Integral Riemann-Stieltjes Pada Fungsi Bernilai Real. The Riemann-Stieltjes Integral for Real Function

Transkripsi

1 Itegrl Riem-Stieltjes Pd Fugsi Berili Rel Septi Mosl Pirde 1, Tohp Murug 2, Julli Titley 3* 1,2,3 Progrm Studi Mtemtik, Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm, Uiversits Sm Rtulgi Mdo *correspodig uthor emil: july_titley@yhoo.com Astrk Itegrl Riem-Stieltjes merupk geerlissi dri Itegrl Riem, kedu Itegrl ii memiliki huug, jug eerp sift dsr pd Itegrl Riem dpt dierlkuk pd Itegrl Riem- Stieltjes. Mislk f d dlh fugsi erili rel yg terts pd itervl [,]. Jik f ϵ R[,] d f ϵ R [,], mk sift terts, mooto ik, lier pejumlh d lier perkli terhdp kostt yg erlku pd fugsi f yg teritegrl Riem, erlku jug pd fugsi f yg teritegrl Riem-Stieltjes. Jik (x) = x, mk itegrl Riem-Stieltjes ekuivle deg itegrl Riem, d dpt direduksi mejdi itegrl Riem ketik mempuyi turu d terts pd itervl teruk (,). Kt kuci : Fugsi Berili Rel, Itegrl Riem, Itegrl Riem-Stieltjes. The Riem-Stieltjes Itegrl for Rel Fuctio Astrct The Riem-Stieltjes Itegrl is geerliztio of the Riem Itegrl, oth of these itegrl hve reltio, d some sic properties of the Riem Itegrl c lso e pplied to the Riem-Stieltjes Itegrl. Let f d α is rel-vlue fuctio d ouded o itervl [, ]. If f ε R[, ] d f ε R α [, ], the the elemetry itegrl properties, icludig ouded vritio, mootoiclly icresig, summtio of lier d multipled y costts-vlue of lier tht pplies to fuctio f tht is Riem itegrle, s well pplies to fuctio f tht is Riem-Stieltjes itegrle. If α(x) = x, the The Riem-Stieltjes Itegrl equivlet to The Riem Itegrl, d c e reduced to The Riem Itegrl whe α hs derivtive d ouded to the ope itervl (, ). Keywords: Rel Fuctio, Riem Itegrl, Riem-Stieltjes Itegrl. 1. Pedhulu Itegrl dlh sutu kosep petig dlm Mtemtik yg dikemukk pertm kli oleh Isc Newto d Gottfried Wilhelm Leiiz pd khir d ke-17. Kosep itegrl serig diguk utuk meetuk lus derh di wh kurv d mecri peyelesi dri sutu model mtemtik [1]. Pd thu 1850, kosep ii diteliti secr leih medlm oleh Berhrd Riem. Riem medefiisik itegrl sutu fugsi pd domi erup itervl tertutup d terts pd R segi lus derh di wh kurv dri fugsi terseut. Seljuty dikemgk sutu teori pegitegrl liy yg merupk geerlissi dri kosep itegrl Riem, yki itegrl Riem-Stieltjes yg dikemukk oleh Thoms Joes Stieltjes pd thu Pd itegrl Riem-Stieltjes sellu melitk du fugsi, yitu fugsi erili rel f yg terdefiisi pd itervl [,] d fugsi α [, ] R yg merupk itegrtor dri fugsi f dim itegrtor ii dlh sutu fugsi yg mooto ik pd itervl [,] [2]. 2. Sistem Bilg Rel 2.1 Sift-Sift Opersi pd Bilg Rel Sift-sift opersi pd ilg rel tr li tertutup, komuttif, ssositif, distriutiv, memiliki ivers d eleme idetits [3].

