STRUKTUR ALJABAR: RING
|
|
- Indra Setiawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016
2 1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 5 0,1,2,3,4. (a) Apakah 5 grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu! Gunakan tabel Cayley bila perlu! (b) Apakah pada 5 berlaku sifat komutatif pada penjumlahan? (c) Apakah pada 5 berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian? (d) Selidiki pula apakah pada Jelaskan pendapatmu! 5 berlaku sifat distributif kiri dan kanan? (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5 Ilustrasi 1.2 Perhatikan himpunan ( ) a b M,,, 2 a b c d c d (a) Apakah M 2 grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu! Gunakan tabel Cayley bila perlu! (b) Apakah pada M 2 berlaku sifat komutatif pada penjumlahan? (c) Apakah pada M 2 berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian?.
3 2 (d) Selidiki pula apakah pada M 2 berlaku sifat distributif kiri dan kanan? Jelaskan pendapatmu! (f) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang terdapat dalam M 2. Jika himpunan dengan operasi penjumlahan membentuk grup komutatif dan terhadap operasi perkalian memenuhi sifat asosiatif dan distributif, maka himpunan dengan dua operasi biner tersebut dikenal sebagai ring. Berikut ini adalah definisi ring secara rinci. Definisi 1.1 Ring Ring R adalah suatu himpunan dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan (dinyatakan dengan a+b) dan perkalian (dinyatakan dengan ab), sehingga untuk semua a,b,c di R, berlaku sifat-sifat berikut: 1. a b b a. 2. a b c a b c. 3. Terdapat elemen 0 di R sehingga a0 a. 4. Terdapat elemen a di R sehingga a a abc abc. 6. ab c ab ac dan b c a ba ca. Latihan 1.1 Perhatikan kembali definisi ring secara keseluruhan. Apakah pada ring berlaku sifat komutatif pada perkalian? Adakah elemen kesatuan dan invers perkalian pada ring? Jelaskan pendapatmu! Latihan 1.2 Perhatikan sifat asosiatif pada ring. Dengan adanya sifat tersebut, apakah kita dapat menuliskan operasinya sebagai abc abc abc, tanpa tanda kurung? Jelaskan pendapatmu.
4 3 Latihan 1.3 Perhatikan sifat distributif pada ring. Sifat ab c menyatakan bahwa kita dapat menjumlahkan terlebih dahulu baru diikuti dengan perkalian kiri. Akan sama saja dengan perkalian kiri dahulu diikuti dengan penjumlahan. Berikan komentar Anda mengenai b ca. Ilustrasi 1.3 Suatu ring yang mempunyai sifat komutatif pada perkalian disebut ring komutatif. Bila suatu ring mempunyai elemen kesatuan terhadap perkalian, maka dikatakan ring tersebut mempunyai elemen kesatuan (unity). Bila suatu elemen tak nol pada suatu ring komutatif (dengan elemen kesatuan), mempunyai invers terhadap perkalian, maka dikatakan elemen tak nol tersebut sebagai satuan (unit) dari ring tersebut. Dengan kata lain, misalkan a elemen ring komutatif R, dengan a 0, maka a dikatakan unit dari ring R bila 1 a ada. Jika a dan b adalah anggota ring komutatif R dan a tak nol, dikatakan a membagi b (a faktor dari b) dan ditulis ab, jika ada elemen c di R sehingga b ac. Bila tidak demikian, maka dikatakan a tidak membagi b, ditulis a b. Latihan 1.4 Perhatikan himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Apakah suatu ring? Bila ya, apakah suatu ring komutatif? Jelaskan alasanmu dan tentukan elemen kesatuan dan satuan dari, bila ada! Latihan 1.5 Apakah himpunan bilangan bulat modulo n, 0,1,2,..., n 1 n, dengan operasi penjumlahan dan perkalian, merupakan ring komutatif? Apakah ia mempunyai elemen kesatuan? Apakah mempunyai satuan? Jelaskan pendapatmu!
5 4 Latihan 1.6 Apakah himpunan bilangan bulat genap 2, dengan operasi penjumlahan dan perkalian, merupakan ring komutatif? Carilah elemen kesatuannya, bila ada! Latihan 1.7 Himpunan semua matriks 2 2, M ( ) 2, dengan elemen-elemennya (entries) adalah bilangan bulat, merupakan ring nonkomutatif, dengan elemen kesatuannya adalah 1 0. Selidiki kebenaran pernyataan tersebut! 0 1 Latihan 1.8 Himpunan dari semua fungsi kontinu bernilai real dari suatu variabel real yang grafiknya melalui titik (1,0), adalah ring komutatif tanpa elemen kesatuan, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian titik demi titik [yaitu operasi ( f g)( a) f ( a) g( a) dan ( fg)( a) f ( a) g( a) Jelaskan pendapatmu! ]. Benarkah pernyataan tersebut? Ilustrasi 1.4 Misalkan R1, R2,..., R n adalah ring. Misalkan R R... R a, a,..., a a R, 1 2 n 1 2 n i i dengan penjumlahan perkomponen didefinisikan sebagai berikut: a, a,..., a b, b,..., b a b, a b,..., a b, dan 1 2 n 1 2 n n n perkalian perkomponen didefinisikan sebagai berikut: a a a b b b a b a b a b,,...,,,...,,,...,. 1 2 n 1 2 n n n Ring yang demikian ini disebut sebagai jumlah langsung (direct sum) dari R1, R2,..., R n.
