t X t,, X t X t adalah bebas (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak tumpag tidih (tidak overlap) adalah bebas Defiisi 6 (Ikreme Stasioer) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X X t, t T disebut memiliki ikreme stasioer jika X s t X t memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme stasioer jika sebara (distribusi) dari perubaha ilai atara sebarag dua titik haya tergatug pada jarak atara kedua titik tersebut, da tidak tergatug dari lokasi titik titik tersebut 6 Proses Poisso Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso Pada proses ii keuali diyataka seara khusus, diaggap bahwa himpua ideks T adalah iterval bilaga tak egatif, yaitu 0, Defiisi 7 (Proses Peaaha) Suatu proses stokastik N t, t 0 disebut proses peaaha jika N t meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t Dari defiisi tersebut, maka suatu proses peaaha N t harus memeuhi syarat syarat berikut : (i) N t 0 utuk semua t 0, (ii) Nilai N t adalah iteger (iii) Jika s t maka N t N s, s, t 0, (iv) Utuk s t maka N t N s sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada selag s, t (Ross 007) Defiisi 8 (Proses Poisso) Suatu proses peaaha N t, t 0 disebut proses Poisso dega laju λ, λ>0, jika dipeuhi tiga syarat berikut : (i) N 0 0 (ii) Proses tersebut memiliki ikreme bebas (iii) Bayakya kejadia pada sebarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara (distribusi) Poisso dega ilai harapa t Jadi utuk semua t, s 0, t k e t N s t N s k P, k! k 0,, (Ross 007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme stasioer Dari syarat ii juga dapat diperoleh: E N t t Defiisi 9 (Proses Poisso tak Homoge) Suatu proses Poisso N t, t 0 disebut proses Poisso tak homoge jika laju λ pada

14 5 sebarag waktu t merupaka fugsi tak kosta dari t yaitu t (Ross 007) Defiisi 30 (Itesitas Lokal) Itresitas lokal dari suatu proses Poisso tak homoge X dega fugsi itesitas λ pada titik s adalah s, yaitu ilai fugsi λ di s (Cressie 993) Defiisi 3 (Fugsi Periodik) Suatu fugsi λ disebut periodik jika s k s utuk semua s da k Kostata terkeil τ yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi λ tersebut (Browder 996) Defiisi 3 (Proses Poisso Periodik) Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso tak homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik (Magku 00) 7 Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi 33 (Fugsi Teritegralka Lokal) Fugsi itesitas λ disebut teritegralka lokal, jika utuk sembarag himpua Borel terbatas B diperoleh B sds B (Dudley 989) Defiisi 34 (O()) Simbol big-oh ii merupaka ara utuk membadigka besarya dua fugsi u x da v x, dega x meuju suatu limit L Notasi u x O v x, x L, meyataka bahwa u x v x terbatas, utuk x L (Serflig 980) Defiisi 35 (o()) Suatu fugsi f disebut o h, utuk h 0, f h jika lim h0 h 0 Hal ii meyataka bahwa f h 0 lebih epat dari h 0 (Ross 007) Dega megguaka Defiisi 34 da Defiisi 35 diperoleh hal berikut : (i) Suatu barisa bilaga yata a disebut terbatas da ditulis a O utuk, jika ada bilaga terhigga A da B sehigga A a B, utuk semua bilaga asli (ii) Suatu barisa b yag koverge ke ol utuk, dapat ditulis b o, utuk (Purell ad Varberg 998) Defiisi 36 (Titik Lebesgue) Titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fugsi λ jika berlaku h lim x s sdx 0 h0 h h Syarat ukup agar s titik Lebesgue bagi λ adalah fugsi λ kotiu di s (Wheede ad Zygmud 977) Lema (Formula Youg dari Teorema Taylor) Misalka g mempuyai turua ke- yag terhigga pada suatu titik x, maka k g x k g y g x y k o y x k k! utuk y x Bukti: lihat Serflig (980) Lema 3 (Pertaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah aak dega ilai harapa μ da ragam, maka utuk setiap k 0, P X k k Bukti: lihat Lampira

