FOURIER Oktober 2013, Vol. 2, No. 2, PENYELESAIAN MASALAH NILAI BATAS PERSAMAAN DIFERENSIAL MATHIEU HILL

Transkripsi

1 FOURIER Oktober 3, Vol., No., 8 PENYELESAIAN MASALAH NILAI BAAS PERSAMAAN DIFERENSIAL MAHIEU HILL Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati 3,, 3 Program Studi Matematika, UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta santosa_bumen@yahoo.co.id Abstrak Berbagai masalah fisis dan geometri yang melibatkan a fungsi atau lebih peubah bebas sangat berkaitan dengan persamaan diferensial. Salah satu analisis fisis tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial. Ilmuwan matematika yang bernama George W. Hill dan Mathieu meneliti tentang getaran pada penlum gantung yang bisa dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Mathieu-Hill. Persamaan diferensial Mathieu-Hill adalah persamaan diferensial orde a yang didalam fungsi tersebut terdapat fungsi periodik. Persamaan diferensial Mathieu-Hill dapat diselesaikan dengan menggunakan metode aljabar matriks. Pada tahun 5 sudah diteliti tentang solusi dari persamaan diferensial Mathieu-Hill. Penelitian ini menjelaskan tentang penyelesaian masalah nilai batas pada persamaan diferensial Mathieu Hill yang akan manghasilkan suatu solusi dalam bentuk persamaan periodik. Untuk lebih memahami penyelesaian masalah nilai batas pada persamaan diferensial Mathieu-Hill diberikan salah satu contoh aplikasinya dalam menghitung getaran pada mesin lokomotif kereta yang dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Hill-Meissner. Kata kunci: Nilai batas, Diferensial Mathieu-Hill, Aljabar matriks, Diferensial Hill-Meissner.. PENDAHULUAN Berbagai masalah fisis yang melibatkan a fungsi atau lebih peubah bebas sangat berkaitan dengan persamaan diferensial. Masalah fisis yang paling sederhana dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa, sedangkan masalah fisis yang lebih komplek seperti mekanika fluida, teori elekromagnetik, dan sebagainya merupakan masalah-masalah fisis yang harus dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial. Salah satu analisis matematis dari masalah fisis tersebut dapat menghasilkan suatu persamaan diferensial yang dapat disederhanakan ke bentuk umum berikut, Fty () ; dengan ()

2 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati dan F ( t ) suatu fungsi periodik bernilai tunggal, dengan periode pokok. Persamaan () disebut persamaan diferensial Mathieu-Hill [] (Pipes, 99 : 9). Persamaan Mathieu-Hill ini ditemukan oleh ilmuwan yang bernama Mathieu dan George W. Hill. Woro Raharjanti [] sudah meneliti tentang penyelesaian persamaan diferensial Mathieu-Hill, dalam penelitiannya Woro Raharjanti sudah menuliskan gambaran umum persamaan umum diferensial Mathieu-Hill beserta solusinya. Penulis tertarik untuk melanjutkan penelitian tersebut dengan menambahkan persamaan syarat batas pada persamaan diferensial Mathieu-Hill. Penulis menambahkan persamaan syarat batas bertujuan untuk menghilangkan konstanta pada penyelesaian umum persamaan diferensial Mathieu- Hill. Suatu persamaan diferensial bersama dengan kondisi-kondisi tambahan terhadap fungsi yang dicari dan turunannya, yang semuanya diberikan pada nilai ariabel bebas yang sama maka disebut permasalahan diferensial dengan nilai awal. Jika kondisi-kondisi tambahan diberikan untuk lebih dari satu nilai ariabel bebas maka disebut permasalahan diferensial dengan nilai batas. Penelitian ini akan menyajikan langkah-langkah penyelesaian persamaan () yang terikat oleh syarat-syarat nilai batas yang ditentukan. Penyelesaian persamaan diferensial akan lebih mudah dan cepat apabila digunakan suatu alat bantu seperti komputer. Saat ini perkembangan perangkat lunak komputer yang berbasis matematika sangatlah pesat. Hal ini terbukti dengan munculnya perangkat lunak yang dapat digunakan untuk kepentingan pengembangan matematika maupun penerapannya. Salah satu perangkat lunak yang dikembangkan untuk kepentingan Sistem Komputer Aljabar (Computer Algebaric System) adalah Maple. Maple banyak digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika, karena Maple merupakan perangkat lunak yang lengkap dan komunikatif pada jenisnya.