6 5 1.1 Sifat-sifat Ring Teorema 1.1 Aturan Perkalian Misalkan a,b, dan c anggota ring R. Maka, 1. a0 0a 0 2. a( b) ( a) b ( ab) 3. ( a)( b) ab 4. a( b c) ab ac dan ( b c) a ba ca Selanjutnya, jika R mempunyai elemen kesatuan 1, maka 5. ( 1)a a 6. ( 1)( 1) 1. Latihan 1.9 Buktikan teorema tersebut. Petunjuk: 1. Gunakan sifat a0 a(0 0) dan invers terhadap penjumlahan. 2. Mulailah dengan a0 a( b b) dan sifat Untuk aturan 3-6, mulailah membuktikan dari informasi yang kamu ketahui. Latihan 1.10 Berikan sebuah contoh suatu ring nonkomutatif yang berhingga. Latihan Misalkan R sebuah ring. Buktikan bahwa a b a ba b di R jika dan hanya jika R komutatif. untuk semua a, b Latihan 1.12 Tunjukkan bahwa jika m dan n bilangan bulat dan a dan b elemen dari ring, maka m an b mn ab. Petunjuk: ma a a... a. m
7 6 Teorema 1.2 Ketunggalan dari Elemen kesatuan dan Invers Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka tunggal. Jika setiap unsur di suatu ring mempunyai invers, maka tunggal. Latihan 1.13 Buktikan Teorema 1.2 tersebut. Latihan 1.14 Selidiki apakah ring A 0,2,4,6,8 terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 10 mempunyai elemen kesatuan. Carilah tersebut, bila ada! Latihan 1.15 Misalkan R ring dengan elemen kesatuan 1 dan a adalah elemen dari R sehingga 2 a 1. Misalkan S ara r R sama dari R. Apakah S memuat 1?. Buktikan bahwa S ring dengan operasi yang 1.2 Subring Ilustrasi 1.5 Perhatikan ring. Himpunan 6 A 0,2,4 adalah subset dari 6. Periksa apakah A merupakan ring dari 6. Carilah elemen kesatuannya, bila ada. Perhatikan pula himpunan, yang merupakan subset dari ring Apakah yang dapat kamu katakan tentang hubungan antara dan 6 12? Jelaskan pendapatmu. Definisi 1.2 Subring Suatu subset S dari suatu ring R adalah subring dari R jika S sendiri ring dengan operasi dari R.
8 7 Latihan 1.16 Tunjukkan bahwa 2 3 bukan subring dari. Latihan 1.17 Jelaskan mengapa setiap subgrup dari subring dari n. n terhadap penjumlahan juga merupakan Teorema 1.3 Tes Subring Subset tak kosong S dari ring R adalah subring jika S tertutup terhadap pengurangan dan perkalian, yaitu jika abdan ab terdapat di S bilamana a dan b ada di S. Latihan 1.18 Buktikan teorema tersebut. Petunjuk: gunakan tes subgrup satu tahap. Latihan 1.19 Misalkan M 2 sebuah ring dari semua matriks ukuran 2x2 yang beranggotakan a a b bilangan bulat. Misalkan R a, b. Selidiki apakah R subring a b b dari M 2. Latihan 1.20 F adalah ring, tetapi ketunggalan persamaan linier ax b c. F \ 0, juga membentuk grup. Selidiki eksistensi dan Latihan 1.21 Persamaan linier di ring R dengan a, b, c R adalah ax b c. Selidiki kapan persamaan linier tersebut mempunyai jawab dan kapan jawab tersebut tunggal.
9 Pembagi Nol, Integral Domain dan Lapangan Ilustrasi 2.1. Pembagi Nol Perhatikan himpunan 5 dengan operasi penjumlahan dan perkalian. 1. Selidiki apakah 5 merupakan ring komutatif. 2. Buatlah tabel Cayley untuk 5 terhadap operasi perkalian. 3. Perhatikan unsur-unsur dalam tabel tersebut. Apakah 2 membagi 3? Sebutkan unsur pembagi 3 yang selain Apakah 4 membagi 1? Adakah unsur pembagi 1 selain 4? Perhatikan, bila ab 1, maka dikatakan a membagi 1 atau b membagi 1. Demikian pula a pembagi 1 atau b pembagi 1. Apakah syarat agar a atau b dikatakan pembagi suatu bilangan? Jelaskan pendapatmu. 5. Misalkan a 5, a 0. Dapatkah kamu temukan b 5, b 0, sedemikian sehingga ab 0? Dengan kata lain, dapatkah kamu menemukan pembagi nol a dalam 5? Jelaskan pendapatmu. 6. Periksa apakah dalam 6 terdapat elemen pembagi nol? Jelaskan jawabmu. Definisi 2.1. Pembagi Nol Pembagi nol adalah suatu elemen tak nol a dari suatu ring komutatif R sedemikian sehingga ada suatu elemen tak nol b R dengan ab 0. Latihan 2.1. Tuliskan elemen-elemen dari 10 dan sebutkan pembagi-pembagi nol dalam 10. Sebutkan pula unit dari 10. Periksa apakah ada hubungan antara pembagi nol
10 9 dengan unit dari 10. Apakah yang dapat kamu simpulkan tentang elemen-elemen dari 10 tersebut? Latihan 2.2. Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu ring, yang mempunyai sifat: a dan b adalah pembagi nol, ab 0, dan a b bukan pembagi nol. Carilah beberapa ring yang memenuhi sifat-sifat demikian dan sebutkan elemen a dan b nya. Latihan 2.3. Misalkan a dan b adalah elemen suatu ring komutatif dan ab adalah pembagi nol. Tunjukkan bahwa a atau b adalah pembagi nol. Latihan 2.4. Jika a dan b bukan pembagi nol, buktikan bahwa ab bukan pembagi nol. Latihan 2.5. Tentukan pembagi nol dalam 2 Z i a bi a, bz, dengan i Ilustrasi 2.2. Integral Domain Perhatikan kembali Ilustrasi 2.1 tentang 5 dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Apakah 5 merupakan ring komutatif? Apakah 5 mempunyai elemen kesatuan? Sebutkan elemen kesatuannya. Apakah 5 mempunyai unsur pembagi nol? Bila ya, sebutkan unsur pembagi nolnya. Selidiki pula himpunan 6, 7, 9, 11, dan 15. Jelaskan jawabmu. Ring komutatif yang mempunyai elemen kesatuan, tetapi tidak mempunyai elemen pembagi nol disebut sebagai integral domain. Dari Ilustrasi 2.2 tersebut dapat
11 10 disimpulkan bahwa 5, 7, 11 merupakan integral domain. Perhatikan definisi integral domain berikut ini. Definisi 2.2. Integral domain Integral domain adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan dan tanpa elemen pembagi nol. Latihan 2.6. Selidiki apakah adalah bilangan prima p, apakah n, ring bilangan bulat modulo n, adalah integral domain. Jika n p integral domain? Jelaskan jawabmu. Latihan 2.7. Berikan dua contoh ring (selain ring bilangan bulat modulo n) yang merupakan integral domain dan bukan integral domain. Latihan 2.8. Berikan contoh ring komutatif tanpa pembagi nol yang bukan integral domain. Latihan 2.9. Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif berhingga dengan tanpa pembagi nol dan paling sedikit mempunyai dua elemen, mempunyai suatu elemen kesatuan. Latihan Tunjukkan bahwa a b, a, b adalah bukan integral domain. Latihan a) Periksa apakah ring 2 a b 2 a, b b) Periksa pula apakah ring n 2 a b 2 a, b n domain. merupakan integral domain. merupakan integral
12 11
13 12 Ilustrasi 2.3. Nilpoten Misalkan a adalah elemen suatu ring R dengan elemen kesatuan. Elemen a n dikatakan nilpoten jika a 0, untuk n bilangan bulat positif. Periksa apakah A dan B merupakan nilpoten. Jelaskan jawabmu. Latihan Tunjukkan bahwa 0 adalah satu-satunya elemen nilpoten dalam integral domain. Latihan Tunjukkan bahwa elemen nilpoten dalam suatu ring komutatif membentuk suatu subring. Ilustrasi 2.4. Idempoten Suatu elemen a dari suatu ring disebut idempoten jika 2 a a. Selidiki apakah A dan B merupakan idempoten. Jelaskan jawabmu. Latihan Buktikan bahwa satu-satunya idempoten dalam suatu integral domain adalah 0 atau 1. Teorema 2.1. Pembatalan Misalkan a, b, dan c adalah elemen-elemen suatu integral domain. Jika a 0 dan ab ac, maka b c. Latihan Buktikan Teorema 2.1 tersebut. Petunjuk: mulailah dari persamaan ab ac.
