UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
|
|
- Agus Santoso
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN V RING SUKU BANYAK Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-11 dan 12 PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013 November 2013
2 BAB V RING SUKU BANYAK Suku banyak, atau yang biasa disebut dengan polinomial, telah kita kenal di jenjang pendidikan sekolah menengah. Kita mungkin mempunyai pemahaman bahwa suku banyak adalah suatu bentuk jumlahan a 0 + a 1 x + + a n x n, dengan x merupakan suatu simbol dan a i merupakan suatu koefisien bernilai bilangan real; atau mungkin mempunyai pemahaman bahwa suku banyak sebagai suatu fungsi f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n. Dari dua macam pemahaman tersebut pastinya akan memunculkan beberapa pertanyaan. Bagaimanakah pengertian yang sebenarnya tentang suku banyak dari kaca mata orang matematika khususnya aljabar? Apakah simbol x tersebut? Mengapa dua suku banyak a 0 + a 1 x + + a n x n dan b 0 + b 1 x + +b m x m dikatakan sama jika dan hanya jika n = m dan a i = b i, i = 1, 2,, n? Pertanyaan-pertanyaan tersebut akan terjawab dalam pembahasan bab ini Suku Banyak atas Ring Suku banyak yang biasa orang awam pahami adalah suku banyak dengan koefisien bilangan real, atau disebut suku banyak atas bilangan real. Telah kita ketahui bahwa himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur ring (lapangan). Oleh karena itu, dapat dilakukan abstraksi pada struktur himpunan semua kemungkinan koefisien suku banyak tersebut, yaitu diabstraksikan menjadi sebarang ring. Dengan demikian pembahasan tentang suku banyak pada bab ini akan lebih luas, yaitu suku banyak atas sebarang ring. Dari kaca mata aljabar, suku banyak atas ring R didefinisikan sebagai suatu barisan tak hingga (a 0, a 1, a 2, ) di R yang mempunyai aturan tertentu. Secara langsung definisi suku banyak ini tampak berbeda dengan suku banyak yang telah orang awam ketahui, karena tidak melibatkan simbol x dalam definisi suku banyak tersebut. Hal ini tidak perlu dikhawatirkan, sebab makna dari suku banyak yang didefinisikan sebagai barisan dan suku banyak yang didefinisikan dengan meli- 51
3 batkan simbol x sebenarnya sama. Penjelasan lebih lanjut tentang hal tersebut akan dibahas pada subbab selanjutnya. Definisi Diberikan sebarang ring R. Misalkan R[x] adalah himpunan semua barisan tak hingga (a 0, a 1, a 2, ), dengan a i R, i = 0, 1, 2,, dan terdapat suatu bilangan bulat n 0 (bergantung pada barisan (a 0, a 1, a 2, )) sedemikian sehingga untuk setiap k n, a k = 0. Elemen-elemen dari R[x] disebut suku banyak (polynomials) atas ring R. Contoh Diberikan ring R. Barisan (5, 3, 0, 0, ) merupakan suku banyak atas ring R. Barisan (5, 5, 5, ) dan (5, 0, 5, 0, 5, ) masing-masing bukan suku banyak atas ring R. Perhatikan bahwa barisan (a 0, a 1, a 2, ) pada Definisi dapat juga dipandang sebagai suatu pemetaan f : Z 0 R, dengan Z 0 = {0, 1, 2, } dan f(t) 0 untuk sebanyak berhingga bilangan bulat non negatif t. Sebagai contoh, suku banyak (a 0, a 1, a 2, a 3, ) = (5, 3, 0, 0, ) atas ring R dapat dipandang sebagai pemetaan f : Z 0 R dengan f(0) = a 0 = 5, f(1) = a 1 = 3, dan f(k) = a k = 0 untuk setiap k 2. Oleh karena itu, himpunan semua suku banyak atas ring R dapat kita tuliskan sebagai berikut: R[x] = {(a 0, a 1, a 2, ) a i R dan ( n Z 0 )( k Z 0, k n)a k = 0} = {(a 0, a 1,, a n 1, 0, 0, ) a i R, n Z 0 } = {f : Z 0 R f pemetaan dan f(t) 0 sebanyak berhingga bilangan bulat non negatif t} Ring Suku Banyak atas Ring Diberikan sebarang ring R dan dibentuk himpunan semua suku banyak R[x]. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada R[x] sebagai berikut. Untuk 52
