Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Integrati ISSN Volume No, April 05, pp Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih Kartika Sari, Indah Emilia Wijayanti ) Jurusan Matematika,Fakultas MIPA, Universitas Udayana Kampus Bukit Jimbaran, Badung, Bali sari_kaartika@yahoo.co.id ) Program Studi Pascasarjana Fakultas MIPA, Universitas Gadjah Mada Sekip Utara Kotak Pos: BLS, Yogyakarta ind_wijayanti@yahoo.com ABSTAK Diberikan ring dengan elemen satuan. Suatu ring dikatakan bersih apabila setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu elemen idempoten dari ring, sedangkan suatu - modul M dikatakan bersih apabila ring endomorismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan siat bahwa modul kontinu merupakan modul bersih, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih.. Kata kunci: ring bersih, submodul, modul bersih ABSTACT Given any ring with unity. A ring is called clean i each element o is the sum o a unit and an idempotent, while an -module M is called clean i its endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is clean, in this study, it is shown that every module is a submodule o a clean module. Keywords:clean ring, submodule, clean module. Pendahuluan Pada keseluruhan tulisan ini, ring yang digunakan merupakan ring dengan elemen satuan, dan yang dimaksud modul adalah modul kanan, sedangkan notasi U(S) dimaksudkan grup yang elemen-elemennya merupakan elemen unit dari suatu ring S.Selanjutnya, jika diberikan himpunan A dan M, suatu ungsi, maka notasi himpunan g : A M dan suatu himpunan tak kosong A' A g A' dimaksudkan pembatasan ungsi g pada himpunan A' yaitu ungsi yang memetakan A ' ke himpunan g( A') M. Lebih lanjut lagi, himpunan semua bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan bulat modulo n secara berturut-turut dinotasikan dengan Z, Q dan Zn. Nicholson (977) dalam Nicholson dan Zhou [6] memberikan deinisi bahwa suatu ring dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari ring merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suatu ring dikatakan bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit dari ring. Camillo et.al.[] memberikan deinisi bahwa suatu modul atas ring dikatakan bersih apabila ring endomorisma dari modul tersebut merupakan ring bersih. Diberikan ring, -modul M dan aksioma-aksioma: (C) Setiap submodul di M esensial dalam suatu suku jumlah langsung di M, (C) Setiap submodul dari M yang isomoris dengansuatu suku jumlah langsung dari M juga merupakan suku jumlah langsung dari M, (C3) Jika A dan B keduanya merupakan suku jumlah langsung dari M dan B {0} juga A maka A B merupakan suku jumlah langsung dari M. Suatu modul M dikatakan kontinu apabila memenuhi aksioma-aksioma (C) dan (C), sedangkan suatu modul M yang memenuhi aksioma-aksioma (C) dan (C3) dinamakan modul quasi-kontinu (Mohamed dan Muller, [5]). Camillo et.al.[] menunjukkan bahwa setiap modul kontinu merupakan modul bersih. Lam [4] 65

2 Sari & Wijayanti/ JMI Vol No April 05, Pp menunjukkan bahwa setiap modul quasi injekti merupakan modul kontinu. Di lain pihak, terdapat kenyataan bahwa setiap modul injekti merupakan modul quasi-injekti dan sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul injekti. Berdasarkan siat ini, dapat ditunjukkan bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih sebagai submodul. Dengan kata lain, setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih, yang merupakan hasil dari penelitian ini. Hasil ini juga telah diperoleh Sari,[7], akan tetapi melalui cara yang sedikit berbeda. Sari, [7] memperoleh hasil ini dengan menggunakan siat bahwa setiap modul merupakan submodul dari modul injekti (Hazewinkel et.al., [3], dan setiap modul injekti-murni merupakan modul bersih (Camillo et. al., []). Berikut ini diberikan beberapa konsep yang mendasari penelitian ini. Deinisi. Diberikan ring dan -modul M. Modul M dikatakan modul injekti apabila untuk setiap -modul A dan B dengan A submodul dari B dan untuk setiap homomorisma : A M terdapat homomorisma g : B M dengansiat g A. Dengankata lain terdapat homomorisma g yang memperluas.