14 13 Latihan Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif dengan sifat pembatalan (terhadap operasi perkalian) tidak mempunyai pembagi nol. Ilustrasi 2.5. Perhatikan ring A 0,3, 6,9 yang merupakan subring dari bilangan bulat modulo 12. Selidiki apakah ring A tersebut merupakan ring komutatif. Apakah elemen kesatuannya? Apakah setiap elemen taknolnya adalah unit (mempunyai invers)? Perhatikan juga ring R 0,2,4,6,8 terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 10. Selidiki apakah R merupakan ring komutatif. Adakah elemen kesatuannya? Selidiki pula apakah setiap elemen taknolnya mempunyai invers. Bila ring A dan R tersebut merupakan ring komutatif, yang mempunyai elemen kesatuan dan setiap elemennya tak nolnya mempunyai invers, maka A dan R dikatakan lapangan. Perhatikan definisi berikut ini. Definisi 2.3. Lapangan Lapangan adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan, di mana setiap elemen taknolnya adalah suatu unit (mempunyai invers). Latihan Selidiki apakah suatu lapangan merupakan integral domain. Latihan Tes Sublapangan Misalkan F adalah lapangan dan K adalah subset dari F yang mempunyai paling sedikit dua elemen. Buktikan bahwa K adalah sub lapangan dari F jika untuk sebarang a,b ( b 0) di K, a b dan 1 ab adalah elemen K.
15 14 Latihan Misalkan F adalah lapangan berorde 32. Tunjukkan bahwa satu-satunya sublapangan dari F adalah F sendiri dan 0,1. Teorema 2.2. Integral domain Berhingga adalah Lapangan Suatu integral domain berhingga adalah suatu lapangan. Latihan Buktikan Teorema 2.2 tersebut. Petunjuk: 1. Misalkan D adalah integral domain berhingga dengan elemen kesatuan Misalkan ad, a 0. Tunjukkan bahwa a adalah unit. 3. Selidiki untuk a 1 dan a 1. Latihan Tuliskan elemen-elemen dari 2i a bi a, b 2 modulo 2. Buatlah tabel perkalian untuk merupakan integral domain atau lapangan., ring bilangan bulat Gauss 2 i. Selidiki apakah ring tersebut Latihan Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu lapangan berorde 8 dan bahwa 2 2 a ab b 0. Buktikan bahwa a 0 dan b 0. Bila lapangannya berorde 2 n, dengan n ganjil, buktikan pula bahwa a 0 dan b 0. Akibat: p adalah suatu lapangan Untuk setiap bilangan prima p, ring dari bilangan bulat modulo p ( suatu lapangan. ), adalah p
16 15 Latihan Buktikan Akibat dari Teorema 2.2 tersebut. Petunjuk: 1. Berdasarkan Teorema 2.2, buktikan bahwa p tidak mempunyai pembagi nol. 2. Misalkan ab, dan ab 0. Ambil ab pk, k dan tunjukkan bahwa p a 0 atau b 0. Latihan Tunjukkan bahwa 7[ 3] { a b 3 a, b 7} adalah suatu lapangan. Untuk sebarang bilangan bulat k dan bilangan prima p, dapatkah kamu menentukan suatu kondisi yang perlu dan cukup [ k ] { a b k a, b } agar membentuk suatu lapangan? Jelaskan jawabmu. p p 2.2. Karakteristik Ring Ilustrasi 2.6. Perhatikan A 0,2,4,6,8 yang merupakan subring dari 10. Untuk setiap x A, 5x x x x x x 0. Perhatikan juga ring 3 i a bi a b 3 [ ],. Untuk setiap x [ i], 3x x x x 0. 3 Bilangan 3 dan 5 yang membuat 3 3x 0, x [ i], dan 5x 0, x A disebut karakteristik dari suatu ring. Jadi 3 adalah karakteristik dari [ ], 3 i dan 5 adalah karakteristik dari A. Selidiki karakteristik dari. Jelaskan jawabmu. Definisi 2.4. Karakteristik Ring Karakteristik dari suatu ring R (notasi: kar R) adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga nx 0, untuk semua x di R. Jika bilangan bulat yang demikian tidak ada, maka dikatakan bahwa ring R tersebut mempunyai karakteristik 0.