4 setiap (a 0, a 1, a 2, ), (b 0, b 1, b 2, ) R[x], (a 0, a 1, a 2, ) + (b 0, b 1, b 2, ) = (a 0 + b 0, a 1 + b 1, a 2 + b 2, ) dan (a 0, a 1, a 2, ) (b 0, b 1, b 2, ) = (c 0, c 1, c 2, ) k dengan c k = a i b k i, k = 0, 1, 2,. Operasi perkalian antara dua suku i=0 banyak yang didefinisikan seperti di atas disebut perkalian konvolusi. Dapat ditunjukkan R[x] terhadap operasi penjumlahan dan perkalian tersebut merupakan ring (sebagai latihan), yaitu harus ditunjukkan: 1. (R[x], +) merupakan grup Abelian ( dengan elemen nol (0, 0, 0, ) ) 2. (a). operasi tertutup di R[x] (b). operasi bersifat asosiatif (c). berlaku sifat distribusi kiri dan kanan. Selanjutnya ring (R[x], +, ) disebut ring suku banyak atas ring R. Dapat ditunjukkan juga bahwa jika R komutatif, maka R[x] juga komutatif (sebagai latihan); jika R mempunyai elemen satuan, maka R[x] juga mempunyai elemen satuan (sebagai latihan). Selanjutnya diperhatikan pemetaan α :R R[x] a (a, 0, 0, ). Pemetaan α merupakan monomorfisma dari R ke R[x]. Dengan demikian R dapat disisipkan (embedded) di ring R[x] dan berakibat R dapat dianggap sebagai subring dari R[x]. Oleh karena itu, elemen a dan (a, 0, 0, ) dapat dianggap sebagai elemen yang sama di R[x]. Untuk kemudahan penulisan suatu suku banyak, didefinisikan notasi yang lebih ringkas dan familiar sebagai berikut: (a, 0, 0, 0, ) dinotasikan a = ax 0 (0, a, 0, 0, ) dinotasikan ax = ax 1 (0, 0, a, 0, ) dinotasikan ax 2. 53
5 Berdasarkan definisi operasi penjumlahan suku banyak, untuk sebarang suku banyak (a 0, a 1,, a n, 0, 0, ) R[x] dapat ditulis (a 0, a 1,, a n, 0, 0, ) = (a 0, 0, 0, ) + (0, a 1, 0, ) + + (0,, 0, a n, 0, ) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Jika R mempunyai elemen satuan 1 R, maka (0, 1 R, 0, 0, ) = 1 R x dan selanjutnya 1 R x cukup dituliskan x. Dengan demikian diperoleh himpunan semua suku banyak atas ring R yang telah familiar kita gunakan, yaitu R[x] = {a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n n Z 0, a i R, i = 1, 2,, n}. Simbol x disebut indeterminate atas R dan elemen-elemen a 0, a 1,, a n disebut koefisien dari a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Mengingat suku banyak a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n merupakan suatu pemetaan f : Z 0 R, suku banyak a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n tersebut dapat dinotasikan dengan f(x). Akan tetapi perlu ditekankan bahwa notasi f(x) tersebut bukanlah notasi fungsi dari R ke R, melainkan notasi suatu suku banyak f : Z 0 R dengan indeterminate x. Pada bagian awal bab ini telah disinggung pertanyaan tentang kesamaan dua polinomial. Dua polinomial f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m F [x] dikatakan sama jika dan hanya jika n = m dan a i = b i untuk setiap i = 0, 1, 2,. Hal ini disebabkan karena fungsi f : Z 0 F dan g : Z 0 F merupakan fungsi yang sama jika dan hanya jika f(i) = a i = b i = g(i), untuk setiap i Z 0. Dengan demikian pertanyaan-pertanyaan pada awal bab ini telah terjawab. Definisi Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan dan f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x]. Untuk setiap r R, didefinisikan f(r) = a 0 + a 1 r + + a n r n. Elemen r R disebut akar dari f(x) jika f(r) = 0. 54
6 Pada Definisi secara langsung tampak bahwa f(r) merupakan suatu elemen di R yang diperoleh dengan cara mensubstitusikan r ke x di suku banyak f(x). Dengan demikian kita dapat secara bebas menggunakan definisi tersebut seolah-olah mensubtitusikan r ke x. Akan tetapi kita perlu berhati-hati ketika R tidak komutatif. Misalkan diberikan f(x) = a x, g(x) = b x R[x] dengan R tidak komutatif. Misal h(x) = f(x)g(x) = (a x)(b x) = ab (a + b)x + x 2. Untuk sebarang c R, diperoleh h(c) = ab (a + b)c + c 2 = ab ac bc + c 2 dan f(c)g(c) = (a c)(b c) = ab ac cb c 2. Dari sini kita tidak bisa menyimpulkan bahwa h(c) = f(c)g(c) ketika R tidak komutatif. Definisi Diberikan sebarang ring R dan f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0, suku banyak di R[x]. Bilangan n disebut