(hazewinkelet.al,[3]) Contoh. (a) Modul nol merupakan modul injekti. (b) Setiap ruang vektor atas lapangan F merupakan modul injekti. Pada kenyataannya, tidak mudah menunjukkan suatu modul merupakan modul injekti dengan menggunakan Deinisi. Berikut diberikan syarat perlu dan syarat cukup suatu modul merupakan modul injekti, yang sering dikenal sebagai Kriteria Baer. Teorema 3. (Kriteria Baer) (Hazewinkelet.al., [3]) Suatu -modul M injekti jika dan hanya jika untuk setiap ideal kanan Idi, setiap homomorisma : I M dapat diperluas menjadi homomorisme : M. Dengan menggunakan Kriteria Baer, berikut diberikan contoh modul injekti lainnya. Contoh 4. Diperhatikan bahwa ideal-ideal dari ring bilangan bulat Z berbentuk nz, n Z. Oleh karena itu, terdapat pemetaan inklusi h : nz Z. Diberikan sebarang homomorisma : nz Q, maka terdapat q Q yang memenuhi ( n) q. Lebih lanjut lagi, dideinisikan suatu pengaitan g : Z Q dengan q g( z) z, maka g terdeinisi dengan baik dan merupakan suatu n homomorisma. Kemudian, untuk setiap nz nz, berlaku ( nz) ( n) z q() z n q q z nz g() nz n n g( nz) ( g h)( nz) Dari sini diperoleh, g memperluas.dengan kata lain Z-modul Q injekti. Selanjutnya, diberikan contoh Z-modul yang tidak injekti. Contoh 5. Salah satu ideal dari ring Z adalah Z. Homomorisma : Z Z dideinisikan sebagai ( z) z untuk setiap z Z. Andaikan terdapat homomorisma g : Z Z yang memperluas, maka (.) () ( g h)() g() g() dengan h pemetaan inklusi dari Z ke Z. Kontradiksi dengan g : Z Z. Jadi seharusnya, homomorisma tidak dapat diperluas. Dengan kata lain Z-modul Z bukan modul injekti. 66

3 Jurnal Matematika Integrati ISSN Volume No, April 05, pp Perhatikan bahwa Z-modul Z yang bukan modul injekti merupakan submodul dari Z-modul Q yang merupakan modul injekti. Dengan kata lain, Z-modul Z dapat disisipkan ke dalam Z- modul Q sebagai submodul. Sehubungan dengan hal tersebut, berikut ini diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul injekti. Teorema 6. Setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injekti.(hazewinkelet.al,[3]) Selain modul injekti, juga dikenal adanya modul quasi-injekti, yang merupakan generalisasi dari modul injekti, seperti diberikan dalam deinisi berikut ini. Deinisi 7. Diberikan -modul M. Modul M dinamakan quasi-injekti apabila untuk setiap submodul A dari M dan untuk setiap homomorisma : A M terdapat homomor-isma g : M M sehingga berlaku g A.(Lam, [4]) Berdasarkan Deinisi 7, setiap modul injekti merupakan modul quasi-injekti. Contoh lain dari modul quasi-injekti adalah modul Zn atas ring Z. Selanjutnya, dibahas mengenai modul kontinu dan quasi- kontinu. Pada bagian terdahulu, telah diberikan deinisi modul kontinu dan quasi-kontinu. Berikut ini diberikan beberapa siat yang berkaitan dengan modul kontinu dan quasi-kontinu. Teorema 8. Diberikan -modul M. Jika M memenuhi aksioma (C) maka M juga memenuhi aksioma (C3). (Mohammed dan Muller, [5]) Berdasarkan Teorema 7, setiap modul kontinu merupakan modul quasi-kontinu. Berikut ini diberikan contoh ring, yang apabila dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri memenuhi aksioma (C). Contoh 9. Jika ring reguler (Von Newmann) dan I suatu ideal dalam ring, maka I ideal utama yang dibangun oleh suatu elemen idempoten dan merupakan suku jumlah langsung dari. (Lam, [4]) Oleh karena itu, yang dipandang sebagai modul kanan atas dirinya sendiri memenuhi aksioma (C). Berdasarkan Contoh 9, berlaku siat berikut ini. Teorema 0. Untuk setiap ring reguler, penyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen.(lam, [4]). kontinu.. quasi-kontinu. 3. memenuhi aksioma(c). Berdasarkan Teorema 0, berikut ini diberikan deinisi ring reguler kontinu kanan. Deinisi. Suatu ring reguler (von Newmann) dikatakan kontinu kanan apabila memenuhi salah satu dari ekuivalensi pada Teorema0.(Lam, [4]) Lebih lanjut lagi, berikut ini diberikan suatu siat lain dari modul kontinu. Lemma. Suku jumlah langsung dari suatu modul kontinu juga merupakan modul kontinu.(sari, [7]) Berikutnya, untuk Teorema 3 sampai 5, diberikan ring, -modul M, S = End(M) dan e { S Ker ( ) M}. 67

4 Sari & Wijayanti/ JMI Vol No April 05, Pp Teorema 3. Jika -modul M kontinu, maka radikal Jacobson dari ring S dan ring aktor S merupakan ring reguler.(muhamed dan Muller, [5]) Teorema 4. Jika -modul M quasi-kontinu, maka elemen-elemen idempoten dari ring aktor S dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari ring S.(Muhamed dan Muller, [5]) Teorema 5. Jika -modul M kontinu, maka ring aktor kanan.(muhamed dan Muller, [5]) S merupakan ring kontinu Sehubungan dengan ideal suatu ring yang merupakan himpunan bagian dari radikal Jacobson ring tersebut dalam kaitannya dengan elemen-elemen idempoten ring aktornya dan siat bersih ring aktornya, diberikan siat berikut ini. Teorema 6. Diberikan I ideal dari suatu ring dan I J() dari ring. Jika ring aktor I I dengan J() radikal Jacobson merupakan ring bersih dan elemen-elemen idempoten dari dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari ring, maka ring merupakan ring bersih.(han dan Nicholson, []). Metode Penelitian Penelitian ini merupakan studi literatur. Sebagai tinjauan pustaka dari penelitian ini diberikan sebagai berikut. Deinisi dari ring dan elemen bersih diperoleh dari Nicholson (977) dalam Nicholson dan Zhou[6], sedangkan deinisi dan siat modul injekti, diberikan oleh Hazewinkel et.al.[3]. Selanjutnya, deinisi dan beberapa siat modul kontinu dan quasi-kontinu, termasuk beberapa siat ring endomorismanya diperoleh dari Mohamed dan Muller [5]. Sehubungan dengan konsep ring bersih, Han dan Nicholson []memberikan suatu syarat cukup suatu ring bersih dalam kaitannya denganring aktor dan elemen-elemen idempoten dari ring aktornya. Lebih lanjut lagi, Lam [4] memberikan contoh suatu jenis ring yang memenuhi aksioma (C) dan deinisi ring kontinu kanan. Selain itu, Lam [4] juga memberikan siat elemen idempoten dalam ring endomorisma dari suatu modul quasi-kontinu, sedangkan beberapa siat ring endomorisma dari modul kontinu dan quasi-kontinu lainnya diberikan oleh Camillo et.al.[] 3. Hasil dan Pembahasan Mengingat deinisi modul bersih berkaitan dengan siat bersih dari ring endomorisma modul tersebut, maka berikut ini dibahas syarat perlu dan syarat cukup suatu elemen bersih dari suatu ring endomorisma dari suatu modul. Teorema 7. Diberikan ring, -modul M, S End (M) dan e, S dengan e suatu endomorisma idempoten, A Ker( dan B Im(. Elemen merupakan elemen bersih jika M A B C D dan hanya jika -modul M dapat didekomposisikan sebagai dan berlaku ( A) C, ( )( B) D serta : A C dan : B D keduanya merupakan isomorisma. (Camilloet.al.,[]) ( ) Berdasarkan yang diketahui, berlaku M A B.Karena diasumsikan suatu elemen bersih, maka terdapat u U(S) dan berlaku = e + u. Oleh karena itu dapat dibentuk 68