17 16 Latihan Hitunglah karakteristik dari M 2 a b 2 a, b dan 4 4 a b 2 a, b, c, d, c d 4 a, b a, b 4. Latihan Misalkan F adalah lapangan yang berorde 2 n. Buktikan bahwa kar F = 2. Latihan Jelaskan mengapa suatu ring berhingga yang mempunyai paling sedikit dua elemen, pasti mempunyai karakteristik tak nol. Latihan Misalkan F adalah lapangan berkarakteristik 2, yang mempunyai lebih dari dua elemen. Tunjukkan bahwa x y x y untuk beberapa x dan y di F. Teorema 2.3. Karakteristik dari Suatu Ring dengan Elemen Kesatuan Misalkan R suatu ring dengan elemen kesatuan 1. Jika 1 mempunyai orde tak hingga terhadap penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah 0. Jika 1 mempunyai orde n terhadap penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah n. Latihan Buktikan Teorema 2.3 tersebut. Petunjuk: 1. Untuk elemen kesatuan yang mempunyai orde n, n Untuk suatu x R, tunjukkan bahwa nx 0.
18 17 Latihan Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan 1 dan karakteristik prima. Jika a R adalah nilpoten, buktikan bahwa ada suatu bilangan bulat positif k sedemikian sehingga 1a k 1. Teorema 2.4. Karakteristik dari suatu Integral domain Karakteristik dari suatu integral domain adalah 0 atau bilangan prima. Latihan Buktikan Teorema 2.4 tersebut. Petunjuk: 1. Gunakan Teorema Tunjukkan bahwa jika orde penjumlahan dari 1 adalah berhingga, maka karakteristik dari integral domain tersebut adalah prima. 3. Misalkan n st, 1 s, t n, tunjukkan bahwa s n atau t n. Latihan Misalkan R adalah ring komutatif tanpa pembagi nol. Tunjukkan bahwa karakteristik dari R adalah 0 atau bilangan prima. Latihan Perhatikan persamaan persamaan tersebut di 7, 8, 12 dan 14. x 2 5x 6 0. Carilah semua solusi yang mungkin dari
19 18 Dalam materi grup telah dipelajari mengenai grup faktor (kuosien) dan subgrup normal. Analog dengan subgrup normal dan grup faktor, dalam pembahasan ring kali ini, akan dipelajari ideal dan ring faktor dari suatu ring Ideal Ilustrasi 3.1. Perhatikan ring R. 0 dan R adalah subring dari R. Periksa apakah untuk setiap r R dan a R, ra dan ar terdapat di R. Demikian pula untuk r 0 dan apakah ra dan ar terdapat di 0. Jelaskan jawabmu. a 0, selidiki Perhatikan pula himpunan 2. Untuk setiap r dan setiap a 2, selidiki apakah ra dan ar terdapat di 2. Jelaskan pendapatmu. Ilustrasi 3.2. Perhatikan kedua contoh pada Ilustrasi 3.1 tersebut. {0} dan R adalah disebut ideal dari R, bila ra dan ar terdapat di R dan {0}. Demikian pula, 2 adalah ideal dari, bila ra dan ar terdapat di 2. Istilah khusus untuk ideal {0} adalah ideal trivial dari R dan ideal R disebut ideal unit dari R. Berikut ini adalah definisi ideal dari suatu ring.
20 19 Definisi 3.1. Ideal Suatu subring A dari ring R disebut ideal kiri dari R jika untuk setiap r R dan setiap a A, ra terdapat di A. Selanjutnya, subring A disebut ideal kanan dari R jika untuk setiap r R dan setiap a A, ar ada di A. Jika subring A adalah ideal kiri dan kanan dari R, maka A dikatakan ideal (dua sisi) dari R. Latihan 3.1. Untuk suatu bilangan bulat positif n, selidiki apakah ring nz 0, n, 2 n,... merupakan ideal dari. Ilustrasi 3.3. Subring A dari ring R adalah suatu ideal dari R jika ra ra aa A dan Ar ar a A A untuk semua r R. Dengan kata lain, A ideal dari R jika A menyerap elemen-elemen dari R terhadap perkalian. Ilustrasi 3.4. Perhatikan ring R dan subset A 2. 2 disebut subset murni (proper subset) dari. Dari jawaban Latihan 3.1, diketahui bahwa 2 adalah ideal dari. Karena 2 adalah subset murni, maka ideal 2 disebut ideal murni dari. Secara umum, suatu ideal A dari ring R disebut ideal murni dari R jika A adalah subset murni (proper subset) dari R. Teorema 3.1. Tes Ideal Suatu subset tak kosong A dari suatu ring R adalah sebuah ideal dari R jika 1. a b A untuk setiap a, b A. 2. ra dan ar di A untuk setiap a A dan r R.
21 20 Latihan 3.2. Buktikan Teorema 3.1 tersebut di atas. Petunjuk: gunakan Tes Subgrup satu tahap. Latihan 3.3. Misalkan ring a R a a 1 2 a 3 4 a i dan I adalah subset dari R, dengan b I b b 1 2 b 3 4 bj 2. Selidiki apakah I ideal dari R. Latihan 3.4. Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan a R. Apakah himpunan a ra r R adalah sebuah ideal dari R? Ilustrasi 3.5. (1) Bila a ra r R ideal dari R, maka ideal yang demikian disebut ideal prinsipil yang dibangkitkan oleh a. (2) Suatu integral domain D disebut domain (daerah) ideal prinsipil (principal ideal domain = PID) jika setiap ideal dari D mempunyai bentuk a ad d D untuk suatu a di D. Latihan 3.5. Perhatikan ring bilangan bulat. Tentukan bilangan bulat positif a sedemikian sehingga: a). a 2 3 ; b). a 3 6 ; c). a 4 6 ; d). a m n. Latihan 3.6. Perhatikan ring bilangan bulat. Carilah bilangan bulat positif a sedemikian sehingga a 3 4, a 2 3 dan a m n.
