MODUL PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (MAM2201) DISUSUN OLEH : 1. Zulkarnain, M.Si 2. Khozin Mu tamar, M.Si

Transkripsi

1 MODUL PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (MAM01) DISUSUN OLEH : 1. Zulkarnain, M.Si. Khozin Mu tamar, M.Si PRODI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU 015

2 1 Modul 1 : Persamaan Diferensial Biaasa Orde-1 TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa mengenal dasar-dasar Maple untuk menyelesaikan PDB orde 1. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 linier menggunakan Maple 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 secara manual dengan menggunakan bantuan Maple. Materi : Bidang arah, Pemisahan variabel, Faktor integrasi. 1.1 Bidang arah Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1 dx = y (x) = f(x) (1) Secara geometris persamaan (??) dapat diartikan sebagai kemiringan suatu kurva yang bernilai f(x) di setiap titiknya. Bidang arah dari persamaan (??) merupakan keluarga kurva berarah dari f(x) berdasarkan nilai dari y (x) yang tidak lain adalah kemiringan dari y(x). Bidang arah sendiri dapat merepresentasikan perilaku dari solusi persamaan diferensial yang akan diselesaikan. KODE MAPLE restart : Kode untuk memulai block dokumen baru with(detools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial with(plots) : Package Maple untuk melakukan ploting kurva. D(y)(t) : Cara menulis / diff(y,t) : Cara menulis / versi DEplot : Memplot bidang arah dari / = f(t) plot : Memplot kurva dari fungsi peubah tunggal f(x) display : Memplot beberapa kurva dalam satu bidang CONTOH Misalkan diberikan PDB linier yaitu /dx = x +. Solusi umumnya adalah y(x) = x + x + c Berikut adalah bagaimana menampilkan kurva bidang arah yang sekaligus berdampingan dengan kurva solusi dari PDB di atas 1 restart ; Kode 1: Bidang Arah 1

3 with (DETools) ; 3 with ( plots ) ; 4 pdb:=d(y) (x)= x+; 5 yu:=(x, c ) >x^+ x+c ; 6 p1:= plot (yu(x, 1 ),x =.., color = blue ) ; 7 p:= plot (yu(x, ),x =.., color=black ) ; 8 p3:= plot (yu(x, 3 ),x =.., color=green ) ; 9 p4:= plot (yu(x, 4 ),x =.., color=magenta) ; 10 p5:= plot (yu(x, 5 ),x =.., color=yellow ) ; 11 dp:=deplot(pdb, y(x),x=..,y= ) ; 1 display ({dp, p1, p, p3, p4, p5}) ; LATIHAN Gambarkanlah bidang arah berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun laporan atas permasalahan berikut ini. 1. y = y(1 y). y (x) + y(x) = 3. y (x) = x 4. y (x) y(x) = x + 1. Pemisahan Variabel Misalkan diberikan PDB orde 1 dalam bentuk M(x, y) + N(x, y)dx = 0 () Jika M(x, y) hanya mengandung variabel y saja dan N(x, y) hanya mengandung variabel x saja maka solusi dari persamaan (??) dapat ditentukan dengan pemisahan variabel, yaitu dengan mengintegralkan terhadap masing-masing variabelnya. M(x, y) = N(x, y)dx (3) M(y) = Ñ(x)dx (4) KODE MAPLE restart : Kode untuk memulai block dokumen baru with(detools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial dsolve : Menyelesaikan PDB menggunakan package Maple separable : Option dalam dsolve untuk separasi variabel int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap x CONTOH Misalkan diberikan PDB yaitu /dx = (1 x)y (x). Dengan manipulasi aljabar akan diperoleh y = (1 x)dx (x)

4 Dengan melakukan integral di kedua ruas akan diperoleh sehingga solusi umumny adalah y (x) = (1 x)dx 1 y(x) = x x + C y(x) = 1 x x + C Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah sebagai berikut ini 1 restart ; with ( DEtools ) ; 3 pdb:=d(y) ( t ) =(1 t ) y( t ) ^; 4 int (1/y^,y)=int (1 t, t ) ; 5 dsolve (pdb, [ separable ] ) ; Kode : Pemisahan Variabel LATIHAN Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. laporan atas permasalahan berikut ini. Susun 1. y + y sin x = x + 4x + (y 1) x 1 y x e x y + e y dx = cos x cos y 1.3 Faktor Integrasi Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1 dalam bentuk Persamaan (??) dapat dituliskan dalam bentuk P (x)y (x) + Qy(x) = R(x) (5) y (x) + q(x)y(x) = r(x) (6) Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan faktor integrasi yang didefinisikan sebagai ( µ(x) = exp ) q(x) dx (7) µ (x) = µ(x)q(x) (8) 3