15 6 III HASIL DAN PEMBAHASAN 3 Perumusa Masalah Misalka N adalah suatu proses Poisso o-homoge pada iterval 0, dega fugsi itesitas λ yag tidak diketahui Fugsi ii diasumsika teritegralka lokal da merupaka hasil kali dari dua kompoe, yaitu kompoe periodik atau kompoe siklik dega periode 0 yag dikalika dega kompoe tre kuadratik, yag juga tidak diketahui Dega kata lai, utuk sebarag titik s 0,, kita dapat meuliska fugsi itesitas λ sebagai berikut s * s as () * dega s adalah fugsi periodik dega periode τ da a merupaka koefisie dari tre kuadratik Persamaa () dapat juga ditulis mejadi s a * s s () dega a * ( s) adalah fugsi periodik Jika * diotasika s a s, maka persamaa () dapat ditulis mejadi s s s (3) Karea adalah fugsi periodik, maka persamaa berikut s s k (4) berlaku utuk setiap s 0, da k, dega adalah himpua bilaga bulat Karea s diketahui, maka masalah pedugaa fugsi itesitas s dapat disederhaaka mejadi masalah pedugaa kompoe periodik s Karea s adalah fugsi periodik dega periode τ, maka utuk meduga s pada s 0, ukup diduga ilai s pada s 0, Pada karya ilmiah ii dipelajari peyusua peduga kosiste bagi s utuk s 0,, dega haya megguaka realisasi tuggal N dari suatu proses Poisso dega fugsi itesitas s seperti pada persamaa (3), yag diamati pada iterval 0, 3 Perumusa Peduga pada Peduga bagi s s 0, dapat dirumuska sebagai berikut ˆ, s k 0 ( s k ) N s k h, s k h 0, h (5) dega N 0, meyataka bayakya kejadia pada iterval 0, da h adalah barisa bilaga real positif yag koverge meuju ol, yaitu h 0 (6) utuk Pada peduga di atas, h disebut badwidth Utuk meyusu peduga diperluka data N 0,, yaitu data realisasi proses Poisso pada iterval 0,, dega bilaga real da harus relatif besar dibadigka periode τ Fugsi itesitas s dapat didekati dega rata-rata bayakya kejadia di sekitar s atau pada iterval s h, s h Oleh karea itu, peduga bagi dega s, diotasika ˆ s, diperoleh dega meetuka rata-rata bayakya kejadia di sekitar s Seara matematis dapat ditulis mejadi N s h, ˆ s h s h (7) Berdasarka sifat keperiodika pada persamaa (4), maka didapatka peduga kompoe periodik fugsi itesitas λ di sekitar s k, yaitu s yag meyataka rata-rata bayakya kejadia di sekitar s k dibagi s k Seara matematis dapat ditulis mejadi N s k h, ˆ s k h s s k (8) h Data yag diamati pada iterval 0, Diotasika meyataka bayakya s k 0, bilaga bulat k sehigga

