DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA

Transkripsi

1 DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA Muslih 1), Sutrim 2) d Supriydi Wiowo 3) 1,2,3) Jurus Mtemtik FMIPA UNS, muslih_mus@yhoo.om, zutrim@yhoo.om, supriydi_w@yhoo.o.id Astrk Peryt iimpliksi f: [, ] R teritegrl Riem pd [, ] ditulis f R[, ] jik d hy jik terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sehigg φ f φ utuk semu d lim ( φ φ ) 0 dpt digkt segi defiisi deskriptif itegrl Riem. Dri peryt terseut dihs sift-sift itegrl terkit d diperoleh hsil tr li (i) R[, ] merupk rug lier d (ii) setip fugsi tgg, fugsi kotiu d fugsi mooto dlh teritegrl Riem. Kt Kui: fugsi tgg, itegrl Riem, limit ris fugsi. 1. PENDAHULUAN Brtle (1994) medeskripsik itegrl Riem deg kosep erikut, fugsi terts f: [, ] R diktk teritegrl Riem pd [, ] ditulis deg f R[, ] jik d hy jik I=J tu ili itegrl wh Riem sm deg ili itegrl ts Riem fugsi f pd R[, ]. Deg diperkelk kosep terseut diperoleh eerp sift terkit segim pd pemhs teori itegrl pd umumy, seperti Gordo (1994) dlm pemhs sift-sift dsr dri itegrl dekriptif Leesgue, itegrl kostruktif MShe mupu itegrl kostruktif Hestok. Demiki jug pemhs itegrl Hestok oleh Lee Peg Yee (1989). Berdsrk pd itegrl MShe terseut, Je Myug Prk et l. (2010) jug erhsil megkostruksi itegrl M α fugsi erili rel f: [, ] R deg memhs sift-sift itegrl terkit. Hl ii diljutk oleh Muslih (2012) deg pemhs sift-sift itegrl kostruktif M α fugsi di rug erdimesi tu R. Peeliti teori itegrl erjl terus seperti hly Lee Peg Yee d Rudolf Vyore (2000) dlm tulisy memerik sutu prolem (ope prolem) tetg kosep itegrl Riem deg versi ed yitu hw fugsi f: [, ] R teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sehigg φ f φ utuk semu = 1,2,3, d erlku lim ( φ φ ) 0. Dri prolem terseut peulis erkeigi memuktik peryt iimpliksi Lee Peg Yee d Rudolf Vyore (2000) d seljuty megkji sift-sift itegrl Riem terkit. Koferesi Nsiol Peeliti Mtemtik d Pemeljry (KNPMP I) 769 Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 12 Mret 2016

