mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x

Transkripsi

1 B 4. Peerp Itegrl BAB 4. PENGGUNAAN INTEGRAL 4.. Lus re dtr Perhtik derh di wh kurv y = f () di tr du gris tegk = d = di ts sumu, deg f fugsi kotiu. Seperti pd s medefiisik itegrl tertetu, kit gi itervl [,] mejdi su itervl deg ler sm d seljuty kit hmpiri su itervl ke- I deg persegi pjg deg ler = ( ) / d tiggi f ( i ) (liht gmr, kit oleh sj megmil semu titik smple erup titik ujug, yki jumlh Riem i = i ). Deg demiki f ( i ) i merupk hmpir lus dri derh diwh kurv y = f () terseut. y y = f () 0 i i i Hmpir k semki ik, medekti lus sesugguhy, jik. Oleh kre itu lus derh di wh kurv y = f () di tr du gris tegk = d = di ts sumu didefiisik segi ili limi dri jumlh lus persegi pjg terseut, yitu L = lim f ( i ) i = f ( ) d. i =

2 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 40 Cotoh : Tetuk lus derh yg ditsi oleh y =,sumu, = d = Peyelesi. y y = Lusy dlh 0 ] d = = 8 stu lus Utuk derh yg ditsi oleh du kurv y = f () d y = g() di tr du gris tegk = d = deg f d g kotiu d f ( ) g( ) utuk semu pd [,] lusy dlh L = lim [ g( i ) f ( i )] = [ g( ) f ( )] d. y y = g() L = (y y ) d L y = f() tu 0 L = [g() f()] d Cotoh : Gmrlh d tetuk lus derh yg ditsi oleh y = si pd kudr I. Jw : L = π 0 si d = stu lus

3 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 4 Cotoh : Gmrlh d tetuk lus derh yg ditsi oleh y = d y = Jw : y y = y = cri titik potog kedu kurv : = 0 = 0 = 0 d = Jdi lusy dlh L = 0 Sol ltih 4.: ( - ) d = = stu lus Tujukk hw jik derh yg ditsi oleh kur y = f() d y = g(), =, d = ( liht gmr ) diputr terhdp sumu y dlh y y = f() y = g() 0 Vy = π [ f ( ) g( ) ]d Tetuk lus derh yg ditsi :. y = + d y = +. y = + d y = 4 4. y = 4 +, sumu d gris = 5 5. Segitig deg titik-titik sudut A(,4), B(,-), d C(,0) 6. y = d y = + 7. y = d y = - pd kudr I 8. y = d y =

4 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI Volume Bed Putr Metode ckrm (i). Derh yg ditsi oleh kurv y = f(), sumu pd [,] diputr terhdp sumu, dlh Volume = Lus ls tiggi = π r t y i V = π [f( i )] i 0 i V = π [f( i )] i i Volume seery ; V = lim [ f ( i )] i = [ f ( ) ] π π d. (ii). Derh yg ditsi oleh kurv = g(y), sumu y pd [c,d], diputr terhdp sumu y, mk d = π [ ] Vy g( y) dy. c (iii). Derh yg ditsi oleh du kurv y d y, mk f () y f () V = π = π [y y ] d [f () f () ] d

5 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 4 D secr sm k dipuyi V y = π [ ] dy = π [g (y) g (y) ] dy Cotoh : Tetuk vulome yg diperoleh jik derh yg ditsi oleh kurv y = +, sumu dri = 0 smpi = diputr terhdp sumu. Peyelesi : y y = + 0 V = π 0 ( + ) d 5 06 = π = π stu volume 5 Cotoh : Tetuk volume ed putr yg terjdi jik derh yg ditsi oleh y = d y = diputr terhdp sumu. Peyelesi : Dri cotoh gi 4., mk 0 V = 0 [ ( ) ] d 5 5 = [ ] 0 = 5 stu volume Metode Kulit

6 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 44 (i). Derh Yg ditsi oleh kurv y = f(), gris = d =, ser sumu, diputr terhdp sumu y. Mk volume ed yg dihsilk dpt dihitug segi erikut : i- i Itervl [.] digi mejdi gi su itervl yitu ; = 0,,,, = yg msig-msig pjgy i = i i-. Mk jik lus pd [ i-, i ] diputr megeliligi sumu y, mk diperoleh tug V i, yg volumey dlh V i = π i f(t i ) - π i- f(t i ), deg t i [ i-, i ] = π ( i i- ) f(t i ) i + i d jik dimil t i =, mk V i = π ( i i- ) f(t i ) i + i = π ( i i- ) ( i + i- ) f ( ) Sehigg diperoleh i + i i + i = π ( i i- ) ( ) f ( = π ( i ) (t i ) f(t i ) V i = π Sedgk volume sesugguhy dlh (t i ) f(t i ) ( i ) ) tu V y = lim (t i ) f(t i ) ( i ) V y = π f() d