2 2 Pirde, Murug, Titley Itegrl Riem-Stieltjes pd. 2.2 Sift Urut Bilg Rel Pertidksm Meyelesik sutu pertidksm dlh mecri semu himpu ilg rel yg memut pertidksm terseut mejdi sutu peryt yg er. Bered deg persm yg himpu peyelesiy umumy terdiri dri stu ilg tu mugki sejumlh erhigg ilg sj, himpu peyelesi sutu pertidksm isy terdiri dr sutu keseluruh itervl ilg tu dlm eerp ksus gug dri itervl-itervl yg demiki [3] Nili Mutlk Secr mtemtis pegerti hrg mutlk dri setip ilg rel x yg diotsik deg x, ilh ili positif dri ili x d x. x erhrg x utuk x > 0, -x utuk x < 0 d 0 utuk x = 0 [3] 2.3 Sift Kelegkp Bilg Rel Defiisi 1 [1] Dierik H merupk himpu gi dri R. (i) Seuh ilg u ε R diktk merupk ts ts H pil x u utuk semu x ε H. (ii) Seuh ilg v ε R diktk merupk ts wh H pil v x utuk semu x ε H. Defiisi 2 [1] (i) Jik H terts di ts, mk sutu ts ts H, misl sj u diktk merupk supremum (ts ts terkecil) H pil tidk d ts ts H yg li yg kurg dri u. (ii) Jik H terts di wh, mk sutu ts wh H, misl sj w diktk merupk ifimum (ts wh teresr) H, pil tidk d ts wh H li yg leih dri w. 2.4 Fugsi Jik ε A, mk ggot himpu B yg merupk kit dri dpt kit tulis segi f(). Eleme f() terseut dimk ili fugsi dri, tu pet dri. Himpu semu pet diseut rge (derh ili) dri fugsi f. rge merupk himpu gi dri codomi. Misly f dlh fugsi f: R R, R dlh himpu ilg rel yg memetk setip x ε R ke kudrty [1]. Y = f(x) = x 2 tu dpt ditulis pul segi x x 2 dlm peulis di ts, x diseut vriel es d y diseut vriel ergtug. Nili y ergtug dri pegmil ili x [1]. 2.5 Kotiuits Fugsi Defiisi 3 [4] Mislk f terdefiisi pd sutu itervl teruk yg megdug c. Mk dpt diktk hw f kotiu di c jik : lim f(x) = f(c) x c deg syrt :. lim x c f(x) d.. f(c) d (yki, c erd dlm derh sl f), d c. lim x (x) = f(c). jik slh stu dri ketig syrt ii tk terpeuhi, mk f diskotiu di c.

3 JdC, Vol. 6, No. 1, Mret Itegrl Itegrl merupk tituru, sehigg jik terdpt fugsi F(x) yg kotiu pd d ( F( x)) itervl [, ] diperoleh = F (x) = f(x) [5]. Atituru dri f(x) dlh mecri fugsi dx yg turuy dlh f (x), ditulis f(x) dx. Secr umum dpt kit tulisk : f(x) dx = F (x) dx = F(x) + C 4. Prtisi d Jumlh Riem 4.1 Prtisi Seuh fugsi f didefiisik pd itervl tertutup [, ]. Fugsi ii is erili positif tupu egtif pd itervl terseut d hk tidk perlu kotiu. Mislk sutu prtisi P memgi itervl [, ] mejdi su-itervl (tidk perlu sm pjg) deg megguk titik-titik = x 0 < x 1 < x 2 <... < x 1 < x =. Deg jrk tip su-itervl dlh [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ],, [x 1, x ]. Pjg su-itervl terseut dpt dilmgk x 1, x 2,, x. Mk, jik 1 i, mk x i = x i x i 1 [4]. 