PENGANTAR ANALISIS REAL. Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengantar Analisi Real
|
|
- Iwan Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Resume PENGANTAR ANALISIS REAL Utuk Memeuhi Tugs Mt Kulih Pegtr Alisi Rel Disusu Oleh: M. ADIB JAUHARI D. P ( ) MUHTAR SAFI I (086003) BOWO KRISTANTO (086004) ANA MARDIATUS S (086005) OKTA ARFIYANTA (086006) ROSSI FAUZI (086007) RENI DWY L (086009) IFTI MUSYARIFAH (086000) PRODI MATEMATIKA FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 0
2 . Pegerti erkit : Itegrl Riem Telh dikethui hw jik ugsi : [, ] terts d P prtisi pd [,], mk L ( ; P ) S ( ; P ) U ( ; P ) G.F.B. Riem megguk S (, P) uuk meyusu itegrly. Deiisi.. ( Itegrl Riem ) Fugsi : [, ] diktk teritegrl Riem (Riem itegrle) pd [, ] jik d ilg A sehigg utuk setip ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 sehigg jik P = { = x 0, x,,x = } prtisi [, ] deg P < δ erkit : A S ; P = A (x i )Δ i x A diseut ili itegrl Riem ugsi pd [, ]. i= Perlu diigt hw pegmil x i [x i, x i ] serg d P = mks { i x i i =,,,}. Seljuty, meurut Deiisi.., ugsi teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik lim P 0 S, P = lim P 0 < ε (x i ) i x = A Cotoh : Dierik ugsi (x)= x deg x 6. Ak dihitug deiisi itegrl tertetu. 6 x dx deg megguk Prtisi itervl [, 6] mejdi suitervl deg megguk prtisi = x 0, x, x,, x = 6 deg = x 0 < x < x < < x = 6. Diperoleh suitervl [ = x 0, x ], [x, x ], [x i, x i ],,[x, x = 6]. Pjg msig-msig suitervl diut sm yitu x i = 6 i=,,,. Dimil titik x i deg x i =x i=,,,. d dietuk jumlh. i= x i x i = x x + + x x = x x + + x x = x x + x x + + x x = 4, = + 4 = = 4 r = 8 + ( )
3 Sehigg Deiisi.. = = = x dx lim x i 0 i= (x i ) x i = lim x i = 6 Dierik p d p prtisi pd [, ]. Prtisi p diseut peghlus dri p jik p p Cotoh : Dierik itervl I = [0, ].rikut ii dlh prtisi pd I. P = {0, 4, }, P = {0,,, }, P 3 = {0, 3,, 3, }, P 4 = {0, 4 4 4,, 3, 4, 5, }, P 5 = {0, 8, 8, 3 8, 4 8, 5 8, 6 8, 7 8, }. Dpt dihitug hw P = 3 4, P =, P 3 = 4. P 5 merupk peghlus dri P 3 se P 3 P 5, tetpi P 5 uk peghlus dri P mupu P 4 se P P 5 d P 4 P 5. Deiisi..3 Dierik ugsi : [, ] terts d prtisi p pd [, ]. Jumlh Riem ts ugsi terhdp prtisi p ditulis U( ; P ) dideiisik segi U( ; P ) = i= M i. x i. Jumlh Riem tegh ugsi terhdp prtisi p ditulis S( ; P ) dideiisik segi S( ; P ) = i = (x i ). x i. Jumlh Riem wh ugsi terhdp prtisi p ditulis L( ; P ) dideiisik segi L( ; P ) = Cotoh : i= m i. x i. Dierik (x) = x +, x < 0 0, x = x, 0 < x x, < x 3 d prtisi P = {-, 0,, 3} Hitug : U( ; P ) d L( ; P)? Jw : M = sup{ (x) x 0 x x } = sup { (x) - x 0 } = sup{ 0 - x 0 } = 0
4 M = sup{ (x) x x x } = sup { (x) 0 x } = sup{ -x 0 x } = - M = sup{ (x) x x x 3 } = sup { (x) x 3 } = sup{ x x 3 } = 7 Sehigg U( ; P ) = i= M i. x i. 3 = i= M i. x i = M.x + M.x + M 3.x 3 = (0 + 7 ) = m = i{ (x) x 0 x x } = i { (x) - x 0 } = i{ x + - x 0 } = 0 m = i{ (x) x x x } = i { (x) 0 x } = i{0 0 x } = 0 m = i{ (x) x x x 3 } = i { (x) x 3 } = i{ -x x 3 } = - Sehigg L( ; P ) = i= m i. x i. 3 = i= m i. x i = m.x + m.x + m 3.x 3 = (0 + 0 ) = - Teorem..4 Dierik ugsi : [, ] terts. Utuk setip prtisi p pd [, ] erlku m( ) L ( ; P ) S ( ; P ) U ( ; P ) M ( ). Bukti : Dri lemm didpt m.x i m i.x i (x i *).x i M i.x i M.x i, i. Jik hsil ii dijumlhk mk k didpt i= m. x i i= m i. x i i= (x i ). x i i= M i. x i i= M. x i...(*) i= m. x i = m i= x i = m((x x 0 ) + (x x ) (x x - )) = m(x x 0 ) = m( ) Dri (*) didpt m( ) L( ; P ) S( ; P ) U( ; P ) M( ). 3
5 Mislk dietuk ={P P prtisi pd [, ]} mk dri teorem..4 didpt L( ; P) M( ), P d U( ; P ) m( ), P. Oleh kre {L( ; P ) P } terts ke ts mk sup p ε π L, P d, d kre {U(, P) P } terts ke wh mk i p ε π L, P d. Deiisi..5 Itegrl Riem wh ugsi ditulis x dx x dx = sup p ε π L, P = sup p ε π i= m i. x i. dideiisik segi Itegrl Riem ts ugsi ditulis x dx dideiisik segi x dx = i p ε π L, P = i p ε π i= M i. x i. Fugsi diktk teritegrl Riem pd [, ] jik Notsi : : [, ]. Nili itegrly : Cotoh : x dx = x dx = x dx x dx = x dx. Dierik ugsi (x) = c, c kostt. Apkh [, ]? jik y, tetuk iliy. Utuk serg prtisi p didpt m i = c, M i = c, i. U(, P) = L(, P) = Jdi i= M. x i = i= c. x i = c i= x i = c( ), d i= m. x i = i= c. x i = c i = x i = c( ), mk x dx = sup p ε π L, P = sup p ε π c( ) = c( ), d x dx = i p ε π U, P = i p ε π c( ) = c( ). x dx = x dx. Dierik ugsi g(x) = = c( ), sehigg [, ] d x dx, x ε Q [, ] 0, x Q [, ] Apkh g [, ]? jik y, tetuk iliy. = c( ). Amil serg prtisi P pd [, ]. Oleh kre itu su itervl [x i-, x i ], i =,, 3,..., memut ilg rsiol d irrsiol mk m i = 0, M i =, i. g x dx = sup p ε π L g, P = sup p ε π 0 = 0, d g x dx = i p ε π U g, P = i p ε π ( ) = ( ). 4
