PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017"

Transkripsi

1 PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta Indonesia October 24, 2017

2 Latar Belakang Hal-hal yang sudah diketahui mahasiswa sebelum mempelajari ring: Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Contoh-contoh grup adalah (Z, +), (Q, +), (R, +), dan (M 2 2 (R), +). Perhatikan bahwa dalam Z dijumpai juga operasi lain, yaitu operasi perkalian bilangan-bilangan bulat.

3 Sifat-sifat operasi perkalian dalam Z operasi perkalian di Z bersifat assosiatif, yaitu untuk setiap n 1, n 2, n 3 Z; (n 1 n 2 ) n 3 = n 1 (n 2 n 3 ), operasi penjumlahan dan perkalian bersifat distributif kiri dan distributif kanan, yaitu n 1 (n 2 + n 3 ) = (n 1 n 2 ) + (n 1 n 3 ) dan (n 1 + n 2 ) n 3 = (n 1 n 3 ) + (n 2 n 3 ), untuk setiap n 1, n 2, n 3 Z.

4 Apakah Z dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam Z: Operasi perkalian dalam Z komutatif. Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Tetapi ada bilangan bulat yang tidak mempunyai invers, misalnya 2 dan 3. Jadi (Z, ) bukan grup, melainkan semigrup. Definisi Himpunan tak kosong (S, ) disebut semigrup jika operasi biner bersifat asosiatif.

5 Apakah Q dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam Q: Operasi perkalian dalam Q komutatif. Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Bilangan rasional yang tidak mempunyai invers adalah 0. Jadi (Q, ) bukan grup.

6 Apakah M 2 2 (R) dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam M 2 2 (R): Operasi perkalian dalam M 2 2 (R) tidak komutatif. Ada matriks identitas I yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Banyak matriks yang tidak mempunyai invers, yaitu matriks dengan determinan 0. Jadi (M 2 2 (R), ) bukan grup.

7 Apakah 2Z dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam 2Z: Operasi perkalian dalam 2Z komutatif. Tidak ada bilangan genap yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Jadi (2Z, ) bukan grup.

8 Pengertian Ring Himpunan tak kosong R yang dilengkapi dua operasi biner dan disebut ring jika memenuhi sifat: 1. (R, ) merupakan grup komutatif; 2. operasi di R bersifat assosiatif, yaitu r 1, r 2, r 3 R, (r 1 r 2 ) r 3 = r 1 (r 2 r 3 ). 3. operasi penjumlahan dan perkalian di R bersifat: a. distributif kiri: r 1, r 2, r 3 R, r 1 (r 2 r 3 ) = (r 1 r 2 ) (r 1 r 3 ), b. distributif kanan: r 1, r 2, r 3 R, (r 1 r 2 ) r 3 = (r 1 r 3 ) (r 2 r 3 ).

9 Gambaran proses abstraksi (Z, +, ) (R,, ) Setelah proses abstraksi dicari contoh-contoh ring yang lain. Bagaimana cara mencari contoh yang lain? Bagaimana dengan contoh-contoh grup yang sudah diketahui, yaitu Apakah mereka juga ring? (Q, +), (R, +), (M 2 2 (R), +).

10 Mengembangkan contoh (1) 1. Himpunan matriks berukuran 2 2 yaitu (M 2 2 (R), +, ), adalah ring. 2. Himpunan matriks berukuran 3 3 yaitu (M 3 3 (R), +, ), adalah ring. 3. Himpunan matriks berukuran n n yaitu (M n n (R), +, ), adalah ring.

11 Mengembangkan contoh (2) 1. Himpunan semua bilangan bulat (Z, +, ) adalah ring. 2. Himpunan hasil kali Cartes semua bilangan bulat (Z Z, +, ) adalah ring, dengan operasi sebagai berikut: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (a c, b d). 3. Bagaimana dengan Z Z Z Z?

