INTEGRAL LEBESGUE di R 1 SKRIPSI. Oleh: INDAH RESTI AYUNI SURI NIM

Transkripsi

1 1 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI Oleh: INDAH RSTI AYUNI SURI NIM JURUSAN MATMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TKNOLOGI UNIVRSITAS ISLAM NGRI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2009

2 2 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI Dijuk Kepd : Uiversits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Irhim Mlg Utuk Memeuhi Slh Stu Persyrt Dlm Memperoleh Gelr Srj Sis (S.Si) Oleh: Idh Resti Ayui Suri NIM JURUSAN MATMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TKNOLOGI UNIVRSITAS ISLAM NGRI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2009

3 3 SURAT PRNYATAAN Deg ii, sy yg ertd tg di wh ii: Nm : Idh Resti Ayui Suri. Nim : Jurus : Mtemtik. Fkults : Sis d Tekologi. Judul Skripsi : Itegrl Leesgue di R 1. Deg ii sy meytk, hw dlm skripsi ii tidk terdpt kry yg perh dijuk utuk memperoleh gelr kesrj pd sutu Perguru Tiggi, d sepjg pegethu sy, jug tidk terdpt kry tu pedpt yg perh ditulis tu diteritk oleh org li., keculi yg secr tertulis dicu dlm skh ii d diseutk dlm dftr pustk, sert skripsi ii merupk hsil kry cipt sy, uk jiplk d tiru dri skripsi org li. Mlg, 10 Oktoer 2009 INDAH RSTI AYUNI SURI NIM

4 4 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI Oleh: INDAH RSTI AYUNI SURI NIM Telh Disetujui oleh: Pemimig I Pemimig II Drs. H. Turmudi, M.Si NIP Adusskir, M.Pd NIP Tggl: 05 Oktoer 2009 Megethui, Ketu Jurus Mtemtik Adusskir, M.Pd NIP

5 5 INTGRAL LBSGU di R 1 SKRIPSI Oleh: INDAH RSTI AYUNI SURI NIM Telh Diperthk di Dep Dew Peguji Skripsi d Diytk Diterim Segi Slh Stu Persyrt Utuk Memperoleh Gelr Srj Sis (S.Si) Tggl, 10 Oktoer 2009 Susu Dew Peguji: Td Tg 1. Peguji Utm : vwti Alish, M.Pd ( ) NIP Ketu : Usm Pgly, M.Si ( ) NIP Sekretris : Drs. H. Turmudi, M.Si ( ) NIP Aggot : Adusskir, M.Pd ( ) NIP Megethui d Megeshk Kjur Mtemtik Fkults Sis d Tekologi Adusskir, M.Pd NIP:

6 6 PRSMBAHAN Kit dpt mersk kehgi dlm hidup ii jik kit dpt mesyukuri semu yg telh dierik Allh pd kit (ik suk tu duk) d dpt memut org sekitr kit terseyum. Deg Ltu do' d uti kt dri Hti yg tidk k perh putus higg kry kecil ii d persemhk kepd: "Kedu org tu Ashri Sholeh d Iud Siti Nur Jh. Deg ikhls d diesrk deg tp meghrp iml, d dididik higg smpi st ii d dpt megerti rti hidup. Utuk Ayh Iud tercit sugguh cit, pegor, ksihsyg, perhti d D o-do y gr sllu c Bsmllh tidk k perh d lupk d k sellu terukir idh dlm klu".

7 7 MOTTO Seik-ik Musi dlh Yg Plig Bermft Bgi Org Li (HR. Bukhri d Muslim) Hidup Peuh Perjug, yki lh Allh yg plig sempur (Peulis)

8 8 KATA PNGANTAR Asslmulikum Wr.W. Alhmdulillhirroil lmi, segl puji syukur ke hdirt Allh SWT ts limph rhmt, tufiq d hidyh-ny, higg peulis mmpu meyelesik peulis skripsi yg erjudul INTGRAL LBSGU di R 1 " ii deg ik. Sholwt sert slm semog setis tercurhk kepd jujug Ni esr Muhmmd SAW segi uswtu hsh dlm merih kesukses di dui d khirt. Peulis meydri hw yk pihk yg telh erprtisipsi d memtu dlm meyelesik peulis skripsi ii. Oleh kre itu, irig do d ucp terim ksih yg seesr-esry peulis smpik, terutm kepd: 1. Bpk Prof. Dr. H. Imm Supryogo, selku Rektor Uiversits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Irhim Mlg. 2. Bpk Prof. Drs. Sutim Bmg Sumitro, SU, D.Sc, selku Dek Fkults Sis d Tekologi Uiversits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Irhim Mlg. 3. Bpk Adusskir, M.Pd, selku Ketu Jurus Mtemtik Fkults Sis d Tekologi Uiversits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Irhim Mlg. 4. Bpk Drs. H. Turmudi, M.Si, selku dose pemimig, yg telh melugk wktuy utuk memerik pegrh selm peulis skripsi ii.

9 9 5. Bpk Adusskir, M.Pd, selku dose pemimig kegm, yg telh memerik sr d tu selm peulis skripsi ii. 6. Seluruh Dose Fkults Sis d Tekologi UIN Mlg yg telh memerik ilmu pegethu kepd peulis selm di gku kulih, sert seluruh kryw d stf UIN Mlg. 7. Bpk d Iu tercit, yg sellu memerik semgt d motivsi ik d perjugy yg tk perh kel lelh dlm medidik d sukses dlm merih cit-cit sert ketulus do y 8. Mk Hppy Hy Oktri SH, Dek Jli, Dek Luluk, yg sellu memerik semgt d do selm kulih sert dlm meyelesik skripsi ii. 9. Susi, mksih udh jdi tem curht, teme tidur (khiry kit lulus reg) 10. Teme-teme LDK M midh, Ridho, M Nor, & FSLDK Nsiol, Tem-tem Mtemtik gkt 2005, 11. Semu pihk yg tidk mugki peulis seut stu perstu, ts keikls tu moril d spritul peulis ucpk terim ksih. Semog skripsi ii ermft d dpt memh wws keilmu khususy Mtemtik Deg segl keredh hti, peulis jug meydri hw skripsi ii msih juh dri sempur, utuk itu kritik d sr yg ersift memgu sgt peulis hrpk. Kepd semu pihk yg memc skripsi ii, semog dpt megmil mfty. Amie. Wsslmulikum Wr.W. Mlg, 14 septemer 2009 Peulis

10 10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PNGAJUAN HALAMAN PRSTUJUAN HALAMAN PNGSAHAN PRNYATAAN KASLIAN TULISAN MOTTO HALAMAN PRSMBAHAN KATA PNGANTAR... i DAFTAR ISI... iii ABSTRAK... vi BAB I : PNDAHULUAN 1.1. Ltr Belkg Rumus mslh Tuju Peeliti Mft Peeliti Bts Mslh Metode Peeliti Sistemtik Pemhs... 8 BAB II : KAJIAN PUSTAKA 2.1. Sift Kelegkp dri R Itervl Himpu Tutup Fugsi Tgg Ukur Itegrl Riem Itegrl Ats d Itegrl Bwh Sift teritegrl Riem Sift Itegrl Riem Fugsi Krkteristik d Fugsi Sederh Itegrl Leesgue Himpu Terukur Fugsi Terukur Kji ilmu dlm l-qur BAB III : PMBAHASAN 3.1 Fugsi Terukur Yg Terts Pd Itegrl Leesgue Fugsi Terukur Tkegtif Pd Itegrl Leesgue Fugsi Terukur Secr Umum Pd Itegrl Leesgue Huug Atr Itegrl Leesgue deg Itegrl Riem Kji tr Al-qur deg Itegrl Leesgue... 73

11 11 BAB IV : PNUTUP 4.1 Kesimpul Sr DAFTAR PUSTAKA

12 12 SIMBOL x A A B A B A B [h. d] ψ If φ Sup μ μ μ I I L μ() (R) [, ] (, ) χ N R R x A x A x eleme/ ggot dri himpu A himpu A suhimpu B iris himpu A d B gug himpu A d B koverge hmpir dim-m ifimum (ts wh teresr) suprimum (ts ts terkecil) fugsi terukur ukur lur ukur dlm Pjg itervl Himpu terukur Leesgue Himpu terukur Fugsi terukur kelurg semu himpu Itervl tertutup/ selg tertutup deg ujug kiri d ujug k Itervl teruk Fugsi krkteristik Himpu Bilg sli / Himpu ilg ult positif Bilg rel himpu ilg rel diperlus utuk setip eleme x ggot himpu A eleme x uk ggot himpu A

13 13 ABSTRAK Idh Resti Ayui Suri INTGRAL LBSGU di R 1. Pemimig: Drs. H. Turmudzi, M.Si d Adusskir, M.Pd. Kt kuci: Itegrl Leesgue, Bilg rel. Itegrl Leesgue pertm kli ditemuk oleh Hery Leo Leesgue thu Pd itegrl Leesgue, itegrl didefiisik mellui kosep ukur. Dlm hl ii. Berdsrk ltr elkg terseut, peeliti ii dilkuk deg tuju utuk: meyeutk, mediskripsik, meglisis, d memuktik teorem-teorem yg erlku pd itegrl Leesgue dlm gris ilg rel. Peeliti ii leih ersift lisis d dilkuk deg cr studi litertur deg mempeljri uku-uku teks peujg d kosultsi deg dose pemimig. Dlm hl ii peulis k memprk d mejelsk defiisi, meglisis d memuktik keer teorem-teorem itegrl Leesgue yg terdiri dri: (1) Fugsi terukur yg terts pd itegrl Leesgue, (2) Fugsi terukur tkegtif pd itegrl Leesgue, (3) Fugsi terukur secr umum pd itegrl Leesgue. Teorem-teorem yg dilisis d diuktik keery, tr li:. αf dμ= α f dμ utuk semu ilg rel.. f + g dμ = f dμ + g dμ. c. Jik f = g h.d mk f dμ= d. Jik f g h. d mk f g dμ g deg demiki e. Jik 1 d 2 dlh f = f f f f.