3 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill Permasalahan yang dapat diselesaikan dengan Maple merupakan permasalahan matematika murni, seperti aljabar, geometri, kalkulus, matematika diskret, dan statistika. Dengan kemajuan teknologi tersebut penulis tertarik untuk menggunakan Maple dalam menghitung masalah nilai batas pada persamaan diferensial Mathieu-Hill.. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL MAHIEU - HILL Diberikan persamaan diferensial Mathieu-Hill Fty () () pada selang apabila dinyatakan dalam nilai-nilai awal untuk dan dy. Akan ditunjukan bahwa solusi dari persamaan () adalah dengan A dan B adalah suatu konstanta. Bentuk umum persamaan diferensial homogen orde kea adalah dy a b cy, (4) dari persamaan () diperoleh a, b, dan c F() t. Misal akar-akar dari persamaan () adalah t dan t t i F() t dan t i F() t Sehingga solusi umumnya adalah: y cc cos Ftt ( ) c c isin Ftt ( ) misal: A ic c dan B c c. Jadi penyelesaian dari persamaan (3.) adalah sehingga: (3) 3

4 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati dy Fungsi y() t dan t () dapat ditulis dalam bentuk: (5) Misal:, sehingga yt () Asinut Bcosut (6) t () A cosut B sinut (7) Persamaan (6) dan (7) bisa dituliskan dalam bentuk matriks: yt () t () sin ut cosut cosut sin ut A B (8) Dari persamaan (8) dimisalkan: sin ut cosut w cosut sin ut (9) Determinan Wronskian dari persamaan tersebut adalah suatu tetapan pada selang pokok yaitu: sin ut cosut w cosut sin ut = Jelas dan adalah a solusi bebas linear karena jadi matriks (9) mempunyai iners. Sehingga iners dari matriks (9) adalah w sin ut cos ut cosut sin ut () 4

5 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill Pada nilai dan dinotasikan sebagai dan. Dengan demikian persamaan (8) menjadi: y A B sehingga diperoleh A B y () Substitusi A B pada persamaan () ke persamaan (8) y t cosut sin ut sin ut cosut y () Pada akhir periode persamaan () berubah menjadi: y cosu sin u sin u cosu y (3) Pada akhir periode kea dari perubahan Ft ( ) diperoleh sin u cosu y y sin u cosu Demikian juga dapat dilihat pada akhir periode ke-n, berlaku 5

6 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati sin u cosu y y. n sin u cosu n Perhatikan persamaan (), jika dilakukan perubahan ariabel dengan bentuk t n, dengan dan n,,,3,... maka diperoleh F( ) y d dengan Fn ( ) F( ). Selanjutnya penyelesaian dalam selang ke n + diperoleh y n cosu sin u sin u y cosu n (4) Persamaan (4) merupakan penyelesaian persamaan Mathieu-Hill pada sembarang waktu yang dinyatakan dalam syarat-syarat awal dan a penyelesaian bebas linear persamaan hill dalam selang pokok 3. PENYELESAIAN MASALAH NILAI BAAS PERSAMAAN DIFERENSIAL MAHIEU-HILL Berikut ini akan dibahas solusi dari persamaan diferensial Mathieu-Hill jika diberikan nilai batasnya. Diketahui persamaan diferensial Mathieu-Hill sebagai berikut. dengan: Fty (), dengan t y = sumbu ertikal 6

