PIRAMIDA PASCAL: SUATU PENGEMBANGAN SEGITIGA PASCAL
|
|
|
- Susanti Gunawan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PIRAMIDA PASCAL: SUATU PENGEMBANGAN SEGITIGA PASCAL I Waya Pua Astawa SMKN Abag, Kab. Kaagasem, Bali Abstact. The ability to expad ad geealize is oe of the most impotat facilities a teache ca help a studet develop. I this aticles, the familia applicatio of Pascal s tiagle to detemie the coefficiets of a biomial expasio (a + b) is develoved by the use of Pascal s pyamid to coside the coefficiets of a tiomial expasio (a + b + c), kwatoomial expasio (a + b + c + d), utill poliomial expasio. Wheeas a biomial expasio ca be epeseted by a eadily visible tiagle, tiomial expasio, kwatoomial expasio util poliomial expasio ae epeseted by the moe complex pyamid. Thee is a uique elatioships betwee Pascal s tiagle ad Pascal s pyamid. The geeal fomula of (a + b) called biomial theoem also could be used to detemie the fomula of tiomial expasio, kwatoomial expasio, util poliomial expasio. Keywod. biomial s teoem, kwatoomial, pascal's tiagle, pascal's pyamid, polyomial, tiomial,. Pedahulua Pada tahu 9 Blaise Pascal meebitka buku yag beudul Taité du Tiagle Aithmétique da di dalamya tedapat susua bilaga yag kemudia dikeal dega segitiga Pascal. Meski dikeal dega ama Pascal, teyata segitiga Pascal telah dikeal di Cia sebelum tahu sepeti oleh Al-Kaai (95 9), Oma Khayyam (8 ), Jia Xia ( 7) da Yig Hui (8 9). Segitiga Pascal meupaka koefisiekoefisie biomial atau betuk alaba besuku dua yag tesusu dalam betuk segitiga. Koefisie biomial dapat diyataka dega megguaka kombiasi da alaba. Dega kombiasi, koefisie biomial dilambagka dega. Betuk meyataka bayak caa membuat himpua bagia dega eleme dai suatu himpua dega eleme. Secaa alaba, koefisie biomial meupaka koefisie suku a b pada ekspasi betuk alaba dua suku (a + b) utuk bilaga cacah. Dimulai dega. Setiap bais beikutya mulai da beakhi dega. Bilaga laiya dipeoleh dega meambahka dua suku tedekat dai bais di atasya. (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b)
2 Sebagai cotoh, utuk meetuka (a + b) guaka koefesie-koefesie pada bais ke-5 sehigga: (a + b) = a + a b + a b + ab + b atau (a + b) = a + a b + a b + ab + b. Dega megguaka otasi sigma, ekspasi biomial (a + b) dapat dituliska dalam betuk: (a b) a b... () dimaa a, b bilaga eal, bilaga cacah da koefesie biomial dai suku ke- +. Dalam pembelaaa matematika, kemampua utuk meabaka da membuat geealisasi sagat petig bagi guu dalam membatu siswa megembagka kemampua matematik. Peeapa segitiga Pascal utuk meetuka ekspasi (a + b) sudah dipelaai seak pedidika meegah. Yag meadi petayaa adalah bagaimaa kalau suku betuk alaba tesebut ditambah? Misalya (a + b + c), (a + b + c + d), da seteusya sampai betuk alaba buah suku. Dalam koteks ii, segitiga Pascal masih bisa diguaka walaupu haus melalui bebeapa tahapa opeasi alaba. Oleh kaea itu, pada atikel ii aka diselidiki susua koefesie-koefesie da umus dai ekspasi tiomial (a + b + c).. Metoda Peulisa Atikel ii meupaka hasil kaia pustaka/hasil pemikia dalam upaya utuk meggali da megembagka pegetahua matematika yag sudah ada. Hasil pegembaga ii dihaapka dapat mempekaya teoi/matei matematika, yag atiya dapat diguaka utuk memecahka masalah yag mucul baik