22 21 Latihan 3.7. n n1 Misalkan x an x an 1x... a1x a0 ai menyatakan ring dari semua polinom dengan koefisien bilangan bulat. Misalkan x f x x f (0) 0 subset dari x. Selidiki apakah x. x ideal dari Latihan 3.8. Perhatikan ring bilangan bulat Gaussian i a bi a, b subset dari i. Selidiki apakah 2 i ideal dari i. dan 2 i adalah Latihan 3.9. Tunjukkan bahwa adalah suatu domain ideal prinsipil Ring Faktor Misalkan R ring dan A ideal dari R. Dalam pembahasan Grup, telah dipelajari bahwa R adalah grup terhadap penjumlahan dan A adalah subgrup normal dari R. Dari informasi ini dapat dibentuk suatu grup faktor R / A r A r R. Analog dengan grup faktor, akan dipelajari bagaimana membentuk suatu ring dari grup koset tersebut. Ilustrasi 3.6. Ambil n, dan A 6. Tulis n A n a a A. Sebutkan semua anggota dari 1 A, 2 A, 3 A,... Apakah ada dua himpunan di antara himpunan-himpunan tersebut yang mempunyai anggota bersama?
23 22 Ilustrasi 3.7. nm tuliskan Jika,, terhadap operasi penjumlahan tersebut. n A m A n m A. Buatlah tabel Cayley Ilustrasi 3.8. nm tuliskan Jika,, operasi perkalian untuk koset tersebut. n A m A nm A. Buatlah tabel Cayley terhadap Latihan Perhatikan subring 4 dari ring. Tuliskan n n / 4 4. Sebutkan semua anggota dari ring faktor /4. Hitunglah penjumlahan dan perkalian dari 2 4 dan 3 4, terhadap operasi modulo 4. Latihan Perhatikan subring 6 dari ring 2. Sebutkan semua anggota dari ring faktor 2 / 6 n 6 n 2. Hitunglah penjumlahan dan perkalian dari terhadap operasi modulo 6. dan Teorema 3.2. Keujudan (Eksistensi) dari Ring Faktor Misalkan R suatu ring dan misalkan A subring dari R. Himpunan koset-koset R / A r A r R adalah ring (faktor) terhadap operasi penjumlahan s A t A s t A dan operasi perkalian hanya jika A adalah ideal dari R. s A t A st A, jika dan Latihan Buktikan Teorema tersebut. Petunjuk: 1. ( ) Gunakan pengandaian A subring dari R, yang bukan ideal dari R.
24 23 2. Ambil elemen a A 0 A dan r A. 3. ( ) Tunjukkan bahwa perkalian terdefinisi dengan baik (well defined) bila A ideal. 4. Misalkan A ideal dan s A s' A, t A t ' A. Latihan Perhatikan ring R dan I pada Latihan 3.3. Tuliskan ring faktor r r 1 2 / I ri 0,1. r3 r4 R I Ukuran (banyaknya elemen) dari R/I adalah 16. Tuliskan semua anggota dari R/I tersebut. Selidiki apakah 5 4 dan I merupakan anggota dari R/I I, I, 5 7 Latihan Tuliskan ring faktor i/ 2 i x 2 i x i dari ring faktor i/ Ideal Prima dan Ideal Maksimal Ilustrasi Bila banyaknya anggota i ada lima, sebutkan semua anggota dari i/ 2 i. Perhatikan ideal A 2 dari suatu ring komutatif. Apakah 2 merupakan ideal murni dari? Selidiki apakah untuk setiap ab, dan ab 2, menyebabkan a 2 atau b 2. Bagaimanakah bila A adalah ideal 3, 4, 5 atau 6? Selidiki apakah untuk setiap ab, dan ab A, menyebabkan a A atau b A. Definisi 3.2. Ideal Prima Ideal prima A dari suatu ring komutatif R adalah ideal murni dari R sedemikian sehingga a, b R dan ab A mengimplikasikan a A atau b A.
25 24 Latihan Perhatikan Ilustrasi 3.3. Misalkan n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Pada ring bilangan bulat, ideal n adalah prima jika dan hanya jika n prima. Buktikan pernyataan tersebut. Latihan Perhatikan Latihan 3.7. Tunjukkan bahwa x merupakan ideal prima dari x. Latihan Misalkan R ring komutatif dengan elemen kesatuan, yang mempunyai sifat 2 a a, untuk semua a di R. Misalkan I adalah ideal prima dari R. Tunjukkan bahwa R/ I 2. Ilustrasi Perhatikan ring komutatif R 36. Ideal dari 36 antara lain adalah 0, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 dan 36. Misalkan ideal murni A 2. Selidiki apakah terdapat ideal B dari, sehingga A B R. Apakah B A atau 36 B R? Jelaskan pendapatmu. Lakukan hal yang sama untuk ideal murni A 3. Selidiki pula untuk ideal-ideal murni yang lain dari 36. Bagaimana pendapatmu? Ideal murni yang memiliki sifat seperti 2 dan 3 tersebut, dikatakan sebagai ideal maksimal. Berikut ini diberikan definisinya. Definisi 3.3. Ideal Maksimal Ideal murni A dari ring komutatif R adalah ideal maksimal dari R jika untuk setiap B ideal dari R dan A B R, maka B A atau B R.
26 25 Latihan Tentukan semua ideal maksimal dalam 8, 10, 12, dan n. Latihan Dalam, misalkan,0 I ideal maksimal? Jelaskan pendapatmu. I a a. Periksa apakah I ideal prima. Apakah Latihan Misalkan ( ) (0) 0. Apakah x ideal maksimal di x f x Z x f Jelaskan pendapatmu. x? Latihan Selidiki apakah x x 1 ideal maksimal dari 2 x. Teorema 3.3. R/A adalah integral domain jika dan hanya jika A ideal prima Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan A adalah ideal dari R. Maka R/A adalah integral domain jika dan hanya jika A adalah ideal prima. Latihan Buktikan teorema tersebut. Petunjuk: Gunakan pemisalan R/A integral domain dan ab A. Tunjukkan bahwa a A atau b A. Gunakan pemisalan A prima dan a Ab A ab A 0 A A. tentukan koset nol di R/A. Latihan Periksa apakah ring faktor /4 merupakan integral domain.
