CAKRAWALA PENDIDIKAN

Transkripsi

1 VOLUME 5, NOMOR, OKTOBER 0 ISSN CAKRAWALA PENDIDIKAN FORUM KOMUNIKASI ILMIAH DAN EKSPRESI KREATIF ILMU PENDIDIKAN Peigt Kulits Guru d Pedidi Pemhm Krteristi Pesert Didi d Mslh Beljr Implemetsi Otoomi Derh dlm Kerg Negr Kestu Repuli Idoesi Pegruh Kostrutivisme dlm Pemeljr Kels Fugsi yg Teritegrl Secr Riem A Alysis o Itrisic Aspects d Extrisic Aspects i Stephe Cre s Novel The Red Bdge of Courge Implemetsi Teori Beljr Gge utu Meigt Hsil Beljr Sisw Aplisi Teorem Poly utu Meghitug Byy Grf Sederh yg Tid Isomorfi Pemeljr the Power of Two Deg Givig Questios & Gettig Aswer pd Mtulih Mtemti Disrit Peerp Pemeljr Iquiry pd Mteri Peguji Hipotesis The Structure of Eglish Complemet i Time-Life Boos The Applictio of Cll Method to Improve Redig Comprehesio o Nrrtive Text for the Studets of SMP Pemeljr Givig Questio d Gettig Aswer utu Meigt Kemmpu Berpiir Kritis pd Mt Kulih Aljr Liier gi Mhsisw Implemetsi Model Pemeljr Studet Fcilittor d Expliig utu Meigt Hsil Beljr pd Mteri Persm Liier Stu Vriel Upy Meigt Berfiir Kretif mellui Pemeljr Koopertif Tipe TAI Berdsr Teori Be Kogitif

2 ISSN CAKRAWALA PENDIDIKAN Forum Komuisi Ilmih d Espresi Kretif Ilmu Pedidi Terit du li sethu pd ul April d Otoer Terit pertm li April 999 Ketu Peyutig Kdei Wil Ketu Peyutig Syiful Rif i Peyutig Pels R. Hedro Prsetito Udi Erwto Rii Suli Prwoto Peyutig Ahli Miru Tritoro Msruri Kryti Nurhdi Pels Tt Ush Yuus Ndir Surdi Almt Peerit/Redsi: STKIP PGRI Blitr, Jl Klimt No. Blitr, Telepo (04)8049. Lgg omor sethu Rp ,00 ditmh ogos irim Rp 5.000,00. Ug lgg dpt diirim deg wesel e lmt Tt Ush. CAKRAWALA PENDIDIKAN diterit oleh Seolh Tiggi Keguru d Ilmu Pedidi PGRI Blitr. Ketu: Dr. Hj. Kryti, M.Si, Pemtu Ketu: M. Khfid Irsydi, ST, S.Pd Peyutig meerim sumg tulis yg elum perh diterit dlm medi cet li. Syrt-syrt, formt, d tur tt tulis rtiel dpt diperis pd Petuju gi Peulis di smpul elg-dlm jurl ii. Nsh yg msu ditelh oleh Peyutig d Mitr Bestri utu diili elyy. Peyutig melu peyutig tu peruh pd tulis yg dimut tp meguh msud isiy.

3 CAKRAWALA PENDIDIKAN Forum Komuisi Ilmih d Espresi Kretif Ilmu Pedidi Volume 5, Nomor, Otoer 0 Dftr Isi ISSN Peigt Kulits Guru d Pedidi... 9 Edg Whyui Pemhm Krteristi Pesert Didi d Mslh Beljr... 5 Kdei Implemetsi Otoomi Derh dlm Kerg Negr Kestu Repuli Idoesi... 4 Miru Tritoro Pegruh Kostrutivisme dlm Pemeljr Udi Erwto Kels Fugsi yg Teritegrl Secr Riem Vit Kusumsri A Alysis o Itrisic Aspects d Extrisic Aspects i Stephe Cre s Novel The Red Bdge of Courge Wirto Implemetsi Teori Beljr Gge utu Meigt Hsil Beljr Sisw Cici Prmesti Aplisi Teorem Poly utu Meghitug Byy Grf Sederh yg Tid Isomorfi Khomstu Ni mh Pemeljr the Power of Two Deg Givig Questios & Gettig Aswer pd Mtulih Mtemti Disrit Kristii Peerp Pemeljr Iquiry pd Mteri Peguji Hipotesis... 0 Mohmd Khfid Irsydi The Structure of Eglish Complemet i Time-Life Boos... 0 R. Hedro Prsetito The Applictio of Cll Method to Improve Redig Comprehesio o Nrrtive Text for the Studets of SMP... 8 Siful Rif i Pemeljr Givig Questio d Gettig Aswer utu Meigt Kemmpu Berpiir Kritis pd Mt Kulih Aljr Liier gi Mhsisw... 0 Suryti Implemetsi Model Pemeljr Studet Fcilittor d Expliig utu Meigt Hsil Beljr pd Mteri Persm Liier Stu Vriel... 6 Yovit Vidri Upy Meigt Berfiir Kretif mellui Pemeljr Koopertif Tipe TAI Berdsr Teori Be Kogitif... 4 Zemmy Idr Kuml Dewi Desi smpul: H. Prwoto Settig d Cet: IDC Mlg, Telp./Fs. (04) , emil: idc.mlido@gmil.com