5 Jurnal Matematika Integrati ISSN Volume No, April 05, pp C ua dan D ub, sehingga mengakibatkan berlaku M C D A Ker ( Im( maka berlaku ( ( u ( u(. Karena () dan karena B Im(, diperoleh ( ) e ( e ue () Berdasarkan kesamaan dua ungsi dan karena u unit, maka dari persamaan () dan () diperoleh dan ( - ) keduanya merupakan isomorisma dan ( A) C, ( )( B) D. ( ) Diketahui terdapat dekomposisi -modul M C D, yaitu C ua dan D ub dengan u U(S) sehingga berlaku ( A) C, ( )( B) D dan : A C, : B D keduanya merupakan isomorisma. Oleh karena itu juga berlaku ( u( e u ue e u ( ) e e u e e u e Dengan kata lain merupakan elemen bersih dalam S. Siat pada Lemma 7 akan digunakan dalam menunjukkan siat ring endomorisma dari suatu modul kontinu merupakan ring bersih. Lebih lanjut lagi, apabila diketahui -modul M quasi-kontinu dan e e End ( W) dengan W suatu submodul dari M, akan dibahas keberadaan endomorisma idempotent dalam ring End(M) Lemma 8. Diberikan ring, -modul M dan S End (M). Jika M quasi-kontinu, maka untuk setiap e e End ( W) e' W e.(lam,[4]) dengan W submodul dari M, terdapat ( e') e' S Diambil sebarang e e End ( W) dengan. Diperoleh W Ker ( Im(. Misalkan Ker ( A Im( B. Karena submodul B M, maka terdapat submodul A' M dengan A A' M sehingga A' submodul komplemen dalam M. Karena submodul A' M, maka B' M dengan B B' M sehingga B' submodul komplemen dalam A' dan B ' merupakan suku-suku B' memuat B yang komplemen pada A ' maka A ' B' {0}. M A' B' X. Selanjutnya, e' S dengan Ime' B' dan Ker ( A' X sehingga ' e. dan terdapat submodul M.Karena M quasi-kontinu, maka berdasarkan (C) diperoleh jumlah langsung dari M. Karena Oleh karena itu, terdapat submodul X di M sehingga berlaku dibentuk proyeksi Berdasarkan Lemma 8 dan mengingat setiap modul quasi-kontinu merupakan modul kontinu, diperoleh siat seperti dinyatakan dalam lemma berikut ini. e W 69

6 Sari & Wijayanti/ JMI Vol No April 05, Pp Lemma 9. Diberikan ring, -modul M kontinu dengan ( W) W.Jika W e monomorisma esensial dalam End (W ) idempoten e End (W ) W e M, End (M ) dengan untuk suatu endomorisma, maka terdapat elemen idempotent e' End ( M) dengan ' e e' suatu unit dalam End (M ). Dengan kata lain suatu elemen bersih dalam End (M ). (Camilloet.al.,[]) Selanjutnya, diberikan -modul M dan End (M). Kemudian dibentuk himpunan {( W, W M, ( W), e e End ( W), e U( End ( W))} W e W dan (3) Himpunan, karena ( 0,0). Selanjutnya pada himpunan dideinisikan relasi urutan, yaitu untuk setiap ( W, e ),( W, e ), W, e ) ( W, ) jika dan hanya jika ( e W W dan e W e. Berdasarkan Lemma Zorn, himpunan mempunyai maksimal. elemen Sehubungan dengan elemen maksimal dari himpunan, berikut ini dibahas suatu siat elemen maksimal dari himpunan. Lemma 0. Diberikan ring, -modul M, End (M) dan dibentuk himpunan seperti pada (3) dengan ( W, suatu elemen maksima ldalam. Untuk setiap submodul X M dengan siat X 0, berlaku untuk setiap x X, jika ( x), maka x 0. (Camilloet.al.,[]) Diambil sebarang x X dengan x) w diperoleh wr ( x) r ( xr). Dengan demikian berlaku ( W X ') W X '. Selanjutnya e diperluas ke X dengan mendeinisikan e x e( ex) ex, (. Oleh karena itu, X ' x X ex x yang berarti e e End ( W X ') W w sehingga ( w w. Oleh karena itu diperoleh, sehingga. Karena ( W, maka untuk w ( ( w w x) w x. Hal ini berarti e End ( W X ') m Ker ( W X '. Diperoleh m w' xr untuk suatu w ' W dan xr X ' ( ( w' xr) 0 (. Dari sini terdapat surjekti. Lebih lanjut lagi, diambil sebarang w' xr exr 0 serta berlaku ( w' wr xr X ' 0 Karena xr 0, maka xr wr 0, sehingga ( w' 0, yang mengakibatkan w ' 0. Dengan demikian e End ( W X ') injekti. Jadi e End ( W X ') suatu unit. Dari sini diperoleh ( W X ',. Kontradiksi dengan ( W, maksimal dalam. Oleh karena itu ( W X ', ( W,. Hal ini berarti X ' 0, yang mengakibatkan x 0. 70