5 Persamaan (??) kemudian dituliskan menjadi µ(x)y (x) + µ(x)q(x)y(x) = µ(x)r(x) dµ(x)y(x) dx = µ(x)r(x) (9) Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan mengintegralkan masing-masing ruas sehingga dµ(x)y(x) = µ(x)r(x) dx ( ) y(x) = µ 1 (x) µ(x)r(x) dx + C (10) KODE MAPLE CONTOH dsolve : Menyelesaikan PDB secara langsung dari maple rhs : Mengambil ruas kanan dari suatu persamaan int(y(t),t) : Mengintegralkan y(t) terhadap t atau y(t) simplify : Menampilkan output dalam bentuk paling sederhana 1. y (x) + y(x) = Secara manual, pertama, tentukan faktor integrasi, yaitu ( µ = exp ) dx = exp (x) Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh exp x(y (x) + y(x)) = exp x d(y(x) exp x) = exp x dx d(y(x) exp x) = exp xdx y(x) exp x = exp x + C y(x) = C exp ( x) + 1 Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple, maka kodenya adalah 1 restart ; with ( DEtools ) ; 3 pdb:=(d(y) ) (x)+ y(x) =; 4 mu:=exp( int (,x) ) ; 5 pdbrka:= mu rhs (pdb) ; 6 yrka:= int (pdbrka, x) ; 7 y: =(yrka+c) /mu; 8 dsolve (pdb) ; Kode 3: Faktor Integrasi. y (x) + 4y(x) = e x 4

6 Persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi y (x) + y(x) = e x / Faktor integrasi dari persamaan di atas adalah ( µ = exp ) dx = exp (x) Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh exp (x)(y (x) + y(x)) = exp (3x)/ d(y(x) exp x) = exp (3x)/ dx d(y(x) exp x) = 1 exp 3xdx y(x) exp x = 1 exp 3x + C 6 y(x) = 1 exp x + C exp ( x) 6 Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah 1 restart ; with ( DEtools ) ; Kode 4: Faktor Integrasi 3 pdb:= (D(y) ) (x)+4 y(x) = exp(x) ; 4 pdbn:=(1/) pdb ; 5 mu:= exp( int (, x) ) ; 6 pdbnra:=mu rhs (pdbn) ; 7 yra:= int (pdbnra, x) ; 8 y:= simplify ( (yra+c) /mu) ; 9 simplify ( dsolve (pdb) ) ; LATIHAN Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. laporan atas permasalahan berikut ini. Susun 1. y (x) y(x) =. y (x) = y 3. y (x) y(x) = x + 4. y + y = te t, dengan nilai awal y(1) = 0 5

7 Modul : Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 Lanjutan TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa mampu menentukan suatu persamaan diferensial eksak atau bukan. Mahasiswa mampu menyelesaikan Persamaan diferensial homogen 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB eksak Materi : PDB orde 1 homogen, PDB orde 1 eksak.1 PDB Orde 1 Homogen Bentuk umum PDB orde 1 homogen adalah ( ) y dx = f(x, y) = f x (11) Artinya, suku tak homogen f(x, y) dapat dibentuk dalam fungsi rasional yang terdiri atas x dan y secara eksplisit. Solusi masalah ini adalah dengan memisalkan z = y x xz = y sehingga diperoleh PDB yang baru x dz dx + z = f(z) Menggunakan operasi aljabar, akan diperoleh dz f(z) z = dx x yang penyelesaiaannya dilakukan dengan integral masing-masing ruas. KODE MAPLE restart : Kode untuk memulai block dokumen baru with(detools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap x simplify(f) : Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana convert(f,parfrac,x) : Melakukan konversi f dengan format parfrac parfrac : Bentuk rasional partisi, yaitu bentuk a/b CONTOH Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini dx = y + xy x 6

