BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN

Transkripsi

1 BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGAL IEMANN Sift-sift Ljut Itegrl iem Teorem 6.1 Jik f [, ] d f [, ] deg < < mk f [, ]. Leih ljut f x dx f x dx + () f x dx f [, ] d f [, ], mislk () f x dx A 1 d () f x dx A 2. Dierik semrg ilg > 0, mk terdpt δ 1 > 0 sehigg utuk setip prtisi iem 1 pd [, ] deg 1 < δ 1 erlku 1 A 1 < 4. d jug terdpt δ 2 > 0 sehigg utuk setip prtisi iem 2 pd [, ] deg 2 < δ 2 erlku 2 A 2 < 4. Dipilih δ mi {δ 1, δ 2 }, kity jik semrg prtisi pd [, ] deg sift < δ mk terdpt du kemugki; (i) merupk slh stu titik prtisi (ii) uk merupk slh stu titik prtisi Kemugki (i) Jik merupk slh stu titik prtisi, mk tergi ts 1 pd itervl gi [, ] d 2 pd itervl gi [, ]. Kre δ mi {δ 1, δ 2 } d < δ, mk erlku pul 1 < δ 1 d 2 < δ 2, sehigg 1 (A 1 + A 2 ) + 2 (A 1 + A 2 ) 1 A A 2 1 A A 2 < < Kemugki (ii) Jik uk merupk slh stu titik prtisi iem, mk dpt diut prtisi iem pd pd [, ] deg segi slh stu titik prtisiy, sehigg mejdi peghlus prtisi. Seljuty deg r seperti pd kemugki (i) diperoleh; 1 Thoiri - Herw : Alisis el II

2 Sift-sift Ljut Itegrl iem (A 1 + A 2 ) (A 1 + A 2 ) 1 A A 2 1 A A 2 < Jdi d kre mk (A 1 + A 2 ) (A 1 + A 2 ) < 2 + (A 1 + A 2 ) < < 2 + (A 1 + A 2 ) Deg demiki terukti f ()[, ] d Teorem 6.2 f x dx f x dx + () f x dx Jik f : [, ] fugsi terts d f x 0 keuli di eerp titik yg yky erhigg pd itervl [, ]mk f [, ] d () f x dx 0. Dietuk himpu X x, : f x 0 yg mempuyi ggot seyk erhigg. Seljuty utuk setip ilg > 0 dipilih ilg δ deg sift 0 < δ < x X f(x) 2 Thoiri - Herw : Alisis el II

3 Sift-sift Ljut Itegrl iem Amil semrg prtisi iem pd [, ] deg < δ, mk diperoleh (1) deg 1 dlh jumlh gi dri () deg semu itervl gi yg tidk memut titik ggot X. 2 dlh jumlh gi dri () deg semu itervl gi yg memut titik ggot X. d 2 ii dipilih titik tgy dlh slh stu titik ggot X terseut. Oleh krey pd (1) di ts mejdi < 2 0 f(x) x X Terukti f [, ] d 1 () f x dx Berdsrk Teorem 6.2 di ts dpt diperoleh kit segi erikut. Teorem 6.3 Jik f [, ], g: [, ] fugsi terts d g x f x keuli di eerp titik yg yky erhigg pd itervl [, ] mk g [, ] d segi ltih. g x dx f x dx. Seljuty erdsrk Akit 6.3 utuk itegrl iem, dpt didefiisik relsi deg f g pd itervl [, ] dimksudk f x g(x) keuli di eerp titik yg yky erhigg pd itervl [, ]. Mudh ditujukk hw relsi terseut merupk relsi ekuivlesi pd [, ]. Oleh kre itu [, ] dpt diprtisi mejdi kels-kels ekuivlesi. Teorem 6.4 Jik f [, ], g [, ] d f x g x keuli di eerp titik yg yky erhigg pd itervl [, ] mk f x dx g x dx. 3 Thoiri - Herw : Alisis el II

4 Sift-sift Ljut Itegrl iem Berdsrk Akit 6.3, tp megurgi keumum ukti, dpt disumsik hw f x g x utuk setip x [, ]. Seljuty dierik ilg > 0 semrg. Oleh kre f [, ], mk terdpt ilg δ 1 > 0 sehigg utuk setip prtisi 1 { x 0, x 1, x 2,, x ; 1,, } pd [, ] deg sift 1 < δ 1 erlku 1 () f Demiki jug g [, ], mk terdpt ilg δ 2 > 0 sehigg utuk setip prtisi 2 { x 0, x 1, x 2,, x ; 1,, } pd [, ] deg sift 2 < δ 2 erlku 2 g i () g Dipilih δ mi {δ 1, δ 2 }, jik semrg prtisi pd [, ] deg sift < δ mk < δ 1 d < δ 2 sehigg erlku d jug g i Akity diperoleh sehigg f () f () g 2 < < 2 < 2 tu f tu g Kre ilg positif semrg mk terukti 2 < 2 < < 2. < 2. g i f x dx < g x dx +. f x dx g x dx. g i < g + 2 < f + 2 < g + 2. A. Keteriegrl Fugsi Kotiu d Fugsi Mooto Seljuty dierik keteritegrl fugsi erili rel yg kotiu d fugsi erili rel yg mooto pd itervl [, ] segi erikut. Teorem 6.5 Setip fugsi erili rel d kotiu pd itervl [, ], teritegrl iem pd [, ]. Dierik semrg f fugsi erili rel d kotiu pd itervl [, ], erdsrk teorem kekotiu sergm, mk f kotiu sergm. Seljuty dierik semrg ilg > 0. Kre f kotiu sergm, mk terdpt ilg δ > 0 sehigg jik { x 0, x 1, x 2,, x ; 1,, } semrg prtisi pd [, ] deg sift < δ erlku 4 Thoiri - Herw : Alisis el II