4 Petuju Peulis Crwl Pedidi. Nsh elum perh diterit dlm medi cet li, dieti spsi rgp pd erts urto, pjg 0 0 hlm, d diserh plig lmt ul seelum peerit, dlm etu eti di ts erts sey esemplr d pd diset omputer IBM PC tu omptiel. Bers sh pd diset omputer dieti deg meggu pegolh t Microsoft Word.. Artiel yg dimut dlm jurl ii meliputi tulis tetg hsil peeliti, ggs oseptul, ji d plisi teori, tiju epust, d tiju uu ru.. Semu rg ditulis dlm etu esi, diserti judul su (hedig) msig-msig gi, eculi gi pedhulu yg disji tp judul su. Perigt judul su- diyt deg jeis huruf yg ered, lety rt tepi iri hlm, d tid meggu omor g, segi eriut. PERINGKAT (HURUF BESAR SEMUA TEBAL, RATA TEPI KIRI) Perigt (Huruf Besr-ecil Tel, Rt Tepi Kiri) Perigt (Huruf Besr-ecil Tel, Mirig, Rt Tepi Kiri) 4. Artiel oseptul meliputi () judul, () m peulis, (c) str (50 75 t), (d) t uci, (e) idetits peulis (tp gelr demi), (f) pedhulu yg erisi ltr elg d tuju tu rug ligup tulis, (g) isi/pemhs (tergi ts su-sujudul), (h) peutup, d (i) dftr ruju. Artiel hsil peeliti disji deg sistemti: () judul, () m (-m) peeliti, (c) str, (d) t uci, (e) idetits peeliti (tp gelr demi) (f) pedhulu erisi pemhs epust d tuju peeliti, (g) metode, (h) hsil, (i) pemhs, (j) esimpul d sr, d () dftr ruju. 5. Dftr ruju disji megiuti ttcr seperti cotoh eriut d diurut secr lfetis d roologis. Aderso, D.W., Vult, V.D., d Dicso, C.E. 99. Prolems d Prospects for the Decdes Ahed: Competecy Bsed Techer Eductio. Bereley: McCutch Pulishig Co. Hud, N. 99. Peulis Lpor Peeliti utu Jurl. Mlh disji dlm Lory Peeliti Tigt Dsr gi Dose PTN d PTS di Mlg Agt XIV, Pust Peeliti IKIP MALANG, Mlg, Juli. Prwoto Pegruh Pegiformsi Tuju Pemeljr dlm Modul terhdp Hsil Beljr Sisw SD PAMONG Kels Juh. Tesis tid diterit. Mlg: FPS IKIP MALANG.. Russel, T. 99. A Altertive Coceptio: Represetig Represettio. Dlm P.J. Blc & A. Lucs (Eds.). Childre s Iforml Ides i Sciece (hlm. 6-84). Lodo: Routledge. Stos, R. Guw. 00. Aplisi Teorem Poly Pd Eumersi Grf sederh, (olie), ( dises 9 Desemer 006) Sihomig, U. 00. Pedt Pedidi Bersis Msyrt. Dises April 006 Ziuddi, M.H Meigt Mutu Profesi Keguru Idoesi. Crwl Pedidi, (): Nsh dieti deg memperhti tur tetg peggu td c d ej yg dimut dlm Pedom Umum Ej Bhs Idoesi yg Disempur (Depdiud, 987).

5 KELAS FUNGSI YANG TERINTEGRALKAN SECARA RIEMANN Vit Kusumsri Jurus Mtemti FMIPA Uiversits Negeri Mlg Astr: Itegrl Riem dri ƒ pd I didefiisi segi ili L(ƒ) = U(ƒ) d i- lg ii diotsi deg ƒ tu ƒ(x) dx, dim L(ƒ) d U(ƒ) msigmsig merup ite-grl wh d itegrl ts dri ƒ pd I. Dri pegerti tetg itegrl Riem, m dpt diterp riteri Riem utu eteritegrl sutu fugsi, yitu fugsi ƒ dit teritegrl- secr Riem pd I ji d hy ji utu setip ε > 0 terdpt prtisi P ε dri I sedemii sehigg U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Seljuty, deg meggu riteri Riem terseut, fugsi ƒ dlh teritegrl secr Riem pd I ji ƒ moo-to pd I tu ƒ otiu pd I. Kt Kuci: itegrl Riem, riteri Riem, mooto, otiu Astrct: Riem itegrl of ƒ o I is defied to e vlue L(ƒ) = U(ƒ) d this um- er is deoted y ƒ or ƒ(x) dx, where L(ƒ) d U(ƒ) re lower d upper itegrl of ƒ o I. From the defi-itio out Riem itegrl, we c estlish Riem s crite-rio for itegrility of give fuctio, i.e. fuctio ƒ is sid to e Riem itegrle o I if d oly if for ech ε > 0 there is prtitio P ε of I such tht U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Furthermore, y usig Riem s criterio, we c oti tht fuctio ƒ is Rie-m itegrle o I if ƒ mootoe o I or ƒ is cotiuous o I. Kt Kuci: Riem itegrl, Riem s criterio, mootoe, cotiuous PENDAHULUAN Dlm mempeljri itegrl diel du etu itegrl, yitu itegrl t tetu d itegrl tetu. Kosep itegrl pd wly diemu oleh Newto d Leiiz. Seljuty, Berhrd Riem jug memeri defiisi megei itegrl yg diel deg itegrl Riem. Itegrl Riem merup e-tu itegrl tetu. Itegrl Riem memilii per petig dlm ergi idg. Dlm idg fisi misly, itegrl Riem dpt digu utu meghitug jr tempuh dri ed yg erger ji diethui ecepty, meetu mome iersi d pust mss sutu ed. Begitu pul dlm idg listri d eletroi, itegrl Riem slh stuy digu utu meghitug jumlh teg yg dieri pd 57

