Analisis Rangkaian Listrik

Transkripsi

1 Sudaryatn Sudirham nalisis angkaian Listrik Jilid darpublic

2 nalisis angkaian Listrik Jilid (rus Searah dan rus Blak-Balik) leh Sudaryatn Sudirham

3 Hak cipta pada penulis, SUDIHM, SUDYTNO nalisis angkaian Listrik () Bandung are-7 lamat ps: Kanayakan D-3, Kmp ITB, Bandung, 435. Fax: (6) () 5347

4 Pengantar Buku ini adalah jilid pertama dari satu seri pembahasan analisis rangkaian listrik. Penataan ulang urutan materi bahasan serta penambahan penjelasan penulis lakukan terhadap buku yang diterbitkan tahun. Buku jilid pertama ini bertujuan untuk membangun kemampuan melakukan analisis rangkaian listrik dalam keadaan mantap, ditujukan kepada para pembaca yang untuk pertama kali mempelajari rangkaian listrik. Bagian ini berisi bahasan analisis di kawasan waktu dan kawasan fasr, disajikan dalam enam belas bab. Lima bab pertama berisi bahasan mengenai perilaku piranti-piranti listrik maupun besaran fisis yang ada dalam rangkaian, mencakup mdel sinyal dan mdel piranti. Dengan pengertian tentang kedua mdel ini, bahasan masuk ke landasan-landasan untuk melakukan analisis rangkaian listrik di empat bab berikutnya, disusul dengan dua bab yang berisi cnth aplikasi analisis rangkaian. Empat bab terakhir berisi analisis rangkaian di kawasan fasr, baik pada sistem satu fasa maupun sistem tiga fasa berbeban seimbang yang merupakan pkk bahasan terakhir. Pkk bahasan selanjutnya akan disajikan dalam buku jilid berikutnya. Selanjutnya buku jilid ke-dua akan ditujukan kepada pembaca yang telah mempelajari materi di jilid pertama ini. Pembahasan akan meliputi analisis transien pada sistem rde pertama dan sistem rde ke-dua, analisis rangkaian menggunakan transfrmasi Laplace, fungsi alih, tanggapan frekuensi, pengenalan pada sistem termasuk persamaan ruang status, serta analisis rangkaian listrik menggunakan transfrmasi Furier. Dalam jilid ke-tiga akan disajikan analisis rangkaian pemrsesan energi, khususnya pada pemrsesan menggunakan arus blak-balik sinusidal, dan analisis harmnisa di mana sinyal listrik dipandang sebagai suatu spektrum. Mudah-mudahan sajian ini bermanfaat bagi para pembaca. Saran dan usulan para pembaca untuk perbaikan dalam publikasi selanjutnya, sangat penulis harapkan. Bandung, 6 Juli Wassalam, Penulis iii

5 << La plus grande partie du sair humain est dépsée dans des dcuments et des lires, mémires en papier de l humanité.>>. Schpenhauer, Dari Mini-Encyclpédie France Lisirs ISBN i

6 Kata Pengantar Daftar Isi Daftar Isi Bab : Pendahuluan Pengertian angkaian Listrik. Pengertian nalisis angkaian Listrik. Struktur Dasar angkaian, Besaran Listrik, Kndisi Operasi. Landasan Untuk Melakukan nalisis.cakupan Bahasan Bab : Besaran Listrik Dan Mdel Sinyal 9 Besaran Listrik. Sinyal dan Peubah Sinyal. Bentuk Gelmbang Sinyal. Bab 3: Pernyataan Sinyal Dan Spektrum Sinyal 37 Pernyataan-Pernyataan Gelmbang Sinyal. Spektrum Sinyal. Bab 4: Mdel Piranti Pasif 57 esistr. Kapasitr. Induktr. Induktansi Bersama. Saklar. Elemen Sebagai Mdel Dari Gejala. Transfrmatr Ideal. Bab 5: Mdel Piranti ktif, Dida, dan OPMP 83 Sumber Bebas. Sumber Praktis. Sumber Tak-Bebas. Dida Ideal. Penguat Operasinal (OP MP). Bab 6: Hukum-Hukum Dasar 9 Hukum Ohm. Hukum Kirchhff. Basis nalisis angkaian. Bab 7: Kaidah dan Terema angkaian Kaidah-Kaidah angkaian. Terema angkaian. Bab 8: Metda nalisis Dasar 43 Metda eduksi angkaian. Metda Keluaran Satu Satuan. Metda Superpsisi. Metda angkaian Ekialen Théenin. Bab 9: Metda nalisis Umum 59 Metda Tegangan Simpul. Metda rus Mesh. Catatan Tentang Metda Tegangan Simpul dan rus Mesh. iii

7 Bab : angkaian Pemrses Energi (rus Searah) 8 Pengukur Tegangan dan rus Searah. Pengukuran esistansi. esistansi Kabel Penyalur Daya. Penyaluran Daya Melalui Saluran Udara. Diagram Satu Garis. Jaringan Distribusi Daya. Batere. Generatr rus Searah. Bab : angkaian Pemrses Sinyal (Dida dan OP MP) angkaian Dengan Dida. angkaian Dengan OP MP. Diagram Blk. angkaian OP MP Dinamik. Bab : Fasr, Impedansi, Dan Kaidah angkaian 7 Fasr Dan Impedansi. esistansi, eaktansi, Impedansi. Kaidah-Kaidah angkaian Impedansi. Bab 3: Terema dan Metda nalisis di Kawasan Fasr 47 Terema angkaian di Kawasan Fasr. Metda-Metda nalisis Dasar. Metda-Metda nalisis Umum. angkaian esnansi. Bab 4: nalisis Daya 65 Umum. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya ata- ata dan Daya eaktif. Tinjauan Daya di Kawasan Fasr: Daya Kmpleks, Faktr Daya. lih Daya. lih Daya Maksimum. Bab 5: Penyediaan Daya 87 Transfrmatr. Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktr Daya. Diagram Satu Garis. Bab 6: Sistem Tiga Fasa 35 Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke Beban. nalisis Daya Pada Sistem Tiga Fasa. Diagram Satu Garis. Daftar eferensi 35 Indeks 37 Lampiran I 39 Lampiran II 33 Bidata 34 i Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

8 BB Pendahuluan Dua dari sekian banyak kebutuhan manusia adalah kebutuhan akan energi dan kebutuhan akan infrmasi. Salah satu cara yang dapat dipilih untuk memenuhi kedua kebutuhan tersebut adalah melalui teknlgi elektr. Energi yang tersedia di alam tidak selalu dalam bentuk yang kita perlukan akan tetapi terkandung dalam berbagai bentuk sumber energi misalnya air terjun, batubara, sinar matahari, angin, mbak, dan lainnya. Selain itu sumber energi tersebut tidak selalu berada di tempat di mana energi tersebut dibutuhkan. Teknlgi elektr melakukan knersi energi nn-listrik menjadi energi listrik dan dalam bentuk listrik inilah energi dapat disalurkan dengan lebih mudah ke tempat ia diperlukan dan kemudian diknersikan kembali ke dalam bentuk yang sesuai dengan kebutuhan, misalnya energi mekanis, panas, cahaya. Prses penyediaan energi berlangsung melalui berbagai tahapan; salah satu cnth adalah sebagai berikut: - energi nn listrik, misalnya energi kimia yang terkandung dalam bahan bakar diubah menjadi energi panas dalam biler energi panas diubah menjadi energi mekanis di turbin energi mekanis diubah menjadi energi listrik di generatr energi listrik diubah menjadi energi listrik namun pada tingkat tegangan yang lebih tinggi di transfrmatr energi listrik bertegangan tinggi ditransmisikan energi listrik bertegangan tinggi diubah menjadi energi listrik bertegangan menengah pada transfrmatr energi listrik didistribusikan ke pengguna, melalui jaringan tegangan menengah tiga fasa, tegangan rendah tiga fasa, dan tegangan rendah satu fasa energi listrik diubah kembali ke dalam bentuk energi yang sesuai dengan kebutuhan pengguna. Demikian pula halnya dengan infrmasi. Teknlgi elektr melakukan knersi berbagai bentuk infrmasi ke dalam bentuk sinyal listrik dan menyalurkan sinyal listrik tersebut ke tempat ia diperlukan kemudian diknersikan kembali dalam bentuk-bentuk yang dapat ditangkap leh indera manusia ataupun dimanfaatkan

9 untuk suatu keperluan tertentu, misalnya pengendalian. Dengan mudah kita dapat mengetahui apa yang sedang terjadi di belahan bumi yang lain dalam waktu yang hampir bersamaan dengan berlangsungnya kejadian, tanpa harus beranjak dari rumah. Tidak hanya sampai di situ, satelit di luar angkasa pun dikendalikan dari bumi, dan jantung yang lemah pun dapat dibantu untuk dipacu... Pengertian angkaian Listrik angkaian listrik (atau rangkaian elektrik) merupakan interkneksi berbagai piranti (diais deice) yang secara bersama melaksanakan suatu tugas tertentu. Tugas itu dapat berupa pemrsesan energi ataupun pemrsesan infrmasi. Melalui rangkaian listrik, energi maupun infrmasi diknersikan menjadi energi listrik dan sinyal listrik, dan dalam bentuk sinyal inilah energi maupun infrmasi dapat disalurkan dengan lebih mudah ke tempat ia diperlukan. Teknlgi elektr telah berkembang jauh. Dalam knersi dan transmisi energi listrik misalnya, walaupun masih tetap memanfaatkan sinyal analg berbentuk sinus, namun kuantitas energi yang diknersi dan ditransmisikan semakin besar mengikuti pertumbuhan kebutuhan. Teknlgi yang dikembangkan pun mengikuti kecenderungan ini. Kemampuan peralatan semakin tinggi, alat perlindungan (prteksi) semakin ketat baik perlindungan dalam mempertahankan kinerja sistem maupun terhadap pengaruh alam. Demikian pula pertimbangan-pertimbangan eknmi maupun kelestarian lingkungan menjadi sangat menentukan. Bahkan perkembangan teknlgi di sisi penggunaan energi, baik dalam upaya mempertinggi efisiensi maupun perluasan penggunaan energi dalam mendukung perkembangan teknlgi infrmasi, cenderung memberikan dampak kurang menguntungkan pada sistem penyaluran energi listrik; dan hal ini menimbulkan persalan lain yaitu persalan kualitas daya yang harus diantisipasi dan diatasi. Kalau dalam pemrsesan energi masih digunakan sinyal analg, tidak demikian halnya dengan pemrsesan infrmasi. Pemanfaatan sinyal analg telah digantikan leh sinyal-sinyal digital sehingga kualitas infrmasi ide, audi, maupun data, menjadi sangat meningkat. Pemanfaatan sinyal digital sudah sangat meluas, mulai dari lingkungan rumah tangga sampai luar angkasa. Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

10 Walaupun terdapat perbedaan yang nyata pada bentuk sinyal dalam pemrsesan energi dan pemrsesan infrmasi, yaitu sinyal analg dalam pemrsesan energi dan sinyal digital dalam pemrsesan infrmasi, namun hakekat pemrsesan tidaklah jauh berbeda; pemrsesan itu adalah knersi ke dalam bentuk sinyal listrik, transmisi hasil knersi tersebut, dan knersi balik menjadi bentuk yang sesuai dengan kebutuhan. Sistem pemrses energi maupun infrmasi, dibangun dari rangkaian-rangkaian listrik yang merupakan interkneksi berbagai piranti. Oleh karena itu langkah pertama dalam mempelajari analisis rangkaian listrik adalah mempelajari mdel sinyal dan mdel piranti. Karena pekerjaan analisis menggunakan mdel-mdel, sedangkan mdel merupakan pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya dengan pembatasan-pembatasan tertentu, maka hasil suatu analisis harus juga difahami sebagai hasil yang berlaku dalam batas-batas tertentu pula... Pengertian nalisis angkaian Listrik Untuk mempelajari perilaku suatu rangkaian listrik kita melakukan analisis rangkaian listrik. angkaian listrik itu mungkin hanya berdimensi beberapa sentimeter, tetapi mungkin juga membentang ratusan bahkan ribuan kilmeter. Dalam pekerjaan analisis, langkah pertama yang kita lakukan adalah memindahkan rangkaian listrik itu ke atas kertas dalam bentuk gambar; gambar itu kita sebut diagram rangkaian. Suatu diagram rangkaian memperlihatkan interkneksi berbagai piranti; piranti-piranti tersebut digambarkan dengan menggunakan simbl piranti. Jadi dalam suatu diagram rangkaian (yang selanjutnya kita sebut dengan singkat rangkaian), kita melihat bagaimana berbagai macam piranti saling dihubungkan. Perilaku setiap piranti kita nyatakan dengan mdel piranti. Untuk membedakan piranti sebagai benda nyata dengan mdelnya, maka mdel itu kita sebut elemen rangkaian. Sinyal listrik yang hadir dalam rangkaian, kita nyatakan sebagai peubah rangkaian yang tidak lain adalah mdel matematis dari sinyal-sinyal tersebut. Jadi dalam pekerjaan analisis rangkaian listrik, kita menghadapi diagram rangkaian yang memperlihatkan hubungan dari berbagai elemen, dan setiap elemen memiliki perilaku masing-masing yang kita sebut karakteristik elemen; besaran-fisika yang terjadi dalam rangkaian 3

11 kita nyatakan dengan peubah rangkaian (ariable rangkaian) yang merupakan mdel sinyal. Dengan melihat hubungan elemen-elemen dan memperhatikan karakteristik tiap elemen, kita melakukan perhitungan peubah-peubah rangkaian. Perhitungan-perhitungan tersebut mungkin berupa perhitungan untuk mencari hubungan antara peubah yang keluar dari rangkaian (kita sebut dengan singkat keluaran) dan peubah yang masuk ke rangkaian (kita sebut dengan singkat masukan); ataupun mencari besaran keluaran dari suatu rangkaian jika masukan dan karakteristik setiap elemen diketahui. Inilah pekerjaan analisis yang memberikan hanya satu hasil perhitungan, atau jawaban tunggal. Pekerjaan lain yang belum tercakup dalam buku ini adalah pekerjaan perancangan, yaitu mencari hubungan elemen-elemen jika masukan dan keluaran ditentukan. Hasil pekerjaan perancangan akan memberikan lebih dari satu jawaban dan kita harus memilih jawaban mana yang kita ambil dengan memperhitungkan tidak saja aspek teknis tetapi juga aspek lain misalnya aspek eknmi, aspek lingkungan, dan bahkan estetika. Telah dikatakan di atas bahwa hasil suatu analisis harus difahami sebagai hasil yang berlaku dalam batas-batas tertentu. Kita akan melihat bahwa rangkaian yang kita analisis kita anggap memiliki sifat linier dan kita sebut rangkaian linier; ia merupakan hubungan elemen-elemen rangkaian yang kita anggap memiliki karakteristik yang linier. Sifat ini sesungguhnya merupakan pendekatan terhadap sifat piranti yang dalam kenyataannya tidak linier namun dalam batas-batas tertentu ia bersifat hampir linier sehingga dalam pekerjaan analisis kita anggap ia bersifat linier..3. Struktur Dasar angkaian, Besaran Listrik, dan Kndisi Operasi Struktur Dasar angkaian. Secara umum suatu rangkaian listrik terdiri dari bagian yang aktif yaitu bagian yang memberikan daya yang kita sebut sumber, dan bagian yang pasif yaitu bagian yang menerima daya yang kita sebut beban; sumber dan beban terhubung leh penyalur daya yang kita sebut saluran. 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

12 Besaran Listrik. da lima besaran listrik yang kita hadapi, dan dua di antaranya merupakan besaran dasar fisika yaitu energi dan muatan listrik. Namun dalam analisis rangkaian listrik, besaran listrik yang sering kita lah adalah tegangan, arus, dan daya listrik. Energi dihitung sebagai integral daya dalam suatu selang waktu, dan muatan dihitung sebgai integral arus dalam suatu selang waktu. Sumber biasanya dinyatakan dengan daya, atau tegangan, atau arus yang mampu ia berikan. Beban biasa dinyatakan dengan daya atau arus yang diserap atau diperlukan, dan sering pula dinyatakan leh nilai elemen; elemen-elemen rangkaian yang sering kita temui adalah resistr, induktr, dan kapasitr, yang akan kita pelajari lebih lanjut. Saluran adalah penghubung antara sumber dan beban, dan pada rangkaian penyalur energi (di mana jumlah energi yang disalurkan cukup besar) ia juga menyerap daya. Oleh karena itu saluran ini dilihat leh sumber juga menjadi beban dan daya yang diserap saluran harus pula disediakan leh sumber. Daya yang diserap saluran merupakan susut daya dalam prduksi energi listrik. Susut daya yang terjadi di saluran ini merupakan peristiwa alamiah: sebagian energi yang dikirim leh sumber berubah menjadi panas di saluran. Namun jika daya yang diserap saluran tersebut cukup kecil, ia dapat diabaikan. Dalam kenyataan, rangkaian listrik tidaklah sesederhana seperti di atas. Jaringan listrik penyalur energi perlu dilindungi dari berbagai kejadian tidak nrmal yang dapat menyebabkan terjadinya lnjakan arus atau lnjakan tegangan. Jaringan perlu sistem prteksi yaitu prteksi arus lebih dan prteksi tegangan lebih. Jaringan listrik juga memerlukan sistem pengendali untuk mengatur aliran energi ke beban. Pada jaringan pemrses infrmasi, gejala-gejala kebcran sinyal serta gangguan sinyal baik dari dalam maupun dari luar sistem yang disebut interferensi, memerlukan perhatian tersendiri. Pada jaringan penyalur energi, sumber mengeluarkan daya sesuai dengan permintaan beban. Pada rangkaian penyalur infrmasi, daya sumber terbatas; leh karena itu alih daya dari sumber ke beban perlu diusahakan terjadi secara maksimal; alih daya ke beban akan maksimal jika tercapai keserasian (matching) antara sumber dan beban. 5

13 Peristiwa Transien. Kndisi perasi jaringan listrik tidak selalu mantap. Pada waktu-waktu tertentu bisa terjadi keadaan peralihan atau keadaan transien. Besar dan bentuk tegangan dan arus pada saat-saat setelah penutupan ataupun setelah pembukaan saklar tidaklah seperti keadaan setelah saklar lama tertutup atau setelah lama terbuka. Di samping itu kejadian sesaat di luar jaringan juga bisa menimbulkan keadaan transien, misalnya petir. Suatu selang waktu diperlukan antara saat kemunculan peristiwa transien dengan saat keadaan menjadi mantap. Waktu yang diperlukan untuk mencapai keadaan akhir tersebut tergantung dari nilai-nilai elemen rangkaian. Oleh karena itu kita harus hati-hati untuk memegang peralatan listrik walaupun ia sedang tidak berperasi; yakinkan lebih dulu apakah keadaan sudah cukup aman. Yakinkan lebih dulu bahwa peralatan listrik yang terbuka sudah tidak bertegangan, sebelum memegangnya..4. Landasan Untuk Melakukan nalisis gar kita bisa melakukan analisis, kita perlu memahami beberapa hal yang sangat mendasar yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, terema-terema rangkaian, serta metda-metda analisis. Hukum-Hukum angkaian. Hukum-hukum rangkaian merupakan dasar untuk melakukan analisis. da dua hukum yang akan kita pelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchhff. Hukum Ohm memberikan relasi linier antara arus dan tegangan resistr. Hukum Kirchhff mencakup Hukum rus Kirchhff (HK) dan Hukum Tegangan Kirchhff (HTK). HK menegaskan bahwa jumlah arus yang menuju suatu pencabangan rangkaian sama dengan jumlah arus yang meninggalkan pencabangan; hal ini dibuktikan leh kenyataan bahwa tidak pernah ada penumpukan muatan di suatu pencabangan rangkaian. HTK menyatakan bahwa jumlah tegangan di suatu rangkaian tertutup sama dengan nl, dan hal ini sesuai dengan prinsip knserasi energi. Kaidah-Kaidah angkaian. Kaidah rangkaian merupakan knsekuensi dari hukum-hukum rangkaian. Dengan kaidah-kaidah ini kita dapat menggantikan susunan suatu bagian rangkaian dengan susunan yang berbeda tanpa mengganggu perilaku keseluruhan rangkaian, sehingga rangkaian menjadi lebih sederhana dan lebih 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

14 mudah dianalisis. Dengan menggunakan kaidah-kaidah ini pula kita dapat melakukan perhitungan pada bentuk-bentuk bagian rangkaian tertentu secara langsung. Salah satu cnth adalah kaidah pembagi arus: untuk arus masukan tertentu, besar arus cabang-cabang rangkaian yang terhubung paralel sebanding dengan knduktansinya; hal ini adalah knsekuensi dari hukum Ohm dan HK. Terema angkaian. Terema rangkaian merupakan pernyataan dari sifat-sifat dasar rangkaian linier. Terema rangkaian yang penting akan kita pelajari sesuai keperluan kita, mencakup prinsip prprsinalitas, prinsip superpsisi, terema Théenin, terema rtn, terema substitusi, dan terema Tellegen. Prinsip prprsinalitas berlaku untuk rangkaian linier. Jika masukan suatu rangkaian adalah y in dan keluarannya adalah y maka y Ky in dengan K adalah nilai tetapan. Prinsip superpsisi menyatakan bahwa pada rangkaian dengan beberapa masukan, akan mempunyai keluaran yang merupakan jumlah keluaran dari masing-masing masukan jika masing-masing masukan bekerja secara sendiri-sendiri pada rangkaian tersebut. Kita ambil cnth satu lagi yaitu terema Théenin. Terema ini menyatakan bahwa jika seksi sumber suatu rangkaian (yaitu bagian rangkaian yang mungkin saja mengandung lebih dari satu sumber) bersifat linier, maka seksi sumber ini bisa digantikan leh satu sumber yang terhubung seri dengan satu resistr ataupun impedansi; sementara itu beban bleh linier ataupun tidak linier. Terema ini sangat memudahkan perhitungan-perhitungan rangkaian. Metda-Metda nalisis. Metda-metda analisis dikembangkan berdasarkan terema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian. da dua kelmpk metda analisis yang akan kita pelajari; yang pertama disebut metda analisis dasar dan yang kedua disebut metda analisis umum. Metda analisis dasar terutama digunakan pada rangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaian yang agak lebih rumit kita memerlukan metda yang lebih sistematis yaitu metda analisis umum. Kedua metda ini kita pelajari agar kita dapat melakukan analisis rangkaian sederhana 7

15 secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manual sangat diperlukan untuk dapat memahami sifat dan perilaku rangkaian. Selain perbedaan jangkauan penggunaannya, metda analisis dasar berbeda dari metda analisis umum dalam hal sentuhan yang kita miliki atas rangkaian yang kita hadapi. Dalam menggunakan metda analisis dasar, kita masih merasakan bahwa kita sedang menglah perilaku rangkaian. Dalam menggunakan metda analisis umum kita agak kehilangan sentuhan tersebut; sekali kita sudah mendapatkan persamaan rangkaian, maka selanjutnya kita hanya melakukan langkah-langkah matematis atas persamaan tersebut dan kita akan mendapatkan hasil analisis tanpa merasa telah menghadapi rangkaian listrik. Kehilangan sentuhan ini mendapat kmpensasi berupa lebih luasnya jangkauan kerumitan rangkaian yang bisa dipecahkan dengan metda analisis umum. Selain dua kelmpk metda tersebut ada metda analisis berbantuan kmputer. Untuk rangkaian-rangkaian yang sangat rumit, analisis secara manual tidaklah efektif bahkan tidak mungkin lagi dilakukan. Untuk itu kita memerlukan bantuan kmputer. Metda ini tidak dibahas khusus dalam buku ini namun pembaca perlu mempelajarinya dengan menggunakan buku-buku lain beserta perangkat lunaknya, seperti misalnya prgram SPICE. Landasan untuk melakukan analisis tersebut di atas akan kita pelajari dan setelah kita memahami landasan-landasan tersebut kita akan siap untuk melakukan analisis rangkaian. Berbagai cnth pekerjaan analisis akan kita jumpai dalam buku ini. 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

16 BB Besaran Listrik Dan Mdel Sinyal Dengan mempelajari besaran listrik dan mdel sinyal, kita akan menyadari bahwa pembahasan analisis rangkaian di sini berkenaan dengan sinyal waktu kntinyu; memahami besaran-besaran listrik yang menjadi peubah sinyal dalam analisis rangkaian; memahami berbagai bentuk gelmbang sinyal; mampu menyatakan bentuk gelmbang sinyal secara grafis maupun matematis... Besaran Listrik Dalam kelistrikan, ada dua besaran fisika yang menjadi besaran dasar yaitu muatan listrik (selanjutnya disebut dengan singkat muatan) dan energi listrik (selanjutnya disebut dengan singkat energi). Muatan dan energi, merupakan knsep dasar fisika yang menjadi fndasi ilmiah dalam teknlgi elektr. Namun dalam praktik, kita tidak menglah langsung besaran dasar ini, karena kedua besaran ini tidak mudah untuk diukur. Besaran yang sering kita lah adalah yang mudah diukur yaitu arus, tegangan, dan daya. rus. rus listrik dinyatakan dengan simbl i; ia merupakan ukuran dari aliran muatan. Ia merupakan laju perubahan jumlah muatan yang melewati titik tertentu. Dalam bentuk diferensial ia didefinisikan sebagai: dq i (.) dt Dalam sistem satuan SI, arus mempunyai satuan ampere, dengan singkatan. Karena satuan muatan adalah culmb dengan singkatan C, maka ampere culmb / detik culmb / sekn C/s Perlu kita ingat bahwa ada dua jenis muatan yaitu muatan psitif dan negatif. rah arus psitif ditetapkan sebagai arah aliran muatan psitif nett, mengingat bahwa aliran arus di suatu titik mungkin melibatkan kedua macam muatan tersebut. 9

17 Tegangan. Tegangan dinyatakan dengan simbl ; ia terkait dengan perubahan energi yang dialami leh muatan pada waktu ia berpindah dari satu titik ke titik yang lain di dalam rangkaian. Tegangan antara titik dan titik B di suatu rangkaian didefinisikan sebagai perubahan energi per satuan muatan, yang dalam bentuk diferensial dapat kita tuliskan sebagai: dw dq (.) Satuan tegangan adalah lt, dengan singkatan V. Oleh karena satuan energi adalah jule dengan singkatan J, maka lt jule/culmb J/C. Daya. Daya dinyatakan dengan simbl p, didefinisikan sebagai laju perubahan energi, yang dapat kita tuliskan: dw p (.3) dt Dari definisi ini dan definisi untuk arus (.) dan tegangan (.) kita dapatkan: dw dw dq p i (.4) dt dq dt Satuan daya adalah watt, dengan singkatan W. Sesuai dengan hubungan (.3) maka W J/s. Energi. Energi dinyatakan dengan simbl w. Untuk memperleh besar energi yang teralihkan dalam selang waktu antara t dan t kita melakukan integrasi daya antara t dan t Satuan energi adalah jule. t w pdt (.5) t Muatan. Muatan dinyatakan dengan simbl q, diperleh dengan mengintegrasi arus terhadap waktu. Jadi jumlah muatan yang dialihkan leh arus i dalam selang waktu antara t dan t adalah : Satuan muatan adalah culmb. t q idt (.6) t Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

18 .. Peubah Sinyal dan eferensi Sinyal Peubah Sinyal. Sebagaimana telah sebutkan di atas, dalam manangani masalah praktis, kita jarang melibatkan secara langsung kedua besaran dasar yaitu energi dan muatan. Besaran yang lebih sering kita lah adalah arus, tegangan, dan daya. Dalam analisis rangkaian listrik, tiga besaran ini menjadi peubah rangkaian yang kita sebut sebagai peubah sinyal. Kehadiran mereka dalam suatu rangkaian listrik merupakan sinyal listrik, dan dalam analisis rangkaian listrik kita melakukan perhitungan-perhitungan sinyal listrik ini; mereka menjadi peubah atau ariabel. Sinyal Waktu Kntinyu dan Sinyal Waktu Diskrit. Sinyal listrik pada umumnya merupakan fungsi waktu, t. Dalam teknlgi elektr yang telah berkembang demikian lanjut kita mengenal dua macam bentuk sinyal listrik yaitu sinyal waktu kntinyu dan sinyal waktu diskrit. Suatu sinyal disebut sebagai sinyal waktu kntinyu (atau disebut juga sinyal analg) jika sinyal itu mempunyai nilai untuk setiap t dan t sendiri mengambil nilai dari satu set bilangan riil. Sinyal waktu diskrit adalah sinyal yang mempunyai nilai hanya pada t tertentu yaitu t n dengan t n mengambil nilai dari satu set bilangan bulat. Sebagai cnth sinyal waktu kntinyu adalah tegangan listrik di rumah kita. Sinyal waktu diskrit kita perleh misalnya melalui sampling pada tegangan listrik di rumah kita. Gb... memperlihatkan kedua macam bentuk sinyal tersebut. Dalam mempelajari analisis rangkaian di buku ini, kita hanya akan menghadapi sinyal waktu kntinyu saja. (t) (t) t t Sinyal waktu kntinyu Sinyal waktu diskrit Gb... Sinyal waktu kntinyu dan sinyal waktu diskrit.

19 eferensi Sinyal. rus dan tegangan mempunyai hubungan erat namun mereka juga mempunyai perbedaan yang sangat nyata. rus merupakan ukuran besaran yang melewati suatu titik sedangkan tegangan adalah ukuran besaran antara dua titik. Jadi arus diukur di satu titik sedangkan tegangan diukur di antara dua titik. Dalam pekerjaan analisis, arah arus dinyatakan dengan tanda anak panah yang menjadi referensi arah psitif arus. eferensi ini tidak berarti bahwa arah arus sesungguhnya (yang mengalir pada piranti) adalah seperti ditunjukkan leh anak panah. rah arus sesungguhnya dapat berlawanan dengan arah anak panah dan jika demikian halnya kita katakan arus negatif. Dalam hal arah arus sesungguhnya sesuai dengan arah anak panah, kita katakan arus psitif. Pada elemen rangkaian, tanda dipakai untuk menunjukkan titik yang dianggap mempunyai tegangan yang lebih tinggi dibandingkan dengan titik yang bertanda, dan ini menjadi referensi tegangan. Di sinipun titik yang bertanda pada keadaan sesungguhnya tidak selalu bertegangan lebih tinggi dibandingkan dengan titik yang bertanda. Tetapi jika benar demikian keadaannya kita katakan bahwa tegangan pada piranti adalah psitif, dan jika sebaliknya maka tegangan itu negatif. Knensi Pasif. Dalam menentukan referensi tegangan dan arus kita mengikuti knensi pasif yaitu arah arus digambarkan masuk ke elemen pada titik yang bertanda. Knensi ini disebut knensi pasif sebab dalam knensi ini piranti menyerap daya. Perhatikan Gb... Dengan knensi ini, jika arus dan tegangan memiliki tanda yang sama, daya bernilai psitif. Jika arus da tegangan berlawanan tanda maka daya bernilai negatif. tegangan diukur antara dua titik piranti arus melalui piranti Gb... Tegangan dan arus pada satu piranti Daya psitif berarti elemen menyerap daya; daya negatif berarti elemen mengeluarkan daya. Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

20 Selain referensi arus dan tegangan pada elemen, untuk menyatakan besar tegangan di berbagai titik pada suatu rangkaian kita menetapkan titik referensi umum yang kita namakan titik pentanahan atau titik nl atau grund. Tegangan di titiktitik lain pada rangkaian dihitung terhadap titik nl ini. Perhatikan penjelasan pada Gb..3. Tegangan di titik dapat kita sebut sebagai yaitu tegangan titik terhadap titik referensi umum G. Demikian pula B adalah tegangan titik B terhadap G. Beda tegangan antara titik dan B adalah B B. Isilah ktak-ktak yang ksng pada tabel berikut ini. Piranti [V] i [] p [W] menerima/memberi daya 5 B 4-3 C 7 D E 4 7 CO TOH-.: Tegangan pada suatu piranti adalah V (knstan) dan arus yang mengalir padanya adalah m. a). Berapakah daya yang diserap? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti tersebut selama 8 jam itu? Penyelesaian: referensi arus a). Daya yang diserap adalah : p i 3, W b). Energi yang diserap selama 8 jam adalah 8 8 w pdt,, dt t 8 9,6 Wh c). Jumlah muatan yang dipindahkan selama 8 jam adalah i i referensi tegangan piranti 3 referensi tegangan umum (grund) Gb..3. eferensi arus dan tegangan B 3 G i 3 3

21 8 8 3 q idt t, 8,8 h Pemahaman : Satuan daya adalah Watt. Untuk daya besar digunakan satuan kw (kil watt) yaitu kw W. Satuan daya yang lain adalah hrse pwer (HP). HP 746 W atau kw,34 HP Watt-hur (Wh) adalah satuan energi yang biasa dipakai dalam sistem tenaga listrik. Wh 36 J atau kwh 36 kj Satuan muatan adalah Culmb. Dalam penyelesaian sal di atas, kita menggunakan satuan mpere-hur (h) untuk muatan. Satuan ini biasa digunakan untuk menyatakan kapasitas suatu accu (accumulatr). Cnth : accu mbil berkapasitas 4 h. karena C/s maka C s dan h 36 C CO TOH-.: Sebuah piranti menyerap daya W pada tegangan V (knstan). Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakah energi yang diserap selama 8 jam? Penyelesaian : p i,5 8 8 w dt t 8 Wh,8 kwh CO TOH-.3: rus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t),5t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t sampai t 5 detik? Penyelesaian : Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah 5 5 5,5,5 q idt,5,65 culmb tdt t CO TOH-.4: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai cs4t dan arus yang mengalir adalah i 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

22 5cs4t. a). Bagaimanakah ariasi daya terhadap waktu? b). Berapakah nilai daya maksimum dan daya minimum? Penyelesaian : EMBED Equatin.3 a). p cs 4t 5cs 4t cs 55 4t ( cs8t ) cs8t W Suku pertama pernyataan daya ini bernilai knstan psitif 55 V. b). Nilai Suku ke-dua berariasi antara 55 V dan 55 V. Secara keseluruhan daya selalu bernilai psitif. daya : p p maksimum minimum W W W CO TOH-.5: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai cs4t dan arus yang mengalir adalah i 5sin4t. a). Bagaimanakah ariasi daya terhadap waktu? b). Tunjukkan bahwa piranti ini menyerap daya pada suatu selang waktu tertentu dan memberikan daya pada selang waktu yang lain. c). Berapakah daya maksimum yang diserap? d). Berapakah daya maksimum yang diberikan? Penyelesaian : a). p cs 4t 5sin 4t sin 4t cs 4t 55 sin 8t W b). Dari a) terlihat bahwa daya merupakan fungsi sinus. Selama setengah perida daya bernilai psisitif dan selama setengah perida berikutnya ia bernilai negatif. Jika pada waktu daya bernilai psitif mempunyai arti bahwa piranti menyerap daya, maka pada waktu bernilai negatif berarti piranti memberikan daya c). Daya maksimum yang diserap: p maks diserap 55 W. d). Daya maksimum yang diberikan: p maks diberikan 55 W. 5

23 .3. Bentuk Gelmbang Sinyal Pada umumnya sinyal merupakan fungsi waktu, seperti yang kita lihat pada cnth-cnth di atas. Variasi sinyal terhadap waktu disebut bentuk gelmbang. Secara frmal dikatakan: Bentuk gelmbang adalah suatu persamaan atau suatu grafik yang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu. Sebagai cnth, bentuk gelmbang tegangan dan arus yang knstan di seluruh waktu, secara matematis dinyatakan dengan persamaan: V ; i I, untuk < t < (.7) Walaupun persamaan di atas hanyalah mdel, tetapi mdel ini sangat bermanfaat sebab ia merupakan pendekatan untuk sinyal yang secara nyata dibangkitkan leh sumber sebenarnya, misalnya batere. Bentuk gelmbang dikelmpkkan dalam dua kelmpk. Kelmpk pertama disebut bentuk gelmbang dasar yang meliputi bentuk gelmbang anak tangga, sinus, dan ekspnensial. Mereka disebut bentuk gelmbang dasar karena dari tiga bentuk gelmbang ini dapat diturunkan bentuk-bentuk gelmbang yang lain. Bentuk gelmbang dasar ini terlihat pada Gb..4. t t t nak tangga Sinus Ekspnensial Gb..4. Bentuk Gelmbang Dasar. Kelmpk kedua disebut bentuk gelmbang kmpsit. Bentuk gelmbang ini tersusun dari beberapa bentuk gelmbang dasar, seperti terlihat pada Gb..5. Bentuk gelmbang sinus teredam misalnya, merupakan hasil kali gelmbang sinus dengan ekspnensial; gelmbang persegi merupakan kmbinasi dari gelmbang-gelmbang anak tangga, dan sebagainya. Dalam analisis rangkaian, bentuk-bentuk gelmbang ini kita nyatakan secara matematis seperti halnya dengan cnth sinyal knstan (.7) di atas. Dalam kenyataan, bentuk-bentuk gelmbang bisa sangat rumit; walaupun demikian, ariasinya terhadap waktu dapat didekati dengan menggunakan gabungan bentuk-bentuk gelmbang dasar. 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

24 t t t Sinus teredam Gelmbang persegi Ekspnensial ganda Deretan pulsa Gigi gergaji Segi tiga Gb..5. Beberapa gelmbang kmpsit..3.. Bentuk Gelmbang Dasar t t t Bentuk gelmbang dasar (disebut juga gelmbang utama) meliputi fungsi anak-tangga (step functin), fungsi ekspnensial (expnential functin), dan fungsi sinus (sinusidal functin). Fungsi nak-tangga (Fungsi Step). Secara umum, fungsi anaktangga didasarkan pada fungsi anak-tangga satuan, yang didefinisikan sebagai berikut: u( t) untuk t < (.8) untuk t Beberapa buku membiarkan fungsi u(t) tak terdefinisikan untuk t, dengan persamaan u( t) untuk t < untuk t > Pernyataan fungsi anak tangga satuan yang terakhir ini mempunyai ketidak-kntinyuan pada t. Untuk selanjutnya kita akan menggunakan definisi (.8). Dalam kenyataan, tidaklah mungkin membangkitkan sinyal yang dapat berubah dari satu nilai ke nilai yang lain tanpa memakan waktu. Yang dapat dilakukan hanyalah membuat waktu transisi itu sependek mungkin. Bila u(t) kita kalikan dengan sesuatu nilai knstan V akan kita perleh bentuk gelmbang anak tangga (Gb..6.a.): 7

25 Vu( t) untuk t < V untuk t V V (.9.a) (a) Gb..6. Bentuk gelmbang anak-tangga. Jika t kita ganti dengan (t-t s ) kita perleh bentuk gelmbang Vu( t Ts ) yang merupakan bentuk gelmbang anak tangga tergeser ke arah psitif sebesar T s (Gb..6.b.). Vu( t Ts ) untuk t < Ts V untuk t Ts (.9.b) Bentuk Gelmbang Ekspnensial. Sinyal expnensial merupakan sinyal anak-tangga yang amplitudnya menurun secara ekspnensial menuju nl. Persamaan bentuk gelmbang sinyal ini adalah: t / τ ( V e ) u( t) t (.) Parameter yang penting pada sinyal bentuk ini adalah amplitud V dan knsanta waktu τ (dalam detik). Knstanta waktu ini enentukan kecepatan menurunnya amplitud sinyal. Makin besar τ makin lambat amplitud menurun dan makin kecil τ makin cepat amplitud menurun. T s (b) t.368v V V e t / τ u(t) t/τ Gb..7. Bentuk gelmbang ekspnensial. Pada t τ sinyal sudah menurun mencapai 36,8 % V. Pada t 5τ sinyal mencapai,674v, kurang dari % V. Oleh karena itu kita definisikan durasi (lama berlangsung) suatu sinyal ekspnensial 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

26 adalah 5τ. Kalau kita hanya meninjau keadaan untuk t >, maka u(t) pada persamaan gelmbang ini biasanya tidak dituliskan lagi. Jadi: t / τ V e (.) Bentuk Gelmbang Sinus. Sinus merupakan pengulangan tanpa henti dari suatu silasi antara dua nilai puncak, seperti terlihat pada Gb..8. di bawah ini. V V T t Gb..8. Bentuk gelmbang sinus. mplitud V didefinisikan sebagai nilai maksimum dan minimum silasi. Perida T adalah waktu yang diperlukan untuk membuat satu siklus lengkap. Dengan menggunakan dua parameter tersebut, yaitu V dan T, kita dapat menuliskan persamaan sinus ini dalam fungsi csinus: V cs(π t / T ) (.) Seperti halnya fungsi anak tangga, persamaan umum fungsi sinus diperleh dengan mengganti t dengan (t-t s ). Jadi persamaan umum gelmbang sinus adalah: V cs[ π( t Ts ) / T ] (.3) dengan T s adalah waktu pergeseran, yang ditunjukkan leh psisi puncak psitif yang terjadi pertama kali seperti terlihat pada Gb..8. Pada gambar ini T s adalah psitif. Jika T s negatif pergeserannya akan ke arah negatif. Pergeseran waktu dapat juga diyatakan dengan menggunakan sudut: V cs[ π t / T φ] (.4) Parameter φ disebut sudut fasa. Hubungan antara waktu pergeseran T s dan sudut fasa φ adalah : T φ π s T (.5) Variasi dari gelmbang sinus dapat juga dinyatakan dengan menggunakan frekuensi. Frekuensi f didefinisikan sebagai jumlah V V T s T t 9

27 perida dalam satu satuan waktu, yang disebut frekuensi siklus. Oleh karena perida T adalah jumlah detik (waktu) per siklus, maka jumlah siklus (perida) per detik adalah: f T (.6) dengan satuan hertz ( Hz ), atau siklus per detik. Selain frekuensi siklus, kita mengenal pula frekuensi sudut ω dengan satuan radian per detik (rad/det), yaitu: f π ω π T (.7) Dengan demikian ada dua cara untuk menyatakan frekuensi, yaitu frekuensi siklus (Hz) dan frekuensi sudut (rad/detik), dan fungsi sinus dapat dinyatakan sebagai V cs[π f t φ] V cs[ ω t φ] atau (.7.a) CO TOH-.6: Tegangan pada suatu piranti adalah V (knstan) dan arus yang mengalir padanya adalah m. a). Berapakah daya yang diserap? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti tersebut selama 8 jam itu? Penyelesaian: Penyelesaian sal ini telah kita lakukan pada cnth.. Di sini kita akan melihat mdel sinyalnya. Mdel matematis dari sinyal tegangan V (knstan) kita tuliskan sebagai u( t) V, dan arus m kita tuliskan i u( t) m. Jika sinyal-sinyal ini kita gambarkan akan berbentuk seperti di bawah ini. V u(t) V i m iu(t) m t t Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

28 Daya yang diserap adalah p i. W dan jika kita gambarkan perubahan daya terhadap waktu adalah seperti gambar berikut ini. p, W p i p, W t 8 t (jam) Energi yang diserap selama 8 jam adalah integral dari daya untuk jangka waktu 8 jam. Besar energi ini ditunjukkan leh luas bagian yang diarsir di bawah kura daya seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. CO TOH-.7: Carilah persamaan bentuk gelmbang tegangan yang tergambar di bawah ini. [V] ' ' ' 3 4 t [s] 3 a) b) Penyelesaian : a). Bentuk gelmbang tegangan ini adalah gelmbang anak tangga yang persamaan umumnya adalah (t) u(t T s ), dengan amplitud dan T s pergeseran waktu. Maka persamaan gelmbang pada gambar a) adalah ( t) u( t ) V. Gelmbang ini mempunyai nilai ( t) V V [V] untuk t untuk t < b). Bentuk gelmbang tegangan gambar b) adalah ( t) 3u( t ) V. Gelmbang ini mempunyai nilai ' ' ' ' 3 4 t [s]

29 Pemahaman : ( t) 3 V V untuk t untuk t < u(t) adalah fungsi anak tangga satuan, sebagaimana telah didefinisikan. Fungsi anak tangga satuan ini tidak mempunyai satuan. Bentuk gelmbang tegangan pada gambar a) diperleh dengan mengalikan suatu tegangan knstan sebesar V dengan fungsi anak tangga satuan u(t) yaitu fungsi anak tangga satuan yang bergeser detik. Sedangkan gelmbang tegangan pada gambar b) diperleh dengan mengalikan tegangan knstan sebesar 3 V dengan fungsi anak tangga satuan yang bergeser detik. Bentuk gelmbang apapun, jika dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan u(t) akan bernilai nl untuk t <, dan jika dikalikan dengan u(tt s ) akan bernilai nl untuk t < T s. CO TOH-.8: Carilah persamaan dan gambarkanlah tiga bentuk gelmbang ekspnensial berikut ini dalam satu gambar. (t) : amplitud 5 V, knstanta waktu detik (t) : amplitud V, knstanta waktu detik 3 (t) : amplitud V, knstanta waktu 4 detik Penyelesaian : Persamaan umum gelmbang ekspnensial adalah (t) e t/τ u(t) dengan amplitud, τ knstanta waktu. Jadi pernyataan ketiga gelmbang itu masing-masing adalah ( t) 5e 3 t / ( t) e ( t) e t / t / 4 u( t) V; u( t) V; u( t) V. Bentuk gelmbang tegangan tergambar di bawah ini. Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

30 Pemahaman : Kita lihat bahwa walaupun dan mempunyai amplitud yang jauh berbeda, mereka teredam dengan kecepatan yang sama karena knstanta waktunya sama. Pada t 5 knstanta waktu, yaitu 5 detik, nilai gelmbang telah dapat diabaikan. Gelmbang tegangan dan 3 mempunyai amplitud sama tetapi knstanta waktunya berbeda. Kita lihat bahwa gelmbang yang knstanta waktunya lebih besar lebih lambat menuju nl, sedangkan yang knstanta waktunya lebih kecil lebih cepat menuju nl. CO TOH-.9: Tuliskan persamaan gelmbang sinus untuk t >, yang amplitudnya V, frekuensi siklus 5 Hz, dan puncak psitif yang pertama terjadi pada t 3 mili detik. Gambarkanlah bentuk gelmbangnya. Penyelesaian : [V] 5 Pernyataan umum gelmbang sinus standar untuk t > adalah t T cs s π u( t) T dengan adalah amplitud, T s pergeseran waktu, T perida, dan u(t) adalah fungsi anak tangga satuan. Karena frekuensi siklus f /T maka persamaan umum ini juga dapat ditulis sebagai cs 3 5 t [detik] ( π f ( t T ) u( t) Dari apa yang diketahui dalam persalan yang diberikan, kita dapat menuliskan persamaan tegangan ( π( t,3) u( ) cs t dengan bentuk gelmbang terlihat pada gambar berikut ini. s 3

31 [V] t[detik] -5 - Pemahaman : Perhatikan bahwa puncak pertama psitif terjadi pada t,3 detik. Karena frekuensi gelmbang 5 Hz, maka ada lima puluh siklus dalam satu detik atau dengan kata lain perida gelmbang ini adalah /5 detik, detik. Persamaan umum gelmbang sinus dapat ditulis dalam berbagai bentuk seperti berikut ini. t T s cs π atau cs( π f ( t Ts )) atau T cs( ω( t Ts )) atau cs( ωt φ) Dari persamaan-persamaan umum ini kita dapat dengan mudah menuliskan persamaan bentuk gelmbang sinus berdasarkan parameter-parameter yang diketahui. CO TOH-.: Tuliskan persamaan gelmbang sinus untuk t >, yang frekuensinya rad/s, dan puncak psitif yang pertama terjadi pada t mili-detik. Pada t gelmbang ini mempunyai nilai V. Penyelesaian : Puncak psitif yang pertama terjadi pada t mili detik, artinya pada bentuk gelmbang ini terjadi pergeseran waktu sebesar, detik. Persamaan umum fungsi sinus yang muncul pada t adalah cs[ ω( t Ts )] u( t). mplitud dari gelmbang ini dapat dicari karena nilai gelmbang pada t diketahui, yaitu V. cs ( (,) ) /,54 37 V Jadi persamaan gelmbang sinus ini adalah : u( t) cs( ),54 [ t,) ] u( ) V 37cs ( t 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

32 .3.. Bentuk Gelmbang Kmpsit Bentuk gelmbang yang diperleh melalui penggabungan bentuk gelmbang dasar disebut bentuk gelmbang kmpsit. Beberapa di antaranya akan kita lihat berikut ini. Fungsi Impuls. Secara umum fungsi impuls dituliskan sebagai : u( t T ) u( t T [ u( t T ) u( t T )] ) (.8) Bentuk gelmbang ini adalah gabungan dari dua gelmbang anaktangga dengan amplitud sama akan tetapi berlawanan tanda, masing-masing dengan pergeseran waktu T dan T. (Gb..9.a) δ(t) t t T T -T/ T/ t a) Impuls. b) Impuls simetris thd nl. c) Impuls satuan. Gb..9. Impuls Fungsi Impuls Satuan. Perhatikan gelmbang impuls yang simetris terhadap titik nl seperti pada Gb..9.b. Persamaan bentuk gelmbang ini adalah: T T u t u t T (.8.a) Impuls dengan persamaan diatas mempunyai amplitud /T dan bernilai nl di semua t kecuali pada selang T/ t T/. Luas bidang di bawah pulsa adalah satu karena amplitudnya berbanding terbalik dengan durasinya (lebarnya). Jika lebar pulsa T kita perkecil dengan mempertahankan luasnya tetap satu, maka amplitud akan makin besar. Bila T menuju nl maka amplitud menuju tak hingga, namun luasnya tetap satu. Fungsi yang diperleh pada kndisi limit tersebut dinamakan impuls satuan (unit impuls), dengan simbl δ(t). epresentasi grafisnya terlihat pada Gb..9.c. Definisi frmal dari impuls satuan adalah: t δ( t) untuk t ; δ( x) dx u( t) - (.8.b) 5

33 Kndisi yang pertama dari definisi ini menyatakan bahwa impuls ini nl di semua t kecuali pada t, sedangkan kndisi kedua menyatakan bahwa impuls ini adalah turunan dari fungsi anaktangga satuan. du( t) Jadi δ ( t) (.8.c) dt mplitud impuls satuan adalah tak hingga. Oleh karena itu besar impuls didefinisikan menurut luasnya. Suatu impuls satuan yang muncul pada t T s dituliskan sebagai δ(tt s ). Fungsi amp. Jika kita melakukan integrasi pada fungsi anak tangga satuan, kita akan mendapatkan fungsi ramp satuan yaitu t r( t) u( x) dx tu( t) (.9) amp satuan ini bernilai nl untuk t dan sama dengan t untuk t >. Perhatikan bahwa laju perubahan (kemiringan) dari ramp satuan adalah. Jika kemiringannya adalah K maka persamaannya adalah r k (t) K t u(t). Bentuk umum fungsi ramp adalah r(t) K(tT s )u(t-t s ), (.9.a) yang bernilai nl untuk t < T s dan memiliki kemiringan K. (Gb..). r(t) tu(t) r(t) t T s Gb... Fungsi ramp. K(tT s )u(tt s t Bentuk Gelmbang Sinus Teredam. Bentuk gelmbang kmpsit ini diperleh dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi ekspnensial, yang memberikan persamaan : t / τ ( V e ) t / τ sin( ωt) u( t) V sinωt e u( t) (.) 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

34 Fungsi anak tangga u(t) menjadi salah satu faktr dalam persamaan ini agar persamaan bernilai nl pada t <. V Pada t, gelmbang melalui titik asal karena sin(nπ). Bentuk gelmbang ini V e t / 5 tidak peridik karena faktr ekspnensial memaksa 5 amplitudnya t menurun secara V e t / 5 sin(ωt) ekspnensial. Osilasi ini telah mencapai Gb... Gelmbang sinus teredam. nilai sangat kecil pada t 5τ sehingga telah dapat diabaikan pada t > 5τ. Bentuk Gelmbang Ekspnensial Ganda. Gelmbang kmpsit ini diperleh dengan menjumlahkan dua fungsi ekspnensial beramplitud sama tapi berlawanan tanda. Persamaan bentuk gelmbang ini adalah : V V t / τ e Bentuk gelmbang kmpsit ini, dengan τ > τ terlihat pada Gb... Untuk t < gelmbang bernilai nl. Pada t gelmbang masih bernilai nl karena kedua fungsi saling meniadakan. Pada t >> τ gelmbang ini menuju nl karena kedua bentuk u( t) V t / τ e t / τ t / τ ( e e ) u( t) V V u( t) V e t / 5 V (e t / 5 e t / 5 V e t / Gb... Gelmbang ekspnensial ekspnensial itu menuju nl. Fungsi yang mempunyai knstanta waktu lebih besar akan menjadi fungsi yang lebih menentukan bentuk gelmbang. (.) t 7

35 Bentuk Gelmbang Persegi. Bentuk gelmbang persegi juga merupakan gelmbang kmpsit. Karena gelmbang ini merupakan gelmbang peridik maka persamaan gelmbang ini (t) V T dapat diperleh dengan V menjumlahkan persamaan untuk setiap siklus. Gb..3. Gelmbang persegi. Persamaan untuk siklus yang pertama setelah t, merupakan jumlah dari tiga fungsi anak-tangga, yaitu: T Vu( t) V u( t ) Vu( t T ) Persamaan untuk siklus yang kedua setelah t adalah persamaan siklus pertama yang digeser sebesar satu perida : T Vu( t T ) V u( t T ) Vu( t T ) 3T Vu( t T ) V u( t ) Vu( t T ) Persamaan untuk siklus yang ke k adalah persamaan siklus pertama yang digeser sebesar (k) perida: k k Vu( t [ k ] T ) V u( t T ) Vu( t kt ) Persamaan gelmbang persegi dapat diperleh dengan menjumlahkan k (t) dari k sampai k. k k k ( t) (.) Penjumlahan dari sampai tersebut diperlukan karena gelmbang persegi melebar ke tak hingga baik ke arah psitif maupun ke arah negatif. CO TOH-.: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelmbang yang persamaannya adalah a). 4 u(t) V ; b). 3 u(t) V t 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

36 c). 3 4u(t)3u(t) V; d). 4 4u(t)7u(t)3u(t5) V Penyelesaian : a). Bentuk gelmbang ini adalah gelmbang anak tangga dengan amplitud 4 lt dan muncul pada t. Bentuk gelmbang terlihat pada gambar di samping. b). Gelmbang anak tangga ini mempunyai amplitud 3 lt dan muncul pada t. Gambar 3V bentuk gelmbang terlihat di samping ini c). Bentuk gelmbang ini terdiri dari gelmbang anak tangga beramplitud 4 lt yang muncul pada t ditambah gelmbang anak tangga beramplitud 3 lt yang muncul pada t. Lihat gambar di samping. d). Bentuk gelmbang ini terdiri dari tiga gelmbang anak tangga yang masing-masing 4V muncul pada t, t dan t 5. mplitud mereka 4 berturut-turut adalah 4, 7, dan 3 lt. Bentuk gelmbang terlihat pada 3V gambar di samping ini. CO TOH-.: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelmbang yang persamaannya adalah a). t u(t) V ; 4V b). (t) u(t) V ; c). 3 tu(t) (t) u(t) V; d). 4 tu(t) 4(t)u(t-) V ; e). 5 tu(t) (t)u(t) 4u(t5) V ; f). 6 tu(t) (t)u(t) 4u(t) V t 4V 3 V t t t 9

37 Penyelesaian : 4V a). t u(t) t b). 4V (t) u(t) t 4V c). 3 tu(t) (t) u(t) t 4V d) tu(t) 4(t)u(t-) t e). 4V 5 t tu(t) (t)u(t) 4u(t5) f). 4V 6 tu(t) (t)u(t) 4u(t) t CO TOH-.3: Tentukanlah persamaan bentuk gelmbang yang mulai muncul pada t berikut ini. a). Gelmbang sinus : amplitud V, frekuensi sudut 5 rad per detik, puncak psitif pertama terjadi pada t mili-detik. b). Gelmbang sinus pada a) yang terredam sehingga pada t,5 detik gelmbang sinus ini sudah dapat diabaikan nilainya. c). Gambarkanlah bentuk gelmbang pada a) dan b). Penyelesaian: a). Gelmbang sinus ini baru muncul pada t, sehingga persamaan umumnya adalah cs( ω( t Ts )) u( t). Dari parameter yang diketahui, persamaan gelmbang yang dimaksud adalah cs( 5( t,) ) u( t) V. 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

38 b). gar gelmbang sinus pada a) teredam, maka harus dikalikan dengan fungsi ekspnensial. Jika nilai gelmbang sudah harus dapat diabaikan pada t,5 detik, maka knstanta waktu dari fungsi ekspnensial sekurangkurangnya haruslah τ,5/5,. Jadi persamaan gelmbang yang dimaksud adalah t /, ( 5( t,) ) e u( ) cs t c). Gambar kedua bentuk gelmbang tersebut di atas adalah sebagai berikut. t [detik] Pemahaman: Gelmbang sinus pada umumnya adalah nn-kausal yang persamaan umumnya adalah cs( ω( t Ts )). Dalam sal ini dinyatakan bahwa gelmbang sinus baru muncul pada t. Untuk menyatakan gelmbang seperti ini diperlukan fungsi anak tangga u(t) sehingga persamaan akan berbentuk cs( ω( t Ts )) u( t). Dengan menyatakan bentuk gelmbang sinus dengan fungsi csinus, identifikasi bentuk gelmbang menjadi lebih mudah. Puncak pertama suatu fungsi csinus tanpa pergeseran waktu terjadi pada t. Dengan demikian psisi puncak pertama fungsi csinus menunjukkan pula pergeseran waktunya. Dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi ekspnensial kita meredam fungsi sinus tersebut. Peredaman leh fungsi ekspnensial berlangsung mulai dari t. Oleh karena itu puncak psitif pertama dari gelmbang sinus teredam pada persalan di atas mempunyai nilai kurang dari V. 3

