SIFAT-SIFAT DASAR PERLUASAN INTEGRAL LEBESGUE (Basic Properties Of Extended Lebesgue Integral)

Transkripsi

1 Jur Breeg Vo 6 No 1 H (212) SFAT-SFAT DASAR PRLUASAN NTGRAL LBSGU (Bsic Properties O xteded Leesgue tegr) Yopi Adry Lesuss, Hery Juus Wttime, Mozrt Wisto Tu Jurus Mtemti, FMPA,Uiversits Pttimur mi : yopi esuss@yhoocom ABSTRACT L-tegr is exteded o Leesgue itegr, L d L 1 d Leesgue itegr is deied with ery rrge mesure theory tht mous with Leesgue mesure A uctio :, is sid L-itegre o,, i there exist series iterv tht o pied up i, so tht,, L A L d or every d iite Vue A is ced vue o L- 1 tegr uctio o, xteded o Leesgue itegr (L-tegr) is otted y : L d d L d 1 Keywords: Mesure Spce, Leesgue Mesure, Leesgue tegr, Sit-sit Dsr L-tegr PNDAHULUAN Peremg isis dimui deg peemu Kuus oeh Newto d Leiiz yg erhsi megemg teorem udmet yitu megei tiderivti Sh stu osep dsr dm isis dh itegr Teori itegr si diemg oeh Cuchy d Riem pd pertegh d e-19 Nmu eurg dri itegr Riem ii mucu eti proses itegrsi die pd ugsi yg disotiu, misy ugsi Dirichet yg tid teritegr Riem Utu megtsi eurg ii, pd thu 192, Leesgue seorg mtemtiw Percis medeiisi itegr Leesgue deg tereih dhuu meyusu teori uur yg die deg Uur Leesgue (pd gris urus) Dejoy (1912) memgu teori itegr deg mecermti rteristi eotiu ugsi primitiy meghsi sutu itegr yg diseut tegr Dejoy husus Perro (1914) memgu teori itegry deg medsr pd pegerti ugsi myor d ugsi mior yg diseut tegr Perro Pd thu Hestoc d Kurzwei secr terpish dm wtu hmpir ersm megemg itegr jeis Riem deg meguh per ostt positi pd ostrusi itegr Riem mejdi ugsi positi yg diseut deg itegr Riem otiu egp tu itegr Hestoc-Kurzwei (tegr-hk) (Soepr 1999) Teh diethui hw mesipu itegr Dejoy husus, itegr Perro d itegr-hk megit sit yg ered dri itegr Leesgue tetpi etig itegr ii euive d jug merup pegit dri itegr Leesgue Soepr (1996) meyt hw posisi itegr Leesgue dm itegr-hk dh rpt (dese) teredi, ii errti hw utu setip ugsi yg teritegr-hk terdpt ris ugsi teritegr Leesgue yg overge teredi e ugsi Sejuty deg mecermti seuh ugsi yg tid teritegr Leesgue pd seg tertutup,1 tetpi teritegr Leesgue pd setip seg giy Soepr (1999) medeiisi seuh itegr ru yg diseut Perus itegr Leesgue (itegr-l) Berdsr pd uri di ts m peeiti tertri utu medmi d megisis secr medeti megei etu d sit dsr dri itegr-l Dm peeiti ii, peeiti meggu deiisi d