6 Oleh kre g x dx g x dx mk g [, ]. Teorem..6 Jik teritegrl Riem pd [, ], mk ili itegrly tuggl. Bukti: Jik A d A ili itegrl Riem gsi pd [, ], mk utuk serg ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 d δ > 0 sehigg jik P = { = x 0, x,, x = }d P = { = y 0, y,, y = } prtisi pd [, ] deg P < δ d P < δ, erturut-turut erkit : m A (x i )Δ i x < ε 3 d A (y k )Δ k y i= k= Dimil δ = mi{δ, δ }, prtisi P = { = z 0, z,, z = } deg P < δ, d z i [z i, z i ]. Kre P < δ i ( i =, ), mk diperoleh: < ε 3 A A A (x i )Δ i z δ i= δ + (x i )Δ i z A < ε 3 + ε 3 < ε i= Yg errti A = A d ukti selesi. Meurut Deiisi.. d Teorem..6, jik ugsi teritegrl Riem pd [, ] deg ili itegrl Riemy A, yg is ditulis deg A = (R) = (R) x dx Teorem..7 tuggl. Jik ugsi : [, ] teritegrl Riem pd [, ], mk terts pd [, ]. Bukti : Adik ugsi tk terts ke ts pd [,], mk utuk setip ilg sli terdpt t [, ] sehigg t >. Utuk setip prtisi P = { = x 0, x,, x = }, tetu t [x k, x k ] utuk sutu k d oleh kre itu himpu S = {S ; P ; P π, } tk terts ke ts se x k dpt dipilih smm deg t jik t [x k, x k ] Hl ii errti lim S ; P = + P 0 (tk d) yg deg kt li usi tk teritegrl Riem pd [, ]. Bukti sejl, pil didik tk terts ke wh. 5
7 Teorem..8 (Kriteri Cuchy) Dikethui ugsi : [, ] terts. Fugsi teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik utuk setip ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 sehigg jik P d P prtisi pd [, ] deg P < δ d P < δ erkit S ; P S( ; P ) < ε Bukti : Syrt perlu : Jik teritegrl Riem pd [, ], mk d ilg A sehigg setip ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 sehigg jik P prtisi pd [, ] deg P < δ erkit S ; P A < ε Dimil serg du prtisi P d P pd [, ] deg P < δ d P < δ. Diperoleh S ; P S( ; P ) S ; P A + A S( ; P ) < ε + ε Syrt cukup : Meurut yg dikethui utuk ilg terdpt ilg δ > 0 sehigg jik P d P msig-msig prtisi pd [, ] deg P < δ d P < δ erkit S ; P S( ; P ) < Tulis π segi koleksi semu prtisi P pd [, ] deg P < δ Utuk setip P π. Dimil P 0 π tetp utuk setip P π diperoleh S ; P S( ; P 0 ) < Atu S( ; P 0 ) < S( ; P) < S( ; P 0 ) + Jdi, himpu ilg yt S( ) = {S( ; P) ; P π} terts. Jik ggot S( ) yky higg, mk merupk ugsi tgg d oleh kre itu teritegrl Riem pd [, ]. Jik ugsi uk ugsi tgg, mk S( ) merupk himpu ilg terts yg yk ggoty tk higg. Meurut teorem Bolzo- Weiertstrss, S( ) mempuyi plig sedikit stu titik limit, mk titik limit itu A. Hl ii errti utuk setip ilg ε > 0 terdpt P π, S( ; P) S( ), sehigg A S( ; P) < ε Deg kt li terukti ugsi teitegrl Riem pd [, ]. Teorem..9 Fugsi teritegrl Riem jik d hy jik teritegrl Droux pd selg tertutup yg sm. Leih ljut (R) = (D) 6
8 Bukti : Syrt perlu : Jik ugsi teritegrl Riem pd [, ], mk d ilg A = (R) sehigg utuk setip ilg > 0 terdpt ilg P = { = x 0, x, x,..., x = } prtisi pd [, ] deg P < δ erkit Atu A S( ; P) = A i= (x i ) i x < ε δ > 0 d jik A ε 3 < S ; P < A + ε 3 Perlu diigt hw pemilih x i * [x i-, x i ] serg. Kre m i = i { (x) ; x [x i-, x i ]} d M i = sup{ (x) ; x [x i-, x i ]} d, mk utuk setip i (i =,,..., ) dpt dipilih x, x i F x i ε 3( ) < m i d M i < x" i + [x i-, x i ] sehigg ε 3( ) Setelh diklik deg i x kemudi dijumlh, diperoleh S ; P ε 3 < L ; P d U ; P < S ; P + ε 3 Oleh kre itu S ; P ε 3 < L ; P U ; P < S ; P + ε 3 Yg erkit U ; P L ; P < ε 3 + ε 3 < ε Atu ugsi teritegrl Droux pd [, ] Syrt cukup : Kre teritegrl Droux pd selg [, ], mk utuk ilg ε > 0 terdpt prtisi P pd [, ] sehigg erlku U ; P L ; P < ε Tetpi telh dikethui hw 7
9 L( ; P) (D) U( ; P) d L( ; P) S( ; P) U( ; P) Berdsrk tig ketidksm terkhir dpt disimpulk hw D S(; P) < ε Yg errti hw ugsi teritegrl Riem pd [, ] d () Teorem..0 [, ] merupk rug lier, i.e., utuk setip α d + g [, ]. Leih ljut i. α. = α. ii. + g = + g = A = (D)., g [, ] erkit α, Bukti : Kre, g [, ], mk meurut Teorem..7., ugsi d ugsi g msig- msig terts pd [, ]. Nmk D M = sup { (x) ; x [, ]}, M g = sup { g(x) ; x [, ]} M = mks { α, M, M g, } Kre, g [, ], mk utuk ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 sehigg jik P prtisi pd [, ] deg P < δ erkit Seljuty, diperoleh (i) α. S α; P S(; P) < ε M+ = α. α. S ; P Deg kt li, terukti hw α [, ] d (ii) = + g S + g; P + g d α. = α.. S ; P + S g; P < S(; P) + g S(g; P) < ε M+ + ε M+ < ε. Deg kt li, terukti hw + g [, ] d + g = + g. g S(; P) < = α D ; P ε M+ < α ε M+ < ε 8
10 Jik ugsi terts d (x) = 0 utuk setip x [, ], keculi di eerp titik, mk ugsi teritegrl d = 0 Deg megguk hsil terseut k diuktik teorem diwh ii. Teorem.. Jik [, ], ugsi g terts pd [, ], d g(x) = (x) keculi di eerp titik, mk g [, ] d. g = Bukti : Kre ugsi g terts pd [, ] d g(x) = (x) utuk setip x [, ] keculi dieerp titik, mk ugsi h = g mempuyi sit terts pd [, ] d h(x) = 0 utuk setip x [, ], keculi dieerp titik. Oleh kre itu ugsi h teritegrl d = 0 g = g = 0 g = Cotoh : Dierik ugsi (x) = g(x) deg x. Ak ditujukk hw g =. Bukti : Misl h(x) = (x) g(x) sehigg x dx = 0dx ( x g x )dx = 0 i= ( x i g(x i )). x i = 0 i= (x i ). x i i= g(x i ). x i = 0 i= (x i ). x i = i= g(x i ). x i x dx Teorem.. = g x dx Jik [, ] d (x) 0 utuk setip x [, ], mk Bukti : Kre (x) 0 utuk setip x [, ] d [, ], mk utuk setip prtisi P = [ = x 0, x,, x = ] pd [, ] diperoleh deg Hl ii erkit 0. 0 m L(; P) S(; P) U(; P) M( ) m = i x ; x [, ] d M = sup x ; x [, ]. 9
11 Teorem..3 0 lim P 0 S; P =. Jik, g [, ] d (x) g(x) utuk setip x [, ], mk g Bukti : Dietuk ugsi h = g. Mudh dihmi hw h [, ] d h(x) 0 utuk setip x [, ]. Meurut teorem.. diperoleh tu terukti Teorem..4 0 = g = g g. Dierik I = [, ], c I, d : I terts. [, ] jik d hy jik [, c] d [c, ] dlm hl ii c c Bukti : Syrt perlu : Kre [, ] mk utuk setip ilg 0 terdpt prtisi P pd [, ] sehigg : ; ; U P L P Dietuk P' P c, P ' P', c, P ' P' c, P' P ' P '. Jels hw hw P P' d deg P P c prtisi pd c, d P P c prtisi pd, kre itu diperoleh. ' ', ' ', L( ; P) L( ; P) L( ; P ') L( ; P ') c oleh U( ; P ') U( ; P ') U( ; P') U( ; P) Dri (i) d (ii) diperoleh U ( ; P ') L( ; P ') U ( ; P ') L( ; P ') U( ; P ') L( ; P ') U(, P) L(, P) Yg erkit U( ; P') L( ; P') d U( ; P') L( ; P') 0