39 Fungsi Parablik Satuan dan Kubik Satuan. Telah kita lihat bahwa integrasi fungsi anak tangga satuan memberikan fungsi ramp satuan. Jika integrasi dilakukan sekali lagi akan memberikan fungsi parablik satuan dan integrasi sekali lagi akan memberikan fungsi kubik satuan. Gb..4. di samping ini memperlihatkan elusi bentuk fungsi anak tangga menjadi fungsi ramp, parablik, dan kubik melalui integrasi. Fungsi-ramp, parablik, dan kubik ini menuju nilai tak hingga jika t menuju tak hingga. Oleh karena itu pemdelan dengan menggunakan fungsi-fungsi ini dibatasi dalam selang waktu tertentu. Perhatikan sinyal gigi gergaji pada Gb..5. yang dimdelkan dengan fungsi ramp yang berulang pada setiap selang waktu tertentu. kubik parablik t Gb..4. nak tangga, ramp, parablik, kubik. Fungsi Signum. Suatu sinyal knstan (tegangan misalnya) yang pada t berubah plaritas, dimdelkan dengan fungsi signum, dituliskan sebagai ( t) sgn( t) (.3) ramp anak tangga u(t) Bentuk gelmbang fungsi signum terlihat pada Gb..5. di samping Gb..5. Signum. ini. Fungsi signum ini merupakan jumlah dari fungsi anak tangga yang telah kita kenal, ditambah dengan fungsi anak tangga yang diperluas untuk t <. sgn( t) u( t) u( t) (.4) (t) u(t) t 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

40 Fungsi Ekspnensial Dua (t) Sisi. Perluasan fungsi anak tangga untuk mencakup e kejadian sebelum t α(t) u(t) e αt u(t) dapat pula dilakukan pada t fungsi ekspnensial. Gb..6. Ekspnensial dua sisi. Dengan demikian kita dapatkan fungsi ekspnensial dua sisi yang kita tuliskan sebagai αt α( t) ( t) e u( t) e u( t) (.5) dengan bentuk kura seperti pada Gb

41 SOL-SOL Dalam sal-sal mdel sinyal berikut ini, satuan waktu t adalah s detik ; ms milidetik ; µs mikrdetik. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelmbang sinyal anak tangga berikut ini : a) : amplitud 5 V, muncul pada t. b) : amplitud V, muncul pada t s. c) 3 : amplitud 5 V, muncul pada t s.. Dari sinyal-sinyal di sal, gambarkanlah bentuk gelmbang sinyal berikut ini. a). 4 ; b). 5 3 c) Gambarkanlah bentuk gelmbang sinyal yang diperleh dengan cara mengintegrasi bentuk gelmbang sinyal pada sal. 4. Gambarkanlah bentuk gelmbang sinyal yang diperleh dengan cara mengintegrasi bentuk gelmbang sinyal pada sal Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelmbang pulsa tegangan berikut ini : a). mplitud 5 V, lebar pulsa s, muncul pada t. b). mplitud V, lebar pulsa s, muncul pada t s. c). mplitud 5 V, lebar pulsa 3 s, muncul pada t s. 6. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelmbang sinyal ekspnensial yang muncul pada t dan knstanta waktu τ, berikut ini : a). a amplitud 5 V, τ ms. b). b amplitud V, τ ms. c). c amplitud 5 V, τ 4 ms. 7. Dari bentuk gelmbang sinyal pada sal 6, gambarkanlah bentuk gelmbang sinyal berikut. a). d a b; b). e a c; c). f a b c 8. Tentukan persamaan bentuk gelmbang sinyal sinus berikut ini : a). mplitud V, puncak pertama terjadi pada t, frekuensi Hz. b). mplitud V, puncak pertama terjadi pada t ms, frekuensi Hz. 34 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

42 c). mplitud V, pergeseran sudut fasa, frekuensi rad/detik. d). mplitud V, pergeseran sudut fasa 3, frekuensi rad/detik. 9. Gambarkanlah bentuk gelmbang kmpsit berikut. t a). { e } u( t) V; t b). { 5e } u( t) V c). 3 { 5sin(π t) } u( t) V; t d). 4 { e sin(π t) } u( t) V. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk-bentuk gelmbang peridik yang digambarkan berikut ini. perida 5 [V] t (detik) a). 5 perida 5 [V] t (detik) b). 3 c). perida 5 [V] t (detik) t 3 35

43 perida 5 [V] t (detik) d). 5 perida 5 [V] t (detik) e) Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

44 BB 3 Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal Dengan mempelajari lanjutan tentang mdel sinyal ini, kita akan memahami berbagai pernyataan gelmbang sinyal; mampu mencari nilai rata-rata dan nilai efektif suatu bentuk gelmbang sinyal; memahami sinyal peridik yang dapat dipandang sebagai suatu spektrum; mampu menncari spektrum sinyal; memahami arti lebar pita frekuensi. 3.. Pernyataan-Pernyataan Gelmbang Sinyal 3... Gelmbang Peridik dan peridik Suatu gelmbang disebut peridik jika gelmbang itu selalu berulang setiap selang waktu tertentu. Jadi jika (t) adalah peridik, maka (tt ) (t) untuk semua nilai t, dengan T adalah peridanya yaitu selang waktu terkecil yang memenuhi kndisi tersebut. Cnth: sinyal gigi gergaji adalah sinyal peridik. Sinyal yang tidak peridik disebut juga sinyal aperidik Sinyal Kausal dan Sinyal n-kausal Sinyal kausal bernilai nl sebelum saat T s tertentu. Jadi jika sinyal (t) adalah kausal maka (t) untuk t < T s. Jika tidak demikian maka sinyal itu disebut sinyal nn-kausal. Sinyal kausal biasa dianggap bernilai nl pada t <, dengan menganggap t sebagai awal munculnya sinyal. Cnth: sinyal sinus adalah sinyal nn-kausal; sinyal anak tangga adalah sinyal kausal. Jika kita mengalikan persamaan suatu bentuk gelmbang dengan fungsi anak tangga satuan, u(t), maka kita akan mendapatkan sinyal kausal ilai Sesaat Nilai amplitud gelmbang (t), i(t), ataupun p(t) pada suatu saat t tertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelmbang itu. 37

45 3..4. mplitud Pada umumnya amplitud gelmbang berubah terhadap waktu diantara dua nilai ekstrem yaitu amplitud maksimum, V maks, dan amplitud minimum, V min ilai amplitud puncak-ke-puncak (peak t peak alue) Nilai amplitud puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi ttal dari amplitud dan didefinisikan sebagai: Vpp Vmaks V min (3.) Dengan definisi ini maka V pp selalu psitif, walaupun mungkin V maks dan V min keduanya negatif ilai puncak Nilai puncak V p adalah maksimum dari nilai abslut amplitud. { V V } Vp Max maks, min (3.) ilai rata-rata Nilai rata-rata secara matematis didefisikan sebagai: t T Vrr ( x) dx T t (3.3) Untuk sinyal peridik, selang waktu T sama dengan perida T. da tidaknya nilai rata-rata menunjukkan apakah suatu sinyal mengandung kmpnen knstan (tidak berubah terhadap waktu) atau tidak. Kmpnen knstan ini disebut juga kmpnen searah dari sinyal ilai efektif ( nilai rms ; rms alue) Nilai ini menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa leh sinyal. Untuk memahami hal ini kita lihat dulu daya sesaat yang diberikan kepada resistr leh tegangan (t), yaitu: p ( t) [ ( t) ] (3.4) 38 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

46 Daya rata-rata yang diberikan kepada resistr dalam selang waktu T adalah: t T Prr [ p( t)] dt T (3.5) t Kalau kedua persamaan di atas ini kita gabungkan, akan kita perleh: t T P rr [ ( t)] dt T t (3.6) pa yang berada di dalam kurung besar pada persamaan di atas merupakan nilai rata-rata dari kwadrat gelmbang. kar dari besaran inilah yang digunakan untuk mendefinisikan nilai rms atau nilai efektif. V rms T t T t [ ( t)] dt (3.7) Untuk sinyal peridik, kita mengambil interal satu siklus untuk menghitung nilai rata-rata. Dengan menggunakan nilai rms kita dapat menuliskan daya rata-rata yang diberikan kepada resistr sebagai: P rr V rms (3.8) Perhatikan bahwa persamaan untuk menghitung P rr dengan menggunakan besaran rms tersebut di atas berbentuk mirip dengan persamaan untuk menghitung daya sesaat pada sinyal searah, yaitu : p ( t) [ ( t) ] (3.9) Oleh karena itulah maka nilai rms juga disebut nilai efektif karena ia menentukan daya rata-rata yang diberikan kepada resistr, setara dengan sinyal searah (t) V as yang menentukan besar daya sesaat. CO TOH-3.: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (V p ), tegangan puncak-puncak (V pp ), perida (T), tegangan rata-rata (V rr ), dan tegangan efektif dari bentuk gelmbang tegangan berikut ini. 39

47 6V 6V t a) b) Penyelesaian : a). Vp 6 V ; Vpp 6 V ; T 3s Vrr 3 6dt 3 dt 3 ( 6 ) Veff dt dt 3 b). V p 6 V ; V pp V ; T 3s Vrr Veff 3 6dt 3 6 dt 3 4dt 3 4 V ( 6 4 ) 3 ( 4) dt 4V t ( 36 ) 4,9 V 3,66 V ( 36 6 ) 5,4 V Pemahaman : Gelmbang peridik dalam cnth di atas, mempunyai persamaan gelmbang yang terdiri dari banyak suku sebagaimana dijelaskan pada gelmbang kmpsit. kan tetapi untuk menghitung nilai rata-rata ataupun efektif, kita cukup melihat satu siklus saja dan bilamana diperlukan gelmbang kita nyatakan dalam beberapa bagian yang mempunyai persamaan sederhana. CO TOH-3.: Tentukanlah 6V nilai tegangan puncak (V p ), tegangan puncak-puncak t (V pp ), perida (T), tegangan rata-rata (V rr ), dan tegangan efektif dari bentuk gelmbang tegangan di samping ini. 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

48 Penyelesaian : Bentuk gelmbang ini berperida 4 detik dan dapat kita nyatakan sebagai jumlah dari bentuk-bentuk sederhana antara detik, antara 3 detik, dan antara 3 4 detik. V V V p rr eff 6 V 4 ; 3tdt 4 V 9t pp 3 6 V T 4 s (6 6( t )) dt dt 3 ; (6 6( t )) dt,5 V 4 3 dt 3 4 dt 3, V 3.. Spektrum Sinyal 3... Bentuk Gelmbang Peridik dan Kmpnennya Kita telah melihat bahwa bentuk gelmbang adalah persamaan atau grafik yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi waktu. Di samping sebagai fungsi waktu, suatu sinyal juga dapat dinyatakan sebagai suatu spektrum, yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi frekuensi. Jadi suatu sinyal dapat dipelajari di kawasan waktu dengan memandangnya sebagai bentuk gelmbang, atau di kawasan frekuensi dengan memandangnya sebagai suatu spektrum. Suatu sinyal peridik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa kmpnen sinus, dengan amplitud, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan. Dalam penguraian itu, sinyal akan terdiri dari kmpnenkmpnen sinyal yang berupa kmpnen searah (nilai rata-rata dari sinyal), kmpnen sinus dengan frekuensi dasar f, dan kmpnen sinus dengan frekuensi harmnisa nf. Frekuensi harmnisa adalah nilai frekuensi yang merupakan perkalian frekuensi dasar f dengan bilangan bulat n. Frekuensi f kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perida sinyal T /f. Frekuensi harmnisa dimulai dari harmnisa ke-dua (f ), harmnisa ke-tiga (3f ), dan seterusnya yang secara umum kita katakan harmnisa ke-n mempunyai frekuensi nf. Gb.3.. di bawah ini memperlihatkan bagaimana bentuk gelmbang ditentukan leh perberbedaan kmpnenkmpnen yang menyusunnya. 4

49 t -5 5 t -4 (a) 3 cs f t t -4 (b) 3 cs f t csπft (c) cs(π( f) t) 3csπft (d) cs(π( f) t π / 4) Gb.3.. Bentuk gelmbang peridik tergantung kmpnenkmpnen sinusnya. Berikut ini kita akan melihat suatu cnth sinyal dengan bentuk gelmbang yang dinyatakan leh persamaan ( πf t) sin( π( f ) t) cs( (4 f ) t) 4cs π Sinyal ini merupakan jumlah dari satu kmpnen searah dan tiga kmpnen sinus yang kita sebut juga kmpnen blak-balik. Kmpnen searah sering kita sebut kmpnen berfrekuensi nl karena (t) V cs(πft) V jika f. Kmpnen blak-balik yang pertama adalah kmpnen sinus dasar karena kmpnen inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nl. Suku ketiga dan keempat adalah harmnisa ke- dan ke-4; harmnisa ke-3 tidak ada. Untuk melihat spektrum sinyal, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk yang sama yaitu bentuk standar seperti V cs(πftφ). Dengan menggunakan identitas sin(x) cs(x-9 ) dan cs(x) cs(x8 ), maka persamaan sinyal di atas dapat kita tulis 4 cs(πf t) cs(π ft 9 ) cs(π4 ft 8 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () )

50 Dalam persamaan ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitud dan sudut fasa dari tiap kmpnen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi f f 4 f mplitud (V) 4 Sudut fasa 9 8 Tabel ini menunjukkan spektrum dari sinyal yang sedang kita bahas karena ia menunjukkan baik amplitud maupun sudut fasa dari semua kmpnen csinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu :, f, f, dan 4f. mplitud pada setiap frekuensi secara berturut-turut adalah, 3, 5, dan 7,5 Vlt. Sudut fasa dari kmpnen blak-balik yang berfrekuensi f, f dan 4f berturut turut adalah, 9, dan 8. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu grafik amplitud dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitud dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa, seperti terlihat pada Gb.3.. berikut ini. Spektrum mplitud 4 8 [ V ] [ ] 3 9 Spektrum Sudut Fasa Frekwensi [ x f ] Frekwensi [ x f ] Gb.3.. Spektrum amlitud dan spektrum sudut fasa Penguraian sinyal menjadi penjumlahan harmnisa-harmnisa, dapat diperluas untuk semua bentuk gelmbang sinyal peridik. Bentuk gelmbang persegi misalnya, yang juga merupakan suatu bentuk gelmbang peridik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmnisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian gelmbang persegi ini adalah sebagai berikut: 43

51 cs(πft 9 ) cs(π3 ft 9 ) 3 cs(π5 ft 9 ) cs(π7 ft 9 ) 5 7 Dari persamaan untuk gelmbang persegi ini, terlihat bahwa semua harmnisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu 9 ; amplitudnya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktr /n; tidak ada kmpnen searah dan tidak ada harmnisa genap. Tabel amplitud dan sudut fasa adalah seperti berikut: Frekuensi: f f 3f 4f 5f 6f.. nf mplitud: 3,3.. /n Sudut Fasa: Spektrum amplitud dan spektrum sudut fasa dari gelmbang persegi ini terlihat pada Gb.3.3. di bawah ini. Spektrum mplitud Gel. Persegi [V] Frekuensi [ xf ] Spektrum Sudut Fasa Gel. Persegi Frekuensi [ xf ] -45 [ ] Gb.3.3. Spektrum amplitud dan spektrum sudut fasa gelmbang persegi. Gb.3.4. berikut ini memperlihatkan bagaimana gelmbang persegi terbentuk dari harmnisa-harmnisanya. 44 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

52 a) b) c) d) e) Gb.3.4. Uraian bentuk gelmbang persegi. a) sinus dasar; b) sinus dasar harmnisa ke-3; c) sinus dasar harmnisa ke-3 harmnisa ke-5; d) sinus dasar harmnisa ke-3 harmnisa ke-5 harmnisa ke-7; e) sinus dasar harmnisa-harmnisa sampai harmnisa ke-. Penjumlahan sampai dengan harmnisa ke- memperlihatkan bahwa penjumlahan seterusnya akan makin mendekati bentuk gelmbang persegi. Sampai harmnisa ke berapa kita akan melakukan penjumlahan tergantung dari kepuasan kita untuk menerima bentuk yang diperleh sebagai bentuk pendekatan gelmbang persegi Lebar Pita Dari cnth gelmbang persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmnisa-harmnisa pada sinus dasarnya kita akan makin mendekati bentuk gelmbang persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmnisa tinggi yang memberikan bentuk gelmbang yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk gelmbang yang kita inginkan. Pada spektrum amplitud, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmnisa, akan makin rendah amplitudnya. Hal ini tidak hanya berlaku untuk gelmbang persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu kita dapat menetapkan suatu batas frekuensi tertinggi dengan menganggap amplitud dari harmnisa-harmnisa yang memiliki frekuensi di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Sebagai cnth, batas frekuensi 45

53 tertinggi tersebut dapat kita ambil frekuensi harmnisa yang amplitudnya tinggal (misalnya) % dari amplitud sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi dapat kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk gelmbang yang kita tinjau tidak mengandung kmpnen searah. Jika mengandung kmpnen searah maka frekuensi terendah adalah nl. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width) Deret Furier Penguraian suatu sinyal peridik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi peridik kedalam deret Furier yang kita pelajari dalam matematika. Jika f(t) adalah fungsi peridik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan sebagai deret Furier: [ a cs(πnf t) b sin(πnf ] f ( t) a n n t) (3.) Persyaratan Dirichlet meminta agar f(t) bernilai tunggal, integral f(t) dalam selang satu perida adalah berhingga, dan f(t) mempunyai ketidak-kntinyuan dalam jumlah yang terbatas dalam satu perida. Deret Furier knergen untuk fungsi peridik yang memenuhi persyaratan ini. Tetapi ada fungsi-fungsi yang tidak memenuhi persyaratan ini namun mempunyai deret Furier yang knergen. Jadi persyaratan Dirichlet ini cukup untuk terjadinya deret Furier yang knergen tetapi tidak harus. Persyaratan ini tidak merupakan persalan yang serius sebab kebanyakan bentukbentuk gelmbang sinyal yang kita temui dalam rekayasa elektr memenuhi persyaratan ini. Cnth-cnth bentuk gelmbang peridik yang sering kita temui adalah gelmbang persegi, deretan pulsa, segitiga, gigi-gergaji, sinus, csinus, sinus setengah gelmbang, sinus gelmbang penuh. Dalam persamaan (3.) a adalah kmpnen searah yang merupakan nilai rata-rata sinyal sedangkan suku kedua adalah kmpnen sinus yang merupakan penjumlahan dari fungsi sinus dan csinus, masing-masing dengan kefisien Furier a n dan b n. Persamaan (3.) menunjukkan bahwa kmpnen sinus dari sinyal peridik ditentukan leh apa yang berada dalam tanda kurung, yaitu 46 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

54 Jika S [ an cs( nωt) bn sin( nωt) ] n b n an cs( nωt) sin( nωt) n an bn tan ϕn a maka persamaan (3.) menjadi n a S n csϕn cs( nωt) sinϕn sin( nωt) csθ n n a b cs( nωt ϕn ) n dan (3.) menjadi [ ] (3.) ( ) y t a a cs( ω ϕ ) n bn n t n (3.) n Bentuk persamaan (3.) ini lebih jelas memperlihatkan bahwa a adalah nilai rata-rata sinyal; a n b n adalah amplitud-amplitud sinyal sinus dan ϕ n adalah sudut fasanya. Dengan demikian maka (3.) merupakan pernyataan matematis dari sinyal peridik secara umum. Nilai ϕ n tergantung dari tanda a n dan b n. a n b n ϕ n di kuadran pertama di kuadran ke-dua di kuadran ke-tiga di kuadran ke-empat Kefisien Furier ditentukan melalui hubungan (3.3). 47

55 a a b n n T T T T / T T T / T / / T / / f ( t) dt f ( t)cs(πnf f ( t)sin(πnf t) dt t) dt (3.3) Perhitungan kefisien Furier dengan menggunakan frmula (3.3) ini dapat dilakukan jika sinyal peridik memiliki persamaan yang diketahui dan mudah di-integrasi. Jika sinyal tersebut sulit dicari persamaannya, misalnya sinyal diketahui dalam bentuk kura (grafik), maka perhitungan dapat dilakukan dengan pendekatan numerik yang akan kita pelajari di bab lain Kefisien Furier Beberapa Bentuk Gelmbang Peridik Pada sinyal-sinyal peridik yang sering kita temui, banyak diantara kefisien-kefisien Furier yang bernilai nl. Hal ini tergantung dari kesimetrisan sinyal y(t). da dua kndisi simetri yaitu simetri genap dan simetri ganjil (gasal). Simetri Genap. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri genap jika y(t) y(t). Sinyal dengan simetri genap simetris terhadap sumbu-y. Untuk sinyal semacam ini, dari (3.) kita dapatkan y(t) -T / T / t y( t) a n n y( t) a n T [ a cs( nω t) b sin( nω t) ] [ an cs( nωt) bn sin( nωt) ] n dan Kalau kedua sinyal ini harus sama, maka haruslah b n, dan uraian sinyal y(t) yang memiliki simetri genap ini menjadi 48 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

56 bn (3.4) y( t) a [ an cs( nωt) ] n Sinyal dengan simetri genap merupakan gabungan dari sinyal-sinyal csinus; sinyal csinus sendiri adalah sinyal dengan simetri genap. Simetri Ganjil. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri ganjil jika y(t) y(t). Sinyal semacam ini simetris terhadap titik-asal [,]. y(t) T t Dari (3.) kita dapatkan [ a cs( nω t) b sin( nω t ] y ( t) a n n ) n Kalau sinyal ini harus sama dengan [ a cs( nω t) b sin( nω t ] y ( t) a n n n ) maka haruslah a dan an ( ) y t n [ b sin( nω t) ] n (3.5) Sinyal dengan simetri ganjil merupakan gabungan dari sinyal-sinyal sinus; sinyal sinus sendiri adalah sinyal dengan simetri ganjil. Berikut ini diberikan frmula untuk menentukan kefisien Furier pada beberapa bentuk gelmbang peridik. Bentuk-bentuk gelmbang yang tercantum disini adalah bentuk gelmbang yang persamaan matematisnya mudah diperleh, sehingga pencarian kefisien Furier menggunakan hubungan (3.3) dapat dilakukan. 49

57 Penyearahan Setengah Gelmbang: T t a / π / π an n genap; a n n b / ; bn n n ganjil Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; leh karena itu a. Perhitungan a, a n, b n lebih mudah dilakukan dengan menggunakan relasi (3.). Penyearahan Gelmbang Penuh Sinyal Sinus: T t a / π 4 / π an n genap; an n bn untuk semua n n ganjil Sinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandung kmpnen sinus; b n untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu leh karena itu a, dengan nilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelmbang. Demikian pula halnya a n untuk n genap bernilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelmbang. Sinyal Persegi: T t a an semua n ; 4 bn n ganjil; bn nπ n genap Sinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidak mengandung kmpnen csinus; a n untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu, jadi a. 5 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

58 Deretan Pulsa: T T t a T / T nπt an sin nπ T bn untuk semua n Sinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; b n untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, leh karena itu a. Sinyal Segitiga: T t a 8 an ( nπ) bn n ganjil; an n genap untuk semua n Sinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; b n untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a. Sinyal Gigi Gergaji: T t a / an untuk semua n bn untuk semua n nπ Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a /. Ia memiliki simetri ganjil; a n untuk semua n. CO TOH-3.3: Uraikanlah bentuk gelmbang penyearahan tegangan setengah gelmbang sinω t V sampai dengan harmnisa ke-6 dan gambarkan spektrum amplitud dan bentuk gelmbang pendekatannya. Penyelesaian: 5

59 Sinus setengah gelmbang ini beramplitud. Kefisien Furier menurut frmula di atas, serta amplitud dan sudut fasa kmpnen gelmbang ini adalah: Kefisien Furier mplitud ϕ [rad] a,38,38 a,5,57 b,5 a -,, b a 4 -,4,4 b 4 a 6 -,8,8 b 6 Dengan menggunakan kefisien Furier, persamaan gelmbang adalah ( t),38,5sin( ωt),cs ωt,4cs 4ωt,8cs 6ωt V yang nilai amplitudnya adalah,38 V;,5 V;, V; 4,4 V; 6,8 V Gambar berikut ini memperlihatkan spektrum amplitud sedangkan bentuk gelmbang pendekatan dalam satu perida (sampai harmnisa ke-6) terlihat pada gambar di bawah ini..6.5 [V] harmnisa 5 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

60 . [V] [ ] CO TOH-3.4: Suatu tegangan berbentuk gelmbang gigi gergaji memiliki nilai maksimum lt, dengan frekuensi siklus per detik. Uraikanlah bentuk gelmbang tegangan ini atas kmpnenkmpnen sampai harmnisa ke-7 dan gambarkan spektrum amplitudnya serta bentuk gelmbang pendekatan. Penyelesaian: Setelah diperleh kefisien Furier, persamaan gelmbang gigi gergaji dapat dinyatakan dalam kmpnen-kmpnennya sebagai: ( t) 6,366sinωt 3,83sinωt,sin3ωt,59sin4ωt,73sin5ωt,6sin6ωt,99sin7ωt V Spektrum amplitud terlihatkan pada gambar berikut. [V] harmnisa Jika kita gambarkan bentuk gelmbang sampai harmnisa ke-7 seperti yang dinyatakan leh persamaan di atas, kita akan mendapatkan bentuk seperti gambar di samping ini. Terlihat pada gambar ini bahwa dengan memperhitungkan kmpnen hanya sampai harmnisa ke-7, bentuk gelmbang gigi gergaji yang diperleh sangat terdistrsi. 53

61 [V] [ ] 54 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

62 Sal-Sal. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal-sinyal berikut. perida 5 [V] t (detik) a). b). c). d). 5 perida 5 [V] t (detik) 3 perida 5 [V] t (detik) 5 perida 5 [V] t (detik) a). Gambarkan bentuk gelmbang deretan pulsa tegangan beramplitud V, lebar pulsa ms, perida 5 ms. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal. 3. a). Gambarkan sinyal tegangan gigi gergaji ber amplitud V dengan perida,5 s. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal. 55

63 4. Untuk menggerakkan sebuah bandul diperlukan pulsa arus 5 m dengan lebar pulsa 3 ms, yang harus diberikan setiap detik. Jika pulsa arus itu diambil dari batere berkapasitas,5 h, berapa lamakah batere akan bertahan? 5. Gambarkan spektrum amplitud dan sudut fasa dari gelmbang tegangan berikut dan tentukan lebar pita dengan mengambil batas terrendah amplitud harmnisa 5%. a). 4 5sin πt cs π4t, sin π8t V b). 3cs(πt 6 ) - sinπt csπ8t V 56 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

64 BB 4 Mdel Piranti Pasif Suatu piranti mempunyai karakteristik atau perilaku tertentu. Perilaku suatu piranti dinyatakan leh karakteristik i- yang dimilikinya, yaitu hubungan antara arus yang melalui piranti dengan tegangan yang ada di antara terminalnya. Pada umumnya hubungan ini cukup rumit dan tidak linier. Untuk keperluan analisis, kita menggunakan suatu mdel linier yang lebih sederhana yang cukup mendekati sifat-sifat yang mennjl dari piranti itu. Untuk membedakan antara piranti sebagai benda nyata dan mdelnya, mdel itu kita sebut elemen. Piranti dan elemen kita kelmpkkan menjadi dua kelmpk yaitu elemen pasif dan elemen aktif. Dalam bab ini kita akan mempelajari piranti dan elemen pasif sedangkan piranti dan elemen aktif akan kita pelajari di bab berikutnya. Dengan mempelajari mdel piranti pasif, kita akan memahami bahwa dalam analisis rangkaian listrik, piranti dinyatakan sebagai elemen rangkaian yang merupakan mdel linier dari piranti; mampu memfrmulasikan karakteristik arus-tegangan piranti / elemen pasif seperti resistr, kapasitr, induktr, induktansi bersama, transfrmatr ideal. 4.. esistr Kita mengenal resistr dalam rentang dimensi (ukuran) yang lebar. esistr yang digunakan pada rangkaian elektrnika berukuran hanya beberapa milimeter bahkan ukuran mikrn yang tergabung dalam satu chip; untuk keperluan ariasi tegangan terdapat ptensimeter yang berupa resistr dengan kntak geser. Untuk rangkaian pemrses energi, resistr mempunyai ukuran yang besar seperti misalnya resistr yang digunakan dalam lkmtif kereta listrik mdel lama. Pada dasarnya kita memerlukan resistr yang murni resistif. kan tetapi dalam kenyataan hal ini tidak mudah dapat dicapai. Namun demikian dengan teknikteknik pembuatan tertentu, selalu diusahakan agar resistr mendekati keadaan resistif murni tersebut. (Lihat Lampiran I). esistr adalah piranti yang sesungguhnya mempunyai karakteristik i- yang tidak linier (nn linier) seperti terlihat pada Gb.4.. Namun kalau kita perhatikan karakteristik ini, ada bagian tertentu yang dapat didekati 57

65 dengan hubungan linier, yaitu bagian yang berada dalam batas daerah perasi resistr tersebut. Batas daerah perasi ini biasanya dinyatakan sebagai batas daya (pwer rating), yaitu daerah yang mempunyai kura i- berbentuk garis lurus melalui titik asal. Dalam analisis rangkaian, kita selalu memanfaatkan resistr dalam batas-batas kemampuan daya-nya sehingga kita mempunyai apa yang kita sebut sebagai resistr linier. nyata 4... Karakteristik i- esistr Simbl: batas daerah linier Gb.4.. Karakteristi i- resistr Dengan mengikuti knensi pasif, hubungan antara arus dan tegangan resistr dapat ditulis dalam suatu persamaan yang dikenal sebagai hukum Ohm yaitu : i atau i G ; dengan G (4.) dan G adalah suatu knstanta dalam relasi (4.). Parameter disebut resistansi dengan satuan hm, Ω. Parameter G disebut knduktansi dengan satuan siemens, S (atau mh dalam literatur lama). Secara grafis, hukum Ohm berbentuk garis lurus. Karakteristik i- dalam hukum Ohm adalah linier dan bilateral. Linier berarti karakteristiknya berbentuk garis lurus, sehingga tegangan selalu sebanding dengan arus, dan demikian pula sebaliknya. Bilateral berarti bahwa kura karakteristiknya simetris terhadap titik (,). Karena sifat bilateral ini maka pembalikan tegangan akan menyebabkan pembalikan arah arus tanpa mengubah besar arusnya. Dengan demikian kita dapat menghubungkan resistr dalam rangkaian tanpa memperhatikan plaritasnya. Hal ini berbeda dengan piranti lain seperti dida, transistr, OP MP, sumber, yang menuntut kita untuk selalu memperhatikan plaritasnya karena piranti-piranti ini tidak bersifat bilateral. i mdel 58 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

66 4... Daya Pada esistr Daya yang diserap resistr dapat dihitung dengan hubungan p i i G (4.) Di sini, bernilai psitif maka daya selalu psitif. Berdasarkan knensi pasif, hal ini berarti bahwa resistr selalu menyerap daya. CO TOH-4.: Tegangan pada sebuah resistr 4 Ω adalah V (knstan). Berapakah arus yang mengalir melalui resistr tesebut dan berapakah daya yang diserap? Dalam waktu 8 jam, berapakah energi yang diserap? Penyelesaian: rus dan daya pada resistr adalah i,5 4 dan () p i W 4 Karena tegangan dan arus knstan maka jumlah energi yang diserap selama 8 jam adalah 8 w pdt 8 dt 8 8 Watt. jam,8 kwh CO TOH-4.: Tegangan pada suatu resistr Ω berubah terhadap waktu sebagai 4sin4t Vlt. Bagaimanakah arus yang melalui resistr dan daya yang diserapnya? Penyelesaian : rus yang melalui resistr adalah 4 sin 4t i sin 4 t m. Daya yang diserap adalah p i 4sin 4t.sin 4t 48sin 4 t W Dengan menggunakan kesamaan sin α(csα)/, maka nilai daya dapat dituliskan ( cs8 t) / 4 4cs8 W p 48 t 59

67 Pemahaman : Jika kita gambarkan tegangan, arus, dan daya, akan kita perleh gambar seperti di bawah ini. [V] p [W] i [m] t (detik) rus dan tegangan berariasi secara bersamaan. Hal ini terlihat juga dari persamaan arus dan tegangan, yang keduanya merupakan fungsi sinus. Daya berariasi secara peridik dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus, namun nilainya tidak pernah negatif. Nilai rata-rata daya selalu psitif; hal ini dapat kita lihat juga pada persamaan yang kita perleh, yang menunjukkan bahwa daya terdiri dari kmpnen knstan 4 W ditambah kmpnen yang berariasi sinusidal yang memiliki nilai rata-rata. Menurut knensi pasif, nilai rata-rata yang selalu psitif menunjukkan bahwa resistr selalu menyerap daya. 4.. Kapasitr Seperti halnya resistr, kita mengenal kapasitr yang berdimensi kecil yang sering dipakai pada rangkaian elektrnika sampai kapasitr berdimensi besar yang digunakan dalam rangkaian pemrsesan energi yang kita kenal sebagai capacitr bank. Untuk keperluan penalaan, kita mengenal juga kapasitr dengan nilai yang dapat diubah yang disebut kapasitr ariabel. Kapasitr adalah suatu piranti dinamik yang berbasis pada ariasi kuat medan listrik yang dibangkitkan leh sumber tegangan. da berbagai bentuk kapasitr yang dapat kita jumpai dalam praktik. (Lihat Lampiran II). Bentuk yang paling sederhana adalah dua pelat paralel yang dipisahkan leh suatu bahan dilistrik. Bahan dilistrik ini memberikan gejala resistansi. Dalam mempelajari analisis rangkaian listrik kita menganggap kapasitr sebagai piranti ideal, tanpa mengandung 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

68 resistansi. Suatu kapasitr mempunyai kapasitansi C yang besarnya adalah ε ε C r (4.3) d dengan ε r adalah permitiitas relatif dilistrik dan ε adalah permitiitas ruang hampa; adalah luas elektrda dan d adalah tebal dilistrik yang sama dengan jarak elektrda. Kapasitansi ini merupakan knstanta yang menentukan hubungan antara beda tegangan antar elektrda kapasitr, C, dengan muatan yang terkandung pada elektrdanya, q C. q C C C (4.4) Satuan kapasitansi adalah farad (F) (sebagai penghrmatan kepada Michel Faraday, serang fisikawan Inggris) Karakteristik i- Kapasitr Ideal Hubungan antara arus dan tegangan kapasitr dapat kita perleh dari turunan q C dalam relasi (4.4), yaitu dqc d( CC ) dc ic C dt dt dt (4.5) Hubungan i- ini dapat kita gambarkan dalam bentuk grafik seperti terlihat pada Gb.4.. rus i C berbanding lurus dengan turunan terhadap waktu dari C dan kemiringan dari garis itu adalah C. i C C C simbl d C /dt Gb.4.. Karakteristik i- kapasitr. Dalam relasi (4.5), arus i C merupakan turunan terhadap waktu dari tegangan C. Hal ini berarti bahwa jika C knstan maka arusnya nl, dan sebaliknya kalau arusnya nl berarti tegangannya knstan. Dengan kata lain kapasitr bersifat sebagai rangkaian terbuka jika diberi tegangan searah. Jadi arus hanya akan mengalir jika tegangannya berubah terhadap 6

69 waktu dan leh karena itu kapasitr disebut elemen dinamik. kan tetapi perubahan tegangan yang tak-kntinu akan memberikan arus yang takterhingga besarnya; hal demikian ini secara fisis tidak mungkin. Oleh karena itu tegangan kapasitr harus merupakan fungsi kntinu terhadap waktu. Untuk mencari tegangan C kita gunakan hubungan antara arus dan tegangan yang sudah kita perleh, yaitu i C C d C /dt, dengan mengalikan kedua ruas dengan dt dan mengintegrasinya: C ( t) d C C ( t ) t ic C t dt C (4.6) Jika dalam menentukan batas-batas integrasi tersebut diatas kapasitr sudah mempunyai tegangan sebesar C (t ) saat t t, maka integrasi di atas memberikan : t C C ( t ) icdt C (4.7) t Kalau pada saat tt kapasitr belum bertegangan maka C (t ), sehingga kita mempunyai hubungan t C icdt C (4.8) t 4... Daya Dan Energi Pada Kapasitr Dengan mengikuti knensi pasif, daya kapasitr dapat kita tuliskan sebagai d C d p C C ic CC CC dt dt (4.9) Persamaan (4.9) ini menunjukkan bahwa daya bisa psitif bisa juga negatif karena tegangan kapasitr dan laju perubahannya bisa mempunyai tanda yang berlawanan. Daya psitif berarti kapasitr menyerap daya, sedangkan kalau daya negatif berarti kapasitr memberikan daya. Kemampuan kapasitr untuk menyerap dan memberikan daya ini mempunyai arti bahwa kapasitr dapat menyimpan energi. Besar energi yang tersimpan pada kapasitr dapat kita lihat dari persamaan (4.9). Karena kita tahu bahwa daya adalah turunan terhadap waktu dari energi, maka apa yang berada dalam tanda kurung pada persamaan (4.9) di atas tentulah menunjukkan energi. Secara matematis 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

70 energi yang tersimpan dalam kapasitr pada saat t kita perleh dari persamaan di atas, yaitu w C C C knstanta (4.) Knstanta pada (4.) adalah jumlah energi yang telah tersimpan sebelumnya, yang kita sebut simpanan energi awal. pabila simpanan energi awal ini nl, maka w C C C (4.) Energi yang tersimpan ini tidak pernah negatif sebab ia sebanding dengan kwadrat dari tegangan. Kapasitr akan menyerap daya dari rangkaian jika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akan mengeluarkan energi yang disimpannya itu pada waktu ia memberikan energi pada rangkaian. Namun alih energi nett tidak pernah negatif ; hal ini berarti bahwa kapasitr adalah elemen pasif. Karena tegangan kapasitr menentukan status atau keadaan energi dari elemen ini, maka tegangan kapasitr disebut sebagai peubah keadaan (state ariable). Secara singkat dapat kita katakan bahwa kapasitr merupakan suatu elemen dinamik dengan sifat-sifat sebagai berikut : ). rus yang melalui kapasitr akan nl jika tegangannya tidak berubah terhadap waktu. Kapasitr berperilaku seperti rangkaian terbuka pada tegangan searah. ). Tegangan kapasitr adalah fungsi kntinyu dari waktu. Perubahan tak kntinyu dari tegangan kapasitr memerlukan arus dan daya yang tak terhingga besarnya, yang secara fisis tidak mungkin terjadi. 3). Kapasitr menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukan penyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpan sebelumnya, jika ia memberikan energi pada rangkaian. CO TOH-4.3: Tegangan pada suatu kapasitr µf berubah terhadap waktu sebagai C sin4t Vlt. Bagaimanakah arus yang melalui kapasitr dan daya yang diserapnya? Penyelesaian : rus yang melalui kapasitr adalah 63

71 d 6 d i C C C dt dt Daya yang diserap kapasitr adalah pc CiC sin 4t.6cs4t) 3cs4t sin 4t 6sin 8t W Pemahaman : ( sin 4t) 6 cs 4t m Jika tegangan, arus, dan daya kita gambarkan akan kita lihat keadaan yang berbeda dengan apa yang kita temui pada resistr pada cnth 4.. Hal ini diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Pada waktu tegangan mulai naik pada t, arus justru sudah mulai menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain gelmbang arus mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari gelmbang tegangan; dikatakan bahwa arus kapasitr mendahului tegangan kapasitr. [V] i [m] p [W] t [detik] Perbedaan kemunculan ini disebut pergeseran fasa yang untuk kapasitr besarnya adalah 9 ; jadi arus mendahului tegangan dengan beda fasa sebesar 9. Daya berariasi secara sinus dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. kan tetapi ariasi ini simetris terhadap sumbu waktu. Selama setengah perida daya bernilai psitif dan setengah perida berikutnya daya bernilai negatif; dan demikian berulang seterusnya. Menurut knensi pasif, hal ini berarti bahwa kapasitr menyerap daya selama setengah perida dan memberikan daya selama setengah perida berikutnya. Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya nett; hal ini berbeda dengan resistr yang justru selalu menyerap daya karena daya selalu psitif. 64 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

72 4.3. Induktr Induktr sebagai piranti induktif, dengan dimensi kecil, banyak dipakai dalam rangkain elektrnika. Untuk rangkaian pemrses energi, kita mengenal piranti induktif berukuran besar yang disebut reaktr. Induktr dibangun dari kawat (knduktr) yang dililitkan pada suatu inti yang terbuat dari bahan magnetik ataupun tanpa inti (berinti udara). Oleh karena ia terbuat dari gulungan kawat, maka induktr selalu mengandung resistansi. kan tetapi dalam analisis rangkaian listrik yang akan kita pelajari, kita menganggap induktr sebagai piranti ideal tanpa mengandung resistansi. Induktr adalah elemen dinamik yang berbasis pada ariasi medan maknit yang ditimbulkan leh arus. Pada kumparan dengan jumlah lilitan, dan dialiri arus sebesar i L, akan timbul fluksi magnit sebesar φ k i L, dengan k adalah suatu knstanta. Jika tidak ada kebcran fluksi, fluksi ini akan memberikan fluksi lingkup sebesar λ φ k i L. Hubungan antara arus yang melalui induktr itu dengan fluksi lingkup yang ditimbulkannya dinyatakan dengan suatu knstanta L yang kita sebut induktansi induktr dengan satuan henry. λ LiL k i L (4.) Karakteristik i- Induktr Ideal Menurut hukum Faraday, tegangan pada induktr sama dengan laju perubahan fluksi lingkupnya. Karakteristik i- induktr dapat diperleh dari turunan terhadap waktu dari λ dengan mengingat bahwa L adalah suatu knstanta. [ Li ] dλ d di L L L L (4.3) dt dt dt Dengan demikian kita mendapatkan hubungan i- untuk induktr di L L L (4.4) dt Hubungan ini dapat kita gambarkan seperti terlihat pada Gb

73 simbl L di L dt /L L Gb.4.3. Karakteristik i induktr Turunan terhadap waktu dari i L pada (4.4) di atas, menunjukkan bahwa tegangan pada induktr adalah nl jika arus tidak berubah terhadap waktu. Jadi pada arus searah tegangan induktr adalah nl, L ; ia berperilaku seperti suatu hubung singkat. Induktr adalah elemen dinamik karena hanya jika ada perubahan arus maka ada tegangan. kan tetapi perubahan arus yang tak kntinyu menyebabkan tegangan menjadi tak terhingga besarnya, yang secara fisis tak mungkin terjadi. Oleh karena itu arus i L harus kntinyu terhadap waktu (arus tidak dapat berubah secara tiba-tiba). Untuk mencari arus i L kita gunakan hubungan antara arus dan tegangan yang sudah kita perleh, yaitu L L di/dt, dengan mengalikan kedua ruas dengan dt dan mengintegrasinya: il ( t) di L il ( t ) t dt i L L t L (4.5) Jika dalam menentukan batas-batas integrasi tersebut diatas kita menganggap bahwa pada saat tt induktr sudah dialiri arus sebesar i L (t ), maka integrasi di atas memberikan : t il il ( t ) Ldt L (4.6) t Kalau pada saat t t induktr belum dialiri arus maka i L, dan t il Ldt L t (4.7) 66 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

74 Daya Dan Energi Pada Induktr Dengan mengikuti knensi pasif, daya pada induktr dapat kita tuliskan sebagai di L d p L LiL LiL LiL dt dt (4.8) Seperti halnya pada kapasitr, persamaan daya untuk induktr ini juga menunjukkan bahwa daya bisa psitif bisa juga negatif karena arus induktr dan laju perubahannya bisa mempunyai tanda yang berlawanan. Daya psitif berarti induktr menyerap daya sedangkan kalau dayanya negatif berarti induktr memberikan daya. Jadi induktr dapat menyerap dan memberikan daya; hal ini berarti bahwa induktr dapat menyimpan energi. Besar energi yang tersimpan pada induktr dapat kita lihat dari persamaan (4.8). Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi, maka apa yang berada dalam tanda kurung pada persamaan (4.8) menunjukkan besar energi. Secara matematis besar energi pada saat t dapat kita perleh dari persamaan tersebut, yaitu w L LiL knstanta (4.9) Knstanta pada (4.9) adalah energi yang telah tersimpan pada saat t. pabila simpanan energi awal ini nl, maka energi induktr adalah w L Li L (4.) Energi yang tersimpan ini tidak pernah negatif sebab ia sebanding dengan kwadrat dari arus. Induktr akan menyerap daya dari rangkaian jika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akan mengeluarkan energi yang disimpannya jika ia memberikan energi pada rangkaian. Seperti halnya pada kapasitr, alih energi nett pada induktr tidak pernah negatif; hal ini menunjukkan bahwa induktr adalah elemen pasif. Karena arus induktr menentukan status atau keadaan energi dari elemen ini, maka arus disebut sebagai ariabel keadaan (state ariable) dari induktr. Secara singkat dapat kita katakan bahwa induktr merupakan suatu elemen dinamik dengan sifat-sifat sebagai berikut : 67

75 ). Tegangan pada induktr akan nl jika arusnya tidak berubah terhadap waktu. Induktr berperilaku seperti suatu hubung singkat pada arus searah. ). rus yang melalui induktr adalah fungsi kntinyu dari waktu. Perubahan tak kntinyu dari arus induktr memerlukan tegangan serta daya yang tak terhingga besarnya, yang secara fisis tidak mungkin terjadi. 3). Induktr menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukan penyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpan sebelumnya jika ia memberikan energi pada rangkaian. CO TOH-4.4: Tegangan pada suatu induktr,5 H berubah terhadap waktu sebagai L sin4t Vlt. Bagaimanakah arus yang melalui induktr dan daya yang diserapnya? Penyelesaian : dil L L il Ldt t K dt L ( cs 4 ).5 4 Knstanta integrasi K adalah arus pada induktr pada saat awal integrasi dilakukan, yang kita sebut arus awal induktr. Jika arus awal ini tidak ada maka il cs 4t m pl LiL sin 4t (.cs4t) 4sin 4t cs 4t sin 8t Pemahaman : Variasi, t, dan p pada induktr di halaman berikut. Bentuk gelmbang tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari bentuk gelmbang arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitr). Perbedaan fasa di sini juga 9, artinya arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 9. W 68 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

76 [V] i [m] p [W] t[detik] Seperti halnya dengan kapasitr, daya berariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu. Jadi pada induktr juga tidak terjadi transfer energi nett. Induktr menyerap daya dalam setengah perida, dan memberikan daya pada setengah perida berikutnya Induktansi Bersama Misalkan ada sebuah kumparan yang dialiri arus yang berubah terhadap waktu. Misalkan pula ada sebuah kumparan lain yang berdekatan dengan kumparan yang pertama. Fluksi dari kumparan yang pertama akan melingkupi pula kumparan yang ke-dua dan akan membangkitkan tegangan pada kumparan yang ke-dua itu. Kpling antara arus yang berubah di kumparan yang pertama dengan tegangan yang terbangkitkan di kumparan yang ke-dua menunjukkan adanya suatu induktansi bersama. Hal yang sebaliknya juga terjadi, yaitu jika kumparan ke-dua dialiri arus maka akan timbul tegangan di kumparan pertama. Jadi kalau masing-masing dialiri arus maka keduanya akan saling mempengaruhi. Misalkan jumlah lilitan kumparan pertama adalah ; jika arus yang mengalir adalah i maka akan timbul fluksi magnetik sebesar φ k i, dengan k adalah knstanta prprsinalitas. Jika kita anggap tidak ada kebcran fluksi, maka φ akan melingkupi semua lilitan di kumparan pertama ini dan akan menimbulkan apa yang kita sebut sebagai fluksi lingkup sebesar λ φ k i. Misalkan pula jumlah lilitan kumparan ke-dua dengan arus i. Fluksi magnetik di kumparan ini adalah φ k i dan fluksi lingkupnya λ φ k i. Jadi secara singkat φ k i λ k i dan φ k i dan λ k i (4.) 69

77 Sebagai akibat fluksi lingkup masing-masing, di setiap kumparan terdapat tegangan dλ di dλ di k dan k (4.) dt dt dt dt Kalau kedua kumparan itu berdekatan satu dengan lainnya, maka sebagian fluksi yang ditimbulkan leh kumparan yang satu akan melingkupi pula kumparan yang lain. Jadi selain fluksi yang ditimbulkannya sendiri, setiap kumparan melingkupi juga fluksi yang timbul di kumparan yang lain. Kumparan pertama melingkupi fluksinya sendiri φ, dan fluksi yang berasal dari kumparan ke-dua φ k φ. Demikian pula dengan kumparan ke-dua, selain fluksinya sendiri φ, ia melingkupi pula φ k φ yang berasal dari kumparan pertama. Di kumparan pertama, φ akan memberikan fluksi lingkup λ φ k φ dan menimbulkan tegangan. Di kumparan kedua, φ akan memberikan fluksi lingkup λ φ k φ dan menimbulkan tegangan. Dengan demikian maka di kumparan pertama ada tegangan yang timbul karena fluksi lingkupnya sendiri, λ, dan ada tegangan yang timbul karena ada pengaruh dari kumparan ke-dua, λ. Jadi tegangan ttal di kumparan pertama adalah. Demikian pula halnya dengan kumparan ke-dua; di kumparan ini terdapat tegangan ttal sebesar. Keadaan untuk kedua kumparan ini kita tuliskan seperti berikut. Kumparan Kumparan dλ d λ dλ d λ dt dt dt dt di [ k ] di [ k ] di dt dt [ k ] di [ k ] dt dt (4.3) Kita dapat melihat pada (4.3) bahwa ada empat macam parameter induktansi yaitu : L k L k (4.4) dan M k M k (4.5) 7 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

78 Induktansi L dan L adalah induktansi sendiri dari masing-masing kumparan sedangkan parameter M dan M adalah induktansi bersama antara dua kumparan tersebut. Dalam medium magnet yang linier k k k M dan dalam kndisi ini kita dapat tuliskan dengan k k M / (k k ). M M km M k LL (4.6) Dengan demikian maka secara umum tegangan di masing-masing kumparan adalah di di L M ± dan dt dt (4.7) di di L M ± dt dt Tanda ± pada (4.7) diperlukan karena pengaruh dari kumparan yang satu terhadap kumparan yang lain tidaklah selalu psitif tetapi dapat pula negatif. Pengaruh itu psitif jika fluksi dari kumparan yang satu memperkuat fluksi dari kumparan yang dipengaruhi; apabila memperlemah maka dikatakan bahwa pengaruhnya negatif. i φ i i i φ φ φ a). Menguatkan (aditif) b). Melemahkan (substraktif) Gb.4.4. Induktr terkpel : aditif atau substraktif. Bagaimana pengaruh psitif dan negatif ini terjadi dapat dijelaskan melalui Gb.4.4 yang memperlihatkan dua kumparan terkpel magnetik. rah fluksi yang dibangkitkan leh arus di masing-masing kumparan menuruti kaidah tangan kanan. Dengan arah lilitan kumparan seperti Gb.4.4.a. maka fluksi φ yang dibangkitkan leh i dan φ yang dibangkitkan leh i akan sama arahnya. Dalam keadaan demikian fluksi φ dan φ saling memperkuat atau aditif. Pada Gb.4.4.b. arah lilitan kumparan ke-dua berlawanan dengan arah lilitan kumparan ke-dua pada Gb.4.4.a. Fluksi φ berlawanan arah dengan φ. Dalam hal ini kedua fluksi saling melemahkan atau substraktif. 7

79 4.4.. Knensi Titik Karena ada kemungkinan fluksi dari kumparan yang satu memperkuat atau memperlemah fluksi dari kumparan yang lain sehingga diperlukan tanda ± pada persamaan (4.7), maka timbul pertanyaan kapan tanda atau kita gunakan sedangkan kita tahu bahwa nilai M selalu psitif. Untuk menentukan hal itu kita menggunakan knensi titik (dt cnentin) agar pengaruh psitif atau negatif dari satu kumparan terhadap kumparan lainnya dapat dinyatakan. Kita memberikan tanda titik di salah satu ujung di setiap kumparan dengan pengertian sebagai berikut: rus i yang masuk ke ujung yang bertanda titik di salah satu kumparan, akan membangkitkankan tegangan berplaritas psitif pada ujung kumparan yang lain yang juga bertanda titik. Besar tegangan yang terbangkit adalah M di/dt Hubungan Tegangan dan rus Dengan knensi titik tersebut di atas, hubungan arus dan tegangan pada dua kumparan yang terkpel secara magnetik, yang simblnya terlihat pada Gb.4.5, dapat kita turunkan. i i Dalam penurunan hubungan ini, untuk masing-masing kumparan kita tetap menggunakan knensi pasif, Gb.4.5. Kpling aditif. sedangkan untuk kpling antara kedua kumparan kita gunakan knensi titik. Jadi hubungan tegangan dan arus untuk Gb.4.5. adalah di di L M dt dt di di (4.8) L M dt dt Gb.4.5. adalah simbl dari dua kumparan yang terkpel aditif, yaitu dua kumparan dengan arah lilitan seperti pada Gb.4.4.a. Simbl untuk kumparan terkpel substraktif, dengan arah lilitan seperti Gb.4.4.b., diperlihatkan pada Gb.4.6. dengan hubungan tegangan dan arus : _ L M L _ 7 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

80 di d i di di L ( M ) L M dt dt dt dt di di L M dt dt (4.9) Perhatikanlah bahwa tanda titik terkait dengan keadaan nyata (arah lilitan) sedangkan referensi arus dan tegangan ditentukan tanpa dikaitkan i i dengan keadaan sebenarnya (kita ingat M bahwa arah referensi arus dan tegangan tidak selalu sama dengan L L keadaan sebenarnya). Oleh karena itu tanda titik tidak saling terkait dengan referensi arus dan tegangan. Hal ini jelas terlihat dari Gb.4.6. dan Gb.4.6. Kpling substraktif. persamaan (4.9) di atas. Berikut ini dua cnth lain penurunan hubungan tegangan dan arus dua kumparan yang terkpel magnetik. _ i i M L L _ d( i ) d( i ) di di L M L M dt dt dt dt di d( i ) di di L M L M dt dt dt dt (4.3) i i M L L d( i di L ) M dt dt di di L M dt dt di di L M dt dt (4.3) Perhatikanlah bahwa dalam penurunan persamaan di atas kita tetap mengikuti knensi pasif untuk arus dan tegangan, sedangkan untuk pengaruh timbal balik dari kumparan, yang ditunjukkan leh suku M di/dt, kita mengikuti knensi titik. 73

81 CO TOH-4.5: Pada dua kumparan terkpel magnetik seperti pada gambar di samping ini, diketahui bahwa tegangan di kumparan pertama adalah cs t V. Tentukanlah tegangan pada kumparan kedua. Penyelesaian : Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian kumparan pertama adalah i i M L L _ L L mh ; M mh di di di L M cs t, dt dt dt karena i (kumparan ke-dua terbuka). Untuk kumparan kedua, di, dt Dengan memasukkan nilai di /dt dari persamaan kumparan pertama ke persamaan kumparan kedua diperleh cs t, cs t V, Pemahaman : pabila kita salah memilih tanda induktansi bersama, maka hasil yang akan kita perleh adalah cs t V Kesalahan dalam menentukan tanda untuk M akan menyebabkan terinersinya sinyal. Kesalahan demikian jika terjadi dalam praktek, misalnya untuk pengaturan kecepatan mtr, pada waktu mtr hendak diperlambat justru kecepatan mtr akan bertambah. Oleh karena itu kita harus berhati-hati. _ CO TOH-4.6: Pada dua kumparan terkpel magnetik seperti pada gambar di samping ini, diketahui bahwa arus masing-masing kumparan adalah i 5cst i sin5t. Tentukanlah tegangan dan. _ i i M L L _ L. mh, L.5 mh M.3 mh 74 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

82 Penyelesaian : Persamaan tegangan-arus untuk masing-masing kumparan adalah di d i L ( M ) ; dt dt di di L M dt dt Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, akan diperleh 4.5. Saklar sin t 3cs5 t 5cs5 t 5sin t Saklar adalah piranti yang digunakan untuk menutup dan membuka rangkaian. Dalam keadaan tertutup, suatu saklar mempunyai batas arus maksimum yang mampu ia salurkan. Dalam keadaan terbuka, saklar mempunyai batas tegangan maksimum yang mampu ia tahan. Dalam keadaan terbuka ini, terdapat arus kecil yang tetap mengalir yang kita sebut arus bcr. Sebaliknya dalam keadaan tertutup masih terdapat tegangan kecil antar terminalnya. Untuk rangkaian-elektrnik kita mengenal saklar dengan kemampuan arus dalam rde m dan tegangan dalam rde Vlt. Sedangkan piranti penutup dan pembuka rangkaian dengan kapasitas besar kita jumpai pada rangkaian pemrses energi. Pemutus dan pembuka rangkaian berkapasitas besar ini dikenal dengan sebutan circuit breaker; ia mempunyai kemampuan menyalurkan arus dalam rde k dan tegangan dalam kv. Dalam analisis rangkaian, saklar dimdelkan sebagai kmbinasi rangkaian hubung-terbuka dan rangkaian hubung-singkat dan dianggap ideal dalam arti tidak terdapat rugi daya, atau dengan kata lain daya selalu nl (tidak menyerap daya). Dalam keadaan terbuka, arus bernilai nl (tanpa arus bcr) sedangkan tegangan pada terminalnya bernilai sembarang tanpa batas. Dalam keadaan tertutup tegangan antara terminalnya nl sedangkan nilai arusnya sembarang tanpa batas. Gb.4.7. di bawah ini menggambarkan karakteristik saklar ideal yang dimaksud. V V 75