derajat (degree) dari f(x), dinotasikan deg(f(x)), dan a n disebut leading coefficient dari f(x). Misalkan R mempunyai elemen satuan 1 R. Suku banyak f(x) disebut suku banyak monik (monic polynomial) jika f(x) mempunyai leading coefficient a n = 1 R. Berdasarkan Definisi di atas, mudah dipahami bahwa untuk setiap suku banyak di R[x] yang merupakan elemen di R\{0} mempunyai derajat 0. Khusus untuk suku banyak 0 R[x], didefinisikan deg(0) =. Elemen-elemen di R disebut skalar atau suku banyak konstan. Contoh Diberikan ring R dan dua suku banyak f(x) = 2x 3 + x x + 1 dan g(x) = x 2 + 5x + 1. Derajat dari f(x) adalah 3 dan derajat dari g(x) adalah 2. Suku banyak g(x) merupakan suku banyak monik. Lemma Diberikan sebarang ring komutatif R. Untuk sebarang suku banyak f(x), g(x) R[x] berlaku (i). deg (f(x) + g(x)) max {deg(f(x)), deg(g(x))}, (ii). deg(f(x) g(x)) deg(f(x)) + deg(g(x)), dan (iii). kesamaan pada (ii) dipenuhi jika leading coefficient dari f(x) atau g(x) bukan pembagi nol. 55
7 Bukti. (i). Jika deg(f(x)) deg(g(x)), maka deg(f(x)+g(x)) = max{deg(f(x)), deg(g(x))}. Jika deg(f(x)) = deg(g(x)), maka kemungkinan yang terjadi adalah f(x) + g(x) = 0 atau deg(f(x) + g(x)) < max{deg(f(x)), deg(g(x))}). (ii). Jika f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n dan g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, maka f(x)g(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + + a n b m x n+m. Jika f(x)g(x) 0, maka paling tidak ada satu koefisien dari f(x)g(x) yang tak nol. Misalkan a n b m 0, diperoleh deg(f(x)g(x)) = n + m = deg(f(x)) + deg(g(x)). Misalkan a n b m = 0 (kasus ini hanya dapat ditemui ketika R mempunyai pembagi nol), diperoleh deg(f(x)g(x)) < deg(f(x)) + deg(g(x)). (iii). (sebagai latihan) Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari ring suku banyak atas ring R. Sifatsifat yang akan dibahas juga meliputi sifat dalam kejadian khusus ketika ring R merupakan daerah integral ataupun lapangan. Teorema Diberikan sebarang ring R. (i). Jika R adalah ring komutatif dengan elemen satuan 1 R, maka R[x] juga merupakan ring komutatif dengan elemen satuan 1 R. (ii). Jika R adalah daerah integral, maka R[x] juga merupakan daerah integral. Bukti. (i). Harus dibuktikan perkalian sebarang dua suku banyak bersifat komutatif dan ring R[x] mempunyai elemen satuan yaitu 1 R. 56
8 (ii). Cukup ditunjukkan R[x] tidak memuat pembagi nol. Diambil sebarang f(x), g(x) R[x] dengan f(x) 0 dan g(x) 0. Mengingat R adalah daerah integral dan berdasarkan Lemma diperoleh deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)) 0 >. Akibatnya, f(x)g(x) 0. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa R[x] merupakan daerah integral. Akibat Diberikan sebarang daerah integral R. Setiap elemen unit di R[x] juga merupakan elemen unit di R. Bukti. Diambil sebarang elemen unit f(x) di R[x], berarti terdapat g(x) R[x] sedemikian sehingga f(x)g(x) = 1 R. Berdasarkan Lemma diperoleh deg(f(x)) + deg(g(x)) = deg(f(x)g(x)) = deg(1 R ) = 0. Oleh karena itu, f(x) dan g(x) masing-masing merupakan suku banyak dengan derajat 0, yaitu f(x), g(x) R. Jadi, elemen unit di R[x] juga merupakan elemen unit di R. Teorema Jika F adalah lapangan, maka F [x] merupakan daerah integral. Bukti. Telah kita ketahui bahwa F [x] merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Tinggal ditunjukkan bahwa setiap elemen tak nol di F [x] bukan merupakan pembagi nol. (sebagai latihan) 5.3. Algoritma Pembagian di Ring Suku Banyak Pada subbab ini akan dibahas tentang algoritma pembagian untuk ring suku banyak atas ring. Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan. Misal f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x] 57