8 Pertama, sederhanakan bentuk PDB di atas menjadi dx = y x + xy x = ( y x) + y x Terlihat bahwa suku tak homogen tersusun dalam bentuk y/x. z = y/x maka diperoleh = x dz + z dx Selanjutnya, misalkan sehingga x dz dx + z = z + z ruas kiri persamaan menjadi sehingga menghasilkan dz z + z = dz z + z = dx x 1 z dz ln z ln (z + 1) = ln x + ln C dengan mengembalikan substitusi z = y/x diperoleh y(x) = Cx 1 Cx 1 z + 1 dz dz z + z = dx x z z + 1 = Cx Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah 1 restart ; with (DETools) ; Kode 5: PDB orde 1 Homogen 3 ode:= d i f f (y(x),x)=(y(x) ^+ y(x) x) /x^; 4 ode:=subs (y(x)=z (x) x, ode) ; 5 ode3:= simplify (ode) ; 6 ode4:= simplify (ode3 z (x) ) ; 7 ode4kiri :=convert (1/ rhs (ode4), parfrac, z (x) ) ; 8 ruaskiri := int (1/ z 1/(z+1), z ) ; 9 ruaskanan:= int (1/x, x) ; 10 sol := ruaskiri = ruaskanan ; 11 simplify ( subs ( z = y/x, sol ) ) ; LATIHAN Tentukan solusi dari PDB orde 1 homogen berikut ini. komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini dx = x + 3y x y 4y 3x = dx x y dx = x + xy + y x dx = x 3y xy Kerjakan secara manual dan 7

9 5. dx = xy x 3y. PDB Orde 1 Eksak Misalkan diberikan persamaan diferensial M(x, y) + N(x, y)dx = 0 Persamaan diferensial di atas dikatakan PDB orde 1 Eksak jika memenuhi dm(x, y) dx = dn(x, y) Misalkan solusi persamaan di atas adalah ψ(x, y). Solusi ini memenuhi dψ(x, y) dx dψ(x, y) = N(x, y) = M(x, y) Solusi dapat diperoleh dengan beberapa langkah substitusi, yaitu 1. Integralkan N(x, y) terhadap variabel x sehingga menghasilkan fungsi ψ(x, y) yang mengandung fungsi C = g(y).. Substitusikan ψ(x, y) di atas pada bentuk M(x, y) sehingga akan diperoleh dg(y) 3. Integralkan bentuk di atas sehingga diperoleh hasil g(y) 4. Substitusikan pada bentuk pertama sehingga diperoleh solusi khusus. KODE MAPLE restart : Kode untuk memulai block dokumen baru with(detools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial diff(f,x) : Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap x unapply(f,x,y) : Merubah ekpresi f menjadi fungsi dengan variabel x dan y simplify(f) : Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana implicit(f) : Menampilkan fungsi f secara implicit CONTOH Selesaikan persamaan diferensial berikut ini (4x + y)dx + (x y) = 0 8

10 Berdasarkan soal, diperoleh M(x, y) = x y N(x, y) = 4x + y dm(x, y) = dx dn(x, y) = yang menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini merupakan PDB orde 1 eksak. Selanjutnya, integralkan N(x, y) terhadap variabel x sehingga diperoleh ψ(x, y) = N(x, y) dx = x + xy + g(y) Substitusikan pada M(x, y) sehingga dψ(x, y) = M(x, y) x + dg(y) = x y Sederhanakans sehingga menghasilkan dg(y) = y yang dengan integral biasa akan menghasilkan g(y) = y Solusi akhir dari permasalahan ini adalah ψ(x, y) = x + xy y Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple kodenya adalah 1 restart ; with (DETools) ; Kode 6: PDB eksak 3 ode:=4 x+ y(x)= ( x y(x) ) (D(y) ) (x) ; 4 sol := simplify ( dsolve (ode, implicit ) ) ; 5 N :=(x, y) >4 x+ y ; 6 M :=(x, y) > x y ; 7 Ny := d i f f (N(x, y),y) ; 8 Mx := d i f f (M(x, y),x) ; 9 psi :=unapply ( int (N(x, y),x)+g(y),x, y) ; 10 oden:=m(x, y) ( d i f f ( psi (x, y),y) ) ; 11 dsolve (oden) ; LATIHAN Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini. serta buat laporan kerja dari tugas ini. Kerjakan secara manual dan komputasi 1. (x + 4y) + (x y)y = 0. xy + y + (x y + x)y = 0 9