83 i simbl (a) saklar terbuka i, sembarang Gb.4.7. Karakteristik i saklar ideal 4.6. Elemen Sebagai Mdel Dari Gejala Sebagaimana dijelaskan di atas, elemen adalah mdel dari piranti, seperti resistr, kapasitr, induktr dan sebagainya. Selain dari pada itu sering terdapat gejala-gejala adanya resistansi, atau kapasitansi, ataupun induktansi pada piranti atau antar piranti, pada knduktr atau antar knduktr dalam rangkaian listrik. Gejala-gejala seperti itu dapat pula dimdelkan sebagai elemen rangkaian. Sebagai cnth, pada saluran transmisi daya terdapat resistansi pada kawat, kapasitansi antar kawat dan antara kawat dengan tanah, dan juga terdapat induktansi. Pada piranti elektrnik juga terdapat kapasitansi antar terminal yang disebut kapasitansi bcr. ccu mbil mengandung gejala adanya resistansi yang disebut resistansi internal. esistansi, kapasitansi, ataupun induktansi pada piranti-piranti tersebut merupakan gejala yang ada pada piranti yang juga dapat dimdelkan sebagai elemen rangkaian Transfrmatr Ideal simbl (b) saklar tertutup, i sembarang pa yang kita bahas mengenai kumparan terkpel magnetik adalah prinsip dari transfrmatr. Kumparan yang pertama disebut kumparan primer sedang yang kedua disebut kumparan sekunder. Seperti halnya resistr, induktr, dan kapasitr, kita mengenal transfrmatr ukuran kecil yang dipakai pada rangkaian elektrnika, dan transfrmatr ukuran besar yang dipakai pada rangkaian pemrses energi, yang biasa disebut transfrmatr daya. Selain itu ada pula transfrmatr-ukur untuk keperluan pengukuran arus tinggi, yang disebut transfrmatr arus, dan pengukuran tegangan tinggi yang disebut transfrmatr tegangan. Dalam kenyataan, transfrmatr-transfrmatr tersebut mengandung ketidak-sempurnaan misalnya fluksi bcr, rugi daya di belitan dan rugi daya dalam inti-nya, serta ketidak-linieran. Transfrmatr yang akan kita bahas di sini adalah transfrmatr ideal. 76 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

84 4.7.. Kpling Sempurna Pada transfrmatr ideal kita menganggap bahwa kpling magnetik antar kumparan terjadi secara sempurna, artinya semua fluksi yang melingkupi kumparan primer juga melingkupi kumparan sekunder dan demikian pula sebaliknya. Jika jumlah lilitan di kumparan primer dan sekunder masing-masing adalah dan sedangkan arus masing-masing adalah i dan i maka fluksi masing-masing kumparan adalah φ k i dan φ k i dengan k dan k adalah knstanta prprsinalitas. Selain fluksinya sendiri, setiap kumparan juga melingkupi fluksi yang dibangkitkan di kumparan yang lain, yaitu φ k i dan φ k i Jika terjadi kpling sempurna, maka φ φ dan φ φ yang berarti : k i k i dan k i k i sehingga : k k dan k k Untuk medium maknit yang linier maka k k k M, sehingga untuk transfrmatr ideal ini k k k k k M. Dengan demikian maka induktansi dan kpling magnetik menjadi L km ; L km ; M km LL (4.3) Dengan menggunakan (4.7), tegangan pada kumparan primer dan sekunder dapat kita perleh yaitu di di di di L ± M k ± k M M dt dt dt dt (4.33) di di di di L ± M ± ± km km dt dt dt dt asi persamaan pertama dan kedua dari (4.33), memberikan ± ± a (4.34) 77

85 Parameter a disebut perbandingan lilitan. Jika a > ( > ), kita mempunyai transfrmatr penurun tegangan (step-dwn transfrmer) dan jika a < ( > ) kita mempunyai transfrmatr penaik tegangan (step-up transfrmer). Tanda atau tergantung dari arah referensi arus primer dan sekunder relatif terhadap referensi titik. Jika referensi arah arus di kedua kumparan menuju atau meninggalkan referensi titik, kita berikan tanda ugi Daya l Selain kpling sempurna, kita juga menganggap bahwa pada transfrmatr ideal tidak ada rugi daya. Hal ini berarti bahwa daya yang diserap di kedua kumparan adalah nl. i i 78 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () (4.35) Dari (4.34) dan (4.35) jelas bahwa jika tegangan sekunder lebih besar dari tegangan primer maka arus sekunder lebih kecil dari arus primer. Transfrmatr jenis inilah yang digunakan pada transmisi daya listrik. Untuk penyaluran sejumlah daya tertentu, arus pada saluran transmisi menjadi lebih kecil pada tegangan tinggi, sehingga rugi-rugi daya pada saluran (i ) dapat ditekan. CO TOH-4.7: Suatu transfrmatr mempunyai perbandingan lilitan /,. Dengan tegangan masukan sin4t V, dan dengan menganggap transfrmatr ini ideal, tentukanlah tegangan sekunder, arus sekunder, serta arus primer, jika diberi beban resistif sebesar 5 Ω. Hitung pula daya yang diserap leh beban. Penyelesaian : Gambar dari rangkaian transfrmatr dan perhitungannya adalah seperti berikut. i i 5Ω atau i m m a i sin 4 t i 4sin 4 t 5 p i 4sin 4 t W 8.8sin 4 t p i 4sin 4 t W 8.8sin 4 t kw. kw. V

86 CO TOH-4.8: Dalam cnth 4.7, berapakah resistansi yang dilihat leh sumber (yaitu resistansi di sisi primer)? Penyelesaian : Dalam cnth ini tegangan primer adalah sin4t sedangkan arus yang mengalir adalah i 4sin4t. Jadi resistansi yang terlihat di sisi primer adalah Pemahaman : ' sin 4t,5 Ω i 4sin 4t ' ini disebut resistansi masukan ekialen (equialent input resistance). Jika kita perhatikan lebih lanjut akan terlihat bahwa ' ( / ) a i ( / ) i CO TOH-4.9: Sebuah transfrmatr (ideal) digunakan untuk menurunkan tegangan dari cs34t V ke cs34t V. Jumlah lilitan primer maupun sekunder tidak diketahui. Untuk mencarinya dibuat kumparan pembantu (kumparan ketiga) dengan lilitan. Dengan memberikan tegangan sebesar cs34t V pada belitan primer diperleh tegangan sebesar 5,5cs34t V di kumparan pembantu. Carilah jumlah lilitan primer dan sekunder. Penyelesaian : Pada waktu tegangan primer cs34t V, tegangan di kumparan pembantu adalah 5,5cs34t V. Jadi perbandingan jumlah lilitan kumparan primer dan kumparan pembantu adalah cs34t cs 34t Karena 3, maka 4 8 lilitan. Perbandingan lilitan transfrmatr adalah cs34t,5 cs34t Jadi jumlah lilitan sekunder adalah 4 lilitan. 79

87 Sal-Sal. Pada sebuah resistr kω diterapkan satu pulsa tegangan V, dengan lebar pulsa ms. Hitung arus yang mengalir melalui resistr serta daya yang diserap resistr selama tegangan diterapkan. Hitung pula energi yang diserap resistr, dan jumlah muatan yang dipindahkan melalui resistr.. Pada sebuah resistr Ω diterapkan tegangan ekspnensial yang amplitudnya V dan knstanta waktunya ms. Hitunglah arus dan daya pada resistr. Perkirakanlah energi yang diserap resistr dan jumlah muatan yang dipindahkan melalui resistr. 3. Suatu arus sambaran petir dimdelkan sebagai bentuk gelmbang ekspnensial ganda yang terdiri dari gelmbang psitif beramplitud k dengan knstanta waktu µs dan gelmbang negatif beramplitud k dengan knstanta waktu µs. rus sambaran petir ini melalui resistr Ω; hitunglah tegangan pada resistr dan jumlah muatan dalam sambaran petir ini. 4. Berapakah nilai maksimum arus yang melalui kapasitr 5 µf, jika diketahui bahwa tegangan pada kapasitr berbentuk sinus dengan amplitud V dan frekuensinya rad/s? 5. Tegangan pada kapasitr pf berubah sebagai C e 3 t u(t) V. Berapa muatan kapasitr pada t? Berapa muatannya pada t ms? 6. Berapakah nilai maksimum tegangan pada induktr H, jika diketahui bahwa arus yang mengalir berbentuk gelmbang sinus dengan amplitud dan frekuensinya 3 rad/s? 7. Tegangan pada induktr 4 mh adalah L 4e t u(t) V. Bagaimanakah bentuk gelmbang arusnya? Bagaimanakah dayanya? 8. rus pada induktr 5 mh adalah i L (t) [ t e t ] u(t). Carilah tegangan, serta dayanya. 9. Jika arus sambaran petir pada sal nmer 3 melalui sebuah induktr µh, hitunglah tegangan pada induktr. 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

88 . Pada dua kumparan terkpel berikut ini, tegangan 5[sint]u(t) V. Kumparan kedua terbuka. Tuliskanlah hubungan i- kumparan terkpel ini dan carilah i dan. _ i i M L L _ L mh, L 4 mh M 5 mh. Jika pada sal nmer yang diketahui adalah arus masukan, yaitu i [ e t ] u(t), carilah. Pada t s, berapakah?. Jika pada sal nmer tegangan masukan tidak diketahui akan tetapi diketahui i sint u(t), carilah dan. 3. Pada transfrmatr ideal, berapakah perbandingan jumlah lilitan kumparan primer dan sekunder yang diperlukan untuk mengubah tegangan 38cs34t V, ke 9cs34t V? 4. Carilah nilai efektif (rms) tegangan primer dan sekunder pada sal nmer 3. Perbandinganlah kedua nilai efektif ini! Bagaimanakah perbandingan nilai efektif arus? (Hasil ini selanjutnya dapat digunakan untuk menentukan nilai-nilai rms tanpa melalui pernyataan sinyal dalam fungsi t lagi). 8

89 5. Berdasarkan hasil yang diperleh pada pemecahan sal nmer 4, tentukanlah perbandingan jumlah lilitan transfrmatr ideal yang diperlukan untuk menurunkan tegangan blak-balik sinus 4 V rms menjadi V rms. Jika resistr 5 Ω dihubungkan pada sisi sekunder, hitunglah arus dan daya masukan di sisi primer. 6. Sebuah transfrmatr ideal dengan keluaran ganda, mempunyai jumlah lilitan primer. Lilitan sekunder berjumlah lilitan terbagi menjadi 3 bagian, masing-masing lilitan, 4 lilitan dan 6 lilitan. Jika tegangan primer berbentuk sinus V rms, tentukanlah nilai rms dari tiga macam tegangan yang diperleh di belitan sekunder. 7. Suatu piranti mempunyai resistansi masukan sebesar 5 Ω sehingga piranti ini dapat dimdelkan sebagai sebuah resistr 5 Ω. Piranti ini hendak dihubungkan ke penguat sinyal yang menghendaki agar bebannya mempunyai resistansi 5 Ω. Untuk itu, antara keduanya dipasang transfrmatr sehingga penguat sinyal akan merasakan adanya beban sebesar 5 Ω walaupun beban sesungguhnya adalah 5 Ω. Tentukan perbandingan lilitan transfrmatr yang diperlukan. 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

90 BB 5 Mdel Piranti ktif, Dida, OP MP Dengan mempelajari mdel piranti aktif, kita akan mampu memfrmulasikan karakteristik arus-tegangan elemen aktif: sumber bebas, sumber tak-bebas; memahami karakteristik dida dan mampu menurunkan hubungan masukan-keluaran rangkaian sederhana menggunakan dida. memahami karakteristik OP MP dan mampu mencari hubungan masukan dan keluaran rangkaian dasar sederhana OP MP. 5.. Sumber Bebas Sumber bebas adalah sumber yang tidak tergantung dari peubah sinyal di bagian lain dari rangkaian. Sumber sinyal dapat dimdelkan dengan dua macam elemen, yaitu: sumber tegangan atau sumber arus. Sumber-sumber ini dapat membangkitkan sinyal yang knstan ataupun berariasi terhadap waktu, yang akan menjadi masukan pada suatu rangkaian. Mereka sering disebut sebagai fungsi penggerak atau frcing functin atau driing functin yang mengharuskan rangkaian memberikan tanggapan Sumber Tegangan Bebas Ideal Gb.5.. memperlihatkan simbl dan karakteristik i- dari sumber tegangan bebas ideal. Perhatikan referensi arus dan tegangannya, yang tetap mengikuti knensi pasif. Karakteristik i- sumber tegangan ideal memberikan persamaan elemen sebagai berikut: s i sesuai kebutuhan Persamaan di atas menyatakan bahwa sumber tegangan ideal membangkitkan tegangan s pada terminalnya dan akan memberikan arus berapa saja yang diperlukan leh rangkaian yang terhubung padanya. 83

91 s _ i V a) b) c) Gb.5.. Sumber tegangan ideal. (a) Sumber tegangan berariasi terhadap waktu; (b) Sumber tegangan knstan; (c) Karakteristik i- sumber tegangan knstan _ i i V 5... Sumber rus Bebas Ideal Gb.5.. menunjukkan simbl dan karakteristik i- sumber arus bebas ideal. Perhatikan referensi arus dan tegangannya, yang juga tetap sesuai dengan knensi pasif. Karakteristik i- sumber arus ideal memberikan persamaan elemen: Sumber arus ideal memberikan arus i s dalam arah sesuai dengan arah tanda anak panah pada simblnya dan memberikan tegangan berapa saja yang diperlukan leh rangkaian yang terhubung padanya. Perhatikan bahwa tegangan pada sumber arus tidaklah nl. i i I s, i i i s sesuai kebutuhan (a) Gb.5.. Sumber arus ideal. CO TOH-5.: Sebuah sumber tegangan knstan 4 V ideal, mencatu sebuah beban. Jika diketahui bahwa beban menyerap daya knstan sebesar W, berapakah arus yang keluar dari sumber? Jika beban menyerap W, berapakah arus yang keluar dari sumber? (b) 84 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () I

92 Penyelesaian : Karena merupakan sumber tegangan ideal maka ia akan memberikan arus berapa saja yang diminta beban dengan tegangan yang knstan 4 V. Jika daya yang diserap beban W, maka arus yang diberikan leh sumber adalah p i,5 4 4V beban Jika daya yang diserap beban W, maka arus yang diberikan leh sumber adalah Pemahaman : p i 5 4 Sumber tegangan ideal memberikan arus berapa saja yang diminta leh beban, pada tegangan kerja yang tidak berubah. Sumber semacam ini dapat kita gunakan untuk mendekati keadaan dalam praktek apabila sumber mempunyai kemampuan yang jauh lebih besar dari daya yang diperlukan leh beban atau dengan kata lain sumber tersebut kita anggap mempunyai kapasitas yang tak berhingga. CO TOH-5.: Sebuah sumber arus knstan 5 ideal, mencatu sebuah beban. Jika diketahui bahwa beban menyerap daya knstan sebesar W, pada tegangan berapakah sumber berperasi? Jika beban menyerap W, berapakah tegangan sumber? Penyelesaian : Sumber arus ideal memberikan arus tertentu, dalam hal ini 5, pada tegangan berapa saja yang diperlukan leh beban. Jika daya yang diserap beban W, hal itu berarti bahwa tegangan sumber adalah p V i 5 5 beban 85

93 Jika daya yang diserap beban W, maka tegangan sumber adalah p 4 V i Sumber Praktis Gb.5.3. menunjukkan mdel sumber tegangan dan sumber arus praktis; sumber ini disebut praktis karena mereka lebih mendekati keadaan nyata dibandingkan dengan mdel sumber ideal. s _ s i i s p i Gb.5.3. Sumber tegangan dan sumber arus praktis Suatu sumber nyata pada umumnya mengandung gejala-gejala adanya resistansi ataupun induktansi dan kapasitansi. esistr s ataupun p dalam mdel sumber praktis yang terlihat pada Gb.5.3. merupakan representasi dari gejala resistansi yang hadir dalam sumber yang dimdelkan dan bukan mewakili resistr yang berupa piranti. CO TOH-5.3: Sebuah sumber tegangan knstan praktis dengan resistansi 4 Ω, mencatu sebuah beban. Jika diketahui bahwa i beban menyerap daya knstan sebesar W, dan diketahui pula bahwa arus yang mengalir 4Ω s i beban padanya adalah,5, _ berapakah tegangan sumber dan arus yang keluar dari sumber? Jika sumber tidak dibebani, berapakah tegangannya? 86 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

94 Penyelesaian : angkaian sumber praktis terdiri dari sumber ideal i dan resistansi sebesar 4 Ω. Tegangan sumber praktis adalah s dan tegangan ini sama dengan tegangan pada beban. Jika daya dan arus pada beban adalah W dan,5, maka tegangan sumber adalah p s 4 V i.5 Karena hanya ada satu beban yang dilayani leh sumber praktis, maka arus yang keluar dari sumber sama dengan arus beban yaitu,5. rus ini pula yang keluar dari sumber tegangan ideal i dan mengalir melalui i. Bagi sumber tegangan ideal i, daya yang diserap leh resistansi i ikut menjadi bebannya, yaitu p i i i (.5) 4 5 W Dengan demikian sumber tegangan ideal menanggung beban p tt 5 5 W. Dengan arus yang,5, maka tegangan sumber ideal adalah i 5 /,5 5 V. Tegangan inilah yang akan terlihat pada sumber praktis, s, apabila ia tidak dibebani, karena pada saat tanpa beban tidak ada arus yang mengalir sehingga tidak ada tegangan pada i. Pemahaman : Dalam cnth di atas, sumber praktis yang merupakan sumber tegangan knstan, mempunyai resistansi i yang kita sebut resistansi internal. esistansi inilah yang menyebabkan terjadinya perbedaan nilai tegangan sumber praktis pada saat berbeban dan pada saat tidak berbeban. Pada sumber praktis yang bukan tegangan knstan, misalnya tegangan sinus, tidak hanya terdapat resistansi internal saja tetapi mungkin juga induktansi internal. 87

95 CO TOH-5.4: Sebuah accu (accumulatr) V, berkapasitas 4 h. Jika sebuah beban yang menyerap daya Watt dihubungkan i padanya, berapa lamakah accu beban tersebut dapat i V menyerap melayani beban _ W yang ditanggungnya? Penyelesaian : Jika kita menganggap accu sebagai sebuah sumber tegangan ideal yang memberikan daya kepada beban dengan tegangan knstan V, maka arus yang akan mengalir ke beban adalah p i Karena kapasitasnya 4 h, accu akan mampu mencatu beban selama Pemahaman : 4 t 48 / jam ccu mengubah energi kimia menjadi energi listrik. Dalam prses pengubahan tersebut terdapat sejumlah energi yang tidak dapat dikeluarkan melainkan berubah menjadi panas. ccu dapat dimdelkan sebagai sumber tegangan dengan resistansi internal sebesar i. Jadi mdel rangkaian mirip dengan rangkaian pada cnth 5.3. Dengan mdel ini maka energi tidak hanya diserap leh beban tetapi juga leh i. Dengan adanya resistansi internal itu tegangan pada beban akan lebih kecil dari tegangan sumber ideal. Selain dari pada itu, jika accu tidak mendapatkan tambahan energi dari luar, tegangan akan terus menurun selama prses pengaliran daya ke beban. Jika resistansi beban tidak berubah, penyerapan daya pada beban juga tidak knstan watt. 88 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

96 5.3. Sumber Tak-Bebas (Dependent Surces) Sumber bebas yang kita ulas di atas adalah mdel dari suatu piranti; artinya, kita mengenalnya baik sebagai elemen maupun sebagai piranti (seperti halnya resistr, induktr dan kapasitr). Berbeda dengan elemen-elemen tersebut, sumber tak-bebas adalah elemen yang tidak mewakili piranti tertentu melainkan menjadi mdel karakteristik suatu piranti. Sumber tak-bebas adalah elemen aktif yang kita gunakan dalam kmbinasi dengan elemen lain untuk memdelkan piranti aktif seperti misalnya transistr ataupun OP MP. Berikut ini kita akan melihat cnth rangkaian dengan sumber tak-bebas. Keluaran sumber tak-bebas dikendalikan leh (tergantung dari) tegangan atau arus di bagian lain dari rangkaian. Sumber tak-bebas yang akan kita pelajari adalah sumber tak-bebas linier, baik itu sumber tegangan maupun sumber arus. Karena ada dua macam besaran yang dikendalikan, yaitu tegangan ataupun arus, dan ada dua macam besaran pengendali yang juga berupa arus ataupun tegangan, maka kita mengenal empat macam sumber tak-bebas, yaitu: a). Sumber tegangan dikendalikan leh arus: current-cntrled ltage surce (CCVS). b). Sumber tegangan dikendalikan leh tegangan: ltagecntrled ltage surce (VCVS). c). Sumber arus dikendalikan leh arus : current-cntrled current surce (CCCS). d). Sumber arus dikendalikan leh tegangan : ltage-cntrled current surce (VCCS). Gb.5.4. memperlihatkan simbl-simbl sumber tak bebas. Kita ambil cnth CCCS. rus keluaran CCCS tergantung dari arus masukan i dan faktr perkalian tak berdimensi β, menjadi βi. Ketergantungan seperti ini tidak kita dapatkan pada sumber bebas. rus yang diberikan leh sumber arus bebas, tidak tergantung dari rangkaian yang terhubung ke padanya. 89

97 CCVS : i _ ri VCVS : µ CCCS : i βi VCCS : _ g Gb.5.4. Simbl sumber tak-bebas. Masing-masing sumber tak-bebas mempunyai parameter tunggal µ, β, r, dan g sebagai cirinya. Parameter-parameter ini disebut gain. Dalam hal ini, µ dan β merupakan parameter yang tak berdimensi yang masing-masing disebut ltage gain dan current gain. Parameter r berdimensi hm dan disebut transresistance (kependekan dari transfer resistance). Parameter g berdimensi siemens, disebut transcnductance. CO TOH-5.5: Sebuah sumber tak-bebas CCVS seperti tergambar di bawah ini mencatu beban knstan yang mempunyai resistansi Ω. i s i s s 5 i s Ω angkaian pengendali terdiri dari sumber tegangan ideal s dan resistansi s 6 Ω. Hitunglah daya yang diserap leh beban jika sumber tegangan pengendali s 4 V. Hitung pula daya tersebut jika tegangan sumber pengendali dinaikkan menjadi 36 V. Penyelesaian : Tegangan pengendali s sama dengan tegangan pada resistansi s. Jika s 4 V, maka arus i s adalah 4 s i s,4 s 6. 9 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

98 Tegangan keluaran 5is 5,4 V. Tegangan ini sama dengan tegangan beban, sehingga daya yang diserap beban adalah ( ) p W Jika tegangan s dinaikkan menjadi 36 V, maka 36 i s,6 6 (3) 5,6 3 V; p 45 W Pemahaman : Jika kita hitung, daya yang diberikan leh sumber pengendali s akan kita perleh p s sis 6,4 4 W Daya ini jauh lebih kecil dari daya yang diserap beban, yaitu sebesar W. Hal ini berarti bahwa daya yang diterima leh beban bukan berasal dari sumber s. Dari manakah asalnya? Telah disebutkan di depan bahwa sumber tak-bebas adalah elemen aktif yang kita gunakan dalam kmbinasi dengan elemen lain untuk memdelkan piranti aktif. Piranti aktif ini mempunyai catu daya yang tidak tergambarkan dalam simbl sumber tak-bebas. Dari catu daya inilah sesungguhnya asal daya yang diterima leh beban. Sumber s dalam cnth sal ini merupakan sumber pengendali dan bukan sumber daya untuk memberikan daya ke beban. Sebagai cnth, mdel sumber tak-bebas ini dapat kita gunakan untuk memdelkan generatr arus searah berpenguatan bebas. Sumber tegangan s merupakan sumber penguat untuk memberikan arus penguat sebesar i s. rus penguat ini menimbulkan fluksi maknit pada generatr, yang jika diputar dengan kecepatan knstan akan memberikan tegangan dan daya ke beban. Dalam mdel generatr arus searah ini, catu daya yang memberikan daya ke beban berupa masukan daya mekanis untuk memutar generatr. 9

99 Piranti aktif lain dalam elektrnika, seperti misalnya OP MP atau transistr, dapat pula dimdelkan dengan sumber takbebas. Catu daya pada piranti-piranti ini berupa catu daya listrik, bukan daya mekanis seperti pada pemdelan generatr arus searah di atas Dida Ideal Dida ideal tidak menyerap daya tetapi juga tidak memberikan daya. Ia banyak dimanfaatkan untuk mengatur aliran daya dari sumber ke beban leh karena itu ia kita bahas di bab ini. Dida merupakan piranti dua terminal yang mellskan aliran arus ke satu arah dan menahan aliran arus pada arah sebaliknya. Perilaku ini mirip dengan saklar yang tertutup untuk arah arus tertentu tetapi terbuka untuk arah yang berlawanan, dan dapat dinyatakan dengan karakteristik i- seperti terlihat pada Gb.5.5.a. Karakteristik ini adalah karakteristik dida ideal, yang pada kenyataannya mempunyai karakteristik tak-linier seperti terlihat pada Gb.5.5.b. Simbl dari dida beserta referensi arus dan tegangan ditunjukkan pada Gb.5.5.c. dapat kita nyatakan sebagai: Dida knduksi Dida tak knduksi: i : i D D >,, D D < Karakteristik dida ideal, (5.) Dalam praktik, kita perlu memperhatikan tegangan balik dida, yaitu D yang negatif pada saat dida tak-knduksi. Tegangan balik ini tidak diperkenankan melebihi suatu nilai tertentu. Setiap jenis dida mempunyai ketahanan untuk menahan tegangan balik tertentu dan juga batas kemampuan arus tertentu yang tidak bleh dilampaui Penyearah Setengah Gelmbang Penyearah adalah rangkaian listrik yang memprses sinyal blakbalik (sinyal sinus) menjadi sinyal searah. Sinyal searah yang dihasilkannya bukan merupakan sinyal knstan, melainkan sinyal yang berubah terhadap waktu tetapi selalu psitif. Jika sinyal yang i i D (a) (b) (c) Gb.5.5. Dida i D 9 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

100 disearahkan (sinyal masukan) berupa sinyal sinus yang mempunyai nilai rata-rata nl, hasil penyearahan (sinyal keluaran) mempunyai nilai rata-rata tidak nl. Berikut ini kita akan membahas salah satu jenis penyearah yaitu penyearah setengah gelmbang. angkaian penyearah beserta bentuk gelmbang masukan dan keluarannya diperlihatkan pada Gb.5.6. Tegangan sumber berupa sinyal sinus s V m sinωt. Karena sifat dida yang hanya mellskan arus ke satu arah saja maka arus yang melalui resistr hanya berlangsung setiap setengah perida. Pada waktu dida knduksi D dan tegangan di simpul B sama dengan tegangan di simpul ; tegangan beban sama dengan tegangan sumber dan arus di i s /. Pada waktu dida takknduksi tak ada arus mengalir di ; tegangan di nl. Gelmbang arus i diperlihatkan pada Gb.5.6. i s Gb.5.6. Penyearah setengah gelmbang. Jadi pada penyearah setengah gelmbang, arus hanya mengalir pada perida psitif. Nilai rata-rata arus adalah: Ias D B L C π π V ω ω m sin t ω π id( t) π d( t) V π m V [ ω ] m I cs t m π π π (5.) Persamaan (5.) memperlihatkan bahwa penyearah setengah gelmbang menghasilkan arus searah (yaitu arus rata-rata) sebesar kira-kira 3% dari nilai arus maksimum. rus maksimum sendiri sebanding dengan tegangan maksimum masukan. Tegangan balik maksimum dida sama dengan tegangan puncak negatif masukan yaitu tegangan dida pada saat ia tidak knduksi. V m i s π I as π ωt 93

101 CO TOH-5.6: Jika pada Gb.5.6. s sinωt sedangkan 5 kω, berapakah nilai arus searah (arus rata-rata) pada? Penyelesaian : Pada waktu dida knduksi sinω s t i sinωt m 5 Ias Im / π / π 35 m Penyearah Gelmbang Penuh Pada penyearah gelmbang penuh arus ke beban mengalir pada seluruh perida. Kita akan melihat salah satu rangkaian penyearah gelmbang penuh yaitu rangkaian dengan menggunakan empat dida yang biasa disebut rangkaian jembatan. angkaian yang lain yaitu rangkaian yang menggunakan transfrmatr ber-titik-tengah (center-tapped) akan kita lihat di bab lain. angkaian penyearah jembatan serta sinyal hasil pemrsesannya terlihat pada Gb.5.7. Dengan mudah dapat dihitung nilai arus searah D B Vm Ias π L D C i L Im π V m π i π I as ωt (5.3) D 3 D 4 D Gb.5.7. Penyearah gelmbang penuh jembatan (empat dida). Bagaimana penyearah ini bekerja dapat kita terangkan sebagai berikut. Kita perhatikan tegangan di simpul-simpul, B, C dan D. Kita ambil simpul B sebagai simpul referensi. Jika simpul bertegangan psitif, D knduksi sedangkan D 3 takknduksi; D dan C yang berarti D tak-knduksi karena mendapat tegangan negatif sedangkan D 4 knduksi karena mendapat 94 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

102 tegangan psitif. rus i mengalir dari simpul ke C melalui beban ke simpul D dan kembali kesumber melalui simpul B; terbentuk lp tertutup CDB. Sementara itu di lp yang mengandung dida yang tidak knduksi, yaitu lp DCB, dida D dan D 3 tidak knduksi. Jika dida-3 dan dida identik maka masing-masing memperleh tegangan negatif sebesar V m sinωt. Dalam setengah perida berikutnya, terjadi situasi yang berbalikan. D dan D 4 tidak knduksi sedangkan D dan D 3 knduksi. Jadi dalam seluruh perida arus i bernilai psitif walaupun dida-dida hanya knduksi dalam setengah perida. Dengan demikian terjadilah penyearahan dalam seluruh perida, atau dengan kata lain kita memperleh penyearah gelmbang penuh. Jika semua dida identik maka tegangan balik maksimum sama dengan V m CO TOH 5.7: Jika pada Gb.5.7. sinωt sedangkan 5kΩ, berapakah kmpnen arus searah yang melalui? Penyelesaian : sinωt Setiap setengah perida, i sinωt m 5 Nilai rata - ratanya adalah : Ias Im / π 7 m Pemtng Gelmbang angkaian pemtng gelmbang digunakan untuk menghilangkan bagian gelmbang sinyal yang tidak diinginkan. Pada penyearah setengah gelmbang kita lihat bahwa dida meniadakan arus negatif; dengan kata lain ia memtng bagian negatif dari gelmbang masukan. Jika sebuah sumber tegangan knstan V dihubungkan seri dengan dida dan dengan plaritas yang berlawanan, seperti terlihat pada Gb.5.8., maka arus hanya akan mengalir jika tegangan masukan lebih besar dari tegangan knstan ini. Dengan cara ini, tegangan pada resistr hanya akan ada jika tegangan lebih besar dari V. 95

103 V _ i D V t V Gb.5.8. Pemtng gelmbang Kita aplikasikan HTK pada rangkaian ini: Jika dida knduksi, D, sehingga V. Jika dida tak-knduksi, i, sehingga. Jadi rangkaian ini meniadakan bagian tegangan masukan yang lebih kecil dari V, atau dengan kata lain ia memtng gelmbang masukan. Tegangan akan muncul jika > V sedangkan bagian lain dari akan dihilangkan seperti terlihat pada Gb.5.8. CO TOH-5.8: Pada rangkaian di samping ini, 8 sinωt; gambarkanlah dan dan gambarkan pula karakterstik transfer, yaitu sebagai fungsi dari. Penyelesaian : plikasi HTK pada rangkaian ini memberikan: Jika dida knduksi D V V id i > < Jadi dida knduksi jika < V. Pada waktu itu tegangan V. Karena dida knduksi jika < V, maka jika > V dida tidak akan knduksi dan pada waktu itu i, dan. 96 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () i i D V V D

104 Bentuk gelmbang tegangan dan karakteristik transfer adalah sebagai berikut: [V] ωt - bentuk gelmbang tegangan 8 karakteristik transfer Pensaklaran Dalam kenyataan, dida semiknduktr memerlukan suatu prategangan agar terjadi knduksi arus. Besarnya pra-tegangan ini adalah sekitar,3 V untuk dida germanium dan,7 V untuk dida silikn. Oleh karena itu mdel rangkaian dida akan memberikan hasil yang lebih memuaskan jika dinyatakan sebagai kmbinasi seri dari sebuah dida ideal dan sumber tegangan berplaritas berlawanan dengan plaritas dida ideal tersebut. Berikut ini adalah sebuah cnth rangkaian dengan dida silikn. CO TOH 5.9: angkaian di samping ini merupakan rangkaian pensaklaran yang dibangun dari dua dida silikn. Tentukan i dan i B jika V. Penyelesaian : Mdel rangkaian dengan dida silikn ini adalah sebagai berikut. i 4,7 V kω D D i B 97

105 4,7 V i kω,7 V D P D i B,7 V Untuk simpul P terdapat kemungkinan-kemungkinan berikut: Jika D dan D knduksi D D P,7,7 tidak sesuai dengan yang diketahui. Situasi ini tidak terjadi. Jika D knduksi dan D tak-knduksi, i B >,7 D,7,7 V harus knduksi 98 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () P P Situasi ini tidak terjadi. Jika D tak-knduksi dan D knduksi, i P,7 < (,7) D tak knduksi i (4,7 ) / (4,7,7)/ 4 m B Situasi inilah yang terjadi. P Pada situasi terakhir inilah arus mengalir melalui D sebesar i B 4 m, sedangkan i. Pemahaman: Dari tiga kemungkinan perasi yang disebutkan di atas, hanya kemungkinan ke-3 yang bisa terjadi, yaitu D tak-knduksi dan D knduksi. Dengan kata lain arus akan mengalir melalui D jika D tak-knduksi; sedangkan D tak-knduksi hanya apabila P >. Padahal P tidak akan lebih besar dari,7 V karena pada saat itu D. Jadi ada situasi batas dimana P,7,7 V atau V Jika simpul sedikit saja bertegangan, arus pada dida D akan berubah dari menjadi 4 m.

106 5.5. Penguat Operasinal (OP MP) OP MP bukanlah elemen pencatu daya, melainkan bekerja dengan bantuan catu daya dari luar sehingga ia mampu memperbesar sinyal masukan. Oleh karena itu ia kita pelajari dalam bab yang membahas mdel piranti ini, namun masih terbatas pada situasi yang belum memerlukan aplikasi metda analisis. Metda analisis sendiri baru akan kita pelajari beberapa bab ke belakang. OP MP adalah suatu piranti berbentuk rangkaian terintegrasi yang cukup rumit, terdiri dari transistr, resistr, dida, kapasitr, yang semuanya terangkai dalam satu chip. Walaupun rangkaiannya rumit, OP MP dapat dimdelkan dengan suatu karakteristik i- yang agak sederhana. Kita tidak akan membahas apa yang sebenarnya terjadi dalam piranti ini, tetapi akan memandang OP MP sebagai elemen rangkaian dengan hubungan-hubungan arus dan tegangan tertentu tasi OP MP merupakan piranti lima terminal dengan simbl seperti pada Gb.5.9.a. Gambar fisik piranti ini diberikan secara sederhana pada Gb.5.9.b. yang menunjukkan psisi-psisi terminalnya. V CC masukan nn-inersi catu daya psitif masukan inersi keluaran Tp 3 4 catu daya negatif a). Simbl rangkaian P V CC b). Diagram DIP 8-pin. Gb.5.9. Simbl dan diagram OP MP. V CC : catu tegangan psitif; V CC : catu tegangan negatif Dua diantara terminal tersebut bertanda V CC dan V CC. Dua terminal ini adalah terminal catu, yang menghubungkan OP MP dengan sumber tegangan. Sumber tegangan inilah yang akanmencatu kebutuhan daya dalam rangkaian. Tegangan catu 99

107 menentukan batas atas dan batas bawah tegangan keluaran. Walaupun sesungguhnya penguat ini berperasi karena ada tegangan catu, namun terminal tegangan catu ini sering tidak digambarkan sehingga kita mempunyai diagram yang disederhanakan, seperti terlihat pada Gb.5.. Perhatikan ntasi serta referensi arus dan tegangannya. P i P i i Gb.5.. angkaian OP MP disederhanakan. Ntasi-ntasi yang kita pergunakan adalah : P tegangan masukan nn-inersi; i P arus masukan nninersi; tegangan masukan inersi; i arus masukan inersi; tegangan keluaran; i arus keluaran; Tegangan dihitung terhadap titik referensi umum (bertanda ). Perlu kita perhatikan bahwa dalam diagram rangkaian yang disederhanakan seperti pada pada Gb.5., banyak bagian rangkaian yang tidak digambarkan. Oleh karena itu kita tidak bleh sembarangan mengaplikasikan HK untuk rangkaian tersebut; sebagai cnth kita harus menyadari bahwa i i P i Karakteristik lih (Karakteristik Transfer) Karakteristik alih OP MP memberikan hubungan antara P,, dan, yang diperlihatkan pada Gb.5.. Karakteristik ini terbagi dalam tiga daerah perasi, yaitu daerah jenuh negatif, daerah linier, dan daerah jenuh psitif. Dalam pembahasan rangkaian dengan OP MP di sini, kita hanya akan meninjau daerah perasi yang linier saja. Dalam daerah ini terdapat hubungan linier antara dan ( P ), yang dapat dinyatakan dengan ( ) µ P (5.4) Knstanta µ disebut gain lp terbuka (pen lp gain), yang dalam Gb.5. adalah kemiringan kura di daerah linier. Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

108 V CC V CC P Parameter entang nilai Nilai ideal µ 5 8 i 6 3 Ω Ω Ω Ω ± V CC ± ±4 V Gb.5.. Karakteristik alih OP MP dan rentang nilai µ. Nilai µ sangat besar, biasanya lebih dari 5. Selama nilai nett ( P ) cukup kecil, akan prprsinal terhadap masukan. kan tetapi jika µ ( P ) > V CC OP MP akan jenuh; tegangan keluaran tidak akan melebihi tegangan catu ± V CC Mdel Ideal OP MP OP MP yang berperasi di daerah linier dapat dimdelkan sebagai rangkaian sumber tak-bebas seperti terlihat pada Gb.5.. Mdel ini melibatkan resistansi masukan i, resistansi keluaran, dan VCVS dengan gain µ. entang nilai parameter-parameter ini diberikan dalam Tabel-5.. Dengan bekerja di daerah linier, tegangan keluaran tidak akan melebihi ± V CC.. V V CC atau µ ( ) ( ) CC P VCC P µ P i P i i µ ( P ) Gb.5.. Mdel OP MP i Karena µ sangat besar, yang untuk OP MP ideal dapat dianggap µ, sedangkan V CC tidak lebih dari 4 Vlt, maka dapat dikatakan bahwa (V CC /µ ) sehingga kita dapat menganggap bahwa P. Sementara itu untuk OP MP ideal i sehingga arus masuk di

109 kedua terminal masukan dapat dianggap nl. Jadi untuk OP MP ideal kita mendapatkan : P ip i (5.5) Karakteristik inilah yang akan kita pergunakan dalam analisis rangkaian dengan OP MP angkaian Penyangga (buffer, ltage fllwer) Berikut ini kita akan melihat salah satu rangkaian dasar OP MP yaitu rangkaian penyangga atau buffer. Yang dimaksud dengan rangkaian dasar adalah rangkaian yang digunakan untuk membangun suatu rangkaian yang lebih lengkap, yang dapat berfungsi sesuai dengan hubungan masukan-keluaran yang diinginkan. Perlu kita ingat bahwa jika kita membangun suatu rangkaian yang memenuhi hubungan masukan-keluaran yang kita inginkan, hasil atau jawabannya tidaklah berupa jawaban tunggal. da beberapa kemungkinan struktur rangkaian yang dapat memenuhi hubungan masukan-keluaran yang kita inginkan. angkaian penyangga (Gb.5.3) digunakan sebagai antar-muka untuk meng-islasi beban terhadap sumber. angkaian umpan balik merupakan hubungan langsung dari terminal keluaran ke terminal masukan inersi. P s Gb.5.3. angkaian penyangga. Dengan hubungan ini maka. Sinyal masukan dihubungkan ke terminal nn-inersi yang akan memaksa P s. Karena mdel ideal OP MP mengharuskan P, maka s. Jadi dalam rangkaian ini gain lp tertutup K. Besar tegangan keluaran mengikuti tegangan masukan. Oleh karena itu rangkaian ini juga disebut ltage fllwer. i P i Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

110 Penguat n-inersi Pada rangkaian penyangga, P s. Jika kita buat lebih kecil dari dengan s menggunakan pembagi tegangan, maka kita perleh penguat nninersi. Perhatikan diagram rangkaian pada Gb.5.4. i umpan balik Pada terminal masukan nninersi Gb.5.4. Penguat nn-inersi. diberikan tegangan masukan s, sedang terminal masukan inersi dihubungkan ke rangkaian keluaran. Hubungan keluaran dengan masukan ini kita sebut umpan balik (feed back) dan rangkaian seperti ini kita sebut rangkaian dengan umpan balik. Dengan adanya umpan balik terjadi interaksi antara masukan dan keluaran. Mdel ideal OP MP mengharuskan i i P ; leh karena itu tegangan dapat dicari dengan kaidah pembagi tegangan, yaitu Pada terminal masukan nn-inersi P s. Karena mdel ideal OP MP juga mengharuskan P maka P s sehingga s Inilah hubungan antara keluaran dan masukan yang dapat kita tuliskan K s dengan K Knstanta K ini kita sebut gain lp tertutup karena gain ini diperleh pada rangkaian dengan umpan balik. Dengan demikian kita mempunyai dua macam gain, yaitu gain lp terbuka (µ) dan gain lp tertutup (K). Gain lp terbuka sangat besar nilainya namun ketidak pastiannya juga besar. Gain lp tertutup lebih kecil namun nilainya dapat kita kendalikan dengan lebih cermat yaitu i P P 3

111 dengan cara memilih resistr berkualitas baik, dengan ketelitian cukup tinggi. Jadi dengan membuat umpan balik, kita memperleh gain yang lebih kecil tetapi dengan ketelitian lebih baik. Dalam menghitung K di atas, kita menggunakan mdel ideal dengan µ yang tak hingga besarnya. Dalam kenyataan, µ mempunyai nilai besar tetapi tetap tertentu. Berapa besar pengaruh nilai µ yang tertentu ini terhadap nilai K dapat kita analisis dengan menggunakan rangkaian mdel sumber tak-bebas seperti pada Gb.5.. yang dilengkapi dengan umpan balik seperti pada Gb.5.4. nalisisnya tidak kita lakukan di sini namun hasil yang akan diperleh adalah berbentuk K * K K ( / µ ) dengan K * adalah gain lp tertutup jika µ mempunyai nilai tertentu. Mdel ideal akan memberikan hasil yang baik selama K << µ. CO TOH 5.: Pada rangkaian penguat nn-inersi di bawah ini tentukan tegangan, arus dan daya pada beban B. 5V kω P kω kω i B B B kω Penyelesaian : ip P s 5 V i 3 maka 5 V 3 5 V Jadi B 5 V; i B B 5 m; pb BiB 5 B mw. 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

112 Pemahaman : rus dari sumber 5 V adalah nl. Sumber ini tidak terbebani. Daya yang diserap leh beban berasal dari catu daya pada OP MP, yang tidak tergambarkan dalam rangkaian ini. OP MP mempunyai batas maksimum arus yang dapat ia berikan. Jika kita misalkan arus maksimum yang dapat diberikan leh OP MP dalam rangkaian di atas adalah m maka arus ini harus dibagi antara beban dan rangkaian umpan balik. Karena i, maka arus yang melalui rangkaian umpan balik, i f, adalah : 5 i f 5 m 3 rus yang melalui beban maksimum menjadi i maks 5 5 m. gar tidak terjadi pembebanan berlebihan, resistansi beban paling sedikit adalah : B min 3 kω 5 Daya maksimum yang bisa diberikan ke beban menjadi: p B maks imaks mw CO TOH 5.: Carilah hubungan keluaran-masukan dari penguat nn inersi di bawah ini, dan cari pula resistansi masukannya. s i in P Penyelesaian: Karena i P, maka P 5 s 4 5 Karena i maka 5

113 P 5 5 s 4 5 s 4 5 angkaian-rangakain dasar OP MP yang lain seperti penguat inersi, penjumlah (adder), pengurang (penguat diferensial), integratr, diferensiatr, akan kita pelajari setelah kita mempelajari metda-metda analisis. Sal-Sal. Sebuah pencatu daya dimdelkan sebagai sumber tegangan bebas 6 V dan resistansi seri i sebesar,5 Ω. Pada pembebanan, berapakah daya yang diberikan sumber dan yang diserap i? Berapakah daya yang diterima leh beban dan pada tegangan berapakah daya diterima.. Sebuah piranti pencatu daya dimdelkan sebagai sumber arus praktis yang terdiri dari sumber arus bebas dengan resistr paralel p Ω. Pada waktu dibebani, arus yang melalui p adalah,. Pada tegangan berapakah sumber arus bekerja? Berapakah daya yang diberikan leh sumber arus? Berapakah daya yang diserap leh p? Berapakah daya yang diterima beban? Berapa arus beban? 3. Sebuah piranti aktif dimdelkan sebagai CCCS dengan arus keluaran I I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti ini dibebani resistr 3 Ω. Jika I f m, berapakah daya yang diserap beban dan pada tegangan berapakah beban menyerap daya? 4. Sebuah piranti aktif dimdelkan sebagai VCVS dengan tegangan keluaran V V f dimana V f adalah tegangan pengendali. Piranti ini dibebani resistr 5 Ω. Jika V f V, berapakah daya yang diserap beban dan berapakah arus beban? 5. Sebuah piranti aktif dimdelkan sebagai VCCS dengan arus keluaran I V f dimana V f adalah tegangan pengendali. Piranti ini dibebani resistr 5 Ω. Jika V f V, berapakah daya yang diserap beban dan pada tegangan berapakah beban menyerap daya? 6. Sebuah piranti aktif dimdelkan sebagai CCVS dengan tegangan keluaran V I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti ini 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

114 dibebani resistr 3 Ω. Jika I f, berapakah daya yang diserap beban dan berapakah arus beban? 7. Pada mdel sumber tak bebas di bawah ini, tunjukkanlah bahwa karakteristik i- dari piranti yang dimdelkannya adalah karakteristik transfrmatr ideal. i i i 8. Carilah tegangan rangkaian-rangkaian berikut. kω i s kω a). i s,cst b). 4kΩ kω 4V s V s st V 9. Sebuah dida mempunyai resistansi balik kω dan karakteristik i- linier I,5V, digunakan sebagai penyearah setengah gelmbang untuk mencatu resistr kω. Tentukan tegangan pada resistr jika tegangan masukan adalah s cs3t V.. Sebuah penyearah setengah gelmbang digunakan untuk mengisi batere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untuk mengisikan muatan 4 h jika arus efektif (rms) pengisian adalah.. Sebuah penyearah gelmbang penuh digunakan untuk mengisi batere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untuk mengisikan muatan 5 h jika arus efektif (rms) pengisian adalah. 7

115 . Carilah hubungan antara tegangan dan s. a). s kω kω kω s 4kΩ kω kω b). s kω kω kω 4kΩ kω kω c). d). kω kω kω s kω s kω 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

116 BB 6 Hukum-Hukum Dasar Pekerjaan analisis pada suatu rangkaian linier yang parameternya diketahui, mencakup pemilihan teknik analisis dan penentuan besaran keluaran (utput) jika besaran masukannya (input) diketahui, ataupun penentuan hubungan antara keluaran dan masukan. gar kita mampu melakukan analisis kita perlu memahami beberapa hal yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, terema-terema rangkaian serta metda-metda analisis. Dalam bab ini kita akan membahas hal yang pertama, yang mencakup hukum Ohm dan hukum Kirchhff. Dengan mempelajari hukum-hukum dasar ini, kita akan mampu menghitung resistansi knduktr jika parameternya diketahui. mampu mengaplikasikan Hukum rus Kirchhff (HK) untuk menuliskan persamaan arus atau tegangan di suatu simpul. mampu mengaplikasikan Hukum Tegangan Kirchhff (HTK) untuk menuliskan persamaan tegangan atau arus di suatu mesh ataupun lp. mampu mengaplikasikan HK untuk simpul super maupun HTK untuk mesh super. 6.. Hukum Ohm Salah satu hasil percbaan labratrium yang dilakukan leh Gerge Simn Ohm ( ) adalah hubungan arus dan tegangan yang kemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendiri merupakan hasil analisis matematis dari rangkaian galanik yang didasarkan pada analgi antara aliran listrik dan aliran panas. Frmulasi Furier untuk aliran panas adalah dq dt k (6.) dt dl dengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temperatur, sedangkan k adalah knduktiitas panas, luas penampang, dan T temperatur. 9

117 Dengan mengikuti frmulasi Furier untuk persamaan knduksi panas dan menganalgikan intensitas medan listrik dengan gradien temperatur, Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalir pada knduktr dapat dinyatakan dengan d I ρ dl (6.) Jika knduktr mempunyai luas penampang yang merata, maka persamaan arus itu menjadi V V ρ l I dengan ρ l (6.3) V adalah beda tegangan pada knduktr sepanjang l dengan luas penampang, ρ adalah karakteristik material yang disebut resistiitas, sedangkan adalah resistansi knduktr. Persamaan (6.3) dapat ditulis juga sebagai V I (6.4) dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadi i (6.5) Hukum Ohm ini sangat sederhana namun kita harus tetap ingat bahwa ia hanya berlaku untuk material hmgen ataupun elemen yang linier. CO TOH-6.: Seutas kawat terbuat dari tembaga dengan resistiitas,8 Ω.mm /m. Jika kawat ini mempunyai penampang mm dan panjang 3 m, hitunglah resistansinya. Jika kawat ini dipakai untuk menyalurkan daya (searah), hitunglah tegangan jatuh pada saluran ini (yaitu beda tegangan antara ujung kirim dan ujung terima saluran) jika arus yang mengalir adalah. Jika tegangan di ujung kirim adalah V, berapakah tegangan di ujung terima? Berapakah daya yang hilang pada saluran? Penyelesaian : esistansi kawat adalah : ρl,8 3,54 Ω Jika kawat ini dipakai untuk saluran daya, diperlukan saluran balik sehingga resistansi ttal adalah : Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

118 saluran,54,8 Ω Tegangan jatuh pada saluran adalah : V saluran is,8,6 V Jika tegangan ujung kirim adalah V, maka tegangan di ujung terima adalah terima Daya hilang pada saluran adalah : Pemahaman :,6 7,84 V psaluran i Vsaluran,6 43, W i (),8 43, W Sesungguhnya resistansi kawat terdistribusi sepanjang kawat. Dalam analisis rangkaian, resistansi yang terdistribusi ini kita nyatakan sebagai suatu parameter tergumpal (lumped parameter). Jadi resistansi kawat itu dinyatakan sebagai satu elemen rangkaian, yaitu, sehingga diagram rangkaian menjadi seperti di samping ini. 6.. Hukum Kirchhff Kita telah mempelajari piranti dan mdelnya serta bagaimana hubungan antara arus dan tegangan pada piranti tersebut dengan memandangnya sebagai suatu kmpnen yang berdiri sendiri. Berikut ini kita akan mempelajari piranti-piranti yang terhubung membentuk suatu rangkaian. Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian menuruti suatu hukum yang menyatakan sifat-sifat rangkaian, hasil pemikiran ilmuwan Jerman Gusta Kirchhff (84-887), yang disebut hukum Kirchhff. Sebelum membahas hukum Kirchhff ada beberapa istilah yang terkait dengan diagram rangkaian, yang perlu kita fahami, yaitu : Terminal : ujung akhir piranti atau sambungan rangkaian. angkaian : beberapa piranti yang dihubungkan pada terminalnya. Simpul ( de): titik sambung antara dua atau lebih piranti. sumber beban

119 Catatan : Walaupun sebuah simpul diberi pengertian sebagai sebuah titik tetapi kawat-kawat yang terhubung langsung ke titik simpul itu merupakan bagian dari simpul; jadi dalam hal ini kita mengabaikan resistansi kawat. Simpai (Lp) : rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kita berjalan mulai dari salah satu simpul mengikuti sederetan piranti dengan melewati tiap simpul tidak lebih dari satu kali dan berakhir pada simpul tempat kita mulai perjalanan. Selain istilah-istilah tersebut di atas, dalam menggambarkan hubungan atau sambungan-sambungan kita akan menggunakan caracara seperti terlihat pada Gb.6.3. a) b) c) Persilangan tak terhubung Persilangan terhubung Gb.6.3. Penggambaran sambungan rangkaian Hukum rus Kirchhff (HK) - Kirchhff's Current Law (KCL) Hukum Kirchhff yang pertama ini menyatakan bahwa : Terminal dan sambungan terminal Setiap saat, jumlah aljabar dari arus di satu simpul adalah nl. Di sini kita harus memperhatikan referensi arah arus. Bila arus yang menuju simpul diberi tanda psitif, maka arus yang meninggalkan simpul diberi tanda negatif (atau sebaliknya bila arus yang meninggalkan bertanda psitif, arus yang menuju simpul bertanda negatif). Perlu diingat bahwa arah arus di sini adalah arah referensi dan bukan arah arus sebenarnya. Hukum rus Kirchhff merupakan pernyataan prinsip knserasi muatan. Jumlah elektrn per detik yang datang dan yang pergi haruslah sama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itu jumlah arus di suatu simpul harus nl. Jika tidak, akan terjadi penumpukan muatan di simpul tersebut yang menurut hukum Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

120 Culmb akan terjadi ledakan muatan ; tetapi hal demikian tidak pernah terjadi Hukum Tegangan Kirchhff (HTK) - Kirchhff's Vltage Law (KVL) Hukum Kirchhff yang kedua ini menyatakan bahwa : Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu lp adalah nl. Di sinipun kita harus memperhatikan tanda referensi tegangan dalam menuliskan persamaan tegangan lp. Tegangan diberi tanda psitif jika kita bergerak dari ke dan diberi tanda negatif bila kita bergerak dari ke. i i 4 4 B 4 i HK untuk simpul : i 3 i 5 lp 3 3 lp C lp 3 HTK untuk lp : : i i : 3 B : i i3 i4 : C : i i3 i4 3 : 4 5 Gb.6.4. HK dan HTK Hukum Tegangan Kirchhff merupakan pernyataan kembali prinsip knserasi energi. Dalam rangkaian pada Gb.6.4., sebagian piranti mungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban. Menurut prinsip knserasi energi, energi yang diberikan leh sumber dalam suatu selang waktu tertentu harus sama dengan energi yang diserap leh beban selama selang waktu yang sama. Mengingat knensi pasif, hal itu berarti bahwa jumlah aljabar energi di semua piranti adalah nl, dan berarti pula bahwa jumlah aljabar daya (hasil kali tegangan dan arus tiap elemen) sama dengan nl

121 i i 3i3 4i4 5i4 Karena i i dan i i 3 i 4 maka persamaan di atas dapat kita tulis i3 ( i i ) ( i i ) 3 atau ( ) i ( ) 4 Karena nilai arus tidak nl maka haruslah 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () i3 4i4 5i4 3 dan 4 5 Persamaan pertama adalah persamaan untuk lp- dan persamaan kedua adalah untuk lp-3. Dari persamaan lp- kita perleh 3 dan jika ini kita substitusikan ke persamaan lp-3, akan kita perleh persamaan lp- yaitu: Pengembangan HTK dan HK. Lp- dan lp- pada Gb.6.4. merupakan lp-lp terkecil yang tidak melingkupi lp lain di dalamnya. Lp semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda dengan lp-3 yang merupakan gabungan dari mesh- dan mesh- (lp- dan lp-). Lp yang merupakan gabungan dari beberapa mesh disebut juga mesh super. Persamaan dari suatu mesh super adalah gabungan dari persamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaimana telah ditunjukkan di atas. Kita perhatikan sekarang simpul dan B pada Gb.6.4. HK untuk kedua simpul ini adalah: i i dan i i3 i4 Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita perleh : i i3 i4 Ini adalah persamaan dari sebuah simpul yang merupakan gabungan dari dua simpul, yaitu simpul dan B. Simpul gabungan dari beberapa simpul semacam ini disebut simpul super. Cnth lain untuk simpul super adalah gabungan simpul B dan C. Persamaan simpul super BC ini adalah : i i4 i5 i 4 5

122 Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terbatas hanya dua simpul. Jika simpul, B, dan C kita gabungkan akan menjadi simpul super BC yang persamaannya adalah : Dengan demikian maka : i 4 i5. HK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul super dan HTK berlaku untuk mesh tunggal maupun mesh super CO TOH-6.3: plikasikan HTK pada empat macam rangkaian di bawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperleh dengan arus elemen sebagai peubah jika arus awal induktr dan tegangan awal kapasitr adalah nl. a). b). s L s L c). d). L s C C s L C C Penyelesaian : plikasi HTK untuk masing-masing rangkaian akan memberikan a). s s i i b). s L di i L L s L dt c). s C s C i icdt C d). s L C di i L L s L C ic dt dt C 5

123 CO TOH-6.4: plikasikan HK untuk simpul dari berbagai macam bagian rangkaian di bawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperleh dengan tegangan elemen sebagai peubah jika tegangan awal kapasitr dan arus awal induktr adalah nl. i i i i a). 3 3 i 3 b). L L i L c). i C i C C 3 3 i 3 d). i L L C i C C i L Penyelesaian : plikasi HK untuk simpul pada bagian-bagian rangkaian tersebut di atas memberikan: 3 a). i i i3 3 b). i i il Ldt L c). dc 3 i ic i3 C dt 3 d). d i i i C C C L Ldt dt L Pemahaman : Pada cnth 6.. dan 6.3. di atas terlihat bahwa persamaan rangkaian dapat berbentuk persamaan aljabar biasa, yaitu apabila elemen-elemen rangkaian hanya terdiri dari resistr saja, atau berbentuk persamaan diferensial rde satu atau 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

124 persamaan integr-diferensial. Dua bentuk persamaan terakhir ini terjadi jika rangkaian mengandung elemen dinamis. CO TOH-6.5: Gambar di bawah ini menunjukkan keadaan di sekitar simpul dari suatu rangkaian. Tentukan i dan tegangan di simpul-simpul yang bukan simpul referensi. C i L cst L4H i 3 i B D Ω Ω i C C 5sint V CF E Penyelesaian : plikasi HK pada simpul memberikan : i il i ic i ic il i d(5sin t) i cs t 3 8 cs t 3 dt Tegangan simpul-simpul nn-referensi adalah C 5sin t V B i 5 sin t 6 V d(cst) C L 5sint 4 sin t dt D i 5sint 36cst 6 V V CO TOH-6.6: Pada rangkaian di bawah ini, diketahui bahwa arus-arus i 5, i, dan i 3 8. Tentukanlah arus i, i, dan tegangan. 7

125 i 4 i 5 Penyelesaian : Jika kita gabungkan simpul, B, dan C menjadi satu simpul super dan kita aplikasikan HK, kita akan mendapatkan persamaan untuk simpul super BC : i 4 i i3 i4 i3 i plikasi HK untuk simpul C memberikan: i i5 i3 i5 i3 i 8 6 Tegangan dapat kita cari dengan mengaplikasikan HTK untuk lp BC : 3i5 4i V 6.3. Basis nalisis angkaian 4Ω Sesungguhnya dalam cnth-cnth 6.. sampai 6.5. kita telah melakukan analisis rangkaian. nalisis tersebut kita lakukan dengan cara menerapkan langsung hukum Kirchhff. Secara tidak sadar, disamping hukum Kirchhff, kita telah pula memasukkan batasanbatasan elemen yang membentuk rangkaian tersebut yaitu berupa karakteristik i- dari elemen. Pada resistr misalnya, harus berlaku i ; untuk induktr harus berlaku L L di/dt dan untuk kapasitr i C C d C / dt. Jadi di dalam suatu rangkaian, Hukum Kirchhff harus dipenuhi sementara elemen-elemen yang membentuk rangkaian itu mempunyai karakteristik i- masing-masing yang juga harus dipenuhi. Kita katakan bahwa Hukum Kirchhff merupakan persyaratan rangkaian sedangkan karakteristik i- elemen merupakan persyaratan elemen. Dalam suatu rangkaian, kedua persyaratan tersebut secara bersamaan harus dipenuhi dan hal ini menjadi basis untuk melakukan analisis rangkaian. 3Ω i B i C i 3 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

126 Selain daripada itu kita menganggap bahwa rangkaian-rangkaian yang kita hadapi tersusun dari elemen-elemen linier sehingga rangkaian kita merupakan rangkaian linier. Disamping linier, semua elemen juga mempunyai nilai yang tidak tergantung dari waktu sehingga kita mempunyai rangkaian yang tidak merupakan fungsi waktu atau inarian waktu. Jadi dalam analisis rangkaian yang akan kita pelajari dalam buku ini, hanyalah sinyal yang merupakan fungsi waktu sedangkan karakteristik rangkaian tidak merupakan fungsi waktu. Sal-Sal. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen (termasuk sumber) pada rangkaian-rangkaian berikut. 5Ω 3V Ω a) b) 5Ω Ω 5Ω Ω cst c) d). 5Ω Ω cst V e) cst V 5Ω.F cst V f) 5Ω H 9

127 . Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian berikut ini. 5Ω 5Ω Ω Ω a) b) 5Ω V Ω Ω 5Ω 5Ω µf Ω 5cst Ω c) d) 5Ω µf Ω 5cst Ω 5Ω H Ω cst V Ω e) 3. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian ini. 5Ω 5Ω Ω Ω 5Ω 5Ω V Ω Ω 5Ω Ω a) b) 5Ω 5Ω 5 5Ω 5Ω V Ω Ω 5Ω Ω c) d) Ω 5Ω Ω 5 Ω Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

128 BB 7 Kaidah dan Terema angkaian Kaidah rangkaian merupakan knsekuensi dari hukum-hukum rangkaian sedangkan terema rangkaian merupakan pernyataan dari sifat-sifat dasar rangkaian linier. Kedua hal tersebut akan kita pelajari dalam bab ini. Kaidah dan terema rangkaian menjadi dasar pengembangan metda-metda analisis yang akan kita pelajari pada bab selanjutnya. Kaidah-kaidah rangkaian yang akan kita pelajari meliputi hubunganhubungan seri dan paralel, rangkaian-rangkaian ekialen, kaidah pembagi tegangan, pembagi arus. Terema rangkaian yang akan kita pelajari meliputi prinsip prprsinalitas, prinsip superpsisi, terema Théenin, terema Nrtn, terema substitusi, terema Millman, terema alih daya maksimum, terema Tellegen. Dengan mempelajari kaidah-kaidah rangkaian dan terema rangkaian kita akan mampu mencari nilai ekialen dari elemen-elemen yang terhubung seri, terhubung paralel, terhubung bintang (Y) dan terhubung segitiga ( ); mampu menentukan tegangan tiap elemen pada elemenelemen yang terhubung seri; mampu menentukan arus cabang pada cabang-cabang rangkaian yang terhubung paralel. mampu menunjukkan bahwa rangkaian linier mengikuti prinsip prprsinalitas. mampu mengaplikasikan prinsip superpsisi. memahami terema Millman, terema Théenin dan terema Nrtn, dan mampu mencari rangkaian ekialen Théenin ataupun Nrtn. mampu menentukan nilai elemen beban agar terjadi alih daya maksimum.

129 7.. Kaidah-Kaidah angkaian 7... Hubungan Seri dan Paralel Dua elemen dikatakan terhubung paralel jika mereka terhubung pada dua simpul yang sama. Dengan menerapkan HTK pada lp yang dibentuk leh dua elemen itu akan terlihat bahwa tegangan pada elemen-elemen itu harus sama. - i i - i - i Hubungan paralel Gb.7.. Hubungan paralel dan seri. Dua elemen dikatakan terhubung seri jika mereka hanya mempunyai satu simpul bersama dan tidak ada elemen lain yang terhubung pada simpul itu. Penerapan HK akan memperlihatkan bahwa arus yang mengalir di kedua elemen itu sama. Hubungan paralel maupun seri tidak terbatas hanya dua elemen angkaian Ekialen (angkaian Pengganti) nalisis terhadap suatu rangkaian sering akan menjadi lebih mudah dilaksanakan jika sebagian dari rangkaian dapat diganti dengan rangkaian lain yang ekialen dan lebih sederhana. Basis untuk terjadinya ekialensi antara dua macam rangkaian adalah hubungan i- dari keduanya. Dua rangkaian disebut ekialen jika antara dua terminal tertentu mereka mempunyai karakteristik i- yang identik esistansi Ekialen esistansi ekialen dari beberapa resistr yang terhubung seri adalah resistr yang nilai resistansinya sama dengan jumlah nilai resistansi yang disambung seri tersebut. esistansi Seri : Hubungan seri i i eki 3 (7.) Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

130 Hal ini mudah dibuktikan jika diingat bahwa resistr-resistr yang dihubungkan seri dialiri leh arus yang sama, sedangkan tegangan di masing- masing resistr sama dengan arus kali resistansinya. Menurut HTK, tegangan ttal pada terminal dari rangkaian seri tersebut sama dengan jumlah tegangan di masing-masing resistr. Jadi V ttal V ( ) i i. V i i ekialen Penggantian (.) dengan eki, tidak mengubah hubungan antara arus dan tegangan di terminal ujung. Knduktansi ekialen dari beberapa knduktansi yang disambung paralel sama dengan jumlah knduktansi masing-masing. Knduktansi Paralel : G eki G G G3 (7.) Hal ini juga mudah dibuktikan, mengingat bahwa masing-masing elemen yang dihubungkan paralel memperleh tegangan yang sama. Sementara itu arus ttal sama dengan jumlah arus di masing-masing elemen yang terhubung paralel tersebut. ( G G ) G ittal ig ig G G ekialen Kapasitansi Ekialen Pencarian nilai ekialen dari kapasitr maupun induktr yang terhubung seri ataupun paralel dapat dilakukan dengan menggunakan cara yang sama seperti mencari resistansi ekialen. Gb.7.. memperlihatkan beberapa kapasitr terhubung paralel. plikasi HK pada simpul memberikan : d d i i i i C C C dt dt d d ( C C C ) Cek. dt dt _ B i C i C i C Gb.7.. Kapasitr paralel. d dt i 3

131 Jadi kapasitansi ekialen dari kapasitr yang terhubung paralel adalah Kapasitr Paralel : C ek C C C (7.3) Untuk kapasitr yang dihubungkan seri kita mempunyai hubungan: t t idt idt C C t ek idt Cek t idt C Jadi untuk kapasitr yang dihubungkan seri maka kapasitansi ekialennya dapat dicari dengan hubungan : Kapasitr Seri: Induktansi Ekialen Cek C C C (7.4) Induktansi ekialen dari induktr yang dihubungkan seri ataupun paralel dapat dicari dengan cara yang sama, dan hasilnya adalah sebagai berikut. Indukttans i Seri: L ek L L L (7.5) Induktansi Paralel : Sumber Ekialen Lek L L L (7.6) Suatu sumber tegangan praktis dapat digantikan leh sumber arus praktis ekialennya dan demikian juga sebaliknya. Secara umum kita katakan bahwa sumber tegangan bebas yang terhubung seri dengan resistr dapat diganti leh sumber arus bebas diparalelkan dengan resistr. Demikian pula sebaliknya, sumber arus bebas yang terhubung paralel dengan resistr dapat diganti leh sumber tegangan bebas diserikan dengan resistr. Perhatikan mdel sumber tegangan dan sumber arus pada Gb Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

132 s i bagian lain rangkaian i s i i bagian lain rangkaian Sumber tegangan Sumber arus Gb.7.3. Ekialensi sumber tegangan dan sumber arus Frmulasi hubungan arus dan tegangan masing-masing jenis sumber adalah: Sumber Tegangan: s s i s s i Kedua mdel itu akan ekialen apabila: s i i s i dan s Sumber rus: i dan dan s s is i i is dan (7.7) Jika persyaratan untuk terjadinya ekialensi itu terpenuhi maka bagian rangkaian yang lain tidak akan terpengaruh jika kita menggantikan mdel sumber tegangan dengan mdel sumber arus ekialennya ataupun sebaliknya mengganti sumber arus dengan sumber tegangan ekialennya. Menggantikan satu mdel sumber dengan mdel sumber lainnya disebut transfrmasi sumber Transfrmasi Y- i ( is i) i is i is Dalam beberapa rangkaian mungkin terjadi hubungan yang tidak dapat disebut sebagai hubungan seri, juga tidak paralel. Hubungan semacam ini mengandung bagian rangkaian dengan tiga terminal yang mungkin terhubung (segi tiga) atau terhubung Y (bintang) seperti terlihat pada Gb.7.4. Menggantikan hubungan dengan s 5

133 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () hubungan Y yang ekialen, atau sebaliknya, dapat mengubah rangkaian menjadi hubungan seri atau paralel. Gb.7.4 Hubungan dan hubungan Y. Kedua macam hubungan itu akan ekialen jika dari tiap pasang terminal -B, B-C, C-, terlihat resistr ekialen yang sama. Jadi kedua rangkaian itu harus memenuhi ( ) ( ) ( ) 3 3 C B C B C C B C B BC C B B C B (7.8) Dari (7.8) ini kita perleh relasi rangkaian ekialen Y dari suatu rangkaian, dan rangkaian ekialen dari suatu rangkaian Y, seperti berikut. C B B C B C C B C B 3 Y dari Ekialen C B Y dari Ekialen Υ C B C B B C 3

134 Suatu rangkaian Y dan dikatakan seimbang jika 3 Y dan B C. Dalam keadaan seimbang seperti ini, transfrmasi Y - menjadi sederhana, yaitu: Kaidah Pembagi Tegangan Kaidah ini memberikan distribusi tegangan pada elemen yang dihubungkan seri dalam rangkaian. Dengan mengaplikasikan HTK pada lp rangkaian Gb.7.5, kita mendapatkan : ( ) s 3 s s i 3 ttal Tegangan pada masing-masing elemen adalah : i s ; ttal Secara umum dapat kita tuliskan: Pembagi Tegangan : 3 s ; ttal i 3 3 s ttal (7.9) k k ttal (7.) ttal Jadi tegangan ttal didistribusikan pada semua elemen sebanding dengan resistansi masing-masing dibagi dengan resistansi ekialen Kaidah Pembagi rus Dalam rangkaian paralel, arus terbagi sebanding dengan knduktansi di masing-masing cabang. Kita ambil cnth rangkaian seperti pada Gb.7.6. Hubungan antara arus i s dan tegangan dapat dicari sbb. s i 3 3 Gb.7.5. Pembagian tegangan 7

135 is i i i3 G G G3 is /( G G G3 ) is / Gttal i i i 3 i s G G G 3 Dari yang diperleh dapat dihitung arus di masing-masing resistr. G G G i G is ; i 3 is ; i3 is Gttal Gttal G (7.) ttal Secara umum : Pembagi 7.. Terema angkaian Gb.7.6. Pembagian arus. rus : i k G k ittal G ttal (7.) Terema-terema rangkaian berbasis pada sifat linier dari rangkaian. Dalam membahas terema-terema ini kita akan melihat pada rangkaian dengan elemen resistr saja agar pemahamannya menjadi lebih mudah. Selain prinsip prprsinalitas, prinsip superpsisi, terema Théenin, terema Nrtn, dan terema alih daya maksimum, akan dibahas juga secara singkat terema Millman, terema substitusi dan terema Tellegen; tiga terema terakhir ini dapat dilewati untuk sementara tanpa memberikan kesulitan pada pemabahasan pada bab-bab selanjutnya Prprsinalitas (Kesebandingan Lurus) Dalam rangkaian linier, sinyal keluaran merupakan fungsi linier dari sinyal masukan. Sebagai fungsi linier, keluaran tersebut memiliki sifat hmgen dan aditif. Sifat hmgen itu muncul dalam bentuk kesebandingan antara keluaran (utput) dan masukan (input), yang berarti bahwa keluaran dari rangkaian linier berbanding lurus dengan masukannya. Sifat hmgen ini kita sebut prprsinalitas. Sementara itu sifat aditif terlihat apabila kita mempunyai rangkaian yang mengandung lebih dari satu masukan. Keluaran dari rangkaian linier semacam ini merupakan jumlah dari semua keluaran yang 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

136 diperleh jika seandainya masing-masing masukan bekerja secara terpisah. Sifat aditif ini kita sebut superpsisi. Karakteristik i- dari resistr linier, i, adalah cnth dari suatu hubungan linier. Kalau arus meningkat kali maka tegangan juga meningkat kali. Sementara itu daya, p i, bukanlah hubungan linier. Jadi dalam rangkaian linier hanya tegangan dan arus saja yang memiliki hubungan linier. Hubungan antara masukan dan keluaran secara umum dapat ditulis : y K x (7.3) dengan x adalah masukan (bisa tegangan, bisa juga arus), y adalah keluaran, dan K adalah knstanta prprsinalitas. Hubungan ini dapat digambarkan dengan diagram blk seperti Gb.7.7. masukan keluaran Gb.7.7. Hubungan masukan keluaran rangkaian linier Prinsip Superpsisi x K yk x Prinsip superpsisi memberikan hubungan antara keluaran dengan beberapa masukan di dalam suatu rangkaian yang dapat dituliskan sebagai y y y y3 Kx Kx K3x3 (7.4) dengan y i K i x i, dan y i adalah keluaran yang diperleh jika masingmasing masukan, x i, bekerja sendiri-sendiri. K i adalah knstanta yang besarnya tergantung dari rangkaian. Secara singkat dapat dikatakan bahwa keluaran dari rangkaian resistr linier merupakan kmbinasi linier dari masukan. Dengan kata lain, keluaran rangkaian adalah jumlah dari kntribusi masing-masing sumber. Kntribusi suatu sumber pada keluaran rangkaian dapat dicari dengan mematikan sumber-sumber yang lain. a. Mematikan sumber tegangan berarti membuat tegangan sumber itu menjadi nl, artinya sumber ini menjadi hubungan singkat. b. Mematikan sumber arus adalah membuat arus sumber menjadi nl, artinya sumber ini menjadi hubungan terbuka. 9

137 7..3. Terema Millman Terema Millman menyatakan bahwa apabila beberapa sumber tegangan k yang masing-masing memiliki resistansi seri k dihubungkan paralel maka hubungan paralel tersebut dapat digantikan dengan satu sumber tegangan ekialen eki dengan resistansi seri ekialen eki sedemikian sehingga eki k dan eki k eki k (7.4) Terema Théenin dan Terema rtn Kedua terema ini dikembangkan secara terpisah akan tetapi kita akan membahasnya secara bersamaan. Secara umum, rangkaian listrik terdiri dari dua bagian rangkaian yang menjalankan fungsi berbeda, yang dihubungkan leh terminal interkneksi. Untuk hubungan dua terminal seperti terlihat pada Gb.7.8, satu bagian disebut seksi sumber dan bagian yang lain disebut seksi beban. Pengertian seksi sumber di sini i adalah bagian rangkaian yang S B mengandung sumber dan bukan hanya sebuah sumber saja. Gb.7.8. Seksi sumber [S] dan seksi beban [B]. Sinyal listrik dikirimkan dari seksi sumber dan diberikan kepada seksi beban. Interaksi antara seksi sumber dan seksi beban, merupakan salah satu masalah utama yang dibahas dalam analisis dan rancangan rangkaian listrik. angkaian seksi sumber dapat digantikan dengan rangkaian ekialen Théenin atau rangkaian ekialen Nrtn. Kndisi yang diperlukan agar rangkaian ekialen ini ada, dikatakan secara frmal sebagai suatu terema: Therema Théenin menyatakanan bahwa jika rangkaian seksi sumber pada hubungan dua-terminal adalah linier, maka sinyal pada terminal interkneksi tidak akan berubah jika rangkaian seksi sumber itu diganti dengan rangkaian ekialen Théenin. 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

138 Gb.7.9. menunjukkan bentuk rangkaian ekialen Théenin; seksi sumber digantikan leh satu sumber tegangan V T yang terhubung seri dengan resistr T. i T V T _ B sumber beban Gb.7.9. angkaian ekialen Théenin Therema rtn menyatakan bahwa jika rangkaian seksi sumber pada hubungan dua-terminal adalah linier, maka sinyal pada terminal interkneksi tidak akan berubah jika rangkaian seksi sumber itu diganti dengan rangkaian ekialen rtn. Gb.7.. menunjukkan bentuk rangkaian ekialen Nrtn; seksi sumber digantikan leh satu sumber arus I yang terhubung paralel dengan resistr. i I B sumber beban Gb.7.. angkaian ekialen rtn Bagaimana mencari tegangan ekialen Theenin dan arus ekialen Nrtn, dijelaskan pada Gb.7.. 3

139 S i ht _ i T V T _ ht V T _ i i hs S I i hs I Gb.7.. Mencari V T dan I V T adalah tegangan pada terminal interkneksi apabila beban dilepas; sedangkan I adalah arus hubung singkat yang mengalir apabila beban diganti dengan suatu hubung singkat. Perhatikan bahwa persyaratan agar kita dapat mencari rangkaian ekialen Théenin atau Nrtn adalah bahwa rangkaian seksi sumber harus linier. Persyaratan ini tidak diperlukan untuk rangkaian bebannya, jadi rangkaian beban bleh linier bleh pula tidak linier (nn-linear). Karena kedua rangkaian ekialen itu dapat menggantikan satu macam seksi sumber maka kedua rangkaian ekialen itu harus mempunyai karakteristik i- yang sama. Hal ini berarti bahwa dalam keadaan terbuka, V T I ; dan dalam keadaan hubung singkat I V T / T. Kedua hal ini mengharuskan V T I I T yang berarti harus sama dengan T. Jadi parameter rangkaian ekialen Théenin maupun Nrtn dapat diperleh dengan mencari tegangan hubungan-terbuka ( ht ) dan arus hubung-singkat ( i hs ) di terminal seksi sumber. Jadi V T ht ; I i hs ; T ht / i hs (7.6) Cara Lain Mencari esistr Ekialen Théenin ( T ). esistansi ekialen Théenin T dapat diperleh dengan cara lain yaitu dengan mencari resistansi ekialen yang dilihat dari terminal ke arah seksi sumber dengan seluruh sumber dimatikan. Jika resistansi tersebut adalah ek maka T ek (Gb.7..). 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

140 Semua sumber dimatikan ek B T V T T ek B Gb.7.. Cara lain mencari T Dengan singkat dapat dikatakan bahwa untuk menentukan rangkaian ekialen Théenin ataupun rangkaian ekialen Nrtn, dua dari tiga paremeter di bawah ini dapat digunakan. - Tegangan hubungan terbuka pada terminal - rus hubung singkat pada terminal - esistr ekialen sumber dilihat dari terminal dengan semua sumber dimatikan. Ketiga parameter tersebut dihitung dengan seksi beban tidak terhubung pada seksi sumber. Jadi rangkaian ekialen Théenin dan rangkaian ekialen Nrtn merupakan karakteristik seksi sumber dan tidak tergantung dari beban. Perhatikanlah bahwa rangkaian ekialen Théenin menjadi suatu mdel sumber praktis lih Daya Maksimum Salah satu persalan penting dalam rangkaian yang terdiri dari seksi sumber dan seksi beban adalah pengendalian tingkat sinyal di terminal interkneksinya. Persalan yang akan kita lihat disini adalah mengenai tingkat sinyal maksimum yang dapat dialihkan melalui terminal interkneksi. Hubungan antara seksi sumber dan seksi beban dapat kita bagi dalam empat macam keadaan, yaitu : - Sumber tetap, beban berariasi. - Sumber berariasi, beban tetap. - Sumber berariasi, beban berariasi. - Sumber tetap, beban tetap. Kita akan membatasi diri pada hubungan antara suatu sumber tetap dengan beban yang berariasi. Seksi sumber merupakan rangkaian linier dan dinyatakan dengan rangkaian ekialen Théenin dan beban dinyatakan dengan resistr ekialen L, seperti terlihat pada Gb

141 T V T _ i L B sumber beban Gb.7.3. lih sinyal dari seksi sumber ke beban Kaidah pembagi tegangan, memberikan tegangan di -B sebagai L VT L T Jika V T tidak berubah, tegangan akan maksimum bila L bernilai sangat besar dibanding dengan T. Keadaan idealnya adalah L bernilai tak terhingga, yang berarti rangkaian terbuka. Dalam keadaan ini tegangan maksimum adalah max V T ht. Jadi tegangan maksimum yang bisa diperleh di terminal interkneksi adalah tegangan hubungan terbuka ht.. rus yang mengalir ke beban adalah i VT /( L T ) Dari hubungan ini jelas bahwa arus akan maksimum bila L jauh lebih kecil dibanding dengan T atau mendekati nl (hubung singkat). Jadi arus maksimum yang bisa diperleh di terminal B adalah arus hubung singkat i maks VT / T I ihs Daya yang diberikan leh sumber ke beban adalah p i LVT ( ) Dalam persamaan daya ini terlihat bahwa kndisi untuk menghasilkan tegangan maksimum ( L ) maupun arus maksimum ( L ) menyebabkan daya menjadi nl. Ini berarti bahwa nilai L yang dapat menghasilkan alih daya maksimum harus terletak di antara kedua nilai ektrem tersebut. Untuk mencarinya kita turunkan p terhadap L dan membuatnya bernilai. L T 34 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

142 dp d [ ] ( L T ) L ( L T ) VT T L 4 ( ) ( ) V 3 T L L T L T Turunan itu akan menjadi nl bila L T. Jadi alih daya akan maksimum jika resistansi beban sama dengan resistansi Théenin. Jika keadaan seperti ini dicapai, dikatakan bahwa sumber dan beban mencapai kesesuaian atau dalam keadaan matched. Besar daya maksimum yang dialihkan diperleh dengan memasukkan kndisi L T ke persamaan untuk daya p : V p T maks (7.7) 4T Karena V T I T maka : I p T maks (7.8) 4 atau V T I ht i p hs maks 4 (7.9) Dengan demikian maka angkaian sumber ekialen dengan resistansi Théenin T akan memberikan daya maksimum kepada resistansi beban L bila L T Terema Substitusi Terema substitusi menyatakan bahwa suatu cabang rangkaian antara dua simpul dapat disubstitusi leh cabang baru tanpa mengganggu arus dan tegangan di cabang-cabang yang lain asalkan tegangan dan arus antara kedua simpul tersebut tidak berubah. k k i k k sub k sub Gb.7.4. Substitusi cabang rangkaian. sub i Secara umum dapat kita katakan bahwa jika suatu cabang pada rangkaian berisi resistansi k yang bertegangan k dan dialiri arus i k maka resistansi pada cabang ini dapat kita substitusi dengan i k k 35

143 sub sub di mana sub k sub ik sedangkan sub dapat bernilai sembarang. Mengubah isi suatu cabang dengan tetap mempertahankan nilai arus dan tegangannya tidak akan mengubah relasi hukum Kirchhff. Oleh karena itulah terema ini berlaku. Terema ini dapat kita manfaatkan untuk menggantikan resistansi yang berada di suatu cabang dengan suatu sumber tegangan atau sebaliknya Terema Tellegen Berikut ini kita akan membahas perimbangan daya dari keseluruhan rangkaian, yang terdiri dari banyak elemen. Untuk menghitung daya di masing-masing elemen kita memerlukan parameter tegangan elemen k dan arus elemen i k. Sesuai dengan knensi pasif, hasil kali k i k bernilai psitif jika elemen yang bersangkutan menyerap daya dan bernilai negatif jika memberikan daya. Terema Tellegen menyatakan bahwa jika k mengikuti hukum tegangan Kirchhff (HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhff (HK), maka N k ik (7.) k Penjumlahan tersebut meliputi seluruh elemen ( jumlah elemen). Terema ini hanya memerlukan persyaratan bahwa HTK dan HK dipenuhi, tanpa mempedulikan karakteristik i- dari elemen. Dengan demikian maka terema ini berlaku baik untuk rangkaian linier maupun nn-linier. Terema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian listrik harus ada perimbangan yang tepat antara daya yang diserap leh elemen pasif dengan daya yang diberikan leh elemen aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip knserasi energi. Lebih dari sekedar memenuhi prinsip knserasi energi, kita dapat menarik kesimpulan bahwa satusatunya cara agar energi dapat diserap dari atau disalurkan ke suatu bagian rangkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya. Tegangan di suatu bagian rangkaian atau piranti tidak akan memberi daya pada bagian atau piranti tersebut jika tidak ada arus yang mengalir. Demikian pula halnya jika ada arus melalui suatu bagian rangkaian tetapi tidak ada tegangan pada bagian rangkaian tersebut maka tidak ada daya diserap leh bagian tersebut. 36 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

144 , L, dan C Ekialen. Sal-Sal. Carilah resistansi ekialen antara terminal -B, -C, -D, B-C, B-D, dan C-D. Ω 5Ω D C Ω 4Ω 8Ω B 6Ω 6Ω 3Ω Ω B D a) b) C. Carilah resistansi ekialen antara terminal -B dari rangkaianrangkaian di bawah ini. 8Ω 6Ω 6Ω 6Ω B B a) b) mh 4mH mh mh B c) µf µf µf µf Sumber Ekialen: 3. Dari rangkaian sumber arus berikut ini carilah rangkaian ekialen sumber tegangannya di terminal -B. b) a) 3Ω Ω B 3Ω B 37

145 c) d) 4Ω Ω 3Ω 4. Dari rangkaian sumber tegangan di bawah ini carilah rangkaian ekialen sumber arusnya di terminal -B. Ω Ω 3Ω 5V V B a) b) 4Ω Ω V 8V B c) Pembagi Tegangan dan Pembagi rus. 5. Carilah arus dan tegangan di masing-masing resistr pada rangkaian di samping ini dan hitung daya yang diberikan sumber. 3Ω B 3Ω B B Ω Ω 5 3Ω a) b) 5 Ω 3Ω c) 3 Ω Ω 3Ω 38 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

146 39 d) e) f) g) h) i) j) k) l) 4V Ω 3Ω H 4 Ω 3Ω µf 4 Ω 3Ω µf 3Ω Ω µf 4V 4Ω 3Ω Ω 4Ω 4V Ω 3Ω 4Ω 4V Ω 3Ω Ω 4V Ω 3Ω 4 Ω 6Ω 3Ω Ω 3Ω

147 m) 4V H 4Ω 4Ω Prprsinalitas 6. Carilah hubungan antara keluaran dan masukan i in rangkaian di samping ini, dan gambarkan diagram blk rangkaian. a) i in 3 Ω Ω 3Ω Superpsisi b) in 4V 7. Tentukan tegangan keluaran pada rangkaian di samping ini. Ω 3Ω 4Ω a) 6V 4Ω 3V Ω 4Ω 4Ω V 4Ω 4Ω Ω 4Ω 3V b) 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

148 c) 64V 4Ω 4Ω Ω 4Ω d) 4Ω Ω Ω 4Ω angkaian Ekialen Théenin & rtn 8. Carilah rangkaian ekialen Théenin dan Nrtn di terminal -B dari rangkaian di bawah ini. Ω 3Ω a) B b) 3Ω Ω B d) c) V 3Ω 4Ω 3Ω B 3Ω B e) 6V Ω 4Ω 3Ω B 3Ω 4

149 f) 3V Ω.5 lih Daya Maksimum 9. Pada rangkaian di bawah ini tentukanlah nilai resistansi beban L sehingga terjadi alih daya maksimum pada beban dan carilah besarnya daya maksimum tersebut. kω 6Ω 3Ω 3Ω B a) V kω 5 m kω L sumber antar muka Ω V T Ω Ω Ω L b) 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

150 BB 8 Metda nalisis Dasar Metda analisis dikembangkan berdasarkan terema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian. Kita akan mempelajari dua kelmpk metda analisis yaitu metda analisis dasar dan metda analisis umum. Metda analisis dasar terutama digunakan pada rangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaian yang lebih rumit kita memerlukan metda yang lebih sistematis yaitu metda analisis umum. Kita mempelajari metda analisis agar kita dapat melakukan analisis rangkaian sederhana secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manual ini sangat diperlukan untuk memahami sifat dan perilaku rangkaian. Di bab ini kita akan mempelajari metda analisis dasar sedangkan metda analisis umum akan kita pelajari di bab berikutnya. Dengan mempelajari metda analisis dasar kita akan mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metda reduksi rangkaian; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metda keluaran satu satuan; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metda superpsisi; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metda rangkaian ekialen Théenin atau rangkaian ekialen Nrtn. Secara garis besar, apa yang dimaksud dengan analisis rangkaian adalah mencari hubungan antara besaran keluaran dan besaran masukan pada suatu rangkaian jika parameter sumua elemen yang menyusun rangkaian tersebut diketahui; atau mencari keluaran rangkaian jika masukannya diketahui. Terema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian yang telah kita pelajari, menjadi dasar dari metda-metda analisis rangkaian yang kita sebut sebagai metda analisis dasar. Dalam menggunakan metda ini kita melakukan perhitungan-perhitungan dengan mengamati bentuk rangkaian yang kita hadapi. Metda ini terutama digunakan pada rangkaian-rangkaian yang sederhana. Metda analisis dasar yang akan kita pelajari di sini mencakup: metda reduksi rangkaian 43

151 metda keluaran satu satuan metda superpsisi metda rangkaian Théenin dan rangkaian Nrtn. Masing-masing metda mempunyai kegunaan tertentu. Kekhususan masing-masing metda itulah yang mendrng kita untuk mempelajari semua metda dan tidak terpaku pada salah satu metda saja. Pemilihan metda analisis ditentukan leh apa yang ingin kita capai dalam melakukan analisis. Dalam metda analisis dasar, kita melakukan perhitunganperhitungan langsung pada mdel rangkaian. Melalui latihan yang cukup, kita akan mampu menentukan metda dan urutan kerja yang singkat serta dapat memahami perilaku rangkaian listrik dengan baik. Metda ini sangat praktis selama rangkaian yang kita hadapi cukup sederhana. Cnth-cnth yang akan kita lihat untuk memahami metda-metda analisis ini mencakup rangkaian pasif (dengan elemen ) dan rangkaian aktif (dengan sumber bebas dan sumber tak-bebas). 8.. Metda eduksi angkaian Strategi metda ini adalah mereduksi bentuk rangkaian sedemikian rupa sehingga menjadi rangkaian yang lebih sederhana; dengan rangkaian yang lebih sederhana ini besaran yang dicari dapat dihitung dengan lebih mudah. Untuk menyederhanakan rangkaian, kita dapat menggunakan knsep ekialensi seri-paralel, transfrmasi Y-, dan transfrmasi sumber. Yang kita perlukan adalah kejelian dalam melihat struktur rangkaian untuk melakukan penyederhanaan rangkaian. Bagaimana metda ini diaplikasikan, kita akan melihat pada cnth-8. berikut ini. CO TOH-8.: Carilah tegangan x pada rangkaian di bawah ini. x 3Ω B C Ω D V 3Ω Ω E 3Ω Ω 44 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

152 Penyelesaian: angkaian ini mengandung beberapa bagian yang berupa hubungan seri dan hubungan paralel elemen-elemen. Bagianbagian tersebut dapat kita ganti dengan rangkaian ekialennya, dengan memanfaatkan kaidah-kaidah rangkaian yang telah kita pelajari. Prses ini dapat kita amati pada gambar berikut. Langkah-langkah yang kita tempuh adalah sebagai berikut: Sumber tegangan yang tersambung seri dengan resistr 3 Ω dapat diganti dengan sebuah sumber arus yang diparalel dengan resistr, sedang sambungan seri resistr & Ω di cabang CDE dapat diganti dengan sebuah V,4 6 V 3Ω x Ω B C D,4 x 3Ω 5Ω Ω 3Ω Ω B E 6,5 5 5 resistr. Penggantian ini menghasilkan rangkaian dengan dua pasang resistr paralel 3 Ω, yang masing-masing dapat diganti dengan satu resistr 5 Ω. Dengan langkah ini sumber arus terparalel dengan resistr 5 Ω, yang kemudian dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan yang disambung seri dengan sebuah resistr 5 Ω; bagian lain berupa dua resistr dan 5Ω yang tersambung seri. 3Ω B 5Ω E 3Ω C E Ω x B Ω 3Ω C C E Ω 3Ω 5Ω 5Ω V 45

153 angkaian kita menjadi sebuah sumber tegangan dengan sambungan seri tiga buah resistr, dan tegangan yang kita cari dapat kita perleh dengan memanfaatkan kaidah pembagi tegangan; hasilnya x,5 V. Pemahaman: Untuk mengaplikasikan metda ini kita harus dengan seksama memperhatikan bagian-bagian yang dapat disederhanakan. Pada dasarnya kita melakukan ekialensi bagian-bagian yang berada di antara dua simpul. Bagian yang telah digantikan leh rangkaian ekialennya, masih dapat digabungkan dengan bagian lain yang juga telah digantikan leh rangkaian ekialennya. 8.. Metda Keluaran Satu Satuan (Unit Output Methd) Metda unit utput adalah suatu teknik analisis yang berbasis pada prprsinalitas dari rangkaian linier. Metda ini pada dasarnya adalah mencari knstanta K yang menentukan hubungan antara masukan dan keluaran, dengan mengganggap bahwa keluarannya adalah satu unit. tas dasar itu ditentukan berapa besarnya masukan yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit keluaran tersebut. Teknik ini dapat diaplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga. Langkah-langkahnya adalah sbb:. Misalkan keluarannya adalah satu unit (tegangan ataupun arus). Secara berurutan gunakan HK, HTK, dan hukum Ohm untuk mencari masukan. 3. Sifat prprsinal dari rangkaian linier mengharuskan (keluaran) K (masukan) (masukan untuk satu unit keluaran) (8.) 4. Keluaran untuk sembarang masukan adalah K masukan. CO TOH-8.: Carilah tegangan keluaran dari rangkaian di samping ini. 36 V i i 3 i 5 B Ω Ω 3Ω i i 4 Ω Ω Ω 46 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

154 Penyelesaian: Kita misalkan tegangan V. Kemudian secara berturut turut kita hitung i 5, C, i 4, i 3, B, i, i, dan akhirnya s yaitu tegangan sumber jika keluarannya V. Dari sini kemudian kita hitung faktr prprsinalitas K, dan dengan nilai K yang diperleh ini kita hitung yang besarnya adalah K kali tegangan sumber sebenarnya (yaitu 36 V). Misalkan V i5,, 3 4 V B ( ) B i4 4, i3 i4 i5,3 B i3 V i,5 i i i3,8 s i,8 8 V K ( seharusnya) K 36 V s Metda Superpsisi Prinsip superpsisi dapat kita manfaatkan untuk melakukan analisis rangkaian yang mengandung lebih dari satu sumber. Langkahlangkah yang harus diambil adalah sebagai berikut:. Matikan semua sumber (masukan) kecuali salah satu di antaranya, dan hitung keluaran rangkaian yang dihasilkan leh satu sumber ini.. Ulangi langkah, sampai semua sumber mendapat giliran. 3. Keluaran yang dicari adalah kmbinasi linier (jumlah aljabar) dari kntribusi masing-masing sumber. CO TOH-8.3: angkaian di samping ini mengandung dua sumber. Carilah tegangan keluaran V. 3 V _ Ω,5 Ω V 47

155 Penyelesaian : Matikan sumber arus. angkaian menjadi seperti gambar di samping ini. V 3 V 3 V Ω Ω V Matikan sumber tegangan. angkaian menjadi seperti gambar di samping ini. Ω,5 Ω V V.5 V Tegangan keluaran apabila kedua sumber bekerja bersamasama adalah V V V V 8.4. Metda angkaian Ekialen Théenin Berikut ini akan kita lihat aplikasi terema Théenin dalam analisis rangkaian. CO TOH-8.4: Gunakanlah metda rangkaian ekialen Theenin untuk menghitung tegangan keluaran pada rangkaian di samping ini. 3 V _ Penyelesaian : Untuk mencari tegangan sumber Théenin V T di terminal B, kita lepaskan beban di B, sehingga B terbuka, i 3, dan V T B ht ' B 3 5 V esistansi Théenin T adalah resistansi yang dilihat dari terminal B ke arah sumber dengan sumber dimatikan (dalam hal ini hubung singkat). Maka T berupa resistr Ω yang i Ω i Ω i 3 Ω Ω B 48 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

156 terhubung seri dengan dua resistr Ω yang tersambung paralel. Jadi Ω T Ω angkaian ekialen Théenin _ Ω adalah seperti gambar di 5 V samping ini dan kita perleh B 5 5 V CO TOH-8.5: Gunakan rangkaian ekialen Ω _ Théenin untuk 3 V menghitung tegangan x pada rangkaian di samping ini. Penyelesaian : angkaian ini telah kita analisis dengan menggunakan metda reduksi rangkaian. Kita akan mencba melakukan analisis dengan metda rangkaian ekialen Théenin. Jika resistr Ω (yang harus kita cari tegangannya) kita lepaskan, maka tidak ada arus mengalir pada cabang-cabang CE, CD, dan DE sehingga tegangan simpul C sama dengan D sama pula dengan E yaitu nl. Tegangan simpul B dapat kita cari dengan kaidah pembagi tegangan Tegangan Théenin: V T B C 5 5 V. B 3 5 V. esistansi Théenin adalah resistansi yang dilihat dari terminal BC setelah resistr Ω dilepas. T ( ) B Ω x Ω 5 V _ Ω Ω Ω { ( ) } Ω C E Ω Ω D B x 49

157 angkaian ekialen Théenin dengan bebannya menjadi seperti gambar di samping dan tegangan x mudah dihitung, yaitu : x 5 5 V Beban n Linier Parameter rangkaian ekialen Théenin dan Nrtn (V T, T, dan I ) dihitung dengan beban dilepas. Ini berarti bahwa rangkaian ekialen tersebut merupakan karakteristik sumber dan tidak dipengaruhi leh beban. Oleh karena itu kita dapat memanfaatkan rangkaian ekialen Théenin dan Nrtn untuk menentukan tegangan, arus, maupun daya pada beban nn linier dua terminal. Ini merupakan salah satu hal penting yang dapat kita perleh dari rangkaian ekialen Théenin dan Nrtn. Bagaimana interaksi antara sumber (yang dinyatakan dengan rangkaian ekialen Thénenin-nya) dengan beban yang nn-linier, akan kita lihat berikut ini. Kita lihat lebih dahulu karakteristik i- dari suatu rangkaian ekialen Théenin. Perhatikan hubungan rangkaian ekialen Théenin dengan bebannya. Bagaimanapun keadaan beban, linier atau nn-linier, hubungan antara tegangan di terminal beban, yaitu, dengan tegangan V T dapat dinyatakan sebagai V V i i T T T T (8.) T Persamaan (8.) ini memberikan hubungan antara arus i dan tegangan dari rangkaian ekialen Théenin dan merupakan karakteristik i i- dari rangkaian sumber. Jika kita i V T / T gambarkan kura i terhadap maka akan terlihat bahwa persamaan ini V T merupakan persamaan garis lurus di bidang i- seperti tampak pada Gb.8.. di samping ini. Perhatikan bahwa garis Gb.8.. Garis beban lurus ini ditentukan leh dua titik yaitu: VT i ihs dan VT ht T Garis lurus itu disebut garis beban (lad line) (sebenarnya ia ditentukan leh parameter-parameter rangkaian sumber dan bukan leh parameter beban akan tetapi sudah sejak lama nama lad line 5 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

158 itu disandangnya). Sementara itu beban mempunyai karakteristik i- -nya sendiri, yang secara matematis dapat dituliskan sebagai: i f(). Dengan demikian kita mempunyai dua persamaan yaitu persamaan untuk arus rangkaian sumber yaitu V i T T T dan persamaan untuk arus beban yaitu i f() Dalam analisis rangkaian, kita harus menyelesaikan dua persamaan itu secara simultan. Jika f() diketahui maka penyelesaian persamaan dapat dilakukan secara analitis. Tetapi pada umumnya penyelesaian secara grafis sudah cukup memadai. Berikut ini dipaparkan bagaimana cara grafis tersebut dilaksanakan. i titik kerja Misalkan karakteristik i- i beban mempunyai bentuk L Karakteristik i- beban. garis beban tertentu, yang jika dipadukan dengan grafik _ i- sumber (yaitu garis beban) akan terlihat L seperti pada Gb.8.. Gb 8.. Penentuan titik kerja. Kedua kura akan berptngan di suatu titik. Titik ptng tersebut memberikan nilai arus i dan tegangan yang memenuhi karakteristik sumber maupun beban. Titik ini disebut titik kerja, atau dalam elektrnika disebut Q-pint. rus dan tegangan beban adalah i L dan L. Perhatikan bahwa apabila rangkaian mengandung elemen nn linier prinsip prprsinalitas dan superpsisi tidak berlaku. Sebagai cnth, apabila tegangan sumber naik dari 5 menjadi 3 V, arus dan tegangan beban tidak dua kali lebih besar. 5

159 CO TOH-8.6: angkaian berikut ini, mempunyai beban resistr nn-linier dengan karakteristik i- seperti yang diberikan di sampingnya. Hitunglah daya yang diserap leh beban. 9V kω kω 5Ω L nn linier B i [m] 5 3 Penyelesaian : Beban dilepas untuk mencari rangkaian ekialen Théenin. VT B ht 6 45 V 5 Ω T 3 5 [V] angkaian ekialen dan garis beban yang diplt bersama dengan karakteristik i- beban adalah seperti di bawah ini. i [m] 5 45V kω L nn linier 3 B 3 5 [V] Dari grafik ini kita temukan titik-kerja yang menyatakan bahwa arus yang mengalir adalah 5 m pada tegangan 3 V. Jadi daya yang diserap beban adalah : p L LiL mw. 5 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

160 8.4.. angkaian Dengan Sumber Tak-Bebas Tanpa Umpan Balik Cnth-cnth persalan yang kita ambil dalam membahas metdametda analisis dasar yang telah kita lakukan, adalah rangkaian dengan elemen aktif yang berupa sumber bebas. Metda analisis dasar dapat pula kita gunakan pada rangkaian dengan sumber takbebas asalkan pada rangkaian tersebut tidak terdapat cabang umpan balik. Cabang umpan balik adalah cabang yang menghubungkan bagian keluaran dan bagian masukan, sehingga terjadi interaksi antara keluaran dan masukan. pabila rangkaian mempunyai umpan balik, hendaknya digunakan metda analisis umum (lihat bab selanjutnya). Berikut ini kita akan melihat rangkaian-rangkaian dengan sumber tak-bebas tanpa umpan balik. CO TOH-8.7: Tentukanlah i s tegangan keluaran serta s daya yang s µ L diserap leh beban L pada rangkaian dengan sumber tak-bebas VCVS di samping ini. Penyelesaian : angkaian ini tidak mengandung umpan balik; tidak ada interaksi antara bagian keluaran dan masukan. Tegangan pada lp pengendali dapat diperleh melalui kaidah pembagi tegangan s s Dengan demikian maka keluaran VCVS adalah : µ s Daya yang diserap leh beban adalah : p L L L µ s µ s s 53

161 Pemahaman : Tegangan keluaran VCVS berbanding lurus dengan masukannya. Jika nilai µ > maka rangkaian ini berfungsi sebagai penguat (amplifier). Jika µ < rangkaian ini menjadi peredam (attenuatr), dan jika µ maka ia menjadi penyangga ( buffer atau fllwer). Kelebihan dari rangkaian dengan VCVS ini dibandingkan dengan rangkaian pasif dapat kita lihat sebagai berikut. Jika kita menghubungkan L langsung ke terminal (berarti paralel dengan ) maka tegangan keluaran pada beban adalah L (pasif) ( ) 54 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () s Jika kita bandingkan frmulasi untuk kedua keadaan tersebut akan terlihat bahwa pada rangkaian pasif tegangan keluaran tergantung dari resistansi beban, sedangkan pada rangkaian aktif tegangan keluaran tergantung dari µ tetapi tidak tergantung dari resistansi beban. Daya yang diberikan leh sumber tegangan s adalah : p s i s s s L r Daya ini tidak tergantung dari L, yang berarti bahwa bertambahnya daya yang diserap leh beban ( p L ) tidak mempengaruhi sumber tegangan s. Keadaan ini mencegah terjadinya interaksi antara beban dan sumber, artinya tersambungnya L tidak menjadi beban bagi s. Daya yang diserap leh beban berasal dari catu daya pada piranti aktif yang diwakili leh VCVS, yang tidak diperlihatkan pada diagram rangkaian. Sumber tak-bebas memberikan alih daya yang sifatnya unilateral. CO TOH-8.8: i Tentukan hubungan kω keluaranmasukan kω m pada rangkaian dengan CCCS di samping ini. s i s 5i i L 4kΩ kω

162 Penyelesaian: Untuk mencari kita memerlukan i yang dapat dicari dengan kaidah pembagi arus. i m Dari sini kita mendapatkan i yaitu i 5 i 5 m. Tanda diperlukan karena referensi arah arus i berlawanan dengan arah arus psitif sumber arus tak-bebas CCCS. Dari sini kita dapatkan: i L i m. 4 3 Tegangan keluaran: 4 4 V 4 Hubungan keluaran-masukan menjadi: is, Pemahaman: Hasil diatas mengandung tanda negatif. Ini berarti bahwa sinyal keluaran berlawanan dengan sinyal masukan. Dengan kata lain terjadi prses pembalikan sinyal pada rangkaian di atas, dan kita sebut inersi sinyal. CO TOH-8.9: Carilah s rangkaian ekialen s Théenin dilihat di terminal B, dari rangkaian dengan CCVS di samping ini. p Penyelesaian : Tegangan Théenin V T adalah tegangan terminal B terbuka (jika beban L dilepas), yaitu : B V s T ht ri r s p Tanda ini karena arah referensi tegangan CCCS berlawanan dengan referansi tegangan B. rus hubung singkat di terminal B jika beban diganti dengan hubung singkat adalah : ri rs ib hs ( s p ) i r i B i L L 55

163 esistansi Théenin T adalah : r / r B ht s s T i B hs p s ( s p ) angkaian Théenin yang kita cari adalah seperti gambar di bawah ini. Perhatikan plaritas dari tegangan r s s p V T ri. B L 56 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

164 Sal-Sal. Carilah arus yang melalui beban L dan daya yang diberikan leh sumber pada rangkaian berikut. a). V Ω 5Ω 5Ω Ω L 7.5Ω V 3Ω 4Ω 5Ω 6Ω L Ω b). 5 Ω Ω Ω Ω Ω L Ω c).. Carilah tegangan keluaran pada rangkaian berikut ini. Berapakah resistansi beban yang harus dihubungkan ke terminal keluaran agar terjadi alih daya maksimum? Ω Ω Ω Ω 3. Gunakan metda unit utput untuk mencari tegangan keluaran V pada dua rangkaian berikut ini 5Ω Ω 3Ω V 5Ω V Ω 3Ω V 4. Gunakan metda rangkaian ekialen Théenin atau Nrtn untuk menentukan tegangan dan arus di resistr Ω pada kedua rangkaian berikut ini. 5Ω 3Ω Ω 5Ω 3Ω Ω V 57

165 5. Carilah tegangan dan arus tiap resistr pada rangkaian berikut. 5Ω 6. Hitunglah daya yang dikeluarkan leh masing-masing sumber pada sal 5. Ω 5V V Ω 5V 7. Pada rangkaian di samping ini hitunglah arus yang melalui resistr beban L. 5 kω 5 kω V m 5 kω L,5 kω 8. Pada rangkaian di samping ini hitunglah daya yang diserap resistr 8 Ω dan daya masing-masing sumber. 9. Pada rangkaian berikut ini, hitunglah arus yang melalui beban L. 3Ω 8Ω 5V Ω,5 5Ω 7,5V - Ω 5 5Ω 6Ω L Ω. Berapa µ agar rangkaian berikut ini mempunyai keluaran V. 6V Ω Ω µ kω kω. 58 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

166 BB 9 Metda nalisis Umum Dengan mempelajari metda analisis umum kita akan memahami dasar-dasar metda tegangan simpul; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metda tegangan simpul; memahami dasar-dasar metda arus mesh; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metda arus mesh. Metda analisis umum yang akan kita pelajari mencakup metda tegangan simpul dan metda arus mesh. Pada dasarnya kedua metda ini dapat kita terapkan pada sembarang rangkaian listrik, walaupun dalam hal-hal tertentu metda tegangan simpul lebih baik dibandingkan dengan metda arus mesh, terutama dalam menangani rangkaian-rangkaian elektrnik. Metda tegangan simpul dan metda arus mesh pada dasarnya adalah mencari suatu persamaan linier yang merupakan diskripsi lengkap dari suatu rangkaian dan kemudian memecahkan persamaan itu dengan memanfaatkan aljabar linier. Metda ini lebih abstrak dibandingkan dengan metda-metda analisis dasar karena kita tidak menangani langsung rangkaian yang kita hadapi melainkan mencari pemecahan dari satu set persamaan yang mewakili rangkaian tersebut. Dengan metda ini kita tidak terlibat dalam upaya untuk mencari kemungkinan penyederhanaan rangkaian ataupun penerapan terema rangkaian. Kita lebih banyak terlibat dalam usaha mencari pemecahan persamaan linier, sehingga agak kehilangan sentuhan dengan rangkaian listrik yang kita hadapi. Namun demikian kerugian itu mendapat kmpensasi, yaitu berupa lebih luasnya aplikasi dari metda tegangan simpul dan metda arus mesh ini. 59

167 9.. Metda Tegangan Simpul ( de Vltage Methd dal nalysis) 9... Dasar Jika salah satu simpul dalam suatu rangkaian ditetapkan sebagai simpul referensi yang dianggap bertegangan nl, maka tegangan pada simpul-simpul yang lain dapat dinyatakan secara relatif terhadap simpul referensi tersebut. Jika dalam suatu rangkaian terdapat n simpul, sedangkan salah satu simpul ditetapkan sebagai simpul referensi, maka masih ada (n ) simpul yang harus dihitung tegangannya. Jadi untuk menyatakan rangkaian secara lengkap dengan menggunakan tegangan simpul sebagai peubah, diperlukan (n ) buah persamaan. Jika persamaan ini dapat dipecahkan, berarti kita dapat memperleh nilai tegangan di setiap simpul, yang berarti pula bahwa kita dapat menghitung arus di setiap cabang. Basis untuk memperleh persamaan tegangan simpul adalah persyaratan-persyaratan yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian, yaitu persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian. Persyaratan elemen menyatakan bahwa karakteristik i- dari setiap elemen dalam rangkaian harus dipenuhi. Hal ini berarti bahwa hubungan antara arus cabang (arus yang melalui elemen di cabang tersebut), dengan tegangan simpul (tegangan kedua simpul yang mengapit elemen / cabang yang bersangkutan) ditentukan leh karakteristik i- elemen yang ada di cabang tersebut. Ini berarti pula bahwa arus cabang dapat dinyatakan dengan tegangan simpul. Sebagai cnth, bila sebuah resistr dengan knduktansi G berada di antara simpul X dan Y, maka arus cabang tempat resistr itu berada dapat ditulis sebagai ( ) ixy G X Y (9.) dengan i XY adalah arus yang mengalir dari X ke Y, X dan Y masing-masing adalah tegangan simpul X dan simpul Y. Sementara itu persyaratan rangkaian, yaitu hukum arus Kirchhff (HK), juga harus dipenuhi. Oleh karena itu untuk suatu simpul M yang terhubung ke k titik simpul lain melalui knduktansi G i (i sampai k), berlaku im k k k Gi ( M i ) M Gi Gii (9.) i i i 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

168 dengan M adalah tegangan simpul M, i adalah tegangan simpulsimpul lain yang terhubung ke M melalui knduktansi masingmasing sebesar G i. Persamaan (9.) adalah persamaan tegangan untuk satu simpul. Jika persamaan ini kita terapkan untuk (n ) simpul yang bukan simpul referensi maka kita akan memperleh (n) persamaan yang kita inginkan. Jadi untuk memperleh persamaan tegangan simpul dari suatu rangkaian, kita lakukan langkah-langkah berikut:. Tentukan simpul referensi umum.. plikasikan persamaan (9.) untuk simpul-simpul yang bukan simpul referensi. 3. Cari slusi persamaan yang diperleh pada langkah Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Tegangan Simpul Persamaan tegangan simpul untuk suatu simpul diperleh melalui aplikasi HK untuk simpul tersebut. Jika terdapat suatu cabang yang mengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemen dengan arus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikit kesulitan dalam penurunan persamaan tegangan simpul. Berikut ini kita akan mempelajari penurunan persamaan tegangan untuk suatu simpul dengan melihat beberapa kasus jenis elemen yang berada pada cabang-cabang rangkaian yang terhubung ke simpul tersebut. Kasus-: Cabang-Cabang Berisi esistr. Dalam kasus ini persamaan (9.4) dapat kita aplikasikan tanpa kesulitan. i i B Perhatikan C hubungan simpul-simpul B G G C seperti terlihat pada Gb.9.. i 3 G Walaupun referensi arah arus 3 tidak semuanya D D meninggalkan simpul namun hal ini tidak akan Gb.9.. Cabang berisi resistr. menggangu aplikasi persamaan (9.) untuk simpul. Persamaan untuk simpul : 6

169 ( G G G ) G G G 3 B C 3 D (9.3) Sekiranya kita menuruti referensi arus pada Gb.9.. kita akan memperleh persamaan arus untuk simpul sebagai i i i 3, yang akan memberikan persamaan tegangan simpul G ( B ) G ( C ) G3( D ) ( G G G ) G G G 3 B C D 3 atau yang tidak lain adalah persamaan (9.4) yang diperleh sebelumnya. Kasus-: Cabang Berisi Sumber rus. Perhatikan Gb.9.. Dalam kasus ini kita tidak mengetahui knduktansi yang ada B C antara simpul dan D yang berisi sumber B G G C arus bebas. Tetapi hal ini tidak memberikan I s kesulitan dalam aplikasi (9.) untuk D D simpul, karena sesungguhnya Gb.9.. Cabang berisi sumber arus. persamaan (9.) itu berangkat dari persamaan arus untuk suatu simpul. Dengan demikian maka nilai arus yang ditunjukkan leh sumber arus itu dapat kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadi hasil kali antara knduktansi dengan beda tegangan simpul. Yang perlu diperhatikan adalah arah referensi arusnya, yang harus bertanda psitif apabila ia meninggalkan simpul yang sedang ditinjau, sesuai dengan persyaratan persamaan (9.). Untuk simpul pada Gb.9.. persamaan yang diperleh adalah: ( G G ) I G G s B C (9.4) 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

170 Kasus-3: Cabang Berisi Sumber Tegangan. Dalam kasus ini terdapat dua kemungkinan. Kemungkinan pertama : B salah satu simpul sumber tegangan menjadi simpul B C G G referensi seperti terlihat V s pada Gb.9.3. Simpul menjadi simpul D terikat, artinya tegangannya ditentukan Gb.9.3. Cabang berisi sumber tegangan. leh tegangan sumber; jadi tegangan simpul tidak perlu lagi dihitung, V s. B E B E G G V s D G 3 G 4 D C Gb.9.4. Sumber tegangan antara dua simpul yang bukan simpul referensi. Kemungkinan yang kedua: simpul-simpul yang mengapit sumber tegangan bukan merupakan simpul referensi seperti terlihat pada Gb.9.4. Dalam hal terakhir ini, sumber tegangan beserta kedua simpul yang mengapitnya kita jadikan sebuah simpul-super (super-nde). Jadi simpul, D, dan sumber tegangan pada Gb.9.4. kita pandang sebagai satu simpul-super. Hukum rus Kirchhff berlaku juga untuk simpul-super ini. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini tidak hanya satu melainkan dua persamaan, karena ada dua simpul yang di-satu-kan, yaitu: persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaan arus seperti halnya persamaan (9.4), ditambah dengan persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikan hubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkan menjadi simpul-super tersebut. Perhatikan Gb.9.4: Simpul-super terdiri dari simpul, D dan sumber tegangan V s. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpul B dan C melalui dengan knduktansi G dan G ; ia juga C F F D C 63

171 terhubung ke simpul-simpul E dan F melalui D dengan kunduktansi G 3 dan G 4. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini adalah : ( G G ) ( G G ) dan D Vs D 3 4 BG CG EG3 FG4 (9.5) Demikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencari persamaan tegangan pada suatu simpul. Dalam peninjauan kasuskasus tersebut di atas, kita hanya melihat rangkaian resistr. Walaupun demikian metda ini dapat kita gunakan untuk rangkaian dengan elemen dinamis yang akan kita lihat kemudian. Berikut ini kita akan melihat aplikasi metda tegangan simpul untuk rangkaian resistr. angkaian yang akan kita lihat masih termasuk sederhana, yang juga dapat dipecahkan dengan menggunakan metda analisis dasar. kan tetapi yang kita tekankan di sini adalah melihat bagaimana metda tegangan simpul ini diaplikasikan. CO TOH-9.: Carilah tegangan simpul, B, C, dan D pada rangkaian di bawah ini. 3 5 B C D,4 Ω Penyelesaian : Ω Ω Ω 4 Ω 6 E Ω angkaian ini berbentuk tangga dan perhatikan bahwa di sini kita mempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan. Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum, yang dalam hal ini kita tetapkan simpul E. Dengan demikian kita mempunyai empat simpul yang bukan simpul referensi yaitu, B, C dan D. 64 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

172 65 Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpul dengan mengaplikasikan persamaan (.3) pada ke-empat simpul nn-referensi tersebut di atas. Persamaan tegangan simpul yang kita perleh adalah : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G G G G G G G G G G G G G G G C D D B C C B B dengan G, G.G 6 adalah knduktansi elemen-elemen yang besarnya adalah G i / i. Dalam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai-nilai G, persamaan ini menjadi,4 D C B Nilai elemen matriks ini kita perbaiki agar perhitungan selanjutnya menjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ketiga kita kalikan sedangkan baris ke-empat kita kalikan, akan kita perleh D C B Eliminasi Gauss memberikan: D C B

173 66 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () Dengan demikian maka kita dapat menghitung tegangantegangan simpul mulai dari simpul D sebagai berikut : V 8 V ; V V ; 6 6 B C B D C D Dengan diperlehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabang dapat dihitung. CO TOH-9.: Carilah tegangan pada simpul, B, C, dan D pada rangkaian berikut. Penyelesaian : Simpul terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan. Dengan demikian simpul merupakan simpul terikat yang nilai tegangannya ditentukan leh sumber tegangan, yaitu 3 V. Persamaan tegangan simpul yang dapat kita perleh adalah: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G G G G G G G G G G G G G C D D B C C B Dengan memasukkan nilai-nilai knduktansi dan menuliskannya dalam bentuk matriks, kita memperleh 3 D C B Ω 3 V Ω Ω Ω Ω Ω B C D E

174 Kita ubah nilai elemen matriks untuk mempermudah perhitungan seperti yang kita lakukan pada cnth sebelumnya dengan mengalikan baris ke- dan ke-3 dengan dan mengalikan baris ke-4 dengan Eliminasi Gauss memberikan : Maka : D,5 V; 6 3 B V; 4 C B C D B C D V 3 5 V; 8 CO TOH-9.3: Carilah tegangan pada simpul, B, C, dan D di rangkaian berikut. Simpul super 3 5 V 5 B _ C D Ω Ω Ω Ω 4 Ω Penyelesaian : Ω Berbeda dengan cnth sebelumnya, dalam rangkaian ini sumber tegangan tidak terhubung lagsung ke titik referensi umum. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya jadikan satu simpul-super. Persamaan yang dapat kita perleh adalah : E 6 67

175 68 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () Kita masukkan nilai G dan persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks: 5 D C B Kita kalikan baris pertama dan ke-dua dengan serta baris keempat dengan sehingga kita perleh matriks dengan elemenelemen bilangan bulat. Setelah itu kita lakukan eliminasi Gauss yang akan memberikan : D C B Dari persamaan inilah tegangan-tegangan simpul dapat kita tentukan, seperti yang kita lakukan pada cnth sebelumnya. Pembaca diharapkan untuk mencba sendiri. Dengan uraian dan cnth-cnth di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : Untuk simpul M yang terhubung ke k simpul lain melalui knduktansi G i berlaku: ( ) atau k i i k i M k i i M G G G plikasi frmula ini untuk seluruh simpul yang bukan simpul referensi menghasilkan persamaan tegangan simpul rangkaian. ( ) ( ) ( ) ( ) G G G G G G G G G G G G C D C B D C B B Simpul-super {

176 Simpul M yang terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan, merupakan simpul-terikat yang tegangannya ditentukan leh tegangan sumber. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya dapat menjadi simpul-super yang mempunyai suatu hubungan internal yang ditentukan leh tegangan sumber. Sumber arus di suatu cabang memberikan kepastian nilai arus di cabang tersebut dan nilai arus ini langsung masuk dalam persamaan tegangan simpul. 9.. Metda rus Mesh (Mesh Current Methd) Metda ini sangat bermanfaat untuk analisis rangkaian yang mengandung banyak elemen terhubung seri. Pengertian mengenai mesh telah kita perleh, yaitu lp yang tidak melingkupi elemen atau cabang lain. Dalam Gb.9.5 lp BED, BCFEB, DEHGD, EFIHE, adalah mesh, sedangkan lp BCFED bukan mesh. arus mesh B C D Gb.9.5. Lp dan mesh Dengan pengertian ini maka kita menurunkan pengertian arus mesh, yaitu arus yang kita bayangkan mengalir di suatu mesh. Dalam Gb.9.5, I, I B, I C, I D adalah arus-arus mesh dengan arah anak panah menunjukkan arah psitif. rus di suatu cabang adalah jumlah aljabar dari arus mesh di mana cabang itu menjadi anggta. rus di cabang B misalnya, adalah sama dengan arus mesh I. rus di cabang BE adalah (I I B ), arus di cabang EH adalah (I C I D ), dan seterusnya. Secara umum kita dapat mengatakan bahwa Jika cabang ke-k hanya merupakan angggta dari mesh X yang mempunyai arus mesh I X maka arus i k yang melalui cabang itu adalah i k I X dengan arah referensi arus i k sesuai dengan I X. I I C E I B I D G H I F 69

177 Jika cabang ke-k merupakan anggta dari mesh X dan mesh Y yang masing-masing mempunyai arus mesh I X dan I Y, maka arus i k yang melalui cabang tersebut adalah i k I X I Y dengan X adalah mesh yang mempunyai arah referensi arus yang sesuai dengan arah referensi arus i k. Perhatikan : rus mesh bukanlah pengertian yang berbasis pada sifat fisis rangkaian melainkan suatu peubah yang kita gunakan dalam analisis rangkaian. Kita hanya membicarakan rangkaian planar; referensi arus mesh di semua mesh mempunyai arah yang sama (dalam hal ini kita pilih searah putaran jarum jam). Metda arus mesh pada dasarnya adalah mencari persamaan linier dengan arus mesh sebagai peubah, yang secara lengkap merupakan diskripsi dari rangkaian. Seperti halnya pada pembahasan metda tegangan simpul, kita akan melihat lebih dulu bagaimana persamaan arus mesh tersebut dapat diperleh Dasar Metda arus mesh, seperti halnya metda tegangan simpul, berbasis pada persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Perbedaan hanya terletak pada persyaratan rangkaian; pada metda tegangan simpul digunakan hukum arus Kirchhff (HK) sedangkan pada metda arus mesh digunakan hukum tegangan Kirchhff (HTK). Suatu mesh tidak lain adalah bentuk lp yang paling sederhana. Oleh karena itu hukum Kirchhff untuk tegangan juga berlaku pada mesh. Untuk suatu mesh X yang terbentuk dari m cabang yang masing-masing berisi resistr, sedang sejumlah n dari m cabang ini menjadi anggta dari mesh lain, berlaku 7 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

178 m x x I m n x x m n n y n X x x y y y ( I I ) X y (9.6) Di sini x adalah tegangan pada elemen di cabang yang hanya menjadi anggta mesh X; y adalah tegangan pada elemen di cabang yang menjadi anggta mesh X dan mesh lain; I X adalah arus mesh X; I y adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X; x menunjukkan resistr pada cabang-cabang yang hanya menjadi anggta mesh X; y menunjukkan resistr pada cabangcabang yang menjadi anggta mesh X dan mesh lain. Persamaan (9.5) dapat ditulis: m n n n I X x y I y y (9.7) x y y tau secara umum I X X IY Y (9.8) dengan I X adalah arus mesh X, X adalah resistr pada cabangcabang yang membentuk mesh X, I Y adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X melalui cabang yang berisi resistr Y. Persamaan (9.7) adalah persamaan arus mesh untuk suatu mesh tertentu. Jika persamaan ini kita aplikasikan untuk semua mesh pada suatu rangkaian kita akan mendapatkan persamaan arus mesh untuk rangkaian tersebut. Jadi langkah-langkah dalam analisis dengan menggunakan metda arus mesh adalah :. Tentukan arah referensi arus mesh di setiap mesh dan juga tegangan referensi pada tiap elemen.. plikasikan persamaan (9.7) untuk setiap mesh. Dengan langkah ini kita memperleh persamaan arus mesh dari rangkaian. 3. Hitung arus mesh dari persamaan yang diperleh pada langkah kedua. 7

179 9... Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan rus Mesh Berikut ini kita akan melihat beberapa kasus yang mungkin kita jumpai dalam mencari persamaan arus mesh untuk satu mesh tertentu. Kasus-kasus ini sejajar dengan kasus-kasus yang kita jumpai pada pembahasan mengenai metda tegangan simpul. Kasus-: Mesh Mengandung Hanya esistr. Pada Gb.9.6. mesh BCEFB dan CDEC, terdiri hanya dari B C D elemen resistr saja. 3 6 plikasi persamaan (9.7) untuk kedua I Y I X I Z mesh ini tidak 4 5 menimbulkan kesulitan, dan kita F E akan memperleh Gb.9.6. Kasus. persamaan: Mesh BCEFB : I ( ) Mesh CDEC I X Z : ( ) I X I 4 Y I Z 4 (9.9) Kasus-: Mesh Mengandung Sumber Tegangan. Mesh BF dan BCEFB pada Gb.9.7. mengandung sumber tegangan. Hal ini tidak akan menimbulkan kesulitan karena metda arus mesh berbasis pada Hukum Tegangan Kirchhff. Nilai tegangan sumber dapat langsung dimasukkan dalam persamaan, B C 6 IY Gb.9.7. Kasus : mesh dengan sumber tegangan. dengan memperhatikan tandanya. Untuk mesh BF dan BCEFB persamaan arus mesh yang dapat kita perleh adalah : F 3 I X 5 4 E I Z D 7 7 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

180 Mesh BF ( ) IY I X Mesh BCEFB: I X : ( ) I I 4 5 Y Z 4 (9.) Kasus-3: Mesh Mengandung Sumber rus. Pada Gb.9.8. di cabang BF terdapat sumber arus yang menjadi anggta mesh BF dan BCEFB. Tegangan suatu sumber arus tidak tertentu sehingga tidak mungkin diperleh persamaan arus mesh untuk BF dan BCEFB. Untuk mengatasi kesulitan ini maka kedua mesh itu digabung menjadi satu yang kita sebut mesh- super. Pernyataan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaan yaitu persamaan untuk lp gabungan dari dua mesh, BCEF, dan persamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus di kedua mesh, yaitu I X dan I Y. Persamaan yang dimaksud adalah: lp BCEF: cabang BF : I I Y I X Gb.9.8. Kasus 3 : mesh mengandung sumber arus. I Y X I Y ( ) i mesh super I Z 4 (9.) Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari dua mesh saja, yaitu satu mesh biasa CDEC dan satu mesh-super BCEF. CO TOH-9.4: Gunakan metda arus mesh untuk analisis rangkaian di Ω B Ω C Ω D samping Ω Ω ini. I I B I C Ω 3 V E i B F I X 3 C 5 4 E I Z D 73

181 Penyelesaian : Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh, I, I B, I C.. Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuk setiap mesh. Perlu kita perhatikan bahwa mesh BE mengandung sumber tegangan. Persamaan yang kita perleh adalah: Mesh BE : Mesh BCEB : Mesh CDEC : I I B IC ( ) I B 3 ( ) I I ( ) I Dalam bentuk matriks persamaan menjadi: 4 5 Eliminasi Gauss memberikan : 4 8 I I 4 I I 4 I I B C B C B C sehingga diperleh I C,5 ; I B,5 ; I. Selanjutnya tegangan-tegangan simpul dan arus-arus cabang dapat ditentukan CO TOH-9.5: Tentukan arus-arus mesh pada rangkaian di samping ini. Perhatikan Ω B Ω C Ω D lah bahwa pada I Ω I B Ω I C Ω rangkaian ini E terdapat sumber arus. 74 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

182 Penyelesaian : Dalam kasus ini arus mesh I ditentukan leh sumber, yaitu sebesar. Persamaan yang dapat kita perleh adalah : Mesh BE : Mesh BCEB: Mesh CDEC: I I B IC yang dalam bentuk matriks dapat ditulis ( ) I ( ) IC ( ) ( ) I ( ) B 5 I I 4 I B C 5 I I 4 I B C Eliminasi Gauss memberikan : 5 I I 8 I B C Dengan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah : I C,5 ; I B,5 ; I. Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. CO TOH-9.6: Tentukan arus mesh pada rangkaian di samping ini. Perhatikan mesh super bahwa ada Ω B Ω C Ω D sumber arus yang Ω menjadi I I B I C anggta dari Ω Ω E dua mesh yang berdampingan. Penyelesaian: Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandung sumber arus itu kita jadikan satu mesh-super. Persamaan arus mesh yang dapat kita perleh adalah : 75

183 76 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () Dalam bentuk matriks persamaan arus mesh tersebut menjadi 3 4 atau C B C B I I I I I I yang memberikan C B I I I Jadi I C /3, I B /3, dan I /3. Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. Dengan uraian dan cnth-cnth di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : Untuk suatu mesh X dengan arus mesh I x yang terdiri dari m cabang dan n dari m cabang ini menjadi anggta dari mesh lain yang masing-masing mempunyai arus mesh I y, berlaku ( ) atau n y y y n m x n y y x X n m x n y y X y x X I I I I I plikasi frmula ini untuk seluruh mesh menghasilkan persamaan arus mesh rangkaian. Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadi anggta dari mesh lain, arus mesh I x ditentukan leh sumber arus tersebut. Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dapat menjadi mesh-super dengan suatu hubungan internal yaitu beda arus mesh dari kedua mesh sama dengan arus sumber. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B C B C B I I I I I I I mesh super {

184 Sumber tegangan di suatu cabang memberikan kepastian nilai tegangan antara dua simpul di cabang tersebut dan nilai tegangan ini langsung masuk dalam persamaan arus mesh angkaian Sumber Tak-Bebas Dengan Umpan Balik nalisis rangkaian yang mengandung sumber tak-bebas dengan umpan balik hendaklah dilakukan dengan menggunakan metda tegangan simpul atau metda arus mesh. Umpan balik terjadi jika ada aliran sinyal dari sisi keluaran ke sisi pengendali. CO TOH-9.7: Tentukanlah F pada rangkaian di samping ini agar pada beban kω F 5kΩ kω terdapat B C D tegangan V. V D kω Penyelesaian : Persamaan tegangan simpul di simpul-simpul, B, C, dan D pada rangkaian ini adalah B B C : V ; B: ; F D C C: ; D: D C 5 Karena disyaratkan agar D V, maka dari persamaan simpul C dan D kita dapat memperleh nilai. C 5 6 D D,6 V Kalau kita masukkan nilai ini ke persamaan simpul B akan kita perleh,6,6,6 F F 6,6,4 55 kω,5 MΩ 77

185 9.3. Beberapa Catatan Tentang Metda Tegangan Simpul dan Metda rus Mesh Pada metda tegangan simpul kita menggunakan salah satu simpul sebagai simpul referensi yang kita anggap bertegangan nl, sedangkan tegangan simpul-simpul yang lain dihitung terhadap simpul referensi ini. Simpul referensi tersebut dapat kita pilih dengan bebas sehingga perbedaan pemilihan simpul referensi dalam menyelesaikan persalan satu rangkaian tertentu dapat menghasilkan nilai-nilai tegangan simpul yang berbeda. Namun demikian tegangan cabang-cabang rangkaian akan tetap sama hanya memang kita harus melakukan perhitungan lagi untuk memperleh nilai tegangan cabang-cabang tersebut (yaitu mencari selisih tegangan antara dua simpul). Pada rangkaian listrik yang besar, seperti misalnya jaringan kereta rel listrik ataupun jaringan PLN, rang melakukan pengukuran tegangan bukan terhadap simpul referensi umum seperti dalam pengertian metda tegangan simpul melainkan terhadap titik netral atau grund di masing-masing lkasi pengukuran. Pengukuran ini belum tentu sesuai dengan perhitungan dalam analisis menggunakan metda tegangan simpul karena grund di lkasi pengukuran tidaklah selalu sama dengan titik referensi umum dalam analisis. kan tetapi karena jaringan-jaringan penyalur energi tersebut dapat dilihat sebagai berbentuk rangkaian tangga, maka permasalahan ini dengan mudah dapat diatasi dan akan dibahas lebih lanjut. Metda arus mesh dapat diterapkan pada rangkaian planar yaitu suatu rangkaian yang diagramnya dapat digambarkan pada satu bidang datar tanpa terjadi persilangan antar cabang rangkaian. Untuk rangkaian nnplanar metda arus mesh tak dapat diterapkan dan kita perlu menggunakan metda arus lp. Metda nalisis Berbantuan Kmputer. Untuk rangkaianrangkaian yang rumit, analisis secara manual tidaklah efektif bahkan hampir tidak mungkin lagi dilakukan. Untuk itu kita memerlukan bantuan kmputer. Metda ini tidak dibahas dalam buku ini. 78 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

186 Sal-Sal. Carilah tegangan dan arus di masing-masing elemen pada rangkaian-rangkaian di bawah ini dan hitunglah daya yang diberikan leh sumber. Ω 5Ω Ω 5V a). V 5V b). 5Ω 4Ω 3V 3Ω c). V 5 kω 7.5 kω 5 kω m kω kω kω kω d). m kω kω m Ω e). V Ω Ω Ω Ω 79

187 5 kω V kω m 5 kω 5 kω m f). m kω V kω kω kω kω g). kω. Tentukanlah pada dua rangkaian di bawah ini. a). _ kω kω kω _ b). _ kω kω kω kω 3. Pada rangkaian di bawah ini, carilah hubungan masukan-keluaran K s. _ 5Ω s I kω I I I kω kω 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

188 BB angkaian Pemrses Energi (rus Searah) Dalam bab ini kita akan melihat beberapa cnth aplikasi analisis rangkaian yang dapat memberikan gambaran keadaan nyata. angkaian yang akan kita bahas meliputi rangkaian-rangkaian pemrsesan energi. Pemrsesan energi listrik pada umumnya dilakukan dengan tiga macam cara, yaitu teknlgi arus searah, teknlgi arus blak-balik, dan teknlgi pulsa. Mengenai teknlgi yang terakhir ini, tidak termasuk dalam cakupan buku ini; kita dapat mempelajarinya pada pelajaran lain. Teknlgi arus blak-balik dengan sinyal sinus merupakan teknlgi yang sangat luas dipakai dalam pembangkitan maupun penyaluran energi listrik, namun rangkaian arus blak-balik ini akan kita pelajari di bab lain; di bab ini kita hanya akan melihat rangkaian pemrses energi dengan tegangan dan arus searah, yang kita sebut rangkaian arus searah. Dalam rekayasa praktis, rangkaian pemrses energi yang pada umumnya merupakan rangkaian berbentuk tangga, digambarkan dengan cara yang lebih sederhana yaitu dengan menggunakan diagram satu garis. Bagaimana diagram ini dikembangkan, akan kita lihat pula di bab ini. Cakupan bahasan dalam bab ini meliputi alat ukur dan pengukuran arus searah, saluran dan jaringan distribusi daya arus searah, penyediaan batere sebagai sumber tenaga arus searah. Dengan mempelajari rangkaian pemrses energi ini, kita akan mampu menghitung parameter penyalur daya arus searah. mampu melakukan perhitungan penyaluran daya arus searah. mampu melakukan analisis rangkaian arus searah yang diberikan dalam bentuk diagram satu garis. mampu melakukan perhitungan dalam susunan batere... Pengukur Tegangan dan rus Searah Salah satu jenis alat pengukur tegangan dan arus searah adalah jenis kumparan berputar yang terdiri dari sebuah kumparan yang berada dalam suatu medan magnetik permanen. Kumparan yang disangga 8

189 leh sumbu dan dilengkapi dengan pegas ini akan berputar apabila ia dialiri arus. Perputaran akan mencapai kududukan tertentu pada saat mmen putar yang timbul akibat adanya interaksi medan magnetik dan arus kumparan, sama dengan mmen lawan yang diberikan leh pegas. Sudut pada kedudukan seimbang ini kita sebut sudut defleksi. Defleksi maksimum terjadi pada arus maksimum yang diperblehkan mengalir pada kumparan. Karena kumparan harus ringan, ia harus dibuat dari kawat yang halus sehingga arus yang mengalir padanya sangat terbatas. Kawat kumparan ini mempunyai resistansi yang kita sebut resistansi internal alat ukur. Walaupun arus yang melalui kumparan sangat terbatas besarnya, namun kita dapat membuat alat ukur ini mampu mengukur arus sampai ratusan amper dengan cara menambahkan resistr paralel (shunt). Terbatasnya arus yang diperblehkan melalui kumparan juga berarti bahwa tegangan pada terminal kumparan juga sangat terbatas; namun dengan menambahkan resistansi seri terhadap kumparan, kita dapat membuat alat ukur ini mampu mengukur tegangan sampai beberapa ratus lt. CO TOH-.: Sebuah alat ukur kumparan berputar mempunyai resistansi internal Ω dan berdefleksi maksimum jika arus yang mengalir pada kumparan adalah 5 m. Tentukan resistansi seri yang harus ditambahkan agar alat ini mampu mengukur tegangan sampai 75 V. Penyelesaian : Ω Dengan penambahan resistr seri s terjadi pembagian s tegangan antara s dengan 75 V kumparan; dengan memilih nilai s yang tepat tegangan pada kumparan tetap pada batas yang diijinkan. angkaian alat ukur menjadi seperti gambar berikut. Dengan arus pada kumparan dibatasi pada 5 m, maka: s 499 Ω 3 s 5 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

190 CO TOH-.: lat ukur kumparan berputar pada cnth-.. (yang memiliki resistansi internal Ω dan defleksi maksimum terjadi pada arus kumparan 5 m) hendak digunakan untuk mengukur arus sampai. Tentukan nilai resistasi shunt yang diperlukan. Penyelesaian: Dengan penambahan shunt sh akan terjadi pembagian arus antara sh dengan kumparan. Dengan memilih nil sh yang tepat, arus yang mengalir pada kumparan tetap dalam batas yang diijinkan. angkaian alat ukur dengan shunt terlihat pada gambar berikut. Dengan arus kumparan 5 m, maka : Ω 3 I sh 5 I sh 5 m sh 3 I sh sh sh,5 Ω Pengukuran esistansi Salah satu metda untuk mengukur resistansi adalah metda ltmeter-amperemeter. Dalam metda ini nilai resistansi dapat dihitung dengan mengukur tegangan dan arus secara simultan. Dalam cnth berikut ini diberikan dua macam rangkaian yang biasa digunakan untuk mengukur resistansi dengan metda ltmeter-amperemeter. CO TOH-.3: esistansi x hendak diukur dengan menggunakan dua macam rangkaian berikut ini. Jika resistansi internal ltmeter dan amperemeter masing-masing adalah V dan I dan penunjukan ltmeter dan amperemeter adalah V dan I, hitunglah x pada kedua macam cara pengukuran tersebut. I V x a). b). V I 83

191 Penyelesaian : Untuk rangkaian a), tegangan pada x adalah V sedangkan arus yang melalui x adalah V I x I sehingga V V V x I x I ( V / V ) Jika pengukuran dilakukan dengan menggunakan rangkaian b), arus yang melalui x adalah I sedangkan tegangan pada x adalah sehingga Pemahaman : Vx V I I V V II V x I I x I I Kesalahan pengukuran akan kecil dan nilai x dapat dinyatakan dengan x V/I jika V cukup besar pada rangkaian a) atau I cukup kecil pada rangkaian b)..3. esistansi Kabel Penyalur Daya Kabel digunakan sebagai penyalur daya dari sumber ke beban. Setiap ukuran dan jenis kabel mempunyai batas kemampuan pengaliran arus yang tidak bleh dilampaui; arus yang melebihi batas akan menyebabkan pemanasan pada kabel yang akan memperpendek umur kabel. Di samping itu, resistansi knduktr kabel akan menyebabkan terjadinya beda tegangan antara sumber dan beban. Oleh karena itu pemilihan ukuran kabel harus disesuaikan dengan besarnya beban. Selain resistansi knduktr, resistansi islasi kabel juga merupakan parameter yang harus diperhatikan; menurunnya resistansi islasi akan menyebabkan kenaikan arus bcr. CO TOH-.4: esistansi knduktr suatu kabel sepanjang 5 m pada C adalah.58 Ω dan resistansi islasinya adalah 975 MΩ. Carilah resistansi knduktr dan islasinya per kilmeter. 84 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

192 Penyelesaian : esistansi knduktr sebanding dengan panjangnya sesuai dengan relasi ρl/, maka resistansi knduktr per kilmeter adalah knduktr,58,6 Ω per km. esistansi islasi adalah resistansi antara knduktr dan tanah (selubung kabel). Luas penampang islasi, yaitu luas penampang yang dilihat leh knduktr ke arah selubung, berbanding terbalik terhadap panjang kabel; makin panjang kabel, makin kecil resistansi islasinya. esistansi islasi kabel per kilmeter adalah islasi ( / ) MΩ per km. CO TOH-.5: Dua penggalan kabel, masing masing mempunyai resistansi knduktr,7 Ω dan,5 Ω dan resistansi islasi 3 MΩ dan 6 MΩ. Jika kedua penggalan kabel itu disambungkan untuk memperpanjang saluran, berapakah resistansi knduktr dan islasi saluran ini? Penyelesaian : Karena disambung seri, resistansi ttal adalah : knduktr,7,5, Ω Sambungan seri kabel, menyebabkan resistansi islasinya terhubung paralel. Jadi resistansi islasi ttal adalah : islasi 3 6 MΩ Penyaluran Daya Melalui Saluran Udara Selain kabel, penyaluran daya dapat pula dilakukan dengan menggunakan saluran di atas tanah yang kita sebut saluran udara. Saluran udara ini dipasang dengan menggunakan tiang-tiang yang dilengkapi dengan islatr penyangga atau islatr gantung yang biasanya terbuat dari keramik atau gelas. Knduktrnya sendiri dapat merupakan knduktr tanpa islasi (telanjang) dan leh karena itu permasalahan arus bcr terletak pada pemilihan islatr penyangga di tiang-tiang dan hampir tidak terkait pada panjang saluran sebagaimana yang kita jumpai pada kabel. 85

193 CO TOH-.6: Dari suatu gardu distribusi dengan tegangan kerja 55 V disalurkan daya ke dua rangkaian kereta listrik. Dua rangkaian kereta tersebut berada masing-masing pada jarak km dan 3 km dari gardu distribusi. Kereta pertama mengambil arus 4 dan yang ke-dua. esistansi kawat saluran udara adalah,4 Ω per km, sedangkan resistansi rel sebagai saluran balik adalah,3 Ω per km. Tentukanlah (a) tegangan kerja di masing-masing kereta, (b). Daya yang diserap saluran (termasuk rel). Penyelesaian : Diagram rangkaian listrik dari sistem yang dimaksudkan dapat digambarkan seperti di bawah ini. Gardu Distribusi 55V 46,4Ω a). Tegangan kerja kereta pertama (V ) dan kereta kedua (V ) adalah: V V 55 6(,4,3) 54, V V V,3Ω km (,8,6) 57 V b). Daya yang diserap saluran adalah.5. Diagram Satu Garis 4 3 km,8ω,6ω (,4Ω/km) (,3Ω/km) p saluran 6 (,4,3) (,8,6) 89 W,89 kw Penggambaran saluran distribusi seperti pada cnth.6. di atas dapat dilakukan dengan lebih sederhana, yaitu menggunakan diagram satu garis. Cara inilah yang sering dilakukan dalam praktik. Satu saluran digambarkan dengan hanya satu garis saja, beban dinyatakan dengan kebutuhan daya atau besar arusnya. Psisi gardu dan beban-beban dinyatakan dalam panjang saluran ataupun resistansi saluran. esistansi saluran dinyatakan sebagai resistansi ttal yaitu jumlah resistansi kawat kirim dan resistansi kawat balik. V 86 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

194 Sebagai cnth, diagram satu garis dari sistem penyaluran daya pada cnth.6. dapat kita gambarkan sebagai berikut. 55V km km 4 (resistansi saluran.43ω/km) CO TOH-.7: Suatu saluran distribusi kawat dicatu dari kedua ujungnya ( dan D) dengan tegangan 55 V dan 5 V. Beban sebesar dan 8 B C berada di titik simpul B dan C seperti terlihat pada diagram satu garis berikut. esistansi yang tertera pada gambar adalah resistansi satu kawat. Tentukanlah tegangan di tiap titik beban (B dan C) serta arus di tiap-tiap bagian saluran. Penyelesaian: atau 55V Dengan memperhitungkan saluran balik, resistansi saluran menjadi dua kali lipat. Persamaan tegangan simpul untuk simpul B dan C adalah 7 V B V C 65 53,3V C V B 853,3,43Ω,86Ω 4,Ω,5Ω,5Ω ,3 853,3 VB 5,3 V 53, ,3 5,3 VC 47, V 53,3 rus pada segmen B, BC dan CD adalah : D V 55 5,3 V I B B 85 ; B, I BC I B 85 ; I DC 8 I BC 95 87

195 Penurunan Diagram Satu Garis. Bagaimana mungkin metda tegangan simpul dapat kita aplikasikan pada rangkaian yang digambarkan dengan diagram satu garis? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita lihat diagram rangkaian sebenarnya (dua kawat) sebagai berikut. I B I BC I CD V V ' B B B C D BC BC CD CD B' C' D' I B I BC I CD Jika simpul B dan B' serta C dan C' kita pandang sebagai dua simpul super, maka untuk keduanya berlaku I B I BC I BC ' I B ' dan I BC ICD I CD ' I BC ' Karena I B I B ' (hubungan seri), maka haruslah I BC I BC ' dan leh karenanya ICD ICD ' Dengan kesamaan arus-arus ini maka aplikasi HTK untuk setiap mesh pada rangkaian di atas akan memberikan V V V ' ' B B ' C C yang dapat ditulis sebagai I BB V I BC BC V ICDCD V V ' I B V ' I B B BC V ' I C C CD ' BB ' CC ' DD I I I ' B ' BC ' CD ' B ' BC ' CD ( B ' ) V ' B BB ( BC ' ) V ' BC CC ( ' ) V ' CD Tiga persamaan terakhir ini tidak lain adalah persamaan rangkaian yang berbentuk : CD DD 88 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

196 I B I BC I CD B C D B B BC BC CD CD V V ' Dengan mengambil simpul B' sebagai simpul referensi kita dapat memperleh persamaan tegangan untuk simpul B dan C sebagai V VC VB I ' ' ' BB ' ' B B BC BC B B BC BC V C ' BC BC VB VD I ' CC CD ' ' ' CD BC BC CD CD Inilah persamaan tegangan simpul B dan C yang dapat kita perleh langsung dari diagram satu garis : B' C' D' B B B BC BC CD CD C D I BB I CC Jadi, dengan menambahkan resistansi saluran balik pada saluran kirim, maka saluran balik tidak lagi mengandung resistansi. Dengan demikian saluran balik ini dapat kita pakai sebagai simpul referensi yang bertegangan nl untuk seluruh panjang saluran balik tersebut. Dengan cara demikian ini, maka kita dapat memperleh persamaan tegangan simpul langsung dari diagram satu garis tanpa harus menggambarkan diagram rangkaian sebenarnya, dengan catatan bahwa yang dimaksud dengan tegangan simpul adalah tegangan antara saluran pengirim dan saluran balik di lkasi yang sama..6. Jaringan Distribusi Daya Penyaluran daya listrik dapat bermula dari satu sumber ke beberapa titik beban ataupun dari beberapa sumber ke beberapa titik beban. Jaringan penyaluran daya ini, yang disebut jaringan distribusi daya, dapat berbentuk jaringan radial, mesh, atau ring. Ke-tiga bentuk 89

197 jaringan tersebut akan kita lihat secara berturut-turut dalam cnth berikut. CO TOH-.8: Tiga beban di, X 5V B, dan C, masing-masing memerlukan arus 5,, dan 6,4Ω dicatu dengan jaringan radial,5ω dari sumber X yang C tegangannya 5 V. Penyaluran,Ω 6 daya dari sumber ke beban 5 dilakukan melalui saluran yang B resistansi ttalnya (saluran pengirim dan saluran balik) diperlihatkan pada gambar. Carilah tegangan masing-masing beban dan daya diserap saluran pada tiap cabang saluran. Penyelesaian : V VX,5 5 47,5 V; VB 5, 48 V; VC 5,4 6 47,6 V px (5),5 5 W; pxc (6),4 44 W pxb (), 4 W; CO TOH-.9: Titik beban dan B serta B dan C pada cnth.8, dihubungkan dengan interknektr yang resistansi masing-masing terlihat pada gambar di samping ini. Carilah tegangan masing-masing beban dan daya diserap saluran pada tiap cabang saluran dan intercnnectr, serta arus saluran. X,5Ω,Ω 5,Ω B 5V,4Ω C,5Ω 6 9 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

198 9 Penyelesaian : Persamaan tegangan simpul untuk simpul, B, dan C adalah,4,5 6,5,4,,5,,5,,,5, 5,,5 X B C X C B X B V V V V V V V V V V B C C B B V V V V V V V Dari sini kita perleh V 47, , V ; 47, ,64 39 V; 47,63 B C V V V Daya diserap saluran adalah W 46,4,4 47,63) (5 W 5,6, 47,75) (5 W 7,5 47,58) (5 ) ( XC XB X X X p p V V p C B V V V C B V V V

199 ( V ) V p B B, (47,58 47,75),,3 W (47,75 47,63) pbc, W,5 rus pada saluran: ( VX V ) (5 47,58) I X 48,4 X,5 (5 47,75) I XB,5, (5 47,63) I XC 59,3,4 CO TOH-.: Gambar berikut ini adalah diagram satu garis jaringan distribusi dengan sumber-sumber yang dinyatakan sebagai arus masuk ke jaringan dan beban-beban dinyatakan dengan arus keluar dari jaringan. Pada jaringan berstruktur cincin ini, hitunglah arus-arus pada tiap cabang saluran. 7 3 I B,Ω C,Ω I I 6,Ω F,3Ω I 5,Ω 8 I 3 D, E I Penyelesaian : plikasi HTK untuk lp dan HK untuk lima simpul memberikan persamaan dalam bentuk matriks sebagai berikut : 9 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

200 ,,,,,3, I I I3 I4 I5 I Eliminasi Gauss memberikan : I I I3 I4 I5 I Dari sini kita perleh : I6 8 ; I5 39 ; I3 39 ; I 4 ; I 4 ; I Tanda negatif : arah arus berlawanan dengan arah referensi..7. Batere Batere merupakan sumber daya arus searah yang banyak digunakan, terutama untuk daya yang tidak terlalu besar serta keadaan darurat. Untuk daya besar, susunan batere dicatu leh sumber arus searah yang diperleh dari penyearahan arus blak-balik. Berikut ini kita akan melihat penyediaan batere, sedangkan penyearahan arus blakbalik akan kita lihat pada sub-bab berikutnya mengenai rangkaian dengan dida. Suatu batere tersusun dari sel-sel yang merupakan sumber daya searah melalui knersi energi kimia. Setiap sel mempunyai tegangan yang tidak besar dan leh karena itu untuk memperleh tegangan sumber yang kita inginkan, kita harus menyususn sel-sel itu menjadi suatu susunan batere. Sebagai cnth, sumber daya untuk mbil merupakan sumber dengan tegangan V yang 93

201 tersusun dari 6 sel terhubung seri dan masing-masing sel bertegangan lt. Penyediaan batere haruslah diusahakan ptimal baik dilihat dari pertimbangan eknmis maupun teknis. Berikut ini suatu cnth perhitungan penyediaan batere. CO TOH-.: Suatu susunan batere diperlukan untuk memberikan arus sebesar 6 pada beban resistif sebesar,7 Ω. Jika sel-sel yang tersedia mempunyai ggl (emf), V dengan resistansi internal,5 Ω, tentukanlah jumlah sel dan susunannya. Penyelesaian : Jika kita anggap susunan batere kita sebagai suatu V Th Th sumber Théenin, maka untuk mencapai transfer daya maksimum resistansi Théenin harus sama dengan resistansi beban, yaitu Th beban,7 Ω Karena arus ditetapkan sebesar 6, maka sumber tegangan Théenin, V Th, haruslah V Th 6 (,7,7) 8,4 Sel yang tersedia mempunyai ggl, V sehingga diperlukan 4 buah sel dihubungkan seri untuk memperleh tegangan 8,4 V. Susunan seri ini mempunyai resistansi ttal sebesar 4,5 Ω. Untuk memperleh Th sebesar,7 Ω (atau mendekati) diperlukan tiga susunan paralel, yang akan meberikan ekialen,66 Ω. Jadi kita memerlukan 4 3 sel, yang tersusun menjadi 4 seri 3 paralel seperti terlihat pada gambar di bawah ini. V 6,7 Ω 4,5 Ω 6 4, V.7,7 Ω 94 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

202 Pemahaman : Jika susunan seri kita kurangi jumlah sel-nya, menjadi hanya 3, maka tegangan ttal menjadi 3,6,3 V, dan resistansinya menjadi 3,5,5 Ω. Dengan mempertahankan susunan tetap 3 paralel, resistansi ekialen menjadi,5 Ω. rus beban akan menjadi 6,3/(,5,7) 5,5, kurang dari yang diharapkan yaitu 6. Jika kita cba menambah jumlah cabang paralelnya menjadi 4, resistansi ekialen menjadi,5/4,375 Ω. rus beban menjadi 6,3/(,375,7) 5,86 ; tetap masih kurang dari 6. Jadi susunan sel menjadi 4 seri terparalel 3, adalah yang ptimal dengan arus beban 8,4/(,66,7) 6, Sel-sel Ujung (Sel khir) Pada umumnya pembebanan pada batere tidaklah selalu tetap. Jika arus beban bertambah, maka tegangan batere akan menurun karena ada resistansi internal. Tegangan batere juga akan menurun pada beban knstan, seiring dengan berjalannya waktu. Oleh karena itu jika diperlukan suatu tegangan keluaran yang tertentu besarnya, maka diperlukan sel ujung yang akan dimasukkan ataupun dikeluarkan dari susunan batere agar perubahan tegangan keluaran masih dalam batas-batas yang diperblehkan. CO TOH-.: Dari suatu susunan batere diperlukan tegangan keluaran sebesar V. Jika tegangan maksimum tiap sel adalah,5 V sedangkan tegangan minimum yang masih diperkenankan adalah,85 V, berapakah jumlah sel (terhubung seri) yang diperlukan, dan berapakah jumlah sel ujung. Penyelesaian : Jumlah sel yang diperlukan harus dihitung dengan memperhatikan tegangan minimum sel agar pada tegangan minimum ini tegangan keluaran batere masih bernilai V. Jadi jumlah sel yang diperlukan adalah 9 buah,85 Pada saat sel bertegangan maksimum, jumlah sel yang diperlukan hanyalah 88 buah,5 Jadi jumlah sel ujung adalah u buah. 95

203 .7.. Pengisian Batere Dalam prses pengisian batere, daya dari sumber ditransfer ke batere. Daya yang dikeluarkan leh sumber, selain untuk mengisi batere sebagian akan hilang menjadi panas dalam batere (karena adanya resistansi internal batere), hilang pada saluran, dan juga hilang pada sumber itu sendiri karena adanya resistansi internal sumber. Kita lihat cnth berikut ini. CO TOH-.3: Sebuah sumber tegangan searah 5 V dengan resistansi internal sebesar,5 Ω digunakan untuk mengisi batere yang terdiri dari sel, masing-masing dengan ggl, V dan resistansi internal, Ω. Hitunglah a) arus pengisian. b) daya pe- ngisian batere, c) daya hilang sebagai panas dalam batere, d) daya hilang sebagai panas pada sumber. Penyelesaian : angkaian pengisisan batere adalah seperti gambar di samping ini. Ggl ttal batere dan resistansi internalnya adalah : GGL, V ; b, Ω a). rus pengisisan adalah : s b 5 V V 5 sumber GGL I s b,5 b). Daya untuk pengisisan batere adalah : p pengisian GGL I 44 W. c). Daya hilang sebagai panas dalam batere adalah ; (,) V p panas b I 4 W d). Daya hilang pada sumber : p panas sumber sumber I,5 W 96 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

204 .8. Generatr rus Searah Pembahasan secara rinci dari suatu generatr arus searah dapat kita pelajari dalam pembahasan khusus mesin-mesin listrik. Generatr arus searah dalam ulasan berikut ini dipandang sebagai piranti yang dapat dimdelkan secara sederhana, sebagai sebuah sumber arus searah selain batere yang kita bahas di atas. Kita mengenal beberapa jenis generatr yang dibedakan menurut macam penguatan (eksitasi) yang digunakan, yaitu generatr berpenguatan bebas, generatr berpenguatan seri, dan generatr berpenguatan shunt (paralel), generatr berpenguatan kmpn. Di sini kita hanya akan melihat generatr berpnguatan bebas. Generatr arus searah berpenguatan bebas dapat dimdelkan dengan sumber tegangan tak-bebas CCVS. rus eksitasi, i f, mengalir melalui kumparan eksitasi, yang merupakan kumparan statr, dan menimbulkan medan magnet. Dalam medan magnetik inilah rtr yang mendukukung kumparan jangkar berputar dengan kecepatan n putaran per menit (n rpm) sehingga di kumparan jangkar ini timbul tegangan. Tegangan jangkar ini mencatu beban yang dihubungkan ke terminal generatr; karena belitan jangkar memiliki resistansi maka terdapat resistansi seri yang terhubung ke tegangan yang terbangkit di kumparan jangkar yang disebut resistansi jangkar, a. Tegangan yang terbangkit di kumparan jangkar sebanding dengan fluksi magnetik di statr dan kecepatan perputaran rtr sehingga tegangan jangkar dapat dinyatakan dengan V g k nφ dengan k a suatu knstanta yang tergantung dari knstruksi jangkar, n kecepatan perputaran rtr, dan φ adalah fluksi magnet. Jika kita anggap rangkaian magnetik memiliki karakteristik linier maka fluksi φ dapat kita anggap sebanding dengan arus eksitasi φ k f i f sehingga tegangan generatr dapat kita nyatakan sebagai dengan c g adalah suatu tetapan. a _ i f c g ni f a tegangan generatr V c g CCVS, mdel generatr arus searah g ni f 97

205 angkaian rus Searah Sal-Sal. Tegangan pada sebuah resistr yang sedang dialiri arus searah diukur dengan menggunakan sebuah ltmeter yang mempunyai resistansi internal kω. Vltmeter menunjuk V. Jika arus ttal adalah,5, hitunglah nilai.. rus yang melalui sebuah resistr diukur menggunakan ampermeter yang mempunyai resistansi internal, Ω (resistr dihubungkan seri dengan ampermeter). Jika tegangan yang diberikan adalah V dan ampermeter menunjuk 5. Hitung. 3. Sebuah ltmeter jika dihubungkan langsung ke sumber tegangan menunjuk 4 V, jika melalui resistr seri 5 kω, ia menunjukkan 9 V. Berapakah resistansi internalnya?. 4. Sebuah ltmeter jika diserikan dengan resistr 5 kω menunjuk 9 V pada tegangan sumber 4 V. Jika resistr 5 kω diganti dengan suatu resistansi x maka ltmeter menunjuk 3 V. Dengan membandingkan dua pengukuran tersebut, hitunglah x. 5. Dua buah ltmeter masing-masing mempunyai resistansi internal kω dan 3 kω. Jika mereka dihubungkan seri dan pada hubungan seri ini diberikan tegangan 3 V, berapakah penunjukkan masing-masing? 6. Suatu batere terdiri dari buah sel masing-masing mempunyai emf,8 V dan resistansi internal, Ω. Jika sepuluh sel itu dihubungkan seri untuk mencatu beban resistr,8 Ω, berapakah daya yang diserap beban? Jika sepuluh sel tersebut dihubungkan paralel untuk mencatu beban yang sama, berapa daya diserap beban? 7. Dua buah batere V mempunyai resistansi internal berbeda, masing-masing, Ω dan,5 Ω. Kedua batere diparalelkan untuk mencatu daya pada resistr 6 Ω. Hitunglah arus yang diberikan leh masing-masing batere. 8. Sebuah beban memerlukan arus m pada tegangan 5 V. Sumber yang tersedia bertegangan 4 V. Untuk memenuhi keperluan itu digunakan ptensimeter yang resistansi ttalnya 98 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

206 kω. Berapa daya diserap beban dan berapa daya diberikan leh sumber? 9. Dua alat pemanas digunakan secara bersamaan pada tegangan 4 V. rus ttal yang mereka ambil adalah 5. Salah satu pemanas diketahui menyerap daya W. Berapa daya yang diserap pemanas yang lain dan hitunglah resistansi masingmasing pemanas.. esistansi knduktr suatu jenis kabel adalah,4 Ω per m. Kabel jenis ini digunakan untuk menyalurkan daya searah ke sebuah beban pada jarak 5 m dari pusat pencatu daya. Hitung perbedaan tegangan antara ujung kirim dan ujung terima kabel dan hitung daya hilang pada saluran ini.. Tiga buah beban masing-masing 5, dihubungkan pada satu pusat pencatu daya searah melalui kabel-kabel yang terpisah. esistansi kabel (saluran kirim saluran balik) ke beban, B, dan C berturut-turut adalah,5,,, dan, Ω. Jika tegangan di pencatu daya adalah 5 V, hitung tegangan di masing-masing beban. angkaian dengan Diagram Satu Garis. Diagram satu garis berikut ini menunjukkan penyaluran daya searah ke tiga beban menggunakan satu saluran kabel. Pusat pencatu daya di bekerja pada tegangan 5 V. Tentukan pada tegangan berapa masing-masing beban berperasi. I,Ω,Ω,Ω B C Suatu kabel penyalur daya dicatu di kedua ujungnya untuk memberi daya pada dua beban seperti terlihat pada diagram satu garis berikut. Jika tegangan di 55 V, dan di D 5 V, hitunglah tegangan di B dan C. Hitung pula arus masuk di dan D, dan arus di segmen B-C. I,Ω,4Ω,3Ω I D B C D 5 99

207 4. Gambarkan diagram satu garis untuk sistem pada sal. Jika beban dan B dihubungkan dengan kabel knektr yang resistansinya, Ω, dan beban B dan C dengan kabel knektr,5 Ω. hitung tegangan di masing-masing beban. 5. Diagram satu garis suatu jaringan distribusi daya searah dengan knfigurasi cincin adalah sebagai berikut. Jika sumber di bekerja pada 5 V, hitung tegangan masing-masing beban dan arus di segmen-segmen jaringan distribusi. C,5Ω,Ω,Ω B,4Ω 8 D,Ω E 6. Sebuah beban berada pada jarak 5 m dari pusat pencatu daya. Jika tegangan jatuh pada beban tidak bleh lebih dari 5 V dan jika resistiitas bahan knduktr kabel adalah,8 Ω.mm /m, hitunglah penampang knduktr kabel yang diperlukan. Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

208 BB angkaian Pemrses Sinyal (angkaian Dida dan OPMP) Dalam bab ini kita akan melihat beberapa cnth aplikasi analisis rangkaian, dengan cnth-cnth rangkaian pemrsesan sinyal. Kita akan melihat rangkaian-rangkaian dengan menggunakan dida dan rangkaian dengan OP MP. Dengan mempelajari rangkaian pemrses sinyal di bab ini, kita akan memahami rangkaian penyearah, pemtng gelmbang; mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian dida; mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP MP dengan resistr. mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP MP dengan elemen dinamis. memahami hubungan-hubungan bertingkat rangkaian OP MP... angkaian Dengan Dida Kita telah melihat bagaimana karakteristik dida dan kita juga telah mempelajari rangkaian dengan dida pada waktu membahas mdel piranti. angkaian yang telah kita kenal adalah penyearah setengah gelmbang, penyearah gelmbang penuh dengan empat dida (penyearah jembatan), dan rangkaian pensaklran. Berikut ini kita masih akan melihat penyearah gelmbang penuh dari jenis yang lain, yaitu menggunakan transfrmatr. Namun untuk mengingat kembali, kita sebutkan secara ringkas apa yang sudah kita pelajari.... Penyearah Setengah Gelmbang angkaian dan hasil penyearahan digambarkan lagi seperti terlihat pada Gb... Nilai rata-rata arus adalah: I as π π i V d( ωt) m π Im π

209 s i D B L C V m Gb... Penyearah setengah gelmbang. i s π I as π ωt... Penyearah Gelmbang Penuh (angkaian Jembatan) angkaian penyearah jembatan serta sinyal hasil pemrsesannya digambarkan lagi seperti terlihat pada Gb... D D 3 B D D 4 Gb... Penyearah gelmbang penuh jembatan. Dengan mudah dapat dihitung nilai arus searah I as C i L V π m L I π..3. Penyearah Gelmbang Penuh Dengan Transfrmatr Diagram rangkaian penyearah ini terlihat pada Gb..3. D V m m π i π I as ωt D i i V m i i π π Ias ωt D Gb..3. Penyearah gelmbang penuh dengan transfrmatr ber-titik-tengah. Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

210 angkaian ini menggunakan transfrmatr dengan belitan sekunder terbagi dua sama besar (belitan sekunder mempunyai titik tengah) sehingga dapat memberikan dua tegangan sekunder sama besar. Perbandingan lilitan transfrmatr untuk keperluan ini disesuaikan dengan besar tegangan keluaran yang diinginkan. plikasi HTK untuk kedua lp di sekunder transfrmatr memberikan V t i i D m sinω D D Vm t D i i D sinω D Pada waktu D knduksi, V sin t i m ω (.) yang hanya akan bernilai psitif pada selang ωt π. Dalam selang ini persamaan kedua dari (.) menjadi V m sinωt V m sinωt D D V m sinωt Jadi pada saat D knduksi, D tidak knduksi karena D <. (.) Pada setengah perida berikutnya, D knduksi sedangkan D tidak knduksi. rus yang mengalir pada akan tetap sama seperti pada setengah perida sebelumnya. Tegangan balik maksimum yang diderita leh dida adalah V m...4. Filter (Tapis) Pasif Tujuan dari penyearahan adalah memperleh arus searah. Dalam penyearah yang kita bahas di atas, kita tidak memperleh arus searah murni melainkan arus searah yang berubah secara peridik; jadi arus searah ini mengandung kmpnen arus blak-balik. Variasi tegangan ini disebut riak tegangan. iak tegangan pada penyearah gelmbang penuh lebih kecil dari riak tegangan pada penyearah setengah gelmbang. Untuk lebih memperkecil riak tegangan ini digunakan filter yang bertugas untuk mellskan kmpnen searah dan mencegah kmpnen blak-balik. 3

211 Filter Kapasitr. Dengan menambahkan kapasitr paralel dengan beban pada rangkaian penyearah setengah gelmbang, maka riak tegangan akan sangat ditekan. Sebagaimana kita ketahui, kapasitr dapat menyimpan energi. Pada saat tegangan sumber naik, kapasitr akan terisi sampai mencapai tegangan maksimum. Pada saat tegangan sumber menurun, kapasitr akan melepaskan energi yang disimpannnya melalui beban (karena pada saat ini dida tidak knduksi). Dengan demikian beban akan tetap memperleh aliran energi walaupun dida tidak knduksi. Selanjutnya bila dida knduksi lagi, kapasitr akan terisi dan energi yang tersimpan ini akan dilepaskan lagi pada waktu dida tidak knduksi; dan demikian seterusnya. Filter semacam ini tentu saja dapat pula digunakan pada penyearah gelmbang penuh. Gb..4. memperlihatkan rangkaian penyearah setengah gelmbang dengan filter kapasitr. Jika Vm sin ωt, bagaimanakah bentuk tegangan keluaran pada beban? Pada waktu dida knduksi, kapasitr terisi sampai tegangan maksimum. Pada waktu menurun tegangan sumber menjadi lebih kecil dari tegangan kapasitr dan dida tidak knduksi, C. Kapasitr melepaskan muatannya melalui dan selama pelepasan muatan ini, kita mempunyai lp tertutup C seri. Untuk lp ini berlaku dc C i ic ) C dt Persamaan diferensial ini memberikan dc dt lnc t K C C C dc ( C dt C (/ C) t C Ke Nilai K ditentukan leh nilai awal tegangan kapasitr yaitu pada saat ia mulai melepaskan energinya yang hampir sama besar dengan tegangan maksimum yang dicapai sesaat sebelum dida berhenti (/ C) t knduksi, yaitu V m. Jadi C Vme. Dida akan kembali knduksi manakala > C. Maka tegangan pada adalah pada waktu dida knduksi: pada waktu dida tak knduksi: C V C i D D Gb..4. Filter kapasitr. sinωt V m ( / C) t Vme V 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

212 T.5..5 T C ωt Dengan menambahkan kapasitr, riak tegangan dapat diperkecil. Kita dapat melihat bahwa tegangan kapasitr menurun sebesar C. Penururnan tegangan ini menunjukkan adanya pelepasan muatan sebesar C C dan ini sama dengan jumlah muatan yang ditransfer melalui dalam selang waktu (T T), yaitu sebesar I as (T T). Dengan relasi ini kita dapat memperkirakan besarnya C yang diperlukan untuk membatasi tingkat riak tegangan (membatasi C ). q C C C IasT C C I as I as f ( T T ) I C V as f C as T (.3) CO TOH-.: Pada penyearah dengan filter Gb.., 5 kω, dan diinginkan tegangan dan arus di adalah I as m dan V as 5 V, sedangkan riak tegangan tak lebih dari % V as, berapakah nilai C dan berapa tegangan masukan jika frekuensinya 5 Hz? Penyelesaian : Vas C,V as, C Vas C f C 5 5 V as, 4 µ F 5 V V 5 V 5sin(πt) V m (jika sumber yang tersedia V, diperlukan transfrmatr). 5

213 .. angkaian Dengan OP MP Karakteristik OP MP telah kita bahas pada waktu kita membahas mdel piranti di Bab-5. Dua rangkaian dasar OP MP, yaitu rangkaian penyangga dan rangkaian penguat nn-inersi telah pula kita pelajari. Di sub-bab ini kita akan membahas rangkaianrangkaian OP MP yang lain termasuk rangkaian dengan elemen dinamis. pa yang telah kita pelajari mengenai OP MP akan kita ulang secara ringkas.... Karakteristik Penguat Operasinal (OP MP) Ideal OP MP i adalah suatu P i piranti P P (.4) berbentuk ip i rangkaian i terintegrasi yang cukup rumit, terdiri Gb..5. angkaian dan karakteristik dari transistr, OP MP ideal. resistr, dida, kapasitr, yang semuanya terangkai dalam satu chip. Walaupun rangkaiannya rumit, OP MP dapat dimdelkan dengan suatu karakteristik i- yang agak sederhana. angkaian dan karakteristik OP MP ideal yang kita gunakan untuk melakukan analisis adalah seperti terlihat pada Gb angkaian Penyangga angkaian penyangga serta relasi masukan-keluaran diperlihatkan lagi pada Gb..6. i P P s s (.5) i Gb..6 angkaian Penyangga. 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

214 ..3. angkaian Penguat n-inersi angkaian penguat nn-inersi serta relasi masukan-keluaran diperlihatkan lagi pada Gb..7. i P P s i (.6) s umpan balik Gb..7. angkaian penguat nn-inersi..4. angkaian Penguat Inersi Diagram rangkaian penguat inersi terlihat pada Gb..8. Sinyal masukan dan umpan balik, keduanya dihubungkan ke terminal masukan inersi. Terminal nninersi dihubungkan ke titik pentanahan, sehingga P. Persamaan tegangan simpul untuk simpul adalah s i i P i umpan balik Gb..8. Penguat inersi Oleh karena P dan i i P, maka s sehingga s (.7) Kita lihat bahwa gain lp tertutup adalah K ( / ). Tanda negatif menunjukkan terjadinya pembalikan plaritas sinyal. Oleh karena itu rangkaian ini disebut penguat inersi. 7

215 CO TOH-.: Di samping ini adalah salah satu ariasi rangkaian penguat inersi. Tentukanlah hubungan keluaranmasukan dan resistansi masukan. Penyelesaian : s Persamaan tegangan simpul untuk simpul (terminal inersi) : 3 Untuk OP MP ideal i i P, dan P maka s 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () s Karena P maka i in s /. esistansi masukan adalah in s in iin s / Pengaruh adanya 3 akan terlihat jika kita menggunakan rangkaian Gb.5.. CO TOH-.3: Pada ariasi rangkaian penguat inersi di samping ini, tentukanlah hubungan keluaranmasukan dan resistansi masukan. Penyelesaian : s i in 4 Kita pandang rangkaian ini terdiri dari seksi sumber, yaitu rangkaian sebelah kiri dari simpul B, dan seksi beban yaitu rangkaian di sebelah kanan simpul B (rangkaian penguat inersi). Jika seksi sumber kita ganti dengan rangkaian ekialen Théenin-nya, maka rangkaian menjadi seperti di bawah ini. 5 B

216 V T Dengan cara seperti pada cnth sebelumnya, kita akan memperleh Maka : V 5 T 5 s VT s ( ) esistansi masukan adalah in s / i in. Karena P, maka i in s / ( 4 5 ), sehingga 4( 5 ) s 5 in 4 5 iin angkaian Penjumlah Diagram rangkaian penjumlah atau adder terlihat pada Gb..9. angkaian ini mempunyai dua masukan dan keduanya dihubungkan ke terminal masukan yang sama, yang disebut titik penjumlah. Terminal masukan nninersi ditanahkan, sehingga P dan i (mdel ideal). Persamaan tegangan simpul untuk simpul adalah i P i F Gb..9. angkaian penjumlah. 9

217 i F F F Dari persamaan ini dapat diperleh hubungan antara keluaran dan masukan yaitu F F F K K (.8) Jadi, tegangan keluaran merupakan jumlah dari tegangan masukan yang masing-masing dikalikan dengan gain yang berkaitan. Jumlah masukan sudah barang tentu tidak terbatas hanya dua. Jika terdapat N masukan dengan tegangan masukan masing-masing n dan resistansi n maka n K n n dengan K n CO TOH-.4: Carilah tegangan keluaran dari rangkaian di samping ini. Penyelesaian : ( ) Tegangan keluaran merupakan inersi dari jumlah tegangan masukan. F n (.9) CO TOH-.5: Carilah tegangan keluaran dari rangkaian di samping ini. Penyelesaian : Persamaan tegangan untuk simpul adalah Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

218 P ip P Karena /, maka : Tegangan keluaran merupakan jumlah tegangan masukan. Pemahaman : Masing-masing sumber pada rangkaian ini mengeluarkan arus : P P i ; i Sumber-sumber terbebani secara tidak merata (tidak sama). Pembebanan sumber tidak terjadi apabila. Hal ini berbeda dengan rangkaian pada cnth 7.7. Pada cnth 7.3. masing-masing sumber mengeluarkan arus i ; i Jadi pada rangkaian penjumlah inersi, sumber akan tetap terbebani walaupun. CO TOH.6: Carilah tegangan keluaran dari rangkaian pemjumlah di samping ini. Penyelesaian : angkaian penjumlah ini mempunyai keluaran ( 5 ) 3 65kΩ Pemahaman : pabila kita diminta untuk merancang penjumlah dengan frmulasi seperti di atas, kita tidak akan memperleh nilai 3kΩ 5kΩ

219 resistr seperti apa yang tertera dalam diagran di atas. Dalam kenyataan nilai-nilai resistansi pada rangkaian ini tidak ada di pasaran. Oleh karena itu kita harus melakukan mdifikasi dengan memilih nilai resistr yang ada di pasaran yang mendekati nilai-nilai ini. Misalkan resistr 65 kω kita ganti dengan 56 kω. Penggantian ini mengharuskan dua resistr yang lain bernilai masing-masing. kω dan 4.3 kω. Dengan tleransi ± 5 % kita dapat memilih resistr kω dan 4.3 kω. Pemilihan nilai-nilai resistr yang ada di pasaran ini akan memberikan frmulasi tegangan keluaran ( 5,9 3, ) Dalam perancangan, kita harus melakukan kmprmi seperti ini. Tegangan keluaran yang kita perleh akan mempunyai kesalahan jika dibandingkan terhadap frmulasi ideal yang semula diinginkan. Namun dengan pemilihan kmpnen yang tepat, kesalahan ini dapat dibatasi tidak lebih dari sesuatu nilai yang ditetapkan; dalam cnth ini kesalahan tersebut tidak lebih dari %...6. angkaian Pengurang atau Penguat Diferensial Diagram rangkaian pengurang atau penguat diferensial ini terlihat pada Gb... Salah satu tegangan masukan dihubungkan ke terminal masukan inersi dengan rangkaian inersi, sedangkan tegangan masukan yang lain dihubungkan ke terminal masukan nn-inersi Gb... Penguat diferensial. dengan rangkaian nn inersi. Hubungan masukan keluaran dapat dicari dengan menggunakan prinsip superpsisi. Jika dimatikan maka terminal nn inersi terhubung melalui resistr ke titik pentanahan, jadi P karena i P. Dalam keadaan ini rangkaian bekerja sebagai penguat inersi; maka i 3 4 i P i P i Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

220 (.) Jika dimatikan maka terminal inersi mendapat tegangan yang besarnya adalah Tegangan di terminal nn-inersi (.) P 4 3 (.) 4 Karena P maka dari (.) dan (.) kita perleh 4 4 atau (.3) Keluaran ttal adalah K K (.4) Dalam keadaan khusus, jika kita buat 3 4 maka. CO TOH.7: Carilah pada rangkaian di bawah ini. / B Penyelesaian : Persamaan tegangan untuk simpul dan B memberikan 3

221 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () i 3 i P P P Karena P maka Pemahaman : Dalam rangkaian di atas, arus yang keluar dari masing-masing sumber adalah i i P 3 / 3 3 / 3 Terlihat di sini bahwa masing-masing sumber mendapat beban yang berbeda. Kejadian seperti ini harus diperhatikan agar jangan terjadi pembebanan berlebihan pada salah satu sumber. Pembeban-an pada sumber akan tetap terjadi walaupun. Pembebanan pada sumber dapat ditiadakan dengan menghubungkan sumber langsung ke terminal masukan OP MP sehingga sumber akan melihat resistansi masukan yang tak-hingga besarnya. angkaian yang kita bangun akan memerlukan lebih dari satu OP MP yang terangkai secara bertingkat, suatu bentuk hubungan yang akan kita bahas berikut ini...7. Hubungan Bertingkat angkaian OP MP Hubungan bertingkat adalah hubungan dari dua atau lebih unit rangkaian dimana keluaran dari satu unit rangkaian menjadi masukan bagi unit rangkaian berikutnya. Suatu cnth hubungan bertingkat diberikan pada Gb...

222 3 K K K 3 3 Gb... Hubungan bertingkat. Keunggulan rangkaian OP MP adalah bahwa mereka dapat dihubungkan secara bertingkat tanpa menyebabkan perubahan hubungan masukan-keluaran dari masing-masing rangkaian. Jika masing-masing rangkaian (masing-masing tingkat) dalam cnth ini mempunyai gain K, K, dan K 3, maka gain keseluruhannya menjadi K K K 3. angkaian OP MP mempunyai resistansi keluaran nl. Oleh karena itu pada hubungan bertingkat tidak terjadi pengaruh pembebanan pada rangkaian OP MP dan dengan demikian tidak mengubah hubungan masukan-keluaran. Walaupun demikian, daya yang diperlukan leh suatu tingkat harus masih dalam batas kemampuan daya tingkat di depannya. Oleh karena itu kita perlu mengetahui resistansi masukan rangkaian OP MP agar kita dapat melakukan ealuasi apakah keperluan daya suatu tingkat tidak melampaui kemampuan daya tingkat di depannya. Secara umum resistansi masukan dapat dinyatakan sebagai in in / i in. Pada penguat nn-inersi, i in i P, sehingga penguat nninersi mempunyai resistansi masukan in. _ Penguat Nn-Inersi Penguat Inersi Pada penguat inersi, i in ( in - ) / ; karena P maka i in in /, sehingga untuk penguat inersi in. Dalam hubungan bertingkat, resistansi masukan penguat inersi yang 5

223 nilainya berhingga ini akan membebani rangkaian tingkat di depannya. Dalam perancangan, kita cenderung untuk membuat besar untuk memperkecil pembebanan ini. Tetapi gain lp tertutup dari penguat ini berbanding terbalik dengan, yaitu K ( / ); jadi jika diperbesar gain akan mengecil. Menghadapi hal demikian ini kita harus melakukan kmprmi dalam memilih nilai. CO TOH-.8: Tentukan tegangan keluaran dari hubungan bertingkat di samping ini. Pemahaman : i Penyelesaian : Tingkat pertama rangkaian ini berupa penguat nn-inersi dengan keluaran. Keluaran ini menjadi masukan di tingkat ke dua yang berupa sebuah penguat diferensial dengan keluaran yang dapat diturunkan sebagai berikut. Keluaran dari rangkaian ini sama dengan rangkaian pada cnth-.7. Jelaslah bahwa suatu frmulasi keluaran dapat dipenuhi leh lebih dari satu macam rangkaian. angkaian mana yang dipilih dalam suatu perancangan tergantung dari berbagai pertimbangan, baik teknis maupun eknmi. Jika kita bandingkan rangkaian pada cnth-.7 dan.8 akan terlihat bahwa sumber-sumber pada cnth-.7 terbebani sedangkan pada cnth-.8 sumber-sumber tidak terbebani karena mereka terhubung pada penguat nn-inersi yang resistansi masukannya tak-hingga. Jika daya sumber sangat terbatas, rangkaian pada cnth-.8 akan menjadi pilihan walaupun untuk itu diperlukan biaya lebih besar karena perlu dua OP MP. 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

224 .3. Diagram Blk Dalam rangkaian-rangkaian OP MP yang kita bahas di atas (penguat inersi, nn-inersi, penjumlah, pengurang), terdapat hubungan linier antara keluaran dan masukan. Oleh karena itu kita dapat melihat setiap rangkaian sebagai suatu unit pemrses sinyal yang mengandung suatu knstanta tertentu yang menetapkan hubungan antara masukan dan keluarannya. Unit itu dapat digambarkan dengan suatu blk saja dengan menyebutkan knstanta prprsinalitasnya. Cara penggambaran seperti ini kita sebut diagram blk. Gb.. memperlihatkan rangkaian, diagram blk, dan knstanta prprsinalitas dari penguat nn-inersi dan penguat inersi. _ Penguat Nn-Inersi K K K _ K Penguat Inersi Gb... angkaian dan diagram blk penguat nn-inersi dan penguat inersi Gb..3. memperlihatkan rangkaian, diagram blk, dan knstanta prprsinalitas penjumlah dan pengurang. Suatu diagram blk memperlihatkan urutan pemrsesan sinyal secara fungsinal tanpa melihat detil rangkaian listriknya. 7

225 F Penjumlah K K K F F K 3 4 Pengurang K K K K Gb..3. angkaian dan diagram blk penjumlah dan pengurang. CO TOH-.9: Gambarkan diagram blk rangkaian di bawah ini dan tentukan tegangan keluaran. kω kω 5kΩ kω kω kω 5kΩ Penyelesaian : Tingkat pertama adalah penguat inersi dengan K,5. Tingkat ke-dua adalah penjumlah inersi dengan K untuk masukan dan. Tingkat ke-tiga adalah penguat inersi dengan K 3,5. Diagram blk rangkaian ini dan keluarannya adalah sebagai berikut:,5,5,5,5,5,5,5 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

226 .4. angkaian OP MP Dinamik.4.. angkaian Integratr Integratr adalah salah satu rangkaian OP MP dinamik. angkaian integratr mirip dengan rangkaian penguat inersi tetapi resistr pada saluran umpan balik diganti de-ngan kapasitr, seperti terlihat pada Gb..4. Bagaimana rangkaian ini berfungsi dapat kita analisis sebagai berikut. Persamaan tegangan simpul untuk simpul adalah: C d dt ( ) s Untuk OP MP ideal P, sehingga persamaan di atas menjadi s C d dt ( t) C ( ) atau d( ) () t dt Dari persamaan ini kita perleh t ( ) s dt (.5.a) C Karena, maka C ; jika tegangan awal kapasitr adalah nl, maka () C (), dan persamaan (.5.a) menjadi t s dt (.5.b) C Jadi tegangan keluaran merupakan integral dari tegangan masukan s. angkaian ini merupakan rangkaian integratr inersi karena knstanta prprsinalitasnya negatif. Diagram blk dari integratr adalah sebagai berikut: K K /C s 9

227 .4.. angkaian Diferensiatr angkaian diferensiatr diperleh dengan menukar psisi resistr dan kapasitr pada rangkaian integratr, seperti terlihat pada Gb..5. Persamaan tegangan simpul untuk simpul dalam rangkaian ini adalah: C d dt ( ) s Karena P, maka d C dt ( t) s () s ( s ) atau d( s ) Di sini s merupakan tegangan kapasitr, dan jika tegangan awal kapasitr adalah nl maka t d dt C s s atau (.6) C dt Jadi tegangan keluaran merupakan diferensiasi dari tegangan masukan. angkaian ini disebut diferensiatr inersi karena knstanta prprsinalitasnya negatif. C Diagram blk dari diferensiatr adalah sebagai berikut: s d K dt K C C i C i P t dt i Gb..5. Diferensiatr CO TOH-.: Tentukan tegangan keluaran pada rangkaian di samping ini. Penyelesaian : s angkaian ini terdiri dari diferensiatr inersi dan penjumlah inersi. Diagram blk dari rangkaian ini adalah : C 3 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

228 s C d dt Tegangan keluaran adalah CO TOH-.: Tentukan tegangan keluaran pada rangkaian di samping ini. ds C 4 dt 4C ds 4 dt s 4 Penyelesaian : angkaian ini terdiri dari penguat diferensial dan integratr. Diagram blk dari rangkaian ini adalah : 4 5 s C C Tegangan keluaran adalah t ( ) 4 t dt () 5C 3 4 Pemahaman : Jika kita buat semua resistr bernilai sama,, maka keluaran dari rangkaian di atas adalah t) C t { } dt () (

229 CO TOH-.: Tunjukkanlah bahwa keluaran rangkaian OP MP dengan induktr di bawah ini masing-masing merupakan integrasi dan diferensiasi tegangan masukannya. Penyelesaian : angkaian a) : di ( ) L t il t P L s L sdt L dil dt i () i L () adalah arus awal induktr. Jika arus awal ini nl maka t i ( t) L sdt L dil il( t) Untuk terminal masukan inersi berlaku i L L t L dt t sdt sehingga L t sdt L angkaian b) : Jika arus awal induktr adalah nl maka il ( t) L t Untuk terminal masukan inersi berlaku i L s Dari sini diperleh t L dt s dt t dt s L sehingga s L d s dt Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

230 Sal-Sal. Carilah tegangan rangkaian di samping ini, jika s 38cs34t V, dida ideal. s µf µf k. Pada sebuah resistr kω diperlukan tegangan searah agar mengalir arus m. Tegangan searah diberikan dari penyearah setengah gelmbang yang masukannya adalah tegangan blakbalik V, 5 Hz. Tentukan kapasitr filter yang harus diparalelkan dengan resistr agar riak gelmbang tegangan tidak lebih dari %. 3. Carilah hubungan antara tegangan keluaran dan tegangan masukan s pada rangkaian-rangkaian berikut ini dan gambarkan diagram blknya. 3

231 4. Carilah hubungan antara dan i s rangkaian-rangkaian berikut. 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

232 4. Gambarkan diagram blk dari rangkaian berikut ini dan dengan diagram blk tersebut tentukan tegangan keluaran. 6. Carilah arus i pada rangkaian berikut ini jika s 4sin3t V. kω 6kΩ s 4kΩ 8kΩ kω i 7. Tentukan tegangan keluaran pada rangkaian berikut dinyatakan dalam s dan gambarkan diagram blknya. kω kω kω a). s,5µf kω 5

233 s µf kω kω kω b). c). s µf kω kω 8. Tentukan tegangan keluaran pada rangkaian berikut dinyatakan dalam s dan s. s s 4kΩ 8kΩ,5µF 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

234 BB Fasr, Impedansi, dan Kaidah angkaian Dalam teknik energi listrik, tenaga listrik dibangkitkan, ditransmisikan, serta dimanfaatkan dalam bentuk sinyal sinus dengan frekuensi 5 atau 6 Hz. Dalam teknik telekmunikasi, sinyal sinus dimanfaatkan dalam selang frekuensi yang lebih lebar, mulai dari beberapa Hz sampai jutaan Hz. Sejalan dengan itu, kita memerlukan suatu cara analisis khusus untuk menanganni persalan rangkaian listrik yang melibatkan sinyal sinus dalam keadaan mantap, yang kita sebut analisis arus blak-balik keadaan mantap. nalisis rangkaian dengan sinyal sinus telah pernah kita lakukan dengan menyatakan sinyal sinus sebagai fungsi waktu atau dengan kata lain kita melakukan analisis di kawasan waktu. Mulai bab ini kita akan melakukan analisis di kawasan fasr. Dalam analisis ini, sinyal sinus kita nyatakan dalam bentuk fasr. Dengan sinyal sinus dinyatakan dalam fasr, pernyataan-pernyataan elemen rangkaian pun menjadi khusus pula. Kita katakan bahwa rangkaian yang biasa kita nyatakan dalam waktu, kita transfrmasikan menjadi rangkaian dalam fasr. Setelah ditransfrmasikan, kita melakukan analisis di mana semua besaran dan karakteristik elemen dinyatakan dalam fasr. Dengan bekerja dalam fasr, kita terhindar dari persamaan rangkaian yang dikawasan waktu berbentuk persamaan integrdiferensial. Pernyataan sinyal sinus ke dalam bentuk fasr dilakukan melalui frrmulasi bilangan kmpleks. Untuk mengingat kembali mengenai bilangan kmpleks ini, ulasan singkat mengenai bilangan kmpleks diberikan pada Lampiran III. Bab ini akan kita awali dengan pembahasan pengertian fasr dan perasi fasr, impedansi, dan dilanjutkan dengan pembahasan tentang kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasr. Setelah mempelajari bab ini, kita akan mampu menyatakan sinyal sinus ke dalam bentuk fasr. memahami knsep impedansi di kawasan fasr. memahami bagaimana aplikasi hukum-hukum dan kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasr. 7

235 .. Fasr Dan Impedansi... Pernyataan Fasr dari Sinyal Sinus dan Operasi Fasr Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kmpleks yang berbentuk cs x j sin x (.) Dengan menggunakan hubungan ini maka sinyal sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi ekspnensial kmpleks, yaitu e jx jx jx cs x e e dan sin x Im e (.) dengan e dan Im masing-masing menunjukkan bahwa yang dimaksudkan adalah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan kmpleks e jx. Jika kita tetapkan bahwa hanya bagian riil dari bilangan kmpleks e jx saja yang kita ambil untuk menyatakan sinyal sinus maka sinyal y cs(ωtθ) dapat kita tulis sebagai j( ω tθ) y cs( ωt θ) e e jθ jωt e e e jθ jωt e e (.3) tanpa harus menuliskan keterangan e lagi. Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh sistem, maka faktr e jωt pada pernyataan fungsi sinus (.3) tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus cukup dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadi jθ sinyal sinus cs( ωt θ) dinyatakandengan V e (.4) Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kmpleks ini kita sebut fasr (dalam buku ini ditulis dengan huruf besar dan tebal). Jadi dengan ntasi fasr, kita hanya memperhatikan amplitud dan sudut fasanya saja dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan amplitud dan sudut fasa saja, maka fasr dapat kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Jadi penulisan fasr dalam bentuk yang kita sebut bentuk plar adalah θ V e j (.5) ditulis sebagai V θ Fasr V θ dapat kita gambarkan dalam bidang kmpleks, seperti terlihat pada Gb... Panjang fasr Im V Gb... Fasr. θ e 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

236 adalah nilai mutlak dari amplitud. Penulisan fasr dalam bentuk plar, dapat diubah ke bentuk sudutsiku, yaitu : ( cs θ sin θ) V θ j (.6) Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah ke bentuk plar b V a jb a b tan a (.7) Transfrmasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudutsiku dan bentuk plar, memudahkan kita dalam melakukan perasiperasi fasr yang akan kita lihat berikut ini.... Operasi Fasr Perkalian Fasr. Perkalian fasr mudah dilakukan bila fasr dituliskan dalam bentuk plar. maka Jika θ C B B ( θ dan dan θ B B θ Hal ini mudah difahami, karena jika e jθ C e jθ B Be Be jθ jθ ) kita maka menuliskan j( θ θ Be ) B ( θ θ ) (.8) Pembagian Fasr. Pembagian fasr mudah dilakukan bila fasr dituliskan dalam bentuk plar. Jika θ θ D B B θ dan B B θ ( θ θ ) B maka (.9) 9

237 Hal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskan jθ e maka dan jθ e D jθ Be jθ B Be jθ jθ e e B j( θ θ ) e ( θ θ ) B B Penjumlahan dan Pengurangan Fasr. Operasi penjumlahan ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan fasr dalam bentuk sudut-siku. Jika maka a jb C B D B Jika θ C B D B ( a a ) j( b b ) ( a a ) ( b b ) B a jb ( a jb ) ( a jb ) dan b b tan a a b b ( a ) ( ) a b b tan a a dan ( cs θ B cs θ ) j( sin θ B sin θ ) ( cs θ B cs θ ) j( sin θ B sin θ ) B B θ maka (.) (.) Fasr egatif dan Fasr Knjugat. Jika dituliskan dalam bentuk sudut-siku, nilai negatif fasr adalah negatif dari masing-masing kmpnen riil dan imajiner. Im Jika a jb maka a jb θ Fasr knjugat dari ditulis * e. Jika a jb maka * * a jb Dalam bentuk plar, Gb... Fasr dan negatifnya serta knjugatnya Jika maka θ ( θ 8 ) ( θ 8 ) dan * θ (.) 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

238 Fasr Dengan Sudut Fasa 9 dan. Bentuk sudut-siku dari fasr dengan sudut 9 dan adalah 9 j ; B B 9 jb C C C ; (.3) CO TOH-.: Ubahlah pernyataan sinyal sinus berikut ini ke dalam fasr dengan bentuk plar maupun bentuk sudut-siku dan lakukanlah perasi-perasi fasr yang diminta. a). ( t) cs(5t 45 ) c). i ( t) 4 cst b). ( t) 5 cs(5t 3 ) d). i ( t) 3cs(t 9 ) * * e). I3 I I f). S V I ; S V I V V g). Z ; Z I I Penyelesaian : a). Pernyataan fasr sinyal sinus ini dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah V 45 atau V cs( 45 ) j sin( 45 ) 7,7 j7,7 b). Pernyataan fasr dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah V 5 3 atau V 5 cs(3 ) j 5 sin(3 ),99 j7,5 c). Pernyataan fasr dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah I 4 atau I 4 cs( ) j4 sin( ) 4 d). Pernyataan fasr dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah I 3 9 atau I 3cs( 9 ) j3sin( 9 ) j3 3

239 e). Fasr hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama. Karena kedua arus dalam sal e) ini berfrekuensi sama maka fasrnya dapat kita jumlahkan I 3 I I 4 j3. Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk plar menjadi I 3 3 ( 4) ( 3) tan 5 6, 9 4 f). * S VI ( 45 ) ( 4 ) 4 45 * S V I ( 5 3 ) (3 9 ) 45 V 45 g). Z.5 45 ; I 4 V 5 3 Z 5 6 I 3 9 CO TOH-.: Ubahlah pernyataan fasr dari sinyal sinus berikut ini ke pernyataan sinus di kawasan waktu. a). V 5 45 V, pada frekuensi siklus 5 Hz b). V 3 j4 V, pada frekuensi sudut ω rad/detik. c). I 5 j5 8 m, pada ω rad/detik. Penyelesaian : a). Sinyal ini mempunyai amplitud 5 V, dan sudut fasa 45. Frekuensi siklusnya 5 Hz yang berarti frekuensi sudutnya ω π 5 34 rad/detik. Jadi di kawasan waktu sinyal ini adalah ( t) 5 cs(34 t 45 ) V b). mplitud sinyal ini adalah V m V dan 4 sudut fasanya θ tan 53,. Karena ω 3 rad/detik, maka pernyataan sinyal ini di kawasan waktu adalah ( t) 5 cs( t 53, ) 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

240 c). Sinyal ini dinyatakan dalam fasr dan merupakan jumlah dari dua sinyal, satu dalam bentuk sudut siku dan yang lain dalam bentuk plar. Jika dinyatakan dalam bentuk sudut siku, sinyal ini menjadi I 5 j5 cs8 j sin8 5 j5 j 5 j5 m mplitud dan sudut fasanya adalah I m ,7 m ; φ tan 45 5 Karena diketahui ω rad/detik, maka i ( t) 7,7 cs( t 45 ).. esistansi, eaktansi, Impedansi Dengan fungsi sinus dinyatakan dalam fasr, maka kita akan mendapatkan hubungan-hubungan tegangan dan arus pada elemenelemen pasif sebagai berikut. esistr. Jika arus pada resistr adalah maka tegangannya adalah j( ω tθ) i ( t) I m cs( ωt θ) I me Jika dinyatakan dalam fasr maka j( ω tθ) ( t) i ( t) I me V I (.4) Hubungan arus dan tegangan resistr tetap seperti yang tel;ah kita kenal selama ini, dengan faktr prprsinalitas yang kita sebut resistansi. Induktr. Untuk induktr, jika arus induktr adalah j( ω tθ) i L ( t) I Lm cs( ωt θ) I Lme maka tegangan induktr adalah 33

241 dil ( t) d L ( t) L L dt Dalam bentuk fasr, j( ω tθ) ( I Lme ) j( ωtθ) jωl( I e ) dt VL jωli L jx LI L Z LI L dengan : X L ωl dan Z L jωl m (.5) Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasr, hubungan tegangan dan arus induktr tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan berbentuk linier dengan faktr prprsinalitas sebesar Z L jx L ; X L kita sebut reaktansi induktif, Z L kita sebut impedansi induktr Kapasitr. Untuk kapasitr, jika tegangan kapasitr adalah maka arus kapasitr adalah dc d i C ( t) C C dt j( ω tθ) C ( t) VCm cs( ωt θ) VCme j( ω tθ) ( V e ) Cm dt yang dalam bentuk fasr dapat kita tuliskan sebagai IC jωc VC atau VC IC jωc ω dengan: X C ωc j C j( ωtθ) jωc( VCme ) IC jx C IC Z C IC j dan Z C ωc (.6) Seperti yang kita perleh pada induktr, hubungan tegangan dan arus kapasitr tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan berupa hubungan linier dengan faktr prprsinalitas sebesar Z C jx C ; X C kita sebut reaktansi kapasitif, Z C kita sebut impedansi kapasitr..3. Kaidah-Kaidah angkaian Impedansi.3.. Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi Tegangan Tegangan ttal pada dan L yang terhubung seri dengan i(t)i m e j(ωtθ) adalah 34 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

242 L ( t) ( t) L ( t) I j( ω tθ) ( jωl) I e m m e j( ωtθ) jωli m e j( ωtθ) Dalam bentuk fasr, V L seri ( jωl)i (.7) Perbandingan antara tegangan dan arus pada resistr dan induktr yang terhubung seri disebut impedansi dari hubungan seri ini, yaitu Z L seri jωl (.8) Dengan cara yang sama kita dapat memperleh impedansi hubungan seri C dan LC sebagai V Z V Z C seri C seri LC seri LC seri I ; jωc j jωc ωc jωl I ; jωc jωl j ωl jωc ωc (.9) (.) Hubungan seri tidak terbatas hanya dua elemen tetapi bisa lebih, sehingga terbentuklah hubungan seri beberapa impedansi. Secara umum impedansi ttal dari beberapa impedansi yang terhubung seri adalah Vttal seri Z ttal serii Z ttal seri Z Z Z 3 Z n (.) Dalam hubungan seri dari beberapa impedansi, tegangan pada impedansi ke k adalah V k IZ k ; sedangkan IZ ttal seri V ttal seri. Dengan demikian maka berlaku kaidah pembagi tegangan Z k V k Vttal Z (.) ttal seri 35

243 .3.. Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi rus Dua atau lebih impedansi yang terhubung paralel akan bertegangan sama. Jika tegangan ini adalah V maka arus pada impedansi ke k adalah I k V Yk V Z (.3) k dengan Y k /Z k disebut admitansi. rus ttal dalam hubungan paralel adalah dengan I ttal n Ik Y k V Y n k k ttal V (.4) Y ttal n Y k k Z Z Z Dari (.3) dan (.4) diturunkan kaidah pembagi arus.3.3. Impedansi Secara Umum n (.5) Yk I k Yk V Ittal Y (.6) ttal Secara umum impedansi dapat kita tuliskan Z ( ω) jx ( ω) (.7) Bagian riil adalah resistansi dan bagian imajiner adalah reaktansi. Kedua bagian ini mungkin merupakan fungsi dari frekuensi ω. eaktansi yang bernilai psitif merupakan reaktansi induktif, sedang yang bernilai negatif merupakan reaktansi kapasitif. Sebagai cnth, impedansi dari induktr yang terhubung seri dengan kapasitr yang terparalel dengan resistr adalah Z L // C (/ jωc) jωl (/ jωc) j ωl ω C ( ) ( ) ωc ωc 36 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

244 Perhatikan bahwa bagian riil maupun bagian imajiner merupakan fungsi dari frekuensi ω. Jadi baik resistansi maupun reaktansi dari impedansi secara umum merupakan fungsi frekuensi. Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kmpleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasr. Impedansi dan fasr merupakan dua pengertian dari dua knsep yang berbeda. Fasr adalah pernyataan dari sinyal sinus Impedansi adalah pernyataan elemen. Walaupun impedansi bukan fasr, namun karena keduanya berupa pernyataan kmpleks, maka perasi-perasi fasr dapat diterapkan pada keduanya. Sebagai cnth kita ambil hubungan seri L : Z L seri jωl ωl ( ωl) tan Z λ Jika fasr tegangan V s V θ diterapkan pada hubungan seri L ini, maka arus yang mengalir adalah V V θ V I s L ( θ λ) Z L seri Z λ Z (.8) Secara singkat, impedansi elemen dan hubungan arus-tegangan elemen adalah sebagai berikut. Z ; V I ; Z L jωl VL jωli L ; ; Z C VC j jωc ωc IC jωc ω j C IC (.9) Secara singkat dapat kita katakan bahwa : dengan menyatakan sinyal sinus ke dalam bentuk fasr, maka perbandingan antara tegangan elemen dan arus elemen merupakan suatu besaran kmpleks yang kita sebut impedansi di kawasan fasr. Dengan menyatakan elemen dalam impedansinya maka hubungan antara tegangan dan arus elemen menjadi mirip dengan relasi hukum Ohm di kawasan waktu. Kaidah-kaidah rangkaian di kawasan waktu berlaku juga di kawasan fasr. 37

245 CO TOH-.3: rus yang melalui induktr,5 H adalah i L (t),4cs(t). Tentukanlah: a) impedansi induktr; b) Fasr tegangan pada induktr; c) bentuk gelmbang tegangan pada induktr. Penyelesaian : a). Impedansi induktr adalah Z L jωl. Dalam cnth ini ω, jadi Z L j,5 j5 Ω b). Fasr tegangan induktr adalah fasr arus kali impedansinya. Karena arus dinyatakan di kawasan waktu, kita ubah dulu pernyataan arus ini ke kawasan fasr menjadi I L,4. Tegangan induktr adalah V L Z LI L ( j5),4 5 9,4 9 V c). Bentuk gelmbang tegangan pada induktr yang dimaksudkan di sini adalah pernyataan di kawasan waktu dari tegangan induktr. Dari hasil b) dengan mudah kita nyatakan Pemahaman: Fasr tegangan dan fasr arus pada induktr berbeda fasa sebesar 9. Tegangan mendahului arus dengan sudut 9. L ( t) cs( t 9 ) V Im V L I L tegangan mendahului arus 9 e CO TOH-.4: rus yang melalui kapasitr sebesar 5 pf adalah i C (t),5cs( 6 t) m. Tentukanlah: a) impedansi kapasitr; b) fasr tegangan pada kapasitr; c) bentuk gelmbang tegangan pada kapasitr. Penyelesaian : 38 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

246 a). Z b). V c). C C C jωc Z C I C 6 (5 ( 9 ) (,5 9 V ( t) cs( t 9 ) V. 6 j 3 Pemahaman: Fasr tegangan dan fasr arus pada induktr berbeda fasa sebesar 9. Tegangan mendahului arus dengan sudut 9. j kω ) Im V C 3 I C ) e arus mendahului tegangan 9 CO TOH-.5: Suatu beban diberi tegangan (t) cs(34t ) V. rus yang mengalir adalah i(t) 5cs(34t4 ). Carilah impedansi beban tersebut. Penyelesaian : Tegangan dan arus dalam fasr adalah V V dan I 5 4 Impedansi beban adalah: Z B V 4 3 Ω I cs( 3) j4 sin( 3),8 j Ω Pemahaman : Kita mengetahui bahwa impedansi induktr adalah Z L jωl dan impedansi kapasitr adalah Z C j/ωc. Dari sini kita lihat bahwa sesuatu impedansi yang kmpnen imajinernya psitif akan bersifat induktif sedangkan jika kmpnen imajinernya negatif akan bersifat kapasitif. 39

247 Dalam cnth-.5. ini impedansi beban mempunyai kmpnen imajiner negatif. Jadi beban bersifat kapasitif. Pada beban kapasitif ini sudut fasa arus lebih besar dari sudut fasa tegangan. Kita katakan bahwa arus mendahului Im arus tegangan atau arus mendahului I leading terhadap tegangan V tegangannya. Gambar fasr arus dan tegangan e pada beban adalah seperti di samping ini. CO TOH-.6: Suatu beban diberi tegangan (t) cs(34t ) V rus yang mengalir adalah i(t) 5cs(34t4 ). Carilah impedansi beban tersebut. Penyelesaian : V Z B 4 6 Ω I cs(6 ) j4 sin(6 ) j,8 Ω Pemahaman : Dalam cnth ini Im kmpnen imajiner V impedansi beban bernilai psitif. Beban bersifat induktif. Pada beban yang e arus bersifat induktif sudut fasa I tertinggal dari arus lebih kecil dari sudut tegangan fasa tegangan. Fasr arus ketinggalan dari tegangan atau arus lagging terhadap tegangan. Fasr tegangan dan fasr arus dalam cnth ini digambarkan seperti di bawah ini. CO TOH-.7: Tegangan sumber pada rangkaian di samping ini adalah s (t)5cs5t V. s Ω µf 5mH a). Tentukan fasr arus pada rangkaian. 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

248 b). Tentukan fasr tegangan di tiap elemen. c). Gambarkan fasr tegangan sumber dan elemen. d). Nyatakan bentuk gelmbang arus dan tegangan elemen. Penyelesaian : Untuk bekerja di kawasan fasr, rangkaian ini kita transfrmasikan menjadi rangkaian impedansi dan sumbernya dinyatakan dalam fasr. Impedansi elemen dan tegangan sumber menjadi j Z Ω ; ZC jω ; ZL j5 5 j5ω Vs 5. angkaian di atas menjadi seperti berikut V s 5 V Ω jω j5ω a). Impedansi ttal rangkaian adalah Z tt j j5 j75 Ω 75 () (75) tan 5 36,87 Ω rus pada rangkaian adalah V s 5 I 36,87 Z tt 5 36,87 b). Dengan menggunakan kaidah pembagi tegangan, tegangan di tiap elemen dapat dengan mudah dihitung. Z V Z tt Z C VC Z tt Z L VL Z tt Vs 5 36,87 V 5 36,87 9 Vs 5 53,3 V 5 36, Vs 5 5 6,87 V 5 36,87 4

249 c). Gambar fasr tegangan sumber dan tegangantegangan elemen adalah seperti di bawah ini. Perhatikanlah bahwa fasr-fasr tegangan ini memenuhi HTK V V V V s C d). Bentuk gelmbang arus dan tegangan elemen adalah i( t) cs(5t 36,87 ) 4 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () L ( t) cs(5t 36,87 ) V C ( t) cs(5t 53,3 ) V L ( t) 5 cs(5t 6,87 ) V Pemahaman : Tegangan di setiap elemen dapat pula dicari dengan mengalikan arus dan impedansinya. V Z I 36,87 36,87 V VC ZC I 9 36,87 53,3 V VL Z LI ,87 5 6,87 V Sesuai dengan HTK, V s V C V V L Diagram fasrnya adalah seperti di samping ini. Perhatikanlah bahwa fasr V I sejajar fasr I Im I fasr V C jx C I tegak lurus pada fasr I dengan pergeseran sudut fasa 9. fasr V L jx L I tegak lurus pada fasr I dengan pergeseran sudut fasa 9. Im V L V C jx C I V C V V s V s V C V V L V L jx L I V I e e

250 CO TOH-.8: rus sumber pada rangkaian di bawah ini adalah i s (t)5cst m. a). Tentukan fasr tegangan kapasitr. b). Tentukan fasr arus di tiap cabang. c). Gambarkan fasr arus sumber dan arus cabang dan tegangan kapasitr. d). Gambarkan fasr tegangan kapasitr, tegangan resistr dan induktr. Penyelesaian : Dengan ω, maka impedansi elemen dan fasr arus sumber adalah Z 3 Ω ; j Z C j5 Ω ; 6 Z L j,4 j4 Ω ; I s 5. Transfrmasi rangkaian ke kawasan fasr adalah seperti di bawah ini: 5 m a). dmitansi dari kedua cabang yang diparalel masing-masing adalah 3 YC j S ; j5 Y L dmitansi ttal : i s I I j5 Ω 3 j4 5 tan 4 (4 / 3) j6 µf 3 Ω j4 Ω 4 3Ω Ytt YC YL j j6 S j4,65 8,4 S S,4 H 43

251 Tegangan pada kapasitr (yang sama dengan tegangan pada dan L seri) adalah I s V C Ytt b). rus di tiap cabang adalah ,5 8,4 4,65 8,4 V C 39,5 8,4 39,5 8,4 I 79 6,6 m Z j5 C 5 9 V V L VC I Z L Z L 79 7,5 m 39,5 8,4 3 j4 39,5 8,4 5 53, c). Gambar fasr arus sumber dan arus cabang adalah seperti di samping ini : Perhatikan bahwa: I s I I ; I 9 mendahului V C ; I tertinggal dari V C. d). Gambar fasr tegangan kapasitr, resistr dan induktr adalah seperti di bawah ini : Im Im I I I s e V C e I V C V I V L jx L I 44 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

252 Sal-Sal. Nyatakanlah sinyal-sinyal sinus berikut ini kedalam fasr dan gambarkanlah diagram fasrnya. a). cs ωt b). 75 cs( ωt 9 ) c). 3 5 cs( ωt 45 ) d). 4 e). 5 3 f) Nyatakanlah fasr-fasr berikut ini kedalam sinyal di kawasan waktu, jika frekuensi adalah 3 rad/s. a). V 6 3 c). V3 V V b). V 3 6 d). V4 V V 3. Tuliskanlah fasr-fasr pada sal ke dalam bentuk sudut siku V a jb. 4. Tuliskanlah fasr-fasr berikut ke dalam bentuk plar V θ. a). V 3 j6 b). V 4 j4 c). V3 V V d). V4 V V 5. Jika V 3 j4 dan I j, berapakah * V a). S VI ; b). Z I Tuliskan S maupun Z dalam bentuk plar maupun bentuk sudut siku. 6. Sebuah resistr 5 Ω dihubungkan seri dengan induktr mh. a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah rad/s. b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4 rad/s. c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah khz. 7. Sebuah resistr 5 Ω dihubungkan seri dengan kapasitr µf. (a) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah rad/s; (b) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4 rad/s; (c) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah khz. 45

253 8. Sebuah resistr 5 Ω dihubungkan paralel dengan kapasitr nf. a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah rad/s. b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4 rad/s. c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah khz. 9. Sebuah resistr 5 Ω dihubungkan paralel dengan induktr 5 mh. a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah rad/s. b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4 rad/s. c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah khz.. Pada hubungan seri antara resistr 5 Ω dengan induktr 5 mh diterapkan tegangan cst V. Berapakah arus yang mengalir? Gambarkan diagram fasrnya.. Pada hubungan paralel antara resistr kω dengan kapasitr, µf diterapkan tegangan 4cst V. Berapakah arus yang mengalir di masing-masing elemen? Gambarkan diagram fasrnya.. Pada hubungan seri antara resistr 4 Ω dengan induktr H, diterapkan tegangan 38cs3t V. Berapakah tegangan di masing-masing elemen? Gambarkan diagram fasrnya. 3. Pada rangkaian berikut, hitunglah impedansi yang terlihat dari terminal -B, jika frekuensi adalah rad/s. B 5Ω 4µF,H µf Ω 4. Pada rangkaian berikut, hitunglah impedansi yang terlihat dari terminal -B, jika frekuensi adalah rad/s. 5. Pada rangkaian berikut, hitunglah impedansi yang terlihat dari terminal -B, jika frekuensi adalah 5Hz. B B,3H,6H µf,kω µf µf H Ω 46 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

254 BB 3 Terema dan Metda nalisis di Kawasan Fasr Setelah mempelajari bab ini, kita akan memahami aplikasi terema rangkaian dan metda analisis rangkaian di kawasan fasr. mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasr. memahami bahwa pada rangkaian dengan induktr dan kapasitr terdapat suatu nilai frekuensi yang akan menyebabkan terjadinya resnansi. mampu mencari frekuensi resnansi, menentukan faktr kualitas, menentukan lebar pita resnansi. 3.. Terema angkaian di Kawasan Fasr 3... Prinsip Prprsinalitas Prinsip prprsinalitas menyatakan bahwa fasr keluaran sebanding dengan fasr masukan, yang secara matematis dapat dinyatakan dengan Y KX (3.) Y adalah fasr keluaran, X adalah fasr masukan, dan K adalah knstanta prprsinalitas. Dalam kawasan fasr, K pada umumnya merupakan bilangan kmpleks. Lihat misalnya penyelesaian b) dari cnth Prinsip Superpsisi Kita harus berhati-hati dalam menerapkan prinsip superpsisi di kawasan fasr. Fasr merupakan representasi sinyal sinus dengan frekuensi tertentu. Oleh karena itu prinsip superpsisi hanya berlaku jika seluruh sistem yang kita tinjau mempunyai frekuensi sama. Jika memang demikian halnya, maka tanggapan rangkaian yang mengandung beberapa masukan dapat kita cari dengan memandang masing-masing masukan secara terpisah. Tanggapan keseluruhan adalah jumlah dari tanggapan terhadap masing-masing masukan. Jika masukan-masukan mempunyai frekuensi yang berbeda, kita tidak dapat serta-merta menerapkan prinsip superpsisi. Kita ingat bahwa impedansi tergantung dari frekuensi; leh karena itu 47

255 walaupun nilai-nilai elemen sama, nilai impedansi akan berbeda jika frekuensi berbeda. Jadi jika kita ingin mencari tanggapan rangkaian terhadap masing-masing masukan, kita harus mencari nilai impedansi rangkaian untuk masing-masing masukan. Tanggapan rangkaian dalam bentuk fasr dari masing-masing masukan tidak dapat langsung dijumlahkan melainkan harus kita transfrmasikan dulu ke kawasan t, dan barulah hasil di kawasan t untuk masingmasing masukan ini dijumlahkan untuk memperleh tanggapan keseluruhan. Secara singkat dikatakan, prinsip superpsisi berlaku di kawasan waktu untuk setiap rangkaian linier, tetapi berlaku di kawasan fasr hanya apabila masukan-masukan mempunyai frekuensi sama. gar lebih jelas kita akan melihat tiga kasus berikut. Kasus-: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yang mempunyai frekuensi sama. angkaian ini kita pecah menjadi dua rangkaian, masing-masing mengandung satu sumber. Masing-masing rangkaian kita transfrmasikan menjadi rangkaian fasr dan kemudian kita melakukan analisis di kawasan fasr. Hasil yang kita perleh dari dua kali analisis tersebut tentulah merupakan besaran-besaran fasr. Kedua hasil itu dapat langsung kita jumlahkan untuk memperleh hasil ttal, tanpa mentranfrmasikan lebih dulu ke kawasan t. Mengapa? Karena seluruh sistem mempunyai frekuensi sama. Jadi apabila seluruh sistem berfrekuensi sama prinsip superpsisi dapat diterapkan dalam analisis fasr. Kasus-: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yang frekuensinya tidak sama. Kita memisahkan lebih dulu rangkaian tersebut menjadi dua rangkaian yang masing-masing mengandung hanya satu sumber. Setelah dipisahkan, masingmasing rangkaian ditransfrmasikan menjadi rangkaian fasr kemudian dilakukan analisis di kawasan fasr. Hal ini dapat dilakukan karena masing-masing rangkaian mempunyai frekuensi sendiri yang sama di seluruh rangkaian. Hasil analisis dari kedua rangkaian ini tentulah berbentuk fasr akan tetapi mereka tidak dapat langsung dijumlahkan karena frekuensinya berbeda. Oleh karena itu masing-masing hasil kita transfrmasikan kembali ke kawasan t, dan hasil transfrmasi inilah yang dapat kita jumlahkan untuk memperleh hasil ttal. Jadi prinsip superpsisi berlaku di kawasan fasr hanya apabila masukan-masukan mempunyai frekuensi sama. 48 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

256 Kasus-3: Sebuah rangkaian mengandung tiga sumber, dua diantaranya mempunyai frekuensi sama dan sumber yang ke-tiga frekuensinya berbeda. Jika rangkaian ini kita pecah menjadi tiga rangkaian yang masing-masing mengandung hanya satu sumber untuk dianalisis di kawasasn fasr, maka hasil fasr untuk dua sumber yang frekuensinya sama dapat kita jumlahkan langsung dalam bentuk fasr. kan tetapi kita tidak dapat menjumlahkannya dengan hasil analisis rangkaian ke-tiga yang frekuensinya berbeda. Oleh karena itu hasil yang diperleh harus ditransfrmasi ke kawasan t lebih dulu sebelum penjumlahan dilakukan angkaian Ekialen Théenin dan rtn Knsep umum mengenai terema Théenin dan Nrtn di bidang fasr, sama dengan apa yang kita pelajari untuk rangkaian di kawasan waktu. Perbedaan yang perlu kita perhatikan adalah bahwa sinyal-sinyal dinyatakan dalam fasr dengan impedansi dan admitansi yang berupa bilangan kmpleks. Tegangan ekialen Théenin adalah tegangan hubungan terbuka pada terminal beban. rus ekialen Nrtn adalah arus hubung singkat pada terminal beban. Semua peubah ini dinyatakan dalam fasr. elasi peubah ini dengan impedansi ekialen Théenin, Z T, dan admitansi ekialen Nrtn, Y, adalah seperti berikut. V T ZT I ; I Y VT ; Y Z (3.) T Hubungan (3.) memberikan ketentuan untuk transfrmasi sumber di kawasan fasr. Seperti yang telah kita lihat pada rangkaian di kawasan waktu, transfrmasi sumber dapat menyederhanakan perhitungan-perhitungan dalam analisis rangkaian. CO TOH-3.: Dari rangkaian di samping ini, carilah rangkaian ekialen Théenin yang dilihat leh induktr L. Penyelesaian: 49

257 Jika induktr dilepaskan maka untuk simpul dan B berlaku V, 9 9 V j VB 45,995 5,7 45 j 9,9 39,3 V Tegangan Théenin : VT V VB 9 9, j ( 5,4 j,6) 5,6 j,6 V Impedansi Théenin Z Th, dihitung dengan melihat impedansi dari terminal B dengan semua sumber dimatikan. ( j) Z T 9,9 j,99 Ω j 3.. Metda-Metda nalisis Dasar Metda-metda analisis yang telah kita pelajari untuk rangkaian di kawasan waktu, dapat kita terapkan untuk rangkaian di kawasan fasr dengan mengingat bahwa peubah sinyal dinyatakan dalam fasr dan elemen-elemen dinyatakan dalam impedansi atau admitansinya yang pada umumya berupa bilangan kmpleks Metda Keluaran Satu Satuan Metda ini dapat kita aplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga, seperti cnth berikut. CO TOH-3.: Carilah i x pada rangkaian di samping ini. Penyelesaian: Untuk bekerja di kawasan fasr, rangkaian ini kita transfrmasikan sehingga berbentuk rangkaian impedansi seperti terlihat pada gambar berikut. Dari sinilah kita mulai bekerja. 5 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

258 Misalkan Ix. V V j3 V; 4 C C I j ; 3 I I I ( j) ; V 3 B x V C 4 ( j3) I 3 j3 j3( j) 3 V VB 4 I I I I3 j V VB j ( j9) 8 V 3 I x 4 K I x V,5 V ix,5 cs t 3... Metda Superpsisi Metda superpsisi sangat bermanfaat untuk menganalisis rangkaian yang mengandung lebih dari dua masukan, terutama jika kita ingin mengetahui bagaimana kntribusi dari masing-masing masukan terhadap tanggapan keseluruhan. Sebagaimana telah disebutkan di sub-bab sebelumnya, kita harus berhati-hati dalam menerapkan metda superpsisi di kawasan fasr. Prinsip superpsisi dapat diterapkan langsung di kawasan fasr hanya jika masukan-masukan mempunyai frekuensi sama. Jika tidak, kntribusi dari masingmasing masukan harus kita transfrmasikan ke kawasan waktu lebih dahulu, baru kemudian dapat kita jumlahkan. CO TOH-3.3: Carilah i pada rangkaian di samping ini. 5

259 Penyelesaian: angkaian ini mengandung dua sumber tegangan dan sumber arus yang mempunyai frekuensi berbeda. Oleh karena itu transfrmasi rangkaian ke kawasan fasr untuk masing-masing sumber juga berbeda, seperti terlihat pada gambar berikut. Dari masing-masing rangkaian fasr ini, kita mencari tanggapan rangkaian di kawasan fasr kemudian ditransfrmasikan ke kawasan t. Hasil di kawasan t inilah yang dapat dijumlahkan. Jika sumber arus dimatikan, kita mempunyai rangkaian di kawasan fasr seperti pada gambar sebelah kiri, dengan frekuensi ω 4. Untuk rangkaian ini, aplikasi HTK memberikan I 36,9 8 j j6 8 j6 36,9 Jika sumber tegangan dimatikan, kita mempunyai rangkaian seperti pada gambar sebelah kanan, dengan frekuensi ω. Kaidah pembagi arus memberikan : j(8 j6) /( j) j 8 j6 I j6 j 8 j6 j 8 j6 36, ,8 36,9 I dan I tidak dapat dijumlahkan karena fasr ini diperleh dari sumber dengan frekuensinya yang tidak sama. Oleh karena itu kita harus mengembalikannya ke kawasan waktu sebelum dijumlahkan. Dengan cara itu kita perleh i cs(4t 36,9 ) dan i 3cs(t 73,8 ) sehingga i i i cs(4t 36,9 ) 3cs(t 73,8 ) 5 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

260 3..3. Metda angkaian Ekialen Théenin Cnth berikut ini menunjukkan bagaimana metda rangkaian ekialen Théenin kita gunakan di kawasan fasr. CO TOH-3.4: Carilah i pada rangkaian berikut ini. Penyelesaian : angkaian ini setelah ditransfrmasi ke kawasan fasr menjadi seperti berikut. V T V ht 8 6 j4 Fasr tegangan terminal B yang terbuka memberikan tegangan Théenin. Sesuai kaidah pembagi tegangan, tegangan terminal B yang terbuka memberikan 9 j sedangkan impedansi Théenin adalah (yang terlihat dari terminal B yang terbuka) adalah Z T ( 6 j4) 6 j8 j8 7 j4 6 j4 8 j4 j angkaian ekialen I Théenin serta beban di Z T terminal B setelah jω V T disambungkan lagi adalah j4ω seperti di samping ini: B Dari rangkaian ini kita hitung: VT 9 ( j) I Z T j j4 ( j) (7 j4) j( j) i cst V Ω 53

261 3..4. Metda eduksi angkaian Cnth persalan berikut ini memperlihatkan penggunaan metda reduksi rangkaian. CO TOH-3.5: Carilah i x pada rangkaian berikut: i Penyelesaian :.cst angkaian ini mengandung sumber tegangan dan sumber arus yang berfrekuensi sama, yaitu ω. kan tetapi sumber tegangannya dinyatakan dalam sinus sedangkan sumber arusnya dalam csinus. Kita perlu mengubahnya dalam bentuk standar, yaitu bentuk csinus, dengan kesamaan Transfrmasi rangkaian ke kawasan fasr menjadi seperti pada gambar di samping ini. sinx cs(9x) cs(x9) Untuk menghitung I x kita dapat menggunakan metda superpsisi; akan tetapi di sini kita akan menggunakan transfrmasi sumber. Dalam rangkaian ini sumber tegangan tersambung seri dengan resistr 5 Ω yang diparalel dengan induktr j Ω. Sumber ini dapat kita ganti dengan sumber arus ekialen I, yang besarnya adalah I j 5 I. 5 j j5 B sint V ( ) ( ) j,, V j sehingga rangkaian akan menjadi seperti di samping 5Ω I ini.perhatikan bahwa I dengan transfrmasi. j5ω jω sumber ini kita menghilangkan simpul B. rus I y yang sekarang mengalir 54 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () µf H B V 9 V j5ω i x I x 5Ω 5Ω jω I y

262 melalui resistr 5Ω, bukanlah arus I x yang kita cari; sebab jika I y dikalikan 5Ω, kita mendapatkan tegangan simpul, dan bukan tegangan simpul B tempat I x keluar. Sumber I dan I terhubung paralel, sehingga dapat digantikan leh satu sumber arus I y saja yaitu I, seperti terlihat pada gambar 5Ω berikut, dengan I I I j5ω jω I I I, j V 5 I y j.5 (, j,), j, Untuk menghitung arus I y kita memanfaatkan kaidah pembagi arus. (, j,) 5, j, I y j,5 5 j j5 j 5 VB V V j 3,4 6,6 j,5 j,5 V I B x,7 6,6 5 V ix,7cs(t 6,6) 3.3. Metda-Metda nalisis Umum Metda Tegangan Simpul. plikasi metda ini, kita lihat pada cnth berikut ini. CO TOH-3.6: Gunakan metda tegangan simpul untuk I menyelesaikan, persalan pada cnth Penyelesaian : B V 9 V j5ω Untuk menyelesaikan persalan ini rangkaian fasr dari cnth-3.5 digambar lagi seperti berikut: I x jω V. 5Ω 55

263 Simpul referensi kita tentukan seperti terlihat pada gambar tersebut. Simpul, B, dan sumber tegangan menjadi simpulsuper karena dan B keduanya bukan simpul referensi. Persamaan tegangan simpul dapat kita perleh dengan cara yang sama seperti untuk rangkaian di kawasan waktu, akan tetapi di sini kita bekerja di kawasan fasr dengan impedansiimpedansi. V : I j5 B : VB VB j 5 V VB V 9 j Untuk persamaan yang sederhana ini tentu dapat kita selesaikan dengan metda substitusi biasa. Namun di sini kita akan menuliskannya dalam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai I dan V. j 5 j 5 V, V B 9 Untuk menyederhanakan bilangan, baris pertama dari matriks ini kita kalikan, dan menuliskan fasr dalam bentuk sudutsiku. j j V VB j j eliminasi Gauss: Dari sini kita perleh j V j VB 3 3 3( j) VB j6 3,4 6,6 j 5 V j VB j j6 j4,6 8,4 V V 56 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

264 Metda rus Mesh Penggunaan metda ini di kawasan fasr juga akan kita lihat melalui sebuah cnth. CO TOH-3.7: Tentukanlah arus di semua cabang rangkaian pada persalan cnth 3.6. dengan menggunakan metda arus mesh. Penyelesaian : angkaian adalah seperti berikut Persamaan fasr arus mesh dalam bentuk matriks adalah j j j j j j j I I I atau j j j j j j I I I Eliminasi Gauss memberikan j j j j j I I I Dari sini kita dapatkan 6,6,7 63, ;, 3 j j I I I, V 9 V j5ω jω 5Ω B I I I 3

265 j,5 ji 3 I j5 3,35 6, ,4 j3,5 j3,3 5 j 5 j,3 53, 3.4. angkaian esnansi esnansi Seri Impedansi dari rangkaian seri LC adalah: Z LC seri jωl j ωl (3.3) jωc ωc eaktansi dari impedansi ini mengandung bagian induktif (X L jωl) maupun kapasitif (X C /jωc), yang keduanya merupakan fungsi dari frekuensi. Bagian induktif berbanding lurus dengan frekuensi sementara bagian kapasitifnya berbanding terbalik. Pada suatu nilai frekuensi tertentu, nilai reaktansi ttal menjadi nl, yaitu pada saat L atau C ω ω ω ω (3.4) LC Pada saat itulah dikatakan bahwa rangkaian beresnansi, dan ω disebut frekuensi resnansi. Pada waktu terjadi resnansi, jelas bahwa impedansi rangkaian ini hanyalah ; reaktansi induktif sama dengan reaktansi kapasitif sehingga saling meniadakan. Dalam keadaan beresnansi, arus yang mengalir dalam rangkaian hanya ditentukan leh ; jika tegangan sumber adalah V s maka I V s /.. Diagran fasr tegangan dan arus terlihat seperti Gb Beberapa parameter digunakan untuk menyatapkan resnansi secara lebih detil. Salah satunya adalah faktr kualitas, Q, yang didefinisikan sebagai perbandingan antara reaktansi induktif pada saat resnansi dengan resistansinya. Karena pada saat resnansi X L X C, maka Im V L jω LIjQV s I V &V s e V C j(/ω C)IjQV s Gb.3.3. Diagram fasr pada saat resnansi. 58 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

266 59 C L C L Q / ω ω (3.5) Jelaslah bahwa, walaupun definisi Q menyebut pada saat resnansi, Q semata-mata tergantung dari parameter rangkaian. Faktr kualitas berbanding terbalik dengan rasi redaman Q /ζ. Parameter lain adalah lebar pita resnansi yang didefinisikan sebagai selang frekuensi dimana impedansi tidak berbeda jauh dari nilai impedansi pada saat resnansi. Selang ini biasanya diambil selang frekuensi yang memberikan nilai Z j dan Z j. Jika batas frekuensi rendah dan tingginyanya adalah ω dan ω, maka dan atau dan ω ω ω ω ω ω ω ω C LC C LC C L C L Karena LC /ω dan C /ω Q, maka persamaan di atas menjadi dan ω ω ω ω ω ω ω ω Q Q (3.6) Masing-masing persamaan pada (3.6) mempunyai dua akar. Namun hanya akar yang mempunyai arti fisis yang kita pakai, yaitu yang bernilai psitif. Dengan pengertian itu maka ω ω ω ω dan Q Q Q Q (3.7) Lebar pita resnansi adalah Q BW res ω ω ω (3.8) ω dan ω disebut frekuensi cut-ff untuk resnansi. Perubahan reaktansi dan impedansi terhadap frekuensi serta parameterparameter resnansi dijelas-kan pada Gb.3.4.

267 X(ω) Z(ω) X L ωl X L X C ω ω ω ω Z ω ω ω X L X C ω X C /ωc Gb.3.4. X L, X C, Z, ω resnansi, ω cut-ff esnansi Paralel dmitansi rangkaian paralel LC adalah Y jωc j ωc LC paralel (3.9) jωl ωl Bagian riil dari admitansi disebut knduktansi dan bagian imajinernya kita sebut suseptansi. Suseptansi dari rangkaian paralel LC merupakan fungsi dari frekuensi. Seperti halnya reaktansi pada rangkaian seri LC, ada satu nilai frekuensi yang membuat suseptansi pada (3.38) menjadi nl, yang kita sebut frekuaensi resnansi, ω. C L ω ω ω ω (3.) LC Persamaan (3.) ini sama dengan (3.4). Jadi frekuensi resnansi rangkaian paralel LC sama dengan rangkaian serinya. Sesungguhnya admitansi rangkaian paralel dapat kita perleh dari impedansi ragkaian seri dengan penggantian : G ; L C ; C L Faktr kualitas : ωc Q G ωgl (3.) L / C Frekuensi cutff: 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

268 6 ω ω ω ω dan Q Q Q Q (3.) Lebar pita resnansi adalah: Q BW res ω ω ω (3.3) Frekuensi tengah : ω ω ω (3.4) Jika arus ttal dinyatakan dalam fasr I s, maka pada saat resnansi masing-masing adalah : s C s L jq jq I I I I (3.5) Sal-Sal. Hitunglah tegangan keluaran pada rangkaian-rangkaian berikut ini.

269 . Hitunglah tegangan pada resistr 6 Ω pada rangkaian a) dan tegangan pada resistr Ω pada rangkaian b) berikut ini. a) b) 3. Carilah rangkaian ekialen Théenin di terminal -B untuk menentukan impedansi yang harus dipasang pada terminal ini agar terjadi transfer daya maksimum dari sumber ke beban. 6 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

270 4. angkaian di samping ini adalah rangkaian T. Carilah hubungan antara V dan V in jika frekuensi perasi adalah 4 Hz. V in 4Ω,5µF 4Ω V 5. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalah s sinωt V. Tegangan keluaran dapat dinyatakan sebagai β sin(ωt φ) V. Berapakah β dan φ jika ωc. s C B C 6. Tentukan nilai pada rangkaian di bawah ini sehingga pada frekuensi khz terjadi perbedaan fasa 8 antara dan s. s,µf,µf,µf 7. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalah s sinωt V. Bagaimanakah bentuk tegangan keluaran? Bagaimanakah jika ω, ω, dan ω /C? s C C / angkaian esnansi 8. Suatu rangkaian LC seri dengan Ω, L,5 mh, dan C nf. Berapakah frekuensi resnansi rang-kaian ini? Berapa faktr kualitasnya? Berapa lebar pita resnansinya? Berapakah nilai impedansi pada batas frekuensi (cutff frequency) atas dan bawahnya? Berapa nilai ke-dua batas frekuensi tersebut? 63

271 9. Pada suatu rangkaian LC seri L,5 mh, dan C nf. Impedansi rangkaian ini pada batas frekuensi atasnya adalah Z j Ω. Berapakah frekuensi resnansi rang-kaian ini? Berapa faktr kualitasnya? Berapa lebar pita resnansinya? Berapa nilai ke-dua batas frekuensi tersebut?. Sebuah rangkaian resnansi seri LC dirancang untuk beresnansi pada 5 Mrad/s, dengan lebar pita resnansi 8 Mrad/s. Impedansi pada waktu resnansi adalah 4 Ω. Tentukan faktr kualitasnya, nilai L dan C, batas frekuensi atas dan bawah.. Sebuah rangkaian resnansi paralel LC beresnansi pada krad/s dan lebar pita resnansinya 5 krad/s. Dalam keadaan resnansi, impedansinya bernilai 8 kω. Tentukan L, C, faktr kualitas, batas frekuensi atas dan bawah.. Sebuah kapasitr ariabel diparalel dengan resistr Ω. angkaian paralel ini kemudian diserikan dengan induktr mh. Dengan frekuensi 5 rad/s, pada nilai kapasitr berapakah impedansi rangkaian ini menjadi resistif? Berapakah impedansi tersebut? 3 Sebuah resistr 5 Ω dihubungkan seri dengan induktr mh. angkaian seri ini diparalel dengan kapasitr µf. Pada frekuensi berapakah impedansi ttalnya menjadi resistif. Berapakah nilainya? 4. Sebuah induktr mh mempunyai resistansi internal Ω. Berapakah nilai kapasitr yang harus diserikan dengan induktr tersebut agar terjadi resnansi pada frekuensi krad/s? Hitung faktr kualitas rangkaian ini. 64 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

272 BB 4 nalisis Daya Dengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan memahami pengertian pengertian daya nyata, daya reaktif, daya kmpleks, serta faktr daya; mampu melakukan perhitungan alih daya ke beban serta faktr daya beban; mampu menentukan kndisi untuk tercapainya alih daya maksimum. 4.. Umum Dalam analisis rangkaian arus blak-balik keadaan mantap pada bab sebelumnya, kita lebih memusatkan perhatian pada besaran arus dan tegangan, belum mempersalkan daya. Di bab inilah kita akan membahas tentang daya. nalisis daya pada sistem arus blak-balik, tertuju pada pemecahan tiga macam persalan yaitu: a. Mencari tanggapan rangkaian dengan rangkaian beban dan sumber yang diketahui. Persalan semacam inilah yang kita bahas pada sub-bab sebelumnya, dengan penekanan pada perhitungan tegangan dan arus. Persalan ini masih akan kita lihat lagi, dengan penekanan pada persalan dayanya. b. Mencari kndisi rangkaian beban agar terjadi alih daya maksimum apabila rangkaian sumber diketahui. Persalan ini banyak kita jumpai dalam sistem pemrses sinyal, yang merupakan suatu rangkaian dengan sumber yang terbatas kemampuannya. Pada rangkaian seperti ini kita harus berusaha melakukan penyesuaian-penyesuaian pada rangkaian beban agar alih daya ke beban menjadi maksimum. Dengan kata lain kita berusaha agar daya yang tersedia digunakan sebaikbaiknya. c. Mencari rangkaian sumber agar kebutuhan daya pada beban terpenuhi dan sumber bekerja sesuai dengan kemampuannya. Persalan ini kita jumpai dalam sistem tenaga listrik yang bertujuan memask kebutuhan energi listrik pada suatu tingkat 65

273 tegangan tertentu. angkaian seksi beban tidak mudah disesuikan terhadap sisi sumber bahkan sebaliknya sisi sumber yang harus disesuaikan terhadap kebutuhan beban. Permintaan daya selalu berubah dari waktu ke waktu, sesuai keperluan knsumen, yang berarti bahwa paskan di sisi sumber harus disuaikan pula dari waktu ke waktu. Sebelum membahas persalan-persalan tersebut di atas, kita akan membahas lebih dulu mengenai daya itu sendiri. Selama ini kita mengenal pernyataan daya di kawasan t sebagai hasil kali antara tegangan dan arus. Oleh karena dalam analisis rangkaian arus blakbalik kita bekerja di kawasan fasr, maka kita memerlukan pengertian mengenai pernyataan daya di kawasan fasr, yang akan kita kenal sebagai daya kmpleks. 4.. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya ata-ata dan Daya eaktif 4... Daya ata-ata Misalkan tegangan dan arus pada terminal suatu beban adalah Vm cs( ωt θ) dan i I m cs ωt (4.) Persamaan (4.) ini merupakan pernyataan umum dari tegangan dan arus yang berbentuk sinus, dengan mengambil referensi sudut fasa nl untuk arus dan perbedaan fasa antara arus dan tegangan sebesar θ. Daya sesaat yang dialihkan melalui terminal ini ke beban adalah p i VmI m cs( ωt θ) csωt VmI m{ cs ωt csθ sin ωt sin θ} cs ωt (4.) Vm Im Vm Im VmI m cs θ cs θcs ωt sin θsin ωt Persamaan (4.) memperlihatkan bahwa daya sesaat terdiri dari dua kmpnen, yaitu : Kmpnen searah, ditunjukkan leh suku pertama ruas kanan (4.) yang bernilai knstan. Kmpnen ini ditentukan leh nilai maksimum dari tegangan dan arus serta beda sudut fasanya. 66 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

274 Kmpnen blak-balik, ditunjukkan leh suku kedua dan ketiga yang berbentuk sinyal sinus dengan frekuensi ω. Jika kita menghitung nilai rata-rata daya dari (4.) dalam selang antara sampai π, akan kita perleh π VmI m p rr P ω θ π pd t cs (4.3) yang tidak lain adalah kmpnen searah dari (4.) karena nilai rata-rata dari suku kedua dan ke-tiga adalah nl Daya eaktif Pada persamaan (4.) amplitud suku ke-dua sama dengan daya rata-rata sehingga suku pertama dan ke-dua dapat kita gabung dan (4.) menjadi VmI m p cs θ P ( cs ωt) VmI m sin θ cs ω V I m m ( cs ωt) Q sin ωt dengan Q sin θ (4.4) Nilai suku pertama (4.4) selalu psitif atau selalu negatif, tergantung dari nilai P tetapi tidak pernah berubah tanda karena faktr (csωt) selalu lebih besar dari (minimal ). Sedangkan suku kedua berbentuk sinus yang berubah nilai dari psitif ke negatif dan sebaliknya secara peridik. Kalau kita melakukan integrasi p dalam satu perida untuk mendapatkan alih energi, maka akan kita dapatkan bahwa hanya suku pertama yang memberikan suatu nilai nett; sedangkan suku kedua memberikan nilai alih energi nl. T T ( cs ω ) T w pdt ( sin ω ) P t dt Q t dt PT (4.5) Jadi daya sesaat seperti ditunjukkan leh (4.4) mengandung dua kmpnen daya. Kmpnen daya yang pertama memberikan alih energi nett yang besarnya sama dengan alih energi yang diberikan leh daya rata-rata. Kmpnen daya yang kedua tidak memberikan alih energi nett, dan disebut daya reaktif. Perhatikan Gb

275 P p P(csωt) : kmpnen ini memberikan alih energi nett P Gb.4.. Kmpnen-kmpnen Daya t p Qsinωt : daya reaktif, tidak memberikan alih energi nett 4.3. Tinjauan Daya di Kawasan Fasr: Daya Kmpleks, Faktr Daya Dalam analisis rangkaian di kawasan fasr, kita perlu mencari hubungan antara kmpnen-kmpnen daya yang kita bahas di atas dengan besaran-besaran fasr. Dalam pembahasan mengenai fasr yang telah kita lakukan, besarnya fasr menyatakan nilai puncak dari sinyal sinus. kan tetapi dalam analisis rangkaian arus blakbalik, yang pada umumnya melibatkan analisis daya, pernyataan fasr tegangan dan fasr arus lebih baik dinyatakan dalam nilai rmsnya, sehingga pernyataan fasr tegangan dan arus adalah jθ jθ i V V e dan I I e (4.6) rms Dengan pernyataan ini, keterkaitan antara besaran fasr dengan daya rata-rata menjadi lebih sederhana. Besarnya daya rata-rata menjadi VmI m Vm I m P cs θ cs θ Vrms I rms cs θ (4.7) dengan θ θ θ i, yaitu perbedaan sudut fasa antara fasr tegangan dan fasr arus; dan besarnya daya reaktif menjadi Vm I m Vm I m Q sin θ sin θ Vrms I rms sin θ (4.8) rms 68 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

276 4.3.. Daya Kmpleks Selanjutnya, dengan menggunakan fasr rms, kita mendefinisikan daya kmpleks sebagai * VI S (4.9) yang merupakan perkalian fasr tegangan dengan knjugat dari fasr arus. Dengan menggunakan definisi ini dan persamaan (4.6), maka daya kmpleks pada terminal beban menjadi * jθ jθi S VI Vrmse I rmse j( θ θi ) jθ Vrms I rmse Vrms I rmse (4.) Pernyataan S bentuk plar (4.) dapat kita tuliskan dalam bentuk sudut siku jθ S VrmsI rmse P jq [ V I ] cs θ j[ V I ] rms rms rms rms sin θ (4.) Jadi, bagian riil dari daya kmpleks S adalah daya rata-rata atau kemudian disebut juga daya nyata, sedangkan bagian imajinernya adalah daya reaktif. Perlu kita fahami bahwa daya kmpleks bukanlah fasr, namun ia merupakan besaran kmpleks. Pengertian daya kmpleks ini sangat bermanfaat jika tegangan dan arus dinyatakan dalam fasr Segitiga Daya Dengan pengertian daya kmpleks, kita dapat menggambarkan segitiga daya, seperti terlihat pada Gb.4.. Im S VI * θ P jq e Im θ S VI * P jq e Gb.4.. Segitiga Daya. Pada gambar ini P adalah psitif, artinya alih daya terjadi dari arah sumber ke beban atau beban menyerap daya. Segitiga daya ini bisa 69

277 terletak di kuadran pertama atau kuadran keempat, tergantung apakah Q psitif atau negatif. Besar daya kmpleks S adalah S V rms I rms (4.) yang kita sebut juga sebagai daya tampak dan mempunyai satuan lt-amper (V). Hubungan antara daya kmpleks dan daya rata-rata serta daya reaktif adalah S P jq P S csθ VrmsIrms cs θ Q S sin θ Vrms Irms sin θ Daya rata-rata P mempunyai satuan watt (W), sedangkan daya reaktif Q mempunyai satuan lt-ampere-reaktif (V) Faktr Daya (4.3) Beda sudut fasa antara fasr tegangan dan arus adalah θ, dan csθ disebut faktr daya. P faktr daya cs θ S (4.4) Sudut θ mempunyai rentang nilai antara 9 sampai 9. Tetapi karena faktr daya adalah csθ, maka nilainya selalu psitif. Walaupun demikian faktr daya ini ini bisa lagging atau leading. Faktr daya disebut lagging jika segitiga daya berada di kwadran pertama yang berarti bahwa daya reaktif Q bernilai psitif. Hal ini terjadi jika fasr arus berada di belakang fasr tegangan atau arus lagging terhadap tegangan. Beban-beban industri dan juga perumahan pada umumnya mempunyai faktr daya lagging, jadi daya reaktif bernilai psitif. Perhatikan Gb.4.3. pabila fasr arus mendahului fasr tegangan atau arus leading terhadap tegangan maka faktr daya disebut leading. Dalam hal ini segitiga daya berada di kwadran ke-empat karena daya reaktif Q bernilai negatif. Keadaan ini terjadi apabila beban bersifat kapasitif. Perhatikan pula Gb Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

278 Im I * Im S VI * e θ I (lagging) θ P jq e Faktr daya lagging Im I (leading) θ I * e Im θ S VI * P jq e Faktr daya leading Gb.4.3. Fasr Tegangan dan rus dan Segitiga Daya Daya Kmpleks dan Impedansi Beban Impedansi beban adalah perbandingan antara tegangan beban dan arus beban. Jika tegangan beban adalah V, arus beban I, dan impedansi beban adalah Z B, maka V Z B atau V Z B I (4.5) I Dengan hubungan ini maka daya kmpleks yang dialihkan ke beban dapat diuraikan sebagai * * S VI Z BI I Z B I ( jx ) I I jx I B B rms B rms B rms (4.6) dengan B dan X B masing-masing adalah resistansi dan reaktansi beban. Persamaan (4.6) dapat kita uraikan menjadi S P jq B I rms jx B I rms (4.7) Dari (4.7) kita dapat mengambil kesimpulan bahwa 7

279 P B I rms dan Q X B I rms (4.8) Persamaan pertama (4.8) menunjukkan bahwa daya rata-rata terkait dengan resistansi beban. Nilai P yang psitif menunjukkan bahwa seluruh daya rata-rata diserap leh resistansi beban atau dengan kata lain resistansi bebanlah yang menyerap daya rata-rata. Persamaan kedua (4.8) menunjukkan bahwa daya reaktif terkait dengan reaktansi beban. Jika daya reaktif Q bernilai psitif, maka reaktansi beban juga bernilai psitif, yang berarti beban bersifat induktif. Jika Q negatif berarti beban negatif dan ini berarti bahwa beban bersifat kapasitif. Jika beban berupa resistr murni, maka tidak terdapat perbedaan sudut fasa antara tegangan dan arus beban. Seluruh daya yang dialihkan ke beban adalah daya rata-rata. Untuk keadaan ini, ( j ) I ( ) ( ) I * * S VI Z BI I B B I B rms (4.9) Jika beban berupa kapasitr, perbedaan sudut fasa antara tegangan dan arus beban adalah 9 dan daya yang dialihkan ke beban hanya berupa daya reaktif yang negatif. Untuk keadaan ini, SC VI * ZB * ( jx ) ( jx ) I ( jx ) I j I C I I C rms C I rms ωc (4.) Jika beban berupa induktr, perbedaan sudut fasa antara tegangan dan arus beban adalah 9 dan daya yang dialihkan ke beban hanya berupa daya reaktif yang psitif. Untuk keadaan ini, ( jx ) I ( jωl) I ( jx ) I ( jx ) * * S L VI Z BI I L L I L rms rms (4.) Persamaan (4.) dan (4.) menunjukkan bahwa daya yang diserap leh kapasitr maupun induktr merupakan daya reaktif akan tetapi berlawanan tanda. Kapasitr menyerap daya reaktif negatif sedangkan induktr menyerap daya reaktif psitif. Jika suatu beban mengandung baik kapasitr maupun induktr, maka daya reaktif yang diserap beban ini adalah jumlah dari dua daya 7 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

280 reaktif yang dalam keadaan tertentu akan saling meniadakan. Hal ini akan kita lihat dalam sub-bab mengenai rangkaian resnansi. Jika suatu beban bersifat terlalu induktif, artinya terlalu banyak menyerap daya reaktif psitif, kebutuhan daya reaktif tersebut dapat dikurangi dengan memasang kapasitr paralel dengan beban. Kapasitr yang diparalelkan itu akan menyerap daya reaktif negatif, sehingga daya reaktif ttal akan berkurang. Inilah yang dilakukan rang untuk memperbaiki faktr daya beban yang juga akan kita lihat kemudian. CO TOH-4.: Pada terminal hubung B antara seksi sumber dan seksi beban dari suatu rangkaian listrik terdapat tegangan dan arus sebesar V V(rms) dan I 8,75 5 (rms) Tentukan daya kmpleks, daya rata-rata, daya reaktif, faktr daya, serta impedansi beban. Penyelesaian : Daya kmpleks adalah S VI * cs3 8,75 5 j4sin j Daya rata-rata dan daya reaktif masing-masing adalah P 364 W dan Q V Daya rata-rata ini psitif, jadi beban menyerap daya. Daya reaktif bernilai negatif, jadi faktr daya leading. faktr daya cs( 3),866 V Bahwa faktr daya ini leading sebenarnya telah terlihat dari pernyataan fasr arus dan tegangan. Sudut fasa arus, yaitu 5, lebih besar dari sudut fasa tegangan yang 75 ; jadi arus mendahului tegangan. esistansi beban adalah P I eaktansi beban adalah B rms 364 (8,75) 47,5 Ω 73

281 X B Q I rms Jadi impedansi beban adalah (8,75) 7,4 Ω Z B ( 47,5 j7,4) Ω Impedansi beban ini bersifat kapasitif. Nilai kapasitansi beban dapat kita cari jika kita mengetahui berapa nilai frekuensi kerja dari sistem ini. Misalkan frekuensinya adalah 5 Hz, maka X C 7,4 Ω C 6 µ F ωc π 5 7, lih Daya Terema Tellegen menyatakan bahwa jika k mengikuti hukum tegangan Kirchhff (HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhff (HK), maka N k k i k Terema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian listrik harus ada perimbangan yang tepat antara daya yang diserap leh elemen pasif dan daya yang diberikan leh elemen aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip knserasi energi. Dalam analisis di kawasan fasr, kita mengenal daya rata-rata, daya reaktif dan daya kmpleks. Sementara itu kita juga mengetahui bahwa kapasitr dan induktr merupakan elemen pasif yang mampu menyerap dan mampu memberikan daya. Bagaimanakah perimbangan daya antara semua elemen yang ada dalam rangkaian di kawasan fasr? Dalam pembahasan alih daya antara sumber dan beban, kita melihat bahwa daya rata-rata P terkait dengan resistansi beban, sedangkan daya reaktif Q terkait dengan reaktansi beban. Jika kita mempersempit tinjauan kita, tidak ke suatu beban besar tetapi hanya ke satu elemen, kita harus mendapatkan hal yang serupa yaitu bahwa daya rata-rata pada elemen berkaitan dengan resistansi elemen, sedangkan daya reaktif pada elemen berkaitan dengan reaktansi elemen. Ini berarti bahwa resistr hanya menyerap daya rata-rata, sedangkan kapasitr dan induktr hanya menyerap daya reaktif. 74 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

282 Catatan: Kita menggunakan istilah menyerap daya untuk kapasitr dan induktr sesuai dengan knensi pasif yang kita anut; daya yang diserap ini bleh psitif ataupun negatif. Jika daya psitif berarti elemen sedang menyerap daya, jika daya negatif berarti elemen sedang memberikan daya. Jadi daya rata-rata yang diberikan leh sumber akan diserap leh resistr-resistr sedangkan daya reaktif yang diberiken leh sumber diserap leh kapasitr dan induktr. Penyerapan daya leh kapasitr dan induktr ini bisa saja tidak serempak; artinya pada suatu saat tertentu sebagian elemen sedang menyerap sementara yang lain sedang memberikan daya. Jelaslah sekarang, kemana mengalirnya daya rata-rata dan kemana pula mengalirnya daya reaktif. Oleh karena itu daya rata-rata dan daya reaktif dapat digabungkan kedalam pengertian daya kmpleks, dan muncullah prinsip knserasi daya kmpleks (principle f cnseratin f cmplex pwer), yang berbunyi Dalam rangkaian linier arus blak-balik keadaan mantap, jumlah daya kmpleks yang diberikan leh sumber bebas, sama dengan jumlah daya kmpleks yang diserap leh elemenelemen dalam rangkaian. Prinsip knserasi daya kmpleks dalam analisis di kawasan fasr ini mengingatkan kita pada terema Tellegen yang berlaku di kawasan waktu. CO TOH-4.: (a) Carilah daya kmpleks yang diberikan leh masing-masing sumber serta daya ttalnya pada rangkaian berikut ini. (b) Tentukan pula daya yang diserap leh resistr, kapasitr dan induktr. V 9 V B I, I I 4 I 5 I 3 j5ω jω 5Ω C Penyelesaian : 75

283 Dengan mengambil simpul B sebagai simpul referensi, simpul menjadi terikat dan tinggallah simpul C yang perlu kita cari tegangannya. V V C C 5 j V j5 j [ j] V [ j] 5, atau Karena V V 9 9 [ j] V, maka VC (9 9 ) 3 VC j6 V j Daya kmpleks yang diserap leh sumber arus adalah [ j6 j],,,4 V * Si ( V C V ) I j Untuk menghitung daya kmpleks yang diberikan leh sumber tegangan kita harus menghitung arus yang melalui sumber ini yaitu I 3. I 3 I I V VC I j5,8 j,4 9 ( j6) j5 j j6 j5 I3 I I,8 j,4.,8 j,4 Daya kmpleks yang diserap leh sumber tegangan adalah * S VI 3 9 (,8 j,4) j (,8 j,4),4 j,8 V Daya kmpleks ttal yang diserap leh kedua sumber adalah Stt Si S, j,4,4 j,8 3,6 j,4 V Daya kmpleks ttal ini mengandung kmpnen rata-rata sebesar 3,6 W ; dan sebagaimana telah kita bahas, daya ratarata ini harus diserap leh resistr yang ada pada rangkaian ini 76 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

284 yaitu resistr 5 Ω. Kita dapat memastikan hal ini dengan menghitung arus yang melalui resistr, yaitu I 5. VC j6 I5,4 j,,68 6,6 5 5 P I rms I5 5 (,68) 3,6 W Daya reaktif yang diserap leh kapasitr adalah QC X C I rms ( 5) I 5(,8,4 ) 3, V rus yang melalui induktr adalah I 4 I I 3 5 (,8 j,4,4 j,),6 j, dan daya reaktif yang diserap induktr adalah Q L X L I 4 (,6, ),8 V Ttal daya kmpleks yang diserap leh resistr, kapasitr, dan induktr adalah Stt beban P jqc jql 3,6 j3, j,8 3,6 j,4 V Nilai ini sesuai dengan daya yang diberikan leh kedua sumber, yaitu Stt dari sumber Stt ( 3,6 j,4) V Dengan ini terbukti pula knserasi daya kmpleks yang dikemukakan di depan lih Daya Maksimum Telah disebutkan di depan bahwa persalan alih daya maksimum banyak dijumpai dalam sistem kmunikasi. Kita berusaha untuk mengalihkan daya sebanyak mungkin dari sumber ke beban. Hal ini tidak berarti bahwa efisiensi alih daya menjadi tinggi, bahkan sebaliknya. 77

285 4.6.. lih Daya Maksimum Dengan Cara Penyesuaian Impedansi Dalam cara ini kita menggunakan rangkaian ekialen Théenin untuk seksi sumber sedangkan rangkaian beban kita sesuaikan sedemikian rupa sehingga terjadi kesesuaian antara impedansi beban dan impedansi Théenin. angkaian ekialen Théenin untuk rangkaian arus blak-balik terdiri dari sumber tegangan Théenin V T (dalam bentuk fasr) yang diserikan dengan impedansi Z T T jx T. Sementara itu seksi beban dinyatakan leh impedansi beban Z B B jx B dengan B dan X B yang harus kita sesuaikan untuk memperleh alih daya maksimum. Lihat Gb.4.4. Daya rata-rata yang dialihkan melalui terminal hubung B (daya pada beban) adalah P B I B (4.) Karena Z T dan Z B terhubung seri, arus I dapat dengan mudah kita perleh yaitu I ( T VT VT I Z T Z B ( T B ) j( X T X B ) B V T ) j( X T X ( 78 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik () B ) T B ) V T ( X T X sehingga daya pada beban adalah VT B PB I B ( T B ) ( X T X B ) (4.3) Jika kita anggap bahwa resistansi beban knstan, maka apabila kita ingin agar P B menjadi tinggi, kita harus mengusahakan agar X B X T.pada persamaan (4.3). Hal ini selalu mungkin kita lakukan karena reaktansi dapat dibuat bernilai negatif ataupun psitif. Dengan menyesuaikan reaktansi beban, maka kita dapat membuat B )

286 impedansi beban merupakan knjugat dari impedansi Théenin. Dengan penyesuaian impedansi beban demikian ini kita dapat memperleh alih daya yang tinggi. Langkah ini akan membuat impedansi keseluruhan yang dilihat leh sumber tegangan Théenin tinggallah resistansi ( T B ) saja. Dengan membuat X B X T, maka besarnya daya rata-rata pada beban adalah P B VT ( B ) T B (4.4) Inilah daya pada beban paling tinggi yang dapat diperleh jika B bernilai knstan. Jika B dapat diubah nilainya, maka dengan menerapkan persyaratan untuk alih daya maksimum pada rangkaian resistif yang telah pernah kita bahas yaitu bahwa resistansi beban harus sama dengan resistansi Théenin, maka persyaratan agar terjadi alih daya maksimum pada rangkaian arus blak-balik haruslah B T dan X B X T (4.5) Jika kndisi ini dicapai maka besarnya daya maksimum yang dialihkan adalah VT B VT PBMX (4.6) ( 4 B ) B Perhatikanlah bahwa frmula untuk terjadinya alih daya maksimum ini diperleh dengan kndisi sumber yang tetap sedangkan impedansi beban disesuaikan untuk memperleh kndisi yang kita sebut sebagai kesesuaian knjugat. CO TOH-4.3: Terminal B pada rangkaian berikut ini merupakan terminal hubung untuk menyambungkan beban ke seksi sumber. Hitunglah 79

287 berapa daya maksimum yang dapat diperleh dari rangkaian seksi sumber ini. Penyelesaian : Untuk memecahkan persalan ini, kita mencari lebih dulu rangkaian ekialen Théenin dari seksi sumber tersebut. Tegangan dan impedansi Théenin adalah V j5 j T 5 j5 V 5 j j5 j Z T j5(5 j) 5 j75 j5 5 j Ω gar terjadi alih daya maksimum maka impedansi beban haruslah Z B 5 j75 Ω. Daya maksimum yang dapat diperleh dari terminal B adalah P MX VT 4 5 j5 4 5,5 W B Pemahaman : rus yang melalui beban sama dengan arus yang diberikan leh sumber ekialen Théenin, yaitu VT 5 j5 I B, j,, 35 ZT Z B 5 rus yang dikeluarkan leh sumber sesungguhnya, dapat dihitung dari rangkaian aslinya jika Z B dihubungkan ke terminal B seperti tergambar di bawah ini. Dari rangkaian inilah arus sumber harus kita hitung, yang akan memberikan 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

288 I s ( j5)(5 j75) 5 j j5 5 j75, j5 5 5 j j Daya yang diberikan leh sumber adalah * S V s I s, j V Ps 5I s 5I B 5 (,) 5 (,) W Daya rata-rata P s W yang dikeluarkan leh sumber ini diserap leh resistr 5 Ω di rangkaian sumber dan resistr 5 Ω di rangkaian beban. Untuk memungkinkan penyesuaian impedansi seksi beban kepada impedansi seksi sumber, seksi beban harus mengandung resistansi, kapasitansi ataupun induktansi yang dapat diubah nilainya. Oleh karena itu diperlukan resistr, kapasitr, dan induktr ariabel di sisi beban lih Daya Maksimum Dengan Sisipan Transfrmatr Penyesuaian impedansi beban terhadap impedansi sumber dapat dilakukan dengan menempatkan transfrmatr antara sumber dan beban. Kita telah membahas transfrmatr ideal, yang memberikan kesamaan-kesamaan dan Di kawasan fasr, relasi tersebut menjadi V V dan i i I I (4.7) Knsekuensi dari (4.7) adalah bahwa impedansi yang terlihat di sisi primer adalah 8

289 V ( / ) V V Z Z a Z ( / ) I I I (4.8) Jika impedansi beban adalah Z B B jx B, maka dengan menempatkan transfrmatr antara seksi sumber dan seksi beban seksi sumber akan melihat impedansi sebesar Z jx a ( B jx B ). Dengan sisipan transfrmatr ini kita tidak dapat membuat penyesuaian hanya pada reaktansi X melainkan penyesuaian pada impedansi Z. Kita tidak melakukan perubahan apapun pada impedansi beban. Jika beban bersifat kapasitif ataupun induktif ia akan tetap sebagaimana adanya sehingga penyesuaian knjugat tidak dapat kita lakukan. Jika V T dan Z T adalah tegangan dan impedansi Théenin dari seksi sumber, dan Z kita tuliskan sebagai Z Z cs θ j Z sin θ, maka daya yang dialihkan ke beban melalui transfrmatr adalah PB VT Z csθ ( Z cs θ) ( X Z sin θ) (4.9) T T Kita harus mencari nilai Z agar P B maksimum. Kita turunkan P B terhadap Z dan kita samakan dengan nl. Jika ini kita lakukan akan kita perleh T X T ZT (4.3) Z Dengan demikian maka Z a Z B ZT sehingga persyaratan untuk trjadinya alih daya maksimum adalah Z T a (4.3) Z B lih daya maksimum yang kita perleh dengan cara sisipan transfrmatr ini lebih kecil dari alih daya maksimum yang kita perleh dengan cara penyesuaian impedansi. Hal ini dapat dimaklumi karena dalam sisipan transfrmatr tidak terjadi penyesuaian knjugat. Walaupun daya beban maksimum lebih kecil, kita tidak memerlukan elemen-elemen ariabel pada beban; kita cukup menyediakan transfrmatr dengan rasi transfrmasi a yang sesuai. Dalam cara ini yang kita perleh bukanlah alih daya maksimum melainkan efisiensi maksimum dari alih daya. 8 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

290 CO TOH-4.4: Terminal B pada rangkaian berikut ini merupakan terminal hubung untuk menyambungkan beban ke seksi sumber. Hitunglah rasi transfrmasi transfrmatr yang harus disisipkan pada terminal B agar alih daya terjadi dengan efisiensi maksimum dan hitunglah berapa daya yang dapat diperleh beban pada kndisi ini. Penyelesaian : Tegangan dan impedansi Théenin telah dihitung pada cnth sebelumnya, yaitu V T 5 j5 V dan Z T 5 j75 Ω gar alih daya terjadi dengan efisiensi maksimum maka rasi transfrmasi dari transfrmatr yang diperlukan adalah a ZT Z B ,8, Daya maksimum yang dapat diperleh dari terminal B adalah PB ( Z cs θ) ( X Z sin θ) T ( a ) ( X a X ) T VT Z cs θ VT a B B T 5,6 5 ( 5,6 5) ( 75,6 6) T B,49 W Pemahaman: Perhatikanlah bahwa resistansi beban dalam cnth ini sama dengan resistansi beban dalam cnth sebelumnya. Seandainya digunakan cara penyesuaian impedansi, reaktansi beban dapat 83

291 dibuat menjadi j75 dan daya beban menjadi,5 W. Dengan cara sisipan transfrmatr, daya yang dapat diserap beban sedikit lebih kecil dibanding dengan daya maksimum beban jika cara penyesuaian impedansi digunakan. Bagaimanakah jika impedansi beban pada cnth ini bukan ( 5 j 6) Ω melainkan ( 5 j 6) Ω? Dalam hal ini Z B tidak berubah sehingga nilai a tetap seperti yang telah dihitung yaitu a, atau a,. Daya yang diserap beban menjadi P B 5, 5 ( 5, 5) ( 75, 6),6 Seandainya tidak disisipkan transfrmatr, daya pada beban hampir sama besar yaitu P B 5 5 ( 5 5) ( 75 6),6 Jadi dalam hal terakhir ini, di mana impedansi beban bersifat kapasitif sedangkan impedansi Théenin juga kapasitif, penyisipan transfrmatr tidaklah memperbaiki alih daya. Penyisipan transfrmatr akan memperbaiki alih daya jika impedansi Théenin dan impedansi beban memiliki sifat yang berlawanan; jika yang satu kapasitif yang lain haruslah induktif. asi transfrmasi dari transfrmatr akan membuat impedansi beban mendekati knjugat dari impedansi Théenin, walaupun tidak dapat persis sama. W W 84 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

292 Sal-Sal. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, dan faktr daya pada suatu piranti, jika tegangan dan arusnya adalah a). i cs( ωt 45 cs( ωt 3 ) b). V 45 I 3 rms. Hitunglah faktr daya (lagging atau leading), jika diketahui daya kmpleks a). S j75 V b). S 8 j6 V c). S 6 j8 V V rms d). S kv, Q 8 kv, csθ >. e). S kv, P 8 kw, csθ >. 3. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, arus beban, serta impedansi beban jika pada tegangan 4 V rms, beban menyerap daya kmpleks 5 kv pada faktr daya,8 lagging. 4. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, arus beban, serta impedansi beban jika pada tegangan 4 V rms, beban menyerap daya kw pada faktr daya,8 lagging. 5. Pada tegangan V rms, sebuah beban dialiri arus rms pada faktr daya,9 lagging. Hitunglah daya kmpleks, daya rata-rata, daya reaktif, serta impedansi beban. 6. Sebuah resistr Ω terhubung seri dengan induktr mh. Hitunglah daya ttal yang diserap, faktr dayanya, daya yang diserap masing-masing elemen, jika dihubungkan pada sumber tegangan V rms, 5 Hz. 7. Sebuah resistr Ω terhubung paralel dengan kapasitr 5 µf. Hitunglah daya yang diserap beban serta faktr dayanya jika dihubungkan pada sumber tegangan V rms, 5 Hz. ) ; V 85

293 8. Sebuah beban berupa hubungan paralel antara sebuah resistr dan sebuah kapasitr. Pada tegangan V rms, 5 Hz, beban ini menyerap daya kmpleks S 55 j5 V. Berapakah nilai resistr dan kapasitr? 9. Sebuah beban berupa resistr 4 Ω terhubung paralel dengan induktr yang reaktansinya 3 Ω pada frekuensi 5 Hz. Beban ini dicatu dari sebuah sumber tegangan 4 V rms, 5 Hz, melalui saluran yang memiliki impedansi j Ω per saluran. Hitunglah arus di saluran (rms), daya kmpleks yang diserap beban, daya kmpleks yang diserap saluran.. Pada sal nmer 9 berapakah faktr daya pada beban dan faktr daya di sisi sumber. Hitung pula tegangan pada beban. 86 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

294 BB 5 Penyediaan Daya Dengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan memahami cara kerja transfrmatr; mampu menggambarkan diagram fasr. mampu melakukan perhitungan-perhitungan pada transfrmatr satu fasa; mampu menghitung penyediaan daya pada sumber dan tegangan sumber untuk mencatu beban; mampu menentukan keperluan kapasitr dalam upaya perbaikan faktr daya. 5.. Transfrmatr Transfrmatr banyak digunakan dalam teknik elektr. Dalam sistem kmunikasi, transfrmatr digunakan pada rentang frekuensi audi sampai frekuensi radi dan ide, untuk berbagai keperluan. Kita mengenal misalnya input transfrmers, interstage transfrmers, utput transfrmers pada rangkaian radi dan teleisi. Transfrmatr juga dimanfaatkan dalam sistem kmunikasi untuk penyesuaian impedansi agar tercapai transfer daya maksimum. Dalam penyaluran daya listrik banyak digunakan transfrmatr berkapasitas besar dan juga bertegangan tinggi. Dengan transfrmatr tegangan tinggi ini penyaluran daya listrik dapat dilakukan dalam jarak jauh dan susut daya pada jaringan dapat ditekan. Di jaringan distribusi listrik banyak digunakan transfrmatr penurun tegangan, dari tegangan menengah kv menjadi 38 V untuk distribusi ke rumah-rumah dan kantr-kantr pada tegangan V. Transfrmatr daya tersebut pada umumnya merupakan transfrmatr tiga fasa. Dalam pembahasan ini kita akan melihat transfrmatr satu fasa lebih dulu. Kita telah mempelajari transfrmatr ideal pada waktu membahas rangkaian listrik. Berikut ini kita akan melihat transfrmatr tidak ideal sebagai piranti pemrses daya. kan tetapi kita hanya akan membahas hal-hal yang fundamental saja, karena transfrmatr akan dipelajari secara lebih mendalam pada pelajaran mengenai mesinmesin listrik. 87

295 5... Transfrmatr Dua Belitan Tak Berbeban Hubungan transfrmatr dua belitan tidak berbeban terlihat pada Gb.5.. I f φ V s E E Jika fluksi di rangkaian magnetiknya adalah φ Φ maks sin ωt maka fluksi ini akan menginduksikan tegangan di belitan primer sebesar atau dalam bentuk fasr dφ e Φ maksωcsωt (5.) dt ωφ maks E E ; E nilai efektif (5.) Karena ω π f maka Gb.5.. Transfrmatr dua belitan. π f E Φ maks 4.44 f Φmaks (5.3) Di belitan sekunder, fluksi tersebut menginduksikan tegangan sebesar E 4.44 f Φmaks (5.4) Dari (5.3) dan (5.4) kita perleh E a rasi transfrmasi E (5.5) 88 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

296 Perhatikanlah bahwa E sefasa dengan E karena dibangkitkan (diinduksikan) leh fluksi yang sama. Karena E mendahului φ dengan sudut 9 maka E juga mendahului φ dengan sudut 9. Jika rasi transfrmasi a, dan resistansi belitan primer adalah, diagram fasr tegangan dan arus adalah seperti ditunjukkan leh Gb.5..a. rus I f adalah arus magnetisasi, yang dapat dipandang sebagai terdiri dari dua kmpnen yaitu I φ (9 dibelakang E ) yang menimbulkan φ dan I c (sefasa dengan E ) yang mengatasi rugi-rugi inti. esistansi belitan dalam diagram fasr ini muncul sebagai tegangan jatuh I f. V I c E E I c I φ φ I f V I f I φ φ φ l E E I f I f ji f X l a). tak ada fluksi bcr b). ada fluksi bcr Gb.5.. Diagram fasr transfrmatr tak berbeban Fluksi Bcr. Fluksi di belitan primer transfrmatr dibangkitkan leh arus yang mengalir di belitan primer. Dalam kenyataan, tidak semua fluksi magnit yang dibangkitkan I f φ tersebut akan melingkupi baik belitan V s primer maupun sekunder. φ l E Selisih antara fluksi yang dibangkitkan Gb.5.3. Transfrmatr tak berbeban. Fluksi leh belitan bcr belitan primer. primer dengan fluksi bersama (fluksi yang melingkupi kedua belitan) disebut fluksi bcr. Fluksi bcr transfrmatr tak berbeban ini hanya melingkupi belitan primer saja dan tidak seluruhnya berada dalam inti transfrmatr tetapi juga melalui udara. (Lihat Gb.5.3). Oleh karena itu reluktansi yang dihadapi leh fluksi bcr ini praktis 89

297 adalah reluktansi udara. Dengan demikian fluksi bcr tidak mengalami gejala histerisis sehingga fluksi ini sefasa dengan arus magnetisasi. Hal ini ditunjukkan dalam diagram fasr Gb.5..b. Fluksi bcr, secara tersendiri akan membangkitkan tegangan induksi di belitan primer (seperti halnya φ menginduksikan E ). Tegangan induksi ini 9 mendahului φ l (seperti halnya E 9 mendahului φ) dan dapat dinyatakan sebagai suatu tegangan jatuh ekialen, E l, di rangkaian primer dan dinyatakan sebagai E l ji f X (5.6) dengan X disebut reaktansi bcr rangkaian primer. Hubungan tegangan dan arus di rangkaian primer menjadi V E I El E I jix (5.7) Diagram fasr dengan memperhitungkan adanya fluksi bcr ini adalah Gb.5..b Transfrmatr Berbeban angkaian transfrmatr berbeban resistif, B, diperlihatkan leh Gb.5.4. Tegangan induksi E (yang telah timbul dalam keadaan tranfrmatr tidak berbeban) akan menjadi sumber di rangkaian sekunder dan memberikan arus sekunder I. rus I ini membangkitkan fluksi V s I φ l φ l V Gb.5.4. Transfrmatr berbeban. berlawanan arah dengan fluksi bersama φ dan sebagian akan bcr (kita sebut fluksi bcr sekunder). Fluksi bcr ini, φ l, sefasa dengan I dan menginduksikan tegangan E l di belitan sekunder yang 9 mendahului φ l. Seperti halnya untuk belitan primer, tegangan E l ini diganti dengan suatu besaran ekialen yaitu tegangan jatuh ekialen pada reaktansi bcr sekunder X di rangkaian sekunder. Jika resistansi belitan sekunder adalah, maka untuk rangkaian sekunder kita perleh hubungan φ I B 9 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

298 E V I El V I ji X (5.8) dengan V adalah tegangan pada beban B. Sesuai dengan hukum Lenz, arus sekunder membangkitkan fluksi yang melawan fluksi bersama. Oleh karena itu fluksi bersama akan cenderung mengecil. Hal ini akan menyebabkan tegangan induksi di belitan primer juga cenderung mengecil. kan tetapi karena belitan primer terhubung ke sumber yang tegangannya tak berubah, maka arus primer akan naik. Jadi arus primer yang dalam keadaan transfrmatr tidak berbeban hanyalah arus magnetisasi I f, bertambah menjadi I setelah transfrmatr berbeban. Pertambahan arus ini haruslah sedemikian rupa sehingga fluksi bersama φ dipertahankan dan E juga tetap seperti semula. Dengan demikian maka persamaan rangkaian primer (5.7) tetap terpenuhi. Pertambahan arus primer dari I f menjadi I adalah untuk mengimbangi fluksi lawan yang dibangkitkan leh I sehingga φ dipertahankan. Jadi haruslah ( I I ) ( I ) f (5.9) Pertambahan arus primer (I I f ) disebut arus penyeimbang yang akan mempertahankan φ. Makin besar arus sekunder, makin besar pula arus penyeimbang yang diperlukan yang berarti makin besar pula arus primer. Dengan cara inilah terjadinya transfer daya dari primer ke sekunder. Dari (5.9) kita perleh arus magnetisasi I f I I ( I ) I a (5.) Diagram Fasr Dengan persamaan (5.7) dan (5.8) kita dapat menggambarkan secara lengkap diagram fasr dari suatu transfrmatr. Penggambaran kita mulai dari belitan sekunder dengan langkahlangkah sebagai berikut. Gambarkan V dan I. Untuk beban resistif, I sefasa dengan V. Selain itu kita dapat gambarkan I I /a yaitu besarnya arus sekunder jika dilihat dari sisi primer. Dari V dan I kita dapat menggambarkan E sesuai dengan persamaan (5.8) yaitu 9

299 E V I El V I ji X Sampai di sini kita telah menggambarkan diagram fasr rangkaian sekunder. Untuk rangkaian primer, karena E sefasa dengan E maka E dapat kita gambarkan yang besarnya E ae. Untuk menggambarkan arus magnetisasi I f kita gambarkan lebih dulu φ yang tertinggal 9 dari E. Kemudian kita gambarkan I f yang mendahului φ dengan sudut histerisis γ. Selanjutnya arus belitan primer adalah I I f I. Diagram fasr untuk rangkaian primer dapat kita lengkapi sesuai dengan persamaan (5.7), yaitu V E I El E I jix E E ji X I V ji X φ γ I I f I I V I Gb.5.5. Diagram fasr lengkap, transfrmatr berbeban resistif (a > ). Dengan demikian lengkaplah diagram fasr transfrmatr berbeban. Gb.5.5. adalah cnth diagram fasr yang dimaksud, yang dibuat dengan mengambil rasi transfrmasi / a >. CO TOH-5.: Belitan primer suatu transfrmatr yang dibuat untuk tegangan V(rms) mempunyai jumlah lilitan 6. Belitan ini dilengkapi dengan titik tengah (center tap). a). Berapa persenkah besarnya fluksi maksimum akan berkurang jika tegangan yang kita terapkan pada belitan primer adalah V(rms)? b). Berapa persenkah pengurangan tersebut jika kita menerapkan tegangan 55 V (rms) pada setengah belitan primer? c). Berapa persenkah pengurangan tersebut jika kita menerapkan tegangan V (rms) pada setengah belitan primer? d). Jika jumlah lilitan di belitan sekunder adalah 4, 9 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

300 bagaimanakah tegangan sekunder dalam kasus-kasus tersebut di atas? Penyelesaian : a). Dengan mengabaikan resistansi belitan, fluksi maksimum Φ m adalah Φ m E V ω ω 6ω Jika tegangan V diterapkan pada belitan primer, maka Φ m V ω 6ω Penurunan fluksi maksimum adalah 5 %, Φ m Φ m /. b). Jika tegangan 55 V diterapkan pada setengah belitan primer, Φ m V 55 (/ ) ω 8ω 6ω Penurunan fluksi maksimum adalah 5 %, Φ m Φ m /. c). Jika tegangan V diterapkan pada setengah belitan maka V Φ m (/ ) ω 8ω 6ω Tidak terjadi penurunan fluksi maksimum, Φ m Φ m. d). Dengan / 6/4 4 maka jika tegangan primer V, tegangan sekunder adalah 55 V. Jika tegangan primer V, tegangan sekundernya 7.5 V. Jika tegangan 55 V diterapkan pada setengah belitan primer, tegangan sekunder adalah 7.5 V. Jika tegangan V diterapkan pada setengah belitan primer, tegangan sekunder adalah 55 V. CO TOH-5.: Sebuah transfrmatr satu fasa mempunyai belitan primer dengan 4 lilitan dan belitan sekunder lilitan. Luas penampang inti efektif adalah 6 cm. Jika belitan primer dihubungkan ke sumber 5 V (rms) yang frekuensinya 5 Hz, tentukanlah kerapatan fluksi maksimum dalam inti serta tegangan di belitan sekunder. 93

301 Penyelesaian : Dengan mengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bcr, maka V ωφ 5 4 π 5 m 5 Φ m Kerapatan fluksi maksimum: B m Tegangan belitan sekunder adalah weber.94 weber/m V 5 5 V 4 CO TOH 5.3 : Dari sebuah transfrmatr satu fasa diinginkan suatu perbandingan tegangan primer / sekunder dalam keadaan tidak berbeban 6/5 V. Jika frekuensi kerja adalah 5 Hz dan fluksi dalam inti transfrmatr dibatasi sekitar.6 weber, tentukan jumlah lilitan primer dan sekunder. Penyelesaian : Pembatasan fluksi di sini adalah fluksi maksimum. Dengan mengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bcr, ωφ V m π Pembulatan jumlah lilitan harus dilakukan. Dengan melakukan pembulatan ke atas, batas fluksi maksimum Φ m tidak akan terlampaui. Jadi dapat kita tetapkan 6 lilitan 48 lilitan 5 94 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

302 angkaian Ekialen Transfrmatr adalah piranti listrik. Dalam analisis, piranti-piranti listrik biasanya dimdelkan dengan suatu rangkaian listrik ekialen yang sesuai. Secara umum, rangkaian ekialen hanyalah penafsiran secara rangkaian listrik dari suatu persamaan matematik yang menggambarkan perilaku suatu piranti. Untuk transfrmatr, ada tiga persamaan yang menggambarkan perilakunya, yaitu persamaan (5.7), (5.8), dan (5.), yang kita tulis lagi sebagai satu set persamaan (5.). a X j X j f dengan I I I I I I I I V E I I E V (5.) Dengan hubungan E ae dan I I /a maka persamaan ke-dua dari (5.) dapat ditulis sebagai ; ; dengan ) ( ) ( X a X a av V X j X a j a a X ja a a I I V I I V E I I V E (5.) Dengan (5.) maka (5.) menjadi I I I I I V E I I E V f X j a X j (5.3) I,, dan X adalah arus, resistansi, dan reaktansi sekunder yang dilihat leh sisi primer. Dari persamaan (5.3) dibangunlah rangkaian ekialen transfrmatr seperti terlihat pada Gb.5.6. di bawah ini. Gb.5.6. angkaian ekialen diturunkan dari persamaan (5.3).