2 Breeg Vo 6 No2 H (212) teorem sert teori mtemti i utu mejes permsh ii TNJAUAN PUSTAKA Dm peremg teori itegr, seitr d e- 2, Leesgue megemg teori uur deg megit osep pjg seg-seg e dm uur himpu pd ig yt (re) megemg teori itegr deg meggu uur Leesgue (pd gris urus), yg dituis dm sh puisiy yg erjudu tegr Logueur ire pd thu 192 (Ji, 1986) Sejuty itegr terseut diemg mejdi itegr Leesgue yg eerj pd rug uur Sej deg peremg teori itegr, didm pedeiisi secr desripti itegr Leesgue yg digu oeh Leesgue memeru ugsi yg otiu mut Pd thu 1912, A Dejoy medeiisi itegr Dejoy husus deg meggu ugsi otiu yg seigus otiu mut terit Fugsi F:, dit otiu mut pd x,, dituis F AC x d F dit otiu mut terit dituis F ACG x Teruti hw ugsi :, teritegr Leesgue pd seg, ji d hy ji terdpt ugsi F :, yg ersit otiu mut pd ', d F x x hd pd, Fugsi :, teritegr-hk pd, ji d hy ji terdpt ugsi F :, yg ersit otiu d ACG ' pd, d F x x hd pd, Oeh re itu setip ugsi yg teritegr Leesgue pd seg, teritegr-hk jug pd seg yg sm Teh diethui hw tegr Dejoy husus, itegr Perro d itegr-hk dh ered d etigy merup pegit dri itegr Leesgue Bris ugsi dit overge teredi e ugsi pd seg, ji memeuhi syrt eriut : (i) teritegr-hk pd, deg primiti F utu setip d ris, (ii) Bris F overge e hd pd, ersit ACG sergm pd, d (iii) overge, t e F pd Sejuty posisi itegr Leesgue dm itegr-hk dh rpt (dese) teredi i errti hw utu setip ugsi yg teritegr-hk terdpt ris ugsi yg teritegr Leesgue yg overge teredi e ugsi Uur Leesgue Deiisi 1 (Uur Leesgue) Pjg sutu seg terts i teru, tertutup, setegh teru tu setegh tertutup deg 38 titi pg d titi ujug (<) dideiisi segi ig Pegerti uur sutu himpu dideiisi deg meggu pegerti pjg seg Deiisi 2 Ji A jr (jr-) pd himpu X, d jr- himpu A 2 X diseut Rug Teruur (mesure spce), dituis X, A D ggot A diseut Himpu Teruur (mesure set) Deiisi 3 Dieri, X A rug teruur ugsi : A diseut uur pd X (mesure) ji memeuhi siomsiom eriut : A c Ji, AA A d, erit 1 1 Deiisi 4 Rug teruur X, A diperegpi deg sutu uur diseut Rug Uur (mesure spce) d dituis deg X, A, Deiisi 5 Dieri himpu A d meyt oesi semu ris seg teru sehigg A Uur ur himpu A, dituis A dh ig A i : Beriut ii disji eerp sit uur ur sutu himpu Teorem 1 (i) Ji ABdeg, A B, m A B (ii) Ji A d A sigeto, m A Ait Teorem 1 (ii), ji A d A terhitug (coute), m A Teorem 2 Ji A erup seg, m A A Deiisi 6 Himpu dit teruur Leesgue ji utu setip himpu A eru : c A A A c Teh diethui hw A A A d ersit su diti, yitu Lesuss Wttime Tu

3 Breeg Vo 6 No2 H (212) A A A c, re itu deiisi 6 di ts cuup dituis segi : Himpu dit teruur Leesgue ji utu setip himpu A eru A A A c Utu sejuty deg himpu teruur dimsud dh himpu teruur Leesgue Teorem 3 (i) Ji merup himpu teruur, m c jug himpu teruur (ii) d msig-msig himpu teruur (iii) Ji A, m A himpu teruur (iv) Ji 1, 2 msig-msig merup himpu teruur, m 1 2 jug himpu teruur Teorem 4 Setip iterv dh teruur Teorem 5 Ji A1, A2,, A himpu-himpu teruur yg sig sig, m Ai i1 i1 Berdsr pd Teorem 2213 (i) d (iv) diperoeh hw, yitu oesi semu himpu teruur (Leesgue), merup jr himpu pd Leih jut dpt diuti hw merup sutu jr- (jr-sigm) himpu pd Ji jr (jr-) himpu pd X d m A: A merup jr (jr- ) himpu pd, teriht hw Deiisi 7 Uur Leesgue dh sutu ugsi dri e A A utu setip A Sutu sit deg P dit eru hd pd himpu X ji utu setip himpu A X deg A sehigg P eru pd X-A Deiisi 8 Sutu ugsi erii rii yg diperus, yitu : A dit teruur Leesgue pd A tu teruur pd A ji himpu teruur utu setip ig rii A i x A: x tegr Leesgue Deiisi 9 Mis sutu himpu serg ugsi : dim ugsi rteristi dri ji : 1, x x, x 39 diseut ugsi rteristi (chrcteristic uctio) pd Deiisi 1 Dieri :, diseut ugsi gh (step uctio) ji d seg-seg 1, 2,, yg sig sig i j utu i j d terdpt ig c1, c2,, c sehigg : Jdi, d, x x 1 1 i1 c, x, x c Sehigg utu x,, m d tept sehigg x i, x c x c 1 i x c i i ci m 1 Deiisi 11 Ji X, A, rug uur, ugsi : X diseut ugsi sederh (simpe uctio) pd X, ji terdpt ig c1, c2,, c d himpu teruur 1, 2,,, sedemii sehigg : X d x c 1 Ji A m x c 1 1, jug merup ugsi sederh pd Leih jut ji,, m ugsi sederh 1 x c x diseut ugsi sederh etu oi Deiisi 12 Dieri : ugsi sederh deg i1 c i sederh i d tegr Leesgue ugsi pd dideiisi segi ig i i i1 L L d c Deiisi 13 Dieri : ugsi terts d himpu teruur tegr Leesgue ts d wh ugsi pd dideiisi oeh i :, ugsi sederh Lesuss Wttime Tu