6 58 CAKRAWALA PENDIDIKAN, VOLUME 5, NOMOR, OKTOBER 0 idutor selm rus i pd selg wtu tertetu. dlm idg isis d eoomi, itegrl Riem digu dlm perhitug mslh-mslh yg terit deg surplus osume d surplus produse. Sedg dlm idg mtemti sediri, peggu itegrl Riem tr li dlh utu meghitug lus derh idg rt, meghitug volume ed putr d lus permu ed putr, d meetu pjg urv dlm idg. Pd pemhs tetg itegrl Riem, terleih dhulu didefiisi megei itegrl ts d itegrl wh dri sutu fugsi. Sutu fugsi dit teritegrl secr Riem ji itegrl ts d itegrl wh dri dri fugsi terseut sm. Hl ii ered deg defiisi itegrl yg dieri pd lulus. Pd lulus diseut hw sutu fugsi yg didefiisi pd selg tutup [, ] dlh teritegrl pd [, ] ji lim P 0 i= f( x ) x d (Purcell, 004). Dlm i i hl ii P meyt pjg selg gi yg terpjg dri prtisi P, x i dlh titi smpel utu selg gi e-i, d x i me-yt pjg selg gi e-i. Seljuty, pd rtiel ii dieri pemuti teorem eteritegrl dri fugsi mooto tu fugsi otiu pd [, ] deg meggu riteri Riem. TEORI PENDUKUNG Pd gi ii dieri eerp defiisi d teorem segi peujg pemhs. Pd gi pertm dieri uri megei sistem ilg rel, terutm megei pegerti ligug. Bgi seljuty megemu tetg pegerti supremum d ifimum esert eerp sift yg meyertiy. Kemudi diljut deg defiisi megei ris d eoverge ris. Pd gi terseut dijels pul megei ris mooto. Sedg fugsi otiu d fugsi mooto msig-msig dihs pd gi eriuty. Sistem Bilg Rel Dlm istilh ljr, sistem ilg rel merup lpg deg du opersi, yi pejumlh d perli. Pd pemhs tetg sistem ilg rel tetuy tid terleps dri sift-sift dri ilg rel. Slh stu sift terseut dieri pd teorem eriut. Teorem. Misl x, y R, ji x < y + ε, utu setip ε > 0, m x y. Bhs li pd sistem ilg rel dlh terit deg pegerti ligug. Segi ilustrsi, misl dieri ilg rel, m sutu ilg rel x dit det pd pil jr tr d x, yg diotsi deg x, sgt ecil. Sehuug deg hl itu, eriut ii dieri defiisi megei istilh ligug. Defiisi. Misl R d ε > 0, m ligug-ε dri dlh himpu V ε () := {x R : x < ε} Supremum d Ifimum Pd gi ii dieri defiisi megei supremum d ifimum sutu himpu. Tetpi seelum itu, terleih dhulu didefiisi megei ts ts d ts wh dri sutu himpu. Defiisi. Misl S merup himpu gi dri R. ) u R diseut ts ts dri S ji s u utu semu s S ) w R diseut ts wh dri S ji w s utu semu s S Sutu himpu gi dri R dit terts di ts ji memilii ts ts. Demii pul, himpu terseut dit terts di wh ji memilii ts wh. Ji sutu himpu gi dri R