5 Sehigg diperoleh M i m i < ( )2 i U ; f L ; f M i ( ) M i ( ) (M i m i )( ) < ( ) 2i Sift-sift Ljut Itegrl iem Berdsrk riteri iem f teritegrl Droux pd [, ] sehigg i teritegrl iem pd [, ]. Teorem 6.6 Setip fugsi erili rel, mooto d terts pd itervl [, ], teritegrl iem pd [, ]. d uku ii hy diuktik utuk fugsi f yg mooto ik pd itervl [, ]. Utuk fugsi mooto turu, ukti segi ltih. Amil semrg > 0, d kre f mooto ik pd [, ] mk ( ) f f() > 0, sehigg erdsrk sift Arhimides mk terdpt ilg sli sehigg f f() <. Dierik { x 0, x 1, x 2,, x ; 1,, } semrg prtisi pd [, ] yg memgi [, ] mejdi seyk su itervl yg sm pjg. Jels utuk setip i 1, 2,, erlku. Kre f mooto ik pd [, ] mk i mooto ik pd [x i 1, x i ] utuk setip i 1, 2,, sehigg Oleh krey M i f x i d m i f x i 1 U ; f L ; f M i ( ) M i ( ) (M i m i )( ) {f x i f x i 1 }( ) {f x i f x i 1 } {f x i f x i 1 } f f() <. 5 Thoiri - Herw : Alisis el II

6 Jdi f teritegrl Droux pd [, ], sehigg i teritegrl iem pd [, ]. Sift-sift Ljut Itegrl iem B. Cotoh erhitug Nili Itegrl Telh ditegsk pd seelumy hw itegrl iem ekuivle deg itegrl Droux. Beerp otoh erikut mejelsk peghitug ili itegrl iem deg megguk defiisi tu teorem-teorem dlm itegrl Droux. Cotoh Fugsi kost teritegrl iem pd itervl tertutup Dierik f x, x [, ] deg sutu kostt. Amil semrg { x 0, x 1, x 2,, x ; 1,, }, prtisi pd [, ], mk Oleh krey d M i d m i, i 1, 2,..., U ; f M i ( ) ( ) ( ). L ; f m i ( ) ( ) ( ). U f if { U ; f : [, ]} d L f sup { L ; f : [, ]}. Jdi U f L(f), mk f teritegrl Droux yg errti i jug teritegrl iem. Leih ljut f x dx. 2. Dierik f x x, x [0,1]. Apkh f teritegrl Droux pd [0,1]? eyelesi Amil semrg prtisi sergm {0, 1, 2 1,,, 1} pd [0,1]. Kre f x x, x [0,1], mk 6 Thoiri - Herw : Alisis el II

7 Sift-sift Ljut Itegrl iem 1 i 1, 2,,. M i i, i 1, 2,..., U ; f M i ( ) i i ( + 1) Diperoleh m i i 1, i 1, 2,..., L ; f m i ( ) i (i 1) ( 1) lim U 1 ; f L( ; f) lim Berdsrk Akit 5.7 mk f teritegrl Droux pd 0,1 deg ili itegrly D f x dx 1 lim U( ; f) lim Dierik f x x 2, x [0,1]. Apkh f teritegrl Droux pd [0,1]? eyelesi Amil semrg prtisi sergm {0, 1, 2 1,,, 1} pd [0,1]. Kre f x x, x [0,1], mk 7 Thoiri - Herw : Alisis el II

8 Sift-sift Ljut Itegrl iem 1 M i i 2 i 1, 2,,., i 1, 2,..., U ; f M i ( ) m i i 1 i 1 3 i (2 + 1) , i 1, 2,..., L ; f m i ( ) i (i 1)2 3 Diperoleh ( 1) (2 1) lim U 1 ; f L( ; f) lim Berdsrk Akit 5.7 mk f teritegrl Droux pd 0,1 deg ili itegrly D f x dx 1 lim U( ; f) lim Dierik fugsi Dirihlet pd itervl [0,1]. 0, x rsiol f x 1, x irrsiol Apkh f teritegrl Droux pd [0,1]? 8 Thoiri - Herw : Alisis el II

9 Sift-sift Ljut Itegrl iem C. Fugsi Komposisi d seelumy telh diuktik sift kelier itegrl iem. d gi k diuktik hw komisi li dri fugsi teritegrl iem jug teritegrl iem. Teorem 6.8 Dierik itervl [, ] d [, d], f : [, ] fugsi yg teritegrl iem pd [, ] deg sift f, [, d]. Jik g : [, d] fugsi kotiu pd [, d], mk komposisi fugsi g o f : [, ] teritegrl iem pd [, ]. Dierik serg > 0, ukup diuktik terdpt { x 0, x 1, x 2,, x ; 1,, }, prtisi pd [, ] sehigg U ; g o f L ; g o f <. Jik dikethui g : [, d] fugsi kotiu pd [, d], mk g terts pd [, d]. Berrti terdpt ilg rel M > 0 sehigg g(t) M utuk setip t [, d]. Oleh kre itu d ilg rel K sehigg K sup { g t : t, d }. g kotiu pd [, d], mk i kotiu sergm pd [, d]. Oleh krey terdpt δ > 0 deg δ < sehigg utuk setip s, t [, d] deg s t < δ erlku +2K g s g(t) < + 2K. Kre f teritegrl pd [, ], mk terdpt { x 0, x 1, x 2,, x ; 1,, }, prtisi pd [, ] sehigg Utuk i 1, 2,, Didefiisik U ; f L ; f < δ 2. M i sup [x i 1, x i ], m i if [x i 1, x i ] M i sup g o [x i 1, x i ], m i if g o [x i 1, x i ] d A i M i m i < δ d B i M i m i δ. Dpt diphmi hw M i m i sup g o [x i 1, x i ] if g o [x i 1, x i ] sup g o g o f φ i, φ i [x i 1, x i ] (i) Jik i A, mil semrg i, φ i [x i 1, x i ] mk f φ i < δ, sehigg g o g o f φ i < + 2K Akity M i m i + 2K sehigg M i m i x + 2K i x i 1 i A i A 9 Thoiri - Herw : Alisis el II

10 ( ) + 2K (ii) Jik i B, mil semrg i, φ i [x i 1, x i ] mk M i m i 2K. Sift-sift Ljut Itegrl iem i B M i m i 2K i B Dri (i) d (ii) diperoleh: U ; g o f L ; g o f M i m i 2K 1 M δ i m i i B 2K 1 U ; f L ; f δ < 2K 1 δ. δ2 2Kδ < 2K + 2K Terukti. M i m i < i A + 2K + M i m i i B + 2K + 2K. Akit 6.9 Dierik itervl [, ], jik f : [, ] fugsi yg teritegrl iem pd [, ], mk fugsi ili mutlk f teritegrl iem pd [, ] d f f K( ) deg K dlh ilg rel sehigg f(x) K utuk setip x [, ]. Dikethui f : [, ] fugsi yg teritegrl pd [, ], mk f terts pd [, ], sehigg d ilg K > 0 sehigg f(x) K utuk setip x [, ]. Didefiisik g x x utuk x [, ], mk g o f f. Kre f teritegrl iem pd [, ] d g kotiu pd mk erdsrk Teorem 6.8 f teritegrl iem pd [, ]. Akit 6.10 Dierik itervl [, ], jik f : [, ] fugsi yg teritegrl iem pd [, ], mk fugsi f, N, teritegrl iem pd [, ]. Dikethui f : [, ] fugsi yg teritegrl pd [, ], Didefiisik g x x utuk setip x [, ], mk g o f f. Kre f teritegrl iem pd [, ] d g kotiu pd mk erdsrk Teorem 6.8 f teritegrl iem pd [, ]. 10 Thoiri - Herw : Alisis el II

11 Akit 6.11 Sift-sift Ljut Itegrl iem Dierik itervl [, ], jik f : [, ] fugsi yg teritegrl iem pd [, ], d terdpt ilg δ > 0 sehigg f(x) δ utuk setip x [, ], mk fugsi 1 f teritegrl iem pd [, ]. Dikethui f : [, ] fugsi yg teritegrl pd [, ], mk f terts pd [, ], sehigg d ilg K > 0 sehigg f(x) K utuk setip x [, ]. Oleh kre itu δ f(x) K. Didefiisik g x 1 utuk setip x [δ, K] mk g x o f 1. Kre f teritegrl iem pd f [, ] d g kotiu pd [δ, K] mk erdsrk Teorem 6.8 fugsi 1 teritegrl pd [, ]. f Teorem 6.12 Dierik itervl [, ], jik f : [, ] d g : [, ] fugsi-fugsi yg teritegrl iem pd [, ], mk fugsi f.g teritegrl iem pd [, ]. Dikethui f : [, ] d g : [, ] fugsi-fugsi yg teritegrl pd [, ], mk erdsrk sift lierits d Akit 6.10 deg megmil 2, diperoleh f + g, f + g 2, f 2, g 2 msig-msig teritegrl pd [, ], sehigg f. g 1 2 iem pd [, ]. f + g 2 f 2 g 2 teritegrl 11 Thoiri - Herw : Alisis el II