27 26 Latihan Selidiki apakah ring faktor 2 / 8 merupakan integral domain. Teorema 3.4. R/A adalah lapangan jika dan hanya jika A ideal maksimal Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan A adalah ideal dari R. Maka R/A adalah lapangan jika dan hanya jika A ideal maksimal. Latihan Buktikan teorema tersebut. Petunjuk: (1) Misalkan b B, tetapi b A, tentukan elemen tak nol dan identitas perkalian dari R/A. (2) Ambil b A R / A, dan tentukan invers perkaliaannya. tunjukkan bahwa 1 bc A B. (3) Misalkan b Ac A bc A, (1) Gunakan pemisalan A maksimal dan b B, tetapi b A. (2) Tunjukkan bahwa b Amempunyai invers perkalian. (3) Gunakan pemisalan B br a r R, a A 1 bc a', a' A,. Bila 1 B dan tunjukkan bahwa A b Ac A 1. Latihan Berikan contoh ring komutatif R dengan elemen kesatuan. Tentukan ideal maksimal dari R tersebut. Periksa apakah R/A lapangan. Latihan Misalkan 2 x adalah ring dari semua polinom dengan koefisien di. 2 Tunjukkan bahwa 2 2 x / x x 1 adalah lapangan. Latihan Tunjukkan bahwa 2 3 x / x x 1 bukan lapangan.
28 27 Dalam pembahasan grup, telah dibicarakan mengenai grup homomorfisme. Untuk menguji kesamaan atau perbedaan dua buah grup G 1 dan G 2, digunakan pemetaan :G1 G2, yang mengawetkan satu operasi grup. Bagaimana dengan ring homomorfisme? Analog dengan grup homomorfisme, untuk menguji kesamaan atau perbedaan dua buah ring R dan S, digunakan pemetaan : R S, yang mengawetkan dua operasi ring. Ilustrasi 4.1. Perhatikan pemetaan :, dengan aturan x 2x. Apakah pemetaan tersebut mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian? Apakah pemetaan tersebut pemetaan yang satu-satu dan pada? Jelaskan jawabmu. Ilustrasi 4.2. Perhatikan pemetaan : 5 10, dengan aturan x 5x. Selidiki apakah pemetaan tersebut mengawetkan operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Jelaskan jawabmu. Definisi 4.1. Ring Homomorfisme, Ring Isomorfisme Ring homomorfisme dari suatu ring R ke suatu ring S adalah pemetaan dari R ke S yang mengawetkan (preserved) dua operasi ring; yaitu untuk semua a, b di R, a b a b dan ab a b. Ring homomorfisme yang satu-satu dan pada disebut ring isomorfisme. Jika merupakan ring isomorfisme, maka R dan S dikatakan dua ring yang sama (isomorf).
29 28 Latihan 4.1. Perhatikan pemetaan : 5 30, dengan aturan x 6x. Apakah pemetaan tersebut merupakan suatu ring homomorfisme? Apakah suatu ring isomorfisme? Jelaskan pendapatmu. Latihan 4.2. Selidiki apakah pemetaan : 10 10, dengan aturan x 2x, merupakan ring homomorfisme. Apakah suatu ring isomorfisme? Jelaskan jawabmu. Latihan 4.3. Perhatikan pemetaan : M 2, dengan aturan pemetaan tersebut merupakan ring homomorfisme? a c b a. Apakah d Latihan 4.4. Dapatkah kamu menentukan beberapa ring homomorfisme dari 6 ke 6? Jelaskan jawabmu. Latihan 4.5. Misalkan R dan S adalah ring. a) Selidiki apakah pemetaan : R S R merupakan ring homomorfisme. b) Tunjukkan bahwa pemetaan : R R S merupakan ring homomorfisme yang satu-satu. c) Selidiki apakah R S isomorfik ke S R., dengan aturan a, b a,, dengan aturan a a,0,
30 29 Teorema 4.1. Sifat-sifat Ring Homomorfisme Misalkan adalah ring homomorfisme dari suatu ring R ke suatu ring S. Misalkan A adalah subring dari R dan misalkan B adalah ideal dari S. 1. Untuk sebarang r R dan sebarang bilangan bulat bulat positif n, n n dan r r. nr nr 2. A a a A adalah subring dari S. 3. Jika A adalah suatu ideal dan pada S, maka A adalah ideal juga B r R r B adalah ideal dari R. 5. Jika R komutatif, maka R komutatif. 6. Jika R mempunyai elemen identitas 1, S 0, dan pada, maka 1 adalah elemen identitas dari S. 7. adalah isomorfisme jika dan hanya jika pada dan Ker r R r Jika adalah isomorfisme dari R pada S, maka 1 adalah isomorfisme dari S pada R. Latihan 4.6. Buktikan Teorema 4.1 untuk nomor 1 dan 2 di atas. Petunjuk: 1. Perhatikan bahwa... nr r r r r. Gunakan sifat ring n homomorfisme untuk membuktikan bahwa nr n r. 2. Tunjukkan bahwa A adalah ring. Mulailah dari sifat komutatif ring A untuk membuktikan sifat komutatif dari A terhadap operasi perkalian.
31 30 Latihan 4.7. Perhatikan pemetaan : 12 12, dengan x 3. x a) Carilah semua x di sehingga 12 x 0. b) Misalkan A x x Selidiki apakah A ideal dari c) Kita mengetahui bahwa 1 3. Carilah semua x di, sehingga 12 x 3. d) Misalkan B x x Apakah B ideal dari 12? e) Apakah ada hubungan antara B dan A? Bagaimana cara memperoleh himpunan B dari himpunan A? Jelaskan pendapatmu. Teorema 4.2. Kernel adalah Ideal Misalkan adalah suatu homomorfisme dari ring R ke ring S. Maka Ker r R r 0 adalah suatu ideal dari R. Latihan 4.8. Ambillah A suatu ideal di. Definisikan suatu pemetaan 12 : 12 12, sehingga Ker A. Latihan 4.9. Perhatikan pemetaan : 12 12, dengan aturan x 3. x a) Carilah kernel. b) Tentukan 12. Apakah 12 ring? c) Tentukan himpunan x x a, a i i 12. d) Tuliskan 0 0,4,8, 1 1,5,9, 2 2,6,10, dan 3 3,7,11. Definisikan operasi a b x y xa, y b, dan ab xy xa y b Misalkan A 0,1, 2,3. Ujilah apakah A ring.,.