12 Deg kt li terukti hw [, c] d [c, ]. Leih ljut : i U( ; P') ; P ', i U( ; P ') U( ; P '); P ', c & P ' c, i U( ; P '); P ', c } i{ U( ; P '); P ' c, c c Syrt cukup : Kre [, c] d [c, ], mk ili limit limit di wh ii d c lim S( ; P ) d P 0 c lim S( ; P ) P 0 Deg P prtisi pd c, d P merupk prtisi c,. Jels hw P P P prtisi pd,. Oleh kre itu lim S( ; P) P 0 lim S( ; P P ) P 0 lim S( ; P) lim S( ; P ) P 0 P 0 c. c Ctt : syrt cukup dpt diuktik deg memtk hw ugsi teritegrl Droux pd c, mupu pd c,. Teorem..5 Jik ugsi : [, ] teritegrl pd, sert ugsi : [, ] kotiu pd, d c d utuk setip x,, mk ugsi [, ] teritegrl pd, ( x),. Bukti : Kre kotiu pd selg tertutup cd,, mk terts dis. Jdi sup ;, d. Leih ljut, ugsi kotiu sergm pd, K t t c d cd. Oleh kre itu
13 utuk semrg ilg 0 terdpt ilg 0 erkit sehigg jik s, t c, d s t '. K Dimil mi, '. Kre ugsi teritegrl pd, sehigg erlku Ktk P x x x 0,,..., k, d U( ; P) L( ; P), k k k d st, mk terdpt prtisi P pd, m i x ; x x, x, M sup x ; x x, x. k k k k k k m ' i x ; x x, x, M ' i x ; x x, x. k k k. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN. Sit-sit Dsr Itegrl Riem Proposisi (Sit Kelier / Sit Kepositi Itegrl Riem) Mislk, g : I teritegrlk pd I, d c sutu kostt. Mk c d + g teritegrlk pd I d ) c(x) dx = c (x) dx ) ( + g)(x) dx = (x) dx g(x) dx Bukti : () Jik c = 0, mk peryt tetg c jels er. Sekrg tiju ksus c > 0. (Ksus c < 0 serup d diserhk segi ltih). Mislk P = {x 0, x,..., x } prtisi semrg dri I. Kre c > 0, kit mempuyi i {c (x) x x k, x k } = c i { (x) x x k, x k } utuk k =,,...,. Klik tip suku ii deg x k, x k d jumlhk, kit dptk Jdi, kre c > 0, kit peroleh L(c ; P ) = cl( ; P ). L(c ) = sup{cl( ; P ) P prtisi dri I} = c sup{l( ; P ) P prtisi dri I} = cl( ). Deg cr yg serup kit peroleh pul d U(c ; P ) = cu ( ; P )
14 U( c ) = i {cu( ; P ) P prtisi dri I} = c i{u( ; P) P prtisi dri I} = cu( ). Kre teritegrlk, U( ) = L( ) d kity L( c ) = cl ( ) = cu( ) = U( c ). Jdi c teritegrlk d c(x) dx = c (x) dx () Utuk semrg itervl I k = x k, x k kit mempuyi I { (x) x I k } + i {g(x) x I k } i {( + g)(x) x I k }, sup{( + g)(x) x I k } sup{ (x) x I k } + sup{g(x) x I k }. Dri sii kit peroleh L( ; P ) + L( g ; P) L( + g ; P) d U( + g ; P) U( ; P) + U( g ; P) utuk semrg prtisi P dri I. Sekrg, jik ε > 0 dierik, mk terdpt prtisi P,ε d P g,ε sedemiki sehigg U(, P,ε ) L(, P,ε ) + ε d U( g, P g,ε ) L(g, P g,ε ) + Akity, utuk P ε = P,ε P g,ε, kit peroleh ε U( + g ; P ε ) U( ; P ε ) + U (g ; P ε ) L( ; P ) + L( g ; P ε ) + ε L( + g ; P ε ) + Meurut Kriteri Keteritegrl Riem, + g teritegrlk. Seljuty perhtik hw dri ketksm di ts, kit peroleh ( + g)(x) dx Semetr itu, (x) dx U( + g ; P ε ) L( ; P ε ) + L( g ; P ε ) + + g(x) dx Dri kedu ketksm ii, kit peroleh (x) dx U( ; P ε ) + U( g ; P ε ) L( + g ; P ε ) + ( + g)(x) dx (x) dx + g(x) dx Kre ii erlku utuk > 0 semrg, kit simpulk hw d ukti pu selesi. ( + g)(x) dx = (x) dx + g(x) dx + g(x) dx < ε +. + g)(x) dx +. 3
15 . Cotoh : Dierik ugsi (x) = x deg x 6. Ak ditujukk hw 0 Jw : x dx x = 0 i= (x ) x = Sehigg diperoleh x = 0 i= (x ) x = = x dx 0 =. Amil x * = x = i 4i i= = xdx 0 = lim xi 0 =. Amil x * = x = i i i= = Sehigg diperoleh xdx = lim 0 xi 0 mk diperoleh (x *) =. i 8i i= = 8 i= i = 8 + = 4i = = i= (x ) x = lim xi = 4...(*) mk diperoleh (x *) = i 4i i= = 8 Dri persm (*) d (**) dpt diperoleh hw i= i = 4 + = i i= (x ) x = lim xi 0 + = = + x dx = x dx = = 4...(**). Cotoh : Dierik ugsi (x) = x d g(x) = 4 deg 0 x. Ak ditujukk hw Jw : x = 0 i= (x ) x = =. Amil x * = x = i 4i i= = = = Sehigg diperoleh x = 0 i= (x ) x = Sehigg diperoleh x = x + 4 dx + 8 = + 4 =. Amil x * = x = i 4i i= = xdx 0 mk diperoleh (x *) =. i = lim xi 0 = lim xi 0 = lim xi 0 8i + 8 i= = 8 i= (x ) x + 4 = 4i + 4 i + 8 i= i= = =...(*) mk diperoleh (x *) =. i 8i i= = 8 i= i = 8 + = 4i + = = i= (x ) x = lim xi = 4...() =. Amil x * = x = i mk diperoleh (x *) = 4 i= = i= (x ) x = 4 Sehigg diperoleh 4dx = lim 0 xi 0 Dri persm () d () diperoleh 8 i= = 8 = 8 = 8 Dri persm (*) d (**) mk diperoleh hw i= (x ) x = lim xi 0 8 = 8...() xdx + 4dx = =...(**) x + 4 dx = xdx + 4dx =
16 Proposisi. Mislk : I teritegrlk pd I. Jik (x) 0 utuk tip x I, mk (x) dx 0 Akit 3. Mislk (x) dx Proposisi 3., g : I teritegrlk pd I. Jik (x) g(x) utuk tip x I, mk g(x) dx. Mislk : I teritegrlk pd I. Jik m(x) M utuk tip x [, ], mk Proposisi 4. m( ) (x) dx M( ). Mislk : [, ] terts d < c <. Mk, teritegrlk pd [, ] jik d hy jik teritegrlk pd [, c] d pd [c, ]. Dlm hl ii, (x) dx c = (x) dx + (x) dx c Ctt. Bukti Proposisi 4 tidk dihs di sii; liht [] il igi mempeljriy.. Teorem Dsr Klkulus utuk Itegrl Riem Teorem 5 (Teorem Dsr Klkulus I). Mislk terts pd I = [, ] d F dideiisik pd I segi F x t dt, x I Mk, F kotiu pd I. Seljuty, jik kotiu di c (, ), mk F mempuyi turu di c d F t c = (c) Teorem 6 (Teorem Dsr Klkulus II). Mislk teritegrlk pd I = [, ]. Jik F : I dlh ti-turu dri pd I, mk t dt = F() F() Bukti : Dierik > 0 semrg, pilih prtisi P = {x 0, x,..., x } dri I sedemiki sehigg U(, P ) L(, P ) <. Meurut Teorem Nili Rt-rt (yg kit terpk pd F ), pd tip itervl x k, x k terdpt titik t k (x k, x k ) sedemiki sehigg F xk F x k = (x k, x k ) t k. 5
17 Mislk m k d Mk dlh iimum d supremum dri pd x k, x k. Mk m k (x k, x k ) F xk F x k Mk(x k x k ) utuk tip k =,,...,. Perhtik hw il kit jumlhk suku-suku di tegh, mk kit peroleh sutu deret teleskopis yg jumlhy sm deg F() F(). Kre itu, kit peroleh L(, P ) F() F() U(, P ) Nmu, kit jug mempuyi Akity, kit peroleh L(, P) t dt U(, P) t dt F F() < ε Kre ii erlku utuk > 0 semrg, kit simpulk hw t dt = F F, 3. Teorem Nili Rt-rt d Teorem Tylor utuk Itegrl Jik kotiu pd I = [, ], mk k mecpi ili mksimum M d miimum m pd [, ]. Meurut Proposisi 3, kit mempuyi tu Nili m( ) m x dx x dx M( ) M x dx diseut segi ili rt-rt itegrl pd itervl I. (Dlm versi diskrit, ili rt-rt ritmetik dri sejumlh ilg dlh jumlh dri ilg-ilg terseut digi deg yky ilg itu. Dlm versi kotiu, itegrl meggtik jumlh d pjg itervl meggtik yky ilg.) Megigt m d M d di derh ili d x dx d di tr kedu ili terseut, mk meurut Teorem Nili Atr mestilh terdpt sutu titik c I sedemiki sehigg c = x dx 6
18 Fkt ii dikel segi Teorem Nili Rt-rt utuk itegrl, yg diytk di wh ii. (Igt hw seelumy kit jug mempuyi Teorem Nili Rt-rt utuk turu. Dlm koteks turu, ili rt-rt log deg kecept rt-rt dlm isik.) Teorem 7 (Teorem Nili Rt-rt utuk Itegrl). Jik kotiu pd I = [, ], mk terdpt c I sedemiki sehigg c = Teorem 8 (Teorem Tylor utuk Itegrl). Mislk, t,..., () kotiu pd I = [, ]. Mk x dx = + t E! deg E =! t t dt Bukti. Deg pegitegrl prsil, kit peroleh E =! ( t) ( ) (t) + ( ) t t dt =! + ( )! t t dt. Jik kit lkuk pegitegrl prsil higg kli, mk kit k smpi pd hsil di ts. 7
19 DAFTAR PUSTAKA Rhyu, Pipit Prtiwi Hd Out Kulih Pegtr Alisis Rel MAT-44. Fkults Sis d Tekologi Uiversits Islm Negeri Su Klijg. Yogykrt. Drmwijy, Soepr Pegtr Alisis Rel. Jurus Mtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Uiversits Gdjh Md. Yogykrt. 8
BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN
BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGAL IEMANN Sift-sift Ljut Itegrl iem Teorem 6.1 Jik f [, ] d f [, ] deg < < mk f [, ]. Leih ljut f x dx f x dx + () f x dx f [, ] d f [, ], mislk () f x dx A 1 d () f x
Lebih terperinciBAB V INTEGRAL DARBOUX
Itegrl Droux BAB V INTEGRAL DARBOUX Pd thu 1875, mtemtikw I.G. Droux secr kostruktif memodifiksi defiisi itegrl Riem deg terleih dhulu medefiisik jumlh Droux ts (upper Droux sum) d jumlh Droux wh (lower
Lebih terperinciMatematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai
Mtemtik Dsr INTEGRAL TENTU Pegerti tu kosep itegrl tetu pertm kli dikelk oleh Newto d Leiiz. Nmu pegerti secr leih moder dikelk oleh Riem. Mteri pemhs terdhulu yki tetg itegrl tk tetu d otsi sigm k kit
Lebih terperinciPada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah
13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riem Ats d Jumlh Riem Bwh Pd Bb 12 kit megsumsik bhw f kotiu pd [, b] d medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi supremum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di bwh
Lebih terperinciBAB IV INTEGRAL RIEMANN
Itegrl Rie BAB IV INTEGRAL RIEMANN Utuk epeljri leih ljut tetg kosep itegrl Rie, k leih ik jik pec ehi eerp hl erikut. A. Prtisi Defiisi 4.1 Dierik itervl tertutup [, ], hipu terurut d erhigg P = { = x
Lebih terperinciBAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. 3.1 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real
BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES 3.1 Itegrl Riem-Stieltjes dri Fugsi Berili Rel Pd seelumy telh dihs megei eerp kosep dsr, dim kosep-kosep ii merupk slh stu teori pedukug yg tiy k erper segi
Lebih terperincimengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x
B 4. Peerp Itegrl BAB 4. PENGGUNAAN INTEGRAL 4.. Lus re dtr Perhtik derh di wh kurv y = f () di tr du gris tegk = d = di ts sumu, deg f fugsi kotiu. Seperti pd s medefiisik itegrl tertetu, kit gi itervl
Lebih terperinciModul 8. (Pertemuan 12 s/d 16) DERET FOURIER
Modul 8. (Pertemu s/d 6) DERET FOURIER 8. FUNGSI PERIODIK DAN FUNGSI KONTINU TERPOTONG Defiisi Fugsi f diseut fugsi periodik il terdpt p > sedemiki sehigg utuk setip erlku f ( p) f ( ). Nili p > terkecil
Lebih terperinciDia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya, serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya
Pemeljr M t e m t i k... Di g mejdik mthri d ul erch, sert megtur pd eerp tempt, sup kmu megethui ilg thu d perhitug (QS Yuus:5 ) Pedhulu us Sift : - us derh rt dlh ilg riil tk egtif - persegipjg=pjg ler
Lebih terperinciModul II Limit Limit Fungsi
Modul II Limit Kosep it merupk sutu kosep dsr yg petig utuk memhmi klkulus dieresil d itegrl Oleh kre itu seelum kit mempeljri leih ljut tetg klkulus diresil d itegrl, mk kit terleih dhulu hrus mempeljri
Lebih terperinciBEBERAPA TEOREMA KEKONVERGENAN PADA INTEGRAL RIEMANN. Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon
Jurl Brekeg Vol. 6 No. 1 Hl. 1 18 (2012) BEBERAA TEOREMA KEKONVERGENAN ADA INTEGRAL RIEMANN VENN YAN ISHAK ILWARU 1, H. J. WATTIMANELA 2, M. W. TALAKUA 1,2, St Jurus Mtemtik FMIA UNATTI Jl. Ir. M. utuhe,
Lebih terperinci1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi ...
Bris d Deret Defiisi Bris bilg didefiisik sebgi fugsi deg derh sl merupk bilg sli. Notsi: f: N R f( ) = Fugsi tersebut dikel sebgi bris bilg Rel { } deg dlh suku ke-. Betuk peulis dri bris :. betuk eksplisit
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedr Guw Semester II, 2016/2017 24 Februri 2017 9.6 Deret Pgkt Kulih yg Llu Meetuk selg kekoverge deret pgkt 9.7 Opersi pd Deret Pgkt Melkuk opersi pd deret pgkt yg dikethui jumlhy
Lebih terperincijuga dinyatakan sebagai a n atau a n n n 0,1, 2, 3,... Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.
MATERI: ) Perbed bris d deret b) Defiisi d teorem tetg deret c) Deret suku positif d uji kovergesiy d) Deret hiperhrmois e) Deret ukur f) Deret ltertig d uji kovergesiy g) Deret kus d opersiy h) Deret
Lebih terperinciDEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA
DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA Muslih 1), Sutrim 2) d Supriydi Wiowo 3) 1,2,3) Jurus Mtemtik FMIPA UNS, muslih_mus@yhoo.om, zutrim@yhoo.om, supriydi_w@yhoo.o.id Astrk
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
Aljr Lier Elemeter MA SKS Silus : B I Mtriks d Opersiy B II Determi Mtriks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige
Lebih terperinciHendra Gunawan. 19 Februari 2014
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/0 9 Februri 0 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kk kekoverge
Lebih terperinciPertemuan : 3 Materi : Sistem Persamaan Linear : - Teorema Eksistensi - Reduksi ke Bentuk Echelon
Pertemu : 3 Mteri : Sistem Persm Lier : - Teorem Eksistesi - Reduksi ke Betuk Echelo Stdr Kompetesi : Setelh megikuti perkulih ii mhsisw dihrpk dpt. memhmi kemli pegerti mtriks d trsformsi lier. memhmi
Lebih terperinciHendra Gunawan. 21 Februari 2014
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/04 Februri 04 Kulih Sebelumy 9.4 Deret Positif: Uji Liy Memeriks kekoverge deret positif deg ujiperbdigd ujirsio 9.5 Deret Gti Td: Kekoverge Mutlk d Kekoverge
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 06/07 0 Februri 07 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kekoverge deret
Lebih terperinciKalkulus 2. Deret Pangkat dan Uji Konvergensi. Department of Chemical Engineering Semarang State University. Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.
Klkulus Deret Pgkt d Uji Kovergesi Dhoi Hrtto S.T., M.T., M.S. Deprtmet o Chemil Egieerig Semrg Stte Uiversity Eperimetl Deret Pgkt Urut d deret sequees d series). Urut gk merupk rgki gk tk terbts jumlh
Lebih terperinciNuryanto,ST.,MT. Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah F (x) = f(x), maka F(x) = f(x) dx.
Nuryto,ST.,MT d c. INTEGRAL TAK TENTU KONSEP DASAR INTGRAL f. ALJABAR INTEGRAL f. TRIGONO CONTOH SOAL SOAL LATIHAN UJI KOMPETENSI Itegrl merupk opersi ivers dri turu. Jik turu dri F dlh F = f, mk F = f
Lebih terperinciMA SKS Silabus :
Aljr Lier Elemeter A SKS Silus : B I triks d Opersiy B II Determi triks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige 7//7
Lebih terperinciTEOREMA DERET PANGKAT
TEOEMA DEET PANGKAT Kosep Dsr Deret pgkt erupk sutu etuk deret tk higg 3 + ( + + 3( +... ( disusik,, d koefisie i erupk ilg rel. Julh prsil utuk suku pert etuk di ts dlh s yg dpt ditulisk segi s ( + (
Lebih terperincibila nilai parameter sesungguhnya adalah. Jadi, K( ) P( SU jatuh ke dalam WP bila nilai parameter sama dengan )
Kus Uji d Lem Neym-Perso Kebik sutu uji serig diukur oleh d. Di dlm prktek, bisy ditetpk, d kibty wilyh peolk (WP) mejdi tertetu pul. Kierj sutu uji jug serig diukur oleh p yg disebut kus uji (power of
Lebih terperinciFUNGSI KARAKTERISTIK. penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter
IV. FUNGSI KARAKTERISTIK Pd bgi seljuty k dijbrk megei ugsi krkteristik. Pd peeliti ii k ditetuk ugsi krkteristik dri distribusi our-prmeter geerlized t deg megguk deiisi d kemudi k membuktik ugsi krkteristik
Lebih terperinciBab 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER
Alis Numerik Bh Mtrikulsi B SISTEM PERSAMAAN LINIER Pedhulu Pd kulih ii k dipeljri eerp metode utuk meelesik sistem persm liier Peelesi sistem persm deg jumlh vriel g tidk dikethui serig ditemui didlm
Lebih terperinciBAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ. Definisi 3.1 Matriks Toeplitz adalah suatu matriks., dengan nilai,, dan indeks yang
BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ 3. Mtriks Toeplitz Defiisi 3. Mtriks Toeplitz dlh sutu mtriks [ t ; k, j = 0,,..., ] : T =, k j, deg ili,, d ideks yg diguk setip etriy
Lebih terperinci( ) τ k τ HASIL DAN PEMBAHASAN. Perumusan Penduga Bagi θ
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumus Pedug Bgi θ Mislk N dlh proses Poisso pd itervl [, deg rt µ yg kotiu mutlk, d fugsi itesits λ yg teritegrlk lokl Sehigg, utuk setip himpu Borel terbts B mk: µ ( B Ε N( B λ(
Lebih terperinciHASIL DAN PEMBAHASAN
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumus Pedug Bgi θ Misl N dlh proses Poisso pd itervl [0 deg rt μ yg otiu mutl d fugsi itesits λ yg teritegrl lol. Utu setip himpu Borel terts B m μ( B Ε N( B λ( s ds
Lebih terperinci1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS
Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.. PENGANTAR DEFINISI. : PERSAMAAN LINEAR Sutu persm lier deg peuh x, x 2,, x dpt diytk dlm etuk : x + 2 x 2 + + x = (.) dim,
Lebih terperinciBAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persm ditemuk hmpir di semu cg ilmu pegethu Dlm idg ilmu ukur sistem persm diperluk utuk mecri titik potog eerp gris yg seidg, di idg ekoomi tu model regresi sttistik
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
http://dgmursit.stff.telkomuiversity.c.id/ Lerig Outcome Rec Pemeljr Setelh megikuti proses pemeljr ii, dihrpk mhsisw dpt ) Meetuk ti turu dri seuh fugsi ) Meyelesik itegrl tetu deg itegrsi ke-x d itegrsi
Lebih terperinciMATA KULIAH : MATEMATIKA II POKOK BAHASAN :
MT KULIH : MTEMTIK II POKOK HSN :. INTEGRL TK TENTU. INTEGRL TERTENTU SEGI LIMIT JUMLH. SIFT-SIFT INTEGRL TERTENTU. TEOREM-TEOREM DSR DLM KLKULUS. EERP TERPN DLM INTEGRL TERTENTU. INTEGRL NUMERIK UKU PEGNGN
Lebih terperinciIntegral Riemann-Stieltjes Pada Fungsi Bernilai Real. The Riemann-Stieltjes Integral for Real Function
Itegrl Riem-Stieltjes Pd Fugsi Berili Rel Septi Mosl Pirde 1, Tohp Murug 2, Julli Titley 3* 1,2,3 Progrm Studi Mtemtik, Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm, Uiversits Sm Rtulgi Mdo *correspodig uthor emil:
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. x x. 3.1 Analisis Metode Perhatikan persamaan integral Volterra berikut. x. atau (11)
III PEMBAHASAN 3 Alisis Metode Perhtik persm itegrl Volterr berikut y ( f( λ Ktyt ( ( (8 deg y( merupk fugsi yg k ditetuk sutu kostt f( fugsi sembrg yg dikethui d terdefiisi pd R d K(ty(t sutu fugsi yg
Lebih terperinciKETAKSAMAAN HERMITE-HADAMARD TERHADAP INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES
JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hl. 59-68 KETAKSAMAAN HERMITE-HADAMARD TERHADAP INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES Dey Ivl Hkim Deprteme Mtemtik Istitut Tekologi Bdug Bdug 40132, Idoesi dy_hkm@yhoo.com Hedr
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR. Nurdinintya Athari (NDT)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nurdiity Athri (NDT) Sistem Persm Lier (SPL) Sub Pokok Bhs Pedhulu Solusi SPL deg OBE Solusi SPL deg Ivers mtriks d Atur Crmmer SPL Homoge Beberp Apliksi Sistem Persm Lier Rgki
Lebih terperinciSistem Bilangan dan Kesalahan. Sistim Bilangan Metode Numerik 1
Sistem Bilg d Keslh Sistim Bilg Metode Numerik Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Sistim Bilg Metode Numerik Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3*
Lebih terperinciTeorema-Teorema Kekonvergenan pada Integral Riemann, Lebesgue dan Henstock
Prosidig Semir Nsiol Mtemtik Prodi Pedidik Mtemtik, Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 24 Juli 2 Teorem-Teorem Kekoverge pd Itegrl Riem, Leesgue d Hestock Rit P.Khotimh, Soepr Drmwijy 2, Ch. Rii Idrti 3, Prodi
Lebih terperinciSistem Bilangan dan Kesalahan. Metode Numerik
Sistem Bilg d Keslh Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3* Bilg ult deg ilg dsr c didefiisik segi : ( )... c N c
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008
Sol-sol d Pembhs Mtemtik Dsr SBMPTN - SNMPTN 8 y. Dlm betuk pgkt positif, ( y). A. ( + y ) ( y ) C. ( y ) E. - ( y ) B. - ( + y ) ( y ) D. ( y ) y ( y) y ( y) y y ( y) y (y). (y) y - ( y ) ( y + ) - (-y+
Lebih terperinciRangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
Lebih terperinciRangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL TENTU
APLIKASI INTEGRAL TENTU Apliksi Itegrl Tetu థ Lus ditr 2 kurv థ Volume ed dlm idg (deg metode ckrm d cici) థ Volume ed putr (deg metode kulit tug) థ Lus permuk ed putr థ Mome d pust mss 1 2 1. LUAS DIANTARA
Lebih terperinciSOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPS TAHUN 2015
SOLUSI REDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IS TAHUN AKET ilih Gd: ilihlh stu jw g plig tept.. Sit: p q p q Jdi, igkr dri pert dlh emerith meghpusk keijk susidi h kr mik tetpi d org g hidup tidk sejhter.
Lebih terperinciKajian Integral Cavalieri-Wallis dan Integral Porter-Wallis serta Kaitannya dengan Integral Riemann
J. Mth. d Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 2, Nov 2006, 81 93 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis d Itegrl Porter-Wllis sert Kity deg Itegrl Riem Rt Sri Dewi d Sursii Jurus Mtemtik ITS Istitut Tekologi Sepuluh
Lebih terperinciBAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN 3. Pedhulu Seelu hs liit fugsi di sutu titik terleih dhulu kit k egti perilku sutu fugsi f il peuh edekti sutu ilg ril tertetu. Misl terdpt sutu fugsi f() = + 4. Utuk
Lebih terperinciRingkasan Limit Fungsi Kelas XI IPS 1 NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com
Riks Limit Fusi Kels XI IPS NAMA : KELAS : theresivei.wordpress.com Riks Limit Fusi Kels XI IPS LIMIT FUNGSI Limit dlm kt-kt sehri-hri: Medekti hmpir, sedikit li, tu hr bts, sesutu y dekt tetpi tidk dpt
Lebih terperinciDERET FOURIER FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN. Oleh :
DERET FOURIER Oleh : Nm :. Neti Okmyti 7..6). Reto Fti Amh 7..6). Feri Febrisyh 7..8) Kels : 6. Mt Kulih : Mtemtik jut Dose Pegsuh : Fdli, S.Si FAKUTAS KEGURUAN DAN IMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PAEMBANG
Lebih terperincidan mempunyai vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada bidang. 1. Persamaan bidangnya adalah n P P
Rug Vektor Tuju:. Megigt kembli persm gris d bidg di rug.. Memhmi ksiom rug vektor, kombisi liier d rug bgi.. Megigt kembli pegerti bebs d bergtug liier, bsis d dimesi. Arti geometris dri determi Jik A
Lebih terperinciSOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPS TAHUN 2015
PAKET. Sit: SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPS TAHUN. ~ p q p ~ q. ~ p q~ p ~ q Jdi, igkr dri pert dlh Air sugi melup d kot tidk kejir tu eerp wrg kot tidk hidup mederit. []. Sit:. p q ~ q ~
Lebih terperinciTUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL
Mtemtik TUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL DISUSUN OLEH NAMA. LUKMANUDIN D79. YUYU YUMIARSIH D799. SERLI WIJAYA D798 PROGRAM STUDY MATA KULIAH DOSEN : PEND. MATEMATIKA : ANALISA VEKTOR : ABDUL KARIM,
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL
III PEMBAHASAN 3.1. Betuk Umum dri Mgic Squre, Bilg Mgic, d Mtriks SPL Mislk eleme dri bris ke-i d kolom ke-j dlh i,j mk mgic squrey secr umum dlh 1,1 1, 1,,1,,,1,, Gmbr 1. Betuk umum mgic squre deg: i,j