7 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill F(t) t = fungsi periodik terhadap t = waktu Penyelesaian umum dari persamaan Mathieu-Hill adalah yt Asin Ftt ( ) Bcos Ftt ( ) Dengan memisalkan u F() t, diperoleh persamaan (6) dan (7). Diberikan masalah nilai batas dy ay () b () (5a) dy ay ( ) b ( ). (5b) Saat (6a) dy ( ) A cosu B sinu (6b) Substitusi persamaan (6) ke (5), diperoleh (7a) (7b) untuk menyelesaikan persamaan (7) gunakan integral. Dari persamaan () kita rubah ke bentuk persamaan: Ly [ ] [ y']' dy dengan y '. d dw Diberikan dan w adalah kontinu pada t dan ', w' sehingga: 7

8 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati Lw [ ] Lw [ ] [ '() t wt () t () w'()] t (8) Ambil persamaan sebelah kanan dengan mengasumsikan b dan b pada persamaan (5) maka persamaan (8) menjadi: [ '() t w() t () t w'()] t. dari persamaan (8) diperoleh: { Lw [ ] Lw [ ]} dan wadalah fungsi real yang didefinisikan sebagai inner prok dengan interal, jadi dipunyai (, w) twt () () t Jika m dan w maka diperoleh n y ( x) ( x) dx m n mn dengan, jika m mn {, jika m Dari persamaan (7) diambil: (9) () ( ) dari persamaan () substitusi ke persamaan () diperoleh y(t) () 8

9 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill jika maka dan sebaliknya jika maka y(t). Jadi diperoleh :. (3) Karena penyelesaian umum dari persamaan diferensial Mathieu-Hill berbentuk tunggal maka y ( yt ( )) (4) Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (4) ( A A ) cos ut (5) Substitusi persamaan (5) ke persamaan (3) sinut yt (). cosut (6) Selanjutnya penyelesaian dalam selang ke n diperoleh ( n ) ( A A ) n n cos ut (7) Substitusi persamaan (7) ke persamaan (3), diperoleh ( n ) sin ut yt (). n n cosut (8) Jadi solusi dari persamaan diferensial Mathieu-Hill pada interal t dengan nilai batas 9

10 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati dy ay () b () dy ay ( ) b ( ) adalah ( n ) sin ut yt () n n cosut (9) dengan n,,3, Aplikasi Masalah Nilai Batas pada Persamaan Diferensial Hill-Meissner Salah satu contoh penggunaan diferensial Mathieu-Hill dalam kehipan sehari - hari adalah menghitung getaran dalam mesin lokomotif kereta yang bisa dimodelkan dalam persamaan diferensial Hill-Messiner (Gambar.). Gambar. Mesin Lokomotif

11 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill Getaran pada mesin lokomotif dapat digambarkan dalam penlum sederhana seperti Gambar. y m g l x y Gambar. Penlum Keterangan : y sumbu ertikal x sumbu horisontal sut simpangan l panjang tali m massa benda g graitasi Dengan langkah yang sama untuk mencari persamaan (.8) maka diperoleh dengan ( cos t) y mla ml g,, I Iw A amplitude dan I momen inersia. Misalkan Ft () cost, maka diperoleh persamaan diferensial Hill-Meissner sebagai berikut: ( Ft ( )) y Persaamaan Hill-Meissner dirumuskan sebagai berikut: ( Ft ( )) y (3)

12 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati dan syarat batas: y () y ( ) (3) dy dy () ( ) dx dx (3) dengan adalah periode dan,t F ( t ) { Ft ( ) Ft ( ), t sehingga persamaan (3) menjadi: ( ) y ; ( ) y ; t t. (33) (34) Solusi dari persamaan (33) dan (34) untuk dan adalah y ( ) sin cos t ; t (35) y ( ) sin cos t ; t (36) sedangkan untuk dan solusinya adalah y ( ) sin cos t ; t (37) y ( ) exp( ) exp( t ); t (38) Berikut grafik persamaan Hill-Meissner F(t) π π t - Gambar 3. Grafik periodik persamaan Hill-Meissner

