Rencana Pembelajaran

Transkripsi

1 Lerig Outcome Rec Pemeljr Setelh megikuti proses pemeljr ii, dihrpk mhsisw dpt ) Meetuk ti turu dri seuh fugsi ) Meyelesik itegrl tetu deg itegrsi ke-x d itegrsi ke-y. 3) Meghitug lus derh deg megguk itegrl tetu deg itegrsi ke-x d itegrsi ke-y. 4) Meghitug lus derh yg ditsi oleh du uh kurv deg megguk itegrl tetu. 5) Meghitug volume ed putr deg sumu putr merupk sli sumu megguk metode kulit tug d metode ckrm 6) Meghitug volume ed putr deg sumu putr gris yg sejjr deg sli sumu megguk metode kulit tug dm metode ckrm Prsyrt Pokok hs yg hrus dipeljri oleh mhsisw seelum megikuti perkulih itegrl d peerpy, dlh Fugsi Rel: Sistem Bilg Rel, Fugsi d Grfik, Limit d kekotiu, Limit tk Higg d Limit di Tk Higg Turu d Peggu: Turu Fugsi, Turu Fugsi Trigoometri, Teorem Rti, Turu Tigkt Tiggi, Fugsi Implisit, Kemooto d Kecekug Fugsi, Nili Ekstrim d Asymtot, Dlil Delhopitl Referesi Utuk medukug d mempermudh dlm mempeljri mteri itegrl d pegguy, disrk utuk megguk uku erikut Mursit, Dg. (). Mtemtik utuk Perguru Tiggi. Rekys Sis. Bdug. mtemtik_utuk_perguru_tiggi.html Holdrook, Jerit. Clculus t Work. Chpter 7 Applictios of Defiite Itegrls. Itegrl Tetu Pge of 9

2 F(x) Itegrl Tk Tetu Misl dierik fugsi F(x) = x, mk turu dri fugsi F(x) diytk deg dx = F (x) = f(x) = x. Fugsi f(x) = x diktk segi ti turu dri fugsi F(x) = x. Bgim cr d mejelsk hw fugsi f(x) = x jug merupk ti turu dri fugsi erikut: F(x) = x +, F(x) = x 3, d F(x) = x +? Secr umum, dpt diktk hw fugsi F(x) = x + C merupk ti turu dri fugsi F (x) = f(x) = x deg C merupk merupk semrg kostt (ilg rel). Perhtik defiisi erikut. Fugsi F(x) diseut ti turu dri f(x) il F (x) = f(x). Proses mecri ti turu diseut itegrsi (itegrl). Notsi yg diguk utuk meytk itegrl dri fugsi f(x) = x dlh x dx = x + C. Secr umum dpt ditulisk f(x) dx = F(x) + C deg F (x) = f(x). Betuk itegrl ii diseut itegrl tk tetu. Lts, gim cr kit meyelesik itegrl erikut, x dx? Perhtik fugsi F(x) = A x + C deg d C merupk ilg rel. Turu dri fugsi F(x) = A x + C dlh F (x) = A x. Deg megguk otsi itegrl mk diperoleh, A x dx = A x + C Klu kit igi meyelesik itegrl x dx mk kit digk deg itegrl di ts, A x dx, x dx = A x dx Diperoleh, = - tu = 3 d A =, sehigg A = 3. Jdi, x dx = 3 x3 + C. Secr umum, dpt ditulisk rumus, x dx = x + C tu dpt jug ditulisk mejdi, x dx = + x+ + C Se dlh ilg rel, mk dpt dipilih = -. Tetpi, rumus terseut mejdi tidk terdefiisi, megp? Jelsk. Agr rumus itu erlku tu er, mk ili = - hrus dikelurk, sehigg rumus mejdi, x dx = + x+ + C, Bil dimit meyelesik itegrl 5 x dx mk megguk uri di ts diperoleh = tu = 3 d A = 3A = 5 tu A = 5 3, sehigg 5 x dx = 5 3 x3 + C. Secr umum, dpt diperoleh rumus, A x dx = A + x+ + C, Pge of 9