16 7 Sehigga didapatka suatu peduga bagi utuk s k 0, s, yaitu ˆ, k0 s k, 0, N s k h s k h h (9) Dega meggati dega, maka diperoleh peduga kompoe periodik s, yaitu ˆ s, k 0 ( s k ), 0, N s k h s k h h seperti pada persamaa (5) 33 Kekovergea MSE Peduga Teorema : (Kekovergea MSE Peduga) Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3) da teritegralka lokal Jika asumsi (6) da h utuk berlaku, maka MSE ˆ s 0 (0), utuk, asalka s adalah titik Lebesgue bagi Bukti: Berdasarka Defiisi MSE (Defiisi ), teorema di atas merupaka akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 tetag ketakbiasa asimtotik da Lema 5 tetag kekovergea ragam Lema 4: (Ketakbiasa Asimtotik) Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3) da teritegralka lokal Jika asumsi (6) dipeuhi, maka E s s () ˆ, utuk, asalka s adalah titik Lebesgue bagi Dega kata lai, ˆ, s adalah peduga tak bias asimtotik bagi s Bukti: Utuk membuktika () aka diperlihatka bahwa ˆ, s s lime () Utuk meyelesaika persamaa () dapat diperoleh dega ara sebagai berikut ˆ E, s k 0 ( s k ) EN s k h, s k h 0, h (3) Karea tidak megadug ideks k, h maka persamaa (3) dapat ditulis mejadi ˆ E, s h k 0 ( s k ) EN s k h, s k h 0, Kemudia kompoe EN s k h, s k h 0, pada persamaa (3) dapat dihitug sebagai berikut EN s k h, s k h 0, sk h sk h x I x 0, dx (4) Dega melakuka peggatia peubah y x s k, persamaa (4) dapat ditulis mejadi h, 0, EN s k h s k h y s k I y s k 0, dy h (5) Dega megguaka persamaa (3) da (4), maka persamaa (5) dapat ditulis mejadi EN s k h, s k h 0, h h y s k y s k I y s k 0, dy (6) Berdasarka sifat keperiodika (4), maka persamaa (6) dapat ditulis mejadi EN s k h, s k h 0, h h y s y s k I y s k 0, dy (7) Kemudia kembalika persamaa (7) ke persamaa (3) sehigga mejadi

17 8 E ˆ s, h k 0 ( s k ) h h y s y s k I y s k 0, dy (8) Persamaa (8) bisa ditulis mejadi E h ˆ, s y s k 0 h y s k ( s k ) Perhatika bahwa k 0 y s k ( s k ) h I y s k 0, dy I y s k 0, (9) O (0) utuk Jadi persamaa (9) dapat ditulis mejadi E ˆ s, h y s O dy h h () Dilakuka operasi perkalia pada ruas kaa persamaa () sehigga didapat E h ˆ, s y s dy h h O y sdy h h h () Suku pertama pada ruas kaa dari persamaa () dapat ditulis mejadi h y s s sdy h h h y s sdy h h h h h s dy (3) Utuk meujukka bahwa suku pertama dari persamaa (3) adalah koverge ke ol, diguaka ilai yag lebih besar, yaitu h y s sdy h (4) h Berdasarka asumsi (6) da dega asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi, maka kuatitas pada persamaa (4) koverge meuju ol jika, atau dapat juga ditulis o Sedagka suku kedua persamaa (3) adalah h sdy s h h (5) Dega meggabugka hasil yag diperoleh, maka h h y s sdy sdy h h h s o h utuk Dega demikia diperoleh bahwa suku pertama ruas kaa persamaa () adalah h y sdy s o h h utuk Sedagka suku kedua pada ruas kaa persamaa () adalah h O y sdy h h O s o O o utuk Dega meggabugka hasil yag diperoleh dari suku pertama da kedua dari persamaa (), maka diperoleh E ˆ s s o, utuk Dega demikia Lema 4 terbukti Lema 5: (Kekovergea Ragam) Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3) da teritegralka lokal Jika asumsi (6) dipeuhi, terbatas di sekitar s da h utuk, maka Var ˆ s 0 (6) utuk, Bukti : Karea h 0 jika, maka utuk ilai yag ukup besar, iterval s k h, s k h da