7 Jurnal Matematika Integrati ISSN Volume No, April 05, pp Sehubungan dengan masalah elemen maksimal dari himpunan, berikut ini diberikan suatu siat untuk kasus-modul M kontinu nonsingular atau semisederhana. Teorema. Diberikan -modul M semisederhana atau kontinu non singular, End (M) dan (W, seperti pada (3) a. (W, maksimal jika dan hanya jika W = M. b. Untuk sebarang (W0,e0), = e + u dengan e = e di End(M) perluasan dari e0dan u unit di End(M). Khususnya, M merupakan modul bersih.(camilloet.al.,[]) (a) ( ) Diketahui W = M. Trivial. ( )Diberikan (W, maksimal dalam. Dalam hal ini, pembuktian dilakukan dalam 3 langkah, sebagai berikut. Langkah Akan ditunjukkan W suku jumlah langsung dari M. Untuk kasus M semisederhana, trivial. Oleh karena itu berikut akan dibahas untuk M kontinu dan nonsingular. Andaikan W bukan submodul tertutup, maka terdapat perluasan esensial maksimal (closur dari W, W e E. Berdasarkan (C), terdapat X M sehingga berlaku M E X. Selanjutnya, diambil sebarang y E, kemudian dibentuk namakan E, sehingga I { r yr }.Diambil sebarang r r I, r' a. r r I, karena yr yr y( r r ) b. r r' I, karena yr r' Dengan demikian,i ideal kanan dari ring. Berikutnya, diambil sebarang.,, maka yr yr,, dan diperoleh 0 m E. Karena W e E, maka terdapat r sehingga 0 mr. Selanjutnya, diambil sebarang 0 r". Karena W M,M 0 mr dan 0 r", maka 0 mrr". Oleh karena itu, 0 rr" I. I e. (4) E M E, ( y) z x. Untuk setiap r I, berlaku ( y) r zr xr E dan zr E, sehingga xr yr zr E. Karena xr X, xr E X {0. Hal ini berarti r ann (x). Dengan demikian berlaku berlaku nonsingular, Dengan demikian diperoleh Lebih lanjut lagi, karenay E, maka(y) (E). Karena End(M) dan X maka terdapat z E dan x X sehingga maka } I ann (x). (5) e Berdasarkan (4) dan (5), diperoleh ann ( x). Lebih lanjut lagi, karena -modul M nonsingular, maka x = 0, sehingga ( y) z E. Jadi ( E) E. Berikutnya, berdasarkan Lemma, karena E suku jumlah langsung dari M dan M kontinu, maka E kontinu. Karena E kontinu, maka berdasarkan Lemma 8, terdapat (e ) = e di End(E) dengan siat ' e dan E e' unit di End(E). Dengan demikian e W ( E, e') dan ( W, ( E, e' ). Kontradiksi dengan ( W, elemen maksimal. Jadi seharusnya W tertutup, yang berarti W = E. Dari sini, diperoleh W suatu suku jumlah langsung dari M. Sekarang dilanjutkan ke langkah. Langkah Akan ditunjukkan W = M. Di sini, hanya diasumsikan bahwa -modul M kontinu. Dari langkah, diperoleh M W X. Andaikan X 0. Karena ( W, elemen maksimal di, X M dan W X {0}, maka berdasarkan Lemma 0, berlaku untuk setiap x X, jika ( x) 7

8 Sari & Wijayanti/ JMI Vol No April 05, Pp maka 0 diperoleh x. Selanjutnya, diambil sebarang x, x X dengan ( x ) ( x). Dari sini ( 0 x x x ) ( x ) ( x x ) 0. Berdasarkan Lemma 0,berlaku x x Dengan demikian X suatu monomorisma. Oleh karena itu diperoleh (X ) X. Dari sini juga diperoleh W X {0} W X M. Oleh karena itu berlaku. Lebih lanjut lagi, misalkan A = Ker ( dan B = Im(. Karena endomorisma suatu elemen bersih di End(W), berdasarkan Teorema 7, terdapat -modul W yang dapat didekomposisikan menjadi W A B C D serta memenuhi A C, ( )( B) D dan : A C, : B D keduanya merupakan isomorisma. Dengan demikian, diperoleh : A X C X suatu isomorisma, sehingga M W X ( C X ) D Selanjutnya, dideinisikan homomorisma e*, proyeksi dari M pada B dengan Ker (e*) = A X. Berdasarkan Teorema 7, endomorisma merupakan elemen bersih di End(M). Dengan demikian diperoleh ( M, e*) dan ( W, ( M, e*). Kontradiksi. Oleh karena itu seharusnya X = 0, dan akibatnya W = M. b. Diambil sebarang ( W, e ), berdasarkan bagian a terdapat elemen maksimal dari 0 0, yaitu ( M, dan e u dengan u elemen unit di End(M). Oleh karena itu modul M bersih. Berdasarkan Teorema, berikut ini diberikan suatu siat dari