3 Rumus di ts dpt diguk utuk meyelesik itegrl erikut, [x 3 x + 3 Betuk itegrl terseut diselesik, [x 3 x + 3 x + ] dx = [x3 x + 3x + ] dx = x 3 dx x dx + 3 x dx + dx = 4 x4 x + 3 x + x = 4 x4 x + 6 x + x x + ] dx. Bgim d meyelesik itegrl, x x dx? Seljuty, tulisk kemli turu dri fugsi trigoometri erikut, f(x) = si x, f(x) = cos x, f(x) = sec x, f(x) = csc x, f(x) = t x, d f(x) = cot x, kemudi ytk ti turu dri fugsi trigoometri terseut deg megguk otsi itegrl. Mislk turu fugsi f(x) = si x dlh f (x) = cos x, mk diperoleh, cos x dx = si x + C. Bil dierik fugsi komposisi, f[g(x)], mk turuy dlh d[f(g(x))] g (x) f (g(x)). Misl dierik fugsi y = si(x ). Bil diytk dlm etuk fugsi komposisi, y = f(g(x)), mk diperoleh f(g(x)) = si(g(x)) d g(x) = x, sehigg turuy dlh d[f(g(x))] dx x cos(x ) dx = si(x ) + C. Jdi secr umum, dpt diperoleh rumus, deg F (x) = f(x) = d[si(x )] dx Mislk g(x) = u, mk g (x) = du ditulisk segi erikut, = (x) cos(x ). Dlm otsi itegrl dpt ditulisk, g (x) f(g(x)) dx = F(g(x)) + C dx tu g (x)dx = du. Sehigg etuk itegrl di ts dpt g (x) f(g(x)) dx = f(u)du Itegrl erikut x x x dx dpt diselesik deg memislk u = x + x, sehigg du = (x + )dx = (x + )dx tu segi erikut, (x + ) x + x dx = u = 3 (x + x ) 3 + C du = (x + )dx. Itegrl dpt diselesik du = u du = 3 u3 + C dx = Defiisi Itegrl Tetu Bil kit megedri kedr ermotor (seped motor tu moil) selm 4 jm deg kecept 5 km / jm, erp jrk yg ditempuh? Tetu sj jwy sgt mudh yitu 5 Pge 3 of 9

4 x 4 = km. Tetpi, pkh hl ii dpt terjdi dlm kehidup sehri-hri, hw seseorg dpt megedri kedr selm 4 jm erturut-turut deg kecept kost? Musthil terjdi, meskipu di jl tol seklipu. Bis jdi, stu jm pertm ditempuh deg kecept 6 km / jm, setegh jm erikuty deg kecept km/jm, du jm seljuty deg kecept 4 km / jm d setegh jm sisy ditempuh deg kecept 7 km/jm. Lts, il terjdi seperti kodisi terseut mk erp jrk tempuh selm 4 jm? Utuk mejw permslh terseut dpt ditujukk deg Gmr erikut. Gmr Jrk Tempuh Derh yg dirsir pd Gmr merupk jrk tempuh, sehigg jrk tempuh selm 4 jm dihitug segi erikut, (6 x ) + ( x ½) + (4 x ) + (7 x ½) = km. Jdi, jrk tempuh segim diperlihtk pd Gmr merupk lus dri derh yg dirsir. Pedekt meghitug lus derh (jrk tempuh) k diperguk utuk memtu medefiisik pegerti itegrl tetu. Dierik permslh tetg meghitug lus derh yg etuky tidk ertur. Mislk dierik derh tertutup D yg ditsi dits oleh kurv y = x, diwh oleh sumu X, dismpig kiri oleh sumu Y, d dismpig k oleh gris x =. Derh D diperlihtk oleh Gmr erikut. Gmr Derh D Pge 4 of 9

5 Utuk meghitug lus derh D, mk dilkuk pedekt lus segiempt. Perhtik il itervl [,], digi mejdi du su itervl, mk dpt diut segiempt yg terletk di dlm derh D, seperti terliht pd Gmr 3 (i). Bil itervl [,] digi mejdi empt su itervl, mk k d tig segiempt yg terletk di dlm derh D, Gmr 3 (ii) d il [,] digi mejdi em su itervl, mk d lim segiempt yg terletk di dlm derh D, Gmr 3 (iii). Perhtik Gmr 3, hy tersedi gmr (i) smpi deg gmr (iii). Legkpilh tel erikut. Bgim cr d meetuk utuk yk prtisi d jumlh lus prtisi utuk gmr (iv) d gmr (v)? Jelsk jw d. Gmr -3 (i) (ii) (iii) (iv) (v) Byk prtisi segiempt Jumlh Lus prtisi segiempt (i) (ii) (iii) Gmr 3 Prtisi (Segiempt) dlm Derh D Mislk lus derh D disigkt deg LD d jumlh lus segiempt yg terletk di dlm derh D disigkt deg PD. Apkh yg is d kethui tetg LD d PD? Adkh huug yg is d simpulk tetg ili LD d PD? Bil itervl [,] diut yk sekli (yky is medekti tk higg) su itervl, pkh kesimpul d msih erlku? Perhtik Gmr 4, hy tersedi gmr (i) smpi deg gmr (iii). Legkpilh tel erikut. Bgim cr d meetuk yk prtisi d jumlh lus prtisi utuk gmr (iv) d gmr (v)? Jelsk jw d. Pge 5 of 9

6 Gmr -4 (i) (ii) (iii) (iv) (v) Byk prtisi segiempt Jumlh lus prtisi segiempt (i) (ii) (iii) Gmr 4 Prtisi (Segiempt) dilur Derh D Sekrg perhtik il itervl [,] diut mejdi du su itervl mk terdpt du segiempt yg terletk di lur derh D, Gmr 4 (i). Bil itervl [,] diut mejdi empt d em su itervl mk erturut-turut didptk empt d em segiempt, Gmr 4 (ii) d (iii). Mislk jumlh lus segiempt yg terjdi diytk deg PL. Ap yg is d simpulk tetg ili dri LD d PL? Adkh huug tr LD d PL? Mislk itervl [,] diut mejdi seyk uh su itervl ( yk sekli d hk medekti tk higg), pkh kesimpul d msih erlku? Perhtik Gmr. Mislk itervl [,] digi mejdi seyk su itervl yitu = x < x < x3 < < xk< < x =. Mk diperoleh ili dri PD (jumlh lus prtisi segiempt yg terletk di dlm derh D) d PL (jumlh lus prtisi segiempt yg terletk di lur derh D) segi erikut PD f xk xk xk f xk xk k k PL f xk xk xk f xk xk k k Notsi sigm dits serigkli dimk deg jumlh Riem. Secr visulissi d perhitug, mpk hw Pge 6 of 9