4 Breeg Vo 6 No2 H (212) 4 sup :, ugsi sederh Ji edu itegr ii erii sm d higg, m dit hw ugsi teritegr Leesgue pd d iiy dituis deg d Ji,, ig is dituis, jdi Teorem 7 Dieri d g ugsi teritegr Leesgue pd, Deiisi 14 sert A d B merup himpu gi teruur dri Dieri :, ugsi teruur oegti,, dipeuhi : tegr Leesgue ugsi pd [,] dideiisi oeh : =sup u : u, u ugsi teruur terts pd [, ] Ji higg m dit teritegr Leesgue pd [,] Teorem 6 Dieri, g ugsi teruur oegti yg dideiisi pd,, sert A d B merup himpu gi teruur di dm, Dipeuhi : Utu semu,, Leih jut, ji teritegr Leesgue pd [,] m teritegr pd, Beru g g Leih jut, ji d g teritegr Leesgue pd, m g teritegr pd, Deiisi 15 Fugsi teruur dit teritegr Leesgue pd himpu teruur, ji ugsi-ugsi oegti d msig-msig teritegr Leesgue pd d dideiisi : d d d Sejuty gi positi ugsi dideiisi segi ugsi x x mx, d gi egti ugsi dideiisi segi ugsi x mx x, Ji teruur m d jug teruur Diperoeh hw d Fugsi teruur :, teritegr Leesgue pd, ji d hy ji teritegr Leesgue pd, Dm h ii d teritegr Leesgue pd, d itger Leesgue pd, dideiisi d d d segi teritegr Leesgue pd, d utu setip g teritegr Leesgue pd, g g c ji g d ji g e eru hd pd,, m hd pd, AB A B, m d Lesuss Wttime Tu g ji A d B sig sig, m HASL DAN PMBAHASAN Perus tegr Leesgue Pd gi ii disji pegerti Perus tegr Leesgue tu diseut tegr-l d eerp sit yg eru pdy tegr-l merup sutu perus itegr Leesgue Utu sejuty L dimsud hw teritegr Leesgue pd d L d meyt ii itegr Leesgue ugsi pd sutu seg Deiisi 16 Sutu ugsi :,,, uur Leesgue d dit teritegr-l pd ji terdpt ris seg yg tid tumpg tidih { } di dm, sehigg,, L g