7 Kusumsri, Kels Fugsi yg Teritegrl Secr Riem 59 mempuyi ts ts d ts wh, m himpu terseut dit terts. Seliy, sutu him-pu gi dri R tid terts ji tid mempuyi ts ts tu ts -wh. Utu seljuty, didefiisi megei ts ts terecil yg diseut supremum d ts wh teresr yg diseut ifimum. Defiisi.4 Misl S merup himpu gi dri R. ) Ji S terts di ts, m ts ts u diseut supremum (tu ts ts terecil) dri S ji tid d ilg yg leih ecil dri u yg mejdi ts ts dri S. Supremum dri himpu S diotsi segi sup S. ) Ji S terts di wh, m ts wh w diseut ifimum (tu ts wh teresr) dri S ji tid d ilg yg leih esr dri w yg mejdi ts wh dri S. Ifimum dri himpu S diotsi segi if S. Teorem eriut ii ere deg sift dri supremum d ifimum dri sutu himpu. Teorem.5 Misl S dlh himpu terts di R, S 0 S deg S 0, m if S if S 0 sup S 0 sup S. Bris Bris pd himpu S dlh fugsi pd himpu ilg sli di-m derh hsil dri fugsi terseut termut dlm S. Bgi eriut ii ere- deg ris pd R. Defiisi.6 Bris ilg rel (tu ris pd R) dlh fugsi pd himpu ilg sli N yg m derh hsil dri fugsi terseut termut dlm him-pu ilg rel R. Deg t li, ris pd R memsg setip ilg sli =,,, deg ilg rel yg ditetu secr tuggl. Bilg rel yg diperoleh tdi diseut eleme dri ris tu ili dri ris. Kemudi, ji- X : N R dlh ris, utu meuju ili dri X pd dlh de-g x. Notsi utu ris dlh X tu (x ) tu (x : N). Seljuty, defiisi eriut megemu tetg limit dri sutu ri-s ilg rel. Defiisi.7 Misl X = (x ) dlh ris ilg rel. Sutu ilg rel x diseut limit dri (x ) ji utu setip ε > 0 terdpt ilg sli K(ε) sedemii se-higg x termut dlm ligug V ε (x) utu semu K(ε). Peryt x termut dlm ligug V ε (x) utu semu K(ε) dpt diyt deg x x < ε utu semu K(ε). Ji x dlh limit dri ris, m dpt dit hw X = (x ) o-verge e x (tu memilii limit x). Ji ris memilii limit, m dit ris dlh overge, tetpi ji ris tid memilii limit m dit ris terseut dlh diverge. Keti ris X = (x ) mempuyi limit x di R, otsi yg digu dlh lim X = x tu lim (x ) = x. Pegerti megei ris i, ris turu, d ris mooto di-emu pd defiisi eriut ii. Defiisi.8 Misl X = (x ) merup ris ilg rel. X dit i ji memeuhi x x x x +. X dit turu ji memeuhi x x x x +. X dit mooto ji X i tu X turu. Tid semu ris dlh overge, tetpi teorem eriut dpt meuju eoverge dri ris mooto.

8 60 CAKRAWALA PENDIDIKAN, VOLUME 5, NOMOR, OKTOBER 0 Teorem.9 Ji ( ) dlh ris i d terts, m lim ( ) = sup{ }. Demii pul, ji ( ) dlh ris turu d terts, m lim ( ) = if{ }. Fugsi Kotiu Fugsi otiu memilii per yg cuup petig, Hl ii dire terdpt y fugsi yg merup fugsi otiu, misly fugsi trigoo-metri, fugsi logritm, fugsi espoesil, d li segiy. Sehigg pee-rp-peerp yg terit deg fugsi-fugsi terseut tid terleps dri si-ft-sift yg dimilii oleh fugsi otiu. Sehuug deg hl itu, defiisi yg dieri eriut ii ere deg fugsi otiu di sutu titi d otiu pd sutu himpu. Defiisi.0 Misl A R, ƒ: A R, d c A. Fugsi ƒ dit otiu di c, ji dieri serg ligug V ε (ƒ(c)) dri ƒ(c) m terdpt ligug V δ (c) dri c sedemii sehigg, ji x dlh serg titi dri A V δ (c) m ƒ(x) termut pd V ε (ƒ(c)). Kemudi, ji B A, fugsi ƒ dit otiu pd B ji ƒ otiu di setip titi dri B. Dri pedefiisi fugsi otiu di ts, dpt diperoleh peryt-per-yt yg eivle eriut ii. Teorem. Misl A R, ƒ: A R, d c A, m peryt-peryt di wh ii dlh eivle.. Fugsi ƒ otiu di c. Utu serg ε > 0, terdpt sutu δ > 0 sedemii sehigg utu se-mu x A deg x c < δ, erlu ƒ(x) - ƒ(c) < ε. c. Ji (x ) dlh serg ris ilg rel sedemii sehigg x A utu semu N d (x ) overge e c, m ƒ((x )) overge e ƒ(c). Defiisi eriut megemu tetg titi msimum solut d titi miimum solut utu ƒ pd sutu himpu. Defiisi. Misl A R d ƒ: A R. Fugsi ƒ dit mempuyi msimum solut pd A ji terdpt titi x * A sedemii sehigg ƒ(x * ) ƒ(x) u-tu semu x A. Demii pul, fugsi ƒ dit mempuyi miimum solut pd A ji terdpt titi x * A sedemii sehigg ƒ(x * ) ƒ(x) u-tu semu x A. Kemudi, x * diseut titi msimum solut utu ƒ pd A, d x * diseut titi mimimum solut utu ƒ pd A. Sutu fugsi ƒ memilii msimum solut d miimum solut pd I ji ƒ otiu pd I. Hl ii diyt pd Teorem Msimum-Miimum e-riut. Teorem. (Teorem Msimum- Miimum) Misl I := [, ] d fugsi ƒ: I R otiu pd I, m ƒ memilii msimum solut d miimum solut pd I. Pd Defiisi.0 seelumy didefiisi megei fugsi yg oti-u di sutu titi, tu pd sutu himpu. Utu seljuty, didefiisi megei fugsi yg otiu sergm pd sutu himpu. Defiisi.4 Misl A R d ƒ: A R. Fugsi ƒ dit otiu sergm pd A ji utu setip ε > 0 terdpt δ(ε) > 0 sehigg ji serg x, u A me-meuhi x u < δ(ε), m ƒ(x) - ƒ(u) < ε Seljuty, sutu fugsi yg otiu pd itervl tertutup terts d-lh otiu sergm pd itervl terseut. Teorem.5 (Teorem Keotiu Sergm) Misl I = [, ] d fugsi ƒ: I R otiu pd I, m ƒ otiu ser-gm pd I.