7 PD LD PL tu f xk xk LD f xk xk k k Bil ( meuju tu medekti tk higg) mk k diperoleh hw x k mk k diperoleh limit jumlh Riem dri lus terseut yitu lim f xk xk LD lim f xk xk tu k k lim f xk xk LD lim f xk xk xk k xk k Se rus kiri d rus k erili sm mk dpt ditulisk LD lim f xk xk lim f xk xk xk k k Misl dierik derh D yg ditsi oleh fugsi y = f(x), f(x) >, sumu X, gris x =, d gris x = yg didefiisik pd sutu itervl tutup [,], diperlihtk oleh derh yg dirsir pd Gmr 5 erikut. D Gmr 5. Derh D Perhitug lus derh D dpt jug dilkuk deg meghitug jumlh lus prtisi segiempt, mu prtisi segiempt terseut uk prtisi yg terletk di dlm tupu dilur derh D. Perhtik Gmr 6. Misl dipilih semrg ili x = x di tr d. Seljuty diut segiempt deg tiggi f(x ) d ler ( ), mk lus segiempt dlh L = ( ) f(x ). Pge 7 of 9

8 Gmr 6 Perhtik Gmr 7. Misl dipilih du ili x = c d x = c di tr d. Seljuty diut segiempt deg tiggi f(c ), ler (x ) d tiggi f(x ), ler ( x ) mk jumlh lus du segiempt dlh L = (x )f(c ) + ( x )f(x ). Gmr 7 Perhtik Gmr 8. Misl dipilih tig ili x = c, x = c, d x = c 3 yg terletk di tr d. Seljuty diut segiempt () tiggi f(c ), ler (x ); () tiggi f(x ), ler (x x ); d (3) tiggi f(x 3 ), ler ( x ), mk jumlh lus tig segiempt dlh L3 = (x )f(c ) + (x x )f(x ) + ( x )f(x 3 ) Pge 8 of 9

9 Gmr 8 Bgim cr yg hrus dilkuk utuk meetuk jumlh lus uh segiempt? Perhtik Gmr 9. Pdg segiempt ke k (prtisi ke k) deg ler prtisi x k xk xk d pjg prtisi f x k, sehigg lus segiempt (prtisi) ke-k dlh f x k xk deg x k terletk pd itervl (x k, x k ). Se fugsi f(x) > mk ili dri f x k d x k x x x x sellu positif. Bil fugsi f(x) terletk f k se k k k diwh sumu X mk ili x k f d x k xk Riem dri prtisi is erili positif tu erili egtif. f jug k egtif. Oleh kre itu, jumlh Gmr 9 Mislk itervl [,] digi mejdi su itervl (dlm hl ii dimil yg pjgy sm wlupu hl ii tidklh mutlk), misl x x... x x d k x xk xk k x k kit mil sutu titik x k (titik semrg mu utuk memudhk pejels dipilih titik tegh su itervl) yitu x. Pd setip su itervl x, Pge 9 of 9

10 xk xk x k. Prtisi yg teretuk merupk segiempt deg ukur x d f x k segi ler d pjg prtisi, sehigg lus tip prtisi dlh f xk x. Oleh kre itu didptk jumlh lus prtisi pd itervl [,] yitu : f Pge of 9 k x k x. Jumlh ii dimk jumlh Riem utuk f(x) yg ersesui deg prtisi. Mk lus derh yg ditsi oleh y = f(x), gris x =, gris x =, d sumu X k didekti oleh jumlh Riem di ts il dimil ( medekti tk higg). Dri sii dpt didefiisik sutu itegrl tetu yitu itegrl dri fugsi y = f(x) pd sutu itervl [,]. Defiisi Itegrl Riem Misl fugsi f(x) kotiu pd itervl [,], x k x ler prtisi yg terletk xk xk pd itervl [,], = x, = x, x k, mk itegrl dri f(x) ts itervl [,] didefiisik segi limit jumlh Riem, f ( x )dx lim xk f x x lim f x k k Bil limit d mk fugsi f(x) diktk itegrel (dpt diitegrlk) pd itervl [,]. Itegrl ii diseut Itegrl Riem tu Itegrl Tetu. 3 Teorem Dsr Klkulus Misl fugsi f(x) kotiu pd [,] d fugsi F(x) dlh ti turu dri fugsi f(x), mk erlku f ( x )dx F( ) F( ) Dri etuk itegrl tetu f ( x )dx mk fugsi f(x) dimk itegr, ilg dimk ts wh itegrl d ilg dimk ts ts itegrl. Peerp dri teorem dsr klkulus pertm diperlihtk erikut. Selesik itegrl tetu x dx. Ati turu dri itegr f ( x ) x dlh F( x ) x x. Deg meerpk teorem dsr klkulus pertm mk diperoleh x dx x x 6 itegr f ( x ) x positif pd itervl [,]. k x. Nili itegrl ii positif se