5 Breeg Vo 6 No2 H (212) utu setip d A L d erhigg 1 Big A terseut diseut ii itegr-l ugsi pd,, dituis : L d L d 1 Teorem 8 (Ketugg) Ji teritegr-l,, m ii itegr A yg dimsud di dm Deiisi 16 dh tugg Buti : Adi d du ii A 1 d A 2 seperti di dm Deiisi 16 errti : 1 Terdpt ris seg yg tid tumpg tidih {, sehigg } di dm,, L utu setip d A1 L d L d 1 2 Terdpt ris seg yg tid tumpg tidih, sehigg {J } di dm, J, L J utu setip d A2 L d L d 1 J Dietu ris seg H deg H J utu setip d Jes hw H merup ris himpu teruur yg tid tumpg tidih, se, H, J, J, Diperoeh : 1 2 A A L d L d 1 1 L d L d 1 1 J 1 1 J Jdi A 1 = A 2 Sehigg diperoeh hw ii A dh tugg J Utu sejuty ig A L d 1 41 di dm Deiisi 16 diseut ii itegr-l ugsi pd, d dituis L, jdi L L d 1 Himpu semu ugsi yg teritegr-l pd, L, Ait gsug dri Deiisi 16 dituis dh hw setip ugsi yg teritegr Leesgue pd, dh teritegr-l pd, Seperti diyt dm teorem eriut ii Teorem 9 Ji ugsi teritegr Leesgue pd,, m teritegr-l pd, Buti : Dieri ugsi teritegr Leesgue pd, Dietu ris { } deg cr segi eriut, 1 utu setip =1,2, Diperoeh,, L utu setip d L L d L d 1 erhigg Jdi ugsi teritegr-l pd, Teorem 1 Ji ugsi teritegr-l pd, d = g hd pd,, m g teritegr-l pd, d Lg L Buti : F teritegr-l pd, errti d ris seg yg tid tumpg tidih { } di dm, sehigg,, L utu setip d L L d erhigg 1 Kre g = hd pd, d L utu setip m g = hd pd utu setip, sehigg diperoeh g L d L g d L d utu setip Jdi L g L g d L d L 1 1 Lesuss Wttime Tu

6 Breeg Vo 6 No2 H (212) Fugsi oegti yg teritegr-l teryt jug teritegr Leesgue pd seg yg sm, seperti diyt dm teorem eriut ii Teorem 11 Ji teritegr-l pd, d hd pd,, m teritegr Leesgue pd, Buti : teritegr-l pd, errti d ris seg yg t tumpg tidih { } di dm, sehigg,, L utu setip d L L d erhigg 1 Utu setip dietu ugsi deg rumus : x,utu x x utu x Teriht hw { } i mooto hd pd,, im x x hd pd, L d utu setip Meurut Teorem Keoverge Mooto Leesgue L, d m im L d L d L d 1 erhigg Jdi L, Dm Teorem eriut ii diyt hw itegr-l memeuhi sit ier Teorem 12 Ji, g teritegr-l pd, d R, m : 1 teritegr-l pd, L L 2 g d teritegr-l pd, L g L L g d Buti : 1 Ji teritegr-l pd, errti d ris seg yg tid tumpg tidih, sehigg di dm,, L utu setip d L L d erhigg 1 Utu setip, L L L d L d d diperoeh L L d L d 1 1 L erhigg L, Jdi 42 2 Ji g teritegr-l pd, errti d ris seg yg tid tumpg tidih {J } di dm, sehigg, J, g L J utu setip d L g L g d erhigg 1 Dietu ris seg yg tid tumpg tidih H deg H J seperti pd Teorem 8, H, g L H g L H utu setip d, L g L g d 1 1 H J 1 1 J L g d 1 1 J J L d L d L d L g d 1 1 J 1 1 J L d L g d 1 1 J L g L L g Jdi g L, Teorem 13 Ji, g teritegr-l pd, d,, m L L g g hd pd Buti : g hd pd, erit g hd pd,,, g teritegr-l pd, erit g Lesuss Wttime Tu