9 Kusumsri, Kels Fugsi yg Teritegrl Secr Riem 6 Fugsi Mooto Pd gi ii dieri pegerti megei fugsi mooto pd sutu himpu. Defiisi.6 Misl A R, m fugsi ƒ: A R dit i pd A ji x, x di A d x < x, m ƒ(x ) ƒ(x ). Fugsi ƒ dit i ut pd A ji x, x A d x < x, m ƒ(x ) < ƒ(x ). Demii pul, misl A R d g: A R. Fugsi g dit turu pd A ji x, x di A d x < x, m g(x ) g(x ). Fugsi g dit turu ut pd A ji x, x A d x < x, m g(x ) > g(x ). Ji sutu fugsi i tu turu pd A, m fugsi terseut dit mo-oto pd A. Sm hly ji fugsi ƒ i ut tu turu ut pd A, m- ƒ diseut mooto ut pd A. PEMBAHASAN Seljuty, gi ii dimuli deg medefiisi eteritegrl Riem dri sutu fugsi yg meliputi defiisi megei fugsi yg teritegrl secr Riem d itegrl Riem dri fugsi itu sediri. Tetpi see-lum itu, terleih dhulu didefiisi megei jumlh ts d jumlh wh dri sutu fugsi diljut deg defiisi dri itegrl ts d itegrl wh dri fugsi yg terit. Kemudi dihs megei riteri Riem utu eteritegrl. Kriteri Riem utu eteritegrl ii memegg per petig utu meuju hw fugsi mooto tu fugsi otiu dlh teritegrl secr Riem. Itegrl Riem Seelum medefiisi hw sutu fugsi terts, ƒ: I R deg I = [, ], dlh teritegrl secr Riem, m terleih dhulu didefiisi- megei jumlh ts d jumlh wh dri ƒ, sert itegrl ts d itegrl wh dri ƒ.. Jumlh Ats d Jumlh Bwh Misl I := [, ] pd R, prtisi dri I didefiisi segi himpu terurut P := (x 0, x,, x ) dri titi-titi pd I sehigg = x 0 < x < x < < x =. Titi-titi pd prtisi P dpt digu utu memgi I mejdi suitervlsuitervl, yitu [x 0, x ], [x, x ],, [x -, x ]. Misl ƒ: I R fugsi terts pd I d P = (x 0, x,, x ) prtisi dri I. Utu =,,,, m d M msig-msig meyt m := if{ƒ(x) : x [x -, x ]} M := sup{ƒ(x) : x [x -, x ]} Jumlh wh dri ƒ pd prtisi P didefiisi segi L(P ; ƒ) := m ( x x ) = d jumlh ts dri ƒ pd prtisi P didefiisi segi U(P ; ƒ) := M ( x x ) = Seljuty, utu serg prtisi dri I, jumlh wh urg dri tu sm deg jumlh ts. Hl ii dituju pd teorem eriut. Teorem. Ji fugsi ƒ: I R terts d P serg prtisi dri I, m L(P ; ƒ) U(P ; ƒ). Misl P := (x 0, x,, x ) d Q := (y 0, y,, y m ) dlh prtisi dri I. Prtisi Q dit peghlus (refiemet) dri P ji setip titi prtisi x P jug termut dlm Q (diotsi deg P Q). Sutu peghlus Q dri prtisi P diperoleh dri peggug sejumlh higg titi pd P. Dlm hl ii, msig-msig itervl [x -, x ] di P yg memgi I dpt ditulis segi gug itervl yg titi hiry termut dlm Q, yitu [x -, x ] = [y j-, y j ] [y j, y j+ ] [y h-, y h ] Peghlus sutu prtisi memperesr jumlh wh d memper-ecil jumlh ts. Sehuug deg hl terse-