4.2 Jumlh Riem Defiisi 4 [4] Dierik fugsi terts f: [, ] R d prtisi P = {x 0, x 1, x 2,..., x 1, x } pd [, ]. Jumlh Riem ts d jumlh Riem wh dri fugsi f sehuug deg prtisi P didefiisik deg : U(f; P) = M i x i = M i (x i x i 1 ) L(f; P) = m i x i = m i (x i x i 1 ) Pd setip su-itervl [x i 1, x i ] kit mil seuh titik serg w i (yg mugki sj seuh titik ujug), kit seut itu segi titik smpel utuk su-itervl ke-i. Prtisi yg teretuk merupk segiempt deg ukur x d f(w i ) segi pjg d lery, sehigg lus tip prtisi dlh f(w i ) x. Kre itu didptk jumlh lus prtisi pd selg [,] yitu f(w i ) x, yg diseut deg Jumlh Riem [6]. 5. Itegrl Droux S(f; P) = w i x i = w i (x i x i 1 ) 5.1 Jumlh Droux Ats d Jumlh Droux Bwh Lemm 1 [7] Dierik [, ] R, jik f: [, ] R fugsi yg terts pd [, ] d P = { = x 0, x 1, x 2,..., x = ; ξ 1, ξ 2,, ξ } semrg prtisi pd [, ], mk erlku : L(f; P) U(f; P) Teorem 1 [7] Dierik [, ] R, jik f: [, ] R fugsi yg terts pd [, ]. Jik P 1 d P 2 serg prtisi pd [, ] deg P 1 P 2, mk erlku : L(f; P 1 ) U(f; P 2 ) 5.2 Itegrl Droux Ats d Itegrl Droux Bwh Teorem 2 [7] Dierik [, ] R, jik f: [, ] R fugsi yg terts pd [, ]. Jik fugsi f teritegrl Droux Ats d Droux Bwh pd itervl [, ], mk: L(f) U(f) Kre f jug teritegrl Riem, mk Teorem ii jug erlku utuk Itegrl Riem.

4 4 Pirde, Murug, Titley Itegrl Riem-Stieltjes pd. 6. Itegrl Riem Defiisi 5 [4] f dlh fugsi ilg rel pd itervl tertutup [, ] d R = R[, ] dlh himpu dri keseluruh prtisi dri [, ], mk itegrl riem ts d itegrl riem wh didefiisik segi erikut : f(x)dx = if U(f; P), P ε R d f(x)dx = sup L(f; P), P ε R Jik f(x)dx = f(x)dx, mk fugsi f diktk teritegrl riem d diotsik : S(f) = f(x)dx Teorem 3 [8] Dikethui fugsi f ε R[, ] terts. Fugsi f teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik utuk setip ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 sehigg jik P 1 d P 2 prtisi pd [, ] deg P 1 < δ d P 2 < δ erkit : U(f ; P) L(f ; P) < ε Teorem 4 [9] Jik f teritegrl Riem pd [, ], mk fugsi f terts pd [, ]. Teorem 5 [9] Jik f teritegrl Riem pd [, ], mk ili itegrly tuggl. Teorem 2.10 (Lier - Pejumlh) [9] Jik f, g ε R[, ] d (f + g) ε R[, ], mk : (f + g)(x)dx = f(x)dx Teorem 6 (Lier Perkli terhdp Kostt) [9] Jik f, g ε R[, ] d cf ε R[, ], mk : cf(x)dx = c f(x)dx 7. Metodologi Peeliti + g(x)dx Metode yg diguk dlh metode litertur. Deg lgkh-lgkh peeliti segi erikut : ) Mecri thu kriteri pegitegrl Riem-Stieltjes. ) Mempeljri sift-sift dsr Itegrl Riem-Stieltjes. c) Meemuk huug tr Itegrl Riem Itegrl Riem-Stieltjes. d) Memerik cotoh sol fugsi yg teritegrl Riem-Stieltjes d fugsi yg tidk teritegrl Riem-Stieltjes. 