9 dan g(x) = b 0 + b 1 x + + b m 1 x m 1 + b m x m adalah suatu suku banyak di R[x] dengan leading coefficient b m merupakan unit di R dan m 1. Jika n m, maka dapat dibentuk q 1 (x) = b 1 m a n x n m R[x] dan f 1 (x) = f(x) g(x)q 1 (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ( (b b m 1 x m 1 + b m x m )b 1 m a n x n m) = a 0 + a 1 x + + a n x n (b 0 b 1 m a n x n m + + b m 1 b 1 m a n x n 1 + a n x n ) = a 0 + a 1 x + + a n m 1 x n m 1 + (a n m b 0 b 1 m a n )x n m + + (a n 1 b m 1 b 1 m a n )x n 1 + (a n a n )x n = a 0 + a 1 x + + a n m 1 x n m 1 + (a n m b 0 b 1 m a n )x n m + + (a n 1 b m 1 b 1 m a n )x n 1 dengan deg(f 1 (x)) n 1. Jika deg(f 1 (x)) m, maka ulangi proses tersebut, yaitu peran f(x) digantikan oleh f 1 (x), sehingga diperoleh suku banyak q 2 (x) dan f 3 (x) di R[x]. Proses dilanjutkan sampai diperoleh suatu suku banyak f s (x) pertama dengan deg(f s (x)) < m. Proses tersebut pasti terdiri dari berhingga (s) langkah, sebab derajat dari f(x) berhingga. Dibentuk q(x) = q 1 (x) + q 2 (x) + + q s (x) dan r(x) = f(x) g(x)q(x). Dengan demikian diperoleh persamaan suku banyak f(x) = g(x)q(x) + r(x) dengan deg(r(x)) < deg(g(x)). Proses seperti di atas dikenal sebagai algoritma pembagian untuk suku banyak. Teorema (Algoritma Pembagian) Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan. Jika f(x) R[x] dan g(x) adalah suatu suku banyak di R[x] dengan leading coefficient dari g(x) merupakan unit di R, maka terdapat dengan tunggal suku banyak q(x) dan r(x) di R[x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x). Bukti. Proses di atas merupakan bukti eksistensi suku banyak q(x) dan r(x) di R[x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x). Dengan demikian tinggal ditunjukkan ketunggalan dari suku banyak q(x) dan r(x) tersebut. Misal terdapat dua bentuk dekomposisi f(x) = g(x)q(x) + r(x) dan f(x) = g(x)p(x) + t(x) 58
10 dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) dan deg(t(x)) < deg(g(x)). Dari dua bentuk dekomposisi tersebut, diperoleh bahwa g(x)(q(x) p(x)) = t(x) r(x). Karena leading coefficient dari g(x) merupakan unit (yang berakibat bukan pembagi nol), berdasarkan Lemma (iii) diperoleh deg(g(x)) + deg(q(x) p(x)) = deg(t(x) r(x)) < deg(g(x)). Dari sini diperoleh deg(g(x))+deg(q(x) p(x)) < deg(g(x)). Akibatnya, deg(q(x) p(x)) =, yaitu q(x) p(x) = 0, yang berarti q(x) = p(x). Karena q(x) = p(x), berakibat t(x) = f(x) g(x)q(x) = f(x) g(x)p(x) = r(x). Jadi, terbukti ketunggalan suku banyak q(x) dan r(x). Contoh Diberikan ring suku banyak Z 6 [x]. Misalkan f(x) = 2x 3 + 3x dan g(x) = 5x masing-masing adalah suku banyak di Z 6 [x]. Akan dicari suku banyak q(x), r(x) Z 6 [x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x). Untuk mendapatkan suku banyak q(x) dan r(x) tersebut dapat menggunakan proses yang telah dijelaskan sebelumnya, atau dapat lebih mudah menggunakan metode yang dikenal dengan nama poro gapit sebagai berikut: 5x ) ( 2x 3 + 3x x + 3 = q(x) 2x 3 + 2x 3x 2 + 4x + 1 3x 2 4x + 1 = r(x). Dengan demikian diperoleh suku banyak q(x) = 4x + 3 dan r(x) = 4x + 1 di Z 6 [x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x)+r(x), yaitu 2x 3 + 3x = (5x 2 + 2)(4x + 3) + (4x + 1). Akibat Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan. Untuk setiap a R dan f(x) R[x] terdapat q(x) R[x] sedemikian sehingga f(x) = (x a)q(x) + f(a). 59
11 Bukti. Diambil sebarang a R dan f(x) R[x]. Misal x a = g(x) R[x]. Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat dengan tunggal q(x), r(x) R[x] sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x), dengan deg(r(x)) 0. Oleh karena itu, r(x) merupakan suku banyak konstan, katakan r(x) = d. Selanjutnya dengan mensubstitusikan a untuk x, diperoleh f(a) = (a a)q(a) + d = d. Jadi, didapat f(x) = (x a)q(x) + d = (x a)q(x) + f(a). Akibat Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan, f(x) R[x], dan a R. Suku banyak x a membagi habis f(x) jika dan hanya jika a merupakan akar dari suku banyak f(x). Bukti. Diambil sebarang f(x) R[x] dan a R. ( ). Diketahui suku banyak