11 Bil fugsi f(x) < pd itervl [,] mk ili itegrl f(x) dx <. Tujukk hw fugsi f(x) = 3x + 3 erili egtif pd itervl [,3]? Berp ili dri itegrl 3 ( 3x + 3) dx? Seljuty, mugkikh ili dri itegrl seuh fugsi kotiu k erili (ol)? Jelsk jw Ad. Bil du uh fugsi f(x) d g(x) itegrel (dpt diitegrlk) pd itervl [,], d erlku f(x) g(x) utuk setip ili x pd itervl [,], x [, ], mk erlku sift perdig yitu f ( x )dx g( x )dx. Misl dierik fugsi f(x) = x x 3 d g(x) = x mk erlku f(x) g(x) utuk setip ili x pd itervl [-, ]. Bgim cr d meujukk hw erlku f(x) g(x) utuk setip ili x pd itervl [-, ]? Seljuty hituglh ili itegrl f(x)dx [g(x) f(x)]dx, d [f(x) g(x)]dx. Misl dierik itegrl f(x)dx ditulisk f(x)dx c c, g(x)dx d ili c terletk pd itervl [,], mk dpt = f(x)dx + f(x)dx. Betuk itegrl ii dpt diguk utuk, x 3 meyelesik itegrl f(x)dx deg fugsi f ( x ) x, x. Perhtik hw 3x, x fugsi f(x) terdefiisi utuk tig uh itervl yitu x <, < x <, d x > sehigg peyelesi itegrl dierik erikut, 3 3 f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx 3 3 f(x)dx 3 = dx + ( + x) dx 3 + 3x dx f(x)dx = x + (x + x ) + x3 3 f(x)dx = [ ( 4)] + [( + ) ] + [7 8] = 7 5 Lts, gim cr meyelesik f(x) dx? Uri secr detil jw Ad. Kemudi selesik itegrl (x ) dx, (x ) dx, (x ) dx. Kesimpul p yg is Ad peroleh?, Pge of 9

12 4 Itegrl Fugsi Gep, Fugsi Gjil, d Fugsi Komposisi Bil fugsi f(x) merupk fugsi gjil, yitu f( x) = f(x) mk itegrl f ( x )dx. Bil fugsi f(x) merupk fugsi gep, yitu f( x) = f(x) mk itegrl f ( x )dx f ( x )dx. Misl dierik fugsi f(x) = x 3. Apkh fugsi terseut merupk fugsi gjil, gep tu tidk kedu-duy? Seli megguk defiisi, pkh d cr utuk meyelidiki hw fugsi terseut gjil, gep tu tidk kedu-duy? Jelsk. Seljuty erp ili dri x 3 dx, x 3 dx, d x 3 dx? Pd itegrl tetu, jug erlku itegrl fugsi komposisi, yitu f g( ) g( x ) g' ( x )dx erikut, 3 3 g( ) f ( u )du. Cotoh dri etuk itegrl fugsi komposisi ii diperlihtk 8x 7 + x dx. Peyelesi dilkuk deg medptk solusi itegrl tk tetu 8x 7 + x dx d memislk u = 7 + x, sehigg du = 4x dx tu du = 8x dx. Jdi diperoleh, Itegrl tetu diselesik erikut, 8x 7 + x dx = u du = 4 3 u3 = 4 3 (7 + x ) 3 3 8x 7 + x dx 3 = [ 4 3 (7 + x ) 3 ] 3 3 = Apkh pegerj di ts, jug dpt dilkuk seperti uri erikut? Berik kometr Ad. () Dimislk u = 7 + x, sehigg du = 4x dx tu du = 8x dx 3 () 8x 7 + x 3 dx = u du (3) u du 3 = [ 4 (7 + 3 x ) 3 ] 3 3 (4) [ 4 (7 + 3 x ) 3 ] 3 3 = 4 [(7 + 3 (9))3 (7 + (9)) 3 ] = 5 Fugsi dlm Notsi Itegrl Pge of 9

13 Misl fugsi f(x) kotiu pd [,], mk terdpt ili c di dlm itervl (,), c (, ) sehigg erlku f ( x )dx f ( c )( ). Betuk itegrl ii diktk segi Nili Rt-rt Itegrl, deg f(c) = f(x) dx merupk ili rt-rt itegrl dri fugsi f(x). Pegerti ili rt-rt itegrl ii k diguk utuk medptk turu dri fugsi dlm otsi itegrl. Misl fugsi f(x) kotiu pd itervl [,] d dierik fugsi Megguk pegerti dri turu mk k diperoleh, dg g( x h) g( x) lim (defiisi turu) dx h h dg dx dg dx dg dx xh x f ( t) dt f ( t) dt x lim (defiisi fugsi g ( x) h h f ( t) dt ) lim h lim h xh f ( t) dt x h x h f ( t) dt h x f ( t) dt (sift itegrl f(x)dx = f(x)dx (sift itegrl f(x)dx ) c = f(x)dx c + f(x)dx) x g ( x) f ( t) dt. Perhtik rus k (yg terletk di dlm kurug). Nili terseut merupk ili rtrt dri itegrl fugsi f(t) pd itervl [x, x+h], sehigg dpt ditulisk xh f ( t )dt x h f c deg c terletk pd itervl [x, x+h] dg Oleh kre itu dpt didptk, lim f c dx h Ap yg terjdi pd c, il h medekti ol? Megp? Jelsk jw d. Akhiry dg kit peroleh lim f c f x, sehigg f (x). Dri etuk terkhir ii, pil dihdpk dx h sutu fugsi dlm otsi itegrl x g ( x) f ( t) dt, mk turu dri fugsi g(x) dlh f(x). Pge 3 of 9

14 x t Misl dierik fugsi g(x) = dt, mk utuk medptk turu dri fugsi g(x) t+ tp hrus meyelesik itegrl terleih dhulu, mu cukup deg mesustitusik x deg t pd itegr, sehigg turu dri F(x) dlh dg dx = f(x) = x x + Lts gim medptk turu dri seuh fugsi dlm otsi itegrl mu ts ts itegrl tidk hy x, mislk g(x) = t si t dt. Atu hk ts ts d ts wh jug merupk fugsi dlm x, seperti g ( x) dt. Utuk meyelesik t x+ turu dri fugsi terseut k diurik pejels erikut. Bil fugsi g(x) yg diytk dlm otsi itegrl, x x g ( v( x ) f x ) ( t )dt, mk utuk w( x ) medptk turu dri fugsi g(x) dilkuk segi erikut. Mislk F(x) merupk ti turu dri fugsi f(x), F (x) = f(x) mk erdsrk teorem dsr klkulus, itegrl dpt ditulisk mejdi v( x ) g( x ) f ( t )dt F w( x ) v( x ) Fw( x ) Turu dri fugsi g(x) dicri deg mecri turu pertm dri fugsi komposisi F(v(x)) d F(w(x)) yitu dfv( x ) df F' v( x ) w( x ) v' ( x ) d F' w( x ) w' ( x ) dx dx Sehigg turu dri fugsi g(x) dlh g' ( x ) F' v( x ) v' ( x ) F' w( x ) w' ( x ). Se fugsi F(x) merupk ti turu dri fugsi f(x) mk turu pertm dri fugsi g(x) diytk segi erikut, g' ( x ) f v( x ) v' ( x ) f w( x ) w' ( x d dx v( x ) w( x ) f ( t )dt ) f tu v( x ) v' ( x ) f w( x ) w' ( x ) Hl ii errti hw utuk medptk turu dri fugsi yg diytk deg otsi itegrl dpt dilkuk tp hrus meghitug itegrly terleih dhulu, mu cukup deg meliht etuk itegry. Misl dierik fugsi x g( x ) x t dt. Itegr dri etuk itegrl ii dlh f(t) = t +, ts ts itegrl v(x) = x, d ts wh Pge 4 of 9

15 itegrl w(x) = x. Bil diguk rumus g' ( x ) f v( x ) v' ( x ) f w( x ) w' ( x ) diperoleh hsil turu dri fugsi g(x), g (x) = f(x ) (x) + f(x) () g (x) = (x ) + (x) + (x) + () g (x) = x x x + mk 6 Lus Derh Perhtik derh D merupk derh yg dirsir pd Gmr. Derh D merupk etuk gu segitig, lus segitig merupk ½ diklik ls (6) d tiggi (3). Adkh cr li utuk medptk lus segitig deg tu itegrl? Megp hrus dilkuk deg megguk metode itegrl? Itegrl dpt diguk utuk medptk lus derh yg tidk ertur deg cr yg leih mudh. Igt pejels wl su itegrl tetu. Bil diterpk itegrl tetu utuk meghitug lus derh D mk diperoleh etuk itegrl erikut d tujukk hw L = 9. L = (x + 4) dx 4 + ( x + ) dx Gmr Derh D Secr umum, pejels peerp itegrl tetu utuk meghitug lus derh yg ditsi oleh kurv d tu gris dierik erikut. Misl sutu derh D ditsi oleh kurv y = f(x), gris x =, gris x =, d sumu X (perhtik Gmr ()), mk lus derh dihitug deg itegrl tetu segi erikut : L f ( x )dx Bil fugsi f(x) terletk di wh sumu X, f(x) mk itegrl dri fugsi f(x) pd itervl [,] k erili egtif tu ol. Oleh kre itu lus derh yg ditsi oleh kurv y = f(x), gris x =, gris x =, d sumu X (Perhtik Gmr ()) ditulisk segi erikut : Pge 5 of 9

16 L f ( x )dx Gmr. Derh D Misl dierik derh D yg ditsi oleh kurv f(x) = x(x ), gris x =, gris x =, d sumu X, segim ditujukk oleh Gmr. Perhtik hw derh D terdiri dri du derh, terletk di ts sumu X utuk itervl [-,] d terletk di wh sumu X utuk itervl [,]. Nili itegrl fugsi f(x) = x(x ) ts itervl [-,] d itervl [,] erturut-turut dlh positif d egtif, sehigg lus derh D dpt diytk deg, L = x(x )dx x(x ) dx Gmr derh D Bgim peyelesi detil dri itegrl di ts? Msih deg meerpk itegrl tetu, pkh d cr li utuk medptk lus derh D pd Gmr 3-3? Jelsk. Betuk itegrl tetu yg dipki utuk meghitug lus derh D dits, itegrsi dilkuk ke-x. Kdg dijumpi derh D k leih mudh dihitug lusy deg itegrsi ke-y. Betuk derh D yg dimksud dijelsk erikut. Mislk dierik derh D yg ditsi x = v(y), gris y = c, gris y = d, d sumu Y (Perhtik Gmr 3 ()) mk lus derh ditulisk deg orsi itegrl erikut (deg itegrsi ke-y) : Pge 6 of 9

17 L c Sedgk utuk derh D ditujukk oleh Gmr 3 (), ditsi oleh grfik x = w(y), gris y = c, gris y = d, d sumu Y, mk lus derh D dierik deg : L d d c v( y ) dy w( y ) dy Gmr 3 Derh D Perhtik derh D yg ditujukk oleh Gmr 4, ditsi oleh kurv x = y(y 4), gris y =, gris y = 5, d sumu Y. Derh D terdiri dri du derh, terletk di seelh kiri sumu Y, utuk itervl [,4] d terletk di seelh k sumu Y, utuk itervl [4,5]. Nili itegrl fugsi x = y(y 4) pd itervl [,4] erili egtif d pd itervl [4,5] erili positif, sehigg lus derh D ditulisk segi erikut, 4 L = y(y 4)dy + y(y 4)dy 5 4 Pge 7 of 9

18 Gmr 4 Derh D 7 Lus Derh tr Du Kurv Kdg dijumpi derh D ditsi oleh du uh kurv, misl y = f(x) d y = g(x). Utuk medptk lus derh tertutup D yg ditsi oleh du kurv terseut mk dilkuk lgkh erikut. Tetuk titik potog kedu kurv terseut, misl x = d x =, deg Tetuk kurv yg terletk di ts d di wh pd itervl x, Itegrsik (kurv di ts kurv di wh) terhdp itervl [,] Deg kt li, misl derh D ditsi oleh kurv y = f(x) d y = g(x), gris x =, d gris x = deg f(x) g(x) utuk x [, ] seperti ditujukk oleh Gmr 5, mk lus derh D ditulisk sergi erikut, L f ( x ) g( x ) dx Gmr 5 Derh D Seperti hly uri terdhulu, kdg dijumpi derh tertutup D k leih mudh dihitug lusy il itegrsi dilkuk ke-y. Misl derh D ditsi oleh kurv x = w(y), x = Pge 8 of 9

19 v(y), gris y = c, d gris y = d deg w(y) v(y)utuk y [c, d] seperti ditujukk oleh Gmr 6, mk lus derh D ditulsik segi erikut, d L w( y ) v( y ) dy c Gmr 6 Derh D Misl dierik derh tertutup D yg ditsi oleh du kurv y = x d y = x + 6, seperti ditujukk oleh Gmr 7. Jelsk gim lgkh-lgkh yg dilkuk utuk medptk gmr terseut? Derh tertutup D ditsi oleh kurv x = y +, x = y 3, gris y = 4, d gris y =, deg y 3 y + utuk y [,4]. Megguk otsi himpu, derh D dpt ditulisk mejdi, D = {(x, y) y 3 x y +, y 4}. Lus derh D dpt diytk deg itegrl segi erikut, L = 4 [(y + ) ( y 3)] dy Gmr 7 Derh D Pge 9 of 9

20 Berpkh lus derh D deg otsi itegrl di ts? Urik secr legkp. Apkh d cr li utuk medptk lus derh D? Jelsk. 8 Volume Bed Putr deg Motode Ckrm Itegrl tetu dpt jug diterpk utuk meghitug volume ed putr. Bed putr yg sederh dpt kit mil cotoh dlh tug. Volume tug dlh hsilkli lus ls (lus ligkr) d tiggi tug. Volume dri ed putr secr umum dpt dihitug dri hsilkli tr lus ls d tiggi. Bil lus ls diytk segi fugsi dlm x, A(x) d tiggi ed putr dlh su itervl x pd itervl [,] mk volume ed putr dpt dihitug megguk itegrl tetu segi erikut: V A( x )dx Utuk medptk volume ed putr yg terjdi kre sutu derh diputr terhdp sutu sumu, dilkuk deg megguk du uh metode yitu metode ckrm d kulit tug. Metode Ckrm Misl derh D ditsi oleh kurv y = f(x), gris y =, gris x =, d gris x = diputr deg sumu putr sumu X. Volume ed putr (erup pejl / pdt) yg terjdi ditujukk oleh Gmr 9, dpt dihitug deg memdg hw volume ed putr terseut merupk jumlh tk erhigg ckrm yg erpust di titik-titik pd itervl [,]. Gmr 8 Bed putr di ts dpt dipdg segi jumlh dri uh ckrm. Misl dimil ckrm ke-k (sgt tipis) deg pust ckrm x k, d jri-jri r f, mk lus ckrm ke-k diytk segi Ax f A k xk f xk k. Jumlh lus ckrm ditulisk : k x k. Utuk d ketel dri ckrm ke-k diytk deg xk Pge of 9 x k

21 mk hsilkli tr jumlh lus ckrm deg ketel ckrm k medekti volume ed putr, yitu V lim f xk xk k putr diytk segi erikut :. Megguk limit jumlh Riem mk volume ed V f ( x ) dx Misl dierik derh tertutup D yg ditsi oleh kurv y = x 3 x + 5, gris x =, gris x =, d sumu X. Bil derh D diputr megeliligi sumu X, mk volume ed putr dpt dihitug deg megguk metode ckrm. Cr yg dilkuk dlh memilih semrg ili x pd itervl [,], mk jri-jri ckrm dlh f(x) = x 3 x + 5. Perhtik Gmr 9. Volume ed putr dihitug deg itegrl erikut (peyelesi itegrl ditigglk segi ltih), V 3 f ( x ) dx x - x + 5 dx Gmr 9 Bil sumu Y segi sumu putr d perhitug volume ed putr diguk metode ckrm mk itegrsi dilkuk ke-y. Oleh kre itu, derh yg k diputr ditsi oleh kurv x = w(y), gris y = c, gris y = d, d sumu X. Utuk medptk volume ed putr dilkuk deg cr memilih semrg ili y pd itervl [c,d] d tiggi ckrm dlh x = w(y), sehigg volume ed putr diytk deg, V d w( y ) dy c Perhtik derh D yg ditsi oleh kurv y = x, gris y =, gris y = 4, d sumu Y. Gmr d rsir derh D terseut. Bil D diputr megeligi sumu Y d k diguk metode ckrm, mk volume ed putr dihitug deg melkuk itegrsi ke-y. Pge of 9

22 Oleh kre itu, D dpt diytk deg otsi himpu deg ts-ts y dlh kostt. Bgim otsi himpu yg meujukk derh D? Seljuty, ytk volume ed putr dlm otsi itegrl. 9 Volume Bed Putr dri Derh tr Du Kurv Misl dierik derh tertutup D yg ditsi oleh du kurv y = f(x) d y = g(x), gris x = d gris x =. Bil erlku f(x) g(x) utuk setip x [, ] d derh D diputr deg sumu putr sumu X (perhtik Gmr ), deg metode ckrm, mk volume ed putr merupk volume dri perputr derh yg ditsi oleh kurv y = f(x), gris x =, gris x =, d sumu X dikurgi oleh volume dri perputr derh yg ditsi oleh kurv y = g(x), gris x =, gris x =, d sumu X. Oleh kre itu, volume ed putr ditulisk deg, V = π [f(x)] dx π [g(x)] dx tu V f ( x ) g( x ) dx Gmr Derh D Bil derh tertutup D ditsi du kurv x = w(y), x = v(y), deg w(y) v(y) utuk setip y [c, d], gris y = c, d gris y = d diputr megeliligi sumu Y (diperlihtk oleh Gmr ) mk deg megguk metode ckrm, volume ed putr diytk deg, V d c w( y ) v( y ) Pge of 9 dy

23 Gmr Derh D Dierik derh D seperti yg diperlihtk oleh Gmr. Bil derh D diputr deg sumu Y segi sumu putr d diguk metode ckrm utuk meghitug volume ed putr, mk itegrsi dilkuk ke-y, sehigg D diytk segi derh tertutup yg ditsi oleh kurv x = y d x = y 3 deg y y 3 utuk setip y [,], gris y =, d gris y =. Volume ed putr dpt diytk deg (perhitug itegrl ditigglk segi ltih), V = π {[y ] [y 3 ] } dy Gmr Derh D Dri uri dits, dpt disimpulk hw il k meghitug volume ed putr dri seuh derh tertutup D, deg megguk metode ckrm deg sumu putr: Pge 3 of 9