7 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 45 (ii). Derh yg ditsi oleh du kurv y = f() d y = g() pd [,]diputr terhdp sumu y dlh : V y = π [ f ( ) g( ) ] d. Cotoh : Tetuk volume yg terjdi jik derh yg ditsi oleh kurv y = d y = diputr terhdp sumu y. Peyelesi : Titik potog kedu kurv dlh = = = 0 ( 5) ( ) = 0 Jdi titik potogy (,) d (5,9). Volumey dlh V y = π 5 = π 5 [( ) ( )] d [ + 6 5] d = π = π { } {. +.. } 4 4 = 64π stu volume

8 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 46 Sol Ltih 4. : Pd gmr, A meytk derh y =, d y =, B meytk derh yg ditsi oleh sumu y, kurv y yg ditsi oleh kurv y =, d (,) y = kurv, d C derh yg ditsi oleh y =, sumu,d =.. Tetuk lus msig-msig derh A, B, d C. A B C 0 Seljuty utuk 5, tetuk volume ed putr yg dihsilk jik derh yg ditetuk erikut diputr terhdp sumu tu gris yg dierik;. A diputr terhdp sumu y deg metode ckrm d cici.. B diputr terhdp sumu y deg metode ckrm d cici. 4. C diputr terhdp sumu y deg metode ckrm d cici. 5. B diputr terhdp gris y = deg metode ckrm d cici. Tetuk volume ed putr yg diperoleh jik derh yg ditsi oleh 6. y = + d y = + diputr terhdp sumu, sumu y. 7. y = d y = pd kudr I diputr terhdp sumu. 8. y = d y = d = diputr terhdp gris y = y = d y = 0 diputr terhdp sumu y. 0. y = dri = 0 s.d = diputr terhdp sumu ; sumu y.. Segitig deg titik sudut (,-), (5,), d (-,4) diputr terhdp sumu ; sumu y.

9 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI Pjg Busur Ak dihitug pjg usur AB dri kurv y = f() pd [,] A=P 0 P P i- P i B = P y= f() 0 i- i Dimil prtisi P={ = 0,,,, = } pd [,], sehigg terdpt titik A=P 0 P,, P = B yg terletk pd kurv. Pjg usur AB didekti oleh jumlh pjg uh tli usur P 0, P,,P -, P, yitu : i) + ( i ) tu ( y ( i y) +. i ( ) i Utuk P 0 tu diperoleh Pjg usur AB dlh : tu S = lim ( i y) + i ( ) i S = dy + d d Secr sm utuk kurv = g(y) pd [c,d], dpt dicri S = c d d + dy dy Cotoh : Tetuk pjg usur kurv y = + dri = smpi = 4 Peyelesi : Pjgy

10 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 48 4 S = + d = [ ] 4 = stu pjg. Sol Ltih 4. :. Tetuk pjg usur y = ½ pd [,]. Tetuk kelilig derh yg ditsi oleh kurv y = d y = ½.. Deg megguk itegrl tetuk pjg sisi-sisi segitig yg titik-titik suduty(-,), (,4), d (,-). 4.4 Nili rt-rt fugsi Nili rt-rt dri seyk ilg y, y,..., y dlh y + y y y =. Tetpi gim jik igi meghitug ili rt-rt fugsi y = f (),. Utuk megethui ili rt-rt fugsi terseut, kit gi [,] mejdi selg gi, yitu [ 0, ],[, ],...[, ] deg pjg setip selg gi ke-i sm, yitu = ( ) /. Mislk titik smpel i [ i, i ], mk rt-rt f ( ) f ( )... f ( ilg f ( ), f ( ),..., f ( ) dlh ). Kre = ( ) /, mk dpt kit tulis = ( ) sehigg ili rt-rt mejdi [ f ( ) + f ( ) f ( ) ] f ( ) + f ( ) f ( ) = ( ) = f ( i ) Seljuty ili rt-rt f pd itervl [,] didefiisik segi f = lim f ( i ) = f ( ) d.

11 B 4. Peerp Itegrl--YUDIARI 49 Cotoh : Tetuk ili rt-rt fugsi f ( ) = + pd itervl [,]. Peyelesi : 6 f = f ( ) d = ( + ) d = + =. Diperoleh teorem erikut. Teorem Nili Rt-rt utuk Itegrl. Jik f fugsi kotiu pd [,] mk terdpt seuh ilg c pd [,] sedemiki sehigg f ( ) d = f ( c)( ). Cotoh : Kre f ( ) = + kotiu pd itervl [,], mk terdpt c pd [,] sedemiki sehigg ( + ) d = f ( c)( ). Pd ksus ii, c dpt ditemuk secr eksplisit. Dri cotoh kit kethui hw 6 6 f(c) = f rt-rt =. Jdi c + = tu c =. Deg demiki c yg memeuhi teorem ili rt-rt utuk itegrl dlh c =.