2 2. METODE PENELITIAN Dierik fugsi terts f: [, ] R d prtisi P = { = x 0, x 1, x 2,, x = } π[, ]. Didefiisik m i = if {f(x): x [x i 1, x i ]} d M i = sup {f(x): x [x i 1, x i ]} Utuk setip = 1,2,3, dikotruksik fugsi tgg φ (x) = m i K [xi 1,x i ](x) P π[, ] φ (x) = m i K [xi 1,x i ](x): P π[, ] deg K [xi 1,x i ](x) dlh fugsi krkteristik pd [, ] yg ersesui deg prtisi P = { = x 0, x 1, x 2,, x = } π[, ] d otsi I = sup { m i (x i x i 1 ): P π[, ] }=sup{ φ : φ f} = f J = if { M i (x i x i 1 ): P π[, ] }=if{ φ : φ f} = f erturut-turut diseut itegrl wh Riem d itegrl ts Riem fugsi f pd R[, ]. Utuk keperlu pemhs terdpt eerp rujuk peryt tr li oleh Brtle (1994) dlm etuk teorem mupu defiisi erikut. Teorem 2.1 Jik f: [, ] R kotiu pd [, ] mk utuk setip ε > 0 terdpt fugsi tgg φ pd [, ] sehigg f(x) φ(x) < ε.. Defiisi 2.2. Dierik fugsi terts f: [, ] R. Fugsi f teritegrl Riem pd [, ] ditulis f R[, ] jik I = f Koferesi Nsiol Peeliti Mtemtik d Pemeljry (KNPMP I) 770 Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 12 Mret 2016 = f = J. Kosep fugsi tgg d Defiisi 2.2 diguk utuk memuktik keer peryt iimpliksi Lee Peg Yee d Rudolf Vyrore (2000), sedgk Teorem 2.1 diguk utuk meujukk setip fugsi kotiu dlh teritegrl Riem. Seljuty deg teruktiy keer peryt iimpliksi yg meytk fugsi f: [, ] R teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sehigg φ f φ utuk semu = 1,2,3, d erlku lim ( φ φ ) 0 dlm mtemtik lisis dpt digkt mejdi seuh defiisi. Lgkh erikutmy dlh megkji eerp sift terkit huugy deg keitegrl Riem erdsrk pd peryt iimpliksi Lee Peg Yee d Rudolf Vyrore (2000) terseut yg tertulis dlm Teorem HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Teorem 3.1 erikut merupk peryt iimpliksi dri Lee Peg Yee d Rudolf Vyrore (2000) yg merupk prolem yg k diuktik keery. Peryt iimpliksi terseut erhuug deg mslh keitegrl Riem mk iimpliksi itu dpt digkt segi defiisi deskriptif utuk itegrl Riem.

3 Teorem 3.1. Dierik fugsi terts f: [, ] R. Fugsi f teritegrl Riem pd [, ] ditulis f R[, ] jik d hy jik terdpt ris ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sehigg φ f φ utuk semu d lim ( φ φ ) 0. Bukti: 1. Syrt perlu. Dikethui f R[, ] meurut Defiisi 2.2 mk erlku I = f= f = J, deg I = f = sup { m i (x i x i 1 ): P π[, ] } J = f = if { M i (x i x i 1 ): P π[, ] } Utuk setip = 1,2,3, didefiisik fugsi tgg φ (x) = m i K [xi 1,x i ](x) sesui P π[, ] φ (x) = M i K [xi 1,x i ](x) sesui P π[, ] dim K [xi 1,x i ](x) dlh fugsi krkteristik pd [, ] yg ersesui deg P π[, ]. Kre utuk setip x [x i 1, x i ] erlku m i f(x) M i, 1 i mk φ f φ utuk semu = 1,2,3, d erlku lim ( φ φ ) = lim (M i m i ) K [xi 1,x i ](x)dx = i f{ M i (x i x i 1 ): P π[, ] } sup { m i (x i x i 1 ): P π[, ] } = i f{ φ : φ f} su p{ φ : φ f} =( f f) Syrt ukup. Dri hipotesis terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sehigg φ f φ utuk semu = 1,2,3, d lim ( φ φ ) 0. Mislk fugsi tgg φ d φ pd [, ] erturut-turut dlh φ (x) = i K [xi 1,x i ](x) sesui P π[, ] d i kost, φ (x) = C i K [xi 1,x i ](x) sesui P π[, ] d C i kost. Kre f mk i f Ci utuk semu = 1,2,3, d erlku lim ( φ φ ) = lim (C i i ) K [xi 1,x i ](x)dx = lim C i K [xi 1,x i ](x)dx lim i K [xi 1,x i ](x)dx = if { C i (x i x i 1 ): P π[, ] } sup { i (x i x i 1 ): P π[, ] } 0 i f { C i (x i x i 1 ): P π[, ] } = sup { i (x i x i 1 ): P π[, ] } i f { φ : φ f} = sup { φ : φ f} Koferesi Nsiol Peeliti Mtemtik d Pemeljry (KNPMP I) 771 Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 12 Mret 2016