Lebih terperinciPersamaan Linier Simultan
Persm Liier Simult Elimisi Guss Guss Jord Elimisi_GussJord Persm Liier Simult Persm liier simult dlh sutu etuk persm-persm yg ser ersm-sm meyjik yk vriel es. etuk persm liier simult deg m persm d vriel
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI. Prasetyo Budi Darmono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI Prsetyo Budi Drmoo Jurus Pedidik Mtemtik FKIP Uiversits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Persm lier dlm vribel 1, 2, 3,.. sebgi sebuh persm yg dpt diytk dlm
Lebih terperinciTEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri
Lebih terperinciBarisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut
Koko Mrtoo FMIPA - ITB 7 Bris bilg rel Pegtur bilg rel dlm ideks terurut dimk bris. Bris bilg rel,,, ditulis { } =, tu disigkt { }. Secr forml, bris (tk higg) ii didefiisik sebgi fugsi deg derh sl himpu
Lebih terperinciBarisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut
+ e - e Bris bilg rel Pegtur bilg rel dlm ideks terurut dimk bris. Bris bilg rel,,, ditulis { } =, tu disigkt { }. Secr forml, bris (tk higg) ii didefiisik sebgi fugsi deg derh sl himpu bilg sli. Ilustrsi
Lebih terperinciTE Dasar Sistem Pengaturan. Kriteria Kestabilan Routh
TE946 Dr Sitem Pegtur Kriteri Ketil Routh Ir. Jo Prmudijto, M.Eg. Juru Tekik Elektro FTI ITS Telp. 5947 Fx.597 Emil: jo@ee.it.c.id Dr Sitem Pegtur - 7 Ojektif: Koep Ketil Ketil Routh Proedur Ketil Routh
Lebih terperinciCatatan Kecil Untuk MMC
Ctt Keil Utuk MMC Judul : MMC (Metode Meghitug Cept), Tekik ept d uik dlm megerjk sol mtemtik utuk tigkt SMA. Peulis : It Puspit. Peerit : PT NIR JAYA Bdug. Thu :. Tel : 8 + 5 hlm. Berikut dlh tt keil
Lebih terperinciLATIHAN UN MATEMATIKA IPA
LATIHAN UN MATEMATIKA IPA LATIH UN IPA. 00-00 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI.... Pgkt Rsiol, Betuk Akr d Logritm.... Persm Kudrt...0. Sistem Persm Lier... 4. Trigoometri I...8 5. Trigoometri II...7
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET A. POLA BILANGAN B. BARISAN BILANGAN. Contoh Soal
BARIAN DAN DERET A. POLA BILANGAN Bergi jeis ilg yg serig it pergu mempuyi pol tertetu. Pol ii serig digu dlm meetu urut / let ilg dri seumpul ilg yg ditetu, cotoh ilg gjil e-5 dri ilg :,, 5, 7, yitu 9.
Lebih terperinciBAB 2 SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN
Metode Numerik Segi Algoritm Komputsi 5 BAB SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN.. Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik : N ( )...... Cotoh : 67. 6. 7.. Bilg
Lebih terperinci14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn
Lebih terperinci1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif
N : Zui Ek Sri Kels : NPM : 800 BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR A. Pgkt Bilg Bult. Bilg Berpgkt Bult Positif Dl kehidup sehri-hri kit serig eeui perkli ilg-ilg deg fktor-fktor yg s. Mislk kit teui
Lebih terperinciCatatan Kuliah 1 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks
Ctt Kulih Mtemtik Ekoomi Memhmi d Meglis ljbr Mtriks. Mtriks d Vektor Mtriks Mtriks dlh kumpul bilg, prmeter tu vribel tersusu dlm bris d kolom sehigg terbetuk segi empt. Susu ii bisy diletkk dlm td kurug
Lebih terperinciSOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 (A & B) Dosen: Dr. Asep Juarna Jumlah Soal: 3 Uraian Tanggal Ujian: 02/03/12 Waktu Ujian: 2 jam
SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 A & B Dose: Dr. Asep Jur Jumlh Sol: Uri Tggl Uji: // Wktu Uji: jm jik. Solusi t dlh: t + log, yg dpt dibuktik sbb: t jik t t + [t/ + ] + t/ + t/4 + t/8 + 4 t/
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHues (Volue 3 No 3) 04 INTEGRAL H Hili Nur Ardi Jurus Mtetik, Fkults Mtetik d Ilu Pegethu Al, Uiversits Negeri Sury e-il: sterrdi@yhoocoid Muhrwti Jurus Mtetik, Fkults Mtetik d Ilu Pegethu Al, Uiversits
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 2. Tuliskan tiga suku berikutnya dari setiap barisan berikut ini dan tentukan rumus sederhana suku ke n! a.
BARIAN DAN DERET A. BARIAN BILANGAN Bis dlh himpu semg usu-usu yg ditulis sec euut. Bis ilg dlh susu ilg yg disusu meuut sutu pol/ tu tetetu. Cotoh :.. Cotoh ol. Cilh 4 suku petm di is eikut, jik :.. c..
Lebih terperinciDETERMINAN MATRIKS dan
DETERMINN MTRIKS d TRNSFORMSI ELEMENTER gusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIP UNEJ tiprdj.mth@gmil.com DEFINISI Utuk setip mtriks bujursgkr berordo x dpt dikitk deg tuggl sutu bilg rel yg dimk determi.
Lebih terperinciMETODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN.
METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN http://mul.lecture.u.c.id/lecture/metode-umerik/ Sistem Persm Liier Misl terdpt SPL deg uh vriel es Mtriks: m m m m Peyelesi Sistem Persm Liier
Lebih terperinciDERET PANGKAT TAK HINGGA
DERET PANGKAT TAK HINGGA DERET PANGKAT Defiisi deret pgkt : C ( ) c c ( ) c ( ) c ( )... o dim dlh vribel c d dlh kostt Perhtik bhw dlm otsi deret pgkt telh segj memilih ideks ol utuk meytk suku pertm
Lebih terperinciEstimasi Koefisien Fungsi Regular- Dari kelas Fungsi Analitik Bieberbach-Eilemberg
Estimsi Koefisie Fugsi Regulr- Dri kels Fugsi Alitik Bieberbch-Eilemberg Oleh Edg Chy M.A Jurus Mtemtik FPMIPA UPI Abstrk Tulis ii mejelsk tetg estimsi koefisie fugsi regulr- yg dideretk, sebgi fugsi yg
Lebih terperinciDiijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp metumk lmt situs LATIH UN IPS. 008 00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperinciTEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri
Lebih terperinci24/02/2014. Sistem Persamaan Linear (SPL) Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear Rangkaian listrik Jaringan Komputer Model Ekonomi dan lain-lain.