8. Hsil d Pemhs 8.1 Jumlh Riem-Stieltjes Ats d Riem-Stieltjes Bwh Defiisi 5 f dlh fugsi ilg rel pd itervl tertutup I = [, ] d α dlh sutu fugsi mooto ik yg terdefiisi pd itervl I deg P merupk prtisiy, jik : M i = sup {f(x) x ε [x i 1, x i ]}, d m i = if {f(x) x ε [x i 1, x i ]} Seljuty Jumlh Riem-Stieltjes Ats d Jumlh Riem-Stieltjes Bwh fugsi f terhdp α terkit deg prtisi P, diytk deg : U(f, α ; P) = M i (α(x i ) α(x i 1 )), d

5 JdC, Vol. 6, No. 1, Mret L(f, α ; P) = m i (α(x i ) α(x i 1 )) Lemm 2 Dierik f dlh sutu fugsi yg terts d terdefiisi pd [, ] d α dlh fugsi yg mooto ik pd [, ]. P = { = x 0, x 1, x 2,..., x = } merupk serg prtisi pd [, ], mk erlku : L(f, α ; P) U(f, α ; P) Teorem 7 Mislk f dlh sutu fugsi yg terts d terdefiisi pd [, ] d α dlh fugsi yg mooto ik pd [, ]. Jik P 1 d P 2 serg prtisi pd [, ] deg P 1 P 2, mk erlku: L(f, α ; P 1 ) U(f, α ; P 2 ) 8.2 Itegrl Riem-Stieltjes Defiisi 6 f dlh fugsi kotiu dri ilg rel yg terts pd itervl tertutup I = [, ] d α dlh sutu fugsi mooto ik yg terdefiisi pd itervl I deg P merupk prtisiy. Mk itegrl Riem-Stieltjes Ats d itegrl Riem-Stieltjes Bwh didefiisik segi erikut : U(f, α) = f dα = if{u(f, α ; P) P ε R α [, ]} d L(f, α) = f dα = sup{l(f, α ; P) P ε R α [, ]} Teorem 8 Mislk f dlh sutu fugsi yg terts d terdefiisi pd [, ] d α dlh fugsi yg mooto ik pd [, ]. Jik fugsi f teritegrl Riem-Stieltjes Ats d Riem-Stieltjes Bwh pd itervl [, ], mk: f dα f dα Defiisi 7 Dierik f fugsi ilg rel yg terts pd itervl tertutup I = [, ] d α dlh sutu fugsi mooto ik yg terdefiisi pd itervl I. Jik f dα = f dα, mk fugsi f diktk teritegrl Riem-Stieltjes d diotsik deg : f dα Teorem 9 (Kriteri Pegitegrl Riem-Stieltjes) Dikethui fugsi f ε R α [, ] terts d α dlh sutu fugsi mooto ik yg terdefiisi pd itervl I. Fugsi f teritegrl Riem-Stieltjes pd [, ] jik d hy jik utuk setip ilg ε > 0 terdpt ilg δ > 0 d d prtisi P yg memgi [, ] sedemiki sehigg : U(f, α ; P) L(f, α ; P) < ε 8.3 Sift Dsr Itegrl Riem-Stieltjes Ad eerp teorem dsr yg mejmi hw fugsi erili rel yg memiliki sift tertetu k teritegrl Riem-Stieltjes, sift yg k dihs di dlm skripsi ii ditry ilh sift kotiu, mooto ik d kelier fugsi itegrl Riem-Stieltjes. Teorem 10 Jik f kotiu pd [, ] d α mooto ik pd [, ], mk f teritegrl Riem-Stieltjes.