13 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill Untuk mencari α dan β fungsi y () t dan y () t diturunkan terlebih dahulu, untuk dan diperoleh: ( ) A cos dx t B sin t ; (39) dy ( t) C cos dx td sin t; (4) Substitusikan persamaan (35), (36), (39), dan (4) ke persamaan (3) dan (3) sehingga diperoleh: BCsin ( ) Dcos ( ) (4) A ( ) C ( )cos ( ) D ( )cos ( ) (4) dy dy Pada saat y() y( ) dan () ( ) dx dx ( ) ( ) ( ) ( ) Asin Bcos Csin Dcos (43) ( ) ( ) ( ) A ( )cos B ( )sin C ( )cos ( ) D ( )sin (44) Susun persamaan (4), (4), (43), dan (44) menjadi matriks. Diperoleh bentuk berikut: sin cos cos sin A B (45) sin cos sin cos C D cos sin cos sin Sistem (45) mempunyai penyelesaian nontriial jika dan hanya jika determinannya adalah nol, sehingga 3

14 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin (46) Jika maka akan diperoleh. Saat dan diperoleh persamaan: exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) A B sin cos exp( ) exp( ) C D cos sin exp( ) exp( ) (47) Determinannya adalah exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) sin cos exp( ) exp( ) cos sin exp( ) exp( ) (48) Jika maka akan diperoleh,5, jadi diperoleh,, dan.5 Substitusikan nilai dan ke persamaan (37) dan (38), diperoleh y( t) Asin t Bcos t; t (49) 4

15 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill.5.5 y( t) Asin tbcos t; Jadi solusi umum dari persaman (3) adalah t. (5),5,5 y() t Asin t Bcos t; (5) Gunakan persamaan (6) untuk menyelesaiakan persamaan t, yt () pada interal sin yt () cos,5 t,5 t,5 cos t sin 5 5 Jadi penyelesaian untuk persamaan yt () pada batas t adalah: 3 sin t yt () sin 5 5 (5) 3. Visualisasi grafik persamaan Differensial Hill-Meissner Berikut akan ditampilkan grafik dari persamaan diferensial Hill-Meissner, karena fungsi dari persaamaan (4.3) sangat rumit untuk digambarkan maka penulis menggunakan aplikasi Program Maple sehingga akan lebih mudah untuk menggambarnya. Inputkan persamaan (4.3) pada Program Maple, kemudian masukan batas-batasnya maka diperoleh hasil sebagai berikut: > 5

16 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati > > Gambar 4. Grafik masalah nilai batas pada diferensial Hill-Meissner Dari Gambar 4 bisa disimpulkan bahwa persamaan diferensial Hill-Meissner memiliki:. Panjang gelombang ( ) sebesar π. Amplitudo (A) sebesar satuan 3. Periode ( ) sebesar π 6

17 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill 4. Frekuensi gelombang ( f ) sebesar. 3. KESIMPULAN Dari hasil pembahasan pada penelitian ini, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut:. Bentuk persamaan Mathieu-Hill adalah Fty () pada interal t dx. Dengan metode matriks diperoleh penyelesaian persamaan diferensial Mathieu-Hill pada dy sembarang t > yang dinyatakan dalam nilai awal untuk y( t) dan () t () t dengan a penyelesaian bebas linear dan u F() t adalah: Pada saat t = sin ut cosut y y t sin ut cosut Pada saat t = sin u cosu y y sin u cosu Demikian juga dapat dilihat pada akhir periode ke-n, berlaku sin u cosu y y. n sin u cosu n. Penyelesaian masalah nilai batas diferensial Mathieu-Hill dengan batas ay () b dy ( ) ay () b dy ( ) 7

18 Santosa, M. Wakhid Musthofa, & Malahayati adalah sinut yt (). cosut Penginterpretasian hasil output dari program Maple identik dengan penyelesaian dengan penghitungan manual. Namun penghitungan dengan manggunakan Maple akan lebih akurat dan lebih mudah dalam menggambar grafik penyelesaiaannya. 4. Daftar Pustaka [] Pipes, Louis A. 99. Matematika erapan: untuk Para Insinyur dan Fisikawan. Yogyakarta: Gajah Mada Uniersity Press. Rochmad. [] Raharjanti,Woro. 7. Penyelesaian Persamaan Diferensial Jenis Mathieu-Hill. Semarang: UNES. 8