10 6 CAKRAWALA PENDIDIKAN, VOLUME 5, NOMOR, OKTOBER 0 ut, teorem eriut meyt hw L(P ; ƒ) L(Q ; ƒ) d U(Q ; ƒ) U(P ; ƒ), dim P dlh prtisi dri I d Q dlh peghlus dri P. Teorem. Ji fugsi ƒ: I R terts, P dlh prtisi dri I, d Q dlh peghlus- dri P, m L(P ; ƒ) L(Q ; ƒ) d U(Q ; ƒ) U(P ; ƒ). Berdsr teorem di ts, dpt disimpul hw L(P ; ƒ) U(Q ; ƒ), deg P d Q dlh serg prtisi dri I, seperti diyt pd teorem eriut ii. Teorem. Misl fugsi ƒ: I R terts. Ji P d P dlh serg prtisi dri I, m L(P ; ƒ) U(P ; ƒ).. Itegrl Ats d Itegrl Bwh Misl (I) dlh olesi semu prtisi dri itervl I = [, ]. Ji fugsi ƒ: I R terts, m setip P pd (I) meetu du ilg, y-itu L(P ; ƒ) d U(P ; ƒ). Kemudi, olesi (I) meetu du himpu i-lg, yitu himpu jumlh wh L(P ; ƒ) utu P (I) d himpu jum-lh ts U(P ; ƒ) utu P (I). Seljuty, defiisi megei itegrl ts d itegrl wh dri fugsi terts ƒ: I R deg I = [, ], dlh segi eri-ut. Defiisi.4 Misl I := [, ] d ƒ: I R fugsi terts. Itegrl wh dri ƒ pd I dlh L(ƒ) := sup{l(p ; ƒ) : P (I)} Itegrl ts dri ƒ pd I dlh U(ƒ) := if{u(p ; ƒ) : P (I)} Oleh re ƒ dlh fugsi terts, m m I := if{ƒ(x) : x I} d M I := sup{ƒ(x) : x I} d. Aity, utu serg P (I), erlu m I ( ) L(P ; ƒ) U(P ; ƒ) M I ( ). Kre itu, diperoleh hw m I ( ) L(ƒ) d U(ƒ) M I ( ). Teorem eriut ii mejmi eerd dri itegrl ts d itegrl wh sutu fugsi. Seljuty, itegrl wh terseut urg dri tu s-m deg itegrl ts. Teorem.5 Ji I = [, ] d ƒ: I R fugsi terts, m itegrl wh L(ƒ) d itegrl ts U(ƒ) dri ƒ pd I d d L(ƒ) U(ƒ). Terdpt eerp sift dri itegrl ts d itegrl wh. Sift terseut tr li dlh itegrl wh dri sutu fugsi erili positif ji fugsi ter-seut jug erili positif, emudi ili sutu fugsi dlh ol ji itegrl -wh dri fugsi terseut erili ol. Sift-sift terseut diuri segi eriut.. Misl I = [, ], fugsi ƒ: I R terts, d ƒ(x) 0 utu semu x I, m L(ƒ) 0.. Misl I = [, ], fugsi ƒ: I R otiu, d ƒ(x) 0 utu semu x I. Ji L(ƒ) = 0, m ƒ(x) = 0 utu semu x I.. Itegrl Riem Misl I = [, ] d ƒ: I R fugsi terts, meurut Teorem.5, itegrl wh L(ƒ) d itegrl ts U(ƒ) sellu d d L(ƒ) U(ƒ). Fugsi de-g L(ƒ) = U(ƒ) dit segi fugsi yg teritegrl d ili ersm dri L(ƒ) d U(ƒ) ii diseut segi itegrl dri ƒ pd I. Oleh re itu, eri-ut ii dieri defiisi yg ere deg Itegrl Riem dri fugsi terts pd I. Defiisi.6 Misl I := [, ] d ƒ: I R fugsi terts. Fugsi ƒ dit teritegrl secr Riem pd I ji L(ƒ) = U(ƒ). Pd sus ii, itegrl Riem dri ƒ pd I didefiisi segi ili L(ƒ) = U(ƒ) d ilg ii diotsi deg

11 Kusumsri, Kels Fugsi yg Teritegrl Secr Riem 6 ƒ tu ƒ(x) dx. Segi tmh, dide- fiisi hw ƒ = - ƒ d ƒ = 0. Utu seljuty, misl ƒ teritegrl secr Riem pd I, cuup dit segi ƒ teritegrl pd I. Kriteri Riem utu Keteritegrl Sesui deg Defiisi.6 tetg itegrl Riem dri sutu fugsi, m dpt diterp sutu riteri utu meetu ph fugsi yg dieri teritegrl pd I tu tid. Kriteri ii seljuty diseut segi riteri Riem utu eteritegrl seperti diyt pd teorem eriut ii. Teorem.7 (Kriteri Riem utu Keteritegrl) Misl I := [, ] d ƒ: I R fugsi terts pd I. Fugsi ƒ dit teritegrl pd I ji d hy ji utu setip ε > 0 terdpt prtisi P ε dri I sedemii sehigg U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Buti: Kre ƒ teritegrl m diperoleh L(ƒ) = U(ƒ). Dieri ε > 0 serg. Kre L(ƒ) = sup{l(p ; ƒ) : P (I)}, m terdpt prtisi pd P dri I sedemii sehigg L(ƒ) - ε < L(P ; ƒ). Demii pul, terdpt prtisi pd P dri I sedemii sehigg U(P ; ƒ) < U(ƒ) + ε. Misl P ε = P P, errti P ε merup peghlus dri P d P. Oleh -re itu, diperoleh L(ƒ) - ε < L(P ; ƒ) L(P ε ; ƒ) U(P ε ; ƒ) U(P ; ƒ) < U(ƒ) + ε. Hl ii megit L(ƒ) - ε < L(Pε ; ƒ) d U(P ε ; ƒ) < U(ƒ) + ε, sehigg U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < U(ƒ) + ε - (L(ƒ) - ε ). Kre L(ƒ) = U(ƒ), m diperoleh U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Seliy, misl P serg prtisi dri I m didpt hw L(P ; ƒ) L(ƒ) d U(ƒ) U(P ; ƒ). Kre itu, U(ƒ) - L(ƒ) U(P ; ƒ) - L(P ; ƒ). Amil ε > 0. M terdpt prtisi P ε sedemii sehigg U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Aity, U(ƒ) - L(ƒ) U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Kre ε > 0 serg m U(ƒ) L(ƒ). Semetr itu, L(ƒ) U(ƒ) sehigg disimpul hw U(ƒ) = L(ƒ). Deg demii, ƒ teritegrl pd I. Seljuty, deg meggu riteri Riem utu eteritegrl, dpt diperoleh hw fugsi ƒ teritegrl pd I ji terdpt suti ris prtisi {P : N} dri I sedemii sehigg lim(u(p ; ƒ) - L(P ; ƒ)) = 0. Uri di ts diyt pd teorem eriut ii Teorem.8 Misl I := [, ] d ƒ: I R fugsi terts. Ji {P : N} dlh -ris prtisi dri I sedemii sehigg lim(u(p ; ƒ) - L(P ; ƒ)) = 0, m ƒ teritegrl pd I d lim L(P ; ƒ) = ƒ = lim U(P ; ƒ). Buti: Amil ε > 0 serg. Kre lim(u(p ; ƒ) - L(P ; ƒ)) = 0, m terdpt K N sedemii sehigg utu K erlu U(P ; ƒ) - L(P ; ƒ) < ε. Pilih P ε = P K, m diperoleh U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Deg demii ƒ teritegrl pd I. Misl {P : N} merup ris prtisi dri I sedemii sehigg