24 Sumu Y, mk itegrsi dilkuk ke-y d volume ed putr dri perputr derh tertutup D pd Gmr, diytk deg V = π {[y ] [y 3 ] } dy Sumu X, mk itegrsi dilkuk ke-x d gim rumus volume ed putr dri perputs derh tertutup D pd Gmr? Volume Bed Putr deg Metode Kulit Tug Metode erikut segi ltertif li dlm perhitug volume ed putr yg mugki leih mudh diterpk il didigk deg metode ckrm. Bed putr yg terjdi dpt dipdg segi tug deg jri-jri kulit lur d kulit dlm ered, mk volume ed putr yg k dihitug dlh volume dri kulit tug. Utuk leih memperjels pegerti metode kulit tug, dierik uri erikut. Pdg tug (Gmr 3) deg jri-jri kulit dlm d kulit lur erturut-turut r d r, tiggi tug h. Mk volume kulit tug dlh V r r h rh deg : r r r r( rt rt jri jri ),r r r Gmr 3 Tug Bil derh tertutup D (dirsir kuig) ditsi oleh kurv y = f(x), gris y =, gris x =, d gris x = diputr megeliligi sumu Y mk kit dpt memdg segi gu yg meyerupi kulit tug deg jri-jri r = x, r = x, d tiggi tug h = f(x), diperlihtk oleh Gmr 4 erikut. Deg megguk pedekt kulit tug, mk diperoleh, V = π r h x = π x f(x) x Pge 4 of 9

25 Berdsrk uri limit jumlh Riem, mk volume ed putr dpt diytk segi erikut : V x f ( x )dx Gmr 4 Bil derh tertutup D (dirsir kuig, pd Gmr 5) ditsi oleh kurv x = w(y), gris x =, gris y = c, d gris y = d diputr megeliligi sumu X, mk jri-jri kulit tug r = y d tiggi kulit tug h = w(y), sehigg volume ed putr diytk deg, V y w( y )dy d c Gmr 5 Derh tertutup D ditujukk oleh Gmr 6. Kurv tu gris p sj yg mejdi ts derh tertutup D? Bil derh D diputr megeliligi sumu Y d diguk metode kulit tug, mk dipilih jri-jri kulit tug merupk semrg ili r = x pd itervl [,] d tiggi kulit tug ditetuk segi erikut. Perhtik x = y, diperoleh y = x Pge 5 of 9

26 tu y = x. Se kurv terletk di ts sumu X mk tiggi kulit tug dlh y = x. Oleh kre itu volume ed putr deg metode kulit tug ditulisk segi erikut, V = π x x Selesik itegrl di ts sehigg diperoleh ili volume ed putr. Adkh d cr li utuk medptk volume ed putr il derh D diputr megeliligi sumu Y? Jelsk. dx Gmr 6 Volume Bed Putr dri Perputr Derh tr Du Kurv Misl derh D ditsi oleh kurv y = f(x), y = g(x) yg memeuhi f(x) g(x) utuk x [, ], gris x =, d gris x = ditujukk oleh Gmr 7. Bil derh D diputr megeliligi sumu Y d diguk metode kulit tug mk jri-jri kulit tug dlh semrg ili r = x pd itervl [, ] d tiggi kulit tug dlh h = f(x) g(x), sehigg volume ed putr dpt diytk deg, V x f ( x ) g( x ) dx Gmr 7 Pge 6 of 9

27 Derh tertutup D ditsi oleh kurv x = w(y) d x = v(y) yg erlku w(y) v(y) utuk y [c, d], gris y = c, d gris y = d diputr megeliligi sumu X. Bil diguk metode kulit tug mk jri-jri kulit tug dlh semrg ili r = y pd itervl [c, d] d tiggi kulit tug dlh h = w(y) v(y), diperlihtk oleh Gmr 8. Oleh kre itu volume ed putr diytk deg, d V y w( y ) v( y ) dy c Gmr 8 Dierik derh tertutup D yg terletk di kudr pertm, diwh prol y = x d di ts prol y = x, diperlihtk oleh Gmr 9. Bil derh D diputr megeliligi sumu Y d diguk metode kulit tug utuk meghitug volume ed putr, mk jrojroi kulit tug dlh semrg ili r = x pd itervl [,] d tiggi tug dlh h = w(y) = v(y), sehigg volume ed putr diytk deg, x x V x dx Selesik itegrl di ts sehigg diperoleh ili volume ed putr. Apkh d cr li utuk medptk volume ed putr il derh D diputr megeliligi sumu Y? Jelsk. Pge 7 of 9

28 Gmr 9 Volume Bed Putr deg Sumu Putr Sejjr Sli Sumu Misl dierik derh tertutup D yg terletk di kudr pertm yg ditsi oleh kurv y = x, sumu X, d sumu Y. Bil derh D diputr megeliligi gris x = d diguk metode kulit tug utuk meghitug volume ed putr, mk itegrsi dilkuk ke-x. Utuk meetuk jri-jri kulit tug dilkuk deg meetuk semrg ili r = x pd itervl [,], sehigg jri-jri kulit tug dlh jrk tr x ke sumu putr (x = ). Jdi jri-jri kulit tug dlh x, sedgk tiggi kulit tug dlh h = x. Perhtik Gmr 3. Oleh kre itu, volume ed putr ditulisk deg, V = π ( x)( x ) dx Gmr 3 Bgim peyelesi legkp dri itegrl di ts? Apkh permslh utuk medptk volume ed putr di ts dpt dipechk deg megguk metode ckrm? Urik. Apil derh D di ts diputr du kli, putr pertm megelilig Pge 8 of 9

29 gris x = d putr kedu deg sumu putr gris y =, pkh meghsilk volume yg sm? Jelsk. Pge 9 of 9