PENYELESAIAN PERSAMAAN RICCATI DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE

Transkripsi

1 Vol. 10. No., 01 Jural Sai, Tekologi da Idutri PENYELESAIAN PERSAMAAN RICCATI DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE Wartoo *), M. N. Muhaijir Jurua Matematika, Fakulta Sai da Tekologi UIN Sulta Syarif Kaim Riau, Pekabaru 99-Idoeia *) ABSTRAK Makalah ii membaha tetag peyeleaia peramaa difereial Riccati dega megguaka metode dekompoii Adomia Laplace (LADM). Metode dekompoii Adomia Laplace merupaka metode emi aalitik utuk meyeleaika peramaa difereial oliier yag megkombiaika atara traformai Laplace da metode dekompoii Adomia. Berdaarka hail perhituga, metode dekompoii Adomia Laplace dapat meghampiri peyeleaia peramaa difereial biaa oliear. Katakuci: Metode Dekompoii Adomia Laplace, Peramaa Difereial Biaa Noliear, Peramaa Riccati. ABSTRACT Thi paper dicue the olvig of Riccati differetial equatio by uig Laplace Adomia Decompoitio Method (LADM). Thi method i a emi aalytical method to olve for the oliear ordiary differetial equatio that combie betwee Laplace traform ad Adomia Decompoitiom Method. Baed o the calculatio reult, the Laplace Adomia decompoitio method ca olve the olutio of oliear ordiary differetial equatio.. Keyword: Laplace Adomia Decompoitio Method, Noliear Ordiary Differetial Equatio, Riccati Equatio

2 Vol. 10. No., 01 Jural Sai, Tekologi da Idutri PENDAHULUAN Peramaa difereial Riccati merupaka repreetai matemati yag beraal dari peroala-peroala tekik, rekayaa da ai terapa, eperti pemroea radom, diffui, tokatik, itea jariga da matematika fiaial. Oleh karea peramaa Riccati merupaka peramaa difereial oliear dega betuk peramaa yag cukup komplek, maka beberapa tekik aalitik tidak dapat meyeleaia per-oala ii. Utuk itu dikembagka metode emi aalitik yag dikotruki dega megguaka deret. Beberapa metode emi aalitik telah dikembagka utuk meyeleaika peramaa difereial Riccati, eperti dekompoii Adomia [,5], iterai variai [,7], traformai difereial [4], da pertubai homotopi [1]. Pada makalah ii aka dibaha peerapa metode dekompoii Adomia Laplace (LADM) pada peramaa difereial Riccati. Metode dekompii Adomia Laplace merupaka metode emi aalitik yag megkombiaika atara metode dekompoii Adomia (ADM) dega traformai Laplace. Beberapa peeliti meerapka metode ii utuk meyeleaika beberapa tipe peramaa difereial baik liear maupu oliear. Syam da Hamda [8] megguaka metode Dekompoii Adomia Laplace utuk meyeleaika peramaa Bratu. Yuufoglu [9] juga megguaka algoritma Dekompoii Laplace utuk mecari peyeleaia peramaa Duffig. Perkembaga elajutya, Kiyma [5] juga melakuka kombiai atara traformai Laplace dega metode dekompoii Adomia utuk meyeleaika peramaa difereial biaa oliier orde dua dega koefiie variabel. BAHAN DAN METODE a. Metode Dekompoii Adomia Metode dekompoii Adomia adalah alah atu metode yag diguaka utuk meyeleaika peramaa difereial oliier berdaarka ilai awal da hail perhitugaya cukup efektif utuk meghampiri peyeleaia ekak. Secara umum dapat ditulika Ly + Ry + Ny = g(x) (1) Ly = Ry Ny + g(x) () d dega L adalah operator dife-reial. dx Diaumika bahwa iver operator ada, da merupaka itegral ebayak orde pada terhadap dari ampai. L 1 Ly = L 1 g(x) L 1 Ry L 1 Ny () da peyeleaia umum peramaa () adalah y L g L Ry L Ny (4) dega adalah kotata itegral da memeuhi L = 0. Jika L adalah operator difereial orde atu, maka L 1 adalah itegral tetu da = y(0), da jika L adalah operator difereial orde dua, maka L 1 adalah itegral gada dari 0 ampai x da = y(0) + y'(0) x. Peyeleaia y merupaka jumlah deret tak higga 0 y lim y (5) da betuk uku oliear Ny merupaka jumlah poliomial Adomia yag dibe-rika oleh Ny A (6) 0 dega A adalah poliomial yag dihi-tug berdaarka A 1 d! d f i0 i y i 0 utuk = 0, 1,,... Berdaarka peramaa (5) da (6), maka peramaa (4) dapat dituli kembali mejadi y L g L R y L A (7) 0 0 dega y 0 = + L 1 g y = L 1 Ry -1 L 1 A -1, 1. b. Metode Dekompoii Adomia Laplace Metode dekompoii Adomia Laplace (LADM) merupaka kombiai metode dekompoii Adomia da kemudia