12 Contoh Ring Perhatikan grup komutatif (R, +). Dibentuk himpunan semua fungsi dari R ke R, yaitu Fun(R) = {f : R R f homomorfisma grup}. Dengan operasi penjumlahan berikut (f + g)(x) = f (x) + g(x), (Fun(R), +) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi pada Fun(R) berikut: untuk setiap x G. (f g)(x) = f (g(x)),

13 Sifat distributif ((f + g) h)(x) = (f + g)(h(x)) = (f h)(x) + (g h)(x) (h (f + g))(x) = h(f (x) + g(x)) = (h f )(x) + (h g)(x). Jadi (Fun(R), +, ) merupakan ring.

14 Contoh Ring Melalui Absraksi Diberikan grup komutatif (G, +). Dibentuk himpunan semua endomorfisma dari G ke G, yaitu End(G) = {f : G G f homomorfisma grup}. Sudah diketahui bahwa (End(G), +) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi pada End(G) berikut: (f g)(x) = f (g(x)), untuk setiap x G. Dapat ditunjukkan bahwa (End(G), +, ) merupakan ring.

15 Jenis-jenis Ring 1. Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadap perkalian, yaitu untuk setiap r, s R berlaku rs = sr. 2. Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika R mempunyai elemen satuan terhadap perkalian, yaitu terdapat 1 R R sehingga untuk setiap r R berlaku r1 R = 1 R r = r. 3. Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika R mempunyai elemen satuan dan setiap elemen tak nol di R mempunyai invers terhadap perkalian, yaitu untuk setiap elemen tak nol r di R, terdapat r 1 di R sehingga rr 1 = r 1 r = 1 R. 4. Ring R disebut lapangan jika R ring pembagi yang komutatif.

16 Contoh Jenis-jenis Ring 1. Ring (2Z, +, ) merupakan ring komutatif, namun tidak mempunyai elemen satuan. 2. Ring matriks (M 2 2 (R), +, ) merupakan ring dengan elemen satuan berupa matriks identitas I 2. Ring matriks M 2 2 (R) bukan ring komutatif. 3. Ring (Z, +, ), (R, +, ), (Q, +, ), dan (C,, +, ) masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. 4. Ring (R, +, ), (Q, +, ), dan (C,, +, ) masing-masing merupakan contoh lapangan.

17 Bagaimana mengenalkan subring? 1. Apa motivasinya? 2. Bagaimana mengabstraksikan ide sehingga sampai pada definisi? 3. Bagaimana menemukan contoh-contoh lain?

18 Fakta : ada ring di dalam ring 2Z adalah ring di dalam Z. M 2 (2Z) adalah ring di dalam M 2 (Z). Himpunan semua bilangan ganjil 1 + 2Z = {1 + 2n n Z}, merupakan himpunan bagian tak kosong dari Z tetapi bukan merupakan ring.

19 Pengertian subring Definisi Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari ring (R,+, ). Himpunan S disebut subring R jika S juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ring R. Apakah setiap kali akan membuktikan subring harus mengecek semua aksiomanya? Bagaimana kita memanfaatkan fakta bahwa subring adalah ring di dalam ring?

20 Mengamati syarat subring di dalam ring Diketahui S adalah himpunan bagian tak kosong di R. Adakah sifat R yang diwariskan ke S? Asosiatif dan distributif. Untuk menjadi ring, syarat apa yang harus dipenuhi S? (S, +, ) harus merupakan ring terhadap operasi yang sama dengan operasi di R. (S, +) harus merupakan subgrup di R dan (S, ) harus merupakan subsemigrup di R.

21 Syarat apa saja yang perlu dicek? Operasi + dan harus tertutup di S. Proposisi Diberikan himpunan tak kosong S di dalam ring (R, +, ). Himpunan S merupakan subring dari R jika dan hanya jika untuk setiap s 1, s 2 S berlaku sifat: (i). s 1 s 2 S; (ii). s 1 s 2 S.

22 Contoh Subring Himpunan matriks segitiga atas { [ ] a11 a T 2 2 (R) = A = 12 0 a 22 merupakan subring dalam (M 2 2 (R), +, ). } a 11, a 12, a 22 R

23 Contoh-contoh subring Z Q R C.

24 Pembentukan Ring Faktor Diberikan R ring dan S subring. Dari teori grup sudah diketahui grup faktor (R/S, + ) juga merupakan grup komutatif, dengan R/S = {r r R} = {r + S r R}. Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasi perkalian pada R/S, yaitu: : R/S R/S R/S, sedemikian hingga (R/S, +, ) juga merupakan ring.