32 31 e) Himpunan A disebut juga 12 / Ker. Apakah hubungan antara 12 / Ker dan 12? Dapatkah dicari hubungan antara / Ker dan sehingga mereka isomorf? Latihan Lakukan hal yang sama seperti pada Latihan 4.9, tetapi untuk x 4. x Teorema 4.3. Teorema Isomorfisme Pertama untuk Ring Misalkan adalah suatu ring homomorfisme dari ring R ke ring S. Maka pemetaan dari R/Ker ke R, yang dinyatakan dengan r Ker r adalah suatu isomorfisme. Simbolnya, R Ker R /., Latihan a b Misalkan R a, b b a : R, yang memetakan, dan misalkan adalah suatu pemetaan, dengan a b a b. b a a) Tunjukkan bahwa adalah homomorfisme terhadap ring. b) Carilah kernel dari. c) Tunjukkan bahwa R/Ker isomorfik ke. d) Apakah Ker ideal prima? e) Apakah Ker ideal maksimal? Latihan Buatlah sebuah contoh ring R dan tentukan ideal A dari ring R tersebut. Misalkan adalah ring homomorfisme dari R ke R/A. Apakah A kernel dari? Jelaskan jawabmu.
33 32 Teorema 4.4. Ideal adalah Kernel Setiap ideal dari suatu ring R adalah kernel dari suatu ring homomorfisme dari R. Khususnya, suatu ideal A adalah kernel dari pemetaan r r A dari R ke R/A. Homomorfisme dari R ke R/A disebut homomorfisme natural dari R ke R/A.
34 33 Ilustrasi Perhatikan polinomal f x x dan g x x di selidiki nilai-nilai dari dan 3? ga? Apakah f a dan 3 x. Untuk setiap a di 3, ga. Bagaimana pendapatmu tentang f x dan gx merupakan dua fungsi yang sama dari f a 3 ke Perhatikan kembali berbeda dari pendapatmu. f x dan gx di atas, yang merupakan dua elemen yang x 3. Kapan dua elemen dari 3 x dikatakan sama? Jelaskan Definisi 5.1. Ring Polinomial atas R Misalkan R adalah ring komutatif. Himpunan dari simbol-simbol formal n n 1 n n i, adalah bilangan bulat non negatif R x a x a x a x a a R n disebut ring polinomial atas R dengan x tak tentu (indeterminate). Dua elemen dari n m m1 a x a x... a x a dan b x b x... b x b n n1 n1 1 0 m m1 1 0 R x dipandang sama jika dan hanya jika ai bi untuk semua bilangan bulat non negatif. (Definisikan ai 0 jika i n dan bi 0 jika i m).
35 34 Latihan Misalkan fungsi f x x x dan g x x x di x 3. Apakah f x dan gx menyatakan dua fungsi yang sama dari ke 3 3? Jelaskan pendapatmu. Definisi 5.2. Penjumlahan dan Perkalian di Misalkan R adalah ring komutatif dan misalkan n1 n1 1 0 Rx n m m 1 f ( x) a x a x... a x a dan g( x) b x b x... b x b adalah elemen n Rx. Maka s s1... m m1 1 0 f x g x a b x a b x a b x a b s s s1 s dengan s adalah maksimum dari m dan n, ai 0 untuk i n, dan bi 0 untuk i m. Juga berlaku mn mn1 f x g x c x c x... c x c mn dengan k k 0 k1 1 1 k1 0 k mn1 1 0 c a b a b... a b a b, untuk k 0,..., m n. Latihan Perhatikan fungsi px 1 x x dan elemen dari ring komutatif q x 2 x x, yang merupakan Rx. Hitunglah px qx dan px qx, dengan cara yang sudah kamu ketahui. Lakukan penghitungan kembali dengan cara seperti pada Definisi 5.2 tersebut. Bandingkan hasilnya. Bagaimana pendapatmu? Latihan Misalkan f x 4x 2x x 3 dan,. Hitunglah f x g x dan f x g x f x g x Z x 5 g x 3x 3x 3x x 4, dengan.
36 35 Ilustrasi 5.2 Dari pembahasan sebelumnya tentang integral domain, diketahui bahwa adalah integral domain. Apakah merupakan integral domain juga? Jelaskan pendapatmu. x f x a x a x... a x a a n n1 n n1 1 0 i Teorema 5.1. D adalah Integral Domain yang mengakibatkan Domain Jika D adalah integral domain, maka Dx adalah integral domain. Dx Integral Latihan 5.4. Buktikan Teorema 5.1 tersebut. Latihan 5.5. Diketahui bahwa adalah integral domain. Selidiki apakah 3 3 x juga integral domain. Bagaimana pula dengan 4 x dan 5 x? Jelaskan pendapatmu. Ilustrasi 5.3 n n1 Perhatikan polinomial f x a x a x... a x a, a 0. Bila derajat n n1 1 0 (degree) suatu polinom dinyatakan oleh besarnya derajat (pangkat) terbesar dari variabel f x nya, apakah yang dapat kamu katakan tentang derajat dari f x tersebut? Bila derajat f x adalah n, maka ditulis n deg f x n. Koefisien dari variabel f x 0, maka f f x a0, maka f coefficient dari disebut monic polinomial. n x, yaitu a n, disebut sebagai leading coefficient. Bila x dikatakan tidak mempunyai derajat. Secara umum, bila x merupakan konstanta, yang derajatnya nol. Bila leading f x adalah elemen identitas perkalian dari R, maka f x
37 36 Latihan 5.6. Carilah semua polinom berderajat tiga di x 3. Latihan 5.7. Tunjukkan bahwa polinomial 2x 1 di 4 x. 4 x mempunyai invers perkalian di Ilustrasi 5.4 Algoritma pembagian adalah salah satu sifat bilangan bulat yang sering digunakan. Jika ab,, b 0, maka terdapat bilangan bulat tunggal q dan r sehingga a bq r, 0 r b. Bagaimana algoritma pembagian dalam polinomial? Berikut ini teoremanya. Teorema 5.2. Algoritma Pembagian untuk Misalkan F lapangan dan misalkan Fx Maka ada polinomial tunggal dan di f x dan g x F x g x dengan 0. q x r x F x, sedemikian sehingga f x g xqx r x dan juga rx 0 atau deg r x deg g x. q x disebut sebagai hasil bagi (quosient) dan (remainder) dari f x oleh gx. r x disebut sisa pembagian Latihan 5.8. Buktikan Teorema 5.2 tersebut.