dalam matematika maupu dalam ilmu laiya yag memeluka batua matematika.. Hasil da Pembahasa a. Piamida Pascal Segitiga pascal meupaka susua bilaga-bilaga yag meupaka koefesie-koefesie biomial dai ekspasi dua suku, misalya sukusukuya a da b. Bagaimaa ika tedii dai suku yaitu a, b da c atau (a + b + c). Utuk itu aka dicoba meguaika (a + b + c) utuk pagkat kecil dega megguaka fomula segitiga pascal, sebagai beikut. Utuk =,,, da betuuttuut dipeoleh (a + b + c) =, (a + b + c) = a + b + c, (a + b + c) = a + ab + ac + b + bc + c, (a + b + c) = a + a b + a c + ab + abc + ac + b + b c + bc + c, (a + b + c) = a + a b + a c + a b + a bc + a c + ab + ab c + abc + ac + b + b c + b c + bc + c. Dai cotoh uaia di atas, telihat bahwa umlah suku-suku dai uaia (a + b + c) dimaa =,,,,, betuut-tuut adalah,,,, 5, yag meupaka bilaga segitiga. Ekspasi petama: (a + b + c) mempuyai koefesie tuggal yaitu. Ekspasi kedua: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + b + c yag diwakili oleh segitiga lapis petama dega agka-agka haya pada titik-titik sudutya. Ekspasi ketiga: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + ab + ac + b + bc + c yag dapat disusu dalam segitiga lapis kedua, yaitu
3 Ekspasi keempat: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + a b + a c + ab + abc + ac + b + b c + bc + c yag dapat disusu dalam segitiga lapis ketiga, yaitu Ekspasi kelima: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + a b + a c + a b + a bc + a c + ab + ab c + abc + ac + b + b c + b c + bc + c yag dapat disusu dalam segitiga lapis keempat, yaitu Jadi susua koefesie-koefesie dai ekspasi tiomial (a + b + c) membetuk lapisa segitiga dimaa agka pada setiap sisiya sama da meupaka koefesie-koefesie dai ekspasi (a + b) seta bilaga pada setiap titik sudutya. Jika masigmasig titik sudut lapisa segitiga tesebut dihubugka maka aka bebetuk piamida sepeti dituukka gamba. (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) da seteusya Gamba. Piamida Pascal utuk Ekspasi Tiomial Kostuksi bilaga-bilaga di atas meupaka pegembaga dai segitiga pascal, sehigga kostuksi koefesie-koefesie dai uaia (a + b + c) tesebut dikeal dega Piamida Pascal (Posametie, 99: ). ) Hubuga ataa Segitiga Pascal da Piamida Pascal Di dalam piamida Pascal tampak bahwa bilaga-bilaga pada setiap sisi segitiga meupaka bilagabilaga bais besesuaia dai segitiga Pascal. Misalya bilagabilaga pada tiap sisi dai (a + b + c) adalah sama dega bilaga-bilaga bais ke-5 dalam segitiga pascal. Hubuga ii meupaka petuuk utuk meetuka metode dalam meuuka piamida pascal, yaitu sebagai beikut. Misalka bilaga-bilaga pada setiap sisi dai ekspasi tiomial (a + b + c) diwakili oleh bilagabilaga pada bais yag besesuaia dai segitiga Pascal. Buatlah segitiga Pascal sampai bilaga bais ke-+. Kemudia kalikalah bilagabilaga tiap bais dai segitiga Pascal dega bilaga-bilaga