7 Breeg Vo 6 No2 H (212) teritegr-l pd,, sehigg diperoeh L g tu L L g Teorem 14 Ji teritegr-l pd, d u, v,, m teritegr-l pd uv, Buti : teritegr-l pd, errti d ris seg yg tid tumpg tidih { } di dm, sehigg,, L utu setip d L L d erhigg 1 Dietu ris {J } deg J u, v setip, J tu J tu ' '' N N N utu sutu N,, d,, u v Kre L utu J deg '' N u, v J, se u v J utu setip erit LJ utu setip Terdpt du emugi : i) Ji {J } ris erhigg, m N L d erhigg diperoeh 1,, L u v L u v ii) Ji {J } ris t erhigg, m d ig si N sehigg N 1 L d L d L d 1 1 ' N diperoeh '' N L d L d N1 J L d erhigg, sehigg N1 J teritegr-l pd uv, Jdi dri (i) d (ii), m dpt diperoeh L, Teorem 15 L, d c, m Ji c L L L c Buti : teritegr-l pd, errti d ris seg yg tid tumpg tidih { } di dm, sehigg,, L utu setip d L L d erhigg 1 43 Kre, c, diperoeh L, c Kre c,, diperoeh Lc, Dimi ris {A } d {B } deg A, c d B c, sehigg A B utu setip d diperoeh, c A d c, B L A d LB L L d L d 1 1 A B L L d L d 1 A B L L d L d 1 A 1 B c L L L c Teorem 16 Ji ugsi teritegr-l pd,, m utu setip ig positi terdpt ig positi sehigg A, A utu setip himpu deg eru hw L A Buti : teritger-l pd, errti terdpt ris seg yg tid tumpg tidih { } di dm, sehigg,, teritegr Leesgue pd utu setip d erhigg Dimi serg ig L L d 1, L 1 d erhigg errti terdpt ig si sehigg utu setip eru L d 2 teritegr Leesgue pd utu setip, errti terdpt ig sehigg ji A deg erit L A Dipiih mi 1, 2,, A d 2 A d dimi semrg, deg A L A Diperoeh d 2 sehigg diperoeh Lesuss Wttime Tu

8 Breeg Vo 6 No2 H (212) A Jdi : sehigg L L L d A 1 A A d 2 A L d L d 1 A 1 A 2 L 1 1 L 2 2 d Teorem eriut ii meuju hw L, merup himpu gi sejti di dm L, Teorem 17 L, Ji d L, c, d, sehigg Lc, d d Lc, d Buti :, m d Adi utu setip x, y, eru Lx, y dituju hw L, mi serg c, d, Diperoeh Lc, d Kre, c,, d,, L, c d Ld, Berrti L, i otrdisi deg L, Deg demii diperoeh hw Lc, d Lc, d KSMPULAN diperoeh jug d Berdsr hsi pemhs dri - seeumy dpt disimpu hw 1 tegr-l merup perus dri itegr Leesgue yg diotsi deg : L d L d 1 2 Ji teritegr Leesgue m teritegr-l, tetpi seiy eum psti L, L, Secr umum sitsit dsr yg eru pd itegr Leesgue eru jug pd itegr-l 3 Beerp sit-sit dsr yg eru pd itegr- L, segi eriut : 44 ) Ji teritegr-l pd,, m ii itegr-l ugsi pd, tugg, ) Fugsi teritegr-l pd ji d hy ji teritegr-hk pd, c) Ji ugsi teritegr-l pd, d g hd pd, m g teritegr- L pd, d L L g d) Ji teritegr-l pd, d hd pd, m teritegr eesgue pd, e) Ji, g teritegr-l pd, d hd pd, m g L L g ) Ji teritegr-l pd, d u, v, m teritegr-l pd uv, g) Ji L, d c, m c L L L c DAFTAR PUSTAKA De, Brr, G, (1981), Mesure Theory Ad tegrtio, Third Aveue, Joh Wiey d Sos c, New Yor Gordo, R, A, (1994), The tegrs O Leesgue, Dejoy, Perro, d Hestoc, Grdute Studies Mthemtics 4, Voume 4, Americ Mthemtic Society,USA Huthe,, (1989), Aisis Re, Peerit Krui, Uiversits Teru, Jrt Ji, P K d Gupt, V P, (1986), Leesgue Mesure d tegrtio Wiey ster Limited, New Dehi Royde, H, L, (1989), Re Aysis, Third ditio, Mcmi Puishig Compy, New Yor Rudi, W, (1976), Pricipes O Mthemtic Aysis, Third ditio, Mc Grw-Hi Boo Compy, Ltd, Sigpore Soepr, D, (1999), A xtesio o Geer Leesgue tegr, Proceedig o the SAMS-Gdjh Md Uivercity Coerece, Yogyrt Wheede, R, L d Zygmud, A, (1977), Mesure d tegr; A troductio to re Aysis, Mrce Deer c, New Yor Lesuss Wttime Tu