14 14 BAB I PNDAHULUAN 1.1 Ltr Belkg Petigy meutut ilmu pegethu, ik ilmu gm mupu ilmu mtemtik secr umum wji dlm segl hl. Dlm hdits jug dijelsk hw mecri ilmu wji hukumy gi musi utuk persig tekologi moder. Seperti hdits erikut : ط ل ب ال ع ل م ف ر ي ض ة ع ل ي ك ل م س ل م و م س ل م ة y: Meutut ilmu merupk kewji gi kum muslimi lki-lki d perempu. Dlm hdits terseut telh dijelsk hw pered jeis kelmi tidk mejdi peghlg dlm meutut ilmu, hk dlm meutut ilmu tidk ditsi usi. Kemuli seseorg dlm meutut ilmu telh dijelsk dlm Al-Qur surt l-mujdillh yt 11 segi erikut : Artiy : Allh k meiggik org-org yg erim di trmu d org-org yg dieri ilmu pegethu eerp derjt (QS: Al-Mujdillh:11). Musi dierik pegethu utuk megerjk tu megemgk ilmu yg di dpt sehigg i mmpu mejdi org yg mempuyi derjt

15 15 sesm muslim sehigg tidk hy gm yg merek peljri tetpi ilmu pegethu yg merek kemgk. Ditegsk jug dlm hdits yg diriwytk oleh As i Mlik hw mecri ilmu is didptk dim sj, wlupu smpi ke egr li. Hdits terseut eruyi segi erikut : أ ط ل ب ال ع ل م و ل و ب ال ص ين Artiy : Tututlh ilmu wlu smpi ke egeri Ci. (As i Mlik). Selm ii mugki semu musi megethui eerp gs yg terkel mju dlm hl ilmu pegethu ditry gs Yui, Mesir, Ci, d Biloi. Kt Ci dlm hdist di ts hy sekedr kis utuk megigtk k petigy mecri ilmu pegethu secr lus, hk ke egeri-egeri seerg. Teori itegrl dlh slh stu ilmu yg termsuk di dlm kelompok lisis yg msih tetp erkemg seperti ilmu-ilmu liy ik dri segi teori mupu pemkiy. Di tr cg-cg utm mtemtik, lisis termsuk cg teresr, yg meliputi lisis rel (termsuk teori ukur d itegrl), lisis kompleks, lisis Fourier, lisis fugsiol, persm diferesil is, persm diferesil prsil, persm itegrl, sistem dimik, topologi, teori opertor, d ljr opertor. Persm itegrl merupk kelik dri persm diferesil. Teori itegrl memiliki per yg sgt sigifik dlm perkemg tekologi moder. Muculy mslh-mslh yg erkit deg pegitegrl segi lgkh utm dlm peyelesi persm-persm diferesil di

16 16 idg mtemtik, fisik d tekik segi ilmu-ilmu yg meopg perkemg tekologi. Kosep itegrl Riem d itegrl Leesgue diperkelk oleh Georg Friedrich Berhrd Riem ( ) d Heri Leo Leesgue ( ) jug dlm studi lisis. Cotoh liy, ilg ordil d krdil tk higg dikemgk oleh G. Ctor ( ) dlm upyy memechk sutu mslh lisis rel. (Joes, Frks, 1993). Joes, Frks (1993) memhk pul, hw pd thu 1902 Leesgue, seorg mtemtikw Percis mecermti dy fugsi yg tidk teritegrl Riem yitu fugsi yg iliy 0 d 1. Seljuty Leesgue meyusu teori ukur yg terkel deg ukur Leesgue. Leesgue meyusu teori itegrl ru yg merupk perlus dri itegrl Riem kre jik fugsi f teritegrl Riem pd [, ] mk fugsi f jug teritegrl Leesgue pd [, ]. Itegrl yg dihs pd skripsi ii dlh itegrl Leesgue. Itegrl Leesgue diopersik pd fugsi terts yg didefiisik pd sutu himpu erukur erhigg. Fugsi terts dlh fugsi yg derh hsily tidk oleh melmpui sutu ilg erili rel yg sudh terleih dhulu ditetuk. Sutu himpu pd gris rel mempuyi ukur ol terhitug dri selg yg totl pjg kurg dri serg ε > 0 yg dierik. Setip himpu terhigg mempuyi ukur 0, demiki jug himpu ilg rsiol d yk himpu tk terhigg li. Leesgue memperlihtk

17 17 hw sutu fugsi terts k teritegrlk secr Riem jik d hy jik himpu kekotiuy erukur ol tu hmpir kotiu. Sutu fugsi terts diseut teritegrl Leesgue jik itegrl Leesgue ts d itegrl Leesgue wh mempuyi ili sm. Itegrl Leesgue sm deg ifimum dri itegrl sutu fugsi sederh yg iliy leih esr dri fugsi terts yg k diperiks, pkh fugsi terts terseut teritegrlk Leesgue tu tidk. Itegrl Leesgue iliy sm deg supremum dri itegrl sutu fugsi yg sederh yg iliy kurg dri fugsi terts iliy leih kecil dri fugsi terts yg k diperiks, pkh fugsi terts terseut teritegrlk Leesgue tu tidk. Itegrl Leesgue merupk kejdi yg leih umum dri pd itegrl Riem. Itegrl Leesgue perlus dri itegrl Riem kre jik fugsi teritegrl Riem oto mk fugsi jug teritegrl Leesgue oto. Fugsi teritegrl Leesgue memut fugsi teritegrl Riem, d itegrl Leesgue sutu fugsi dlh sm deg itegrl Riem fugsi, jik fugsi terseut teritegrl Riem. (Huthe, ffedi, 1989). Fugsi terukur didefiisik mellui kosep himpu terukur. Fugsi terukur yg dihs pd skripsi ii erkit deg kosep ukur sutu fugsi mupu himpu titik. Defiisi fugsi terukur meytk: mislk f(x) dlh fugsi erili rel yg didefiisik pd himpu. Fugsi f(x) diseut terukur Leesgue tu terukur pd jik (f(x) > ) = {x : f(x) > } terukur utuk semu ilg rel. (Murry, R, Spiegel. 1992).

18 18 Fugsi terukur diguk utuk meytk sutu itegrl Leesgue, yg dpt diselesik oleh sutu fugsi sederh. Fugsi sederh dlh terts d terukur. Fugsi terukur dpt diktk fugsi yg hmpir kotiu. Deg meytk itegrl Leesgue segi sutu ukur, mk k memudhk peulis dlm perhitug-perhitug meyelesik itegrl Leesgue. Berdsrk keyt terseut mk peulis tertrik utuk memut skripsi yg erjudul INTGRAL LBSGU di R Rumus Mslh Berdsrk ltr elkg di ts, mk permslh yg dpt peulis temuk dlh segi erikut : 1. Bgim sift-sift teritegrl Leesgue d pemuktiy pd R 1? 2. Bgim huug itegrl Leesgue deg itegrl Riem? 1.3 Tuju Peeliti Tuju dri peeliti ii dlh 1. Memhmi sift-sift teritegrl Leesgue d memuktik pd R 1 2. Memhmi huug itegrl Leesgue deg itegrl Riem. 1.4 Mft Peulis Dri peulis lpor peeliti ii peulis erhrp gr peeliti ii ermft gi ergi klg, tr li : 1. Bgi Peulis

19 19. Memh pegethu d keilmu tetg hl-hl yg erkit deg itegrl Leesgue.. Megemgk wws keilmu tetg pedeskripsi gim keterkit itegrl Leesgue deg itegrl Riem. 2. Bgi Lemg. Segi h kji utuk mt kulih lisis rel.. Segi tmh h kepustk. 3. Bgi Mhsisw Segi h iformsi utuk kji leih ljut megei fugsi terukur sehigg memh pemhm d pegus tetg mteri dlm lisis rel khususy. 1.5 Bts Mslh Berdsrk ltr elkg d rumus mslh sert gr pemhs tidk melus mk peulis memerik ts mslh hw skripsi ii memhs tetg itegrl Leesgue fugsi stu vrile d fugsi erili rel yg fugsiy ditsi pd fugsi terukur terts, fugsi terukur tkegtif d fugsi terukur secr umum.

20 Metode Peeliti Jeis peeliti ii dlh deskripsi kulittif. Pedekt yg diguk dlh pedekt kulittif deg memki etuk studi litertur. Deg peeliti deskripsi kulittif ii, mk peulis megguk metode peeliti kepustk (lirry reserch), yitu peeliti yg dilkuk di dlm perpustk utuk megumpulk dt d iformsi deg tu ermcm-mcm mteril yg terdpt dirug perpustk seperti: ukuuku, iteret, d jurl. (Mrdris, 1999: 28). Metode yg diguk oleh peulis dlm meyusu skripsi ii dlh metode kji pustk, yitu deskripsi teoritis ttg ojek yg diteliti deg cr medlmi, mecermti, meelh dlm megidetifiksi pegethu yg d dlm kepustk (sumer c, uku-uku refersi tu hsi peeliti li) utuk meujg peeliti. ( Iql, Hs. 2002: 45). Studi kepustk merupk pempil rgumetsi pelr keilmu yg memprk hsil oleh pikir megei sutu permslh tu topik. Kji kepustk deg megumpulk ergi litertur yg erhuug deg topik yg dihs, Sedgk lgkh-lgkh umum dlm peulis skripsi ii dlh deg mempeljri topik deg memc d memhmi litertur-litertur yg erkit deg fugsi terukur pd itegrl Leesgue. Adpu lgkh-lgkh dlm peulis skripsi ii dlh

21 21 1. Merumusk mslh, seelum peulis memuli kegity, peulis memut rcg terleih dhulu megei sutu permslh yg k dihs. 2. Megumpulk h d iformsi deg cr memc d memhmi eerp literture yg erkit deg itegrl ik itu itegrl Leesgue. 3. Meyelesik Itegrl Leesgue. Ditr uku yg diguk peulis dlh Mesure d Itegrl itroductio to rel lysis sert ukuuku li yg meujg peulis skripsi ii. 4. Memut kesimpul, kesimpul merupk gmr lgkh dri pemhs ts p yg sedg ditulis. Kesimpul didsrk pd dt yg telh dikumpulk d merupk permslh yg dikemukk. 1.7 Sistemtik Pemhs Lpor peeliti ii ditulis deg 4 yg slig medukug, yitu I pedhulu, II kji teori, III pemhs, d IV peutup. BAB I, Pedhulu, memhs ltr elkg yg meceritk dsr pemikir d ls peulis megkt permslh, rumus mslh yg meytk secr sigkt d sederh permslh yg k dihs, tuju d mft peulis, sert sistemtik pemhs yg mejrk struktur peulis dri wl higg khir.

22 22 BAB II, Kji teori yg erisi tetg kosep dsr d teorem-teorem yg medukug pemhs itegrl Leesgue, Sert eerp teorem d eerp pemhs cotoh yg diguk segi cu mupu pemdig dlm pemhs. BAB III, Pemhs yg memhs megei itegrl Leesgue di R 1 mellui pemukti dri teorem-teorem yg d. BAB IV, Peutup erisi tetg kesimpul d sr-sr segi tidk ljut gi pemc yg igi megemgk pemhs tetg itegrl Leesgue di R 1

23 23 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Sift Kelegkp dri R Sift kelegkp himpu ilg R k mejmi keerd usur-usur pd R terhdp hipotesis tertetu. Sistem ilg-ilg rsiol Q memeuhi sift-sift ljr d sift urut ilg, tetpi dikethui hw tidk dpt diytk sgi sutu ilg rsiol, mk tidk termut pd Q jik ilg irrsiol yg termut pd Q. Utuk meujukk hl terseut diperluk sift tmh, sift kelegkp (tu sift supremum), dlh siftsift istimew dri R. Defiisi Bts ts (Bouded ove) d Bts wh (Bouded elow) Mislk S dlh seuh himpu gi dri R i. Seuh usur u di R diseut ts ts dri S jik s u, s S. ii. Seuh usur w di R diseut ts wh dri S jik w s, s S. (Brtle, 1982: 47). Defiisi (Supremum) Mislk S dlh seuh himpu gi dri R jik S terts di ts, mk ts ts u diseut supremum (tu ts ts terkecil) dri S jik tidk terdpt ilg leih kecil dri u segi ts ts dri S jik s u, s S. (Brtle, 1982: 47).

24 24 Defiisi (Ifimum) Mislk S dlh seuh himpu gi dri R jik S terts di wh, mk Bts wh w diseut ifimum (ts wh teresr) pd S jik tidk terdpt ilg leih esr dri w segi Bts wh dri S jik w s, s S. (Brtle, 1982: 47). Cotoh 2.1.1: ) Mislk A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Himpu A terts di ts kre 8, utuk semu A. himpu A jug terts di wh kre 0, utuk semu A. semu ilg rel v 6 merupk t ts utuk A, d semu ilg rel u 1 merupk ts wh utuk A. jdi himpu A dlh terts. ) Himpu ilg sli N = {1, 2, 3, 4, } terts di wh d 1 merupk ts wh tetpi tidk terts di ts. Jik dierik v R, mk terdpt N sehigg > v. c) Himpu = {1, 1, 1, 1, } = {1 N} terts di ts oleh serg ilg rel v 1 d terts di wh oleh serg ilg rel u 0. Bts ts terkecil dlh 1 d ts wh teresr dlh 0. d) Himpu kosog, yitu 1 d terts di di ts d terts di wh oleh semu ilg x R. Deg demiki, tidk mempuyi ts ts terkecil d ts wh teresr.

25 Itervl. Defiisi : Himpu ilg relr dpt digmrk dlm gris lurus yg diseut segi gris ilg rel. Mislk, R, deg <, sutu himpu ilg rel segi erikut: A 1 = {x R < x < } A 2 = {x R x } A 3 = {x R < x } A 4 = {x R x < } Himpu ilg rel terseut meytk sutu itervl tu selg, secr erurut diytk segi erikut : A 1, diseut segi itervl teruk, tidk termsuk kedu titik ujug. A 2, diseut segi itervl tertutup, termsuk kedu titik ujug. A 3, diseut segi itervl uk tutup, tidk termsuk titik ujug, tetpi termsuk ujug. A 4, diseut segi itervl tutup uk, termsuk titik ujug, tetpi tidk termsuk ujug. Sutu itervl yg memut serg titik x isy dilmgk deg I x. Sedgk himpu ilg rel erikut : B 1 = (x R x > ) = (, ) B 2 = (x R x ) = [, ) B 3 = {x R x < } = (, )

26 26 B 4 = {x R x ) = (, ] B 5 = {x x R} = (, ) Diseut segi itervl tk erhigg tu itervl tk terts (uouded) Sift sift itervl : Mislk M dlh kels dri semu itervl pd gris rel, termsuk di dlmy d itervl tuggl,. Mk itervl memiliki sift sift segi erikut : 1. Iris du itervl dlh itervl, yitu : Jik I 1 M d I 2 M, mk I1 I 2 M. 2. Gug du itervl yg tidk slig sig dlh itervl, yitu : Jik I 1 M d I 2 M, d I 1 I 2, mk I1 I 2 M. 3. Selisih du itervl yg tidk dpt didigk dlh itervl, yitu : Jik I 1 M d I 2 M, d I1 I 2, I 2 I1, mk I 1 I 2 M (Mfred, 2001:13). Cotoh : Mislk 2,4 I d I 6,8, mk 1 2 I I 6,4 d I I 2, I 2,6 d I I 4,8 1 I 2 2 1

27 Himpu Tertutup Defiisi: A R diseut himpu tertutup tu himpu tutup (closed set) jik d hy jik kompleme A yitu Teorem : C A himpu uk. A tertutup jik d hy jik titik limit dri A termut di A. Bukti : 1. A tertutup mk titik limit dri termut di A. A tertutup errti C A teruk, oleh kre itu ( C A ) Berrti C I, I A, sehigg diperoleh I A, yg jug errti tidk semu I memut eleme A. Jdi uk titik limit limit A tidk di C A, tetpi hrus di A. 2. Titik limit A. termut di A mk A tertutup. C A tu titik Amil C A uk titik limit, I, I d A jdi I jdi I A C, yg errti C A teruk, mk A tertutup. Cotoh : 1. Itervl tertutup, dlh himpu tertutup, se : Liht komplemey,, merupk himpu uk. Jdi, merupk himpu tertutup. merupk itervl teruk, errti

28 28 2. Himpu ,,,,... dlh tidk tertutup kre 0 dlh titik limit dri A d 0 A. 3. d R dlh himpu tertutup kre merupk himpu uk. 4. Itervl uk tutup, iterior dri A, d A tidk tutup kre (Whyudi, 1987:42) C d R c msig-msig dlh titik uk kre A uk titik A uk titik limit dri A 2.4 Fugsi Tgg Defiisi Fugsi f : [, ] R dimk fugsi tgg, jik d sutu prtisi P = {x 0, x 1, x 2,, x } dri [, ], d kostt c 1, c 2,, c 2 sehigg f(x) = c k il x (x k 1, x k ), k = 1, 2,,. (Huthe, ffedi, 1989). Cotoh hituglh : Dikethui f (x) = 5, -2 x 4, f x dx tu f. peyelesi : f x dx = 5[ 4- (-2)] = 30.

29 29 Defiisi Mislk f : [, ] R fugsi tgg pd defiisi itegrl fugsi f pd [, ] diytk deg f x dx tu f tu I p [, ] d didefiisik segi f(x) dx = f = I p [, ] = k=1 c k (x k x k 1 ). (Huthe, ffedi, 1989). Cotoh Dikethui fugsi f : [-2, 5] R yg didefiisik segi erikut: f x = 3 il 2 < x < 1 6 il 1 < x < 2 4 il 2 < x < 5 hituglh : 5 2 f x dx Adlh fugsi tgg. Peyelesi : f x dx = 3[-1 (-2)] + (-6) [2 (-1)] + 4[5 2] = -3.. jdi, [-2, 5] merupk fugsi tgg. 2.5 Ukur Defiisi Pjg sutu itervl I, ditulis I (I) didefiisik segi selisih ujugujug itervl I. Itervl I is merupk Itervl uk, itervl tutup merupk itervl uk-tutup. Dlm hl ii itervl [, ] deg =

30 30 mk pjg itervly dlh ol. Pjg memeuhi syrt-syrt segi erikut: ) I (I) 0, utuk semu itervl I ) Jik I i merupk kumpul itervl mk I Nmu sift-sift dits sulit ditemui terutm utuk meetuk ukur. M merupk kelurg himpu terukur, dim : i. μ dlh himpu terukur M ii. μ( ) = μ( ), M. 2.6 Itegrl Riem Pegerti tu kosep itegrl tetu pertm kli dikelk oleh Newto d Leiiz. Nmu pegerti secr leih moder dikelk oleh Riem. Mislk f sutu fugsi erili rel d terts didefiisik pd itervl tertutup [, ]. jik P = {x 0, x 1,, x } deg = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < < x = dlh serg prtisi pd [, ], utuk k = 1, 2, 3,..,. didefiisik U = k=1 M k (x k x k 1 ) d L = k=1 m k x k x k 1, k = 1, 2,,. Deg M k =sup {f(x) : x x k 1 x x k } d m k = if { f(x) : x x k 1 x x k }. =x 0 x 1 x 2 x k 1 x k x 1 x = Itegrl Riem ts fugsi f pd selg [, ] didefiisik segi: R f dx = if U.(1)

31 31 D itegrl Riem wh fugsi f pd selg [, ] didefiisik segi R fdx = sup L..(2) Deg sup d if dimil utuk semu prtisi P pd [, ], jik persm (1) = (2) mk fugsi f diktk teritegrl Riem (Riem itegrle) pd itervl [, ]. d kedu ili ditulis R f dx. Lmg R dimksudk utuk memedk deg itegrl Leesgue. Cotoh 2.6.1: Hituglh jumlh Riem R p utuk f(x) = (x + 1)(x 2)(x 4) = x 3 5x 2 + 2x + 8 pd selg [0, 5] memki prtisi P deg titik-titik 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 d titik- titik smpel yg erpd x 1 = 0,5; x 2 = 1, 5; x 3 = 2,5; x 4 = 3,6, d x 5 = 5 peyelesi : R p dlh jumlh Riem utuk f sutu prtisi P x k dlh titik smpel utuk selg gi ke-i. x k dlh selg gi R p = 5 k=1 f(x k ) x k = f(x 1 ) x 1 + f(x 2 ) x 2 + f(x 3 ) x 3 + f(x 4 ) x 4 + f(x 5 ) x 5 = f(0,5)(1,1-0) + f(1,5)(2 1,1) + f(2,5)(3,2-2) + f(3,6)(4-3,2) + + f(5)(5 4) = (7,875)(1,1) + (3,125)(0,9) + ( -2,625)(1,2) + (-2,944)(0,8) + 18(1)

32 32 = 23,968 y ,5 1,1 1,5 2 2,5 3,2 3,6 Defiisi Mislk f dlh fugsi erili rel yg didefiisik pd [, ] () Itegrl Riem ts didefiisik segi R f x dx = if ψ(x) dx, utuk semu fugsi ψ f () Itegrl Riem wh didefiisik segi R φ x dx = sup φ dx, utuk semu fugsi φ f Fugsi f diseut teritegrlk Riem Jik I := [, ] dlh itervl tertutup pd R mk pertisi dri I dlh himpu terurut p := (x 0, x 1,, x ) sehigg = x 0 < x 1 < x 2 < x =. Cotoh 2.6.2: Peyelesi : Fugsi f(x) = x, 0 x 1 teritegrl Riem pd [0, 1]

33 33 Amilk P = 0, 1, 2,,1, mk m i = k 1, M k = k, k = 1, 2,,. L(P, f) = k=1 m k x k x k 1 = U(P, f) = k=1 M k x k x k 1 = k 1 k=1 k k=1. 1 = 1 2 (1 1 ). 1 = 1 2 (1 + 1 ) Kre {P N} {P : P [, ]}, mk sup sup = N L( (P, f) P [,] L(P, f) if U P, f if U( P, f) = 1 2 Sehigg 1 1 f x dx = 0 2 = f x dx 0 1 Berrti fugsi f(x) = x, 0 x 1 teritegrl Riem pd [0, 1] 1 d f x dx = Defiisi Dierik f : I R dlh fugsi ts pd I d didefiisik P := (x 0, x 1,, x ) dlh prtisi dri I. utuk k = 1, 2, 3,, m k := if {f (x) : x [x k 1, x k ]} M k := sup{f (x) : x [x k 1, x k ]} Jumlh Riem wh fugsi f yg terkit deg P diytk deg L(P, f) d didefiisik segi L(P, f) := k=1 m k ( x k x k 1 ) Jumlh Riem ts fugsi f yg terkit deg P diytk deg U(P, f) d didefiisik segi U(P, f) := M k ( k=1 x k x k 1 ). (Brtle, 1999

34 34 Cotoh 2.6.3: Peyelesi : Jik f : I R dlh terts, jik P dlh prtisi dri I Dikethui f (x) = x 2, 0 x 2, P = (0, 1 3, 1 2, 1, 5 4, 2) Tetuklh U(P, f) d L(P, f) x 0 = 0, x 1 = 1 3, x 2 = 1 2, x 3 = 1, x 4 = 5 4, 2. if x [0, 1 3 ] if x [ 1 3,1 2 ] m 1 = f x = 0, m 2 = f(x m 4 = if x [1, 5 4 ] sup if f(x) ) = 1, m 5 = f x = 25. x [ 5 4,2] sup ) = 1, m if = f x = x [ 1, 2,1] 4 M 1 = f x = 1, M 9 2 = f x = 1, M 4 3 = f x = 1, x [0, 1 3 ] x [ 1 3,1 2 ] sup M 4 = f x = 25, M sup 16 4 = f x = 4. Jdi x [1, 5 4 ] x [ 5 4,2] 16 sup x [ 1 2,1] L(P, f) = 0( 1 3 0) (2 5 ) = 1, U(P, f) = , (2 5 4 ) = 3,96 Lemm Jik f : I R dlh terts, jik P dlh prtisi dri I mk L(P, f) U(P, f). (Brtle,1999). Bukti Dierik P = (x 0, x 1,, x ). ketik m k M k utuk k =1, 2, 3,, mk L(P, f) := k=1 m k ( x k x k 1 ) U(P, f) := k=1 M k ( x k x k 1 ).. Itegrl Ats d Itegrl Bwh

35 35 Koleksi semu prtisi pd itervl I dilmgk P(I). (Brtle, 1999). Defiisi Dierik I :=[, ] d dierik f : I R dlh fugsi terts. Mk itegrl Riem wh dri f pd I dlh f x dx = sup{l(p, f) : P P(I)} Mk itegrl Riem ts dri f pd I dlh f x dx = if{u(p, f) : P P(I)} D dimk itegrl Riem ts fugsi pd selg [, ].. Sift teritegrl Riem Defiisi 2.6.3,2 Dierik I:=[, ] d dierik f = I R diktk teritegrl Riem Jik f x = (x) Dilmgk f R[, ] d ditulis f x dx = f x dx = f x dx. (Brtle, 1999). Cotoh 2.6.4: Fugsi f : [3, 5] R yg didefiisik oleh f x = 1 il x rsiol 2 il x irrsiol Peyelesi : Tk teritegrl Riem pd [3,5].

36 36 Mislk P = {x 0, x 1, x 2,, x } prtisi serg dri [, ], mk sehigg L(P, f) := k=1 m k ( x k x k 1 ) = 1 k=1 (x k x k 1 ) = 1(5-3) U(P, f) := k=1 M k ( x k x k 1 ) = 2 k=1( x k x k 1 ) = 2(5 3) Jdi 5 sup if P [,] f x dx = P [,] L P, f = 2 ; f x dx = U P, f = Kre 5 5 f x dx f x dx Mk fugsi f tk teritegrl Riem pd [3, 5]. Kre utuk serg jumlh Riem dri selg gi yg megdug x = 0 dpt diut erp pu esry deg cr pemilih titik smpel x i yg cukup dekt deg ol. Teorem Fugsi f : I R teritegrl Riem pd [, ], jik d hy jik utuk setip ε > 0 d sutu prtisi P ε dri selg [, ] sehigg U(P ε, f) - L(P ε, f) < ε. (Brtle, 1999). Bukti : Mislk ε > 0 serg dierik Kre f x dx = sup L(P, f) mk d prtisi P 1 dri [, ] sehigg f x d x ε < L(P 2 1, f)

37 37 Kre f x d x = if U(P, f) mk d prtisi P 2 dri [, ] sehigg ε f x d x + 2 > U(P 2, f) Amil P ε = P 1 P 2, mk P ε P 1 d P ε P 2 ε f x dx < L P 2 1, f < L(P ε, f).(i) ε f x dx + > L P 2 1, f > L(P ε, f).(ii) Seljuty, kre fugsi f teritegrl Riem pd [, ] mk f x dx = f x dx Sehigg dri (i) d (ii) diperoleh U(P ε, f) - L(P ε, f) < ε. c. Sift Itegrl Riem Defiisi 2.5.1: Jik f teritegrl Riem pd [, ], didefiisik f x dx = f x dx ; f x dx = 0. Teorem Jik f, g R([, ]), dim, R d < mk ) f + g R(, ) d f x + g (x))dx = f x dx + g x dx. ) utuk setip c R, cf R(, ) d

38 38 cf x = c f x dx. c) jik f(x) 0 utuk setip x [, ] mk f x dx 0 d) jik f(x) g(x) utuk setip x [, ] mk f x dx g x dx. (Brtle, 1999). ) Bukti diguk ketksm : if x [x k 1,x k] f x + sup x [x k 1,x k ] f x + if x [x k 1,x k] g x sup x [x k 1,x k ] g x if x [x k 1,x k ][f x + if x [x k 1,x k] [f x + g(x)]..(i) g(x)]..(ii) Dri (i) d (ii) diperoleh L(P, f) + L(P, g) L(P, f + g), L(P, f) + L(P, g) L(P, f + g), Utuk setip prtisi P dri [, ] Kre fugsi f d g msig-msig teritegrl Riem pd [, ] mk utuk setip ε > 0 d prtisi P 1ε d P 2ε dri [, ] sehigg U(P 1ε, f) < L(P 1ε, f) + ε 2, U(P 2ε, g) < L(P 2ε, g) + ε 2 Amil P ε = P 1ε P 2ε mk P ε P 1ε, P ε P 2ε, sehigg U(P ε, f +g) U(P ε, f) +U(P ε, g) U(P 1ε, f) +U(P 2ε ) < [L(P 1ε, f) + ε 2 ] + +[L(P 2ε, g) + ε ] [L(P 2 ε, f) + ε ]+ [L(P 2 ε, g) + ε ] [L(P 2 ε, f + g) + ε Jdi U(P ε, f+g) - L(P ε, f+g) ε. Sehigg f + g teritegrl Riem pd [,] seljuty diperoleh

39 39 f x + g (x))dx = f x dx + f x dx.. Disii diguk sift: jik φ A R. c = {cx : x A} mk c sup A = sup ca, c if A = if ca. erdsrk hl itu diperoleh: sup x [x k 1,x k] cf x = c Yg erkit sup x [x k 1,x k] f x if if ; cf x = c f x x [x k 1,x k] x [x k 1,x k], L(P, cf) = cl(p, f) d U(P,c) f =cu(p, f). Jdi cf x dx = c f x dx; cf x dx = c f x dx, Seljuty, kre fugsi f teritegrl Riem pd [, ] mk f x dx = f x dx = f x dx, Sehigg kit peroleh cf x dx = c f x dx = f x dx, Yg errti fugsi f teritegrl Riem pd [, ] cf x dx = c f x dx. c. Dri f (x) > 0, x [, ] diperoleh sup if x [x k 1,x k] M k := f x f x = x [x k 1,x k] m k 0 sehigg U(P, f) L(P, f) 0 Kre fugsi f R([, ]), mk

40 40 cf x if x [,] sup x [,] dx U P, f = L P, f 0 d. Mislk h = g f = g + (-1) f kre f (x) g(x), x [, ], mk h(x) 0, x [, ] kre f, g R([, ]) mk h = g f R([, ]) seljuty meurut teorem gi c 0 h(x) dx = g f (x) Sehigg khiry diperoleh g(x) dx f(x) dx. dx = g(x) dx f(x) dx Teorem Dierik I :=[, ] d dierik c sehigg < c < dierik f : I R dlh fugsi terts. f teritegrl Riem [, ] jik d hy jik f teritegrl pd I 1 :=[, c] d I 2 :=[c, ] pd ksus f = f + f. (Brtle, 1999). Bukti Dimislk f teritegrl pd [, c] d [c, ] d dierik ε > 0 mk d pertisi P 1ε pd [, c ] d P 2ε pd [c, ] sehigg c c U(P 1ε, f) - L(P 1ε, f) < ε 2 d U(P 2ε, f) - L(P 2ε, f) < ε 2 Dierik P ε := P 1ε P 2ε Sehigg

41 41 U(P ε, f) L P ε, f = [U(P 1ε, f) + U(P 2ε, f)]-[l(p 1ε, f) + L(P 2ε, f)] = [U(P 1ε, f)- L(P 1ε, f)] + [U(P 2ε, f) - L(P 2ε, f)] < ε Dierik ε > 0 dimislk f teritegrl pd [, ]. jik ε > 0 dierik mk d prtisi pd [, ] sehigg U(P, f) - L(P, f) < ε Jik P := P {c}, P merupk peghlus prtisi P sehigg meurut teorem U(P, f)- L(P, f)] [U(P, f) - L(P, f)] < ε Jik dierik P 1 P [, c] d P 2 := P [c, ] mk diperoleh U(P, f) = U(P 1, f) + [U(P 2, f) d L(P, f)] = L(P 1, f) + [L(P 2, f) Deg megkomisik rumus terseut diperoleh [U(P, f) - L(P 2, f)] + [U(P 2, f) - [L(P 2, f)] < ε Ketik du peryt yg d di td kurug siku dpt ditrik kesimpul hw U(P 1, f) - L(P 1, f) < ε d U(P 2, f) - L(P 2, f) < ε Ketik ε > 0 mk terukti f teritegrl pd [, c] d [c, ]. Proposisi 3. L(f) U(f). Bukti. Utuk setip prtisi P 0 dri [, ], U(P 0, f) merupk ts ts dri

42 42 {L(P, f) : P prtisi dri [, ]}, sehigg L(f) = sup{l(p, f) : P prtisi dri [, ]} U(P 0, f). Kre ii erlku utuk semrg prtisi P 0, mk L(f) merupk ts wh dri {U(P 0, f) : P 0 prtisi dri [, ]}. Akity L(f) if{u(p 0, f) : P 0 prtisi dri [, ]} = U(f), segim yg dihrpk. Secr umum, L(f) U(f). Segi cotoh, jik f : [0, 1] R didefiisik Segi f x = 0, x rsiol 1, x irrsiol mk L(f) = 0 semetr U(f) = 1. Jik L(f) = U(f), mk f diktk teritegrlk Riem d ili yg sm terseut didefiisik segi itegrl Riem dri f pd [, ], yg dilmgk deg f x dx.. (Hedr Guw). Cotoh Pd gi ii k ditemuk fugsi yg tidk teritgerl Riem dlh segi erikut : g (x) = 1 jik x irrsiol 0 jik x rsiol Peyelesi :

43 43 m k = 0 M k = 0 Oleh kre itu diperoleh L(P, f) = 0 U(P, f) = 1 f x = 0 f x = 1 Kre f x f x, mk f (x) tidk teritegrl Riem. 2.7 Fugsi Krkteristik D Fugsi Sederh Defiisi Mislk R sutu himpu serg. Fugsi X : R R dimk fugsi krkteristik dri, jik X = 1, jik x 0, jik x Mislk μ : π R ukur Leesgue Mislk R sutu himpu terukur, μ () <. Fugsi f : R dimk fugsi sederh, jik d ilg rel 1, 2,, d himpu-himpu terukur i,,, i j = φ (i j), = i=1 i sehigg f(x) = i, x i (i = 1, 2,, ). dlh fugsi sederh, dpt diw ke fugsi sederh teretuk koik, terliht hw setip fugsi sederh merupk fugsi terukur. Fugsi F : R R yg didefiisik oleh F = i=1 i X i dlh fugsi yg memeuhi

44 44 Jdi f = F F(x) = f x, x 0, x Perhtik hw F = f. χ + 0. χ c Kit deg itegrl Leesgue, kit ggp F = f Jdi f = i=1 i X i. Jik f : R sutu fugsi sederh, f = i=1 i X i, d i1, i2, ik dlh ilg-ilg rel tk ol yg tk sm didlm derh ili fugsi f, mk f = k j=1 ij X ij dimk koik fugsi f. Cotoh f (x) = 1, 1 < x < 3 0, 0 < x 1 2, 4 x 0 uktik fugsi dits dlh sutu fugsi sederh. Peyelesi : f dpt ditulisk segi f = 1. χ (1,0) + 0. χ (0,1] + 2. χ [ 4,0] Dlm koik fugsi f dlh f = 1. χ (1,0) + 2. χ [ 4,0]

45 45 Utuk fugsi f kit memperoleh : f dx = 1. μ((1, 3)) + 0. μ((0, 1]) + 2. μ([-4, 0]) = 1 (3-1) + 0(1-0) + 2{0 (-4)} = 10. Utuk koik fugsi f kit memperoleh f dx = 1. μ((1, 3)) + 2. μ([-4, 0]) = 10 Jdi terukti dlh fugsi sederh. Defiisi Mislk f fugsi sederh peyji koik. f x = i=1 i χ i, deg i = {x f x = i } dlh himpu yg slig sig d terukur, sert i, (i = 1, 2,, ) mempuyi ili yg ered d tidk erili ol. Itegrl Leesgue d f didefisik deg f x = f x, x 0, x Itegrl Leesgue d f didefisik deg f(x) dx = i=1. i χ i

46 46 Teorem Jik φ d ψ msig-msig fugsi sederh d α dlh ilg rel yg dikethui mk :. (φ + ψ) dμ = φ dμ + ψ dμ.. αφ dμ = α φ dμ. c. Jik φ ψ mk φ dμ ψ dμ. Bukti : m. Mislk φ = i=1 i χ i, ψ = i=1 j χ Fj A ij = i F j, (i = 1, 2,,; j = 1, 2,..,m) jdi : φ + ψ = m i=1 j=1( i + j ) χ Aij d (φ m + ψ) dμ = i=1 i=1( i + j ) μ(a ij ). m = i=1 i=1( i ) μ(a ij ) + i=1 i=1( j ) μ(a ij ) m = i=1 i μ( i ) + j=1 j μ( i ) m = φ dμ + ψ dμ.. Mislk φ = i=1 i χ i. α φ = α i=1 i χ i. = i=1 α i χ i. αφ dμ = i=1 α i μ χ i.

47 47 = α i=1 i μ χ i. = α φ dμ. m c. Mislk φ = i=1 i χ i, ψ = i=1 i χ Fj A ij = i F j, (i = 1, 2,,; j = 1, 2,..,m) jdi φ ψ = m i=1 j=1( i + j ) χ Aij d (φ ψ) dμ = m i=1 i=1( i + j ) μ(a ij ). m = i=1 i=1( i ) μ(a ij ) i=1 i=1( j ) μ(a ij ) m = i=1 i μ( i ) j=1 j μ( i ) m = φ dμ ψ dμ. Cotoh : f x = 2, 3 x 5 1, 1 x < 3 0, 0 x < 1 2, 1 < x < 0 0, 2 < x 1 1, 5 x 2 dlh sutu fugsi sederh f dpt ditulisk segi f = 2. χ [3,5] + 1. χ [1,3] + 0. χ [0,1] + 2. χ ( 1,0) + 0. χ ( 2, 1) + 1. χ 5, 2.

48 48 Dlm koik fugsi f f = 2. χ 3,5 [ 1,0] + 1. χ 1,3 5, 2. Utuk fugsi f kit memperoleh f dμ=2.μ([3,5])+1.μ([1,3])+0.μ([0,1)]+2.μ((-1,0))+ 0.μ ((-2, -1]) +1.μ([-5,-2]) = 11 Utuk koik fugsi f kit memperoleh f dμ = 2.μ ([3, 5] (0, 1)) + 1.μ ([1, 3) [-5,-2]) = Itegrl Leesgue Pd thu 1902 Leesgue, seorg mtemtikw Percis mecermti dy fugsi yg tidk teritegrl Riem yitu fugsi yg iliy 0 d 1. Seljuty Leesgue meyusu teori ukur yg terkel deg ukur Leesgue. Leesgue meyusu teori itegrl ru yg merupk perlus dri itegrl Riem kre jik fugsi f teritegrl Riem pd [, ] mk fugsi f jug teritegrl Leesgue pd [, ].

49 49 Defiisi Mislk f : R dlh fugsi sederh, f = i=1 i χ i. Itegrl Leesgue fugsi f pd diytk deg otsi f dx d didefiisik oleh f dx = i=1 i χ i. Cotoh f (x) = 1, 1 < x < 3 0, 0 < x 1 2, 4 x 0 uktik fugsi dits merupk sutu fugsi sederh; peyelesi : f dpt ditulisk segi f = 1. χ (1,0) + 0. χ (0,1] + 2. χ [ 4,0] Utuk fugsi f kit memperoleh : f dx = 1. μ((1, 3)) + 0. μ((0, 1]) + 2. μ([-4, 0]) = 1 (3-1) + 0(1-0) + 2{0 (-4)} = 10. Jdi, merupk sutu fugsi sederh.

50 50 Itegrl Leesgue dri sutu fugsi terts yg didefiisik pd sutu himpu terukur. Mislk sutu himpu terukur, μ () <, f : R sutu fugsi terts, jdi d c, d, c < d sehigg c f x d. gilh selg [c, d] mejdi selg gi oleh titik titik y 0 = c < y 1 < y 2 < < y = d; P = y 0, y 1, y 2,.., y dimk prtisi dri [ c, d]. semu prtisi dri [c, d] diytk deg P [c,d]. Mislk m i = y i 1, M i = y i, i = f 1 (y i 1, y i ) Defiisik du fugsi sederh φ R, ψ : R segi erikut : φ(x) = m i, x i, ψ (x) = M i, x i. (i = 1, 2, 3,,). Defiisik L(P, f) = [,] φ dμ, U(P, f) = [,] ψ dμ; L(P, f) dimk jumlh Leesgue wh d U(P, f) dimk jumlh Leesgue ts dri fugsi f meurut prtisi P. Teorem Mislk f dlh fugsi ilg rel yg terts pd [, ] jik f teritegrlk Riem pd [, ] mk f teritegrlk Leesgue d

51 51 R f(x) dx = f(x) dx. Bukti : Kre f teritegrlk Riem pd [, ] mk erdsrk defiisi 2.4 if ψ 1 f ψ 1 x dx = sup φ 1 f φ 1 x dx = R f x dx, Utuk semu fugsi ψ 1 d φ 1 pd [, ]. dri defiisi 2. 4 d defiisi disimpulk hw setip fugsi tgg dlh suset dri himpu fugsi sederh. Hl ii errti, sup φ 1 f φ 1 x dx sup φ f φ x dx, utuk semu fugsi sederh φ pd [, ] (i) if ψ 1 f ψ 1 x dx if ψ f ψ x dx, utuk semu fugsi sederh ψ pd [, ] (ii) Dri (i) dpt disimpulk hw R f x dx sup φ x dx φ f = L f x dx Dri (ii) dpt disimpulk hw R f x dx if ψ x dx ψ f = L f x dx Kre φ d ψ dlh fugsi-fugsi sederh mk erdsrk teorem L f x dx = L f x dx = f x dx

52 52 Deg dikethui R f x dx = f x dx Jdi terukti hw f teritegrl Leesgue d R f x dx = f x dx. Cotoh 2.8.2, Mislk f : [0, 1] R didefiisik deg f x = 1, jik x Q pd [0, 1] 0, jik x R Q pd [, ] dlh fugsi yg teritegrlk Leesgue tetpi tidk teritegrl Riem. Peyelesi : f(x) dlh fugsi sederh. Kre f(x) dlh fugsi sederh mk 1 0 f(x) teritegrl leesgue. jdi, f x dx = 0, tetpi f(x) tidk teritegrl Riem, kre L if 1 ψ f 0 f x dx = ψ x dx = 1 d L f x dx = sup 1 φ x dx φ f 0 = 0 dri cotoh ii dpt dismpik hw fugsi yg teritgrlk Leesgue, elum tetu teritegrlk Riem.

53 53 Defiisi Mislk f: R dlh fugsi terts d dlh himpu yg erukur higg mk L f(x) if dx = ψ d L f x ψ f d x = sup ψ f φ deg ψ d φ dlh fugsi-fugsi sederh yg terdefiisi pd. erturut-turut diseut segi Itegrl Leesgue ts d Itegrl Leesgue wh. Cotoh : Fugsi f(x) = x 2, x [0, 2] teritegrl Leesgue Hituglh : [0,2] f dμ. Peyelesi : f([0, 2]) = [0, 4]. Bgilh selg [0, 4] mejdi selg gi oleh titik-titik y 0, y 1, y 2,.., y, mk m i = y i 1, M i = y i, i = x i 1, x i. y i = f(x i ) (i = 1, 2,,, μ( i ) = x i - x i 1, sehigg

54 54 [0,2] f dμ= lim = mks μ( i ) 0 i=1 M i μ( i ) = mks (x i x i 1 ) 0 i=1 M i (x i x i 1 ) = lim 2 0 f x dx f dμ= lim = mks μ( i ) 0 i=1 m i μ( i ) = mks (x i x i 1 ) 0 i=1 m i (x i x i 1 ) = lim 2 f x dx. 0 Kre fugsi f kotiu, mk f teritegrl Riem pd [0, 2] Jdi 2 0 f x dx 2 = f x dx 0 2 = f(x) = Sehigg [0,2] 2 0 f dμ = f(x) dx = f x dμ 2 0 Berrti fugsi f teritegrl Leesgue pd [0, 2] d [0,2] 2 0 f dμ = f(x) dx. (Huthe, ffedi: 1989). 2.9 Himpu Terukur Defiisi Himpu diseut terukur leesgue tu leih sederh diseut terukur jik utuk serg himpu A erlku μ (A) = μ(a ) + μ A c.

55 55 Teorem Mislk x R sutu himpu terts d terukur. x terukur, jik d hy jik μ (A) = μ(a ) + μ A c. ukti: ( ) dikethui: X terukur, terukur; k diuktik μ (A) = μ(a ) + μ A c Meurut defiisi, utuk setip himpu terts A erlku μ (A) = μ(a ) + μ A c Kre X, d X terukur, mk utuk A = X kit memperoleh A = A =, μ (A) = μ(x) Jdi μ(x) = μ (X) = μ (X ) + μ A c = μ () + μ A c ( ) dikethui : X terukur, μ(x) = μ () + μ A c Ak diuktik terukur Mislk A X himpu terts serg, d B X sutu selimut terukur dri A; jdi B A d μ(b) = μ (A) Kre B terukur mk μ () = μ ( B) + μ B c. μ X c =μ ((X c ) B) + μ ((X c ) B c ) = μ ( c B) + μ (X ( B) c Jdi μ(x) = μ () + μ (X c )

56 56 = μ ( B) + μ (X c ) + μ ( c B) + μ (X ( B) c =[μ ( B) + μ ( c B)]+[μ ( B c )+ μ (X ( B) c ] (1) Kre μ(b) = μ (B) = μ ( B) + μ ( c B) μ(x B) = μ (X - B) = μ ( B c ) + μ (X ( B) c ) Mk dri (1) diperoleh μ(x) =μ ( B) + μ ( c B) + μ ( B c ) + μ (X ( B) c ) =μ (B)+ μ(x B) Kre μ(x B) μ ( B c ) + μ (X ( B) c ) Mk μ(b) μ ( B) + μ ( c B) Seljuty (A ) (B ) d (A c ) ( B c ). Jdi μ ( B) + μ (A c ) μ (B ) + μ B c μ(b) = μ (A) Jdi terukur. Lemm : Utuk setip himpu terts A d B erlku : μ A μ B μ ((A B) (B A) Bukti : Tulislh A B = A B B A

57 57 Jik μ A μ B, mk dri huug A B (B A) Diperoleh μ A μ B + μ A B 1 Jdi μ A < μ B, mk dri huug B A (A B) Diperoleh μ B μ A + μ A B Jdi μ B μ A + μ A B.. 2 Dri (1) d (2) diperoleh μ A μ B μ A B. Defiisi Mislk f dlh fugsi erili rel yg didefiisik pd himpu terukur. Fugsi f diseut terukur leesgue tu terukur pd jik (f(x) > α) = {x : f(x) > α} terukur, utuk semu ilg rel α. Teorem 2.9.3: Mislk sutu himpu terts. Jik d sutu himpu terts d terukur H d μ H = μ + μ (H ) Mk, terukur

58 58 Bukti : Mislk X sutu himpu terukur terts deg X H, k diuktik μ X = μ + μ (X ) Kre X = (X - ) mk μ X μ + μ (X )..(1) Kre H terukur, mk μ X = μ X H + μ H = μ H + μ H + μ μ X + μ Cotoh Mislk A d dlh himpu terukur Fugsi krkteristik k(x) yg didefiisik deg A dlh fugsi terukur. Bukti : Amil serg α R. Dlm hl ii digi mejdi 3 ksus. Ksus 1. Utuk α 1 Hl ii errti (k> α) = {x : k x > α} = terukur. Ksus 2. Utuk 0 α < 1 Hl ii errti (k > α) = x : k x > α = A Kre A d dlh himpu terukur mk A terukur. Ksus 3 : Utuk α < 1 Hl ii errti (k > α ) ={x : k x > α} =

59 59 Dikethui hw terukur. Kre (k > α) = x k x > α terukur utuk semu ilg rel α mk fugsi krkteristik k (x) terukur Fugsi Terukur Itegrl Leesgue dri sutu fugsi f erili rel meliputi sutu himpu terukur R. itegrl Lesgue dri fugsi f meliputi himpu terukur R. dirumusk segi : lim mks μ( i ) 0 i=1 f dμ = f t i μ( i ) Dlm hl ii i = {x : y i f(x) < y i+1 }, c = y 1 < y 2 < y 3 < < y = d, R p = [c, d] t i i dipilih serg i hrus terukur (i = 0, 1, 2,, 1) memgi selg [c, d] dimk fugsi terukur. Teorem Dierik fugsi f : D R (rel exteded) dim domi D dlh himpu terukur d M merupk kelurg himpu terukur mk fugsi f diktk terukur jik memeuhi slh stu peryt erikut: i. α R mk {x D f x > α} M ii. iii. α R mk {x D f x α} M α R mk {x D f x < α} M

60 60 iv. α R mk {x D f x α} M α R mk {x D f x = α} M, himpu terukur. (Huthe, ffedi, 1989) Bukti : Utuk R deg erhigg (fiite) erlku {x D f x = α} = {x D f x α} {x D f x α} M Utuk = + erlku { x D f x = + } = =1 {x D f x } M Utuk α = { x D f x = } = =1 {x D f x α} M Sehigg terukti hw {x D f x = α} M, α R. Teorem : Jik m () = 0 mk fugsi f : R mk dlh terukur Bukti : Utuk setip ilg rel c, himpu (f < c). Kre m () = 0, mk m ( (f < c) ) = 0, jdi d (f < c) keduduy terukur. Berrti f : R terukur Jdi terukur. (Huthe, ffedi, 1989).

61 61 Cotoh Q = sistem ilg rsiol, m (Q) = 0 Jw : Utuk setip ilg Q d utuk setip ilg rel c, himpu Q(f < c) Q Kre m (Q) = 0, mk m (Q (f < c) ) = 0, jdi Q d Q (f < c) keduduy terukur. Berrti f : Q R terukur Kji Ilmu Dlm Al-Qur Dlm Al-Qur terdpt yk surt yg meergk tetg petigy utuk megemgk d memhmi pegethu. Pd dsry semu org yg erkl diwjik utuk meutut ilmu. Di jelsk dlm Al-Qur surt Al-Imro yt 190 segi erikut : Artiy : Sesugguhy dlm pecipt lgit d umi, d silih ergtiy mlm d sig terdpt td-td gi org-org yg erkl. (Qs. Al-Imro: 190) Ilmu merupk sesutu yg sgt petig gi org-org yg erkl, Dim semu org sgt memutuhky, leih dri sekedr keutuh mk d mium. Dlm meutut ilmu erit utuk memerts keodoh dri diriy d dri org li, kre pd dsry musi itu jhil (odoh).

62 62 Ditegsk pul dlm firm Allh SWT surt A-Nhl yt 78 hw musi dilhirk didui dlm ked fitrh sehigg musi hy is meruh diriy sediri utuk mejdi musi yg erilmu d erkl. Dlm Al-Qur Allh erfirm segi erikut : Artiy : D Allh megelurk kmu dri perut iumu dlm ked tidk megethui sesutupu, d Di memeri kmu pedegr, pegliht d hti, gr kmu ersyukur. (QS. A Nhl:78). Musi yg diciptk Allh segi mkhluk yg plig cggih, mmpu megguk potesi yg dimilikiy deg ik. Al-Qur' meeptk musi segi mkhluk cipt Allh erup jsmi d rohi. Al-Qur' memeri cu koseptul yg sgt mp dlm memeri pemeuh keutuh jsmi d ruhi gr musi erkemg. Musi diciptk Allh segi mkhluk erpridi segi mkhluk yg hidup ersm-sm deg org li, segi mkhluk yg hidup di tegh-tegh lm d segi mkhluk yg diciptk d disuh oleh Allh. Musi segi mkhluk erpridi, mempuyi fugsi terhdp diri pridiy. Musi segi ggot msyrkt mempuyi fugsi terhdp msyrkt. Musi segi mkhluk yg hidup di tegh-tegh lm, erfugsi terhdp

63 63 lm. Musi segi mkhluk yg diciptk d disuh, erfugsi terhdp yg meciptk d yg megsuhy. Seli itu musi segi mkhluk pridi terdiri dri kestu tig usur yitu : usur pers, usur kl, d usur jsmi. Utuk megktulissik potesi di ts, diutuhk kemmpu d kulits musi yitu kulits im, kulits ilmu pegethu, d kulits ml sleh utuk mmpu megolh d megfugsik potesi yg dierik Allh kepd musi utuk mejdi mft gi diriy sediri d org li. Musi megethui hw ilmu pegethu sgt lus mky muli dri ilmu gm d ilmu-ilmu yg erhuug deg mtemtik, kre pegethu dpt meghilgk keodoh yg k memw musi thu k petigy ilmu sehigg tidk heti-hetiy utuk mecri d mempeljri ilmu terseut. Dlm ilmu mtemtik ukur Leesgue diotk segi pemuk pitu teori tetg ukur dlm gris rel. Deg megguk ukur Leesgue, mk Leesgue meciptk d meyusu sutu teori itegrl ru yg dikel deg m itegrl Leesgue, se peerp ukur Leesgue pd itegrl Leesgue, megkitk hw itegrl Leesgue memerik perlus idh dri itegrl Riem d itegrl Stieltjes, kre itegrl Leesgue memut leih yk fugsi dpt diitegrlk, tetpi tidk erlku seliky. Jdi ukur Leesgue dlm itegrl Leesgue termsuk pemhs ru dlm lisis mtemtik moder.

64 64 Sis megugkpk hw lm semest ii tidk terjdi secr keetul. 'Tuh tidk sedg ermi ddu, ugkp Alert istei. Semu erdsrk perhitug, ukur, d perec yg mtg, hk ketik detum esr pertm dim Allh, deg kt Ku-Ny, Jdilh, meciptk lm semest dlm hitug t 0 higg detik. Stepphe Hwkig megtk Sediy pd st detum esr terjdi kurg tu leih cept seperjut detik sj, mk lm semest tidk k seperti ii. Dlm Firm Allh surt Al Qomr yt 49 segi erikut : إ ن ا ك ل ش ي ء خ ل ق ن اه ب ق د ر Artiy: Sesugguhy Kmi meciptk segl sesutu meurut ukur. (Qs. Al-Qomr:49) Allh SWT meergk hw segl sesutu yg d dlm kehidup di dui ii tidklh terjdi secr keetul, k tetpi deg keputus d ketetu Allh (qd d qdr-ny). Apil Allh meghedki sesutu perkr, mk hy megtk kepdy, Jdilh!, mk perkr itupu terjdi. Alm semest memut etuk-etuk d kosep mtemtik, meskipu lm semest tercipt seelum mtemtik itu d. Alm semest sert segl isiy diciptk Allh deg ukur-ukur yg cermt d teliti, deg perhitug-perhitug yg mp, d deg rumus-rumus sert persm yg seimg d rpi. Sugguh, tidk slh kiry jik peulis meytk hw Allh mh mtemtis. Mtemtik itu pd dsry erkit deg pekerj meghitug, termsuk teori ukur Leesgue, sehigg tidk slh jik kemudi d yg

65 65 meyeut mtemtik dlh ilmu hitug tu ilmu l his. Dlm urus hitug meghitug ii, Allh dlh rjy. Allh sgt cept dlm meghitug d sgt teliti. Kit perhtik yt-yt Al Qur' yg mejelsk hw Allh sgt teliti. Aktivits memperhtik, memikirk, memhmi, meguk kl yg yk dijurk oleh Alh SWT dlm Al Qur' merupk seuh rgki metode peeliti ilmih utuk meghsilk teori-teori ilmih utuk meghsilk teori-teori ilmu pegethu, yg semuy tergkum dlm 2 kegit yitu memc d meulis, seperti hly Allh memerik Al Kit yg errti tulis d Al Qur' yg errti c. D deg Qlm Allh memproses pecipt d pegemg lm semest esert isiy, ik yg di lgit mupu di umi, ik yg tmpk mupu yg tidk, erjl higg detik ii dlm ketertur d ketetu-ny dlm etu ukur, mss, kecept, d seluruh perhitug di jgd ry deg keteliti yg tidk dig d tidk k d yg mmpu utuk medigi-ny. Semuy dlm stu gk. Allh telh meciptk segl sesutu di lm semest deg Ukur yg tept, d jik terliht peyimpg ii disek kre ilmu pegethu msih terllu dii utuk memhmiy.

66 66 BAB III PMBAHASAN B ii memhs fugsi terukur pd itegrl Leesgue utuk tig jeis fugsi terukur yitu fugsi terukur yg terts pd itegrl Leesgue, fugsi terukur tkegtif pd itegrl Leesgue d fugsi terukur secr umum pd itegrl Leesgue. 3.1 Fugsi Terukur yg Terts pd Itegrl Leesgue Teorem Dierik f d g dlh fugsi terts yg terukur pd himpu dri ukur erhigg mk : f. αf dμ= α f dμ utuk semu ilg rel. g. f + g dμ = f dμ + g dμ. h. Jik f = g h.d mk f i. Jik f g h. d mk f dμ= g dμ g deg demiki f f. Bukti :. Ksus 1 : Utuk α = 0 Hl ii errti αf = α f = 0 Ksus 11 : Utuk setip α 0.

67 67 Mislk U(f) = {ψ: ψ dlh fugsi sederh di d ψ f} ψ f kre α > 0 diperoleh α ψ f. jdi f if = α ψ αφ αf if = α ψ φ f = α ψ Ksus III : Utuk α < 0, dimil serg fugsi sederh φ f. Kre α < 0 diperoleh α φ αf Jdi, sup αf = φ. αφ αf sup = α φ. αφ αf = α f. jdi terukti hw αf dμ= α f dμ utuk semu ilg rel. f + g dμ = f dμ + g dμ Bukti : Mislk ψ 1 d ψ 2 dlh fugsi sederh sedemiki sehigg ψ 1 f d ψ 2 g rti ψ 1 + ψ 2 dlh fugsi-fugsi sederh mk

68 68 (ψ 1 + ψ 2 ) = ψ 1 + ψ 2. Sehigg f + g ψ 1 + ψ 2 = ψ 1 + ψ 2. Deg demiki f + g if ψ 1 ψ 1 if + ψ 2 = f ψ 2 + g (i) Mislk φ 1 d φ 2 dlh fugsi-fugsi sederh sedemiki sehigg φ 1 f d φ 2 g, errti φ 1 + φ 2 f + g kre φ 1 + φ 2 dlh fugsi-fugsi sederh mk (φ 1 + φ 2 ) = φ 1 + φ 2. Sehigg f + g φ 1 + φ 2 = φ 1 + φ 2. Deg demiki (f + sup g) φ 1 + φ 2 + φ 1 f sup φ 2 g = f + g. (ii) Dri (i) d (ii) diperoleh (f + g) = f + g

69 69 Jdi terukti, f + g = f + g. (c). Jik f g = 0 hmpir dim-m d jik ψ 0 diperoleh Kre f = g hmpir dim-m errti f g = 0 hmpir dim-m Mislk ψ dlh fugsi sederh sedemiki sehigg ψ f g hmpir dim-m. Akity ψ 0 hmpir dim Kre ψ dlh fugsi sederh mk ψ 0 Deg demiki (f g) 0.(i) Mislk φ dlh fugsi sederh sedemiki sehigg φ f g mk kre φ dlh fugsi sederh mk φ 0 oleh kre itu dipeoleh φ 0. Deg demiki (f g) 0.(ii) Dri (i) d (ii) diperoleh (f g) = 0. Akity f + g Jdi terukti hw jik f = g hmpir dim-m mk f g d. f g hmpir dim-m pd f g 0. h.d pd Kre f g hmpir dim-m errti f g 0 hmpir dim-m Mislk ψ dlh fugsi sederh sedemiki sehigg ψ f g 0 hmpir dim-m. Akity ψ 0 hmpir dim-m Kre ψ dlh fugsi sederh mk ψ 0

70 70 Deg demiki (f g) 0. Hl ii errti f g Jdi terukti hw jik f g hmpir dim-m mk f g Teorem : Jik A, B du himpu terukur, A B = ϕ, f A B R fugsi terukur d terts, mk f dμ = f dμ + f dμ A B A B Bukti : Mislk A = m A i i=1, B = j=1 B j, f A = i=1 i χ Ai, f B = j χ Bj m j=1. Kre A B = ϕ, mk A i B j =ϕ (i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, ), Sehigg Kit dpt meulisk, f A, f B d f erturut-turut segi = m+ k m m+ m+ k=1. k=1, f A = k=1 c k χ k, f B = k=m+1 c k χ k, f = c k χ k Dim k = c k = A k, k = 1, 2,, m B k m, k = m + 1, m + 2,, m + k, k = 1, 2,, m k m, k = m + 1, m + 2,, m + Sehigg A f dμ = m m i=1 i χ Ai = k=1 c k χ k, f dμ = B j=1 j χ j m+ = k=m+1 c k χ k.

71 71 A B f dμ m+ = k=1 c k χ k. Jdi terukti hw f dμ = f dμ + f dμ. A B A B 3.2 Fugsi Terukur Tkegtif pd Itegrl Leesgue Defiisi Mislk f sutu fugsi terukur tkegtif mk difiisik pd himpu yg terukur mk sup f = h. h f Deg h dlh fugsi terukur yg terts sedemiki sehigg μ x : h x 0 dlh higg. Cotoh : Jik f : R sutu fugsi terukur tkegtif d Buktik hw f = 0 hmpir dim-m Peyelesi : f dμ = 0. Mislk f : R dlh fugsi terukur tkegtif mk d sutu himpu f, μ (f) = 0, sehigg f = 0, x f. Kre μ (f) = 0, mk f f dμ = f = 0.

72 72 Defiisi : Mislk f : R dlh fugsi terukur tkegtif. f dμ didefiisik segi f dμ = sup { φ dμ φ : R terukur, terts, φ f} Fugsi f diktk itegrel (tu dpt dijumlhk) pd, jik f dμ <. Teorem Dierik f d g fugsi tkegtif yg terukur mk :. αf dμ = α f dμ, α > 0.. f + g dμ = f dμ + g c. f g dμ = f dμ g dμ dμ d. Jik f g h. d mk f g Bukti :. Berdsrk defiisi diperoleh αf dμ = αh dμ α h dμ = α f dμ. sup αh αf sup h f jdi terukti hw αf dμ = α f dμ. Dim h d k dlh terukur, terts d tk egtive,sehigg h f d k g. mislk μ({x : h(x) 0}) <

73 73 μ({x : k(x) 0}) <. Mislk h f d k g mk (h + k)(x) = h(x) + k(x) f(x) + g(x) =(f + g)(x) Hl ii errti (h + k)(x) = (f + g)(x) Sehigg h + k = h + k f + g sup sup Akity h + k (f + g) h f k g Deg demiki f + g f + g (i) Mislk ψ dlh fugsi terukur terts d tkegtif, ψ f + g didefiisik h(x) = mi(f(x), ψ(x)) k(x) = α x - h(x) mk h(x) f(x), k(x) g(x) Dlm hl ii digi mejdi du ksus, yitu: Ksus 1. Utuk h(x) = ψ x Hl ii errti k(x) = 0 Kre g dlh fugsi terukur tk egtif d k(x) = 0 mk k(x) g(x) ksus 2. Utuk h(x) = f(x) hl ii errti k(x) g(x) jdi terukti hw k(x) g(x)

74 74 kre ψ x = h(x) = k(x) dlh fugsi terukur yg terts yg didefiisik pd seuh himpu yg erukur higg d terukti hw h(x) f(x) d k(x) g(x) mk sup ψ f+g sup sup ψ + h + k f + g. h g k g sup erdsrk defiisi 3.2.1, ψ = f + g ψ f+g deg demiki f + g f + g. (ii) dri (i) d (ii) diperoleh f + g = f + g jdi terukti hw f + g = f + g. c. Kre f d g dlh fugsi-fugsi terukur tk egtif. Jik f > g mk fugsi (f g) is dipstik merupk fugsi terukur tk egtif jug. Berdsrk teorem (), f g + g = f g + g. dikethui hw f teritegrlk pd. hl ii errti f < kre f < d f = f g + g mk f g < d g < sehigg g jug teritegrlk pd. kity f g = f g. Jdi terukti hw g teritegrlk pd d f g = f g.

75 75. Jik f g mk f g Bukti Kre f g errti f g 0 Mislk φ dlh fugsi terukur yg terts yg didefiisik pd himpu yg erukur higg d φ f g 0. Akity φ 0 kre φ dlh fugsi terukur yg terts mk φ 0 Berdsrk defiisi 3.2.1, sup φ = f g φ f g Kre φ 0. sup d φ = f g φ f g errti f g 0 Akity f g Jdi terukti hw jik f g mk f g. Cotoh : Jik f i : R fugsi terukur tkegtif, α i 0 (i = 1, 2,, ) Mk ( i=1 α i f i ) dμ = i=1 (α i f i dμ). Peyelesi :