4 pada bais teakhi secaa beuuta. Hasil ii meuukka koefesiekoefesie dai ekspasi tiomial yag dicai. Sebagai cotoh, meetuka koefesie dai (a + b + c). Bilaga-bilaga pada sisi tepi dai (a + b + c) adalah. Bilaga ii meupaka bilaga bais ke-5 dai segitiga Pascal yag meupaka koefesie dai ekspasi (a + b). bilaga bais ke-5 dai segitiga Pascal Tabel. Meetuka koefesie dai (a + b + c) Segitiga Pascal sampai bais ke-5 Koefesie dai ekspasi (a + b + c) ) Peeapa Piamida Pascal Utuk Ekspasi Tiomial (a + b + c) Lagkah-lagkah meguaika (a + b + c) adalah: ) meetuka susua koefesie-koefesie (segitiga) megguaka piamida pascal da ) megguaka koefesie-koefesie itu utuk meetuka ekspasi dai (a + b + c) meuut suku-sukuya, dega atua sebagai beikut.. Bilaga bais ke- dai segitiga adalah koefesie dai a dega pagkat tetiggi dai ekspasi (a + b + c).. Bilaga-bilaga pada setiap bais meupaka koefesiekoefesie dai pekalia ataa vaiabel a dega pagkat tuu tigkat dai bais sebelumya da vaiabel lai dega pagkat aik tigkat dai bais sebelumya sehigga deaat tiap suku sama dega.. Dalam bais pagkat a tetap sedagka pagkat b tuu tigkat dai kii ke kaa da pagkat c aik tigkat. Pehatika atua segitiga pada gamba! (a b c ) a,b,c a,b,c a,b,c Keteaga: a,b,c : pagkat (a,b,c) tuu a,b,c : pagkat (a,b,c) tetap a,b,c : pagkat (a,b,c) aik (a b c ) (a b c ) Gamba. Ilustasi Atua Pegguaa Piamida Pascal ) Rumus Umum dai Ekspasi Tiomial (a + b + c) Sebelum membahas umus umum utuk ekspasi (a + b + c), aka
5 5 diuaika kembali megeai piamida Pascal yag dikembagka dai segitiga Pascal. Dega megguaka otasi kombiasi maka segitiga Pascal dapat dituliska sebagai beikut.... Susua koefesie-koefesie dai ekspasi tiomial (a + b + c) pada piamida Pascal dipeoleh dega caa sebagai beikut.... Dega megguaka atua tesebut, maka fomula umum utuk ekspasi (a + b + c) dapat ditetuka sebagai beikut. (a + b + c) = [ a ] + [ a - b + a c] + [ a -b + a - bc + a -c ] + + [ a - b + a - b - c + a - b - c + + a - b - c + + a - c ] + + [ a b - + a b - c + + abc - + ac - ] + [ b + b -c + b -c + + bc - + c ] Betuk umum suku-suku dai ekspasi (a + b + c) yag koefesiekoefesieya bais ke-+ adalah:
6 [ a - b + a - b - c + a - b - c + + a - b - c + + a - c ] atau a b c Dega demikia ekspasi (a + b + c) dapat ditulis secaa sigkat sebagai beikut. (a + b + c) = [ a ] + a b c + a b c + + a - b - c + + a b - - c + b - c atau (a + b + c) = a - b - c = a - b - c Jadi umus umum dai ekspasi tiomial (a + b + c) adalah sepeti dituukka umus. (a + b + c) = a - b - c... () b. Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c + d) Pada pembahasa sebelumya, telihat bahwa segitiga pascal dapat dikembagka dalam meetuka kofiguasi koefesie-koefesie dai ekspasi (a + b + c) yag dikeal Piamida Pascal. Selautya, apakah metode tesebut dapat dikembagka utuk ekspasi poliomial (a + b + c + d), (a + b + c + d + e) da seteusya. Oleh kaea itu, aka diselidiki dulu fomula dai ekspasi (a + b + c + d) sebagai beikut. Petama, ekspasi (a + b + c + d) meghasilka koefesie tuggal yaitu Kedua, ekspasi (a + b + c + d) memiliki koefesie-koefesie : a + b + c + d yag diwakili oleh piamida dega eleme pada tiap titik sudutya. Ketiga, ekspasi (a + b + c + d) memiliki koefesie-koefesie : a + ab + ac + ad + b + bc + bd + c + cd + d yag diwakili oleh piamida dega kofiguasi sebagai beikut. Telihat bahwa koefesie-koefesie pada tiap usuk sama, yaitu yag meupaka bais ke- dai segitiga pascal da koefesiekoefesie pada tiap bidag piamida uga sama: yag meupaka bilaga segitiga bais ke- dai piamida pascal. Lagkah-lagkah meetuka kofiguasi koefesie dai ekspasi (a + b + c + d), pada dasaya sama dega lagkah-lagkah meetuka kofiguasi koefesie dai ekspasi tiomial.