11 3. (x ln y + xy)dx + (y ln x + xy) = 0 4. (y/x + 6x)dx + (ln x ) = 0 5. (e x sin y + 3y)dx (3x e x sin y) = 0 10

12 3 Modul 3 : Persamaan Diferensial Biasa Orde- Homogen TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde homogen dengan menggunakan metode persamaan karateristik Materi : Metode Karateristik Bentuk umum PDB orde homogen adalah ay (t) + by (t) + cy(t) = 0. (1) Didefinisikan λ = d sehingga persamaan (??) menjadi (aλ + bλ + c)y(t) = 0 Dengan asumsi y(t) 0 maka akan diperoleh persamaan karateristik yaitu aλ + bλ + c = 0 (13) yang merupakan persamaan kuadrat dengan 3 kemungkinan akar,yaitu riil berbeda, riil sama dan akar imajiner. Solusi persamaan (??) ditentukan berdasarkan jenis dan nilai solusi persamaan (??) 1. Jika solusinya akar riil berbeda maka solusi umumnya berbentuk y(t) = c 1 exp λ 1 t + c exp λ t. Jika solusinya akar riil sama maka solusi umumnya berbentuk y(t) = c 1 exp λt + c t exp λt 3. Jika solusinya akar imajiner yang berbentuk z = α + ßβ maka solusi umumnya berbentuk y(t) = exp (αt)(a cos βt + B sin βt) KODE MAPLE with(detools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial. dsolve : Menyelesaikan persamaan diferensial solve : Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier Re(z) : Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib. Im(z) : Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib. CONTOH 1. y (x) 9y (x) + 9y(x) = 0 11

13 Persamaan karateristiknya adalah λ 9λ + 9 = 0 Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah λ 1, = 9 ± = 9 ± 3 5 Solusi umum dari masalah di atas adalah ( ) ( ) y(x) = C 1 exp + C exp Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah 1 restart ; with (DETools) ; Kode 7: PDB Orde- 3 pdb:=d^() (y) (x) 9 (D(y) ) (x)+9 y(x) =0; 4 ye:= dsolve (pdb) ; 5 pk:=lambda^ 9 lambda+9 = 0 ; 6 ak:= solve (pk) ; 7 y:=c1 exp(ak [ 1 ] )+c exp(ak [ ] ) ;. y (x) + y (x) + 9y(x) = 0 Persamaan karateristiknya adalah λ + λ + 9 = 0 Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah λ 1, = 1 ± 1 36 = 1 ± 35i Solusi umum dari masalah di atas adalah ( ) ( 1 y(x) = exp x C 1 cos ( ) 35 + C sin ( )) 35 Jika diselesaikan dengan Maple maka langkah penyelesaiaannya adalah 1 restart ; with (DETools) ; Kode 8: PDB Orde- 3 pdb:=d^() (y) (x)+d(y) (x)+9 y(x) =0; 4 ye:= dsolve (pdb) ; 5 pk:=lambda^+lambda+9=0; 6 ak:= solve (pk) ; 7 akr:=re(ak [ 1 ] ) ; 8 aki:=im(ak [ 1 ] ) ; 9 y:=exp(akr x) ( c1 cos ( aki x)+c sin ( aki x) ) ; 1

14 LATIHAN Tentukan solusi umum dari PDB orde homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. y (t) 3y (t) + y(t) = 0. y (t) y (t) y(t) = 0 3. y (t) + 3y(t) = y (t) y (t) = 0 5. y (t) + y (t) 4y(t) = 0 dengan nilai awal y (0) = 1 dan y(0) = 1 13

15 4 Modul 4 : Persamaan Diferensial Biasa orde- Nonhomogen TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde dengan menggunakan metode variasi parameter Materi : PD orde nonhomogen 4.1 Metode Koefisien Tak Tentu Bentuk umum PDB orde tak homogen adalah ay (x) + by (x) + cy(x) = f(x) (14) Solusi PDB orde nonhomogen disusun atas solusi homogen (y h ) dan solusi partikular (y p ). Solusi homogen diperoleh dengan mengasumsikan f(x) = 0. Selanjutnya, solusi partikular diperoleh dengan memperhatikan bentuk f(x) kemudian menyesuaikan dengan tabel berikut ini Fungsi y p selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (??). Dengan menggunakan manipulasi aljabar, maka akan diperoleh setiap nilai dari koefisien yang diinginkan. KODE MAPLE restart : Kode untuk memulai block dokumen baru with(detools) : Package Maple masalah persamaan diferensial dsolve : Menyelesaikan persamaan diferensial solve : Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier diff(f,x) : Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x $ : Menyatakan repetisi atau pengulangan CONTOH Misalkan diberikan PDB orde tak homogen y (t) 4y (t) + 3y(t) =. Secara manual, dihitung solusi homogen dimana λ 4λ + 3 = 0 (λ 3)(λ 1) = 0 sehingga akar karateristiknya adalah λ 1 = 1 dan λ = 3. Solusi homogen dari PDB orde di atas adalah y h = c 1 exp t + c exp 3t 14