4 f = f Berkit J = I, meurut Defisi 2.2 mk f R[, ]. Deg demiki teorem terukti. Teorem 3.2 R[, ] merupk rug lier yitu jik f, g R[, ] d α, β R mk αf + βg R[, ] d erlku (αf + βg) = α f + β g. Bukti: Kre f d g teritegrl Riem pd [, ] mk terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sedemiki higg φ f φ d erlku lim ( φ φ ) 0, d ris fugsi tgg tgg < φ > d < φ > pd [, ] sedemiki higg φ g φ d erlku lim ( φ φ ) 0. Diperoleh lim ( αφ + βφ ) (αφ + βφ ) = α lim ( φ φ ) + βlim ( φ φ ) 0 Meurut Teorem 3.1 mk αf + βg R[, ] d erlku (αf + βg) = lim ( αφ + βφ ) = α lim φ + β lim φ = α f + β g. = α sup { φ : φ fugsi tgg, φ f} Koferesi Nsiol Peeliti Mtemtik d Pemeljry (KNPMP I) 772 Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 12 Mret β sup { φ : φ fugsi tgg, φ g} = α f + β g Deg demiki teorem terukti. Teorem 3.3 Jik f: [, ] R fugsi tgg mkf R[, ]. Bukti: Utuk setip = 1,2,3, didefiisik fugsi tgg φ = φ = f mk erlku φ f φ d erkit lim ( φ φ ) 0. Meurut Teorem 3.1 mk f R[, ]. Deg demiki teorem terukti. Teorem 3.4 Jik f: [, ] R kotiu mk f R[, ]. Bukti: Kre f kotiu pd [, ] mk meurut Teorem 2.1 utuk setip ilg = 1,2,3, terdpt fugsi tgg s pd [,] sehigg erlku f(x) s (x) < 1 d erkit s (x) 1 < f(x) < s (x) + 1. Utuk setip = 1,2,3, didefiisik fugsi tgg φ (x) = s (x) 1 d φ (x) = s (x) + 1 jels hw φ f φ d erlku lim ( φ φ ) = lim (( s + 1 ) (s 1 ))

5 2 = lim dx = lim 2 ( ) 0. Meurut Teorem 3.1 mk f R[, ]. Jdi teorem terukti. Teorem 3.5 Dierik fugsi f: [, ] R. Jik f mooto pd [,] mk f R[, ]. Bukti: Diuktik utuk f fugsi mooto ik, sedgk utuk f mooto turu diuktik ser log. Utuk setip = 1,2,3, didefiisik prtisi P = { = x 0, x 1, x 2,, x = } deg x i x i 1 =. Dimil m i = f(x i 1 ) d M i = f(x i ) d didefiisik fugsi tgg φ (x) = m i K [xi 1,x i ](x) = f(x i 1 ) K [xi 1,x i ](x) φ (x) = M i K [xi 1,x i ](x) = f(x i ) K [xi 1,x i ](x) Jels hw φ f φ d erlku lim ( φ φ ) = lim (M i m i )(x i x i 1 ) = lim (f(x i) f(x i 1 )) = lim (f() f() 0. Meurut Teorem 3.1 mk f R[, ] Jdi teorem terukti. Teorem 3.6 Dierik fugsi f, g: [, ] R Jik f d g teritegrl Riem pd [, ] deg f g mk f g. Bukti: Kre f d g teritegrl Riem pd [, ] mk terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sedemiki higg φ f φ d ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sedemiki higg φ g φ. Jdi sup { φ : φ fugsi tgg, φ f erkit f [, ] mk f g = f demiki teorem terukti. } sup { φ : φ fugsi tgg, φ g. Berdsrk sumsi f d g teritegrl Riem pd d g = g. Berkit f } g. Deg Teorem 3.7 Dierik fugsi f: [, ] R terts d (, ). Fugsi f teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik f teritegrl Riem pd [, ] d [, ] d erlku f = f + f. Bukti: (1) Syrt perlu. Kre f teritegrl Riem pd [, ] mk terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sedemiki higg φ f φ d erlku lim ( φ φ ) 0. Jels hw φ f φ pd [, ] d erlku lim ( φ φ ) 0 d φ f φ Koferesi Nsiol Peeliti Mtemtik d Pemeljry (KNPMP I) 773 Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 12 Mret 2016