3 Vol. 10. No., 01 Jural Sai, Tekologi da Idutri metraformaika dega betuk Laplace. Metode ii telah diguaka utuk meyeleaika beberapa pera-maa difereial, mialya peramaa Bratu [8], peramaa difereial orde dua [5], peramaa Duffig [9]. Padag kembali peramaa () dalam betuk Ly = g(x) Ry Ny (8) Peerapa traformai Laplace pada peramaa (8) aka diperoleh L{Ly} = L{g(x)} L{Ry} L{Ny} (9) Oleh karea maka y y da Ny 0 A 0 L{Ly} = L{g(x)} L{Ry} L A (10) 0 HASIL DAN PEMBAHASAN a. Aplikai LADM Pada Peramaa Riccati Peramaa Riccati ecara umum dituli dy Q( t) y R( t) y P( t), (11) dt y (0) dega Q(t), R(t) da P(t) adalah koefi-ie da adalah ilai awal. Peyeleai peramaa (11) ditetuka dega megguaka traformai Laplace L{y'} = L {y} y(0), (1) maka diperoleh 1 Q ( t) L{y} = + L{P(t)} + L{y} + Oleh karea L{y } (1) y lim y (14) i0 maka peramaa (11) dapat dibetuk kembali mejadi 1 Q ( t) L y = + L{P(t)} + 0 L y + L 0 A 0 i (15) Berdaarka pada defiii Adomia, bahwa peyeleaia y diperoleh dalam betuk pejumlaha uku da peramaa (15) merupaka betuk rekuri utuk = 0, 1,,... Utuk = 0, diperoleh rekuri y 0 = + 1 L{P(t)} edagka utuk 1, diperoleh Q ( t) y 1 = L{y 0 } + L{A 0 } Q ( t) y = L{y 1 } + L{A 1 } Q ( t) y +1 = L{y } + L{A } Peyeleaia peramaa (11) merupaka jumlah deret da dapat ditulika ebagai y = lim 0 Oleh karea peyeleaia peramaa berbetuk deret, maka akurai peyele-aia bergatug kepada bayakya uku-uku yag terlibat. Akurai hampira metode dekompoii Adomia Laplace yag melibatka jumlah uku-ukuya dapat dilihat dari bearya galat didefiiika oleh e y( t) ( t) b. Hail Numerik Pada ub-bab ii, algoritma dekompoii Adomia Laplace aka diterapka pada beberapa kau peramaa Riccati. Cotoh 1. Tetuka peyeleaia peramaa Riccati berikut. dy dt dega y(0) = 0 y y 1, (16) Berdaarka peramaa (11) diperoleh Q(t) = 0, R(t) = 1, P(t) = 1 da = 0. Peerapa traformai Laplace pada peramaa (16) memberika L{y} y(0) = L{y } + L{1}

4 Vol. 10. No., 01 Jural Sai, Tekologi da Idutri Oleh karea L{y} = 1 L{1} 1 L{y } (17) y y 0 maka peramaa (17) mejadi 1 1 L y = L{1} L 0 A 0 Utuk itu diperoleh, da y 0 = 1 L 1 {1} y 1 = 1 L 1 {A 0 } y = 1 L 1 {A 1 } Secara umum y +1 = 1 L 1 {A } Dega meyeleaika iver tra-formai Laplace diperoleh, 4 A 1 = t t A = t t t A = t t t t da y0 t 1 y 1 t y 5 t y 7 t 15 Jumlah uku-uku yag diguaka adalah 0 = t 1 1 = t t 1 5 = t t t = t t t t Peyeleaia peramaa (16) diperoleh dega mejumlahka uku-uku ampai tak higga dalam betuk y = lim 0 ehigga diperoleh y t t t t (18) Peramaa (18) merupaka deret Taylor ehigga dapat dibetuk mejadi t e 1 y t e 1 Cotoh. Pertimbagka peramaa difereial Riccati kuadrat berikut dy y y 1 (19) dt dega yarat y(0) = 0. Selajutya, dega megguaka traformai Laplace peramaa (19) mejadi L{y} y(0) = L{y} L{y } + L{1} L{y} = 1 L{1} + L{y} 1 L{y } (0) Oleh karea y y 0 maka peramaa (0) dapat dituli kembali 1 L y = L{1} + L 0 y 0 1 L A (1) 0 Berdaarka peramaa (1), diperoleh betuk rekuri, utuk = 0, y 0 = 1 L 1 {1} da utuk 1, y 1 = L 1 {y 0 } 1 L 1 {A 0 } y = L 1 {y 1 } 1 L 1 {A 1 } Secara umum dituli y

5 Vol. 10. No., 01 Jural Sai, Tekologi da Idutri y +1 = L 1 {y } 1 L 1 {A } Sedagka betuk oliear adalah A 0 = y 0 A 1 = y 0 y 1 A = y 0 y + y 0 y 1 A = y 0 y + y 0 y 1 y Subtituika iver traformai Laplace, maka aka diperoleh, y 0 = t da A 0 = y 0 () Subtituika peramaa () ke poliomial Adomia da dega meg-aplikaika iver traformai Laplace diperoleh 4 A 1 = t t A = t t t A = t t t t da 1 y 1 = t t 4 5 y = t t t y = t t t t y 4 = t t t t t 9 85 Peyeleaia ekpliit peramaa (19) merupaka aprokimai jumlah takhigga dari y i, i = 0, 1,, dalam betuk y i i0 = ehigga 0 = t 1 1 = t t t = t t t t t = t t t t t t t = t t t t t t t t t Peyeleaia peramaa (19) diberika oleh y = t t t t t y ( t) 1 tah t log 1 KESIMPULAN Pada makalah ii, metode dekompoii Adomia Laplace berhail meetuka peyeleaia hampira pada peramaa Riccati, tapa melakuka lieariai atupu pertubai. Peyeleaia hampira yag diperoleh bergatug kepada bayakya uku-uku yag diguaka. Pada cotoh 1 da cotoh telah ditujukka bahwa emaki bayak ukuuku yag diguaka, maka jumlah-ukuuku dapat meghampiri peyeleaia ekakya. Oleh karea peyeleaia yag diperoleh merupaka deret, maka peyeleaia ekaya dapat diperoleh dega megambil -uku yag cukup bear ( ). REFERENSI [1] Abbabady, S. Homotopy pertuba-tio method for quadratic Riccati differetial equatio ad compario with Adomia decompoitio method. Applied Mathematic ad Computatio, 17, pp [] Bahaawi, A. A. El-Tawil, M. A ad Abdel-Naby, A. Solvig Riccati differetial equatio uig Adomia decompoitio method. Applied Mathematic ad Computatio pp [] Batiha, B., Noorai, M.S.M., ad Hahim, I. Applicatio of Variatioal Iteratio Method to a Geeral Riccati Equatio. Iteratioal Mathematical Forum. (56). pp [4] Biazar, J & Elami, M. Differetial Traform Method for Quadratic Riccati Differetial Equatio. Iteratioal

6 Vol. 10. No., 01 Jural Sai, Tekologi da Idutri Joural of Noliear Sciece, 9(4), pp [5] Kiymaz, O. A Algorithm for Solvig Iitial value Problem Uig Laplace Adomia Decompoitio Method. Applied Mathematical Sciece. (0). pp [6] Polyai, A. D. Hadbook of exact olutio for ordiary differeatial equatio. CRC, Florida. 00. [7] Jafari, H & Tajadodi, H. He variatioal iteratio method for olvig fractioal Riccati differetial equatio. Iteratioal Joural of Differetial Equatio. Pp [8] Reid, W. T. Riccati differeatial equatio (Mathematic ciece ad egieerig). Academi pre, New York [9] Syam, M. I ad Hamda, A. A efficiet method for olvig Bratu equatio, Applied Mathematic ad Computatio pp [10]Yuufoglu, E. Numerical olutio of Duffig equatio by the Laplace decompoitio algorithm, Applied Mathematic ad Computatio pp