38 37 Latihan Misalkan f x x 2x 4 dan g x 3x 2 di sisa pembagian f x oleh gx. x Tentukan kuosien dan 5. Latihan Misalkan f x 5x 3x 1 dan g x 3x 2x 1 di dan sisa pembagian f x oleh gx. x Carilah kuosien 7. Ilustrasi 5.5 Misalkan D adalah daerah integral. Jika membagi f x dan gx di Dx, maka gx f x di Dx, dan ditulis g x f x, jika terdapat hx Dx sehingga f x g xhx. a adalah nol (akar) dari polinom g x dapat juga disebut sebagai faktor dari, f x. f x jika f a 0. Jika F lapangan, a F, f x F x, maka a disebut nol dari kelipatan k k 1 jika x a k faktor dari f x, tetapi x a k1 bukan faktor dari f x. adalah Latihan Tunjukkan bahwa 2 p x x 3x 2 mempunyai empat nol (akar) di. 6 Akibat 1. Teorema Sisa (Reminder) Misalkan F adalah lapangan, a F, dan f ( x) F[ x] dalam pembagian dari f x oleh x a., maka f a adalah sisa
39 38 Latihan f x x 2x 3x 4 di lapangan. Tentukan 5 a 5 sehingga Misalkan 3 2 f a adalah sisa dalam pembagian dari f x oleh x a. Akibat 2. Teorema Faktor Misalkan F adalah lapangan, a F, dan f ( x) F[ x], maka a adalah nol dari f x jika dan hanya jika x aadalah faktor dari f x. Latihan Misalkan f x x 4x 2x 1 di. Tentukan nol dari 5 f x.
40 39
41 40 DAFTAR PUSTAKA Clark, W. Edwin (1998). Elementary Abstract Algebra [Online]. Tersedia: [21 November 2008] Dummit, David S. & Foote, Richard M. (2002). Abstract Algebra (Second Edition). Singapura: John Wiley & Sons (Asia) Pte. Ltd. Gallian, Joseph A. (1998). Contemporary Abstract Algebra (Fourth Edition). Boston: Houghton Mifflin Company. Gallian, Joseph A. (2005). Advice for Students for Learning Abstract Algebra [Online]. Tersedia: [8 Januari 2009] Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (Second Edition). New York: John Wiley & Sons. Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. New York: Springer-Verlag New York, Inc.
0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciIDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA
IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II Oleh: Kelompok VI/kelas A 1 Diah Ajeng Titisari (08144100009) Frendy Try Andyasmoko (08144100041) Herna Purwanti (08144100083)
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciSIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP
SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP oleh : Mulvi Ludiana (1) Cece Kustiawan (2) Sumanang Muhtar Gozali (2) ABSTRAK Dari suatu ring dan grup, dapat dikonstruksi suatu ring baru yang disebut ring
Lebih terperinciORDER UNSUR DARI GRUP S 4
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom
BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis
1 I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciElvri Teresia br Sembiring adalah Guru Matematika SMA Negeri 1 Berastagi
PENERAPAN SIFAT-SIFAT GRUP PENJUMLAHAN MODULO 12 DAN 24 PADA JAM Elvri Teresia br Sembiring Abstrak Makalah ini membahas mengenai penerapan sifat-sifat grup penjumlahan modulo 12 (Z 12 ) dan modulo 24
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciTeorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring
urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciPERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT
PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT SKRIPSI Untuk memenuhi sebagai persyaratan Mencapai derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika Diajukan Oleh : Moch. Widiono 09610030
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciRING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES
J. Sains Dasar 2016 5(1) 28-39 RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES Rifki Chandra Utama * dan Karyati Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta *email:
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciBAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0
BAB 3 RING ARMENDARIZ 3.1 Ring Terreduksi Suatu ring R disebut ring terreduksi jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol. Secara ekuivalen, suatu ring dikatakan terreduksi jika tidak mempunyai elemen
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND
LAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND Nomor DIPA : DIPA BLU: DIPA-025.04.2.423812/2016 Tanggal : 7 Desember 2017 Satker : (423812)
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 4 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan
Lebih terperinciLECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT. Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.
LECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA PONDOK CINA, MARET 2004 0 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... 1 BAB I STRUKTUR ALJABAR...
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK
LAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK Oleh : Dra. Eleonora Dwi W., M.Pd Ahmadi, M.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciBAB I Ring dan Ring Bagian
BAB I Ring dan Ring Bagian Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan.
Lebih terperinciHUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP
HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,
Lebih terperinciBab 2 Daerah Euclid. 2.1 Struktur Daerah Euclid
Bab 2 Daerah Euclid Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain yang terkait nya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan digunakan untuk melihat struktur gelanggang
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone,
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sekarang ini teknologi untuk berkomunikasi sangatlah mudah. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, internet, dan berbagai macam peralatan
Lebih terperinciIV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz. Teorema 4.1 Jika R adalah daerah ideal utama yang
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL PRIME IDEAL AND MAXIMAL IDEAL IN A POLYNOMIAL RING
IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawati Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin (UNHAS)
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciALJABAR WEYL, CONTOH GELANGGANG NOETHER DAN PRIM
ALJABAR WEYL, CONTOH GELANGGANG NOETHER DAN PRIM TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Imu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Raya Pajajaran, Kampus IPB Baranangsiang,
Lebih terperinciUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A
Fakultas : FMIPA Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah/Kode : Aljabar Abstrak I, MAT 309 Jumlah SKS : Teori=3 sks; Praktek= Semester : Genap Mata Kuliah Prasyarat/kode : Teori Bilangan, MAT
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA
GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA Siti Rohmawati 1, Dr.Agung Lukito, M.S. 2 1 Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Gedung
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciIDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye
DEAL DFEENSAL DAN HOMOMOFSMA DFEENSAL Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat l. end. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email : imah_math@yahoo.co.id
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciModul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning
Modul ke: 01 Pusat Matematika Ekonomi Himpunan dan Bilangan Bahan Ajar dan E-learning MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM. 08159122650 mafiz_69@yahoo.com Selamat Datang di Perkuliahan MATEMATIKA EKONOMI 2 BUKU
Lebih terperinci