x a membagi habis f(x), berarti terdapat q(x) R[x] sedemikian sehingga f(x) = (x a)q(x). Oleh karena itu, f(a) = (a a)q(a) = 0 sehingga diperoleh bahwa a merupakan akar dari f(x). ( ). Diketahui a merupakan akar dari suku banyak f(x), berarti f(a) = 0. Berdasarkan Akibat 5.3.3, terdapat q(x) R[x] sedemikian sehingga f(x) = (x a)q(x) + f(a) = (x a)q(x) + 0 = (x a)q(x). Oleh karena itu, terbukti bahwa x a membagi habis f(x). Teorema Diberikan sebarang daerah integral R. Jika f(x) R[x]\{0} dengan deg(f(x)) = n, maka suku banyak f(x) mempunyai paling banyak n akar di R. Bukti. Diketahui f(x) R[x]\{0} dengan deg(f(x)) = n. Jika n = 0, maka f(x) merupakan suku banyak konstan, katakan f(x) = c 0. Dari sini jelas bahwa f(x) tidak mempunyai akar di R, sebab untuk setiap a R, f(a) 0. Selanjutnya akan ditunjukkan teorema benar untuk n > 0 menggunakan metode induksi matematika. Diasumsikan Teorema benar untuk semua suku banyak di R[x] dengan derajat kurang dari n. Akan ditunjukkan teorema benar untuk suku banyak 60
12 f(x) dengan deg(f(x)) = n. Jika f(x) tidak mempunyai akar di R, maka teorema benar. Misalkan r R merupakan akar dari f(x). Berdasarkan Akibat 5.3.4, terdapat suku banyak q(x) R[x] sedemikian sehingga f(x) = (x r)q(x), dengan deg(q(x)) = n 1. Misalkan ada akar yang lain dari f(x), katakan s R, berarti 0 = f(s) = (s r)q(s). Karena s r dan R merupakan daerah integral, diperoleh q(s) = 0. Oleh karena itu, setiap akar yang lain dari f(x) juga merupakan akar dari q(x). Karena f(x) = (x r)q(x), setiap akar dari q(x) merupakan akar dari f(x). Dari fakta deg(q(x)) = n 1 dan dari asumsi bahwa teorema benar untuk suku banyak di R[x] dengan derajat kurang dari n, diperoleh kesimpulan bahwa q(x) mempunyai paling banyak n 1 akar di R. Akibatnya, f(x) = (x r)q(x) mempunyai paling banyak n akar di R Latihan Kerjakan latihan-latihan soal berikut! 1. Diberikan ring suku banyak Z 8 [x]. a). Buktikan bahwa 2x + 1 dan 4x + 3 masing-masing merupakan unit di Z 8 [x]! b). Buktikan bahwa 4x 2 + 2x + 4 merupakan pembagi nol di Z 8 [x]! 2. a). Misalkan f(x) = x 4 + 3x 3 + 2x dan g(x) = x 2 + 2x + 1 masingmasing merupakan suku banyak di Q[x]. Tentukan suku banyak q(x) dan r(x) di Q[x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x)! b). Misalkan f(x) = x 4 + 3x 3 + 2x dan g(x) = x 2 + 2x + 1 masingmasing merupakan suku banyak di Z 5 [x]. Tentukan suku banyak q(x) dan r(x) di Z 5 [x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x)! 3. Jika I adalah suatu ideal dari ring R, maka buktikan I[x] merupakan ideal dari R[x]! 4. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan 1 R. 61
13 a). Tentukan/deskripsikan x, yaitu ideal dari R[x] yang dibangun oleh x! b). Misalkan f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 adalah suatu suku banyak di R[x]. Tentukan/deskripsikan f(x), yaitu ideal dari R[x] yang dibangun oleh f(x)! c). Misalkan g(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n adalah suatu suku banyak di R[x] dengan derajat n > 0. Tentukan/deskripsikan g(x), yaitu ideal dari R[x] yang dibangun oleh g(x)! 5. Diberikan lapangan F dan suku banyak f(x) di F [x] dengan derajat n > 0. Buktikan setiap elemen dari ring faktor F [x] f(x) berbentuk p(x) + f(x), dengan p(x) adalah suatu suku banyak dengan derajat paling besar n 1! 6. Diberikan ring R dengan elemen satuan 1 R. Buktikan bahwa R[x] x = R! 7. Diberikan ring R dan dibentuk F (R, R) = {f : R R f fungsi}. Himpunan F (R, R) merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, yaitu untuk setiap r R, (f + g)(r) = f(r) + g(r) dan (fg)(r) = f(r)g(r). Didefinisikan fungsi ψ :R[x] F (R, R) f(x) ψ(f(x)) dengan ψ(f(x))(r) = f(r), untuk setiap r R. Buktikan: a). Jika R adalah suatu daerah integral tak berhingga, maka ψ bersifat injektif. b). Jika R adalah suatu daerah integral berhingga, maka ψ tidak bersifat injektif. / / 62
UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN II HOMOMORPHISMA MODUL Direncanakan
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciBuku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA, PS S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematiika, Yogyakarta - 55281 Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB I Ring dan Ring Bagian
BAB I Ring dan Ring Bagian Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan.
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciSUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a
SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom
BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/2 Alokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciSIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP
SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP oleh : Mulvi Ludiana (1) Cece Kustiawan (2) Sumanang Muhtar Gozali (2) ABSTRAK Dari suatu ring dan grup, dapat dikonstruksi suatu ring baru yang disebut ring
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan menenai teori teori yan berhubunan denan penelitian sehina dapat dijadikan sebaai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah dalam
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian
Lebih terperinciHalaman Pengesahan. Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar
Halaman Pengesahan Skripsi Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar Nursatria Vidya Adikrisna 03/165344/PA/09352 Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui oleh tim penguji Dosen Penguji
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN SEMSTER GENAP
MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN 05 06 SEMSTER GENAP STANDAR KOMPETENSI 4. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. KOMPETENSI DASAR 4. Menggunakan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciIV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz. Teorema 4.1 Jika R adalah daerah ideal utama yang
Lebih terperinciBab 2 Daerah Euclid. 2.1 Struktur Daerah Euclid
Bab 2 Daerah Euclid Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain yang terkait nya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan digunakan untuk melihat struktur gelanggang
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 2015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 2015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 11 20 IDENTIFIKASI BASIS GRÖBNER DALAM IDEAL RING POLINOMIAL Melky M. Romsery 1, Henry W. M. Patty 2, Mozart
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK
LAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK Oleh : Dra. Eleonora Dwi W., M.Pd Ahmadi, M.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0
BAB 3 RING ARMENDARIZ 3.1 Ring Terreduksi Suatu ring R disebut ring terreduksi jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol. Secara ekuivalen, suatu ring dikatakan terreduksi jika tidak mempunyai elemen
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciTEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciLembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan
Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu
Lebih terperinciLECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT. Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.
LECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA PONDOK CINA, MARET 2004 0 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... 1 BAB I STRUKTUR ALJABAR...
Lebih terperinciFUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1
FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone,
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sekarang ini teknologi untuk berkomunikasi sangatlah mudah. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, internet, dan berbagai macam peralatan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinci