BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. 3.1 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real
|
|
|
- Devi Tanuwidjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES 3.1 Itegrl Riem-Stieltjes dri Fugsi Berili Rel Pd seelumy telh dihs megei eerp kosep dsr, dim kosep-kosep ii merupk slh stu teori pedukug yg tiy k erper segi slh stu lt tu utuk memuktik eerp teorem ik yg d pd pemhs ii mupu pd seljuty. Adpu pd ii secr gris esr k dihs megei defiisi dri itegrl Riem Stieltjes esert sift-sift umumy. Seperti pd pemhs itegrl Riem, utuk meujukk keerd itegrl Riem-Stieltjes dri sutu fugsi yg erkit deg jumlh ts d jumlh wh sert itegrl ts d itegrl wh dri fugsi terseut, diperluk kodisi perlu d cukup segi erikut. Defiisi Mislk f dlh sutu fugsi yg terts d terdefiisi pd itervl tutup I [, ], α dlh sutu fugsi mooto ik yg tedefiisi pd itervl tutup I, d P merupk prtisi dri I. Jik M i = sup f x x x i 1, x i d m i = if f x x x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
2 mk jumlh Riem-Stieltjes ts dri f terhdp α pd I diotsik deg U P; f, α d didefiisik segi U P; f, α = M i α i d jumlh Riem-Stieltjes wh dri f terhdp α pd I diotsik deg L P; f, α d didefiisik segi L P; f, α = m i α i dim α i = α x i α x i 1. Dlm hl ii perlu diigt hw erdsrk defiisi di ts jels hw m i M i d α dlh fugsi mooto ik pd I, sehigg α i 0. Oleh kre itu, seperti pd itegrl Riem yg telh di hs pd II, pd itegrl Riem-Stieltjes jug erlku L P; f, α U P; f, α Peryt ii secr leih forml k diuktik dlm teorem setelh defiisi erikut. Defiisi Mislk P d P merupk semrg prtisi dri itervl I [, ]. Prtisi P diseut peghlus ( refiemet ) dri P jik P P. Seljuty jik dierik du serg prtisi liy dri itervl I [, ] ktklh P 1 d P 2, mk P diseut peghlus ersm dri P 1 d P 2 jik P = P 1 P 2. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
3 Peryt hw prtisi P diseut peghlus dri prtisi P megdug rti hw prtisi P leih hlus tu deg kt li leih ik dri prtisi P. Dlm hl ii mksudy dlh hw setip titik prtisi dri P jug merupk sutu titik dri prtisi P. Teorem Mislk f dlh fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I [, ] d α dlh fugsi mooto ik pd I. ) Jik P prtisi dri I, mk m α α L P; f, α U P; f, α M α α ) Jik prtisi P dlh peghlus dri prtisi P, mk Bukti : L P; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P; f, α ) Dikethui f dlh fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I [, ], ii errti f terts di ts d terts di wh pd I. Mislk M = sup f x x, d m = if f x x,. Jik I i, i = 1,2,, dlh serg suprtisi dri prtisi P pd I, mislk M i = sup f x x x i 1, x i d m i = if f x x x i 1, x i, mk I i I, i = 1,2,,. Sehigg diperoleh m m i M i M Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
4 Perhtik α i = α x 1 α x 0 + α x 2 α x α x α x 1 = α x α x 0 = α α kre α dlh fugsi mooto ik pd I, mk α x i α x i 1 0, i = 1,2,,. kity m α α = m α x i α x i 1 m i α x i α x i 1 = L P; f, α M i α x i α x i 1 = U P; f, α M α α deg demiki m α α L P; f, α U P; f, α M α α ) Mislk prtisi P dlh peghlus dri prtisi P di, dim P hy memut stu titik leih yk dri prtisi P, ktklh titik itu Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
5 dlh x, dim x i 1 < x < x i sert x i 1 d x i merupk titik dri prtisi P yg slig erdekt. seljuty mislk m i = if f x x x i 1, x i dim m i = if f x x x i 1, x m i = if f x x x, x i deg demiki jels hw m i m i d m i m i perhtik L P; f, α = m i α x i α x i 1 j 1 = m i α x i α x i 1 + m j α x j α x j 1 + m i i=j +1 α x i α x i 1 j 1 = m i α x i α x i 1 + m j α x α x j 1 +m j α x j α x + m i i=j +1 α x i α x i 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
6 j 1 m i α x i α x i 1 + m j α x α x j 1 +m j α x j α x + m i i=j +1 α x i α x i 1 = L P ; f, α deg megguk rgumetsi iduksi mtemtik terhdp yky titik tmh pd prtisi peghlus P, mk dpt disimpulk hw L P; f, α L P ; f, α 1 seljuty mislk M i = sup f x x x i 1, x i dim M i = sup f x x x i 1, x M i = sup f x x x, x i deg demiki jels hw M i M i d M i M i perhtik U P; f, α = M i α x i α x i 1 j 1 = M i α x i α x i 1 + M j α x j α x j 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
7 + M i i=j +1 α x i α x i 1 j 1 = M i α x i α x i 1 + M j α x α x j 1 +M j α x j α x + M i i=j +1 α x i α x i 1 j 1 M i α x i α x i 1 + M j α x α x j 1 +M j α x j α x + M i i=j +1 α x i α x i 1 = U P ; f, α deg rgumetsi iduksi mtemtik terhdp yky titik tmh pd prtisi peghlus P, mk dpt disimpulk hw U P; f, α U P ; f, α 2 erdsrk ), 1, d 2, mk dpt disimpulk hw L P; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P; f, α Defiisi Mislk f dlh fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I [, ], P dlh serg prtisi dri I, d α dlh fugsi mooto ik yg terdefiisi pd I. Mk itegrl Riem-Stieltjes ts d wh secr ersm didefiisik segi erikut Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
8 f dα = if U P; f, α d f dα = sup L P; f, α Jik f dα = f dα, mk f diktk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α pd I d ili itegrly diotsik deg A = f dα tu A = f x dα(x) Hl ii secr tidk lgsug meytk hw jik f teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α pd I, mk erlku f dα = f dα = f dα Seli itu persm di ts jug meytk hw ili dri itegrly ersift tuggl. Dlm hl ii, fugsi f diseut itegr d fugsi α diseut itegrtor. Deg demiki jik didigk deg itegrl Riem yg telh dihs pd II, mk itegrl Riem-Stieltjes merupk perumum dri etuk itegrl Riem. Atu deg kt li itegrl Riem dlh ksus khusus dri itegrl Riem-Stieltjes, yki dim st fugsi f diktk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp fugsi α pd I, ii tid li megtk hw fugsi f diktk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp x pd I. Sehigg ketik didefiisik α x = x, mk kity α x i = x i d α x i 1 = x i 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
9 α i x = α x i α x i 1 = x i x i 1 = x i Oleh kre itu, dlm ksus ii itegrl Riem-Stieltjes d itegrl Riem dlh ekivle. Berjk dri pemhs megei keterkit tr itegrl Riem- Stieltjes d itegrl Riem, perlu ditegsk hw jik diliht kemli isi dri teorem ) d defiisi di ts, ii mejmi hw jumlh Riem-Stieltjes ts d jumlh Riem-Stieltjes wh secr ersm-sm terts di ts d terts di wh, seli itu jug mejmi hw supremum d ifimum dri jumlh Riem-Stieltjes d, uik, d memeuhi pertidksm m α α f dα M α α d m α α f dα M α α Kemudi segi ls kerigks gr tidk sellu diseutk dlm setip pemhs, mk f k disumsik segi fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I d α dlh fugsi mooto ik pd I. Seli itu, himpu semu fugsi yg teritegrlk Riem-Stieltjes ktklh terhdp fugsi α pd I k diotsik deg R α,. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
10 3.2 Sift-Sift Itegrl Riem-Stieltjes dri Fugsi yg Berili Rel Di wh ii dlh eerp sift dri itegrl Riem-Stieltjes yg k ditugk ke dlm teorem segi erikut. Teorem Jik f fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I, d α dlh fugsi mooto ik pd I, mk f dα f dα Bukti : Mislk prtisi P dlh peghlus dri prtisi P 1 d P 2. Berdsrk teorem ) diperoleh L P 1 ; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P 1 ; f, α d L P 2 ; f, α L P ; f, α U P ; f, α U P 2 ; f, α kity L P 1 ; f, α U P 2 ; f, α (1) seljuty pilih titik-titik supremum dri f pd prtisi P 1 sedemiki sehigg L P 1 ; f, α = sup L P 1 ; f, α d pilih titik-titik ifimum dri f pd prtisi P 2 sedemiki sehigg U P 2 ; f, α = if U P 2 ; f, α kre sup L P 1 ; f, α = f dα (2) Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
11 d if U P 2 ; f, α = f dα (3) mk erdsrk (1), (2), d (3) diperoleh f dα f dα Seljuty erikut dlh teorem yg k serig diguk utuk memuktik pkh sutu fugsi yg erili rel teritegrlk Riem- Stieltjes tu tidk. Deg kt li, teorem ii is diseut segi lt ltertif li seli defiisi utuk medeteksi kodisi sutu fugsi pkh teritegrlk Riem-Stieltjes tu tidk. Teorem ( Kriteri Pegitegrl ) Misl f fugsi erili rel yg terts d terdefiisi pd I, d α dlh fugsi mooto ik pd I, mk f R α, jik d hy jik utuk setip ε > 0, d prtisi P dri I sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < ε Bukti : Mislk f R α, d dierik serg ε > 0. Jik dlh himpu semu prtisi dri I, mk f dα = if p U P ; f, α f dα = sup p L P ; f, α deg demiki d P 1 sedemiki sehigg Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
12 f dα < U P 1 ; f, α < f dα + ε 2 d d P 2 sedemiki sehigg sehigg diperoleh f dα ε 2 < L P 2 ; f, α < f dα U P 1 ; f, α f dα < ε 2 f dα L P 2 ; f, α < ε seljuty mislk P dlh prtisi peghlus dri P 1 d P 2. Jik diguk teorem ) terhdp ketidksm 1 d 2, mk diperoleh sehigg U P ; f, α U P 1 ; f, α < f dα + ε 2 U P ; f, α f dα < ε 2 3 d diperoleh f dα < L P 2 ; f, α + ε 2 L P ; f, α + ε 2 sehigg f dα L P ; f, α < ε 2 4 deg demiki Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
13 U P ; f, α L P ; f, α = U P ; f, α f dα + f dα L P ; f, α < ε 2 + ε 2 = ε jdi terukti hw U P ; f, α L P ; f, α < ε Mislk f terts pd I d α dlh fugsi mooto ik pd I. Amil serg ε > 0, mk d prtisi P dri I sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < ε 1 erdsrk teorem d 3.2.1, mk diperoleh kre (1) kity L P; f, α f dα f dα U P; f, α 0 f dα f dα < ε, ε > 0 ii errti f dα f dα = 0 sehigg f dα = f dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
14 deg demiki dpt disimpulk hw f R α,. Seli dri teorem kriteri pegitegrl di ts, erikut jug terdpt eerp teorem yg k mejmi hw fugsi erili rel yg memiliki sift tertetu yki sift yg tiy k dihs pd teorem-teorem seljuty, k teritegrlk Riem-Stieltjes. Hl ii dpt dideteksi secr lgsug tp perlu megethui erp ili dri itegrl terseut tupu gim cr meghitugy. Teorem Jik f kotiu pd, d α mooto ik pd,, mk f R α,. Bukti : Kre f kotiu pd selg tutup,, mk erdsrk teorem f kotiu sergm pd,. Ii errti ε > 0, δ ε > 0, sedemiki sehigg jik x, y I deg x y < δ, mk f(x) f(y) < ε α α seljuty mislk P serg prtisi dri, deg x i x i 1 < δ, M i = f s i, d m i = f t i utuk s i, t i x i 1, x i. Perhtik U P; f, α L P; f, α = M i α x i α x i 1 m i α x i α x i 1 = M i m i α x i α x i 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
15 = f s i f t i α x i α x i 1 < ε α α α x i α x i 1 = ε α α α x i α x i 1 = ε α α α α = ε hl ii meujukk hw U P; f, α L P; f, α < ε sehigg erdsrk teorem kriteri pegitegrl 3.2.2, mk f R α,. Teorem Jik f mooto pd, d α kotiu d mooto ik pd,, mk f R α,. Bukti : Dikethui f mooto pd, d α kotiu d mooto ik pd,. Amil serg ε > 0 d mislk utuk serg ilg ult positif erlku α α f f < ε kre α kotiu d mooto ik pd,, pilih prtisi P dri, sedemiki sehigg α i = α x i α x i 1 = α α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
16 i) Ksus jik f mooto ik kre f mooto ik pd,, mk i N erlku f x i = M i = sup f x f x i 1 = m i = if f x x x i 1, x i x x i 1, x i sehigg U P; f, α L P; f, α = M i α i m i α i = (M i m i ) α i = f x i f x i 1 α x i α x i 1 = f x i f x i 1 α α = α α f x i f x i 1 = α α f f < α α ε α α = ε ii errti U P; f, α L P; f, α < ε Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
17 i) Ksus jik f mooto turu kre f mooto turu pd,, mk i N erlku f x i 1 = M i = sup f x f x i = m i = if f x x x i 1, x i x x i 1, x i sehigg U P; f, α L P; f, α = M i α i m i α i = (M i m i ) α i = f x i 1 f x i α x i α x i 1 = f x i 1 f x i α α = α α f x i 1 f x i = α α f f < α α ε α α = ε ii errti U P; f, α L P; f, α < ε erdsrk i) d ii) mk diperoleh hw U P; f, α L P; f, α < ε Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
18 Deg demiki erdsrk kriteri pegitegrl dpt disimpulk hw f R α, Teorem Jik dikethui f R α,, m f M, g kotiu pd,, d = g f x pd, mk R α,. Bukti : Mislk = g f, k ditujukk hw R α, Amil serg ε > 0 kre g kotiu pd m, M, erdsrk teorem mk g kotiu sergm pd m, M. Oleh kre itu, d δ > 0 dim δ < ε sedemiki sehigg utuk setip s, t m, M d s t < δ, mk g(s) g(t) < ε 1 seljuty kre f R α pd,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < δ 2 2 mislk M i = sup f x, ( x i 1 x x i ) m i = if f x, ( x i 1 x x i ) M i = sup x, ( x i 1 x x i ) m i = if x, ( x i 1 x x i ) Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
19 seljuty defiisik A = i i 1,2,, B = i i 1,2,, M i m i < δ M i m i δ erdsrk sift urut ilg rel c) ( tur trikhotomi ), jels hw A B = seljuty perhtik jik i A, mk utuk serg u, v x i 1, x i mk f(u) f(v) < δ, kity erdsrk (1) diperoleh g(f(u)) g(f(v)) < ε deg kt li (u) (v) < ε deg demiki M i m i < ε jik i B, mk (2) megkitk δ i B α i M i m i i B α i = M i m i α i i B = M i α i m i α i i B i B U P ; f, α L P ; f, α < δ 2 deg demiki δ α i < δ 2 i B Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
20 kre δ < ε, mk dpt disimpulk hw i B α i < ε kity jik K = sup g t m t M mk diperoleh M i m i 2K, i 1,2,, sehigg i B M i m i α i = M i m i i B α i < 2Kε seljuty pilih ε 0 = kemudi perhtik ε α α +2K U P ;, α L P ;, α = M i α i + m i α i = M i m i α i = M i m i α i + M i m i α i i A i B = M i m i α i + M i m i α i i A i B < ε 0 α α + 2Kε 0 = ε 0 α α + 2K = ε deg demiki U P ;, α L P ;, α < ε, ii errti erdsrk kriteri pegitegrl dpt disimpulk hw R α,. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
21 Sift liy yg dimiliki oleh itegrl Riem Stieltjes dlh sift ljr segi erikut. Teorem Jik f, g R α,, mk f + g R α, d f + g dα = f dα + g dα Sift ii diseut deg sift lier. Bukti : Amil serg prtisi P dri, kre f d g dlh fugsi yg terts pd I, mk f d g terts di ts d di wh pd I. Seljuty mislk M f = sup f x x, M g = sup f x x, M i f = sup f x x x i 1, x i M i g = sup g x x x i 1, x i kre M i M, mk erlku sehigg jik f x + g x M i f + M i g, x x i 1, x i M i f + g = sup f x + g x x x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
22 mk erdsrk teorem ) M i f + g = sup f x + g x x x i 1, x i sup f x x x i 1, x i + sup g x x x i 1, x i = M i f + M i g deg demiki P prtisi dri, erlku U P ; f + g, α U P ; f, α + U P ; g, α 1 seljuty mislk m f = if f x x, m g = if g x x, m i f = if f x x x i 1, x i m i g = if g x x x i 1, x i kre m m i, mk diperoleh sehigg jik m i f + m i g f x + g x, x x i 1, x i m i f + g = if f x + g x x x i 1, x i mk erdsrk teorem ) diperoleh m i f + g = if f x + g x x x i 1, x i if f x x x i 1, x i + if g x x x i 1, x i = m i f + m i g deg demiki P prtisi dri, erlku L P ; f, α + L P ; g, α L P ; f + g, α 2 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
23 kemudi mil serg ε > 0, kre f, g R α, mk d prtisi P f d P g dri, sedemiki sehigg U P f ; f, α L P f ; f, α < ε 2 U P g ; g, α L P g ; g, α < ε 2 seljuty mislk P = P f P g, ii errti P dlh prtisi peghlus dri P f d P g. Deg demiki erdsrk teorem U P ; f, α U P f ; f, α U P ; f, α U P g ; g, α d L P f ; f, α L P ; f, α sehigg diperoleh L P g ; g, α L P ; f, α U P ; f, α L P ; f, α U P f ; f, α L P f ; f, α < ε 2 3 U P ; g, α L P ; g, α U P g ; g, α L P g ; g, α < ε 2 4 perhtik erdsrk 1, 2, 3, d 4, mk U P ; f + g, α L P ; f + g, α = U P f ; f + g, α + U P g ; f + g, α L P f ; f + g, α + L P g ; f + g, α U P f ; f, α + U P g ; g, α L P f ; f, α + L P g ; g, α = U P f ; f, α L P f ; f, α + U P g ; g, α L P g ; g, α < ε 2 + ε 2 = ε Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
24 deg demiki f + g R α,. Seljuty perhtik kre f, g R α,, mk erdsrk defiisi errti f dα = f dα = f dα d g dα = g dα = g dα kre 3 d 4, mk U P ; f, α < L P ; f, α + ε 2 < sup L P ; f, α + ε 2 = f dα + ε 2 = f dα + ε 2 sehigg U P ; f, α < f dα + ε 2 5 egitu pul U P ; g, α < L P ; g, α + ε 2 < sup L P ; g, α + ε 2 = g dα + ε 2 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
25 = g dα + ε 2 sehigg U P ; g, α < g dα + ε 2 6 perhtik f + g dα = if U P ; f + g, α < U P ; f + g, α U P ; f, α + U P ; g, α < f dα + ε 2 + = f dα + g dα + ε 2 g dα + ε deg demiki f + g dα f dα + g dα + ε kre ε > 0 serg, mk erdsrk teorem diperoleh f + g dα f dα + g dα 7 seljuty jik 3 d 4 diklik 1, mk diperoleh L P ; f, α > U P ; f, α ε 2 > if U P ; f, α ε 2 = f dα ε 2 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
26 = f dα ε 2 sehigg L P ; f, α > f dα ε 2 8 egitu pul L P ; g, α > U P ; g, α ε 2 > if U P ; g, α ε 2 = g dα ε 2 = g dα ε 2 sehigg L P ; g, α > g dα ε 2 9 perhtik f + g dα = sup L P ; f + g, α > L P ; f + g, α L P ; f, α + L P ; g, α > f dα ε 2 + = f dα + g dα ε 2 g dα ε deg demiki Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
27 f + g dα > f dα + g dα ε kre ε > 0 serg, mk erdsrk teorem diperoleh f + g dα f dα + g dα 10 kre 9 d 10, mk diperoleh f dα + g dα f + g dα f dα + g dα deg demiki dpt disimpulk hw f + g dα = f dα + g dα Teorem Jik f R α,, mk cf R α, utuk serg kost c, d cf dα = c f dα Bukti : Amil serg ε > 0 d deg tidk megurgi keumum dimil c > 0. Kre f R α,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P ; f, α L P ; f, α < ε c seljuty mislk M i = sup f x x x i 1, x 1 m i = if f x x x i 1, x 1 M i = sup cf x x x i 1, x 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
28 m i = if cf x x x i 1, x 1 mk erdsrk teorem diperoleh M i = sup cf x x x i 1, x 1 = c sup f x x x i 1, x 1 = cm i perhtik m i = if cf x x x i 1, x 1 = c if f x x x i 1, x 1 = cm i U P ; cf, α L P ; cf, α = M i α i m i α i = cm i α i cm i α i = c M i α i c m i α i = c U P ; f, α c L P ; f, α = c U P ; f, α L P ; f, α < c ε c = ε deg demiki U P ; cf, α L P ; cf, α < ε jdi cf R α,. Seljuty kre cf R α, errti sup L P ; cf, α = cf dα = cf dα = cf dα = if U P ; cf, α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
29 perhtik kre L P ; cf, α = c L P ; f, α kity deg demiki diperoleh egitu pul kre kity cf dα = sup L P ; cf, α = sup c L P ; f, α = c sup L P ; f, α = c f dα cf dα = c f dα 1 U P ; cf, α = c U P ; f, α deg demiki diperoleh cf dα = if U P ; cf, α = if c U P ; f, α = c if U P ; f, α = c f dα cf erdsrk 1 d 2, mk diperoleh dα = c f d 2 cf dα = c f dα = cf dα = c f d ii errti cf dα = c f dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
30 Teorem Jik f R α1, d f R α2,, mk f R α 1 +α 2, d f d α 1 + α 2 = f dα 1 + f dα 2 Sift ii diseut deg sift semi lier. Bukti : Amil serg ε > 0, kre f R α1, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P 1 dri, sedemiki sehigg U P 1 ; f, α 1 L P 1 ; f, α 1 < ε 2 egitu pul kre f R α2,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P 2 dri, sedemiki sehigg U P 2 ; f, α 2 L P 2 ; f, α 2 < ε 2 seljuty mislk P = P 1 P 2 d P prtisi dri,, mk P dlh prtisi peghlus dri P 1 d P 2. Deg demiki erlku U P ; f, α 1 L P ; f, α 1 < ε 2 d U P ; f, α 2 L P ; f, α 2 < ε 2 seljuty mislk mk perhtik α i = α 1 + α 2 i = α 1 i + α 2 i, i N Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
31 U P ; f, α L P ; f, α = U P ; f, α 1 + α 2 L P ; f, α 1 + α 2 = U P ; f, α 1 + U P ; f, α 2 L P ; f, α 1 + L P ; f, α 2 = U P ; f, α 1 L P ; f, α 1 + U P ; f, α 2 L P ; f, α 2 < ε 2 + ε 2 = ε deg demiki U P ; f, α 1 + α 2 L P ; f, α 1 + α 2 < ε ii errti f R α 1 +α 2, seljuty perhtik kre L P ; f, α 1 + α 2 = L P ; f, α 1 + L P ; f, α 2 f dα 1 + f dα 2 U P ; f, α 1 + U P ; f, α 2 kity = U P ; f, α 1 + α 2 f d α 1 + α 2 f dα 1 + f dα 2 f d α 1 + α 2 d kre f R α 1 +α 2,, mk f d α 1 + α 2 = f d α 1 + α 2 = f d α 1 + α 2 sehigg Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
32 f d α 1 + α 2 f dα 1 + f dα 2 f d α 1 + α 2 deg demiki dpt disimpulk hw f dα 1 + f dα 2 = f d α 1 + α 2 Teorem Jik f R α, d c dlh kost positif, mk f R cα, d f d cα = c f dα Bukti : Amil serg ε > 0, kre f R α, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P; f, α L P; f, α < ε c dim c dlh kost positif. Kemudi mislk cα i = cα i cα i 1 = c α i α i 1 = c α i, i N perhtik U P; f, cα L P; f, cα = M i cα i m i cα i = M i c α i m i c α i = c M i α i c m i α i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
33 = c U P ; f, α c L P ; f, α = c U P ; f, α L P ; f, α < c ε c = ε deg demiki ii errti f R cα,. U P; f, cα L P; f, cα < ε Seljuty kre f R cα, errti sup L P ; f, cα = f d cα = f d cα = f d cα = if U P ; f, cα perhtik kre L P ; f, cα = c L P ; f, α kity erdsrk teorem ) mk diperoleh deg demiki diperoleh egitu pul kre kity f d cα = sup L P ; f, cα = sup c L P ; f, α = c sup L P ; f, α = c f dα f d cα = c f dα 1 U P ; f, cα = c U P ; f, α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
34 deg demiki diperoleh f d cα = if U P ; f, cα = if c U P ; f, α = c if U P ; f, α = c f dα f erdsrk 1 d 2, mk diperoleh d cα = c f dα 2 f d cα = c f dα = f d cα = c f dα ii errti f d cα = c f dα Teorem Jik f R α, d < c <, mk f R α, c d f R α c,. Dlm hl ii Bukti : f dα = f dα + f dα c Amil serg ε > 0. Kre f R α,, mk erdsrk kriteri pegitegrl d prtisi P dri, sedemiki sehigg seljuty mislk d U P ; f, α L P ; f, α < ε P 1 = P, c c Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
35 P 2 = P c, dim P 1 dlh prtisi dri, c d P 2 dlh prtisi dri c, sehigg diperoleh U P 1 ; f, α L P 1 ; f, α U P ; f, α L P ; f, α < ε d U P 2 ; f, α L P 2 ; f, α U P ; f, α L P ; f, α < ε deg demiki f R α, c d f R α c, 1 kemudi utuk serg P prtisi dri,, jik P = P 1 P 2 mk erdsrk teorem ) mk diperoleh deg demiki deg kt li U P ; f, α if U P ; f, α = if U P 1 ; f, α + U P 2 ; f, α if U P 1 ; f, α + if U P 2 ; f, α = f dα + f dα if U P ; f, α f dα + f dα f dα c c f dα + f dα c c c c kre f R α, kity Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
36 f dα c c f dα + f dα 2 egitu pul erdsrk teorem ) mk diperoleh deg demiki deg kt li L P ; f, α sup L P ; f, α = sup U P 1 ; f, α + U P 2 ; f, α sup U P 1 ; f, α + sup U P 2 ; f, α c = f dα + f dα sup L P ; f, α f dα + f dα f dα c f dα + f dα c c c c kre f R α, kity f dα c c f dα + f dα 3 erdsrk 1, 2,d 3, mk diperoleh f dα c c = f dα + f dα Teorem Jik f g pd, d f, g R α,, mk f dα g dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
37 Bukti : Amil serg P prtisi dri, kemudi mislk M i f = sup f x x x i 1, x i M i g = sup g x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i m i g = if g x x x i 1, x i kre f g pd,, kity M i f M i g m i f m i g sehigg U P ; f, α U P ; g, α L P ; f, α L P ; g, α deg demiki if U P ; f, α if U P ; g, α sup L P ; f, α sup L P ; g, α deg kt li f dα g dα d f dα g dα kre f, g R α,, mk Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
38 f dα = f dα g dα = g dα Ii errti f dα g d Teorem Jik f R α, d f x M pd,, mk f dα M α α() Bukti Mislk M i f = sup f x x x i 1, x i kre f x M pd,, mk M i f M, i N seljuty, kre f R α,, mk utuk serg P prtisi dri, erlku f dα = f dα = if U P ; f, α U P ; f, α = M i α i M α i = M α i = M α α deg demiki f dα M α α 1 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
39 seljuty sutitusik f oleh f sehigg erdsrk diperoleh deg demiki dri 1 diperoleh f dα = f dα f dα M α α 2 sehigg erdsrk 1 d 2 dpt disimpuk hw f dα M α α Teorem Jik f R α,, mk f R α, d f dα f dα Bukti : Kre f R α, errti utuk serg ε > 0 d prtisi P dri, sedemiki sehigg U P; f, α L P; f, α < ε seljuty mislk M i f = sup f x x x i 1, x i M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i jik utuk semrg s, t x i 1, x i erlku s t s t, mk M i f m i f = sup s t s, t x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
40 sup s t s, t x i 1, x i = M i f m i f sehigg M i f m i f M i f m i f ii errti U P; f, α L P; f, α U P; f, α L P; f, α < ε deg demiki f R α, seljuty utuk serg x, erlku f x f x d f x f x mk erdsrk teorem diperoleh f dα f dα d f dα f dα ii errti f dα f dα Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
41 Teorem Jik f R α,, mk f 2 R α, Bukti : Mislk M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i sehigg M i f 2 = sup f 2 x x x i 1, x i = M i f m i f 2 = if f 2 x x x i 1, x i = m i f 2 2 dim M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i kre f terts pd,, mk d M > 0 sedemiki sehigg sehigg diperoleh f x M, x, M i M d m i M, dim i N kre f R α, errti utuk serg ε > 0 d prtisi P dri, sedemiki sehigg seljuty perhtik U P; f, α L P; f, α < ε 2M Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
42 M i f 2 m i f 2 = M i f 2 mi f 2 = M i f + m i f M i f m i f 2M M i f m i f deg demiki U P; f 2, α L P; f 2, α = M i f 2 m i f 2 α i 2M M i f m i f α i = 2M M i f m i f α i = 2M M i f m i f α i = 2M U P; f, α L P; f, α < 2M ε 2M = ε ii errti f 2 R α, Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
43 Seljuty erikut k dierik eerp cotoh dri fugsi erili rel ik yg teritegrlk Riem-Stieltjes tupu yg tidk teritegrlk Riem-Stieltjes. Cotoh : ( Fugsi yg Teritegrlk Riem-Stieltjes ) Dikethui < c d mislk I c x = I x c yg didefiisik segi erikut I c x = 0, x < c 1, x c Jik f dlh fugsi erili rel yg terts pd, d kotiu di c, dim < c, k ditujukk f teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp I c d f di c = f di x c = f c Bukti : Mislk α x = I c x, sehigg jels erdsrk pedefiisi fugsi di ts x, mk α x mooto ik pd,. seljuty mislk P = x 0, x 1,, x serg prtisi pd,. kre < c, mk d ideks k, dim 1 k sedemiki sehigg x k 1 < c x k mk α k = α x k α x k 1 = 1 0 = 1 d α i = 0, i k deg demiki U P, f, α = M k α k = M k 1 = M k = sup f t x k 1 t x k Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
44 d L P, f, α = m k α k = m k 1 = m k = if f t x k 1 t x k seljuty, kre f kotiu di c errti ε > 0, δ > 0 sedemiki sehigg jik t,, t c < δ mk f t f c < ε. deg kt li f c ε < f t < f c + ε sehigg jik P serg prtisi dri, deg x j x j 1 < δ, j, mk diperoleh f c ε m k M k f c + ε deg demiki f c ε L P, f, α U P, f, α f c + ε deg kt li f c ε f dα f dα f c + ε kre ε > 0 serg, kity f dα = f dα deg demiki f R α, deg f dα = f c Cotoh : ( Fugsi yg Tidk Teritegrlk Riem-Stieltjes) Mislk f x = 1, x Q d α dlh fugsi mooto ik pd, 0, x Q k ditujukk hw f tidk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
45 Bukti : f x = 1, x Q 0, x Q Mislk α fugsi yg mooto ik pd, deg < d α α mil P = x 0, x 1,, x serg prtisi pd,. jik M i = sup f x x x i 1, x i m i = if f x x x i 1, x i mk M i = 1 d m i = 0 i = 1,2,, deg demiki L P, f, α = 0 d U P, f, α = M i α i = 1 α i = α α kity f dα f dα deg demiki f tidk teritegrlk Riem-Stieltjes terhdp α. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
46 3.3 Keterkit Itegrl Riem-Stieltjes d Itegrl Riem Meskipu pd wl pemhs telh disiggug megei huug tr Itegrl Riem-Stieltjes d Itegrl Riem, mu msih d huug ditr keduy yg elum terhs, yki fkt hw itegrlk Riem-Stieltjes dpt dikoversi ke dlm etuk itegrl Riem. Oleh kre itu, erikut k dierik sutu teorem yg meytk persyrt yg hrus dipeuhi gr pegkoversi ii dpt terjdi. Teorem Mislk dierik serg ε > 0 d prtisi P dri,. Jik erlku U P; f, α L P; f, α < ε d s i, t i dlh serg titik di I i = x i 1, x 1, dim I i merupk suitervl dri,, mk f s i f t i α i < ε Bukti : Amil serg ε > 0 d prtisi P dri, sedemiki sehigg erlku U P; f, α L P; f, α < ε Mislk M i f = sup f x x x i 1, x i m i f = if f x x x i 1, x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
47 mil serg du titik s i, t i x i 1, x 1, kity f s i, f t i m i, M i deg demiki diperoleh perhtik f s i f t i M i m i f s i f t i M i m i f s i f t i M i m i f s i f t i α i M i m i α i = M i α i m i α i = M i α i m i α i = U P; f, α L P; f, α < ε deg demiki diperoleh f s i f t i α i < ε Teorem Jik α merupk fugsi mooto ik pd, d α R,, sert jik f dlh fugsi erili rel yg terts pd,, mk f R α, jik d hy jik fα R,, dlm ksus ii f dα = f x α x dx Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
48 Bukti : Amil serg ε > 0, kre jik f = 0 megkitk hsil yg trivil, mk mislk M = sup f x x, kre α R, mk erdsrk kriteri pegitegrl d fkt hw itegrl Riem-Stieltjes ekivle deg itegrl Riem ketik α i = x i mk d ptisi P dri, sedemiki sehigg erlku U P; α, x L P; α, x < ε 1 kre α kotiu pd, d terdiferesil pd, jik diguk teorem ( Teorem Nili Rt-Rt) pd setip suitervl x i 1, x i, mk d t i x i 1, x i sedemiki sehigg erlku α x i α x i 1 = α x i x i 1 deg kt li α i = α x i, i N seljuty jik dimil serg s i x i 1, x i, mk erdsrk 1 d teorem diperoleh seljuty jik mk erdsrk 2 d 3 diperoleh α s i α t i x i < ε 2 f s i α i = f s i α t i x i 3 f s i α i f s i α s i x i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
49 = f s i = f s i α t i x i f s i α t i α s i x i α s i x i f s i α t i α s i x i = f s i α t i α s i x i M α t i α s i x i = M α t i α s i x i < Mε deg demiki erlku ii errti f s i α i f s i α s i x i < Mε 4 Mε < f s i α i f s i α s i x i < Mε perhtik f s i α i f s i α s i x i < Mε f s i α i < f s i α s i x i + Mε kre s i x i 1, x i dimil serg, mk Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
50 f s i α i < U P; fα, x + Mε ii errti U P; fα, x + ε dlh ts ts utuk semu pejumlh dlm etuk f s i α i, oleh kre itu diperoleh U P; f, α < U P; fα, x + Mε 5 seljuty perhtik Mε < f s i α i f s i α s i x i Mε + f s i α i < f s i α s i x i f s i α s i x i < f s i α i + Mε kre s i x i 1, x i dimil serg, mk f s i α s i x i < U P; f, α + Mε ii errti U P; f, α + Mε merupk ts ts utuk semu pejumlh dlm etuk f s i α s i x i, oleh kre itu diperoleh U P; fα, x < U P; f, α + Mε 6 erdsrk 5 d 6, mk diperoleh U P; fα, x Mε < U P; f, α < U P; fα, x + Mε Mε < U P; f, α U P; fα, x < Mε U P; f, α U P; fα, x < Mε 7 Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
51 seljuty kre 1 jug erlku utuk serg prtisi peghlus P dri P, mk 7 jug erlku utuk P sehigg megkitk f dα f x α x dx < Mε < ε kre ε > 0 dimil serg, mk dpt disimpulk hw f dα = f x α x dx deg cr yg log seperti lgkh di ts mk diperoleh kre f R α, mk ii errti f x α x dx f dα = f dα = f x α x dx = f dα = f x α x dx f dα = f x α x dx Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
52 Pd seelumy telh dihs hw itegrl Riem merupk ksus khusus dri itegrl Riem-Stieltjes, yki dist α = x hl ii meyek itegrl Riem ekivle deg itegrl Riem-Stieltjes. Ak tetpi ketik α x hl ii meyek terdpt fugsi yg teritegrlk Riem-Stieltjes mu tidk teritegrlk Riem seperti fkt pd cotoh erikut. Cotoh Mislk f x = 1, x Q 0, x R Q d α x = k utuk setip x 0,1. Ak ditujukk hw f R 0,1, x 0,1 mu f R α 0,1, x 0,1. Bukti : Amil serg prtisi P pd 0,1. Berdsrk ltih 7.1 omor 12 pd uku edisi ketig Itroductio to Rel Alysis krg Roet G. Brlte d Dold R. Sherert telh diytk hw f R 0,1, x 0,1. Seljuty mislk M i = sup f x x 0,1 m i = if f x x 0,1 mk M i = 1 d m i = 0 utuk setip x 0,1. Perhtik U P; f, α = M i α i Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
53 = 1 α x i α x i 1 = 1 α 1 α 0 = 1 k k = 0 d L P; f, α = m i α i = 0 α i = 0 Hl ii megkitk if U P; f, α = 0 = sup L P; f, α Ii errti f R α 0,1, x 0,1. Syif Gumir Sri, 2012 Itegrl Riem Stieltjes dri fugsi erili Vektor Uiversits Pedidik Idoesi repository.upi.edu
BAB V INTEGRAL DARBOUX
Itegrl Droux BAB V INTEGRAL DARBOUX Pd thu 1875, mtemtikw I.G. Droux secr kostruktif memodifiksi defiisi itegrl Riem deg terleih dhulu medefiisik jumlh Droux ts (upper Droux sum) d jumlh Droux wh (lower
BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN
BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGAL IEMANN Sift-sift Ljut Itegrl iem Teorem 6.1 Jik f [, ] d f [, ] deg < < mk f [, ]. Leih ljut f x dx f x dx + () f x dx f [, ] d f [, ], mislk () f x dx A 1 d () f x
BAB IV INTEGRAL RIEMANN
Itegrl Rie BAB IV INTEGRAL RIEMANN Utuk epeljri leih ljut tetg kosep itegrl Rie, k leih ik jik pec ehi eerp hl erikut. A. Prtisi Defiisi 4.1 Dierik itervl tertutup [, ], hipu terurut d erhigg P = { = x
Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah
![Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah](/thumbs/59/43807369.jpg "Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah")
13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riem Ats d Jumlh Riem Bwh Pd Bb 12 kit megsumsik bhw f kotiu pd [, b] d medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi supremum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di bwh
PENGANTAR ANALISIS REAL. Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengantar Analisi Real
Resume PENGANTAR ANALISIS REAL Utuk Memeuhi Tugs Mt Kulih Pegtr Alisi Rel Disusu Oleh: M. ADIB JAUHARI D. P (0860009) MUHTAR SAFI I (086003) BOWO KRISTANTO (086004) ANA MARDIATUS S (086005) OKTA ARFIYANTA
Matematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai
Mtemtik Dsr INTEGRAL TENTU Pegerti tu kosep itegrl tetu pertm kli dikelk oleh Newto d Leiiz. Nmu pegerti secr leih moder dikelk oleh Riem. Mteri pemhs terdhulu yki tetg itegrl tk tetu d otsi sigm k kit
DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA
DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA Muslih 1), Sutrim 2) d Supriydi Wiowo 3) 1,2,3) Jurus Mtemtik FMIPA UNS, muslih_mus@yhoo.om, zutrim@yhoo.om, supriydi_w@yhoo.o.id Astrk
mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x
B 4. Peerp Itegrl BAB 4. PENGGUNAAN INTEGRAL 4.. Lus re dtr Perhtik derh di wh kurv y = f () di tr du gris tegk = d = di ts sumu, deg f fugsi kotiu. Seperti pd s medefiisik itegrl tertetu, kit gi itervl
Modul 8. (Pertemuan 12 s/d 16) DERET FOURIER
Modul 8. (Pertemu s/d 6) DERET FOURIER 8. FUNGSI PERIODIK DAN FUNGSI KONTINU TERPOTONG Defiisi Fugsi f diseut fugsi periodik il terdpt p > sedemiki sehigg utuk setip erlku f ( p) f ( ). Nili p > terkecil
Integral Riemann-Stieltjes Pada Fungsi Bernilai Real. The Riemann-Stieltjes Integral for Real Function
Itegrl Riem-Stieltjes Pd Fugsi Berili Rel Septi Mosl Pirde 1, Tohp Murug 2, Julli Titley 3* 1,2,3 Progrm Studi Mtemtik, Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm, Uiversits Sm Rtulgi Mdo *correspodig uthor emil:
BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ. Definisi 3.1 Matriks Toeplitz adalah suatu matriks., dengan nilai,, dan indeks yang
BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ 3. Mtriks Toeplitz Defiisi 3. Mtriks Toeplitz dlh sutu mtriks [ t ; k, j = 0,,..., ] : T =, k j, deg ili,, d ideks yg diguk setip etriy
KETAKSAMAAN HERMITE-HADAMARD TERHADAP INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES
JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hl. 59-68 KETAKSAMAAN HERMITE-HADAMARD TERHADAP INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES Dey Ivl Hkim Deprteme Mtemtik Istitut Tekologi Bdug Bdug 40132, Idoesi dy_hkm@yhoo.com Hedr
Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya, serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya
Pemeljr M t e m t i k... Di g mejdik mthri d ul erch, sert megtur pd eerp tempt, sup kmu megethui ilg thu d perhitug (QS Yuus:5 ) Pedhulu us Sift : - us derh rt dlh ilg riil tk egtif - persegipjg=pjg ler
Pertemuan : 3 Materi : Sistem Persamaan Linear : - Teorema Eksistensi - Reduksi ke Bentuk Echelon
Pertemu : 3 Mteri : Sistem Persm Lier : - Teorem Eksistesi - Reduksi ke Betuk Echelo Stdr Kompetesi : Setelh megikuti perkulih ii mhsisw dihrpk dpt. memhmi kemli pegerti mtriks d trsformsi lier. memhmi
1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi ...
Bris d Deret Defiisi Bris bilg didefiisik sebgi fugsi deg derh sl merupk bilg sli. Notsi: f: N R f( ) = Fugsi tersebut dikel sebgi bris bilg Rel { } deg dlh suku ke-. Betuk peulis dri bris :. betuk eksplisit
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persm ditemuk hmpir di semu cg ilmu pegethu Dlm idg ilmu ukur sistem persm diperluk utuk mecri titik potog eerp gris yg seidg, di idg ekoomi tu model regresi sttistik
Aljabar Linear Elementer
Aljr Lier Elemeter MA SKS Silus : B I Mtriks d Opersiy B II Determi Mtriks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige
Sistem Bilangan dan Kesalahan. Sistim Bilangan Metode Numerik 1
Sistem Bilg d Keslh Sistim Bilg Metode Numerik Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Sistim Bilg Metode Numerik Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3*
Sistem Bilangan dan Kesalahan. Metode Numerik
Sistem Bilg d Keslh Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3* Bilg ult deg ilg dsr c didefiisik segi : ( )... c N c
TEOREMA DERET PANGKAT
TEOEMA DEET PANGKAT Kosep Dsr Deret pgkt erupk sutu etuk deret tk higg 3 + ( + + 3( +... ( disusik,, d koefisie i erupk ilg rel. Julh prsil utuk suku pert etuk di ts dlh s yg dpt ditulisk segi s ( + (
BEBERAPA TEOREMA KEKONVERGENAN PADA INTEGRAL RIEMANN. Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon
Jurl Brekeg Vol. 6 No. 1 Hl. 1 18 (2012) BEBERAA TEOREMA KEKONVERGENAN ADA INTEGRAL RIEMANN VENN YAN ISHAK ILWARU 1, H. J. WATTIMANELA 2, M. W. TALAKUA 1,2, St Jurus Mtemtik FMIA UNATTI Jl. Ir. M. utuhe,
1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS
Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.. PENGANTAR DEFINISI. : PERSAMAAN LINEAR Sutu persm lier deg peuh x, x 2,, x dpt diytk dlm etuk : x + 2 x 2 + + x = (.) dim,
III PEMBAHASAN. peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL
III PEMBAHASAN 3.1. Betuk Umum dri Mgic Squre, Bilg Mgic, d Mtriks SPL Mislk eleme dri bris ke-i d kolom ke-j dlh i,j mk mgic squrey secr umum dlh 1,1 1, 1,,1,,,1,, Gmbr 1. Betuk umum mgic squre deg: i,j
Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER
Alis Numerik Bh Mtrikulsi B SISTEM PERSAMAAN LINIER Pedhulu Pd kulih ii k dipeljri eerp metode utuk meelesik sistem persm liier Peelesi sistem persm deg jumlh vriel g tidk dikethui serig ditemui didlm
Modul II Limit Limit Fungsi
Modul II Limit Kosep it merupk sutu kosep dsr yg petig utuk memhmi klkulus dieresil d itegrl Oleh kre itu seelum kit mempeljri leih ljut tetg klkulus diresil d itegrl, mk kit terleih dhulu hrus mempeljri
1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif
N : Zui Ek Sri Kels : NPM : 800 BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR A. Pgkt Bilg Bult. Bilg Berpgkt Bult Positif Dl kehidup sehri-hri kit serig eeui perkli ilg-ilg deg fktor-fktor yg s. Mislk kit teui
Nuryanto,ST.,MT. Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah F (x) = f(x), maka F(x) = f(x) dx.
Nuryto,ST.,MT d c. INTEGRAL TAK TENTU KONSEP DASAR INTGRAL f. ALJABAR INTEGRAL f. TRIGONO CONTOH SOAL SOAL LATIHAN UJI KOMPETENSI Itegrl merupk opersi ivers dri turu. Jik turu dri F dlh F = f, mk F = f
MA SKS Silabus :
Aljr Lier Elemeter A SKS Silus : B I triks d Opersiy B II Determi triks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige 7//7
MATA KULIAH : MATEMATIKA II POKOK BAHASAN :
MT KULIH : MTEMTIK II POKOK HSN :. INTEGRL TK TENTU. INTEGRL TERTENTU SEGI LIMIT JUMLH. SIFT-SIFT INTEGRL TERTENTU. TEOREM-TEOREM DSR DLM KLKULUS. EERP TERPN DLM INTEGRL TERTENTU. INTEGRL NUMERIK UKU PEGNGN
juga dinyatakan sebagai a n atau a n n n 0,1, 2, 3,... Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.
MATERI: ) Perbed bris d deret b) Defiisi d teorem tetg deret c) Deret suku positif d uji kovergesiy d) Deret hiperhrmois e) Deret ukur f) Deret ltertig d uji kovergesiy g) Deret kus d opersiy h) Deret
Teorema-Teorema Kekonvergenan pada Integral Riemann, Lebesgue dan Henstock
Prosidig Semir Nsiol Mtemtik Prodi Pedidik Mtemtik, Uiversits Muhmmdiyh Surkrt, 24 Juli 2 Teorem-Teorem Kekoverge pd Itegrl Riem, Leesgue d Hestock Rit P.Khotimh, Soepr Drmwijy 2, Ch. Rii Idrti 3, Prodi
( ) τ k τ HASIL DAN PEMBAHASAN. Perumusan Penduga Bagi θ
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumus Pedug Bgi θ Mislk N dlh proses Poisso pd itervl [, deg rt µ yg kotiu mutlk, d fugsi itesits λ yg teritegrlk lokl Sehigg, utuk setip himpu Borel terbts B mk: µ ( B Ε N( B λ(
FUNGSI KARAKTERISTIK. penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter
IV. FUNGSI KARAKTERISTIK Pd bgi seljuty k dijbrk megei ugsi krkteristik. Pd peeliti ii k ditetuk ugsi krkteristik dri distribusi our-prmeter geerlized t deg megguk deiisi d kemudi k membuktik ugsi krkteristik
HASIL DAN PEMBAHASAN
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumus Pedug Bgi θ Misl N dlh proses Poisso pd itervl [0 deg rt μ yg otiu mutl d fugsi itesits λ yg teritegrl lol. Utu setip himpu Borel terts B m μ( B Ε N( B λ( s ds
Persamaan Linier Simultan
Persm Liier Simult Elimisi Guss Guss Jord Elimisi_GussJord Persm Liier Simult Persm liier simult dlh sutu etuk persm-persm yg ser ersm-sm meyjik yk vriel es. etuk persm liier simult deg m persm d vriel
BAB 2 SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN
Metode Numerik Segi Algoritm Komputsi 5 BAB SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN.. Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik : N ( )...... Cotoh : 67. 6. 7.. Bilg
TUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL
Mtemtik TUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL DISUSUN OLEH NAMA. LUKMANUDIN D79. YUYU YUMIARSIH D799. SERLI WIJAYA D798 PROGRAM STUDY MATA KULIAH DOSEN : PEND. MATEMATIKA : ANALISA VEKTOR : ABDUL KARIM,
bila nilai parameter sesungguhnya adalah. Jadi, K( ) P( SU jatuh ke dalam WP bila nilai parameter sama dengan )
Kus Uji d Lem Neym-Perso Kebik sutu uji serig diukur oleh d. Di dlm prktek, bisy ditetpk, d kibty wilyh peolk (WP) mejdi tertetu pul. Kierj sutu uji jug serig diukur oleh p yg disebut kus uji (power of
Estimasi Koefisien Fungsi Regular- Dari kelas Fungsi Analitik Bieberbach-Eilemberg
Estimsi Koefisie Fugsi Regulr- Dri kels Fugsi Alitik Bieberbch-Eilemberg Oleh Edg Chy M.A Jurus Mtemtik FPMIPA UPI Abstrk Tulis ii mejelsk tetg estimsi koefisie fugsi regulr- yg dideretk, sebgi fugsi yg
Hendra Gunawan. 21 Februari 2014
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/04 Februri 04 Kulih Sebelumy 9.4 Deret Positif: Uji Liy Memeriks kekoverge deret positif deg ujiperbdigd ujirsio 9.5 Deret Gti Td: Kekoverge Mutlk d Kekoverge
MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHues (Volue 3 No 3) 04 INTEGRAL H Hili Nur Ardi Jurus Mtetik, Fkults Mtetik d Ilu Pegethu Al, Uiversits Negeri Sury e-il: sterrdi@yhoocoid Muhrwti Jurus Mtetik, Fkults Mtetik d Ilu Pegethu Al, Uiversits
Catatan Kuliah 1 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks
Ctt Kulih Mtemtik Ekoomi Memhmi d Meglis ljbr Mtriks. Mtriks d Vektor Mtriks Mtriks dlh kumpul bilg, prmeter tu vribel tersusu dlm bris d kolom sehigg terbetuk segi empt. Susu ii bisy diletkk dlm td kurug
Rencana Pembelajaran
http://dgmursit.stff.telkomuiversity.c.id/ Lerig Outcome Rec Pemeljr Setelh megikuti proses pemeljr ii, dihrpk mhsisw dpt ) Meetuk ti turu dri seuh fugsi ) Meyelesik itegrl tetu deg itegrsi ke-x d itegrsi
BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN 3. Pedhulu Seelu hs liit fugsi di sutu titik terleih dhulu kit k egti perilku sutu fugsi f il peuh edekti sutu ilg ril tertetu. Misl terdpt sutu fugsi f() = + 4. Utuk
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedr Guw Semester II, 2016/2017 24 Februri 2017 9.6 Deret Pgkt Kulih yg Llu Meetuk selg kekoverge deret pgkt 9.7 Opersi pd Deret Pgkt Melkuk opersi pd deret pgkt yg dikethui jumlhy
III PEMBAHASAN. x x. 3.1 Analisis Metode Perhatikan persamaan integral Volterra berikut. x. atau (11)
III PEMBAHASAN 3 Alisis Metode Perhtik persm itegrl Volterr berikut y ( f( λ Ktyt ( ( (8 deg y( merupk fugsi yg k ditetuk sutu kostt f( fugsi sembrg yg dikethui d terdefiisi pd R d K(ty(t sutu fugsi yg
Diijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp metumk lmt situs LATIH UN IPS. 008 00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
Kajian Integral Cavalieri-Wallis dan Integral Porter-Wallis serta Kaitannya dengan Integral Riemann
J. Mth. d Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 2, Nov 2006, 81 93 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis d Itegrl Porter-Wllis sert Kity deg Itegrl Riem Rt Sri Dewi d Sursii Jurus Mtemtik ITS Istitut Tekologi Sepuluh
Hendra Gunawan. 19 Februari 2014
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/0 9 Februri 0 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kk kekoverge
Diijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp mectumk lmt situs LATIH UN IPA. 00-00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Nurdinintya Athari (NDT)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nurdiity Athri (NDT) Sistem Persm Lier (SPL) Sub Pokok Bhs Pedhulu Solusi SPL deg OBE Solusi SPL deg Ivers mtriks d Atur Crmmer SPL Homoge Beberp Apliksi Sistem Persm Lier Rgki
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 06/07 0 Februri 07 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kekoverge deret
GEOMETRI EUCLID EG(2, p n ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG
GEOMETRI EUCLID EG(, p ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG Bmg Irwto d Yui Hidyti Jurus Mtemtik FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedrto, S.H, Semrg 5075 v is rrgemet of v distit ojets ito
METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN.
METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN http://mul.lecture.u.c.id/lecture/metode-umerik/ Sistem Persm Liier Misl terdpt SPL deg uh vriel es Mtriks: m m m m Peyelesi Sistem Persm Liier
LATIHAN UN MATEMATIKA IPA
LATIHAN UN MATEMATIKA IPA LATIH UN IPA. 00-00 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI.... Pgkt Rsiol, Betuk Akr d Logritm.... Persm Kudrt...0. Sistem Persm Lier... 4. Trigoometri I...8 5. Trigoometri II...7
dan mempunyai vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada bidang. 1. Persamaan bidangnya adalah n P P
Rug Vektor Tuju:. Megigt kembli persm gris d bidg di rug.. Memhmi ksiom rug vektor, kombisi liier d rug bgi.. Megigt kembli pegerti bebs d bergtug liier, bsis d dimesi. Arti geometris dri determi Jik A
METODE NUMERIK. Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Pertemuan ke 5. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemu ke 5 Sistem Persm Liier (SPL) () Rici Kemg Hpsri, S.Si, M.Kom www.rkhcdemy.com/wp Represetsi SPL Betuk umum persm lier deg peuh Dim :,, : koefisie dri persm, d,,..., merupk peuh.
matematika PEMINATAN Kelas X SIFAT-SIFAT EKSPONEN K13 A. DEFINISI EKSPONEN B. SIFAT-SIFAT BENTUK PANGKAT
K1 Kels X tetik PEMINATAN SIFAT-SIFAT EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh epeljri teri ii, ku dihrpk eiliki kepu erikut. 1. Mehi defiisi ekspoe.. Mehi sift-sift etuk pgkt.. Mehi sift-sift etuk kr.. Megguk
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI. Prasetyo Budi Darmono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI Prsetyo Budi Drmoo Jurus Pedidik Mtemtik FKIP Uiversits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Persm lier dlm vribel 1, 2, 3,.. sebgi sebuh persm yg dpt diytk dlm
PEMBENTUKAN DIAGRAM SEMIGRUP. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru Indonesia ABSTRACT
PEMBENTKAN DIAGRAM SEMIGRP Sisk My Sri *, Sri Gemwti, Rol Pe Mhsisw Progrm S Mtemtik Dose JurusMtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm iverits Riu Kmpus Bi Widy, Pekru 893 Idoesi * siskmysri@yhoocom
Pertemuan 7 Persamaan Linier
Perteu 7 Pers Liier Ojektif:. Prktik ehi teori dsr Pers Liier. Prktik dpt eyelesik Pers Liier. Prktik dpt eut progr erkisr tetg Pers Liier Pers Liier P7. Teori Pers lier dlh seuh pers ljr, yg tip sukuy
Pendahuluan Pengantar Metode Simpleks. Fitriani Agustina, Math, UPI
Pedhulu Pegtr Metode Sipleks Fitrii Agusti, Mth, METODE SIMPLEKS (PRIMAL) Mslh Progr Lier Mslh Progr Lier dl Betuk Mtriks Ketetu dl Betuk Stdr Mslh PL Betuk Stdr Mslh Progr Lier Betuk Stdr Pets Lier Betuk
Barisan dan Deret Tak Hingga
Modul Bris d Deret Tk Higg Dr. Spti Whyuigsih, M.Si. M PENDAHULUAN odul ii meyjik kji tetg Bris d Deret Tk Higg. Kji tetg bris d deret memegg per sgt petig kre sebgi dsr utuk pembhs Itegrl Tetu. Bris d
INTEGRAL LEBESGUE di R 1 SKRIPSI. Oleh: INDAH RESTI AYUNI SURI NIM
1 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI Oleh: INDAH RSTI AYUNI SURI NIM. 05510015 JURUSAN MATMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TKNOLOGI UNIVRSITAS ISLAM NGRI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2009 2 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI
SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 (A & B) Dosen: Dr. Asep Juarna Jumlah Soal: 3 Uraian Tanggal Ujian: 02/03/12 Waktu Ujian: 2 jam
SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 A & B Dose: Dr. Asep Jur Jumlh Sol: Uri Tggl Uji: // Wktu Uji: jm jik. Solusi t dlh: t + log, yg dpt dibuktik sbb: t jik t t + [t/ + ] + t/ + t/4 + t/8 + 4 t/
Pendahuluan Aljabar Vektor Matrik
Pedhulu Aljr Vektor trik Defiisi: trik A erukur x ilh sutu susu gk dl ersegi et ukur x, segi erikut: = A tu A = ( ij ) Utuk eytk elee trik A yg ke (i,j), yitu ij, diguk otsi (A) ij. Ii errti ij = (A) ij.
IDENTIFIKASI RING DENGAN SIFAT UNIQUELY MORPHIC
Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: 978-60-975-0-5 IDENTIFIKASI RING DENGAN SIFAT UNIQUELY MORPHIC Hery Willym Michel Ptty Zeth Arthur Leleury Jurus Mtemtik FMIPA Uiversits Pttimur Jl Ir M Putuhe,
INTEGRAL-Z. Siti Khabibah, Farikhin, Bayu Surarso Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, 50275
INTEGRAL-Z Siti Khih, Frikhi, By Srrso Jrs Mtetik FMIPA UNDIP Serg Jl. Prof. H. Soedrto, SH, Telg, Serg, 5275 Astrk: Kosep egei itegrl-z terkit deg keerd deritif kt. St fgsi F yg terderitif kt pd [,] diotsik
Catatan Kecil Untuk MMC
Ctt Keil Utuk MMC Judul : MMC (Metode Meghitug Cept), Tekik ept d uik dlm megerjk sol mtemtik utuk tigkt SMA. Peulis : It Puspit. Peerit : PT NIR JAYA Bdug. Thu :. Tel : 8 + 5 hlm. Berikut dlh tt keil
Untuk matriks diperoleh bahwa ú
B DETERMINAN Ekspsi Lple Bris Pertm Determi (determit) dri sutu mtriks persegi ts field F dlh sutu eleme dri field F Terleih dhulu k ditujukk gim meghitug determi dri mtriks erukur d DEFINISI Dierik mtriks
Rangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
Rangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN
TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN Yo Hedri 1* Asmr Krm Musrii 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik Dose JurusMtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Uiversits Riu
Kalkulus 2. Deret Pangkat dan Uji Konvergensi. Department of Chemical Engineering Semarang State University. Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.
Klkulus Deret Pgkt d Uji Kovergesi Dhoi Hrtto S.T., M.T., M.S. Deprtmet o Chemil Egieerig Semrg Stte Uiversity Eperimetl Deret Pgkt Urut d deret sequees d series). Urut gk merupk rgki gk tk terbts jumlh
Rank Matriks Atas Ring
Rk Mtriks Ats Rig A 8 Yuliyti Di Prtiwi (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM) Mifth Sigit Rhmwti (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); N Fitri (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); Sri Whyui (Dose PS S2 Mtemtik Jurus Mtemtik
Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut
Koko Mrtoo FMIPA - ITB 7 Bris bilg rel Pegtur bilg rel dlm ideks terurut dimk bris. Bris bilg rel,,, ditulis { } =, tu disigkt { }. Secr forml, bris (tk higg) ii didefiisik sebgi fugsi deg derh sl himpu
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR. Sift Opersi Bilg Bult Berpgkt Defiisi Pgkt Bult Positif Jik dlh ilg rel (yt) d dlh ilg sli (ilg ult positif), k... seyk fktor deg = pgkt tu ekspoe = ilg pokok/dsr/sis
RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN
Lesso Study FMIPA UNY RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINEAR II SEMESTER : III TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN SUB TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN WAKTU : X 5 A. Stdr Kompetesi:
DETERMINAN MATRIKS dan
DETERMINN MTRIKS d TRNSFORMSI ELEMENTER gusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIP UNEJ tiprdj.mth@gmil.com DEFINISI Utuk setip mtriks bujursgkr berordo x dpt dikitk deg tuggl sutu bilg rel yg dimk determi.
BAB 2 LANDASAN TEORI. adalah
BB LNDSN EORI. rsose Ivers d Determi Mtriks Defiisi.. il terdt sutu mtriks [ ij ] erordo m mk trsose dri mtriks dlh erordo m g dihsilk deg memertukrk ris d kolom mtriks ; itu kolom ertm dri dlh ris ertm
Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut
+ e - e Bris bilg rel Pegtur bilg rel dlm ideks terurut dimk bris. Bris bilg rel,,, ditulis { } =, tu disigkt { }. Secr forml, bris (tk higg) ii didefiisik sebgi fugsi deg derh sl himpu bilg sli. Ilustrsi
DERET PANGKAT TAK HINGGA
DERET PANGKAT TAK HINGGA TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT TEOREMA-TEOREMA PENTING. Itegrsi d diferesisi deret pgkt dpt dilkuk per suku, yitu: ( ) d p q d d ( ) q p d d ( ) ( ) d, d p, q Selg
Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak :
BAB III Pers Aljr Lier Seretk Betuk umum persm ljr lier seretk : x + x + + x = x + x + + x = x + x + + x = dim dlh koefisie-koefisie kost t, dlh kosttkostt d dlh yky persm Peyelesi persm lier seretk dpt
MetodeLelaranUntukMenyelesaikanSPL
MetodeLelrUtukMeyelesikSPL Metode elimisi Guss melitk yk glt pemult. Glt pemult yg terjdi pd elimisi Guss dpt meyek solusiyg diperoleh juh drisolusiseery. Ggs metod lelr pd pecri kr persm irljr dptjugditerpkutukmeyelesikspl.
CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK ABSTRACT ABSTRAK
CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK D. S. Wti 1, M. Imr, L. Deswit 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dose Jurus Mtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Uiversits Riu Kmpus
SYARAT PERLU DAN CUKUP INTEGRAL HENSTOCK-BOCHNER DAN INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b] Solikhin, Y.D. Sumanto, Susilo Hariyanto, Abdul Aziz
![SYARAT PERLU DAN CUKUP INTEGRAL HENSTOCK-BOCHNER DAN INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b] Solikhin, Y.D. Sumanto, Susilo Hariyanto, Abdul Aziz](/thumbs/68/59121897.jpg "SYARAT PERLU DAN CUKUP INTEGRAL HENSTOCK-BOCHNER DAN INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b] Solikhin, Y.D. Sumanto, Susilo Hariyanto, Abdul Aziz")
SYRT PERLU N CUKUP INTEGRL HENSTOCK-BOCHNER N INTEGRL HENSTOCK-UNFOR P [,] Solihi, Y Sumto, Susilo Hriyto, dul ziz 1,2,3,4 eprteme Mtemti FSM Uiversits ipoegoro Jl Prof Soedrto, SH Temlg-Semrg solihi@liveudipcid
Daerah D dibatasi kurva y = f (x) dengan f (x) 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. D = {(x,y) a x b, 0 y f (x)} Luas daerah D adalah  Ú.
x x g x x erh ditsi kurv = (x) deg (x), gris x =, gris x =, d sumu x. = {(x,) x, (x)} Lus derh dlh. L = lim x x = x erh ditsi kurv = (x), kurv = g(x), deg (x) g(x), gris x =, d gris x =. = {(x,) x, g(x)
TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri
Posisi Integral Henstock-Dunford dan Integral Henstock- Bochner pada [a,b]
![Posisi Integral Henstock-Dunford dan Integral Henstock- Bochner pada [a,b]](/thumbs/64/50715806.jpg "Posisi Integral Henstock-Dunford dan Integral Henstock- Bochner pada [a,b]")
SEMINR NSIONL MTEMTIK N PENIIKN MTEMTIK UNY 06 Posisi Itegrl Hestoc-uford d Itegrl Hestoc- Bocher pd [,] Solihi, Heru Tjhj, Solichi Zi Fults Sis d Mtemti, Uiversits ipoegoro soli_erf@yhoocom -4 str Pd
STATISTIK. Diskusi dan Presentasi_ p.31
STATISTIK Diskusi d Presetsi_ p.31 No.1 Tetuk populsi d smpel yg mugki jik kit melkuk peeliti tu pegmt tetg kejdi-kejdi erikut:. Jeis-jeis ik yg hidup di terumu krg. Wh peykit demm erdrh di kot Mlg, d
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
TE Dasar Sistem Pengaturan. Kriteria Kestabilan Routh
TE946 Dr Sitem Pegtur Kriteri Ketil Routh Ir. Jo Prmudijto, M.Eg. Juru Tekik Elektro FTI ITS Telp. 5947 Fx.597 Emil: jo@ee.it.c.id Dr Sitem Pegtur - 7 Ojektif: Koep Ketil Ketil Routh Proedur Ketil Routh
Analisa Kestabilan Pendahuluan Konsep Umum Kestabilan
Ali Ketil 4 Ali Ketil.. Pedhulu Hl yg mt petig dlm dei item kotrol dlh mlh tilit item. Buk hl yg rhi lgi hw pokok tuju terpetig dlm li d dei kotrol dlh meiptk utu item yg til. Sutu item diktk til pil teript
MATERI LOGARITMA. Oleh : Hartono
MATERI LOGARITMA Oleh : Hrtoo Mteri dispik pd Peltih Mpel Mtetik SMA/ SMK Progr Pscsrj UNY Yogykrt 01 Kopetesi Kopetesi yg dihrpk dicpi oleh pr pesert setelh ebc odul ii d egikuti peltih dlh pu : ehi kosep
Metode Iterasi Gauss Seidell
Metode Itersi Guss Seidell Metode itersi Guss-Seidel : metode yg megguk proses itersi higg diperoleh ili-ili yg berubh. Bil dikethui persm liier simult: Berik ili wl dri setip i (i s/d ) kemudi persm liier
DERET FOURIER FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN. Oleh :
DERET FOURIER Oleh : Nm :. Neti Okmyti 7..6). Reto Fti Amh 7..6). Feri Febrisyh 7..8) Kels : 6. Mt Kulih : Mtemtik jut Dose Pegsuh : Fdli, S.Si FAKUTAS KEGURUAN DAN IMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PAEMBANG
SISTIM PERSAMAAN LINIER. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
SISTIM PERSAMAAN LINIER Agusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIPA UNEJ gusti.fmip@uej.c.id DEFINISI : Persm Liier Persm Liier dlm peubh,, ditk dlm betuk b dim,,, b R Pemech persm liier dits dlh urut
APLIKASI INTEGRAL TENTU
APLIKASI INTEGRAL TENTU Apliksi Itegrl Tetu థ Lus ditr 2 kurv థ Volume ed dlm idg (deg metode ckrm d cici) థ Volume ed putr (deg metode kulit tug) థ Lus permuk ed putr థ Mome d pust mss 1 2 1. LUAS DIANTARA
TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri
Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z = 0 x + y + 3z = 0 x + 2y z = 0
LJBR MTRIKS Bil kit mempui sutu sistem persm liier + + z = + + z = + z = Mk koefisie tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt ditulisk sbb : Jjr bilg tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt