Untai Elektrik I. Waveforms & Signals. Dr. Iwan Setyawan. Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana. Untai 1. I. Setyawan.

Transkripsi

1 Untai Elektrik I Waveforms & Signals Dr. Iwan Setyawan Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana

2 Secara umum, tegangan dan arus dalam sebuah untai elektrik dapat dikategorikan menjadi tiga jenis fungsi waktu: periodik non-periodik acak Dalam kuliah ini ranah waktu fungsi adalah < t <.

3 (1) Definisi Sebuah fungsi v(t) disebut periodik dengan periode T jika v(t) = v(t + T ) untuk semua t (1) Berikut disajikan 4 contoh bentuk fungsi periodik.

4 (2) Gelombang sinus: v 1 (t) = v(t + T ) untuk semua t (2)

5 (3) Pulsa periodik: v 2 (t) = { V 1 0 < t < T 1 V 2 T 1 < t < T (3)

6 (4) Periodic tone burst: v 3 (t) = dengan T = kλ dan k integer { V 0 sin 2πt/Λ 0 < t < T 1 0 T 1 < t < T (4)

7 (5) Rekaman yang diulang-ulang secara periodik: v 4 (t) (5)

8 (6) Suatu fungsi periodik bisa sangat kompleks. Tapi dengan menggunakan analisis Fourier fungsi-fungsi seperti ini dapat direpresentasikan sebagai jumlahan fungsi-fungsi sinusoida.

9 (1) Definisi Sebuah tegangan berbentuk sinusoida, v(t) didefinisikan sebagai v(t) = V 0 cos(ωt + θ) (6) Pada persamaan ini V 0 disebut amplitudo, ω disebut kecepatan/frekuensi sudut (angular velocity/frequency) dan θ disebut sudut fase.

10 (2) Kecepatan sudut ω dapat dinyatakan dalam T (periode) atau dalam f (frekuensi). Definisi Hubungan T dan f didefinisikan sebagai berikut f = 1/T (7) Frekuensi memiliki satuan Hertz (Hz) atau siklus/detik.

11 (3) Karena maka hubungan antara ω dan T adalah cos ωt = cos(ωt + 2π) (8) ωt = 2π (9) v(t) membutuhkan waktu T detik untuk kembali ke nilai awalnya. Dengan kata lain, tiap detik fungsi tersebut menjalani 1/T periode.

12 (4) Summary Untuk fungsi sinusoida, kita peroleh ω = 2π/T = 2πf f = 1/T = ω/2π T = 1/f = 2π/ω

13 (5) Contoh soal 1: Diketahui fungsi v 2 (t) = sin t. Gambarkan fungsi tersebut, serta hitung periode dan frekuensinya!

14 (6) Jawab: Gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:

15 (6) Jawab (cont.): Periode dan frekuensi diperoleh sebagai berikut. Dari soal, dapat diketahui bahwa ω = 1 rad/sec. Oleh karena itu, dan T = 2π/ω = /1 s s = s (10) f = 1/T Hz = 1/ Hz = Hz (11)

16 (7) Contoh soal 2: Diketahui fungsi v 4 (t) = 2 cos(πt/4 45 ). Gambarkan fungsi tersebut, serta hitung periode dan frekuensinya!

17 (8) Jawab: Perhatikan bahwa v 4 (t) = 2 cos(πt/4 π/4) = 2 cos[π(t 1)/4] (12) sehingga gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:

18 (9) Jawab (cont.): Periode dan frekuensi diperoleh sebagai berikut. Dari soal, dapat diketahui bahwa ω = π/4 rad/sec. Oleh karena itu, dan T = 2π/ω s = 2π/(π/4) s = 8 s (13) f = 1/T Hz = 1/8 Hz = Hz (14)

19 (1) Jika fungsi v(t) = cos ωt mengalami delay sebesar τ detik, maka diperoleh v(t τ) = cos ω(t τ) = cos(ωt θ), θ = ωτ (15) Plot fungsi yang mengalami delay sebesar τ detik akan bergeser ke kanan sejauh τ detik. Delay (pergeseran waktu ke kanan) setara dengan sebuah phase lag sebesar θ = ωτ = 2πf τ.

20 (2) v(t) = cos ωt dapat juga maju sebesar τ detik, sehingga diperoleh v(t + τ) = cos ω(t + τ) = cos(ωt + θ), θ = ωτ (16) Plot fungsi ini akan bergeser ke kiri sejauh τ detik. waktu ke kiri ini setara dengan sebuah phase lead sebesar θ = ωτ = 2πf τ.

21 (3) Dengan analisis yang sama, dapat disimpulkan: yang mengalami pergeseran fase (baik lag/lead) sebesar θ juga akan mengalami pergeseran waktu sebesar τ. Untuk sebuah θ yang sama, semakin tinggi frekuensi semakin kecil pergeseran waktu yang diakibatkan.

22 (4) Contoh soal: Diketahui sebuah untai yang memiliki pasangan input-output (yang berlaku untuk semua ω dan A) sebagai berikut: v i (t) = A cos ωt v o (t) = A cos(ωt θ) Jika diketahui v i (t) = cos ω 1 t + cos ω 2 t, carilah v o (t) jika: θ = 10 6 ω (pergeseran fase sebanding dengan frekuensi) θ = 10 6 (pergeseran fase konstan)

23 (5) Jawab: Dari soal dapat diperoleh bahwa jika v i (t) = cos ω 1 t + cos ω 2 t maka v o = cos(ω 1 t θ 1 ) + cos(ω 2 t θ 2 ) (17)

24 (6) Jawab (cont.): Jika pergeseran fase proporsional, diperoleh θ 1 = 10 6 ω 1 θ 2 = 10 6 ω 2 sehingga v o = cos(ω 1 t 10 6 ω 1 ) + cos(ω 2 t 10 6 ω 2 ) = cos ω 1 (t 10 6 ) + cos ω 2 (t 10 6 ) = v i (t 10 6 ) = v i (t τ), τ = 10 6 s (18) Jadi, pergeseran fase proporsional ini mengakibatkan semua komponen frekuensi input ter-delay sebesar 10 6 detik dan output mengikuti bentuk input tanpa distorsi.

25 (7) Jawab (cont.): Jika pergeseran fase konstan, diperoleh sehingga θ 1 = θ 2 = 10 6 v o = cos(ω 1 t 10 6 ) + cos(ω 2 t 10 6 ) = cos ω 1 (t 10 6 /ω 1 ) + cos ω 2 (t 10 6 /ω 2 ) (19) Jadi, pergeseran fase konstan ini mengakibatkan nilai delay yang berbeda untuk masing-masing komponen frekuensi input. Akibatnya, bentuk sinyal output tidak sama dengan bentuk sinyal input (terjadi distorsi).

26 (1) Teorema Jumlahan 2 buah fungsi periodik dengan periode masing-masing T 1 dan T 2 akan menghasilkan fungsi baru yang juga periodik jika terdapat suatu periode T sedemikian sehingga T = n 1 T 1 = n 2 T 2 dengan n 1 dan n 2 adalah integer.

27 (2) Contoh soal: Apakah v(t) = cos t + cos2πt periodik? Jelaskan!

28 (3) Jawab: v(t) dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 buah fungsi periodik, yaitu v 1 (t) = cos t dan v 2 (t) = cos 2πt yang masing-masing memiliki periode T 1 = 2π dan T 2 = 1. Dari sini terlihat bahwa tidak ada bilangan integer yang memenuhi n 1 T 1 = n 2 T 2. Jadi, v(t) tidak periodik.

29 (3) Jawab: v(t) dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 buah fungsi periodik, yaitu v 1 (t) = cos t dan v 2 (t) = cos 2πt yang masing-masing memiliki periode T 1 = 2π dan T 2 = 1. Dari sini terlihat bahwa tidak ada bilangan integer yang memenuhi n 1 T 1 = n 2 T 2. Jadi, v(t) tidak periodik. Catatan: Dalam melakukan analisis untai, trigonometric identities sangat bermanfaat. Tabel 6.1 buku referensi merangkum beberapa trigonometric identities yang penting.

30 (4) Contoh soal: Nyatakan fungsi v(t) = cos 5t sin(3t + 45 ) sebagai jumlahan 2 buah fungsi cosinus. Cari juga periode fungsi ini!

31 (5) Jawab: Berdasarkan trigonometric identity, diperoleh v(t) = cos 5t sin(3t + 45 ) = [sin(8t + 45 ) sin(2t 45 )]/2 = [cos(8t 45 ) + cos(2t + 45 )]/2 (20) Periode v(t) adalah π (buktikan!).

32 (1) Sebuah fungsi periodik f (t) yang memiliki periode T, memiliki nilai rerata (average value): F avg = f (t) = 1 T serta nilai efektif : T 0 F eff = F rms = f (t)dt = 1 T t0 +T t 0 f (t)dt (21) [ 1 t0 +T ] 1/2 f 2 (t)dt (22) T t 0 Dari kedua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa F 2 eff = f 2 (t). Nilai rerata dan RMS biasanya dihitung untuk 1 periode.

33 (2) Contoh soal: Carilah nilai rerata dan RMS sebuah gelombang cosinus v(t) = V m cos(ωt + θ)!

34 (3) Jawab: Nilai rerata fungsi ini adalah: V avg = 1 T T 0 V m cos(ωt + θ)dt = V m ωt [sin(ωt + θ)]t 0 = 0 (23)

35 (4) Jawab (cont.): Nilai RMS fungsi ini adalah: V 2 eff = 1 T = 1 2T T 0 T 0 V 2 m cos 2 (ωt + θ)dt V 2 m[1 + cos 2(ωt + θ)]dt = V 2 m/2 (24) sehingga V eff = V m / 2 = 0.707V m. Dari jawaban soal ini, dapat disimpulkan bahwa V avg maupun V eff tidak bergantung frekuensi dan fase. Dengan kata lain, semua gelombang cosinus selalu memiliki nilai rerata 0 dan nilai RMS 0.707V m.

36 (5) Contoh soal: Cari rata-rata disipasi daya (dalam satu periode T ) suatu resistor bernilai R ohm yang terhubung dengan tegangan v(t) yang berbentuk gelombang cosinus. Cari juga besar tegangan DC V dc yang akan memberikan disipasi daya sama dengan v(t)!

37 (6) Jawab: Daya yang didisipasikan diberikan oleh: Karena v(t) berbentuk cosinus, maka P = vi = v 2 /R (25) P avg = 1 T v 2 (t)dt RT 0 = 1 R V 2 eff (26) Jadi jika v(t) akan diganti dengan sebuah V dc, maka V dc = V eff agar disipasi daya tetap.

38 (1) Bentuk fungsi non periodik untuk sembarang t tidak dapat ditentukan dengan hanya mengetahui sebagian dari fungsi tersebut. Contoh fungsi nonperiodik misalnya: { 0 t < 0 v 1 (t) = (27) 1 t > 0 0 t < 0 v 2 (t) = 1/T 0 < t < T (28) 0 t > T { 0 t < 0 v 3 (t) = (29) sin ωt t > 0

39 (2) Contoh-contoh lain fungsi nonperiodik dapat dilihat pada referensi. Beberapa fungsi nonperiodik digunakan sebagai dasar untuk membuat sinyal yang digunakan dalam analisis dan desain untai elektrik. Beberapa contoh fungsi seperti ini dibahas pada bagian-bagian berikut.

40 (3): Unit Step Definisi Sebuah fungsi unit step tidak memiliki dimensi, dan didefinisikan sebagai berikut: { 0 t < 0 u(t) = 1 t > 0 Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi untuk t = 0. (30)

41 (4): Unit Step Gambar fungsi unit step adalah sebagai berikut:

42 (5): Unit Step Contoh penggunaan fungsi unit step adalah sebagai berikut. Misalkan pada untai berikut, switch ada pada posisi 1 untuk t < 0 dan dipindah ke posisi 2 pada t = 0. Tegangan antara titik A dan B dapat dinyatakan sebagai v AB = V 0 u(t).

43 (6): Unit Step Contoh soal: Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi 2 pada waktu t = t 0. Nyatakan v AB menggunakan fungsi step!

44 (6): Unit Step Contoh soal: Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi 2 pada waktu t = t 0. Nyatakan v AB menggunakan fungsi step! Jawab: Dalam kasus ini, kemunculan tegangan v AB tertunda sampai t = t 0. Jadi, kita ganti t dengan t t 0 untuk memperoleh v AB = V 0 u(t t 0 ).

45 (7): Unit Step Contoh soal: Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi 2 pada waktu t = 0 kemudian dipindah kembali ke posisi 1 pada waktu t = 5 s. Nyatakan v AB menggunakan fungsi step!

46 (7): Unit Step Contoh soal: Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi 2 pada waktu t = 0 kemudian dipindah kembali ke posisi 1 pada waktu t = 5 s. Nyatakan v AB menggunakan fungsi step! Jawab: Dalam kasus ini v AB dapat dinyatakan sebagai jumlahan fungsi step sebagai berikut: v AB = V 0 [u(t) u(t 5)].

47 (8): Unit Impulse Perhatikan gambar berikut. Gambar ini menunjukkan sebuah fungsi s T (t) yang bernilai 0 untuk t < 0 dan naik secara seragam dari 0 ke 1 dalam T detik.

48 (9): Unit Impulse Turunan fungsi diatas, d T (t) adalah sebuah pulsa selama T detik dengan amplitudo 1/T, seperti pada gambar berikut. diatas didefinisikan sebagai berikut: 0 t < 0 d T (t) = 1/T 0 < t < T 0 t > T (31)

49 (10): Unit Impulse Jika nilai T dikurangi, pulsa diatas akan makin kurus dan makin tinggi sedangkan luasan dibawah pulsa tersebut akan tetap sebesar 1. Jika T dikurangi hingga mendekati 0, maka limit fungsi s T (t) akan menjadi fungsi unit step u(t) sedangkan turunannya, d T (t) akan menjadi fungsi unit impulse δ(t) dengan lebar 0 dan tinggi tak berhingga. ini disebut juga unit delta function dan didefinisikan sebagai berikut: δ(t) = 0 untuk t 0 dan δ(t)dt = 1

50 (11): Unit Impulse unit impulse digambarkan sebagai berikut: Sebuah fungsi impulse yang merupakan limit dari sebuah pulsa sempit dengan luasan A dinyatakan dengan Aδ(t). Nilai magnitude A sering disebut strength impulse tersebut. Sebuah unit impulse yang muncul pada t = t 0 dinyatakan dengan δ(t t 0 ).

51 (12): Unit Impulse Contoh soal: Tegangan diantara terminal kapasitor 100 nf naik secara linear dari 0 sampai 10 V dengan bentuk seperti s T (t). Carilah: Muatan kapasitor pada waktu t = T. Arus i C (t) pada kapasitor untuk T = 1 s, T = 1 ms dan T = 1 µs.

52 (13): Unit Impulse Jawab: Pada waktu t = T, v C = 10 Volt. Jadi muatan dalam kapasitor adalah Q = Cv C = = 10 6 C

53 (14): Unit Impulse Jawab (cont.): Per definisi, atau i C (t) = C dv C dt 0 t < 0 i C (t) = I 0 = 10 6 /T 0 < t < T 0 t > T (32) (33) Jadi untuk T = 1 s, I 0 = 10 6 A. Untuk T = 1 ms, I 0 = 10 3 A. Untuk T = 1 µs I 0 = 1 A. Dalam semua kasus diatas, jumlah muatan tidak bergantung pada T yaitu selalu sebesar 10 6 C.

54 Contoh soal: (15): Unit Impulse Misalkan d T (t t 0 ) adalah sebuah pulsa dengan lebar T dan tinggi 1/T yang mulai pada t = t 0, atau { 1/T t 0 < t < t 0 + T d T (t t 0 ) = (34) 0 otherwise Misalkan juga fungsi f (t) yang kontinu pada selang t 0 dan t 0 + T seperti pada gambar berikut.