18 9 s j h, s j h tidak tumpag tidih atau tidak overlap asalka k j Akibatya, berdasarka sifat ikreme bebas dari proses Poisso, diperoleh bahwa N s k h, s k h da N s j h, s j h utuk k j adalah dua peubah aak bebas Sehigga dapat diperoleh ˆ Var, s 4 4 h ( s k ) k 0 Var N s k h, s k h 0, (7) Karea N adalah suatu peubah aak Poisso, maka ragam N sama dega ilai harapa N, sehigga persamaa (7) mejadi ˆ Var, s 4 4 h k 0 ( s k ) EN s k h, s k h 0, (8) Perhatika persamaa (7) meyataka bahwa EN s k h, s k h 0, h h y s y s k I y s k 0, dy Dega demikia persamaa (8) dapat ditulis mejadi h ˆ Var, s 4 y s 4 h ( s k ) k 0 h y s k I y s k 0, dy (9) Sekarag kita tulis persamaa (9) mejadi h ˆ Var, s y s h h h k 0 y s k 4 ( s k ) I y s k 0, dy Perhatika bahwa y s k I 4 y s k 0, k 0 ( s k ) o 6 utuk Maka persamaa (30) mejadi (30) (3) h ˆ, Var s y s h h h o dy 6 (3) Persamaa (3) diuraika mejadi h ˆ Var, s y sdy h h h h +o y sdy h h h (33) Karea terbatas di sekitar s, maka terdapat suatu kostata K sehigga s K (34) utuk semua s h, h Kemudia kedua ruas dari pertidaksamaa (34) diitegralka utuk s h, h da dikalika h, maka h h sds K ds h h (35) h h Ruas kaa dari pertidaksamaa (35) adalah h K ds K h (36) h Maka pertidaksamaa (35) dapat ditulis mejadi h sds K h h Karea K merupaka kostata, maka dapat ditulis K sama dega O Sehigga suku pertama persamaa (33) dapat ditulis mejadi h y sdy O h h h h = O h (37) Berdasarka asumsi pada Lema 5, bahwa h utuk, maka persamaa (37) sama dega o utuk Sedagka suku kedua dari ruas kaa persamaa (33) dapat ditulis mejadi h o o y s dy O h h h h

19 0 o h (38) Berdasarka asumsi pada Lema 5, bahwa h, utuk, maka ruas kaa persamaa (38) koverge ke ol atau sama dega o utuk Dega meggabugka hasil dari persamaa (37) da (38) diperoleh Var ˆ s 0, utuk Dega demikia Lema 5 terbukti Dari Lema 4 telah diperoleh bahwa E s s, yag berarti utuk ˆ, maka E s, s ˆ 0 Dari Lema 5 telah diperoleh bahwa Var ˆ, 0 s utuk Akibatya dega megguaka defiisi MSE (Defiisi ) aka diperoleh MSE ˆ s,,, Var ˆ s Bias ˆ s 0 utuk Dega demikia Teorema terbukti 34 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, da MSE Peduga Teorema : (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias) Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3) da teritegralka lokal Jika asumsi (6) dipeuhi, h, da memiliki turua kedua berhigga pada s, maka ˆ s E, s s h oh 6 (39) utuk Bukti: Berdasarka bukti Lema 4 megeai ketakbiasa asimtotik, maka ilai harapa dari ˆ, s dapat dituliska seperti pada persamaa () Karea memiliki turua kedua pada s maka kotiu pada s, megakibatka memiliki ilai yag terbatas di sekitar s Dega Formula Youg (Lema ), maka diperoleh k k k! s k x s x s o x s utuk x s Bila diuraika mejadi ' s s x s x s x s!! o x s utuk x s Misalka x y s, maka persamaa di atas dapat ditulis mejadi ' s s y s s y y!! o y utuk y 0 Sehigga kita dapat meuliska h h h h y s dy s s ' s y y h!! h o y dy h sdy h h h ' s y dy h h h h s y dy o y dy h h h h (40) utuk Suku pertama dari ruas kaa pada persamaa (40) dapat diuraika mejadi h sdy s h (4) h Suku kedua dari ruas kaa pada persamaa (40) dapat diuraika mejadi h ' h ' s s y dy y h h h h ' s = h h h =0 (4) Kemudia suku ketiga dari ruas kaa pada persamaa (40) dapat diuraika mejadi h h s s 3 y dy h h h 4h 3 h s 3 3 = 4 3 h h h