6 6 Pirde, Murug, Titley Itegrl Riem-Stieltjes pd. Teorem 11 Jik f mooto pd [, ] d α kotiu d mooto ik pd [, ], mk f teritegrl Riem-Stieltjes. Teorem 12 (Lier Pejumlh) Jik f, g ε R α [, ] d f + g ε R α [, ], mk : (f + g) dα = f dα + g dα Teorem 13 (Lier Perkli terhdp Kostt) Jik f ε R α [, ] d cf ε R α [, ] utuk c serg ili kost, mk erlku: cf dα = c f dα Teorem 14 Jik f ε R α [, ] dim c dlh ilg kost d f ε R (cα) [, ], mk : f d(cα) = c f dα 8.4 Huug Atr Itegrl Riem d Itegrl Riem-Stieltjes Teorem 15 Seelumy telh dikethui hw Itegrl Riem-Stieltjes memiliki sift mooto ik, sekrg k ditujukk hw Itegrl Riem jug mempuy sift yg sm, yitu mooto ik. Jik f mooto pd [, ], mk f teritegrl Riem. Jik f ε R[, ] d f ε R α [, ], dim α(x) kost d α() α(), mk : Sift Mooto ik f pd Teorem 4.10 jug merupk sift gi α pd Teorem 4.5. Sift Liier f pd Teorem 4.6 d Teorem 4.7 jug merupk sift gi α pd Teorem 4.6 d Teorem 4.7. Teorem 16 Asumsik α dlh fugsi mooto ik d α ε R pd selg [, ]. Mislk f dlh fugsi erili rel yg terts pd selg [, ]. mk f ε R α [, ] jik hy jik fα ε R[, ]. Atu dlm ksus ii : f dα = f(x)α (x) dx 8.5 Cotoh Fugsi yg Teritegrl Riem-Stieltjes D yg Tidk Teritegrl Riem-Stieltjes Cotoh 1. (Fugsi yg tidk teritegrl Riem-Stieltjes) 1, x ε Q Fugsi (x) = {. D α dlh fugsi yg mooto ik pd [, ], k ditujukk 0, x ε R Q hw f tidk teritegrl Riem-Stieltjes terhdp α. Cotoh 2. (Fugsi yg teritegrl Riem-Stieltjes) 1, x ε Q Fugsi (x) = {. D α dlh fugsi yg mooto ik pd [, ], dim α(x) = 0, x ε R Q r, x ε [, ]. Ak ditujukk hw f teritegrl Riem-Stieltjes terhdp α.

7 JdC, Vol. 6, No. 1, Mret Kesimpul Berdsrk hsil peeliti d pemhs, mk diperoleh kesimpul segi erikut :. Sift-sift dsr yg erlku pd Itegrl Riem-Stieltjes yitu sift kotiu, mooto, lier, semi lier d keterts fugsi.. Pd umumy sift-sift yg erlku pd itegrl Riem, erlku jug utuk itegrl Riem-Stieltjes. Itegrl Riem-Stieltjes ekuivle deg itegrl Riem jik α(x) = x, d dpt direduksi mejdi itegrl Riem ketik α mempuyi turu d terts pd itervl teruk (, ). 10. Dftr Pustk [1] Brtle, R. G., d D. R. Sherert Itroductio to Rel Alysis : Third Editio. Joh Willey & Sos, Ic, 605 Third Aveue. New York. [2] Sri, S. G Itegrl Riem-Stieltjes Dri Fugsi Berili Vektor. Uiversits Pedidik Idoesi. [3] Jco, C Kostruksi Sistem Bilg Rel. Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/ CORNELIS_JACOB/KONSTRUKSI_BIL_REAL.pdf. [ 9 Septemer 2016 ]. [4] Vrerg, D., E. J. Purcell, S. E. Rigdo Klkulus Edisi Kesemil. Terjemh I Nyom Susil. Erlgg. Jkrt. [5] Negoro, S. T., d B. Hrhp Esiklopedi Mtemtik :Fugsi d Itegrl. Ghli Idoesi. [6] Ret, W B-7 Mteri Itegrl Reim Mt Kulih Alisis Rel 2. [ 1 Jui, 2016 ]. [7] Toiri, d Herw Itegrl Droux. [ 5 Septemer 2016 ]. [8] Juhri, M. A., dkk Pegtr Alisis Rel : Itegrl Riem. Fkults Sis d Tekologi Uiversits Islm Negeri Su Klijg. Yogykrt. [9] Muslich, Sutrim, d S. Wiowo Defiisi Itegrl Riem Mellui Pedekt Bris Fugsi Tgg. Prosidig