7 Cotoh ekspasi (a + b + c + d). Koefesie-koefesie tiap usuk piamida uit utuk ekspasi (a + b + c + d) adalah yag meupaka bais ke-5 dai segitiga pascal.. Piamida uit utuk ekspasi (a + b + c + d) dibetuk dai piamida pascal utuk ekspasi (a + b + c) dega koefesiekoefesie pada segitiga alas adalah koefesie dai ekspasi (a + b + c), yaitu:. Kalikalah koefesie-koefesie pada tiap segitiga uit dai piamida pascal secaa betuuta dega: sehigga dipeoleh piamida uit utuk ekspasi (a + b + c). Hubuga ataa segitiga Pascal da piamida Pascal dituukka oleh gamba. x xx x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx xx Caa I Caa II Gamba. Meetuka Koefesie dai ekspasi (a + b + c + d) 7
8 ) Atua Pegguaa Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c + d). Atua dai pegguaa piamida pascal utuk ekspasi (a + b + c + d) dapat diuaika sebagai beikut. a) Bilaga petama (pucak piamida) adalah koefesie dai a dega pagkat tetiggi, yaitu, b) Bilaga-bilaga pada lapis ke- adalah koefesie-koefesie dai pekalia ataa a dega pagkat tuu tigkat dai lapis sebelumya da vaiabel lai b, c da d sedemikia sehigga deaat tiap suku = (pagkat a + pagkat b + pagkat c + pagkat d = ), c) Pada segitiga lapis ke-, bilaga petama (pucak) dai segitiga lapis ke- adalah koefesiekoefesie dai pekalia ataa a dega pagkat - da vaiabel b dega pagkat, sedagka koefesie pada bais ke- dai lapis ke- adalah koefesiekoefesie dai pekalia ataa vaiabel a dega pagkat tetap (-) dai suku sebelumya da vaiabel b dega pagkat tuu tigkat dai sebelumya seta vaiabel c dega pagkat aik tigkat dai sebelumya. Catata: - Dalam bais pagkat a tetap da pagkat b tetap dai suku sebelumya, pagkat c tuu seta pagkat d aik tigkat dai suku sebelumya sedemikia sehigga deaat tiap suku = - dalam lapis pagkat dai a sama. a b c d a,b c,d a,b c,d a - b c d a,b c,d a - b c d a - b c d a b c d a b c d a b c d a,b a,b a,b c,d c,d c,d Gamba. Atua utuk Meetuka Ekspasi (a + b + c + d) ) Fomula Umum dai Ekspasi (a + b + c + d). Utuk meetuka fomula umum dai ekspasi (a + b + c + d) aka ditiau kembali poses yag diuaika sebelumya, yaitu ) meetuka kofiguasi koefesiekoefesieya da ) megguaka koefesie-koefesie tesebut utuk ekspasi (a + b + c + d). Dega megguaka kombiasi maka kofiguasi koefesie-koefesie dai 8
9 9 ekspasi (a + b + c + d) dapat ditulis sebagai beikut. Dega megguaka atua tesebut maka fomula umum dai ekspasi (a + b + c + d) dapat diumuska sebagai beikut. (a + b + c + d) = [ a ] + [ a - b + ( a c + a - d) + [ a -b + ( a -bc + a bd) + ( a - c + a -cd + a - d )] + + [ a - b + ( a - b - c + a - b - d ) + ( a - b - c + a - b - cd + a - b - d ) + + ( a - b - c + a - b - c d + a - b - c d + + m - - m