55 (16): Unit Impulse Contoh soal (cont.): Carilah limit integral berikut, I = untuk T 0. d T (t t 0 )f (t)dt (35)

56 (17): Unit Impulse Jawab: Dengan mensubstitusikan Persamaan (34) ke Persamaan (35), kita peroleh I = 1 T t0 +T t 0 f (t)dt = S T dengan S adalah daerah yang ditunjukkan pada gambar berikut. (36)

57 (18): Unit Impulse Jawab (cont.): Dengan asumsi nilai T kecil, fungsi f (t) dapat didekati dengan sebuah garis lurus dari titik A ke titik B. Jadi luasan S adalah luasan sebuah trapezoid: dan S = 1 2 [f (t 0) + f (t 0 + T )]T (37) I = 1 2 [f (t 0) + f (t 0 + T )] (38)

58 (19): Unit Impulse Jawab (cont.): Jika T 0, d T (t t 0 ) δ(t t 0 ) dan f (t 0 + T ) f (t 0 ) sehingga Tapi karena sehingga lim 1 T 0 T 0 2 [f (t 0) + f (t 0 + T )] (39) = f (t 0 ) (40) lim I = δ(t t 0 )f (t)dt (41) T 0 δ(t t 0 )f (t)dt = f (t 0 ) (42)

59 (20): Unit Impulse Jawab (cont.): Persamaan terakhir disebut juga sifting property fungsi impulse. Persamaan ini juga merupakan definisi lain untuk δ(t).

60 (21): Eksponensial f (t) = e st dengan s sebuah konstanta kompleks disebut dengan fungsi eksponensial. ini meluruh (decay) bersama waktu jika komponen real s negatif. ini tumbuh bersama waktu jika komponen real s positif. Dalam pembahasan ini, digunakan fungsi f (t) = e at dengan a sebuah konstanta real.

61 (22): Eksponensial Dimensi invers konstanta a adalah waktu dan disebut dengan time constant, τ = 1/a. Plot sebuah fungsi eksponensial meluruh, e t/τ ditunjukkan pada gambar berikut.

62 (23): Eksponensial Nilai fungsi ini turun dari nilai awal (1) pada t = 0 ke 0 pada t =. Setelah τ detik, nilai fungsi turun ke e 1 = Jika τ = 1, fungsi e t disebut normalized exponential. Hal ini ekuivalen dengan fungsi e t/τ yang di-plot terhadap t/τ.

63 (24): Eksponensial Kita sering menjumpai fungsi dengan bentuk f (t) = Ae at + B (43) ini ditentukan oleh 3 nilai A, B dan a yang masing-masing didefinisikan sebagai berikut: A = nilai awal nilai akhir a = invers konstanta waktu B = nilai akhir

64 (25): Eksponensial Dalam bentuk lain, dapat dituliskan nilai awal = f (0) = A + B nilai akhir = f ( ) = B konstanta waktu = τ = 1/a

65 (26): Eksponensial Contoh soal: Carilah fungsi v(t) yang meluruh secara eksponensial dari 5 V pada t = 0 ke 1 V pada t = dengan konstanta waktu 3 detik. Gambarkan fungsi tersebut.

66 (27): Eksponensial Jawab: Dari penjelasan sebelumnya, kita peroleh v(t) = Ae t/τ + B, dengan v(0) = A + B = 5 v( ) = B = 1 τ = 3 jadi maka A = 5 B = 4 v(t) = 4e t/3 + 1

67 (28): Eksponensial Jawab (cont.): Gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:

68 (29): Eksponensial Contoh soal: Suatu tegangan v = V 0 e t /τ, τ > 0, dihubungkan pada sebuah kapasitor. Cari arus i dalam kapasitor. Gambarkan juga v dan i jika V 0 = 10 V, C = 1 µf dan τ = 1 ms.