25 Latar Belakang Definisi Ideal Akan dicek apakah operasi tersebut well-defined atau tidak. Misalkan r 1, r 2, r 1, r 2 R/S dengan r 1 = r 1, dan r 2 = r 2. Akan dicek apakah r 1 r 2 = r 1 r 2, yang artinya r 1r 2 = r 1 r 2. Ekuivalen dengan mengecek r 1 r 1 S dan r 2 r 2 S r 1 r 2 r 1r 2 S. Ekuivalen dengan menunjukkan apakah jika r 1 r 1 = s 1 dan r 2 r 2 = s 2 untuk suatu s 1, s 2 S, maka akan berakibat r 1 r 2 r 1 r 2 = s 3 untuk suatu s 3 S.

26 Dengan demikian akan diperoleh r 1 r 2 r 1r 2 = (s 1 + r 1)(s 2 + r 2) r 1r 2 = (s 1 s 2 + s 1 r 2 + r 1s 2 + r 1r 2) r 1r 2 = s 1 s 2 + s 1 r 2 + r 1s 2. (1) Jelas s 1 s 2 S, tetapi s 1 r 2 dan r 1 s 2 belum tentu berada dalam S. Dapat disimpulkan bahwa operasi pada R/S belum tentu well-defined.

27 Ideal Suatu Ring Definisi Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal dari R jika 1. untuk setiap s 1, s 2 I, berlaku s 1 s 2 I ; 2. untuk setiap s 1 I dan r R, berlaku s 1 r, rs 1 I.

28 Contoh Ideal 1. Himpunan 2Z merupakan ideal di ring Z. 2. Secara umum, untuk setiap k Z 0, kz = {kn n Z} merupakan ideal di ring Z. 3. Himpunan M 2 2 (2Z) merupakan ideal di ring M 2 2 (Z). 4. Tetapi Z BUKAN ideal di Q, dan Q BUKAN ideal di R. Kesimpulan : tidak setiap subring merupakan ideal.

29 Ring Faktor Definisi Jika I merupakan ideal dalam ring R, maka R/I merupakan ring terhadap operasi: 1. penjumlahan + dengan definisi untuk setiap r 1, r 1 RI ; dan 2. perkalian dengan definisi untuk setiap r 1, r 1 RI. r 1 + r 2 = r 1 + r 2, r 1 r 2 = r 1 r 2,

30 Contoh Ring Faktor Misal diambil ring bilangan bulat Z dan ideal 2Z di ring Z. Mudah dipahami bahwa hanya ada dua koset dari ideal 2Z, yaitu koset 0 + 2Z dan 1 + 2Z. Dengan demikian, diperoleh ring faktor dengan Z/2Z = {0 + 2Z, 1 + 2Z} (0 + 2Z) + (0 + 2Z) = (0 + 0) + 2Z = 0 + 2Z (1 + 2Z) + (1 + 2Z) = (1 + 1) + 2Z = 0 + 2Z (0 + 2Z) + (1 + 2Z) = (0 + 1) + 2Z = 1 + 2Z (0 + 2Z) (0 + 2Z) = (0 0) + 2Z = 0 + 2Z (1 + 2Z) (1 + 2Z) = (1 1) + 2Z = 1 + 2Z (0 + 2Z) (1 + 2Z) = (0 1) + 2Z = 0 + 2Z

31 Ideal Kiri dan Ideal Kanan Definisi Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal kiri dari R jika 1. untuk setiap s 1, s 2 I, berlaku s 1 s 2 I ; 2. untuk setiap s 1 I dan r R, berlaku rs 1 I. Definisi Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal kanan dari R jika 1. untuk setiap s 1, s 2 I, berlaku s 1 s 2 I ; 2. untuk setiap s 1 I dan r R, berlaku s 1 r I.