6 pd [, ] d erlku lim ( φ φ ) 0. Deg demiki fugsi f teritegrl Riem pd [, ] d [, ] d erlku f = sup { φ : φ fugsi tgg, φ f} = sup{ φ : φ fugsi tgg, φ f} + sup { φ : φ fugsi tgg, φ f} = f + f. (2) Syrt ukup. Meurut hipotes f teritegrl Riem pd [, ]d [, ] mk terdpt ris fugsi tgg < φ 1 > d < φ 1 > pd [, ] sedemiki higg φ 1 f φ 1 d erlku lim ( φ 1 φ 1 ) 0 d terdpt ris fugsi tgg < φ 2 > d < φ 2 > pd [, ] sedemiki higg φ 2 f φ 2 d erlku lim ( φ 2 φ 2 ) 0. Didefiisik ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] deg φ (x) = { φ 1(x), x [, ) φ 2 (x), x [, ] d φ (x) = { φ 2(x), x [, ) φ 2 (x), x [, ] mk φ f φ pd [, ] d erlku lim ( φ φ ) = lim ( φ 1 φ 1 ) + lim ( φ 2 φ 2 ) 0 Meurut Teorem 3.1 mk f R[, ] d erlku f + f = sup { φ 1 : φ 1 fugsi tgg, φ 1 f} + sup { φ 2 : φ 2 fugsi tgg, φ 2 f} = sup { φ : φ fugsi tgg, φ f}= f. Jdi teorem terukti. Itegrl Riem telh dikel segi itegrl tipe kostruktif. Nmu pd tulis ii semu pemhs itegrl Riem didekti mellui ris fugsi tgg. Tepty pemhs itegrl Riem mellui keer iimpliksi yg meytk hw fugsi f teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sehigg φ f φ utuk semu d lim ( φ φ ) 0 is dijdik seuh defiisi deskriptif utuk itegrl Riem. Hl demiki memh r pdg dlm pemhs itegrl Riem deg pedekt model ru ser deskriptif. 4. SIMPULAN Peryt iimpliksi hw fugsi f teritegrl Riem pd [, ] jik d hy jik terdpt ris fugsi tgg < φ > d < φ > pd [, ] sehigg φ f φ utuk semu d lim ( φ φ ) 0 dpt digkt segi defiisi deskriptif itegrl Riem. Berdsrk Koferesi Nsiol Peeliti Mtemtik d Pemeljry (KNPMP I) 774 Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 12 Mret 2016

7 pemhs diperoleh hsil tetg sift-sift itegrl terkit tr li (i) R[, ] merupk rug lier d (ii) setip fugsi tgg, fugsi kotiu d fugsi mooto dlh teritegrl Riem. 5. DAFTAR PUSTAKA Brtle, R. G. (1994). Itrodutio to Rel Alysis. Seod Editio, Joh Willey & Sos, Sigpore. Gordo, R. A. (1994). The Itegrls of Leesgue, Dejoy, Perro, d Hestok. Grdute Studies i Mthemtis. Volume 4. Ameri Mthemtil Soiety. Je Myug Prk, Hyug Wo Ryu, d Hoe Kyug Lee, (2010). The-M α Itegrl. Jourl of The Chugheog Mthemtil Soiety. 23(1), Lee Peg Yee. (1989). Lzhou Letures o Hestok Itegrtio. Series i Rel Alysis Vo.2. World Sietifi, Sigpore. Lee Peg Yee d Rudolf Vyory. (2000). Itegrl: A Esy Approh After Kurzweil Ad Hestok. Uiversity Press, Cmridge. Muslih. (2012). Lemm Hestok pd Itegrl M α di Rug Berdimesi-. Prosidig Koferesi Nsiol Mtemtik XVI. Diseleggrk oleh FMIPA UNPAD Bdug, ISBN: , 18 Juli 2012 (hl ). Koferesi Nsiol Peeliti Mtemtik d Pemeljry (KNPMP I) 775 Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 12 Mret 2016