69 (30): Eksponensial Jawab: Menggunakan hubungan kita peroleh: i = C dv dt v = V 0 e t/τ dan i = I 0 e t/τ, untuk t < 0 v = V 0 e t/τ dan i = I 0 e t/τ, untuk t > 0 dengan I 0 = CV 0 /τ. Dengan menggunakan data yang diketahui dalam soal, diperoleh I 0 = 10 ma.

70 (31): Eksponensial Jawab (cont.): Gambar v adalah sebagai berikut:

71 (32): Eksponensial Jawab (cont.): Gambar i adalah sebagai berikut:

72 (33): Damped sinusoid Damped sinusoid merupakan suatu gelombang sinus yang amplitudonya meluruh secara eksponensial. ini memiliki bentuk v(t) = Ae at cos(ωt + θ) (44)

73 (34): Damped sinusoid Contoh soal: Suatu arus i = I 0 e at cos ωt dilewatkan ke sebuah rangkaian R-L seri. Cari persamaan untuk v RL Hitung nilai v RL jika I 0 = 3 A, a = 2, ω = 40 rad/s, R = 5 Ω dan L = 0.1 H. Gambar i sebagai fungsi waktu.

74 (35): Damped sinusoid Jawab: Karena v R = Ri = RI 0 e at cos ωt (45) v L = L di dt = LI 0e at (a cos ωt + ω sin ωt) (46) maka v RL = v R + v L = I 0 e at [(R La) cos ωt Lω sin ωt] = V 0 e at cos(ωt + θ) (47)

75 (36): Damped sinusoid Jawab (cont.): Pada Persamaan (47), V 0 = I 0 (R La) 2 + L 2 ω 2 θ = tan 1 [Lω/(R La)] Dengan memasukkan data dari soal ke persamaan diatas, kita peroleh V 0 = V dan θ = Dari sini dapat diperoleh i = 3e 2t cos 40t danv RL = 18.75e 2t cos(40t )

76 (37): Damped sinusoid Jawab (cont.): Gambar i sebagai fungsi waktu adalah sebagai berikut:

77 (1) Semua sinyal yang sudah dibahas diatas dapat dideskripsikan dengan lengkap asalkan parameter-parameternya diketahui. Sinyal-sinyal seperti ini disebut deterministik. Terdapat sinyal-sinyal yang hanya bisa dideskripsikan secara sebagian berdasarkan besaran seperti nilai rerata, RMS atau frekuensinya. Sinyal seperti ini disebut sinyal acak (random signal). Sinyal acak dapat saja membawa informasi sehingga tidak boleh disamakan dengan derau.

78 (2) Contoh sinyal acak misalnya tegangan yang terukur pada mikrofon karena ada suara yang ditangkap, intensitas suatu citra atau sinyal wicara atau musik yang memodulasi gelombang pembawa pada radio AM. Nilai sinyal seperti ini untuk waktu yang akan datang tidak dapat ditentukan secara eksak. Nilai tersebut hanya bisa diprediksi secara rata-rata ( pada umumnya ). Meskipun demikian, sinyal-sinyal semacam ini masih memiliki peran yang sangat penting dalam untai elektrik.

79 (3) Contoh soal: Sebuah sinyal biner, v(t) hanya memiliki 2 kemungkinan nilai yaitu +0.5 V atau 0.5 V. Perubahan tanda hanya dapat berlangsung tiap 1 ms. Perubahan tanda ini tidak diketahui secara a priori, tapi peluang polaritas positif sama dengan peluang polaritas negatif. Carilah nilai rerata dan efektif sinyal ini selama jangka waktu 10 s.

80 (4) Jawab: Dalam jangka waktu 10 s, terdapat interval (masingmasing) 1 ms). Secara rata-rata, jumlah interval dengan polaritas negatif sama dengan jumlah interval dengan polaritas positif. Oleh karena itu, nilai rerata sinyal ini dapat didekati dengan v avg = ( )/10000 = 0

81 (5) Jawab (cont.): Nilai efektif sinyal dihitung sebagai berikut V 2 eff = [(0.5) ( 0.5) ]/10000 = (0.5) 2 V eff = 0.5 V Tidak seperti nilai rerata, nilai efektif sinyal ini eksak (mengapa?).