16 Oleh karena f(t) = maka solusi partikular yang dipilih adalah y p = k dengan k adalah konstanta yang akan ditentukan nilainya. Selanjutnya diperoleh y p = k y p = 0 y p = 0 Substitusikan dalam PDB awal sehingga diperoleh (k) = yang menghasilkan k = 1/3 dan solusi umumnya adalah y(t) = c 1 exp t + c exp 3t + 3 Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah 1 restart ; with (DETools) ; Kode 9: PDB Orde- nonhomogen 3 pdb:=d^() (y) ( t ) 4 D(y) ( t )+3 y( t ) =; 4 pk:=lambda^ 4 lambda+3; 5 ak:= solve (pk) ; 6 yh:=c1 exp(ak [ 1 ] t )+c exp(ak [ ] t ) ; 7 yp:= k ; 8 ypt:= d i f f (yp, t ) ; 9 yptt:= d i f f ( ypt, t ) ; 10 pdbnew:= yp = ; 11 k:= solve (pdbnew, k) ; 1 solusi :=yh+yp ; 13 solusi :=dsolve (pdb) ; Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual. LATIHAN Tentukan solusi umum dari PDB orde tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. y (t) 4y (t) + 3y(t) = t. y (t) 4y (t) + 3y(t) = + cos 3t 3. y (t) 4y (t) + 3y(t) = t + sin 3t 4. y (t) 4y (t) + 3y(t) = t + cos 3t y (t) 4y (t) + 3y(t) = exp 3t 15

17 4. Metode Variasi Parameter Metode variasi parameter mengasumsikan solusi partikular dari persamaan (??) berbentuk y p (x) = u 1 (x)y 1 (x) + u (x)y (x) Persamaan di atas kemudian didiferensialkan sehingga dan diasumsikan u 1 y 1 + u y = 0 sehingga y = u 1y 1 + u 1 y 1 + u y + u y y = u 1 y 1 + u y y = u 1y 1 + u 1 y 1 + u y + u y Persamaan ini kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (??) sehingga menghasilkan sistem u 1y 1 + u y = f(x) u 1y 1 + u y = 0 dengan solusi sistem adalah u 1 = u = y f(x) W (y 1, y ) dx y 1 f(x) W (y 1, y ) dx dimana y 1, y adalah solusi homogen dari persamaan (??) dan W (y 1, y ) adalah Wronskian dari y 1 dan y yang didefinisikan sebagai y 1 y W (y 1, y ) = y 1 y = y 1y y 1y Solusi umum PDB orde- dengan variasi parameter adalah y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y p (x) KODE MAPLE with(linearalgebra) : Package Maple untuk aljabar linier. int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap variabel x. Re(z) : Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib. Im(z) : Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib. Determinant(A) : Menghitung determinan matriks simplify(a) : Menampilkan bentuk yang paling sederhana 16