// Alj Lie Elemete MUGE SKS Silus : B I Mtiks d Oesi B II Detemi Mtiks B III Sistem Pesm Lie B IV Vekto di Bidg d di Rug B V Rug Vekto B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Tsfomsi Lie B VIII Rug Eige // :8 MUGE
Lebih terperinciDiijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp mectumk lmt situs LATIH UN IPA. 00-00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN
Lesso Study FMIPA UNY RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINEAR II SEMESTER : III TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN SUB TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN WAKTU : X 5 A. Stdr Kompetesi:
Lebih terperinciDERET PANGKAT TAK HINGGA
DERET PANGKAT TAK HINGGA TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT TEOREMA-TEOREMA PENTING. Itegrsi d diferesisi deret pgkt dpt dilkuk per suku, yitu: ( ) d p q d d ( ) q p d d ( ) ( ) d, d p, q Selg
Lebih terperinciBAB 5 PENDEKATAN FUNGSI
BAB 5 ENDEKATAN FUNGSI DEVIDE DIFFERENCE SELISIH TERBAGI A. Tuju. Memhmi oliomil Newto Selisih Terbgi b. Mmpu meetu oeisie-oeisie oliomil Newto c. Mmpu meetu oeisie-oeisie oliomil Newto deg Mtlb B. ergt
Lebih terperinciAnalisa Kestabilan Pendahuluan Konsep Umum Kestabilan
Ali Ketil 4 Ali Ketil.. Pedhulu Hl yg mt petig dlm dei item kotrol dlh mlh tilit item. Buk hl yg rhi lgi hw pokok tuju terpetig dlm li d dei kotrol dlh meiptk utu item yg til. Sutu item diktk til pil teript
Lebih terperinciBarisan dan Deret Tak Hingga
Modul Bris d Deret Tk Higg Dr. Spti Whyuigsih, M.Si. M PENDAHULUAN odul ii meyjik kji tetg Bris d Deret Tk Higg. Kji tetg bris d deret memegg per sgt petig kre sebgi dsr utuk pembhs Itegrl Tetu. Bris d
Lebih terperinciGEOMETRI EUCLID EG(2, p n ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG
GEOMETRI EUCLID EG(, p ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG Bmg Irwto d Yui Hidyti Jurus Mtemtik FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedrto, S.H, Semrg 5075 v is rrgemet of v distit ojets ito
Lebih terperinciJURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER 1
FITRIANA RICHA HIDAYATI 7 46 Dose Pembimbig M. ARIEF BUSTOMI, M.Si Surby, Jui JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER Alis disesuik deg geometri
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Jawaban : D a = 3, b = 2, U 10 = (a + 9b) U 10 = = 21. Jawaban : E a = 2,5 S ~ =
pge of SOAL Jumlh ke-0 dri bris :,, 7, 9,.dlh.. d. e. 7 9 Ebts 99 Sebuh bol jtuh dri ketiggi, meter d memtul deg ketiggi kli tiggi semul. D setip kli memtul berikuty, mecpi ketiggi kli tiggi ptul sebelumy.
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. lim lim. , c = konstanta 6. lim f(x) Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.
LIMIT FUNGSI Teoem. f() g() f() g( ). f().g() f(). g( ) f(). f() g() f() g( ). deg g() g() g(). c.f() c. f(), c = kostt. f() f() f() Betuk Tk Tetu Betuk di dlm mtemtik d mcm, yitu :. Betuk tedefiisi (tetetu)
Lebih terperinciINTEGRAL LEBESGUE di R 1 SKRIPSI. Oleh: INDAH RESTI AYUNI SURI NIM
1 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI Oleh: INDAH RSTI AYUNI SURI NIM. 05510015 JURUSAN MATMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TKNOLOGI UNIVRSITAS ISLAM NGRI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2009 2 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI
Lebih terperinciPertemuan 7 Persamaan Linier
Perteu 7 Pers Liier Ojektif:. Prktik ehi teori dsr Pers Liier. Prktik dpt eyelesik Pers Liier. Prktik dpt eut progr erkisr tetg Pers Liier Pers Liier P7. Teori Pers lier dlh seuh pers ljr, yg tip sukuy
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET BARISAN DAN DERET. U n. 2 n. 2 a = suku pertama = U 1 b = beda deret = U n U n 1. I. Perngertian Barisan dan Deret
BARISAN DAN DERET I. Pergerti Bris d Deret Bris bilg dlh pemet dri bilg sli ke bilg rel yg diurutk meurut tur tertetu. U III. Deret Geometri Ciriy : rsio tetp U = r S r = r S r = r = bilg sli U = suku
Lebih terperinciCARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK ABSTRACT ABSTRAK
CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK D. S. Wti 1, M. Imr, L. Deswit 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dose Jurus Mtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Uiversits Riu Kmpus
Lebih terperinciSTATISTIK. Diskusi dan Presentasi_ p.31
STATISTIK Diskusi d Presetsi_ p.31 No.1 Tetuk populsi d smpel yg mugki jik kit melkuk peeliti tu pegmt tetg kejdi-kejdi erikut:. Jeis-jeis ik yg hidup di terumu krg. Wh peykit demm erdrh di kot Mlg, d
Lebih terperinciSYARAT PERLU DAN CUKUP INTEGRAL HENSTOCK-BOCHNER DAN INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b] Solikhin, Y.D. Sumanto, Susilo Hariyanto, Abdul Aziz
SYRT PERLU N CUKUP INTEGRL HENSTOCK-BOCHNER N INTEGRL HENSTOCK-UNFOR P [,] Solihi, Y Sumto, Susilo Hriyto, dul ziz 1,2,3,4 eprteme Mtemti FSM Uiversits ipoegoro Jl Prof Soedrto, SH Temlg-Semrg solihi@liveudipcid
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Pertemuan ke 5. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemu ke 5 Sistem Persm Liier (SPL) () Rici Kemg Hpsri, S.Si, M.Kom www.rkhcdemy.com/wp Represetsi SPL Betuk umum persm lier deg peuh Dim :,, : koefisie dri persm, d,,..., merupk peuh.
Lebih terperinciINTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Lebih terperinciPosisi Integral Henstock-Dunford dan Integral Henstock- Bochner pada [a,b]
SEMINR NSIONL MTEMTIK N PENIIKN MTEMTIK UNY 06 Posisi Itegrl Hestoc-uford d Itegrl Hestoc- Bocher pd [,] Solihi, Heru Tjhj, Solichi Zi Fults Sis d Mtemti, Uiversits ipoegoro soli_erf@yhoocom -4 str Pd
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinciMETODE NUMERIK PERTEMUAN : 5 & 6 M O H A M A D S I D I Q 3 S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S1
METODE NUMERIK S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S M O H A M A D S I D I Q PERTEMUAN : 5 & 6 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S M O H A M A D
Lebih terperinci1. HIMPUNAN. Kadang-kadang suatu himpunan hanya dapat dinyatakan dengan salah satu cara, tetapi kadang-kadang juga dapat dinyatakan dengan keduanya.
1. HIMUNN Himpu iefiisik segi kumpul ojek-ojek yg ere Liu 1986. tu himpu ojek eg syrt keggot tertetu. otoh : { 12345} { x ult 1 x 5 } Jik sutu ojek x merupk ggot ri himpu mk itulisk x i : x lh ggot tu
Lebih terperinci