Saintek Vol 5. No 3 Tahun Penyelesaian Analitik dan Pemodelan Fungsi Bessel

Transkripsi

1 Sitek Vol 5. No 3 Thu 1 Peyelesi Alitik d Peodel Fugsi Bessel Lily Yhy Jurus Mtetik Fkults MIPA Uiersits Negeri Gorotlo bstrk Dl klh ii k dilkuk peyelesi litik d peodel pers diferesil Bessel sert eujukk sift sietri pd rug Hilbert d ortogolits utuk eperoleh grfik Fugsi Bessel J () d fugsi Neu N (). 1. Pedhulu Slh stu dri pers-pers diferesil yg terpetig dl peerp tetik dlh pers diferesil Bessel y + y + ( ) y =, di preter erupk bilg yg diberik. Pers ii tibul dl sol-sol tetg getr (ibrsi), ed elektrosttik, rbt (koduksi) ps, d sebgiy, pd sebgi besr ksus persol tersebut eujukk sift sietri silider. Kit susik bhw preter di dl pers diferesil di ts (*) dlh bilg riil d tkegtif. Perhtik bhw pers diferesil ii epuyi titik sigulr reguler di =. Jdi Pers epuyi peyelesi yg berbetuk y() = r = r deg turu-turuy dlh y() = 1 ( r) r1 ( r 1) 1 r y() = ( r 1)( r) r ( r 1)( r ) 1 r

2 substitusik y, y d y ke pers diferesil di ts, diperoleh [( r )( r 1) ( r ) ( )] r Bgi pers ii deg r d keudi kupulk koefisie dri, k didpt (r ) + [(r + 1) ] 1 + (r ) = [(r + 1) ] 1 = [(( r ) ) ] = [(( r ) ) ] = kre, dri (r ) = diperoleh pers peujuk r = r = ± begitu pul dri [(r + 1) ] 1 = di dpt 1 =. Sedgk dri pers [(( r ) ) ] = didpt ruus rekursi (r + )(r + + ) = - -, utuk =, 3, (1) seljuty kit tiju ksus r =. Peyelesi Terhdp Akr r 1 = Utuk r = r 1 = k ruus rekursi ejdi ( + ) = - -, utuk =, 3, kre 1 =, k diperoleh 3 =, 5 =,, k-1 =, utuk k = 1,, deg syrt + utuk =, 3,. Gtik deg dl ruus (1) eberik 1 = ( ), utuk = 1,, 3, () deg syrt -. Dri () kit peroleh koefisie-koefisie, 4, secr berurut. gti deg -1 dl (), sehigg diperoleh 1 - = 4 ( 1)( 1)

3 deg deiki ( 1) = 4 4 ( 1)( )( 1) pbil proses ii diljutk, k didpt = ( 1)!( )( 1)...( 1), utuk = 1,, 3,. (3) sih sebrg, bisy dibil = 1 ( 1) di dlh fugsi G. Utuk keperlu di sii cukup kit kethui bhw () didefiisik oleh itegrl deg itegrsi prsil diperoleh 1 e t t ( ) dt ( > ) t t t 1 ( 1) e t dt e t e t dt peryt pert di rus k dlh ol d itegrl di rus k dlh (). Ii eghsilk hubug dsr kre kit sipulk dri (4) bhw (+1) = () (4) (1) = e t dt 1 () = (1) = 1!, (3) = () =!, d uuy (k+1) = k! utuk k =, 1,,. Ii eujukk bhw fugsi g dpt dipdg sebgi geerlissi dri fugsi fktoril yg dikethui dri klkulus eleeter. Kit kebli pd slh yg kit tiju, (+)(+-1) (+1) (+1) = (++1) jdi ruus utuk pd (3) ejdi ( 1)!( )( 1)...( 1) ( 1).

4 ( 1), =, 1,,. (5)! ( 1) Deg eetuk r = d substitusik (5) ke y() = = 1,,, k didpt r d egigt -1 =, utuk y() = = ( 1)! ( 1) fugsi ii dikel sebgi fugsi Bessel jeis pert orde d ditulis deg otsi J (). Jdi J () = ( 1) (6)! ( 1) tu J () = ( 1) ( ).4( )( 4) d berlku utuk yg buk bilg bult egtif, tu J () = ( 1)!( )! Deret di rus k pd (6) koerge utlk utuk setip (uji deg tes hsil bgi). Fugsi ii erupk solusi pers diferesil (6) utuk buk bilg bult egtif. Khususy utuk =, dri (6) diperoleh 4 6 J () = 1..., yitu fugsi Bessel orde ol.. Pebhs Pd pebhs ii kit tiju ksus r = -, deg eggti deg di (6), kit peroleh J - () = ( 1) (7)! ( 1) Kre pers Bessel eut, k fugsi-fugsi J d J - erupk peyelesipeyelesi dri pers Bessel utuk yg s. Bil buk bilg bult, k J d J -

5 dlh bebs lier kre suku pert di (6) d suku pert di (7) berturut-turut dlh kelipt higg yg tk ol dri d -. Ii eberik hsil berikut. Teore 1. (Peyelesi uu pers Bessel) Jik buk bilg bult, k peyelesi uu pers Bessel utuk setip dlh y() = c 1 J () + c J - (). Tetpi jik sutu bilg bult, k y() = c 1 J () + c J - () buk peyelesi uu. Ii diperoleh dri teore berikut. Teore. (Kebergtug lier fugsi-fugsi Bessel J d J - ) Utuk bilg bult =, fugsi-fugsi Bessel J () d J - () dlh bergtug lier kre J - () = (-1) J () utuk = 1,, 3,. Fugsi ekspoesil dpt diguk utuk eytk fugsi-fugsi J (). kit thu bhw 1 t ( )! e t 1 t ( )! e t bil kedu deret itu kit perklik k diperoleh e 1 t ( t ) J ( ) t = J () + J 1 () t + J () t + J -1 () t -1 + J - () t - +. berlku utuk setip d t. Jdi J erupk koefisie dri uri fugsi elspoesil di ts. Utuk eeuhi peyelesi d peodel fugsi Bessel deg ili liit dpt ditujukk deg gbr di bwh ii

6 Gbr 1. Grfik fugsi-fugsi Bessel Gbr. Rug Hilbert deg deret Fourier Bessel

7 Gbr 3. Fugsi Bessel deg Orde Gbr 4. Fugsi Bessel ortogolits

8 Gbr 5. Fugsi Bessel Neu Sferis 3. Kesipul Dri peodel pers diferesil Bessel yg disebut fugsi Hkel tu disebut fugsi Bessel jeis ketig d peyelesi pers Helholtz dl siste koordit sferis d dupliksi Legedre utuk eyelidiki ortogolits fugsi-fugsi hroik diperoleh grfik fugsi Bessel J () d fugsi Neu N (). DAFTAR PUSTAKA Abell, M. L. & J. P. Brselto, Diferetil Equtios with Mthetic, Third Editio, ELSEVIER Acdeic Press (4). Kreyszig, E, Adced Egieerig Mthetics, 5th Editio, Joh Wiley d Sos, New York (1983).