10 a - b - c m d m + + a - b - c d + a - b - d ) + + ( a - c + a - c d + a - c d + + a - c d + + a - c d + a - d )] + + [ b + ( b -c + b -d ) + ( b -c + b -cd + b - d ) + + ( b c + b c d + b c d + + b c d + + b - d ) + ( c + c d + c d + + c d + + d )] Betuk umum suku-suku dega koefesie-koefesie pada segitiga lapis ke- dai piamida Pascal dapat ditulis sebagai beikut. Suku-suku pada segitiga ke- = [ a - b + ( a - b - c + a - b - d ) + ( a - b - c + a - b - cd + a - b - d ) + + ( a - b - c + a - b - c d + a - b - c d + + a - b - m c m d m + + a - b - c d + a - b - d ) + + ( a - c + a - c d + a - c d + + a - c d + + a - c d + a - d )] Atau Suku-suku pada segitiga ke- = a b c m d m mm = a m b c m d m m Kaea begeak dai maka umus umum utuk ekpasi (a + b + c + d) sepeti dituukka umus. (a + b + c + d) = = a b m c m d m m. () c. Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c + d + e) Betuk geometi dai kofiguasi koefesie-koefesie dai ekspasi 5 suku dapat dilihat pada lampia, yag meupaka pegembaga dai segitiga pascal uga. Dega demikia kofiguasi koefesiekoefesie dai ekspasi dega suku, suku, da 5 suku atau lebih dapat diwakili oleh bilagabilaga yag membetuk piamida pascal. Dega bepedoma pada fomula umum dai ekspasi suku, da suku maka fomula/umus umum dai ekspasi 5 suku dapat ditulis sepeti dituukka umus.
11 (a + b + c + d + e) = a b m m m c m m d m s e s s s. () d. Ekspasi Poliomial (a + a + a + + a k ) Dega megacu pada metode yag telah diuaika sebelumya, maka umus umum utuk ekspasi polyomial dega k suku yag bebeda dapat ditetuka. Misalka suku-suku tesebut: a, a, a,, a k dega k bilaga asli, bilaga cacah, maka umus umum dai ekspasi poliomial dituukka oleh umus 5. (a +a +a + +a k) = a a a i i a i i i i i k k a k k k k a k k k. (5) utuk i =,,,, k-, k bilaga asli da bilaga cacah. Simpula da Saa Bedasaka uaia pada pembahasa, maka betuk umum dai ekspasi polyomial dapat disedehaaka sebagai beikut. Tabel. Ragkuma Hasil Pegembaga Bayak Betuk Betuk Fomula/Rumus umum suku ekspasi Geometis (a + b) Segitiga Pascal (lampia ) a -k b k k k (a+b+c) Piamida Pascal a b c (lampia ) (a+b+c+d) Piamida Pascal a b deivatif (lampia ) c m d m mm 5 (a+b+c+d+e) Piamida Pascal deivatif (lampia ) a b m m c m m m d m s e s s s k (a +a +a + + Piamida a k) Pascal a (k-) deivatif a a i i a i i i i i k k a k k k k a k k k
12 DAFTAR PUSTAKA Naga, Dali S. 98. Behitug Seaah da Pegembagaya. Jakata: PT Gamedia. Posametie, Alfed S. da Jay Stepelme. 99. Teachig Secoday School Mathematics Techiques ad Eichmet Uits Thid Editio. Meil Publishig Compay Columbus. Tetag Peulis: I Waya Pua Astawa. Lahi di Selumbug taggal Jauai 98. Pedidika yag peah ditempuh S Pedidika Matematika IKIP Negei Sigaaa da S Pedidika matematika di Pascasaaa Udiksha Sigaaa. Betugas di SMK Negei Abag, Kaagasem, Bali seak tahu sampai sekaag. Aktif sebagai ketua MGMP Matematika Kabupate Kaagasem.