303 Kita telah melihat bahwa pada diagram fasr Gb.5.5. arus magnetisasi dapat dipandang sebagai terdiri dari dua kmpnen, yaitu I c dan I φ. I c sefasa dengan E sedangkan I φ 9 dibelakang E. Dengan demikian maka impedansi Z pada rangkaian ekialen Gb.5.6. dapat dinyatakan sebagai hubungan paralel antara suatu resistansi c dan impedansi induktif jx φ sehingga rangkaian ekialen transfrmatr secara lebih detil menjadi seperti Gb.5.7. Gb.5.7. angkaian ekialen transfrmatr lebih detil angkaian Ekialen Yang Disederhanakan Pada transfrmatr yang digunakan pada tegangan blak-balik yang knstan dengan frekuensi yang knstan pula (seperti misalnya transfrmatr pada sistem tenaga listrik), besarnya arus magnetisasi hanya sekitar sampai 5 persen dari arus beban penuh transfrmatr. Keadaan ini bisa dicapai karena inti transfrmatr dibangun dari material dengan permeabilitas magnetik yang tinggi. Oleh karena itu, jika I f diabaikan terhadap I kesalahan yang terjadi dapat dianggap cukup kecil. Pengabaian ini akan membuat rangkaian ekialen menjadi lebih sederhana seperti terlihat pada Gb.5.8. Gb.5.8. angkaian ekialen yang disederhanakan dan diagram fasrnya. 96 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

304 5..6. Impedansi Masukan esistansi beban B adalah B V /I. resistansi tersebut menjadi Dilihat dari sisi primer V av V B a a B I I / a I (5.4) Dengan melihat rangkaian ekialen yang disederhanakan Gb.5., impedansi masukan adalah V Z in e a B jx e I (5.5) 5.. Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktr Daya Pada pembahasan mengenai alih daya maksimum dikatakan bahwa persalan tersebut sering dijumpai pada sistem pemrses sinyal. Pembahasan mengenai aliran daya berikut ini merupakan persalan yang dijumpai pada sistem tenaga listrik. Dalam sistem tenaga listrik, beban tidak mudah untuk disesuaikan dengan sumber karena beban tergantung dari keperluan knsumen yang sangat berariasi. Daya yang diperlukan knsumen selalu berubah dari waktu ke waktu, yang kita kenal sebagai kura beban. Walaupun demikian perubahan kebutuhan daya itu masih jauh lebih lambat jika dibandingkan dengan perubahan tegangan yang berfrekuensi 5 Hz (atau 6 Hz di merika). Oleh karena itu analisis aliran daya dapat dilakukan dalam keadaan mantap dengan menggunakan knsep fasr. Dalam analisis ini, kita harus mencari kndisi sumber agar dapat memenuhi permintaan beban. Dalam memenuhi kebutuhan beban itu, kndisi kerja sumber belum tentu baik; misalnya faktr daya terlalu rendah. Oleh karena itu kita harus melakukan usaha untuk memperbaiki faktr daya tersebut. Perbaikan faktr daya ini dilakukan dengan menambahkan kapasitr paralel dengan beban (yang pada umumnya bersifat induktif) sehingga daya reaktif yang harus diberikan leh sumber menurun tetapi daya nyata yang diperlukan beban tetap terpenuhi. Untuk menjelaskan persalan ini kita akan langsung melihat pada suatu cnth. CO TOH-5.4: Dua buah beban dihubungkan paralel. Beban pertama memerlukan daya kw pada faktr daya,8 lagging. Beban kedua memerlukan 8 kw pada faktr daya,75 lagging. Tegangan yang diberikan leh sumber adalah 38 V rms. Jika impedansi saluran dapat diabaikan, 97

305 berapakah daya kmpleks yang harus disediakan leh sumber? Penyelesaian : Daya kmpleks yang diperlukan leh masing-masing beban adalah P S sin P jq P j S θ P j sin θ csθ P jp tan θ j tan(cs,8) j7,5 kv S P jp tan θ 8 j8 tan(cs,75) 8 j7 Daya ttal beban adalah kv S S S j7,5 8 j7 8 j4,5 kv Jika kita gambarkan segitiga dayanya, daya kmpleks ini akan berada di kuadran pertama karena daya reaktif sebesar 4,5 kv bernilai psitif. Jadi beban ttal ini bersifat induktif, dengan faktr daya lagging. Dengan tidak memperhitungkan daya untuk mengatasi rugirugi di saluran, maka daya kmpleks ttal yang harus disediakan leh sumber sama dengan kebutuhan ttal beban, yaitu S s S 8 j4,5 kv ; Qs cs cs θ tan Ps,78 lagging CO TOH-5.5: Dalam cnth 5.4. di atas, hasil perhitungan menunjukkan bahwa daya kmpleks yang diberikan leh sumber serta faktr dayanya adalah S s 8 j4,5 kv ; cs θ,78 lagging Tentukanlah kapasitr yang harus diparalelkan dengan beban untuk memperbaiki faktr daya menjadi.95 lagging, jika diketahui bahwa sumber berperasi pada frekuensi 5 Hz. 98 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

306 Penyelesaian : Dengan menghubungkan kapasitr paralel dengan beban, akan terjadi penambahan beban daya reaktif. Karena kapasitr menyerap daya reaktif negatif, maka tambahan beban leh kapasitr ini akan memperkecil daya reaktif ttal beban. Perhatikanlah bahwa beban semula tidak berubah; yang berubah adalah beban ttal setelah ada penambahan kapasitr. Jadi beban ttal yang semula adalah S Ss 8 j4,5 kv setelah ditambahkan kapasitr akan menjadi S C S jqc 8 j(4,5 QC ) kv dengan Q C adalah daya reaktif yang diserap kapasitr. Beban ttal baru S C ini harus mempunyai faktr daya,95 lagging. Jadi haruslah SC 8 j(4,5 QC ) 8 j8 tan(cs,95) Dari persamaan ini kita dapat mencari Q C, yaitu 4.5 QC 8 tan(cs,95) atau QC 8 tan(cs,95) 4,5 5,9 4,5 8,58 Perhatikanlah gambar segitiga daya di bawah ini. kv Im S Q SC Q C QC P e S P jq dayattal semula Q dayareaktifkapasitr (negatif) C SC P jqc daya ttalsetelah penambahankapasitr Kebutuhan daya ttal setelah penambahan kapasitr menjadi 99

307 SC 8 j(4,5 QC ) 8 j5,9 kv Nilai kapasitr yang diperlukan dapat dicari karena tegangan kerja maupun frekuensi kerjanya diketahui. rus yang melalui kapasitr adalah VC I C jωcvc jx C Daya reaktif kapasitr dapat ditulis sebagai QC I C X C jωcvc VC ( ωc) ωc Dengan Q C 8,58 kv, V Crms 38 V, dan f 5 Hz, maka ( π 5C ) atau C 9 µ F π 38 CO TOH-5.6: Pada cnth 5.5 impedansi saluran antara sumber dan beban diabaikan. Jika impedansi ini tidak dapat diabaikan, dan besarnya untuk setiap kawat adalah Z k (, j) Ω, tentukanlah daya kmpleks dan tegangan kerja sumber. Perhatikan bahwa saluran terdiri dari dua kawat. Penyelesaian : Dengan adanya impedansi saluran, daya kmpleks yang dikeluarkan leh sumber harus lebih besar dari keperluan beban karena sumber harus mengatasi susut daya yang terjadi pada saluran. Dengan adanya perbedaan daya kmpleks yang dikeluarkan leh sumber dan daya kmpleks yang sampai ke beban, maka tegangan sumber dan tegangan beban juga berbeda. Daya yang harus sampai ke beban (setelah penambahan kapasitr) adalah S C 8 j5,9 kv Dengan menggunakan tegangan beban sebagai referensi, arus beban dapat dihitung, yaitu * SC (8 j5,9) I B 47,37 j5,58 V B 38 I B 47,37 j5,58 49,87 8,. 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

308 rus beban ini mengalir melalui saluran yang terdiri dari dua kawat. Daya yang diserap leh impedansi pada saluran adalah S k Z I k B,99 j4,97 kv (, j) 49,87 Ttal daya yang harus dikeluarkan leh sumber adalah Ss SC Sk 8 j5,9,99 j4,97 8,99 j,89 kv Tegangan kerja sumber haruslah S s Ss (8,99 j,89) 89 9,8 Vs * * I s I B 49,87 8, 49,87 8, 439,6 V 5.3. Diagram Satu Garis Diagram satu garis untuk menyatakan rangkaian penyaluran energi arus searah yang telah kita pelajari sebelumnya, dapat kita perluas untuk rangkaian penyaluran energi arus blak-balik. Pada sistem satu fasa, impedansi saluran balik ditambahkan pada impedansi saluran kirim untuk digambarkan dalam diagram satu garis. CO TOH-5.7: Dua buah beban dicatu dari satu sumber. Beban pertama memerlukan daya kw pada faktr daya, dicatu melalui saluran yang impedansinya, j Ω. Dari lkasi beban pertama, saluran diteruskan untuk mencatu beban kedua memerlukan 8 kw pada faktr daya, dengan saluran yang impedansinya, j Ω. Tegangan kerja beban kedua harus 38 V rms. (a) Gambarkan diagram satu garis sistem ini, (b) tentukan daya yang diberikan sumber dan tegangan sumber. Penyelesaian : a). Diagram satu garis sistem ini adalah seperti gambar di bawah ini 3

309 V 38 V rms V s, j Ω, j Ω beban beban kw 8 kw cs ϕ cs ϕ b). Beban dan beban masing-masing adalah S j kv ; S 8 j kv rus untuk beban, dengan mengambil tegangannya sebagai referensi, adalah * 8 j I I 38 Daya yang diserap saluran antara beban dan beban adalah S sal (, ) I (, j) I j,9 j,9 kv Daya beban- ditambah daya saluran- adalah Stt Ssal S 8,9 j,9 kv Tegangan di beban adalah S tt 89 j9 V 385, j4,9 V 387,6 6,4 V * I rus untuk beban- adalah I S j 5,8 6,4 387,6 6,4 * V rus sumber sama dengan arus di saluran antara sumber dan beban, yaitu I s I I 5,8 6,4 46,64 j,88 46,73 3,5 Daya yang diserap saluran antara sumber dan beban adalah S sal s (, j) I (, j) 46,73,44 j4,37 kv 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

310 Daya yang diberikan leh sumber adalah Ss Ssal S Ssal S,44 j4,37 8,9 j,9 8,53 j5,7 kv Tegangan sumber adalah S s 853 j ,9 Vs 4 9,4 V * I s 46,73 3,5 46,73 3,5 Sal-Sal. Sebuah beban menyerap daya,5 kv pada faktr daya,9 lagging. Beban ini dicatu melalui kabel dari sebuah sumber yang bekerja pada tegangan 4 V rms. Di sisi sumber tercatat bahwa daya yang keluar adalah,65 kv dengan faktr daya,88 lagging. Hitunglah arus saluran, impedansi saluran dan impedansi beban. Hitung pula pada tegangan berapa beban berperasi.. Pada sumber tegangan V rms, 5 Hz, dihubungkan dua buah beban (paralel). Beban pertama menyerap daya kv pada faktr daya,9 lagging. Beban kedua menyerap daya rata-rata 8 kw dan daya reaktif 6 kv. Jika impedansi saluran dapat diabaikan, berapakah daya ttal yang diberikan sumber serta faktr dayanya? 3. Pada sumber satu fasa V rms, terhubung dua macam beban. Beban pertama adalah sebuah pemanas 5 W. Beban ke-dua adalah mtr pmpa,5 HP yang bekerja pada faktr daya,8 lagging. Hitunglah: (a) daya kmpleks (ttal); (b) faktr daya (ttal); (c) arus yang keluar dari sumber (rms). 4. Di satu lkasi terdapat dua beban, masing-masing menyerap daya kv pada faktr daya,8 lagging, dan 5 kv pada faktr daya,9 lagging. Kedua beban bekerja pada tegangan 4 V rms dan dicatu dari sumber melalui saluran yang impedansinya,5 j Ω per saluran. Hitunglah arus pada saluran, daya kmpleks yang harus disediakan sumber untuk kedua beban, faktr daya di sisi sumber. Hitung pula tegangan sumber agar kebutuhan tegangan beban dapat dipenuhi. 33

311 5. Satu sumber mencatu dua beban di dua lkasi berbeda. Beban pertama 3 kv dengan faktr,8 lagging dicatu dari sumber melalui saluran dengan impedansi j4 Ω per saluran. Dari lkasi beban pertama ini, saluran disambung untuk mencatu beban kedua yang menyerap daya 5 kv pada faktr daya,8 lagging. Impedansi saluran antara beban pertama dan beban kedua adalah,5 j Ω per saluran. Jika beban kedua harus berperasi pada tegangan 4 V rms, berapakah tegangan sumber dan berapa daya yang harus disediakan leh sumber? 6. Sekelmpk beban berperasi pada tegangan V V rms dan menyerap daya 4 kv dengan faktr daya,8 lagging. Beban ini dicatu dari sumber tegangan menegah melalui sebuah transfrmatr penurun tegangan yang mempunyai rasi : dan dapat dianggap ideal. Sumber dihubungkan ke sisi primer tansfrmatr melalui saluran yang impedansinya,4 j Ω per saluran. Hitunglah arus di sisi primer transfrmatr, tegangan sumber, dan daya yang diberikan leh sumber. 7. Sebuah mtr mengambil arus pada faktr daya,7 lagging, dari sumber V, 5 Hz. Tentukan nilai kapasitr yang harus diparalelkan untuk memperbaiki faktr daya menjadi,9 lagging. 34 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

312 BB 6 Sistem Tiga Fasa Pembahasan sistem tiga fasa ini akan membuat kita memahami hubungan sumber dan beban dalam sistem tiga fasa seimbang. mampu menentukan hubungan fasr arus dan fasr tegangan pada sistem tiga fasa seimbang. mampu melakukan analisis daya pada sistem tiga fasa. Sampai tahap ini kita telah membahas rangkaian arus blak-balik sistem satu fasa. Dengan arus blak-balik inilah energi dalam jumlah besar dapat ditransmisikan. Namun demikian pembangkitan dan penyaluran tenaga listrik pada umumnya tidak dilakukan dengan menggunakan sistem satu fasa, melainkan dengan sistem tiga fasa. Transmisi daya dilakukan pada tegangan tinggi yang dapat diperleh dengan menggunakan transfrmatr penaik tegangan. Di ujung saluran, tegangan diturunkan lagi sesuai dengan kebutuhan beban. Pemilihan sistem tiga fasa untuk pembangkitan dan penyaluran energi listrik juga didasari leh kelebihan unjuk kerja maupun kelebihan eknmis yang dapat diperleh dari sistem ini. Penyaluran daya dengan menggunakan sistem tiga fasa kurang berfluktuasi dibandingkan terhadap sistem satu fasa. Selain dari pada itu, untuk penyaluran daya tertentu pada tegangan tertentu akan memerlukan arus lebih kecil sehingga dimensi saluran yang diperlukan akan lebih kecil pula. Knersi elektris-mekanis juga lebih mudah dilakukan pada sistem tiga fasa dengan menggunakan mtr tiga fasa. Berikut ini kita akan membahas sistem tiga fasa yang sangat luas digunakan pada pembangkitan dan penyaluran energi listrik. Namun kita tidak akan membahas tentang bagaimana pembangkitan dilakukan ataupun piranti apa yang digunakan; hal-hal ini dapat kita pelajari pada pelajaran di tingkat yang lebih tinggi. Di sini kita akan mempelajari bagaimana hubungan-hubungan elemen serta analisis rangkaian tiga fasa, dan juga terbatas hanya pada pembebanan yang seimbang. 35

313 6.. Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke Beban Suatu sumber tiga fasa membangkitkan tegangan tiga fasa, yang dapat digambarkan sebagai tiga sumber tegangan yang terhubung Y (bintang) seperti terlihat pada Gb.6..a. Dalam kenyataannnya, tiga sumber tegangan ini dibangkitkan leh satu piranti. Titik hubung antara ketiga tegangan itu disebut titik netral,. ntara satu tegangan dengan tegangan yang lain berbeda fasa. Jika kita mengambil tegangan V sebagai referensi, maka kita dapat menggambarkan diagram fasr tegangan dari sistem tiga fasa ini seperti terlihat pada Gb.6..b. Urutan fasa dalam gambar ini disebut urutan psitif. Bila fasr tegangan V B dan V C dipertukarkan, kita akan memperleh urutan fasa negatif. Sumber tiga fasa pada umumnya dihubungkan Y karena jika dihubungkan akan terbentuk suatu rangkaian tertutup yang apabila ketiga tegangan tidak tepat berjumlah nl akan terjadi arus sirkulasi yang merugikan. Sumber tegangan tiga fasa ini dihubungkan ke beban tiga fasa yang terdiri dari tiga impedansi yang dapat terhubung Y ataupun seperti terlihat pada Gb.6.. Dalam kenyataan, beban tiga fasa dapat berupa satu piranti tiga fasa, misalnya mtr tiga fasa, ataupun tiga piranti satu fasa yang dihubungkan secara Y atau, misalnya resistr pemanas. Gb.6.. Sumber tiga fasa. Dalam analisis rangkaian tiga fasa, kita mengenal enam macam tegangan yaitu tiga tegangan fasa-netral dan tiga tegangan fasa-fasa. Pada Gb.6. dan Gb.6., tegangan V, V B, dan V C, adalah tegangan-tegangan fasa-netral, masing-masing dari fasa, B, dan C. Tegangan fasa-fasa adalah tegangan yang diukur antara fasa dengan fasa, misalnya antara fasa dan B, B dan C, C dan, seperti terlihat pada Gb Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

314 Gb.6.. Sumber dan beban tiga fasa. Jika kita mengambil tegangan fasa-netral V sebagai tegangan referensi, maka hubungan antara fasr-fasr tegangan tersebut adalah: V V V B C V V V fn fn fn 4 (6.) Tegangan antara fasa dengan fasa kita sebut tegangan fasa-fasa yaitu V B, V BC, dan V C yang fasr-fasrnya adalah VB V V B V VB VBC VB V C VB VC VC VC V VC V (6.) Hubungan antara tegangan fasa-netral dan fasa-fasa adalah (Gb.6.3) VB V VB V fn V fn V ( ) fn j V fn V fn 3 3 j 3 3 V fn j 3 (6.3) 37

315 Gb.6.3. Fasr-fasr tegangan. Dengan cara yang sama seperti cara untuk mendapat relasi (6.3), kita memperleh relasi VBC V fn VC V fn (6.4) Jadi amplitud tegangan fasa-fasa adalah 3 kali lebih besar dari amplitud tegangan fasa-netral ff V fn sedangkan sudut fasanya berbeda 3. V 3 (6.5) CO TOH-6.: Jika tegangan fasa-netral adalah V 3 V, berapakah tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa yang lain? Penyelesaian : V VB VC 3 V ; 9 V ; V VB 38 6 V; VBC 38 6 V; VBC 38 9 V 38 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

316 Beban Terhubung Y. Gb.6.4. memperlihatkan beban seimbang yang terhubung Y. rus saluran arus fasa. Gb.6.4. Beban terhubung Y. Impedansi masing-masing fasa adalah Z. Dari gambar ini jelas terlihat bahwa arus yang mengalir di saluran sama dengan arus yang mengalir di masing-masing fasa. Jadi V VB VC I ; I B ; IC (6.6) Z Z Z Dalam persamaan (6.6) V, V B, dan V C adalah tegangantegangan fasa yang berbeda fasa satu terhadap lainnya. Karena tegangan ini dibagi leh Z yang sama untuk mendapatkan arus fasa, jelaslah bahwa masing-masing arus fasa akan tergeser dengan sudut yang sama dari tegangan fasa yang bersangkutan. Jika kita tetap menggunakan V sebagai referensi maka V I Z VB I B Z VC IC Z V fn Z θ V fn Z θ V fn 4 Z θ V fn θ I f θ Z V fn ( θ) I f ( θ ) Z V fn ( 4 θ) I f ( θ 4 ) Z (6.7) Persamaan (6.7) memperlihatkan bahwa arus-arus fasa mempunyai amplitud sama, dan satu sama lain berbeda fasa. Diagram fasr tegangan dan arus diperlihatkan pada Gb

317 Jumlah arus-arus fasa ini adalah V C I C Im I I B IC (6.8) θ Jika kita aplikasikan HK untuk titik netral pada Gb.6.4., maka I I I B IC sehingga I ( I I I ) B C (6.9) IB V B θ θ I V e Gb.6.5. Fasr tegangan dan arus beban terhubung Y. Jadi dalam keadaan beban seimbang, arus netral sama dengan nl. Daya kmpleks yang diserap leh beban 3 fasa adalah jumlah dari daya yang diserap leh masing-masing fasa, yaitu: * * * S3 f V I VB I B VC IC ( V fn ) ( I f θ) ( V fn ) ( I f θ) ( V fn ) 4 ( I f 4 θ) 3V fn I f θ 3V fn I θ (6.) Karena hubungan antara tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa adalah V ff V fn 3, maka kita dapat menyatakan daya kmpleks dalam tegangan fasa-fasa, yaitu S V I 3 θ (6.) 3 f ff Daya nyata dan daya reaktif adalah P 3 f Q 3 f V V ff ff I I 3 cs θ S 3 sin θ S 3 f 3 f cs θ sin θ (6.) 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

318 CO TOH-6.: Sebuah beban terhubung Y mempunyai impedansi di setiap fasa sebesar Z 4 j3 Ω. Beban ini dicatu leh sumber tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa V ff 38 V (rms). Dengan menggunakan V sebagai fasr tegangan referensi, tentukanlah (a) arus saluran dan (b) daya kmpleks, daya ratarata, daya reaktif. Penyelesaian : a). Perhatikanlah bahwa yang diketahui adalah besarnya tegangan fasa-fasa, tanpa diketahui sudut fasanya. Oleh karena itu kita harus menentukan tegngan referensi lebih dulu. Dalam sal ini, kita diminta untuk menggunakan tegangan fasa-netral V sebagai tegangan referensi. Besarnya tegangan fasa-netral adalah V ff fn V 38 V 3 3 Tegangan-tegangan fasa-netral menjadi V V ( sebagai referensi) ; VB V ; VC 4 V Karena beban terhubung Y, arus saluran sama dengan arus fasa V I Z 3 j4 5 36, ,8 I B 44 ( 36,8 ) 44 56,8 IC 44 76,8 b). Daya kmpleks tiga fasa, adalah * S3 f 3 V I ,8 9 36,8 kv Daya rata-rata: P 3 f 9cs36.8 3, kw Daya reaktif: Q 3 f 9sin ,4 kv 3

319 Kita cba memastikan apakah benar P dan Q masing-masing adalah daya yang diserap leh resistansi dan reaktansi beban, dengan mengalikan resistnsi dengan pangkat dua besar arus : P 3 f , kw dan Q 3 f ,4 kv Ternyata hasilnya sesuai dengan hasil sebelumnya. Beban Terhubung. Jika beban terhubung (Gb.6.6), arus saluran tidak sama dengan arus fasa, akan tetapi tegangan fasa-fasa terpasang pada impedansi tiap fasa. Gb.6.6. Beban terhubung. rus saluran rus fasa Jika kita hanya ingin menghitung arus saluran, kita dapat memanfaatkan transfrmasi hubungan Y-, sehingga beban yang terhubung menjadi terhubung Y dengan Z Z Y (6.3) 3 dengan catatan bahwa bebannya seimbang. Setelah ditransfrmasikan menjadi hubungan Y arus-arus saluran serta daya ttal dapat kita hitung. Jika kita perlu menghitung arus maupun daya di tiap fasa dalam keadaan beban tetap terhubung, kita memerlukan frmulasi hubungan antara arus-arus fasa I B, I BC, I C dengan tegangantegangan fasa V B, V BC, dan V C. Dari Gb.6.6. terlihat bahwa 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

320 VB VBC VC I B ; I BC ; I C (6.4) Z Z Z Dari gambar ini pula kita memperleh hubungan I I B I C; I B I BC I B ; IC IC I BC (6.5) Diagram fasr tegangan dan arus untuk beban yang terhubung ini, dengan mengambil V B sebagai referensi, terlihat pada Gb.6.7. V C I C θ Im I BC θ θ I B V B e V BC I C I Gb.6.7. Fasr tegangan dan arus; beban terhubung. Dengan memperhatikan gambar ini maka (6.4) menjadi V V ff V B ff I B Z Z θ Z I BC I B θ ; I C I B θ 4 θ (6.6) Gb.6.7. memperlihatkan bahwa sudut yang dibemtuk leh fasr I B dan I C adalah 6. Dengan demikian maka I I B I B I BC IC IC 3 ( θ 3 ) I f 3 ( θ 5 ) I f 3 ( θ 7 ) I f 3 ( θ 3 ) 3 ( θ 5 ) 3 ( θ 7 ) (6.7) 33

321 Daya kmpleks tiga fasa adalah * S3 f 3 V B I B 3 V ff I f θ V ff I 3 θ (6.8) Daya nyata dan daya reaktif adalah P3 f V ff I Q3 f V ff I 3 csθ S3 f 3 sin θ S3 f csθ sin θ (6.9) Daya Kmpleks Beban Secara Umum. Jika kita perhatikan frmulasi daya kmpleks untuk beban terhubung Y dan yaitu (6.) dan beban terhubung yaitu (6.8), keduanya memberikan frmula yang sama yaitu S V I 3 θ 3 f ff Jadi tanpa melihat bagaimana hubungan beban, daya kmpleks yang diberikan ke beban adalah S 3 f V ff I 3 (6.) CO TOH-6.3: Sebuah beban terhubung mempunyai impedansi di setiap fasa sebesar Z 4 j3 Ω. Beban ini dicatu leh sumber tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa V ff 8 V (rms). Dengan menggunakan V sebagai fasr tegangan referensi, tentukanlah: a). tegangan fasa-fasa dan arus saluran; b). daya kmpleks, daya rata-rata, daya reaktif. Penyelesaian : a). Dalam sal ini kita diminta untuk menggunakan tegangan V sebagai referensi. Titik netral pada hubungan merupakan titik fiktif; namun perlu kita ingat bahwa sumber mempunyai titik netral yang nyata. Untuk memudahkan mencari hubungan fasr-fasr tegangan, kita menggambarkan hubungan beban sesuai dengan tegangan referensi yang diambil yaitu V.. Dengan menggambil V sebagai referensi maka tegangan fasa-netral adalah 34 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

322 V VC 38 ; VB 3 4 V C I C θ Im ; V B V B IBC θ θ I B V e V B Tegangan-tegangan fasa-fasa adalah VB V 3 ( θ VBC 38 9 VC 38 rus-arus fasa adalah 3 ) 38 3 VB I B Z j ,8 I BC 76 6,8 76 6,8 IC 76 6, ,8 dan arus-arus saluran adalah 76 6,8 I I B 3 ( 6,8 3 ) , ,8 I B 3.6 ( 36,8 ) 3,6 56,8 IC 3.6 ( 36,8 4 ) 3,

323 b). Daya kmpleks 3 fasa adalah S3 f * 3VBI B ,3 j5 kv Jika kita mengkaji ulang nilai P 3f dan Q 3f, dengan menghitung daya yang diserap resistansi dan reaktansi beban, akan kita perleh: P3 f Q3 f 3 I B 3 4 (76) 69,3 kw 3 X I B 3 3 (76) 5 kv Jika kita bandingkanlah besarnya arus saluran, arus fasa, dan daya tiga fasa yang diserap beban pada hubungan Y dan pada dua cnth 6. dan 6.3 kita perleh gambaran seperti dalam tabel berikut. Hubungan Y Hubungan rus saluran I s I 44 I 3,6 rus per fasa I f I 44 I B 76 Daya ttal S 3f 9 kv 86,64 kv Dari tabel ini terlihat bahwa pada hubungan Y arus fasa maupun arus saluran serta daya lebih rendah dari arus dan daya pada hubungan. Inilah prinsip starter Y- untuk mtr asinkrn. Mtr di-start pada hubungan Y kemudian hubungan diubah ke setelah mtr berjalan. Dengan demikian arus pada waktu start tidak terlalu tinggi. CO TOH-6.4: Sebuah beban seimbang terhubung Y. rus di fasa adalah I 3 rms, dan tegangan jala-jala V B 38 3 V rms. Tentukanlah impedansi per fasa. Penyelesaian : Hubungan beban adalah seperti gambar berikut. 36 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

324 Tegangan fasa-netral adalah V B 38 V ( θ 3 ) (3 3 ) 3 3 Impedansi per fasa adalah V V Z I, 3 3,9 j, Ω CO TOH-6.5: Sebuah beban seimbang terhubung. rus di saluran fasa adalah I 3 rms, dan tegangan jala-jala V B 38 3 V rms. Tentukanlah impedansi per fasa. Penyelesaian : Karena beban terhubung, arus fasa tidak sama dengan arus saluran. Untuk menghitung impedansi di fasa B, kita harus menentukan lebih dulu arus di fasa ini I I B ( θi 3 ) ( 3 3 ) 57,7 Impe 3 3 dansi per fasa V Z I B B ,6 3 5,7 j3,3 Ω 57,7 37

325 6.. nalisis Daya Pada Sistem Tiga Fasa Pada dasarnya analisis daya sistem tiga fasa tidak berbeda dengan sistem satu fasa. Kita akan melihat dalam cnth-cnth berikut ini. CO TOH-6.6: Sebuah beban tiga fasa seimbang terhubung Y, menyerap daya 5 kv pada faktr daya,9 lagging. Jika tegangan fasa-fasa pada saluran adalah V LL 48 V rms, hitunglah: a). besarnya arus saluran; b). resistansi dan reaktansi beban per fasa. Penyelesaian : a). Dalam sal ini kita hanya diminta untuk menghitung besarnya arus saluran tanpa mempersalkan sudut fasanya. Dengan diketahuinya tegangan fasa-fasa daya, arus ini dapat dihitung melalui hubungan daya, yaitu S3 f * 3V fnif 3 V fn θ I f θi 3V fni f ( θ θi ) S3 f 3V fn I f V ff I f 3 Daya tiga fasa inilah yang diketahui yaitu S 3f 5 kv. Tegangan fasa-fasa juga diketahui, V ff 48 V. Karena beban terhubung Y, maka arus saluran sama dengan arus fasa, jadi I s I f S V 3 f ff b). Karena faktr daya juga diketahui, maka dengan mudah kita dapat menghitung daya rata-rata P dan daya reaktif Q. Kemudian dari nilai yang didapat ini kita menghitung resistansi dan reaktansi beban P S 3 f cs ϕ 5,9 45 kw ; Q S S S 3 f 3 f per sin ϕ 5,436,8 kv 45 j,8 kv fasa S 3 3 f 5 j7,3 kv 38 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

326 Dari daya perfasa dan arus fasa, kita perleh impedansi, resistansi, dan reaktansi S per fasa (5 j7,3) Z 4,6 j,3 I (6) f 4,6 Ω ; X,3 Ω. CO TOH-6.7: Sebuah beban kw dengan faktr daya,8 lagging, dihubungkan ke jala-jala tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa 48 V rms. Impedansi saluran antara sumber dan beban per fasa adalah j Ω. Berapakah daya kmpleks yang harus dikeluarkan leh sumber dan pada tegangan berapa sumber harus bekerja? I S Z j Ω I B b V S V B e kw b 48 V a csϕ,9 lag n Penyelesaian : Dalam persalan ini, beban kw dihubungkan pada jala-jala 48 V, artinya tegangan beban harus 48 V. Karena saluran antara sumber dan beban mempunyai impedansi, maka sumber tidak hanya memberikan daya ke beban saja, tetapi juga harus mengeluarkan daya untuk mengatasi rugi-rugi di saluran. Sementara itu, arus yang dikeluarkan leh sumber harus sama dengan arus yang melalui saluran dan sama pula dengan arus yang masuk ke beban, baik beban terhubung Y ataupun. Daya beban : P Q B B kw S S S B B cs ϕ sin ϕ 5,6 75 kv P B B jq B S B j75 5 kv,8 kv Besarnya arus yang mengalir ke beban dapat dicari karena tegangan beban diharuskan 48 V : 39

327 P cs ϕ 3 I 5 48,8 3 B VB I B B Daya kmpleks yang diserap saluran adalah tiga kali (karena ada tiga kawat saluran) tegangan jatuh di saluran kali arus saluran knjugat, atau tiga kali impedansi saluran kali pangkat dua besarnya arus : Jadi sal * * 3V sal I sal 3ZI sali sal 3Z sal 3ZI sal S I S sal 3 ( j) 5 35 j35 V,35 j3,5 kv Daya ttal yang harus dikeluarkan leh sumber adalah S S S B Ssal j75,35 j3,5,35 j88,5 S S,35 88,5 34,5 kv kv Dari daya ttal yang harus dikeluarkan leh sumber ini kita dapat menghitung tegangan sumber karena arus yang keluar dari sumber harus sama dengan arus yang melalui saluran. S S V V S S I S S I 3 V I B S S B 3 34, V rms 6.3. Diagram Satu Garis Diagram saru garis juga digunakan untuk menggambarkan rangkaian tiga fasa dengan mdel satu fasa. Dalam mdel satu fasa ini, tegangan yang diambil adalah tegangan fasa-netral dan arusnya adalah arus fasa. CO TOH-6.8: Dua buah beban dihubungkan ke sumber seperti digambarkan dalam diagram berikut ini. Saluran antara sumber dan beban pertama memiliki impedansi Z jx Ω, dan antara beban pertama dan kedua Z jx Ω. Tegangan, daya, dan faktr daya masing-masing beban dicantumkan dalam gambar (faktr daya lagging). Gambarkan secara skematis 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

328 (tanpa skala) diagram fasr tegangan, dengan menggunakan tegangan di beban ke-dua, V fn, sebagai referensi, sedemikian sehingga diperleh fasr tegangan sumber V s. Z jx Z jx V S V fn csϕ V fn csϕ Penyelesaian: Dengan tegangan beban ke-dua digunakan sebagai referensi, maka V V, I I ϕ rus di saluran yang menuju beban ke-dua adalah: I l I Tegangan jatuh di saluran yang menuju beban ke-dua adalah V Z Il ( jx ) Il Tegangan di beban pertama V menjadi: V V V rus beban pertama I adalah ϕ di belakang V. rus di saluran yang menuju beban pertama adalah: I l I l I Tegangan jatuh di saluran pertama adalah: Tegangan sumber adalah: V ( jx) Il Vs V V Diagram fasr tegangan adalah sebagai berikut: 3

329 Sal-Sal. Jika tegangan fasa-netral pada suatu rangkaian tiga fasa BC yang terhubung Y adalah V rms, tuliskan fasr-fasr tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa dengan mengambil tegangan fasa-netral V sebagai fasr referensi. Urutan fasa adalah psitif. Gambarkan pula diagram fasr tegangan-tegangan tersebut.. Jika tegangan fasa-fasa dalam suatu rangkaian tiga fasa BC yang terhubung Y adalah 38 V rms, tuliskan fasr-fasr tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa dengan mengambil tegangan fasa-fasa V B sebagai fasr referensi. Urutan fasa adalah psitif. Gambarkan pula diagram fasr tegangan-tegangan tersebut. 3. Jika arus fasa dalam suatu rangkaian tiga fasa BC yang terhubung adalah rms, tuliskan fasr-fasr arus fasa dan arus fasa saluran dengan mengambil arus fasa I B sebagai fasr referensi. Urutan fasa adalah psitif. Gambarkan pula diagram fasr arus-arus tersebut. 4. Suatu beban tiga fasa seimbang terhubung Y mempunyai impedansi per fasa 8 j6 Ω, dihubungkan pada jaringan tiga fasa BC yang bertegangan fasa-fasa 38 V rms. Urutan fasa psitif. Hitung arus saluran dan gambarkan diagram fasr arus saluran dengan mengambil tegangan fasa-netral V sebagai referensi. Berapakah daya kmpleks ttal yang diserap beban? 5. Suatu beban tiga fasa seimbang terhubung mempunyai impedansi per fasa 3 Ω, dihubungkan pada jaringan tiga fasa yang bertegangan fasa-fasa 38 V rms. Urutan fasa psitif. 3 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

330 Hitung arus saluran dan gambarkan diagram fasr arus saluran dengan mengambil tegangan fasa-fasa V B sebagai referensi. Berapakah daya kmpleks ttal yang diserap beban? 6. Suatu saluran tiga fasa BC mencatu sebuah beban yang terhubung Y. rus saluran adalah I 3 rms sedangkan tegangan fasa-fasa V B 38 3 V rms. nggaplah urutan fasa psitif. Hitunglah impedansi per fasa beban. Hitung daya kmpleks (3 fasa) yang diserap beban dan faktr dayanya. 7. Sebuah beban tiga fasa terhubung Y menyerap daya 5 kv dengan faktr daya,9 lagging dari saluran tiga fasa 38 V rms (fasa-fasa). Hitung arus fasa dan hitung resistansi serta reaktansi per fasa beban. 8. Sebuah beban tiga fasa terhubung menyerap daya 5 kv dengan faktr daya,9 lagging dari saluran tiga fasa 38 V rms (fasa-fasa). Hitung arus fasa, arus saluran, dan hitung resistansi serta reaktansi per fasa beban. 9. Dua buah beban tiga fasa dihubungkan paralel pada saluran tiga fasa bertegangan 38 V rms (fasa-fasa). Beban pertama terhubung Y menyerap daya 5 kv pada faktr daya,8 lagging. Beban kedua terhubung mempunyai impedansi per fasa 4 j Ω. Hitung arus saluran, daya ttal serta faktr dayanya.. Dua beban pada sal 3 terletak di satu lkasi. Beban-beban tersebut dicatu dari sumber dengan menggunakan saluran yang impedansi per fasanya,6 j4 Ω. Berapa daya yang diserap saluran? Berapa daya yang harus disediakan leh sumber? Pada tegangan berapa sumber harus berperasi agar tegangan pada beban dipertahankan 38 V rms (fasa-fasa).. Sebuah generatr tiga fasa membang-kitkan tegangan fasa-netral 4 V rms. Impedansi internal generatr ini adalah j Ω per fasa. Generatr ini mencatu beban melalui saluran tiga fasa yang mempunyai impedansi j5 Ω per fasa. Beban yang dicatu terhubung Y dengan impedansi per fasa 8 j6 Ω. Gambarkan diagram rangkaian ini. Hitunglah : (a) arus di saluran; (b) tegangan di terminal beban; (c) daya kmpleks yang diberikan leh generatr dan yang diserap leh beban; (d) efisiensi saluran. 33

331 . Sebuah beban tiga fasa mempunyai impedansi per fasa 9 j Ω, ber-perasi pada tegangan fasa-fasa 38 Vrms. Beban ini dicatu dari sumber melalui saluran yang impedansinya j4 Ω per fasa. Hitunglah daya yang diberikan leh sumber dan daya yang diserap beban jika: (a) beban dihu-bungkan Y; (b) beban dihubungkan. 3. Sebuah pabrik dicatu dari jaringan tiga fasa, 38 V rms (f-f), 5 Hz. Beban terdiri dari buah mtr induksi, masing-masing HP dengan efisiensi 85% pada beban penuh dan faktr daya,85 lagging, dan 8 buah lampu pijar masing-masing 5 W, V. Dengan menganggap semua beban seimbang, dan seluruh mtr berperasi dan seluruh lampu menyala, hitunglah daya dan faktr daya ttal seluruh beban. 4. Sebuah beban tiga fasa menyerap daya kmpleks sebesar S 6 j kv dan berperasi pada tegangan fasa-fasa 44 V rms. (a) Tentukan besarnya arus saluran. (b) Jika impedansi saluran (antara sumber dan beban) adalah Z s,6 j4 Ω per fasa, berapakah daya yang diserap saluran? (c) Berapakah tegangan sumber? 34 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

332 Daftar eferensi. Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN Sudaryatn Sudirham, Pengembangan Metda Unit Output Untuk Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah, Mngraf, 5, limited publicatin. 3. Sudaryatn Sudirham, Pengantar angkaian Listrik, Catatan Kuliah El, Penerbit ITB, Sudaryatn Sudirham, nalisis Harmnisa Dalam Permasalahan Kualitas Daya, Catatan Kuliah El 64, P. C. Sen, Pwer Electrnics McGraw-Hill, 3rd eprint, 99, ISBN alph J. Smith & ichard C. Drf : Circuits, Deices and Systems ; Jhn Wiley & Sn Inc, 5 th ed, Daid E. Jhnsn, Jhnny. Jhnsn, Jhn L. Hilburn : Electric Circuit nalysis ; Prentice-Hall Inc, nd ed, Vincent Del Tr : Electric Pwer Systems, Prentice-Hall Internatinal, Inc., land E. Thmas, lbert J. sa : The nalysis nd Design f Linier Circuits,. Prentice-Hall Inc, Duglas K Lindner : Intrductin t Signals and Systems, McGraw-Hill,

333 Daftar tasi atau (t) : tegangan sebagai fungsi waktu. V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah. V rr : tegangan, nilai rata-rata. V rms : tegangan, nilai efektif. V maks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak. V : fasr tegangan dalam analisis di kawasan fasr. V : nilai mutlak fasr tegangan. V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s. i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu. I : arus dengan nilai tertentu, arus searah. I rr : arus, nilai rata-rata. I rms : arus, nilai efektif. I maks : arus, nilai maksimum, nilai puncak. I : fasr arus dalam analisis di kawasan fasr. I : nilai mutlak fasr arus. I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s. p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu. p rr : daya, nilai rata-rata. S : daya kmpleks. S : daya kmpleks, nilai mutlak. P : daya nyata. Q : daya reaktif. q atau q(t) : muatan, fungsi waktu. w : energi. : resistr; resistansi. L : induktr; induktansi. C : kapasitr; kapasitansi. Z : impedansi. Y : admitansi. T V (s) : fungsi alih tegangan. T I (s) : fungsi alih arus. T Y (s) : admitansi alih. T Z (s) : impedansi alih. µ : gain tegangan. β : gain arus. r : resistansi alih, transresistance. g : knduktansi; knduktansi alih, transcnductance. 36 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

334 I DEKS a alih daya 33, 74, 77, 8 amplitud 38 anak tangga 6, 7 analisis 3 aperidik 37 arus 9 arus mesh 69, 56 b batere 93, 96 beban terhubung Y 39 beban terhubung 3 besaran 4, 8 d daya, 66, 67 daya kmpleks 69, 7, 34 daya rata-rata 66 daya reaktif 67 daya tiga fasa 38 daya, faktr 7, 97 daya, segitiga 69 diagram 3 diagram blk 6 diagram fasr 9 diagram satu garis 86, 3 diferensiuatr dida 9, e ekialen 95 ekspnensial 6, 8, 7, 33 energi, 9, f Furier 46 g gelmbang 5, 37 gelmbang penuh 94 gelmbang penuh 49, gelmbang, pemtng 95 gigi gergaji 5 h harmnisa 4 hubungan bertingkat 4 i impedansi masukan 97 impuls 4 induktansi 4 induktr 65 infrmasi integratr 9 inersi 7 j jaringan ditribusi 89 k kaidah 6, kapasitansi 3 kapasitr 6, 3 kausal 37 Kirchhff 6, kmpsit 4 knensi, 7 kubik 3 l lebar pita 45 linier 4 m Millman 3 mdel 3 muatan 9, 37

335 n nilai efektif 38 nilai rata-rata 38 nilai sesaat 37 nn linier 49 nninersi 3, 6 nn-kausal 37 Nrtn 6, 3 Ohm 6, 9 OP MP 99,, 6 p parablik 3 pembagi arus 7 pembagi tegangan 7 pengurang penjumlah 9 peridik 37 peubah 3, piranti prprsinalitas 6, 8, 47 r ramp 6 rangkaian, 3 rangkaian penyangga, 6 reduksi rangkaian 44, 54 resistansi, 8, 84 resistr 57 resnansi 58, 6 s saklar 75 satu satuan 46, 47 searah 4 segitiga 5 setengah gelmbang 49, 9, sinus 6, 9, 6, 4 sinyal, 5 spektrum 4 struktur 4 substitusi 35 substitusi 6 sumber 83, 85, 86, 89, 4 superpsisi 6, 9, 47, 5 t tegangan tegangan simpul 59, 55 Tellegen 6, 36 terema 6,, 8 Theenin 6, 3, 48, 53 tiga fasa 36 transfrmasi Y- 5 transfrmatr 76, 87 transien 6 u unit utput 46, 5 38 Sudaryatn Sudirham, nalisis angkaian Listrik ()

336 esistr Lampiran I angkaian pemrses energi maupun pemrses sinyal memerlukan resistr yang sedapat mungkin murni. Gejala adanya induktansi maupun kapasitansi pada piranti ini harus diusahakan sekecil mungkin. esistr juga harus mempunyai kefisien temperatur yang rendah agar dalam perasinya perubahan nilai resistansi sebagai akibat kenaikan temperatur masih dalam batas-batas yang dapat diterima. Nilai resistansi yang diperlukan dalam rangkaian listrik bisa tinggi bahkan sangat tinggi, terutama dalam rangkaian elektrnika, antara 3 sampai 8 Ω. Sementara itu material yang sesuai untuk membangun resistr mempunyai resistiitas ρ kurang dari 6 Ωm. Oleh karena itu dikembangkan knstruksi serta caracara pembuatan resistr yang dapat memenuhi persyaratanpersayaratan teknis (termasuk dimensi) serta pertimbanganpertimbangan eknmis. I.. Knstruksi Lapisan Tipis (Thin Films). Di atas permukaan suatu bahan pendukung (substrat) dibuat lapisan tipis bahan resistif melalui prses eaprasi (penguapan) ataupun sputtering dalam akum. Bahan-bahan metal seperti aluminium, perak, emas, dan Ni-Cr dapat dengan mudah diuapkan dalam akum untuk membentuk lapisan tipis di atas permukaan substrat. Ketebalan lapisan yang diperleh adalah sekitar nm. Setelah lapisan tipis ini terbentuk, dilakukan pengupasan lapisan menuruti pla-pla tertentu untuk memperleh lebar dan panjang lapisan yang diinginkan sesuai dengan nilai resistansi yang diperlukan. Prses pengupasan dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya dengan air jet yang mengandung partikel-partikel abrasif, atau penguapan dengan berkas sinar laser atau berkas elektrn. Sering juga digunakan prses phtlithgraphy. Lapisan Tebal (Thick Film). Tebal lapisan bahan resistif aktif di sini adalah antara 5 µm, dibuat dengan teknik sabln. Plapla alur resistr dibuat lebih dahulu pada screen yang kemudian diletakkan tetap sekitar 3 mm di atas permukaan substrat. Cat dengan kekentalan tertentu, yang merupakan bahan resistr, 39

337 diletakkan di atas screen kemudian disapukan merata menggunakan penyapu dari karet-keras dengan tekanan yang cukup agar screen menyentuh permukaan substrat. Jika penyapuan dihentikan screen akan kembali pada psisi semula dan terbentuklah pla-pla cat di atas substrat. Kekentalan cat harus dibuat sedemikian rupa sehingga pada waktu screen terangkat, cat yang berada di atas substrat meluber ke tempat yang semula tertutup leh benang / kawat screen. Dengan demikian ketebalan lapisan tidak terlalu berariasi. Cat bahan resistr diperleh melalui pencampuran tepung bahan knduktif (biasanya ksida misalnya PdO, uo, dengan kduktiitas 6 6 Sm ) dengan tepung silikat (br-silikat timbal) serta campuran bahan rganik. Setelah pla-pla resistr terbentuk di atas permukaan substrat, dilakukan pemanasan secara terkendali pada temperatur antara 5 C sehingga larutan rganik menguap. Sisa-sisa bahan rganik yang masih tersisa dihilangkan dengan pemanasan pada temperatur 4 C. Yang tertinggal adalah campuran silikat dan kmpnen resistif aktif yang akan melekat dengan baik pada permukaan substrat melalui pemanasan pada temperatur 8 C. Gulungan Kawat. Untuk memperleh kemampuan arus yang lebih tinggi, dibuat resistr dari gulungan kawat. Untuk mengurangi efek induktansi pada gulungan kawat ini dilakukan cara penggulungan tertentu, misalnya penggulungan bifilar. esistr Dalam angkaian Terintegrasi. Selain knstruksi tersebut di atas, kita mengenal resistr-resistr dalam rangkaian terintegrasi. I.. ilai- ilai Standar esistr dibuat menuruti suatu nilai standard dengan tleransi seperti terlihat pada Tabel-I.. Tabel-I. memuat macam resistr dan rentang dayanya. Tabel-I.3 memuat macan ptensimeter dan rentang dayanya. 33

338 Nilai Tleransi ± % Tabel-I.: Nilai-Nilai Standar esistr Nilai Tleransi ± % Nilai Tleransi ± % 5; ; 5; ; 47 5; ; ; 7 5; 56 5; ; ; 33 5; ; 68 5; ; ; 39 5; 8 5; Tabel-I.: Macam esistr & entang Dayanya Type & Nilai Numerik Tleransi ± % Daya [W] Kmpsit: 5; ; /8; ¼; ½; ; Ω - MΩ Karbn: Ω - MΩ ; ; 5 / Lapisan Lgam: Ω - MΩ. / /4. Gulungan Kawat:. Ω - kω. ; ; 5; ; 5 Tabel-I.3: Ptensimeter Type & Nilai Numerik Tleransi ±% Daya [W] Kmpsit: 5 Ω - 5 MΩ Lapisan Lgam: 5 Ω - kω,5,5 Kawat gulung: Ω - kω,5 33

339 Kapasitr Lampiran II Dalam rangkaian listrik kapasitr dapat melakukan berbagai fungsi, misalnya kpling kapasitif, pemisahan tegangan blak-balik dan tegangan searah, filtering (penapisan) dan penyimpanan energi. Kapasitr melewatkan arus blak-balik tetapi menahan arus searah sehingga ia dapat mengkpel arus blak-balik antara satu bagian rangkaian dengan bagian lainnya sementara arus searah di kedua bagian tersebut dipisahkan. Nilai kapasitr juga dapat dipilih sedemikian rupa guna memilah frekuensi yang berbeda. Sebagai penyimpan muatan ia dapat dimanfaatkan misalnya pada lampu kilat kamera. II.. Efisiensi Vlume Efisiensi lume merupakan ukuran kapasitansi yang mungkin diperleh untuk suatu ukuran (dimensi) tertentu. Untuk kapasitr pelat paralel dengan luas dan jarak elektrda d (yang berarti juga tebal dilistrik d), serta permitiitas relatif dilistrik adalah ε r, maka kapasitansi adalah C εrε (II.) d dan efisiensi lume adalah C/lume C lume C d εrε d (II.) Jadi efisiensi lume berbanding lurus dengan permitiitas relatif ε r dan berbanding terbalik dengan kuadrat tebal dilistriknya. Hal ini berarti bahwa makin tinggi permitiitas relatif dan makin tipis bahan dilistriknya akan makin tinggi efisiensi lumenya. kan tetapi dilistrik tidak dapat dibuat terlalu tipis karena bahan dilistrik mempunyai kekuatan menahan tegangan tertentu yang jika dilampaui akan terjadi tembus listrik. Jika kuat medan tembus dilistrik adalah E b sedangkan kapasitr dirancang untuk tegangan kerja V k, maka dengan faktr keamanan η kita akan membuat η Vk Ebd (II.3) 33

340 Dari (II.) dan (II.3) kita dapat menentukan kerapatan energi dalam dilistrik yang diperkenankan, yaitu CV k lume CV k Cd ε ε Jika tegangan blak-balik diterapkan pada kapasitr ideal, tidak terjadi desipasi energi. Dalam kenyataan, kapasitr mengandung 333 r ε rεvk d ε rεeb η (II.4) Persamaan (II.4) menunjukkan bahwa dalam memilih dilistrik untuk kapasitr tegangan tinggi faktr ε r E b perlu diperhatikan. Muatan yang dapat tersimpan dalam kapasitr adalah Efisiensi penyimpanan muatan adalah q/ lume menjadi q lume C lume q CVk. V k (II.5) Jadi efisiensi penyinpanan muatan sama dengan efisiensi lume kali tegangan kerjanya. II.. esistansi rus Searah Kapasitr nyata (bukan ideal) mengandung resistansi arus searah yang besarnya ρd c dengan ρ adalah resistiitas dilistrik. (II.6) Suatu kapasitr yang bermuatan Q akan melepaskan muatannya melalui resistansi ini sesuai dengan relasi t / τ Q( t) Q e, dengan τ C (II.7) Knstanta waktu τ ini tidak tergantung dari dimensi kapasitr tetapi ditentukan hanya leh dilistriknya. Hal ini dapat kita lihat jika kita masukkan (II.6) dan (II.) kita dapatkan τ ρd ε ε d r cc ρ εrε (II.8) esistansi c di atas adalah resistansi dari lume dilistrik. Untuk kapasitr tegangan tinggi ( > kv ), kita harus memperhatikan pula adanya resistansi permukaan antara elektrda. II.3. angkaian Ekialen Pada Tegangan Blak-Balik c

341 resistansi baik resistansi kawat terminasi, elektrda, maupun resistansi dilistriknya sendiri. Yang paling dminan adalah resistansi dilistrik. danya resistansi ini menyebabkan terjadinya desipasi energi, yang dinyatakan sebagai faktr desipasi atau tanδ. Untuk menyatakan adanya rugi-rugi ini, suatu kapasitr dinyatakan dengan rangkaian ekialen yang terdiri dari kapasitr ideal paralel dengan sebuah resistr p seperti pada Gb.II.. atau kapasitr ideal seri dengan resistr s seperti Gb.II.. Gb.II.. angkaian ekialen kapasitr dengan resistr paralel. 334 Gb.II.. angkaian ekialen kapasitr dengan resistr seri. Nilai p dan s untuk kedua rangkaian ekialen ini masing-masing adalah V V C C p I I C tan δ ωc tan δ (II.9) s V I p s s VC tan δ tan δ I ωc C (II.) angkaian ekialen dengan resistr seri lebih mudah digunakan dalam aplikasi praktis karena dalam rangkaian ekialen ini resistr seri dilalui arus yang sama dengan arus kapasitr. esistr seri yang digunakan untuk menyatakan adanya gejala resistansi pada kapasitr ini sering disebut e.s.r. (equialent series resistance). Untuk frekuensi tinggi, selain resistansi kita perlu memperhitungkan pula adanya gejala induktansi L pada sambungan-sambungan kawat serta elektrda. Dalam hal terakhir ini rangkaian ekialen kapasitr

342 berupa rangkaian seri resistr s, iduktr L s dan kapasitr ideal C, yang pada frekuensi tinggi tertentu bisa terjadi resnansi. II.4. Desipasi Daya Pada Kapasitr Dari diagram fasr Gb.II.. dapat difrmulasikan daya yang didesipasi berupa panas, yaitu sebesar atau dari Gb.II.. P V C I p VC I C tan δ VC IC tan δ (II.) P V si C VC IC tan δ VC IC tan δ (II.) V C dan I C dalam kedua persamaan ini adalah nilai efektif tegangan dan arus. Oleh karena I C jωcvc atau IC ωcvc maka persamaan (II.) ataupun (II.) dapat dituliskan sebagai P VC ( ωcvc ) tan δ VC ωc tan δ (II.3) Jika tegangan kapasitr dinyatakan sebagai fungsi sinus Vmaks C Vmaks sin ωt, nilai efektif tegangan adalah V C dan persamaan (II.3) dapat pula ditulis sebagai Kerapatan daya yang didesipasi adalah P lume P V maks ωc tan δ (II.4) ( ε / d ) VmaksωC tan δ Vmaksω ε r lume d Vmaksωε r ε tan δ d Emaksωε r ε tan δ tan δ (II.5) σ C ωεrε tan δ disebut knduktiitas dilistrik. (II.6) ( εr tan δ ) disebut faktr rugi-rugi dilistrik 335

343 II.5. Permitiitas Kmpleks ugi daya pada kapasitr sesungguhnya adalah rugi daya pada dilistriknya, atau dengan kata lain faktr rugi-rugi tanδ adalah sifat dari dilistriknya. Untuk mencakup adanya rugi-rugi dilistrik ini, dikenalkan pengertian permitiitas relatif kmpleks dari dilistrik, yaitu ε * r ε r jε r (II.7) dengan ε r adalah bagian riil dan ε r adalah bagian imajiner dari permitiitas. Dengan pengertian ini maka arus kapasitr adalah * IC jωcvc jωεrε VC d (II.8) jω( ε r jε r ) ε VC jωε rcvc ωε r CVC d dengan C adalah kapasitansi dalam akum yang mempunyai * ε r ε r jε r j. rus kapasitr dalam rumusan (II.6) terdiri dari dua kmpnen. Kmpnen pertama adalah arus kapasitr tanpa rugi-rugi, dan kmpnen kedua adalah arus yang sefasa dengan tegangan. Diagram fasr arus ini terlihat pada Gb.II.3. ωε r C V C Im I C δ 336 e ωε V r C V C C Gb.II.3. Diagram fasr arus kapasitr. Pada Gb.II.3. jelas terlihat bahwa ε r ε r tan δ (II.9) Dari Gb.II.3. terlihat pula bahwa desipasi daya pada kapasitr adalah

344 P ωε r CVC (II.) Dengan memasukkan (II.7) ke (II.8) dapat kita perleh Kerapatan daya yang didesipasi P ωε rcvc tan δ ωcvc tan δ (II.) P ωε rcvc tan δ ωε rε lume d Emaksωε rε tan δ ( / d ) Persamaan ini identik dengan persamaan (II.5). II.6. Macam-Macam Knstruksi Kapasitr Vmaks tan δ d Macam-macam kapasitr yang utama adalah sebagai berikut. (II.) Kapasitr Pita Plimer. Pada dasarnya kapasitr ini dibangun dari pita plimer sebagai dilistrik yang diletakkan diantara dua pita aluminium (alluminium fil) sebagai elektrda dan digulung untuk memperleh luas elektrda yang diinginkan. Gulungan ini kemudian dimasukkan ke dalam tabung aluminium atau dilindungi dengan epxy resin. Knstruksi lain adalah menggunakan lapisan aluminium yang diendapkan (melalui prses penguapan) langsung di permukaan pita plimer sebagai elektrda. Tebal pita plimer hanya beberapa mikrn sedangkan tebal lapisan elektrda yang diendapkan di permukaan plimer adalah sekitar.5 µm; dengan demikian efisiensi lume menjadi tinggi. Plimer yang biasa digunakan adalah plystyrene, plyprpylene, plyester, plycarbnate. Kapasitr jenis ini banyak dipakai. Kapasitr dengan dillistrik plystyrene mempunyai faktr kerugian (tanδ) yang sangat rendah ( < 3 ). Kapasitansi yang bisa dicapai pada knstruksi ini adalah antara 5 µf. Kertas dengan impregnasi juga sering digunakan juga sebagai dilistrik. 337

345 digulung elektrda dielektrik Gb.II.4. Kapasitr pita plimer. Kapasitr Elektrlit luminium. Kapasitr ini dibangun dari dua pita aluminium yang sangat murni dengan ketebalan sekitar 5 µm sebagai elektrda, dan diantara keduanya diletakkan kertas berpri, kemudian digulung membentuk silinder. Salah satu elektrda (yaitu anda) mempunyai lapisan alumina dengan tebal sekitar. µm, yang dibentuk secara andik. Gulungan ini dimasukkan ke dalam tabung silinder kemudian kertas berprinya di-impregnasi dengan suatu elektrlit (misalnya amnium pentabrat). Dengan demikian tersusunlah kapasitr yang terdiri dari anda pita aluminium, lapisan alumina sebagai dilistrik, serta elektrlit dan pita aluminium yang lain sebagai katda. Dalam penggunaan anda harus tetap berptensial psitif. Kapasitr ini dibuat dalam rentang nilai antara sampai 4 µf. b.ii.5. Kapasitr elektrlit. Kapasitr Keramik. Kapasitr keramik dibuat untuk penggunaan pada tegangan dan daya rendah maupun tegangan dan daya tinggi. Untuk tegangan rendah kita mengenal knstruksi piringan, knstruksi tabung, dan knstruksi multilayer. 338

346 dielektrik dielektrik dielektrik Gb.II.6. Kapasitr Keramik Kapasitr Mika. Knstruksi yang umum terdiri dari beberapa lempeng mika dengan ketebalan antara.5 sampai 5 µm sebagai dilistrik dengan lapisan perak sebagai elektrda yang disusun dan diklem membentuk satu susunan kapasitr terhubung paralel. Susunan ini kemudian dibungkus dengan thermsetting resin untuk melindunginya dari kelembaban. Kapasitr jenis ini dibuat dalam rentang 5 sampai µf. II.7. ilai Standar Nilai standar kapasitr tegangan rendah dan tleransinya sama seperti resistr yang diberikan dalam tabel I.. Tabel II.. memuat macam kapasitr dan rating tegangannya. 339

347 Tabel II.. Kapasitr Dilistrik entang nilai Tleransi ± % Tegangan Kerja Searah [V] Gelas 4 pf 5 5 Mika 5 pf ; ; Kertas pf µf 5 4 Plastik pf µf ; 5; 5 6 Keramik 6 pf 5; ; 5 6 II.8. Kapasitr Tegangan Tinggi Knstruksi-knstruksi untuk tegangan rendah tidak dapat digunakan untuk tegangan tinggi karena mempunyai kelemahan yaitu kedua elektrdanya tetap paralel sampai di bagian pinggirnya. Pada knstruksi yang demikian ini, walaupun kuat medan listrik di bagian tengah masih nrmal, di bagian pinggir elektrda dapat terjadi kuat medan yang lebih tinggi (bisa sampai dua kali lipat kuat medan ratarata). Selama kuat medan rata-rata kecil dibandingkan dengan kuat medan tembus dilistrik, hal ini tidak menjadi masalah besar. kan tetapi untuk kndensatr tegangan tinggi hal ini harus mendapat perhatian khusus. Tembus permukaan bisa terjadi jika dilistrik kapasitr yang mempunyai permitiitas tinggi berbatasan dengan dilistrik sekitarnya yang permitiitasnya lebih rendah, misalnya udara. Untuk mengatasi situasi ini, pinggiran elektrda dibuat melengkung sedemikian rupa sehingga jarak rambat permukaan dilistrik di daerah pinggir menjadi panjang. Selain itu permukaan dilistrik kapasitr juga perlu di glazur. Knstruksi yang sering dijumpai untuk kapasitr tegangan tinggi adalah knstruksi pt dan kntruksi silinder. dielektrik dielektrik Gb.II.7. Kapasitr tegangan tinggi. 34

348 Bidata Nama: Sudaryatn Sudirham Lahir: di Blra pada 6 Juli 943 Istri: Ning Utari nak: rga ridarma ria jidarma. 97 : Teknik Elektr Institut Teknlgi Bandung : Dsen Institut Teknlgi Bandung. 974 : Tertiary Educatin esearch Center UNSW ustralia. 979 : EDF Paris Nrd dan Fntainbleu Perancis. 98 : INPT - Tuluse Perancis; 98 DE; 985 Dktr. Kuliah yang pernah diberikan: Pengukuran Listrik, Pengantar Teknik Elektr, Pengantar angkaian Listrik, Material Elektrteknik, Phenmena Gas Terinisasi, Dinamika Plasma, Dielektrika, Material Bimedika. Buku dan rtikel: nalisis angkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN , ; Metda asi TM/T Untuk Estimasi Susut Energi Jaringan Distribusi, Penerbit ITB, ISBN , 9; Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan Integral, Penerbit ITB, ISBN , 9; nalisis angkaian Listrik (), ; nalisis angkaian Listrik (), ; nalisis angkaian Listrik (3), ; ; Mengenal Sifat Material (), ; Estimasi Susut Teknik dan nteknik Jaringan Distribusi,. Bidang minat: Pwer Engineering; Material Science. 34