12 64 CAKRAWALA PENDIDIKAN, VOLUME 5, NOMOR, OKTOBER 0 P P +. Aity L(P ; ƒ) L(P + ; ƒ), sehigg L(P ; ƒ) utu N merup ris i d terts. Krey diperoleh hw lim L(P ; ƒ) = sup{l(p ; ƒ) : N}. Demii pul U(P + ; ƒ) U(P ; ƒ), sehigg U(P ; ƒ) utu N merup- ris turu d terts. Krey diperoleh hw lim U(P ; ƒ) = if{u(p ; ƒ) : N}. Kre himpu prtisi {P : N} (I), m lim L(P ; ƒ) = sup{l(p ; ƒ) : N} sup{l(p ; ƒ) : P (I)} = L(ƒ) d U(ƒ) = if{u(p ; ƒ) : P (I)} if{u(p ; ƒ) : N} = lim U(P ; ƒ). Diethui hw lim(u(p ; ƒ) - L(P ; ƒ)) = 0, m didpt hw lim U(P ; ƒ) = lim L(P ; ƒ). Kre lim L(P ; ƒ) L(ƒ) U(ƒ) lim U(P ; ƒ), m L(ƒ) = U(ƒ) = lim U(P ; ƒ) = lim L(P ; ƒ). Deg demii lim L(P ; ƒ) = ƒ = lim U(P ; ƒ). Deg meggu Teorem.8, m utu meetu eterite-grl dri sutu fugsi, hrus dituju hw terdpt {P : N} yg me-rup ris prtisi dri I sedemii sehigg lim(u(p ; ƒ) - L(P ; ƒ)) = 0. Diperoleh pul hw lim L(P ; ƒ) = ƒ = lim U(P ; ƒ). Oleh re itu, eriut ii dieri cotoh yg merup peerp Teorem.8 terseut. Cotoh: Misl I := [-, ] d ƒ: I R deg ƒ(x) := x 8 Seljuty dituju hw ƒ(x) := x 8 teritegrl pd [-, ]. Misl P merup prtisi dri I = [-, ] yitu 6 ( ) P := (, +, +,..., + = 0,,,...,, = ) Ifimu d supremum dri ƒ, utu =,,, dlh Utu suitervl [ +, + ], misl sup{ƒ(x) : x [ +, + ] } = M, if{ƒ(x) : x [ +, + ] } = m, d x = x x - m diperoleh m = ( ) + 8, M = ( + ) 8, d x =. ( ) Kemudi utu suitervl [, ], misl ( ) sup{ƒ(x) : x [, ]} = M, ( ) if{ƒ(x) : x [, ]} = m, d x = x x - m diperoleh ( ) m = ( ) 8, M = ( ) 8, d x =. Sehigg didpt

13 Kusumsri, Kels Fugsi yg Teritegrl Secr Riem 65 L(P ; ƒ) = ( m x = + m x ) ( ) = ((( + ) 8) + (( ) 8) ) = = ( = = ( + + ) = = d U(P ; ƒ) = ( M x = ) + M x ) = ((( + ) 8) + (( ) 8) ) = = ( ) = = ( ) = = Kre itu, lim(u(p ; ƒ) - L(P ; ƒ)) = lim (( ) ( )) 56 = lim = 56(lim ) = 0 Deg demii, x 8dx = lim U(P ; ƒ) = lim ( ) = 40 Keteritegrl dri Fugsi Mooto Pd hiry, riteri Riem utu eteritegrl dpt diterp utu meuju hw fugsi yg mooto pd itervl I = [, ] dlh teritegrl pd I. Teorem.9 Misl I = [, ] d ƒ: I R mooto pd I, m ƒ teritegrl pd I. Buti: Aggp hw ƒ i pd I. Misl dieri ris prtisi (P ) deg P := (x 0, x,, x ) dlh prtisi dri I dlm gi yg sm, m didpt hw x x = utu =,,,. Kre ƒ i pd [x -, x ], m m = ƒ(x - ) d M = ƒ(x ) utu =,,,. Oleh re itu, diperoleh hw

14 66 CAKRAWALA PENDIDIKAN, VOLUME 5, NOMOR, OKTOBER 0 U(P ; ƒ) L(P ; ƒ) = M = = ( M = = ( M = ( x x ) = ( x m x m ( x x ) m ( x x )) )( x x ) ) = (ƒ( x ) ƒ( x )) = = (ƒ(x ) ƒ(x 0 ) + ƒ(x ) ƒ(x ) + + ƒ(x ) ƒ(x - )) = (ƒ(x ) ƒ(x 0 )) = (ƒ() ƒ()) ( )(ƒ( ) ƒ( )) Dieri ε > 0, m K N sedemii sehigg K >. ε Utu K diperoleh U(P ; ƒ) L(P ; ƒ) = ( M m )( x x ) = = (ƒ() ƒ()) (ƒ() ƒ()) < ε K Jdi lim U(P ; ƒ) L(P ; ƒ) = 0 Deg demii ƒ teritegrl pd I. Keteritegrl dri Fugsi Kotiu Demii pul, riteri Riem utu eteritegrl jug dpt diterp- utu meuju hw fugsi yg otiu pd itervl I = [, ] dlh teritegrl pd I. Teorem.0 Misl I = [, ] d fugsi ƒ: I R otiu pd I, m ƒ teritegrl pd I. Buti: Kre I merup itervl tertutup terts d ƒ: I R otiu pd I, m ƒ otiu sergm pd I. Misl (P ) ris prtisi deg P := (x 0, x,, x ) merup prtisi dri I dlm gi yg sm, m x x = utu =,,,. Amil ε > 0, re ƒ otiu sergm, pilih δ > 0 sedemii sehigg ji u, v I d u v < δ, m ε ƒ ( u) ƒ( v) <. Pilih K N sedemii sehigg K >. δ Kre [x -, x ] merup itervl tertutup terts, d ƒ otiu sergm pd I m ƒ otiu pd [x -, x ]. Oleh re itu, terdpt titi u, v pd [x -, x ] sedemii sehigg ƒ(u ) = M d ƒ(v ) = m. Perhti hw utu prtisi P deg K erlu, M m = ƒ(u ) ƒ(v ) ε <

15 Kusumsri, Kels Fugsi yg Teritegrl Secr Riem 67 Aity, U(P ; ƒ) L(P ; ƒ) = = ( M m )( x x ) ε < = ε = Jdi lim U(P ; ƒ) L(P ; ƒ) = 0 Deg demii ƒ teritegrl pd I. PENUTUP Berdsr pemhs di ts, m dpt dimil esimpul segi eriut.. Misl I merup itervl tertutup terts d ƒ: I R dlh fugsi terts. Fugsi ƒ dit teritegrl secr Riem pd I ji L(ƒ) = U(ƒ). Itegrl Riem dri ƒ ts I dlh ili dri L(ƒ) d U(ƒ) terseut yg diotsi deg ƒ tu ƒ(x) dx. Dlm hl ii, L(ƒ) dlh ite-grl wh dri ƒ pd I, yitu L(ƒ) = sup{l(p ; ƒ) : P (I)}, d U(ƒ) dlh itegrl ts dri ƒ pd I, yitu U(ƒ) = if{u(p ; ƒ) : P (I)}. Sedg L(P ; ƒ) d U(P ; ƒ) msigmsig merup jumlh wh d jumlh ts dri ƒ yg erorespodesi pd prtisi P, yitu L(P ; ƒ) = = = m ( x x ) d U(P ; ƒ) = M ( x x ), dim m = if{ƒ(x) : x [x -, x ]} d M = sup{ƒ(x) : x [x -, x ]} utu =,,,. I ji d hy ji utu setip ε > 0 terdpt prtisi P ε dri I sedemi-i sehigg U(P ε ; ƒ) - L(P ε ; ƒ) < ε. Seljuty, deg meggu ri-teri Riem utu eteritegrl terseut, dpt diperoleh hw ƒ terite-grl pd I ji terdpt {P : N} yg merup ris prtisi dri I sedemi- i sehigg lim(u(p ; ƒ) - L(P ; ƒ)) = 0. Deg demii, lim L(P ; ƒ) = ƒ = lim U(P ; ƒ).. Deg meggu riteri Riem utu eteritegrl, m dpt diperoleh hw fugsi mooto pd itervl I = [, ] dlh teritegrl pd I. c. Demii pul, diperoleh hw fugsi yg otiu pd itervl I = [, ] dlh teritegrl pd I. DAFTAR RUJUKAN Brtle, Roert G. & Sherert, Dold R. 99. Itroductio to Rel Alysis, Secod Editio. New Yor: Joh Wiley & Sos, Ic. Brtle, Roert G. & Sherert, Dold R. 0. Itroductio to Rel Alysis, Fourth Editio. New Yor: Joh Wiley & Sos, Ic. Lewi, Joth & Lewi, Myrtle. 99. A Itroductio to Mthemticl Aly-sis. Sigpore: McGrw-Hill, Ic. Stoll, Mfred. 00. Itroductio to Rel Alysis. Bosto: Addiso Wsley Logm, Ic. Purcell, Edwi J., Vrerg, Dle & Rigdo, Steve E, Edisi Kedelp Klulus. Jrt: Erlgg.. Kriteri Riem utu eteritegrl meyt hw ƒ teritegrl pd