32 Motivasi : Hubungan Z dan Q Z adalah subring Q. Struktur Z adalah daerah inegral, Q adalah lapangan. Sebagai daerah integral, tidak setiap elemen Z mempunyai invers. Sebagai bagian dari lapangan Q, setiap elemen Z mempunyai invers. Peristiwa tersebut dinamakan penyisipan Z ke Q. Apakah sebarang daerah integral dapat disisipkan ke dalam suatu lapangan?

33 Hubungan Z dan Q (lanjutan) Himpunan Q dapat dinyatakan sebagai: Q = { a b a, b Z, b 0} Pandang anggota-anggota Q sebagai pasangan berurutan anggota Z Z dengan komponen kedua tak nol. Bagaimana dengan (2, 3) yang merepresentasikan 2 3 dan (4, 6) yang merepresentasikan 4 6? Dalam Z Z keduanya berbeda, tetapi dalam Q keduanya sama. Dibuat relasi ekuivalensi di dalam Z Z : (a, b) (c, d) ad = bc.

34 Penerapan ke Daerah Integral Diberikan daerah intergral R. Dibentuk himpunan S = R \ {0}. Dibentuk hasil kali Cartes R S. Dibuat relasi ekuivalensi di dalam R S : (a, b) (c, d) ad = bc. Kelas yang memuat (a, b) dinyatakan dengan a b. Himpunan kelas-kelas ekuivalensi yang terjadi di dalam R S dinyatakan sebagai R S.

35 Struktur R S Didefinisikan operasi berikut: untuk setiap a b, c d R S. a b + c d a b c d Elemen netral di R S adalah 0 b. ad + bc = bd = ac bd Elemen satuan di R S adalah b b, dengan b 0. Invers a b terhadap penjumlahan adalah a b. Invers a b, a 0, terhadap perkalian adalah b a.

36 Pengamatan selanjutnya (R S, +, ) merupakan lapangan dan disebut lapangan fraksi yang memuat R. Terdapat monomorfisma ϕ : R R S dengan definisi ϕ(r) = r 1. Apakah pembentukan ring fraksi dapat dilakukan untuk sebarang ring komutatif?

37 TERIMA KASIH

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang

Lebih terperinci

Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar

Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh

Lebih terperinci

KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring

KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,

Lebih terperinci

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

SOAL DAN PENYELESAIAN RING

SOAL DAN PENYELESAIAN RING SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal BAB 7 SUBRING DAN IDEAL Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar

Lebih terperinci

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi + 5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif); II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan 1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR: RING

STRUKTUR ALJABAR: RING STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari

Lebih terperinci

RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA

RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Antonius C. Prihandoko

Antonius C. Prihandoko Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat

Lebih terperinci

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.

Lebih terperinci

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d 1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

MODUL FAKTOR DARI MODUL ENDOMORFISMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATAS GAUSSIAN INTEGER

MODUL FAKTOR DARI MODUL ENDOMORFISMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATAS GAUSSIAN INTEGER Prosiding eminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-in : 2550-0384; e-in : 2550-0392 MODUL FAKTO DAI MODUL ENDOMOFIMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATA GAUIAN INTEGE Linda Octavia oelistyoningsih

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi

BAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field. STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan

Lebih terperinci

RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES

RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES J. Sains Dasar 2016 5(1) 28-39 RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES Rifki Chandra Utama * dan Karyati Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta *email:

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com 2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya; BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN BULAT

SISTEM BILANGAN BULAT SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:

Lebih terperinci

BAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0

BAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0 BAB 3 RING ARMENDARIZ 3.1 Ring Terreduksi Suatu ring R disebut ring terreduksi jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol. Secara ekuivalen, suatu ring dikatakan terreduksi jika tidak mempunyai elemen

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No. 2 Desember 2010: IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No. 2 Desember 2010: IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Penelitian ini membahas ideal near-ring yang

Lebih terperinci

TEORI HEMIRING ABSTRAK

TEORI HEMIRING ABSTRAK TEORI HEMIRING Mahasiswa S1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang Indonesia 50275 email :tri_matematika@yahoocom

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II

SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.