modul kontinu lainnya. Teorema. Setiap modul kontinu merupakan modul bersih. (Camilloet.al.,[]) Diberikan -modul M kontinu, S End (M) dan e { S Ker ( ) M}. Berdasarkan Teorema 3, diperoleh ring aktor T S merupakan ring reguler dan merupakan radikal Jacobson dari S Oleh karena itu, modul T T non singular dan berdasarkan Teorema 5, T T kontinu. Berdasarkan Teorema diperoleh T End T (T ) merupakan ring bersih. Selanjutnya, karena modul M kontinu mengimplikasikan modul M quasi-kontinu, maka berdasarkan Teorema 4 berlaku elemen-elemen idempoten dari ring aktor T dapat diangkat menjadi elemen-elemen idempoten dari ring S. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 6, ring S merupakan ring bersih. Jadi - modul M merupakan modul bersih. Lebih lanjut lagi, karena setiap modul quasi-injekti merupakan modul kontinu, maka setiap modul quasi-injekti merupakan modul bersih. Karena setiap modul injekti merupakan modul quasi-injekti, maka setiap modul injekti merupakan modul bersih. Oleh karena itu berdasarkan Teorema, diperoleh akibat-akibat langsung berikut ini. Akibat 3. ing Zn merupakan ring bersih.(sari, [7]) Diperhatikan bahwa modul Zn atas dirinya sendiri merupakan modul injekti yang juga merupakan modul kontinu. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema, Zn-modul Zn merupakan modul bersih. Akibatnya ring End Z ( Zn) merupakan ring bersih. Di lain pihak, berlaku Z n End Z ( Z n n ) n. Dari sini diperoleh ring Zn merupakan ring bersih. Akibat 4. Setiap modul dapat disisipkan sebagai submodul ke dalam suatu modul bersih. 7

9 Jurnal Matematika Integrati ISSN Volume No, April 05, pp Diberikan sebarang -modul M, berdasarkan Teorema 3, -modul M dapat disisipkan ke dalam suatu modul injekti sebagai submodul. Karena setiap modul injekti merupakan modul kontinu yang merupakan modul bersih, maka -modul M submodul dari suatu modul bersih. Akibat 4 juga meyiratkan bahwa untuk setiap modul, baik modul bersih ataupun bukan modul bersih, selalu dapat dikonstruksikan suatu modul bersih yang memuatnya sebagai submodul. Hal ini bersesuaian enomena bahwa Endz(Z) Z yang bukan merupakan ring bersih termuat dalam Endz(Q) Q yang merupakan ring bersih. Dengan kata lain modul Z sebagai Z- modul yang bukan modul bersih termuat dalam Z-modul Q yang merupakan modul bersih. 4. Simpulan Berdasarkan siat bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injekti dan setiap modul kontinu merupakan modul bersih, diperoleh bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih. Ucapan Terima Kasih Artikel ini merupakan bagian dan hasil dari tesis penulis pertama, yang pembahasannya dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda dari tesis. Oleh karena itu, atas terselesaikannya artikel ini, penulis ucapkan terima kasih kepada Ibu Indah Emilia Wijayanti selaku pembimbing. Datar Pustaka. Camillo, V. P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W. K., dan Zhou, Y Continous Modules are Cleans. J Algebra 304, halaman Han, J. dan Nicholson,, W. K. 00. Extensions o Clean ings. Communicationsion Algebra, 9(6), halaman Hazewinkel, M., Gubareni, N., dan Kirichenko, V. V Algebras, ings, and Modules. Kluwer, Academic Publishers, New York. 4. Lam, T. Y Lectures on Modules and ings. Graduate Texts in Mathematics No. 89, Berlin, New York: Springer-Verlag. 5. Mohamed, Saad H dan Muller, Bruno J Continuous and Discrete Modules, Cambridge University Press, New York. 6. Nicholson, Keith W dan Zhou, Yiqiang, 004. Clean ings: A Survey.Advanced in ing Theory, halaman Sari, Kartika. 0. Penyisipan Sebarang ing ke dalam Suatu ing Bersih. Tesis. Yogyakarta: FMIPA Universitas Gajah Mada. 73

10 Sari & Wijayanti/ JMI Vol No April 05, Pp