20 s 3 h = 4 h 3 s = h 6 (43) Suku terakhir dari ruas kaa pada persamaa (40) dapat diuraika mejadi h o y dy oh h (44) h utuk Kemudia hasil uraia dari keempat suku pada ruas kaa pada persamaa (40) digabugka, maka persamaa (40) dapat ditulis mejadi h s y sdy s h oh h 6 h utuk Sehigga ruas kaa persamaa () mejadi s s h oh O 6 s s h oh O (45) 6 utuk Berdasarka asumsi h, maka suku kedua dari ruas kaa persamaa (45), yaitu O sama dega oh, utuk Sehigga persamaa (45) dapat ditulis mejadi ˆ s E, s s h oh 6 utuk Dega demikia Teorema terbukti Teorema 3: (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam) Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3) da teritegralka lokal Jika asumsi (6) dipeuhi, maka ˆ s Var, s o h h (46) utuk da asalka s adalah titik Lebesgue bagi Bukti: Berdasarka bukti Lema 5 megeai kekovergea ragam, maka ragam dari ˆ, s dapat ditulis seperti pada persamaa (33) Pada bukti Lema 4 telah ditujukka h bahwa y sdy s o h, jika h Kemudia suku kedua ruas kaa dari persamaa (33) sama dega persamaa (38) da koverge meuju ol Dega demikia persamaa (33) dapat ditulis mejadi ˆ Var, s s o h o h s = o o h h h s = o, h h utuk Dega demikia Teorema 3 terbukti Teorema 4: (Aproksimasi Asimtotik bagi MSE) Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3) da teritegralka lokal Jika asumsi (6) dipeuhi da memiliki turua kedua berhigga pada s, maka, s s MSE ˆ s h h 36 4 o o h h utuk 4 (47) Bukti: Berdasarka defiisi MSE maka MSE ˆ s Bias ˆ s Var ˆ s,,, (48) dega Bias ˆ ˆ, s E, s s Dega megguaka Teorema da Teorema 3 diperoleh ˆ s Bias, s h oh 6 da

21 s, h ˆ Var s o h Sehigga ruas kaa persamaa (48) dapat ditulis mejadi s s s s h oh o 6 h h 4 4 h h o h o h 36 3 s o h h (49) utuk Karea memiliki turua kedua s berhigga pada s, maka O, 3 akibatya suku kedua pada ruas kaa 4 o h utuk, persamaa (49) berilai sehigga diperoleh persamaa (47) Dega demikia Teorema 4 terbukti 35 Peetua Badwidth Optimal Asimtotik Ukura terbaik dari suatu peduga relatif terhadap kesalahaya adalah peduga dega MSE yag berilai miimum M h yag merupaka fugsi dari Misalka h, meyataka suku utama dari MSE s, yaitu M h ˆ, s s 4 h h 36 Dapat diperoleh ilai h yag memiimumka M h utuk tetap, dega membuat turua pertama M h sama dega ol, sehigga diperoleh ' M h 0 s h s 3 h 0 9 s s 3 h 9 h s s s s s s s s 5 h h h h Selajutya diperiksa apakah h yag diperoleh memiimumka M h, dega memeriksa turua kedua dari M h, yaitu s s M h h 3 6 h 3 Telah kita ketahui bahwa ilai 0, s 0, s 0, 0, da badwidth yag berilai positif, sehigga M h 0 Dega demikia h yag diperoleh memiimumka M h Sehigga ilai optimal bagi badwidth adalah 9 s h 5 s 5 Badwidth optimal yag diperoleh di atas bersifat asimtotik karea kita tidak megetahui ilai s, sehigga kostata s s 9 5 juga tidak diketahui