Lebih terperinci

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Lebih terperinci

JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z 2. Ari Wardayani

JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z 2. Ari Wardayani JMP : Volume 4 Nomor, Desember 01, hal. 79-88 MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z PADA MODUL R ATAS GAUSSIAN INTEGERS Ari Wardaani Universitas Jenderal Soedirman ariwardaani@ahoo.co.id ABSTRACT.

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

Restia Sarasworo Citra 1, Suryoto 2. Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

Restia Sarasworo Citra 1, Suryoto 2. Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP ENDOMORFISMA DARI BCH-AJABAR Restia Sarasworo Citra 1 Suryoto 1 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto S. H Tembalang Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstract. BCH-algebras is an

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS

TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur

Lebih terperinci

Semiring Pseudo-Ternary. Pseudo-Ternary Semiring

Semiring Pseudo-Ternary. Pseudo-Ternary Semiring Jurnal Matematika & Sains, Agustus 24, Vol. 9 Nomor 2 Semiring Pseudo-ernary Maxrizal dan Ari Suparwanto Mahasiswa S2 Matematika FMPA UGM, Jurusan Matematika FMPA UGM, e-mail: maxrizal@ugm.ac.id; ari_suparwanto@ugm.ac.id

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =

BAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b = BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ruang vektor adalah suatu grup abelian yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar atas suatu lapangan. Suatu ruang vektor dapat dikawankan dengan ruang

Lebih terperinci

Teorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring

Teorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan

Lebih terperinci

Semigrup Legal Dan Beberapa Sifatnya

Semigrup Legal Dan Beberapa Sifatnya Semigrup Legal Dan Beberapa Sifatnya A 19 Oleh : Soffi Widyanesti P. 1, Sri Wahyuni 2 1) Soffi Widyanesti P.,Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta dyansofi@rocketmail.com

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.

II. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar

Lebih terperinci

SUBGRUP NORMAL. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

SUBGRUP NORMAL. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang SUBGRUP NORMAL Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com May 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Subgrup Normal 3 3 Sifat-sifat Subgrup

Lebih terperinci

K-ALJABAR. Iswati dan Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275

K-ALJABAR. Iswati dan Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275 K-ALJABAR Iswati Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang 50275 ABSTRAK -aljabar adalah suatu struktur aljabar yang dibangun atas suatu grup sehingga sifat-sifat yang berlaku

Lebih terperinci

Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS. 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q q. ( p)

Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS. 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q q. ( p) Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q p q q ( p) p 2. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? r s r t t r s 3.

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Ring polinomial adalah himpunan semua fungsi dari himpunan semua bilangan bulat nonnegatif ke ring R dengan elemen identitas dan dilengkapi dengan operasi penjumlahan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP

SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP oleh : Mulvi Ludiana (1) Cece Kustiawan (2) Sumanang Muhtar Gozali (2) ABSTRAK Dari suatu ring dan grup, dapat dikonstruksi suatu ring baru yang disebut ring

Lebih terperinci

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal. Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan

BAB 2 LANDASAN TEORI. aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem dan Struktur Aljabar Menurut Jong Jek Siang, 2002:436 (seperti dikutip Manik, 2011:2), sistem aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa

Lebih terperinci

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 4 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1. Latar

Lebih terperinci

IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring

IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah

Lebih terperinci

Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)

Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA, PS S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematiika, Yogyakarta - 55281 Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)

Lebih terperinci

SUATU KAJIAN TENTANG PENYARINGAN TERURUT DARI SEMIGRUP IMPLIKATIF

SUATU KAJIAN TENTANG PENYARINGAN TERURUT DARI SEMIGRUP IMPLIKATIF Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 1 8 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TENTANG PENYARINGAN TERURUT DARI SEMIGRUP IMPLIKATIF SEPTI MARLENA Program Studi Magister Matematika,

Lebih terperinci

KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT

KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT Paridjo Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pancasakti Tegal muhparidjo@gmail.com Abstrak Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan sistem bilangan Real

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum

Lebih terperinci

RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF

RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks

Lebih terperinci