18 CONTOH Misalkan diberikan PDB orde tak homogen y (x) + 4y(x) = csc x. csc x akan sulit untuk ditentukan secara koefisien tak tentu. Solusi homogen dari persamaan tersebut adalah λ + 4 = 0 sehingga akar karateristiknya adalah λ 1 = ±i. Solusi homogen dari PDB di atas adalah y h = c 1 cos x + c sin x Selanjutnya dihitung Wronskian W = cos x sin x sin x cos x = Solusi untuk u 1 (x) dan u (x) adalah u 1 = 1 csc x sin x dx = 1 x u = 1 csc x cos x dx = 1 ln sin x 4 Solusi partikularnya adalah y p (x) = 1 x cos x + 1 sin x ln (sin x) 4 Solusi umum dari permasalahan di atas adalah y(x) = c 1 cos x + c sin x 1 x cos x + 1 sin x ln (sin x) 4 Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah 1 restart ; with ( LinearAlgebra ) ; 3 with (DETools) ; 4 f := csc ( x) ; 5 pdb:=d^() (y) (x)+4 y(x)=f ; 6 pk:=lambda^+4 = 0 ; Kode 10: PDB Orde- nonhomogen 7 ak:= solve (pk) ; akr := Re(ak [ 1 ] ) ; aki := Im(ak [ 1 ] ) ; 8 yh:=exp(akr x) ( c1 cos ( aki x)+c sin ( aki x) ) ; 9 y1:=cos ( aki x) ; y := sin ( aki x) ; 10 wron:=<<y1, d i f f (y1, x)> <y, d i f f (y, x)>>; 11 w:= simplify ( Determinant(wron) ) ; 1 u1:= ( int ( f y/w, x) ) ; 13 u:= int ( f y1/w, x) ; 14 yp:=u1 y1+u y ; 15 yt:= yh+yp ; 16 ye:= dsolve (pdb) ; Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan 17

19 output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual. LATIHAN Tentukan solusi umum dari PDB orde tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. y (t) 5y (t) + 6y(t) = exp t. y (t) + y (t) + y(t) = 3 exp ( t) 3. y (t) + y(t) = tan t 4. y (t) + 9y(t) = 9 sec 3t 18

20 5 Modul 5 : Sistem Persamaan Diferensial Biasa TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa mampu menentukan jenis kestabilan dari sistem PDB linier. Mahasiswa mampu menentukan solusi dari sistem persamaan diferensial dengan subtitusi 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan solusi sistem persamaan diferensial biasa dengan matriks fundamental. Materi : Sistem Persamaan Diferensial Linier 5.1 Sistem Persamaan Diferensial Linier Sistem persamaan diferensial linier adalah sekumpulan persamaan diferensial yang bersifat linier. Bentuk umum yang sering dijumpai adalah dx = ax + by (15) = cx + (16) dimana a, b, c, d adalah koefisien sedangkan x, y adalah variabel yang bergantung kepada variabel bebas t. Bentuk diatas seringkali juga dinyatakan dalam bentuk matriks persamaan diferensial, yaitu ( x ) ( ) ( ) (t) a b x(t) y = (t) c d y(t) atau yang kemudian ditulis dalam notasi matriks dan vektor sehingga x = A x (17) dengan x = (x(t) y(t)) T dan A = ( ) a b c d 5. Kestabilan berdasarkan Nilai Eigen Perhatikan bahwa sistem PDB linier dapat dituliskan dalam notasi matriks dan vektor. Kestabilan dari sistem ini dapat ditentukan dengan memeriksa nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen dari matriks A dapat ditentukan dengan persamaan a λ b det (A λi) = c d λ = 0 19

21 yang menghasilkan (λ a)(λ d) bc = 0 λ (a + d)λ + (ad bc) = 0 yang nilai λ dapat ditentukan dengan persamaan λ 1, = (a + d) ± (a + d) 4(ad bc) Berdasarkan nilai eigen matriks A, kestabilan sistem persamaan diferensial dapat ditentukan dengan kriteria sebagai berikut ini 1. Titik simpul Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda yang sama. Sistem stabil asimtotik jika akar negatif dan tidak stabil jika akar positif.. Titik pelana Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda berbeda. Sistem tidak stabil. 3. Titik bintang Jika nilai akar λ adalah bilangan real dan sama. Sistem stabil jika akar bertanda negatif dan tidak stabil jika bertanda positif. 4. Titik spiral Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner. Sistem stabil asimtotik jika bagian real dari akar bertanda negatif sedangkan sistem tidak stabil jika bagian real dari akar bertanda positif. 5. Titik pusat Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner murni. Sistem stabil namun tidak stabil asimtotik. KODE MAPLE restart : Kode untuk memulai block dokumen baru with(linearalgebra) : Package Maple untuk aljabar linier yang digunakan untuk menentukan nilai dan vektor eigen Matriks(,,[[a,b],[c,d]]) : Cara menulis matriks di Maple < <a,c> <b,d> > : Cara lain menulis matriks di Maple Eigenvalues(A) : Menentukan nilai eigen dari suatu matriks CONTOH Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial y = x + y dan x = x + y 1 restart ; with (DETools) ; 3 with ( LinearAlgebra ) ; Kode 11: Nilai Eigen 4 sys : = [ (D(y) ) ( t )= x( t ) y( t ), (D(x) ) ( t )=x( t ) y( t ) ] ; 5 A := Matrix (,, [ [, ], [ 1, 1 ] ] ) ; 6 B := <<,1> <,1>>; 0

22 7 Eigenvalues (A) ; 8 Eigenvalues (B) ; Pada output akan terlihat bahwa nilai eigen dari matriks A atau B adalah 0 dan 3 yang berarti sistem di atas tidak stabil. LATIHAN Tentukan nilai eigen dan jenis kestabilan sistem persamaan diferensial berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini x = x y = y. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini x = x + 3y z y = x y z z = y z 5.3 Solusi dengan Substitusi Pandang kembali sistem persamaan diferensial linier. Untuk mendapatkan solusi dengan substitusi, dilakukan dengan beberapa langkah berikut ini 1. Turunkan persamaan (??) sehingga diperoleh ẍ = aẋ + bẏ. Substitusikan persamaan (??) pada persamaan di atas menjadi ẍ = aẋ + b (cx + ) 3. Substitusikan persamaan (??) untuk mengganti variabel y sehingga diperoleh (ẋ ) ax ẍ = aẋ + cbx + bd ẍ (a + d)ẋ + (ad cb)x = 0 b yang merupakan PDB orde homogen 4. Solusi dari persamaan di atas disubstitusikan pada persamaan (??) yang selanjutnya menjadi PDB orde 1 yang dapat diselesaikan dengan faktor integrasi. CONTOH 1

23 Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial berikut ini dx : 3x : 8x + y Untuk menyelesaikan SPDL di atas, dapat dilakukan dengan metode substitusi 1. Turunkan persamaan pertama sehingga diperoleh y = 3x. Substitusikan persamaan kedua pada hasil langkah pertama sehingga diperoleh y = 3(8x + y) = 4x + 3y 3. Ganti variabel x menggunakan persamaan pertama pada sistem sehingga diperoleh y = 4x + 3y = 4(y /3) + 3y = 8y + 3y y 8y 3y = 0 yang merupakan PDB orde homogen yang solusinya dapat diselesaikan dengan persamaan karateristik λ 8λ 3 = 0 sehingga diperoleh dan solusinya adalah λ 1, = 8 ± y(t) = C 1 e C e Substitusi solusi y(t) pada persamaan kedua dalam sistem sehingga diperoleh PDB orde 1 dengan faktor integrasi x 8x = C 1 e C e 4 19 dengan faktor integrasi µ(t) = e 8t.

24 5. Menyelesaikan solusi untuk x(t) yaitu µ(x 8x) = µ (C ) 1 e C e 4 19 ( ) d(µx(t)) = µ C 1 e C e 4 19 ( ) d(µx(t)) = µ C 1 e C e 4 19 µx(t) = C 1 e (1+ 19)t + C e (1 19)t e (1+ 19)t = C C x(t) = C 1 e (4+ Jadi solusi akhir dari SPDL adalah 19)t e (1 19)t 1 19 e (4 19)t C 1 19 e (4+ 19)t x(t) = C C e (4 19)t 1 19 y(t) = C 1 e C e 4 19 Jika diselesaikan dengan mengunakan Maple, maka langkahnya adalah sebagai berikut ini 1 restart ; with (DETools) ; Kode 1: Sistem PDB Linier 3 sodes:= d i f f (y( t ), t )=3 x( t ), d i f f (x( t ), t )=8 x( t )+y( t ) ; 4 dsolve ( [ sodes ] ) ; 5 l0 :=sodes [ 1 ] ; 6 l1 := d i f f ( l0, t ) ; 7 l :=sodes [ ] ; 8 l3 :=subs ( l, l1 ) ; 9 l4 :=subs (x( t ) =(1/3) lhs ( l0 ), l3 ) ; 10 l5 :=dsolve ( l4 ) ; 11 l6 :=subs (y( t )=rhs ( l5 ), l ) ; 1 dsolve ( l6 ) ; LATIHAN Tentukan solusi dari SPDL berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. SPDL dengan variabel. SPDL dengan variabel dx dx = x + 3y = x y = x + y = x + y 3

25 3. SPDL dengan 3 peubah 4. SPDL dengan 3 peubah dx dz dx dz = x + 3y z = x y + z = x + y + z = x + y + z = x y z = y x + z 4