22 3 IV KESIMPULAN Karea s diketahui, maka masalah s utuk pedugaa fugsi itesitas 0, s dapat disederhaaka mejadi masalah pedugaa kompoe periodik s s 0, s utuk Peduga bagi di titik s 0, adalah ˆ s, k 0 ( s k ), 0, N s k h s k h h Dari hasil kajia yag dilakuka dapat disimpulka bahwa: (i) ˆ, s adalah peduga tak bias asimtotik bagi s da Var ˆ, 0 s utuk, sehigga diperoleh MSE ˆ s 0, utuk (ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias peduga adalah ˆ s E, s s h oh 6 utuk (iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam peduga adalah ˆ s Var, s o h h utuk (iv) Aproksimasi asimtotik bagi MSE peduga adalah s s ˆ 4 MSE, s h h 36 4 o o h h utuk (v) Badwidth optimal asimtotik yag memiimumka aproksimasi asimtotik dari MSE peduga adalah h 9 s s 5 5

23 4 DAFTAR PUSTAKA Browder, A 996 Mathematial Aalysis: A Itrodutio Spriger New York Cressie, N A C 993 Statisti for Spatial Data Revised Editio Wiley New York Dudley, R M 989 Real Aalysis ad Probability Wadsworth & Brooks Califroia Grimmet, G R ad D R Stirzaker 99 Probability ad Radom Proesses Ed ke- Claredo Press Oxford Hogg, RV, AT Craig, JW MKea 005 Itrodutio to Mathematial Statistis Ed ke-6 Pretie Hall, Eglewood Cliffs New Jersey Magku, I W 00 Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proess (PhDThesis) Uiversity of Amsterdam Amsterdam Purell, E J ad D Verberg 998 Kalkulus da Geometri Aalisis Jilid Ed ke-5 Erlagga, Jakarta Ross, S M 007 Itrodutio to Probability Models Ed ke-9 Aademi Press I Orlado, Florida Serflig, R J 980 Approximatio Theorems of Mathematial Statistis Joh Wiley & Sos New York Taylor, H M ad S Karli 984 A Itrodutio to Stohasti Modellig Aademi Press I Orlado, Florida Wheede, R L ad A Zygmud 977 Measure ad Itegral: A Itrodutio to Real Aalysis Marel Dekker, I New York

24 LAMPIRAN

25 6 Lampira Pembuktia Lema Lema (Jumlah Peubah Aak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah aak salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut da Maka X + Y memiliki sebara Poisso dega parameter (Taylor ad Karli 984) Bukti: Dega megguaka atura peluag total (law of total probability), dapat kita yataka P X Y P X k, Y k k 0 k0 P = P X k Y k ( X da Y salig bebas) = = k k e e k0 k! k! e e!! k! k! k 0 k k Igat, dega perluasa biomial kita dapat meyataka, utuk setiap iteger positif, k k k k 0! k k = k! k! Sehigga dega mesubstitusika (5) ke (50) kita peroleh ruas kaa (50) adalah e k0! Betuk (5) di atas adalah fugsi peluag dari sebara Poisso dega parameter (50) (5) (5) Maka Lema terbukti

26 7 Lampira Pembuktia Lema 3 Lema 3 (Pertidaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah aak dega ilai harapa μ da ragam, maka utuk setiap k 0, X k P k (53) Bukti: Utuk membuktika pertidaksamaa Chebyshev diperluka pertidaksamaa Markov berikut: Lema 6 (Pertidaksamaa Markov) Jika X adalah peubah aak dega E(X) terbatas, maka utuk setiap a > 0, P X a E a X Bukti: Misalka A X a maka X ai A,, jika X a dega I A adalah fugsi idikator dari A, yaitu: I A 0, jika X a Jika kita tetuka ilai harapaya, maka diperoleh E X E ai Sehigga diperoleh P X a Jadi Lema 6 terbukti E a X A = aei A = ap X a (54) Selajutya dega pertidaksamaa Markov (Lema 6) maka kita dapat membuktika Lema 3 Jadi Lema 3 terbukti P P = k X k X k E X k