13 Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b) = = = = =
14 Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c) = = = = =
15 Piamida Pascal Deevatif utuk Ekspasi (a + b + c + d) = = = = = 5
16 Piamida Pascal Deevatif utuk Ekspasi (a + b + c + d + e) = = = = =
Deret Bolak-balik (Alternating Series) Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,
Deet Bolak-balik Alteatig Seies Deet bolak-balik adalah deet yag suku-sukuya begati tada. Sebagai cotoh, + 4 + + + Deet bolak-balik beikut: = + a, dega a positif, kovege jika memeuhi dua syaat i. Setiap
4. KOMBINATORIKA ... S 1. S n S 2. Gambar 4.1
4. KOMBINATORIKA 4. Atua Utuk Suatu Peistiwa Evet sesuatu yag tejadi. Jika peistiwa A dapat tejadi dalam m caa da peistiwa B dapat tejadi dalam N caa, maka tedapat (m, ) caa kedua peistiwa tejadi besama-sama.
TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar, istilah istilah dan definisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dibeika bebeapa kosep dasa, istilah istilah da defiisi yag eat kaitaya dega masalah yag haus dibahas yaitu megeai bayakya caa megkostuksi Dyck path dega pajag k upstokes
Menentukan Pembagi Bersama Terbesar dengan Algoritma
Meetuka Pembagi Besama Tebesa dega Algoitma Macelius Hey M. (135108) Pogam Studi Tekik Ifomatika Sekolah Tekik Elekto da Ifomatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha 10 Badug 4013, Idoesia 135108@std.stei.itb.ac.id
ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
PELUANG. Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC = 12 kemungkinan. Prinsip/kaidah perkalian:
isip/kaidah pekalia: ELUANG Jika posisi /tempat petama dapat diisi dega caa yag bebeda, tempat kedua dega caa, da seteusya, sehigga lagkah ke ada caa maka bayakya caa utuk megisi tempat yag tesedia adalah
UNIVERSITAS GUNADARMA POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN BAHAN AJAR. Oleh : Muhammad Imron H. Modul Barisan dan Deret Hal. 1
BAHAN AJAR POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN Oleh : Muhammad Imo H 0 Modul Baisa da Deet Hal. BARISAN DAN DERET A. POLA BILANGAN. Pegetia Baisa Bilaga Baisa bilaga adalah uuta bilaga-bilaga dega atua tetetu.
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
p q r sesuai sifat operasi hitung bentuk pangkat
Adi Nuhidayat, S.Pd PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMK KELOMPOK PARIWISATA, SENI DAN KERAJINAN, TEKNOLOGI KERUMAHTANGGAAN, PEKERJAAN SOSIAL, DAN ADMINISTRASI PERKANTORAN TAHUN PELAJARAN
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
BAB X. PELUANG. Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC = 12 kemungkinan. Prinsip/kaidah perkalian:
isip/kaidah pekalia: BAB X. ELUANG Jika posisi /tempat petama dapat diisi dega caa yag bebeda, tempat kedua dea caa, da seteusya, sehigga lagkah ke ada caa maka bayakya caa utuk megisi tempat yag tesedia
BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur
EKSISTENSI INVERS GRUP DARI MATRIKS BLOK. Mahasiswa Program S1 Matematika 2
ESSTENS NVERS GRU DR TRS LO Riaa Wedya Rola ae usaii ahasiswa ogam S atematika Dose Juusa atematika Fakultas atematika da lmu egetahua lam ampus iawidya ekabau 89 doesia email: iaa_wedya@yahoocom STRCT
BARISAN DAN DERET. a = suku pertama (U 1 ) n = banyaknya suku b = beda/selisih = U 2 U 1 = U 3 U 2
www.plusido.wodpess.com BARIAN DAN DERET A. Baisa Baisa adalah uuta bilaga yag memiliki atua tetetu. etiap bilaga pada baisa disebut suku baisa yag dipisahka dega lambag, (koma). Betuk umum baisa:,,,,
BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Solusi Pengayaan Matematika
Solusi Pegayaa Matematika Edisi 11 Maret Peka Ke-, 2007 Nomor Soal: 101-110 101. Bilaga desimal 0,7777 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai a b, dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A.
Pemetaan Linear Yang Mengawetkan Invers Drazin Matriks Atas Lapangan
Pemetaa Liea Yag Megawetka Ives azi Matiks Atas Lapaga ibeika matiks x atas lapaga Sutopo Juusa Matematika Fakultas Matematika da Pegetahua Alam Uivesitas Gadjah Mada sutopo_mipa@ugm.ac.id Abstact F lapaga
BAB X. PELUANG. Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC = 12 kemungkinan. Prinsip/kaidah perkalian:
isip/kaidah pekalia: BAB X. ELUANG Jika posisi /tempat petama dapat diisi dega caa yag bebeda, tempat kedua dea caa, da seteusya, sehigga lagkah ke ada caa maka bayakya caa utuk megisi tempat yag tesedia
a = suku pertama (U 1 ) n = banyaknya suku b = beda/selisih = U 2 U 1 = U 3 U 2
BARIAN DAN DERET A. Baisa Baisa adalah uuta bilaga yag memiliki atua tetetu. etiap bilaga pada baisa disebut suku baisa yag dipisahka dega lambag, (koma). Betuk umum baisa:,,,, dega: suku petama suku kedua
terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Aturan Pencacahan. Contoh: Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?
Atura Pecacaha A. Atura Perkalia Jika terdapat k usur yag tersedia, dega: = bayak cara utuk meyusu usur pertama 2 = bayak cara utuk meyusu usur kedua setelah usur pertama tersusu 3 = bayak cara utuk meyusu
An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
BARISAN DAN DERET. Bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika U n = a + (n 1)b dengan
iap N Matematika BARIAN DAN DERET A. Baisa Baisa adalah uuta bilaga yag memiliki atua tetetu. etiap bilaga pada baisa disebut suku baisa yag dipisahka dega lambag, (koma). Betuk umum baisa:,,,, dega: suku
Regresi 4/13/2015 REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR HUBUNGAN LEBIH DARI DUA VARIABEL REGRESI LINEAR BERGANDA
4/3/05 REGRESI LINER BERGND DN REGRESI (TREND) NONLINER Oleh : Fauza mi Sei, 3 pil 05` GDL (07.30-0.50) Regesi Dai deajat (pagkat) tiap peuah eas Liie (ila pagkatya ) No-liie (ila pagkatya uka ) Dai ayakya
MOMEN, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS
00 MOMEN, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS Achmad Samsudi, S.Pd., M.Pd. Juusa Pedidika Fisika FPMIPA Uivesitas Pedidika Idoesia /8/00 MODUL MOMEN, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS Achmad Samsudi, S.Pd., M.Pd. Pedahulua
1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN
SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN Dose Pegampu : Pof. D. Si Wahyui DISUSUN OLEH: Nama : Muh. Zaki Riyato Nim : 02/156792/PA/08944 Pogam Studi : Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN
SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD)
SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN (FIELD) Muhamad Zaki Riyato NIM: 02/156792/PA/08944 E-mail: zaki@mail.ugm.ac.id http://zaki.math.web.id Dose Pembimbig: Pof. D. Si Wahyui Pedahulua Sebelum melagkah
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka
PELUANG. Misalkan n = A,B,C,D Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC,AD, BA,BC,BD, CA,CB,CD, DA,DB,DC = 12 kemungkinan
SMA - ELUANG A. Kaidah emutasi da kombiasi. emutasi : Bayakya kemugkia dega mempehatika uuta ada Misalka A,B,,D Tejadiya 2 kemugkia kejadia yaitu : AB, A,AD, BA,B,BD, A,B,D, DA,DB,D 2 kemugkia 4 ; 2 Rumusya
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
BAB III PENAKSIR DERET FOURIER. Dalam statistika, penaksir adalah sebuah statistik (fungsi dari data sampel
BAB III PENAKSIR DERET FOURIER 3. Peaksi Dalam saisika, peaksi adalah sebuah saisik (fugsi dai daa sampel obsevasi) yag diguaka uuk meaksi paamee populasi yag idak dikeahui (esimad) aau fugsi yag memeaka
Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Bab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat
Barisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih
-- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa
i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal
KORELASI DAN REGRESI BERGANDA
KORELASI DAN REGRESI BERGANDA KORELASI BERGANDA Koelasi begada meupaka alat uku megeai hubuga yag tejadi ataa vaiabel depede () dega dua atau lebih vaiabel idepede,. Dega koelasi begada kekuata atau keeata
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Himpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman
JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada
Induksi Matematik dan Teorema Binomial
Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka
Solusi Numerik Persamaan Transport
Solusi Numerik Persamaa Trasport M. Jamhuri December 16, 2013 Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diskretka persamaa trasport 1) dega megguaka persamaa
Bab 8 Teknik Pengintegralan
Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi
6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Modul Kuliah statistika
Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata
HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI. Oleh : Ambar Mujiarti J2A
HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI Oleh : Ambar Mujiarti J2A 004 003 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2009
MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring
Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah
Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia
Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya
Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT
Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag
Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Barisan, Deret, dan Notasi Sigma
Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai
Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama
Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika
BAB III METODE PENELITIAN
BAB III METODE PENELITIAN A. Jeis Peelitia Jeis peelitia yag peulis lakuka adalah peelitia kuatitatif, kaea peelitia ii betujua utuk megetahui adaya koelasi ataa tigkat kecedasa (IQ), motivasi bepestasi,
Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar
1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak
9 Departemen Statistika FMIPA IPB
Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara
Barisan Dan Deret Arimatika
Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta
MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI
1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari
KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.
Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial
Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala
B a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15
SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB ENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Dalam kehidupa yata, hampir seluruh feomea alam megadug ketidak pastia atau bersifat probabilistik, misalya pergeraka lempega bumi yag meyebabka gempa, aik turuya
theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
PETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO
PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI
Oleh: Yunissa Rara Fahreza Akuntansi Teknologi Sistem Informasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT
Oleh: Yuissa Rara Fahreza Akutasi Tekologi Sistem Iformasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT ILUSTRASI 1 Misal ada 3 buah kelereg yag berbeda wara : merah (m), kuig (k) da
Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula
PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Dalam duia iformatika, assigmet Problem yag biasa dibetuk dega matriks berbobot merupaka salah satu masalah terbesar, dimaa masalah ii merupaka masalah yag metode peyelesaiaya
BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.
MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah
TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig
Penerapan Teorema Perron-Frobenius pada Penentuan Distribusi Stasioner Rantai Markov
Vol. 3, No., 85-9, Juli 6 Peerapa Teorea Perro-Frobeius pada Peetua Distribusi Stasioer Ratai Markov Jusawati Massalesse Abstrak Perilaku suatu ratai Markov setelah berala ukup laa dapat diketahui elalui
HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G
J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No Hal: 197 - ISSN 1978-187 ABSTRACT HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G Kristiaa Wijaya Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Jember
LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)
rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1
LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret)
LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) DOSEN FEBRIYANTO, SE., MM. www.febriyato79.wordpress.com 1 MATEMATIKA BISNIS Matematika Bisis memberika pemahama ilmu megeai kosep matematika dalam bidag bisis. Sehigga suatu
BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI
BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas
BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL
BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,
Kombinatorik: Prinsip Dasar dan Teknik
Kombiatorik: Prisip Dasar da Tekik Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta sahidyk@gmail.com March 27, 2009 1 Atura Pejumlaha (Atura Disjugtif) Jika utuk melakuka
4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN
4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN Saat asumsi keormala tidak dipuhi maka kesimpula yag kita buat berdasarka suatu metod statistik yag mesyaratka asumsi keormala meadi tidak baik, sehigga mucul