Catatan Kuliah. Komputasi Geofisika. Sayahdin Alfat

Transkripsi

1 Catatan Kuliah Komputasi Geofisika Sayahdin Alfat 29 Desember 2017

2 Daftar Isi Daftar Isi 1 1 Interpolasi dan Pencocokan Kurva Pengantar Interpolasi Polinomial Tugas Interpolasi Cubic Spline Least-Square Fit Integral Pendahuluan Aturan Trapezoidal Aturan Composite Trapezoidal Aturan Simpson Menentukan nilai error Latihan Persamaan Differensial Metode Euler Metode Runge-Kutta Metode Runge-Kutta orde Metode Runge-Kutta orde Latihan Sistem Berorde Tinggi (Higher-Order Systems) Metode Beda Hingga

3 Daftar Gambar 1.1 Treatment data melalui interpolasi dan pencocokan kurva Treatment data melalui interpolasi dan pencocokan kurva (a) Plotting grafik secara langsung, dan (b) Plotting kurva menggunakan metode polinomial Lagrange (a) Plotting grafik secara langsung, dan (b) Plotting kurva menggunakan metode polinomial Newton (a) Plotting grafik secara langsung, dan (b) Plotting kurva menggunakan metode polinomial Neville Ilustrasi interpolasi cubic spline Grafik perbandingan antara code I dan code II Grafik perbandingan antara data eksperiment dan fungsi interpolasi Reflektor mendatar pada kedalaman z Reflektor mendatar pada kedalaman z (a) Kurva fungsi f(x), dan (b) Kurva fungsi f(x) menggunakan metode Trapezoidal Ilustrasi aturan composite trapezoidal Ilustrasi aturan Simpson Ilustrasi aturan Composite-Simpson. Bandingkan gambar tersebut dengan gambar Ilustrasi aturan Simpson 3/ Ilustrasi perhitungan differensial secara analitis dan numerik Grafik perbandingan solusi analitis dan numerik (a) Metode Heun, (b) Metode Midpoint dan (c) MEtode Ralston Grafik perbandingan solusi analitis dan numerik menggunakan Metode Runge- Kutta orde Grafik perbandingan solusi analitis dan numerik menggunakan Metode Higher Order Systems orde Skema grid dan mesh pada Metode Beda Hingga

4 Bab 1 Interpolasi dan Pencocokan Kurva 1.1 Pengantar Salah satu bagian terpenting dalam pengolahan data yakni analisis data melalui grafik atau kurva. Akan tetapi, terkadang data yang dihasilkan saat pengambilan data atau pengukuran tidak merepresentasikan data secara keseluruhan atau kurang, sehingga proses analisis data menjadi sedikit rumit dan pada akhirnya hasil yang diperoleh kurang baik (tidak akurat). Di sisi yang lain, pemahaman seseorang tentang treatment kurva sangat kurang sehingga menambah ketidakakuratan hasil yang diperoleh. Untuk Ada dua teknik treatment kurva yang sering digunakan yakni interpolasi (interpolation) dan pencocokan kurva (fitting curve). Kedua metode ini memiliki perbedaan yaitu; pada metode interpolasi, konstruksi kurva didasarkan pada data-data yang ada, artinya kurva yang dibentuk harus melalui semua titik yang data yang ada. Sedangkan, metode pencocokan kurva digunakan pada data yang mengandung noise, biasanya untuk menghitung tingkan kesalahan (error) suatu data antara. Gambar 1.1: Treatment data melalui interpolasi dan pencocokan kurva 1.2 Interpolasi Polinomial Salah satu metode interpolasi yang sering digunakan adalah metode polinomial. Secara umum metode ini dapat diungkapkan dalam persamaan: f(x) = a 1 + a 2 x + a 3 x a n x n 1 (2.1) 3

5 atau f(x) = p 1 x n 1 + p 2 x n 2 + p 3 x n p n 1 x + p n (2.2) dimana n merupakan jumlah data yang digunakan. Contoh Dari suatu eksperimen diperoleh data sebagai berikut: Tentukan bentuk persamaan polino- T ( C) ρ (kg/m 3 ) mial yang memenuhi hasil eksperimen tersebut? Solusi Dari data yang ada diketahui bahwa jumlah data (n) adalah 3, sehingga bentuk persamaan polinomial yang mungkin terjadi adalah: f(x) = p 1 x 2 + p 2 x + p 3 ρ(t ) = p 1 T 2 + p 2 T + p 3 (2.3) Substitusi seluruh data hasil eksperimen pada persamaan 2.3, sehingga diperoleh: = p p p 3 (2.4) = p p p 3 (2.5) = p p p 3 (2.6) Dari ketiga persamaan tersebut ( ), koefisien p 1, p 2 dan p 3 dengan mudah diperoleh: 1 clear all; 2 clc; 3 %diketahui Ap = b 4 %tentukan nilai p 5 A = [ ; ; ]; 6 b = [0.616; 0.525; 0.457] 7 p = inv(a)*b Dari hasil perhitungan diperoleh persamaan eksak untuk 2.3 memenuhi: ρ(t ) = T T (2.7) Contoh di atas merupakan penyelesaian secara umum metode interpolasi menggunakan interpolasi. Pada bagian selajutnya akan dijelaskan beberapa varians dari metode interpolasi dengan menggunakan teknik polinomial, seperti; metode polinomial Lagrange, Newton, dan Neville. 4

6 Metode Lagrange Metode Lagrange merupakan salah satu varians dari metode interpolasi polinomial yang sangat sederhana. Metode Lagrange dapat diungkapkan dalam bentuk persamaan: dimana: j=1 j i P n 1 (x) = n y i l i (x) (2.8) l i = x x 1 x x 2 x x i 1 x x i+1 x x n x i x 1 x i x 2 x i x i 1 x i x i+1 x i x n n x x j =, i = 1, 2,, n (2.9) x i x j Persamaan 2.9 disebut sebagai fungsi kardinal (cardinal functions), dimana n merupakan jumlah data yang digunakan. Contoh 1. Jika jumlah data yang digunakan n = 2, maka dengan menggunakan persamaan 2.8, persamaan polinomial yang memenuhi persamaan tersebut adalah: dimana nilai l 1 (x) dan l 2 (x) memenuhi persamaan: P 1 (x) = y 1 l 1 (x) + y 2 l 2 (x) (2.10) l 1 (x) = x x 2 x 1 x 2 (2.11) l 2 (x) = x x 1 x 2 x 1 (2.12) Jika persamaan (2.11) dan (2.12) ke persamaan 2.10, maka diperoleh: P 1 (x) = y 1 x x 2 x 1 x 2 + y 2 x x 1 x 2 x 1 (2.13) 2. Bagaimana jika jumlah data (n) = 3, maka persamaan yang diperoleh: P 2 (x) = y 1 l 1 (x) + y 2 l 2 (x) + y 3 l 3 (x) (2.14) Dimana: l 1 (x) = (x x 2)(x x 3 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) l 2 (x) = (x x 1)(x x 3 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) l 3 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) 5 (2.15) (2.16) (2.17)

7 Aplikasi Contoh Tentukanlah massa jenis (ρ) suatu bahan pada T = 10 C, jika diketahui data: T ( C) ρ (kg/m 3 ) Solusi Sebelum menentukan nilai ρ pada temperature T = 10 C, terliebih dahulu dilakukan plotting data (Gambar??) Gambar 1.2: Treatment data melalui interpolasi dan pencocokan kurva Dari gambar?? terlihat bahwa penggunaan data dalam jumlah banyak sangat berpengaruh. Semakin besar data yang digunakan, sebakin baik pula hasil yang diperoleh. Mari kita membandingkan hasil dengan menggunakan jumlah data n= 2, 3, dan Untuk n = 2, data yang digunakan: T 1 = 40 ρ 1 = 1.52 T 2 = 0 ρ 2 = 1.29 maka ρ pada T = 10 C memenuhi persamaan: T T 2 T T 1 ρ(t ) = ρ 1 + ρ 2 T 1 T 2 T 2 T 1 ρ( 10) = ( 40) ( 40) = =

8 2. Untuk n = 3, dengan data: T 1 = 40 ρ 1 = 1.52 T 2 = 0 ρ 2 = 1.29 T 3 = 20 ρ 3 = 1.20 maka ρ pada T = 10 C memenuhi persamaan: (T T 2 )(T T 3 ) ρ(t ) = ρ 1 (T 1 T 2 )(T 1 T 3 ) + ρ (T T 1 )(T T 3 ) 2 (T 2 T 1 )(T 2 T 3 ) + ρ (T T 1 )(T T 2 ) 3 (T 3 T 1 )(T 3 T 2 ) ρ( 10) = 1.52 ( 10)( 30) ( 40)( 60) (30)( 30) (40)( 20) (30)( 10) (60)(20) = 1.52 (300) (2400) ( 900) ( 800) ( 300) = (1200) 3. Jika n = 4, maka lebih baik gunakan program (code) untuk menyelesaikan atau menentukan massa jenis pada T = 10 C 1 clear all; 2 clc; 3 T = [ ]; 4 d = [ ]; 5 Tt = 10; 6 yint = Lagrange(T,d,Tt); 7 disp('massa Jenis = '); 8 fprintf('%10.15f\nleftarrow',yint); dengan fungsi Lagrange adalah: 1 function yint = Lagrange(x,y,xx) 2 % x adalah variabel bebas 3 % y adalah variabel terikat 4 % xx adalah nilai variabel bebas yang dihitung 5 n = length(x); % jumlah data yang digunakan 6 s = 0; 7 for i = 1:n 8 P = y(i); %array variabel terikat 9 for j = 1:n 10 if i ~= j 11 li = (xx x(j))/(x(i) x(j)); % menentukan nilai L_{i} 12 P = P*li; 13 end 14 end 15 s = s+p; 16 end 17 yint = s; Fungsi Lagrange yang digunakan pada code di atas, dapat digunakan untuk semua jenis data sepanjang masih menggunakan metode Lagrange. 7

9 Latihan Soal Tentukanlah nilai y pada x= 1, jika diketahui data: Tabel 1.1: Data hubungan x dan y x y Solusi Diketahui bahwa jumlah data (n) = 3, sehingg persamaan memenuhi: (x x 2 )(x x 3 ) y(x) = y 1 (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) + y (x x 1 )(x x 3 ) 2 (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) + y (x x 1 )(x x 2 ) 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) (2.18) y(1) = 7 ( 1)( 2) ( 2)( 3) + 11(1)( 2) (2)( 1) + 28(1)( 1) (3)(1) ( 1 ( 1 = = 4 3) 3) Untuk membandingkan hasil tersebut, maka uji coba dengan menggunakan code. Gunakan fungsi Lagrange. 1 clear all; 2 clc; 3 x = [0 2 3]; 4 y = [ ]; 5 xt = 1; 6 yint = Lagrange(x,y,xt); 7 disp('nilai y pada x = 1 adalah'); 8 fprintf('%1.2f\nleftarrow',yint); Hasil: Nilai y pada x = 1 adalah

10 Alternatif Solusi Gunakan persamaan 2.18, diperoleh: (x 2)(x 3) (x)(x 3) (x)(x 2) y(x) = y(x) = 7 6 (x2 5x + 6) 11 2 (x2 3x) (x2 2x) = 7 6 (x2 5x + 6) 33 6 (x2 3x) (x2 2x) y(x) = 5x 2 8x + 7 (2.19) dengan menggunakan persamaan 2.19 diperoleh nilai y pada x = 1 adalah 4. Jika tabel 1.1 diploting dan dibandingkan dengan ploting menggunakan persamaan 2.19 diperoleh: (a) (b) Gambar 1.3: (a) Plotting grafik secara langsung, dan (b) Plotting kurva menggunakan metode polinomial Lagrange Metode Newton Secara prosedur metode Lagrange tidak efisien untuk menentukan nilai suatu variabel terikat. Salah satu alternatif yang juga sering digunakan adalah menggunakan metode Newton. Metode ini sering juga disebut sebagai metode selisih terbagi (divided differences). Bentuk umum interpolasi polinomial menggunkan metode Newton adalah: P n 1 (x) = a 1 + (x x 1 )a 2 + (x x 1 )(x x 2 )a (x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 )a n 9

11 dimana n adalah jumlah data, dan koefisien a 1, a 2, a 3, hingga a n memenuhi persamaan: a 1 = f(x 1 ) (2.20) a 2 = f[x 2, x 1 ] (2.21) a 3 = f[x 3, x 2, x 1 ] (2.22) a n = f[x n, x n 1,, x 2, x 1 ] (2.23) sedangkan f[x 2, x 1 ], f[x 3, x 2, x 1 ], dan f[x n, x n 1,, x 2, x 1 ] dapat diungkapkan dalam bentuk: Contoh f[x i, x j ] = f(x i) f(x j ) x i x j (2.24) f[x i, x j, x k ] = f[x i, x j ] f[x j, x k ] x i x k (2.25) f[x n, x n 1,, x 2, x 1 ] = f[x n, x n 1,, x 2 ] f[x n 1, x n 2,, x 1 ] x n x 1 (2.26) Tentukan bentuk persamaan polinomial menggunakan metode Newton, jika jumlah data n = 4. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut maka persamaan yang memenuhi adalah: P 3 (x) = a 1 + (x x 1 )a 2 + (x x 1 )(x x 2 )a 3 + (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )a 4 dan nilai a 1, a 2, a 3, dan a 4 dapat diungkapkan: a 1 = f(x 1 ) (2.27) a 2 = f(x 2) f(x 1 ) (2.28) x 2 x 1 a 3 = f[x 3, x 2 ] x 3 x 1 f[x 2, x 1 ] x 3 x 1 = a 4 = f(x 3 ) f(x 2 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) f(x 2) f(x 1 ) (x 3 x 1 )(x 2 x 1 ) f(x 4 ) f(x 3 ) (x 4 x 1 )(x 4 x 3 ) f(x 3) f(x 2 ) (x 4 x 1 )(x 3 x 2 ) f(x 2) f(x 1 ) (x 4 x 1 )(x 2 x 1 ) (2.29) (2.30) Jika mengacu pada bentuk umum interpolasi polinomial Newton dan persamaan ( ), maka persamaan interpolasi polinomial Newton dapat dituliskan menjadi lebih sederhana. P n 1 (x) = f(x 1 ) + (x x 1 )f[x 2, x 1 ] + (x x 1 )(x x 2 )f[x 3, x 2, x 1 ] + + (x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 )f[x n, x n 1,, x 2, x 1 ] (2.31) n P n 1 (x) = f(x 1 ) + (x x 1 )(x x 2 ) (x x k 1 )f[x k, x k 1,, x 2, x 1 ] (2.32) k=1 10

12 Latihan Soal Diberikan data sebagai berikut: Tentukan nilai f(x) pada saat x = 2? Solusi x 1 = 1 f(x 1 ) = 0 x 2 = 4 f(x 2 ) = x 3 = 6 f(x 3 ) = x 4 = 5 f(x 4 ) = Karena jumlah data (n) = 4, maka persamaan interpolasi polinomial metode Newton memenuhi persamaan: P 3 (x) = f(x 1 ) + (x x 1 )f[x 2, x 1 ] + (x x 1 )(x x 2 )f[x 3, x 2, x 1 ] + dimana variabel polinomial orde pertama: f(x 1 ) = 0 Variabel polinomial orde kedua: (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )f[x 4, x 3, x 2, x 1 ] (2.33) f[x 2, x 1 ] = = f[x 3, x 2 ] = = f[x 4, x 3 ] = = f[x 3, x 2, x 1 ] = f[x 4, x 3, x 2 ] = Variabel polinomial orde ketiga: = = f[x 4, x 3, x 2, x 1 ] = ( ) 4 = Substitusi nilai f(x 1 ), f[x 2, x 1 ], f[x 3, x 2, x 1 ], dan f[x 4, x 3, x 2, x 1 ] dan juga nilai x 1, x 2, x 3, dan x 4 ke persamaan (2.33). P 3 (x) = (x 1) (x 2 5x + 4)( ) + (x 3 11x x 24)( ) = x x x (2.34) 11

13 Jadi persamaan interpolasi polinomial Newton yang memenuhi adalah: P 3 (x) = x x x (2.35) Jika ingin menentukan nilai f(x) pada saat x = 2, maka substitusi nilai tersebut ke persamaan P 3 (2) = (8) (4) (2) P 3 (2) = Jadi f(x) pada x = 2 bernilai Alternative Solusi Pada dasarnya cara menyelesaikan dengan sistem manual dimungkinkan, namun untuk jumlah data (n) yang banyak diperlukan suatu sistem perhitungan numerik dengan bantuan komputasi. Berikut ini cara menyelesaikan problem interpolasi polinomial Newton menggunakan MATLAB. Untuk menyelesaikan persoalan ini, kita membuat dua fungsi, dimana fungsi pertama untuk menentukan nilai koefisien (f(x 1 ), f[x 2, x 1 ],, f[x 4, x 3, x 2, x 1 ]) dan fungsi kedua untuk menentukan nilai suatu interpolasi. 1. Fungsi penentuan nilai koefisien Untuk membuat fungsi penentuan nilai koefisien pada interpolasi polinomial Newton gunakan persamaan 2.26, yakni sebagai berikut: f[x n, x n 1,, x 2, x 1 ] = f[x n, x n 1,, x 2 ] f[x n 1, x n 2,, x 1 ] x n x 1 1 function a = coefnewton(xx,yy) 2 %xx adalah data variabel bebas 3 %yy adalah data variabel terikat 4 n = length(xx); %jumlah data variabel terikat 5 a = yy; 6 for k = 2:n 7 a(k:n)=(a(k:n) a(k 1))./(xx(k:n) xx(k 1)); 8 end 2. Fungsi penentuan nilai interpolasi Untuk membuat fungsi interpolasi gunakan persamaan: P n 1 (x) = f(x 1 ) + n (x x 1 )(x x 2 ) (x x k 1 )f[x k, x k 1,, x 2, x 1 ] k=1 12

14 1 function p = PolyNewton(a,xx,xt) 2 %xx adalah data variabel bebas 3 %a adalah nilai koefisien 4 %xt adalah variabel bebas yang ingin dihitung 5 n = length(xx); %jumlah data variabel terikat 6 p = a(n); 7 for k = 1:n 1 8 p=a(n k)+(x xx(n k))*p; 9 end Dengan menggunakan kedua code fungsi eksternal di atas dapat ditentukan nilai f(x) pada x = 2. 1 clear all; 2 clc; 3 xx = [ ]; 4 yy = [ ]; 5 xt = 2; % nilai x yang ingin diselesaikan 6 %Menentukan variabel f(x1), f[x2,x1],..., f[x4,x3,x2,x1] 7 a = coefnewton(xx,yy); 8 %Menentutukan nilai y pada x 9 p = PolyNewton(a,xx,xt); 10 coefint=a'; 11 disp('koefisien interpolasi Newton:'); 12 disp(coefint); 13 disp('nilai y pada x = 2 menggunakan interpolasi polinomial Newton adalah'); 14 fprintf('%1.20f\nleftarrow',p); Hasil Koefisien interpolasi Newton: Nilai y pada x = 2 menggunakan interpolasi polinomial Newton adalah Dengan menggunakan code ini, dapat juga diploting grafik sebelum dan sesudah interpolasi polinomial Newton (Gambar 1.4). Metode Neville Interpolasi polinomial dengan menggunakan metode Neville terdiri atas dua tahap; (1) perhitungan koefisien, dan (2) menghitung nilai polinomial. Metode Neville merupakan varians 13

15 (a) (b) Gambar 1.4: (a) Plotting grafik secara langsung, dan (b) Plotting kurva menggunakan metode polinomial Newton dari metode interpolasi polinomial yang baling bagus, jika dibandingkan dengan Lagrange dan Newton. Jika diketahui polinomial berderajat k P k [x i, x i+1,, x i+k ] yang melalui sejumlah data k + 1 pada titik (x i, y j ), (x i+1, y j+1 ),, (x i+k, y j+k ). Jika menggunakan satu titik data, maka: Adapun persamaan untuk dua data memenuhi persamaan: dan tiga titik data: P 0 [x i ] = y i (2.36) P 1 [x i, x i+1 ] = (x x i+1)p 0 [x i ] + (x i x)p 0 [x i+1 ] x i x i+1 (2.37) P 2 [x i, x i+1, x 2+i ] = (x x i+2)p 1 [x i, x i+1 ] + (x i x)p 1 [x i+1, x i+2 ] x i x i+1 (2.38) Jika x = x i, maka persamaan (2.36), (2.37), dan (2.38) dapat dituliskan: P 0 [x i ] = y i P 1 [x i, x i+1 ] = (x i x i+1 )P 0 [x i ] x i x i+1 = P 0 [x i ] P 2 [x i, x i+1, x 2+i ] = (x i x i+2 )P 1 [x i, x i+1 ] x i x i+1 = P 1 [x i, x i+1 ] Jadi dari ketiga persamaan di atas dapat diungkapkan sebagai berikut: P 2 [x i, x i+1, x 2+i ] = P 1 [x i, x i+1 ] = y i (2.39) 14

16 Jika nilai x = x i+2, maka persamaan (2.36), (2.37), dan (2.38) dapat dituliskan: dan jika nilai x = x i+1, memenuhi: P 2 [x i, x i+1, x 2+i ] = P 1 [x i, x i+2 ] = y i+2 (2.40) P 2 [x i, x i+1, x i+2 ] = (x i+1 x i+2 )y i+1 + (x i x i+2 )y i+1 x i x i+2 (2.41) Dengan menggunakan pola di atas, maka dapat dibuatkan persamaan umum sebagai berikut: P k [x i, x i+1,, x i+k ] = (x x i+k)p k 1 [x i, x i+1,, x i+k 1 ] + (x i x)p k 1 [x i+1, x i+2,, x i+k ] x i x i+k atau secara sederhana dapat diilustrasikan dengan menggunakan tabel betikut ini: Tabel 1.2: Penyederhanaan interpolasi polinomial Neville k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 x 1 P 0 [x 1 ] = y 1 P 1 [x 1, x 2 ] P 2 [x 1, x 2, x 3 ] P 3 [x 1, x 2, x 3, x 4 ] x 2 P 0 [x 2 ] = y 2 P 1 [x 2, x 3 ] P 2 [x 2, x 3, x 4 ] x 3 P 0 [x 3 ] = y 3 P 1 [x 3, x 4 ] x 4 P 0 [x 4 ] = y 4 (2.42) Contoh Soal Tentukan nilai f(x) pada saat x = 1.5 dengan menggunakan metode Neville, jika diberikan data sebagai berikut: x f(x) Solusi Untuk menyelesaikan persoalan tersebut di atas gunakan tabel 1.2, dimana nilai-nilai pada tabel diselesaikan dengan cara: 1. Untuk k = 0; P 0 [x 1 ] = P 0 [x 2 ] = P 0 [x 3 ] = P 0 [x 4 ] = P 0 [x 5 ] =

17 2. Untuk k = 1, gunakan persamaan: P 1 [x i, x i+1 ] = (x x i+1)p 0 [x i ] + (x i x)p 0 [x i+1 ] x i x i+1 (2.43) Sehingga untuk P 1 [x 1, x 2 ], P 1 [x 2, x 3 ], P 1 [x 3, x 4 ] dan P 1 [x 4, x 5 ] memenuhi: P 1 [x 1, x 2 ] = (x x 2)P 0 [x 1 ] + (x 1 x)p 0 [x 2 ] x 1 x 2 = = (0.2) ( 0.5) Sama halnya dengan P 1 [x 1, x 2 ], maka P 1 [x 2, x 3 ], P 1 [x 3, x 4 ] dan P 1 [x 4, x 5 ] adalah: 3. Untuk k = 2, gunakan persamaan (2.43): P 1 [x 2, x 3 ] = P 1 [x 3, x 4 ] = P 1 [x 4, x 5 ] = P 2 [x i, x i+1, x i+2 ] = (x x i+2)p 1 [x i, x i+1 ] + (x i x)p 1 [x i+1, x i+2 ] x i x i+2 Maka: P 2 [x 1, x 2, x 3 ] = (x x 3)P 1 [x 1, x 2 ] + (x 1 x)p 1 [x 2, x 3 ] x 1 x 3 = ( 0.1) ( 0.5) = P 2 [x 2, x 3, x 4 ] = P 2 [x 3, x 4, x 5 ] = Untuk k = 3, gunakan persamaan (2.43): P 3 [x i, x i+1, x i+2, x i+3 ] = (x x i+3)p 2 [x i, x i+1, x i+2 ] + (x i x)p 2 [x i+1, x i+2, x i+3 ] x i x i+3 Sehingga: P 3 [x 1, x 2, x 3, x 4 ] = dan P 3 [x 2, x 3, x 4, x 5 ] = ( 0.4) ( 0.5) = Untuk k = 4, persamaan yang digunakan memenuhi: P 4 [x i, x i+1, x i+2, x i+3, x i+4 ] = (x x i+4)p 3 [x i, x i+1, x i+2, x i+3 ] + (x i x)p 3 [x i+1, x i+2, x i+3, x i+4 ] x i x i+4 16

18 sehingga, P 4 [x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ] = (x x 5)P 3 [x 1, x 2, x 3, x 4 ] + (x 1 x)p 3 [x 2, x 3, x 4, x 5 ] x 1 x 5 ( 0.7) ( 0.5) = = Jadi nilai f(x) pada x = 1.5 adalah Jika dilihat proses perhitungan secara manual/konvensional sangat panjang dan rumit. Sehingga, diperlukan alat bantu berupa komputasi. Berikut ini adalah fungsi yang digunakan untuk menghitung nilai tertentu menggunakan interpolasi polinomial Neville. Untuk membuat fungsi ini, maka gunakan panduan melalui persamaan (2.43). P k [x i, x i+1,, x i+k ] = (x x i+k)p k 1 [x i, x i+1,, x i+k 1 ] + (x i x)p k 1 [x i+1, x i+2,, x i+k ] x i x i+k Code fungsi interpolasi Neville 1 function fx = Neville(xx,yy,xt) 2 %xx adalah array data variabel bebas 3 %yy adalah array data variabel terikat 4 %xt adalah nilai variabel bebas untuk perhitungan 5 6 n= length(xx); 7 y= yy; 8 for k = 1:n 1 9 y(1:n k) = ((xt xx(k+1:n)).*y(1:n k)+(xx(1:n k) xt).*y(2:n k+1)) /(xx(1:n k) xx(k+1:n)); 11 end Code program 1 clear all; 2 clc; 3 xx = [ ]; 4 yy = [ ]; 5 xt = 1.5; % nilai x yang ingin diselesaikan 6 7 fx = Neville(xx,yy,xt) 8 disp('nilai f(x) pada x = 1.5 menggunakan interpolasi Neville adalah'); 9 fprintf('%1.20f\n',fx(1)); 17

19 Hasil komputasi Nilai f(x) pada x = 1.5 menggunakan interpolasi Neville adalah Hasil plotting grafik (a) (b) Gambar 1.5: (a) Plotting grafik secara langsung, dan (b) Plotting kurva menggunakan metode polinomial Neville 1.3 Tugas 1. Diberikan data: Tabel 1.3: Data hubungan x dan y x y e e Tentukan nilai y pada saat x = 3.75 menggunakan metode: (a) Metode Lagrange, Metode Newton, dan Metode Neville (Catatan: Gunakan perhitungan manual (secara analitis) dan menggunakan komputasi) (b) Buatkanlah algoritma perhitungan dari ketiga metode tersebut. (Catatan: Anda boleh menggunakan diagram alir atau pseudo-code) 2. Data 1.3 secara fisis memenuhi persamaan y = cos(π(x))exp( 0.55x). Pertanyaan: 18

20 (a) Gunakan interpolasi Lagrange, Newton, dan Neville untuk mencari persamaan yang memenuhi kondisi data-data tersebut. (b) Bandingkan ketiga metode tersebut dengan solusi eksak. Gunakan grafik untuk melihat perbandingan interpolasi dan gunakan pula operator perintah hold on. (c) Manakah dari ketiga metode tersebut yang lebih mendekati dengan solusi eksak. Jelaskan!. (Catatan: solusi eksak merupakan hasil ploting langsung persamaan y = cos(π(x))exp( 0.55x) 1.4 Interpolasi Cubic Spline Pada bagian ini, kita akan membahas salah satu varians dari metode interpolasi cubic spline yakni Natural Cubic Spline. Penggunaan interpolasi dengan metode natural cubic spline sering sekali digunakan. Metode ini dipilih karena algoritma yang digunakan sederhana dan memberikan hasil interpolasi yang baik. Gambar 1.6: Ilustrasi interpolasi cubic spline Persamaan umum interpolasi cubic spline Secara umum persamaan interpolasi orde tiga dapat diungkapkan dalam bentuk: s i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3 (4.44) Pada dasarnya persamaan 4.44 dapat diselesaikan hanya dengan cara menentukan koefisien a i, b i, c i, dan d i. Salah satu caranya untuk menentukan koefisien-koefisien tersebut adalah dengan menggunakan metode cubic spline. Berikut ini langkah-langkah untuk menentukan koefisien tersebut: 1. Persamaan tersebut haruslah melintasi seluruh titik data. f i = a i + b i (x i x i ) + c i (x i x i ) 2 + d i (x i x i ) 3 f i = a i (4.45) dari kondisi tersebut diketahui bahwa f i = a i. 19

21 2. Konstanta untuk setiap kubik harus sama s i (x) = f i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3 (4.46) 3. Setiap kubik harus dihubungkan dengan suatu titik, dimana titik x = x i+1 memenuhi: f i+1 = f i + b i (x i+1 x i ) + c i (x i+1 x i ) 2 + d i (x i+1 x i ) 3 (4.47) jika x i+1 x i = h i, maka persamaan (4.47) menjadi: f i+1 = f i + b i (h i ) + c i (h i ) 2 + d i (h i ) 3 (4.48) Untuk menentukan variabel b i+1, maka persamaan (4.46) diurai menjadi bentuk turunan pertama: maka pada titik x = x i+1 diketahui nilai b i+1 : s i(x) = b i + 2c i (x x i ) + 3d i (x x i ) 2 (4.49) b i+1 = b i + 2c i (x i+1 x i ) + 3d i (x i+1 x i ) 2 b i+1 = b i + 2c i h i + 3d i h 2 i (4.50) 4. Untuk memenetukan nilai c i+1 maka persamaan (4.49) diubah menjadi turunan pertama lagi: dan pada titik x = x i+1 diketahui nilai c i+1 : dan nilai d i : Substitusi nilai d i ke persamaan (4.48): s i (x) = 2c i + 6d i (x x i ) (4.51) c i+1 = c i + 3d i h i (4.52) d i = c i+1 c i 3h i (4.53) f i+1 = f i + b i (h i ) + c i (h i ) 2 + c i+1 c i 3h i (h i ) 3 = f i + b i (h i ) + (h i) 2 Persamaan (4.54) dapat dituliskan dalam bentuk lain: Jika indek persamaan (4.55) direduksi 1 tahap: 3 (2c i + c i+1 ) (4.54) b i = f i+1 f i h i (h i) 3 (2c i + c i+1 ) (4.55) b i 1 = f i f i 1 h i 1 (h i 1) (2c i 1 + c i ) (4.56) 3 20

22 Sementara itu, untuk menentukan b i+1 substitusi persamaan (4.53) ke persamaan (4.50): b i+1 = b i + h i (c i + c i+1 ) (4.57) Dan, jika persamaan (4.57) direduksi 1 tahap menjadi: b i = b i 1 + h i 1 (c i 1 + c i ) (4.58) Substitusi persamaan (4.55) dan (4.56) ke persamaan (4.58), maka menjadi: ( fi+1 f i h i 1 c i 1 + 2(h i 1 h i )c i + h i c i+1 = 3 f i f ) i 1 h i h i 1 (4.59) dimana i = 1, 2,, n 1. Pada persamaan tersebut di atas, parameter yang diketahui adalah A serta b dan yang tidak diketahui adalah x. Jika c 1 dan c n bernilai nol, maka persamaan (4.59) dapat diungkapkan dalam bentuk: atau: A = 1 h 1 2(h 1 + h 2 ) h b = x = h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n 1 ) 1 c 1 c 2.. c n 1 c n 0 3(f[x 3, x 2 ] f[x 2, x 1 ]).. 3(f[x n, x n 1 ] f[x n 1, x n 2 ]) 0 Ax = b 21

23 Contoh Soal 1 Diberikan suatu data: x f(x) Tentukan nilai f(x) pada x = 5 menggunakan interpolasi natural cubic spline. Solusi Untuk menentukan nilai f(x) maka lakukan tahapan: (a) Tentukan variabel-variabel berikut ini: 1 c 1 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2 c 2 h 2 2(h 2 + h 3 ) h 3 c 3 = 3(f[x 3, x 2 ] f[x 2, x 1 ]) 3(f[x 4, x 3 ] f[x 3, x 2 ]) 1 c 4 0 h 1 = = 1.5, a 1 = f 1 = 2.5, f[x 3, x 2 ] = f 3 f 2 = 1.5 x 3 x h 2 = = 2.5, a 2 = f 2 = 1.0, f[x 2, x 1 ] = f 2 f 1 = 1.5 x 2 x h 3 = = 2.0, a 3 = f 3 = 2.5,, f[x 4, x 3 ] = f 4 f 3 x 4 x 3 a 4 = f 4 = 0.5, Dengan menggunakan variabel-variabel tersebut di atas, variabel c 1, c 2, c 3 dan c 4 dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan eliminasi gauss: c 1 = 0. c 2 = c 3 = c 4 = 0. (b) Tentukan variabel d i dan b i. Gunakan persamaan (4.58) dan (4.53): d 1 = b 1 = d 2 = b 2 = d 3 = b 3 = = 2 2

24 (c) Substitusi nilai a i, b i, c i, dan d i ke persamaan umum polinomial (4.44), sehingga: s 1 (x) = (x 3) (x 3) 3 s 2 (x) = (x 4.5) (x 4.5) (x 3) 3 s 3 (x) = (x 7) (x 7) (x 7) 3 (d) Untuk menentukan nilai f(x) pada x = 5, maka gunakan: s 2 (x) = (x 4.5) (x 4.5) (x 3) 3 s 2 (5) = Aplikasi MATLAB Salah satu cara yang mudah untuk untuk menyelesaikan permasalah di atas yakni dengan menggunakan MATLAB. Berikut ini adalah code yang digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut: 1 clc; 2 close; 3 clear all; 4 x = [ ]; 5 y = [ ]; 6 7 plot(x,y,'sr'); 8 9 n = length(x); 10 for k = 1:n 1 11 h(k) = x(k+1) x(k); 12 end %langkah pertama membuat matrix H 15 H = zeros(n); 16 H(1,1) = 1; % atur pada saat (1,1) bernilai satu 17 H(n,n) = 1; %atur pada saat (n,n) bernilai satu a = y; %koefisien nilai a 21 r(1,1)=0; 22 for k = 2:n 1 23 H(k,k) = 2*(h(k 1)+h(k)); 24 H(k,k 1) = h(k 1); 25 H(k,k+1) = h(k); 26 r(k,1) = 3/h(k)*(a(k+1) a(k)) 3/h(k 1)*(a(k) a(k 1)); 27 end r(n,1)=0; 30 c = inv(h)*r; % menentukan nilai c 31 disp('nilai c:'); 32 disp(c) 23

25 33 34 for k = 1:n 1 35 b(k,1)= 1/h(k)*(a(k+1) a(k)) h(k)/3*(2*c(k)+c(k+1)); %tentukan nilai b 36 d(k,1)= 1/(3*h(k))*(c(k+1) c(k)); %menentukan nilai b 37 end 38 disp('nilai b:'); 39 disp(b); 40 disp('nilai d:'); 41 disp(d); hold on 44 for k=2:n 45 xx=x(k 1):0.01:x(k); 46 S=a(k 1)+b(k 1)*(xx x(k 1))+c(k 1)*(xx x(k 1)).^2+d(k 1)*(xx x(k 1)).^3; 47 plot(xx,s); 48 end Hasil nilai c: nilai b: nilai d: atau dengan menggunakan fungsi internal (internal function) yang tersedia pada MAT- LAB. 1 clc; 2 close; 3 clear all; 4 x = [ ]; 5 y = [ ]; 6 7 xt = 3:0.01:9; 8 yt = interp1(x,y,xt,'spline'); 9 plot(x,y,'o',xt,yt,' '); 24

26 Jika dibandingkan hasil kedua program tersebut adalah: Gambar 1.7: Grafik perbandingan antara code I dan code II 1.5 Least-Square Fit Metode least-square fit, biasa juga disebut sebagai metode kuadrat terkecil, merupakan salah satu metode pencocokan kurva. Metode ini sering dipakai dalam menyelesaikan persoalanpersoalan data yang sifatnya tersusun secara acak. Metode least-square fit termasuk dalam varians metode-metode pendekatan distributed error. Pada dasarnya metode ini bertujuan mencari atau menentukan variabel-variabel yang memenuhi fungsi polinomial dengan cara meminimalisasi nilai error. Persamaan Umum Jika diketahui sekumpulan data (x i, y i ), dimana i = 1, 2,, m. Maka persamaan fungsi polinomial memenuhi: f n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + +a n x n (5.60) dimana n < m 1. Untuk meminimalisasi error E = E 2 (a 0, a 1,, a n ): 25

27 E = = = = m ( yi f n (x i ) ) 2 m yi 2 2 m yi 2 2 n yi 2 2 m f n (x i )y i + j=0 m ( fn (x i ) ) 2 m ( n ) a j x j i y i + n ( m ) a j x j i y i + j=0 m ( n a j x j i n j=0 j=0 k=0 ) 2 n ( m ) a j a k x j+k i (5.61) Untuk menentukan koefisien a 0, a 1,, a n, maka gunakan asumsi E = 0, sehingga persamaan (5.61) a j menjadi: atau: k=0 0 = E a j n ( m ) a k x j+k i ( m ) = 2 x j i y i + 2 = n ( m ) a k x j+k i k=0 (5.62) ( m ) x j i y i, j = 0, 1,, n (5.63) Persamaan (5.63) dapat dituliskan dalam suatu sistem persamaan sebagai berikut: a 0 m a 0 a 0 m m x n i + a 1 x 0 i + a 1 x 1 i + a 1 m m m x 1 i + a 2 x 2 i + a 2 x n+1 i + a 2 m m m x n+2 i x 2 i + + a n x 3 i + + a n + + a n m m m x n i = x n i =. x 2n i = m x 0 i y i m x 1 i y i m x n i y i Untuk standar deviasi diperoleh dengan menggunakan persamaan: E σ = m n dimana; m adalah jumlah data, dan n merupakan derajat suatu persamaan. (5.64) Catatan: Jika nilai n = m, maka ini bukan fitting curve, karena nilai standar deviasi bernilai nol dan σ tidak bernilai apa-apa. 26

28 Contoh Soal 1 Tentukanlah persamaan menggunakan least-square fit yang memenuhi fungsi polinomial orde 2 dengan menggunakan data-data hasil eksperiment sebagai berikut: Tabel 1.4 x i y i Solusi Analitik Dari tabel (1.4) diketahui bahwa: jumlah data (m) = 5, dan derajat atau orde fungsi polinomial (n) = 2. Sehingga dengan menggunakan asumsi tersebut dapat diketahui bahwa data-data tersebut memiliki 3 bentuk sistem persamaan yang memenuhi bentuk: a 0 a 0 a 0 m m m x 0 i + a 1 x 1 i + a 1 x 2 i + a 1 m m m x 1 i + a 2 x 2 i + a 2 x 3 i + a 2 m m m x 2 i = x 3 i = x 4 i = m x 0 i y i (5.65) m x 1 i y i (5.66) m x 2 i y i (5.67) dengan menggunakan ketiga sistem persamaan di atas diperoleh: 5a a a 2 = a a a 2 = a a a 2 = Dari ketiga persamaan tersebut di atas, dengan menggunakan eliminasi gaussian akan diperoleh nilai a 0, a 1, dan a 2 yakni sebagai berikut: Dari code di atas diperoleh bahwa nilai a 0 = , a 1 = , dan a 2 = Sehingga fungsi yang diperoleh dari data-data tersebut memenuhi: f 2 (x) = x x 2 (5.68) Jika data-data hasil eksperiment (1.4) dibandingkan dengan fungsi interpolasi (5.68), maka akan diperoleh: 27

29 >>A = [ ; ; ]; >>b = [8.768; ; ]; >>a = inv(a)*b a = Gambar 1.8: Grafik perbandingan antara data eksperiment dan fungsi interpolasi 1 %Plotting grafik perbandingan data eksperiment dan fungsi interpolasi 2 clc; 3 close; 4 clear all; 5 6 %Data Eksperiment 7 x = [ ]; 8 y = [ ]; 9 10 %Fungsi hasil interpolasi 28

30 11 xt = 0:0.05:1; 12 yt = *xt *(xt.^2); 13 plot(x,y,'o',xt,yt,' '); Dari hasil plotting grafik tersebut, terlihat bahwa metode least-square fit memiliki derajat kesalahan (error). Untuk menentukan nilai error dari fungsi polinomial tersebut maka gunakan persamaan yang sudah dijelaskan di atas: E = m ( yi f n (x i ) ) 2 (5.69) Untuk lebih mudahnya gunakan tabel berikut ini: Tabel 1.5 i Jumlah x i y i f(x i ) y i f(x i E-07 ( yi f(x i ) ) E E E Dari tabel tersebut diperoleh total error (E) adalah: E = m ( yi f n (x i ) ) 2 = Sedangkan standar deviasi adalah: σ = E m n = Solusi Komputasi Pada MATLAB, penyelesaian persoalan fitting curve dapat dilakukan dengan sangat sederhana yakni dengan menggunakan operator fungsi internal polyfit. 1 %Program fitting kurva menggunakan metode least square fit 2 clc; 3 close; 4 clear all; 5 %Data Eksperiment 6 xdata = [ ]; 7 ydata = [ ]; 8 %derajat atau order fungsi polinomial 9 n = 2; 10 29

31 11 %Menentukan variabel a0, a1, a2 dan nilai residual 12 [a,residual] = polyfit(xdata,ydata,n); 13 disp('nilai koefisien a ='); 14 disp(a); 15 disp('nilai standar deviasi ='); 16 disp(residual) dari program di atas diperoleh: nilai koefisien a = nilai standar deviasi = r: [3x3 double] df: 2 normr: Sehingga dengan menggunakan hasil tersebut dapat dituliskan fungsi interpolasi dengan menggunakan metode least-square fit yakni sebagai berikut: dengan standar deviasi (σ) adalah Contoh Lain Soal f 2 x = x x 2 Seorang peneliti melakukan penelitian untuk menghitung gravitasi suatu planet A. Dari hasil penelitiannya ia memperoleh data sebagai berikut: Tabel 1.6 Waktu (dt) Ketinggian (m) Waktu (dt) Ketinggian (m) Tentukan gravitas planet A dengan menggunakan metode least-square fit. 30

32 Solusi Pada bagian ini, kita tidak lagi menggunakan perhitungan manual untuk menentukan nilai gravitasi planet A. Mari kita menggunakan perhitungan secara komputasi. Namun sebelum menggunakan komputasi, tinjau dahulu konsep umum gerak jatuh bebas (GLBB) berikut ini: h 0 + v 0 t 1 2 gt2 = h (5.70) dimana h 0 adalah posisi awal (m), g dan v 0 masing-masing adalah percepatan gravitasi (m s 2 ) dan kecepatan awal (m s 1 ), kemudian, t dan h adalah pertambahan waktu atau updating waktu (s) dan h adalah perubahan posisi atau updating posisi (m). Jika persamaan (5.70) dimodifikasi menjadi: h 0 + v 0 t 1 2 gt2 = h a 1 + a 2 t i a 3 t 2 i = h (5.71) dimana a 1 = h 0, a 2 = v 0 dan a 3 = 1 2 g. Gunakan persamaan (5.71) dan data tabel (1.6) pada code MATLAB berikut ini: 1 clear all; 2 clc; 3 4 xx = [0.00:0.25:5.00]; 5 yy = [ ]; 7 8 [a,residual] = polyfit(xx,yy,2); 9 10 disp(['ketinggian Awal (a1) = ' num2str(a(3))]); 11 disp(['kecepatan Awal (a2) = ' num2str(a(2))]); 12 disp(['a3 = ' num2str(a(1))]); 13 Grav = 2*a(1); %persamaan a3 = g/2 14 disp(['percepatan Gravitasi = ' num2str(grav)]); xx1 = [0:0.1:5.00]; 17 yyt = a(1).*(xx1.^2)+a(2).*xx1+a(3); 18 plot(xx,yy,'o',xx1,yyt,' '); 31

33 Hasil code: Ketinggian Awal (a1) = Kecepatan Awal (a2) = a3 = Percepatan Gravitasi = >>residual residual = R: [3x3 double] df: 18 normr: >>sigma = ; >>Error = (sigma^(2))*(21-2) Error = %21 = jumlah data % 2 = polinomial orde 2 Jadi dari hasil program diperoleh bahwa: Percepatan gravitasi (a) = m s 2, Kecepatan awal (v 0 ) = m s 1, Ketinggian awal (h 0 ) = m, serta standar deviasi dan error adalah dan Tugas 1. Suatu survei seismik dilakukan untuk mengetahui kedalaman suatu reflektor mendatar sebagaimana tampak pada gambar (1.9) memiliki data sebagai berikut: Tabel 1.7: Data survei seismik Receiver R ke-i Offset (x) Travel time (t)

34 Gambar 1.9: Reflektor mendatar pada kedalaman z Asumsi yang digunakan: (a) Kecepatan gelombang diangap konstan (b) Kedalaman dianggap konstan Jika waktu tempuh gelombang (t) memenuhi persamaan: 4z 2 v 2 + x2 v 2 = t 2 (5.72) Tentukan kecepatan (v) dan kedalaman (z) berdasarkan data dan asumsi di atas menggunakan metode least-square fit. Tentukan error dan standar deviasinya juga! Catatan: ubah persamaan (5.72) menjadi a 1 + a 2 x + a 3 x 2 = t 2 Gambar 1.10: Reflektor mendatar pada kedalaman z 2. Diketahui data suatu hasil survei seismik untuk mengetahui suatu reflektor miring (gambar 1.10) sebagai berikut: Jika waktu tempuh gelombang memenuhi persamaan berikut ini: 33

35 Tabel 1.8: Data survei seismik Receiver R ke-i Offset (x) Travel time (t) z 2 v 2 4z sin αx + v 2 + x2 v 2 = t 2 (5.73) Tentukan; (a) kecepatan v, (b) kedalaman z, dan (c) sudut reflektor α. Disamping itu pula tentukan error dan standar deviasi. Catatan: Ubah persamaan 5.73 menjadi bentuk a 1 + a 2 x + a 3 x 2 = t 2 3. Buatkanlah algoritma dari kedua persoalan di atas (no. 1 dan 2). 34

36 Bab 2 Integral 2.1 Pendahuluan Proses integral dari suatu fungsi merupakan operasi matematika yang sangat penting dan sering digunakan pada persoalan sains dan teknik. Pada dasarnya, integral didefinisikan sebagai proses penjumlahan untuk menentukan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b. atau; I = I = b a f(x)dx (1.1) n A i f(x i ) (1.2) dimana titik x i dan luas A i tergantung pada aturan yang digunakan, apakah menggunakan aturan Trapezoidal ataukah Simpson. Operasi integral sering diselesaikan dengan menggunakan metode analitik atau menyelesaikan langsung. Akan tetapi, untuk kasus-kasus yang kompleks metode ini kerap kali sangat sulit atau bahkan tidak menyelesaikan persoalan, sehingga dibutuhkan metode numerik integral untuk menyesaikan masalah tersebut. Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai aturan Trapezoidal dan Simpson untuk menyelesaikan persoalan fungsi integral. 2.2 Aturan Trapezoidal Penjelasan Secara sederhana, penyelesaian atau penentuan luas daerah di bawah kurva dengan menggunakan metode Trapezoidal adalah dengan cara membagi area/daerah di bawah kurva menjadi trapesium kecil (gambar 2.1). 35

37 (a) (b) Gambar 2.1: (a) Kurva fungsi f(x), dan (b) Kurva fungsi f(x) menggunakan metode Trapezoidal Untuk menentukan nilai h maka bagi range integral (a, b) dengan n - 1 : h = (b a) (n 1) h = (b a) (2 1) Aturan trapezoidal n = 2 h = b a (2.3) Untuk menentukan luas daerah di bawah kurva, gunakan persamaan (1.2): I = I = n A i f(x i ) 2 A i f(x i ) I = A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) = A 1 f(a) + A 2 f(b) (2.4) dimana A 1 : A 1 = = = b a b a b a l 1 (x)dx = b a (x x 2) x 2 x 1 dx = (x x 2 ) dx x 1 x 2 b (x b) dx = 1 h h (x b) a b a b a dx (x b) = 1 2h (b2 + a 2 2ab) = 1 (b a)2 2h A 1 = h 2 (2.5) 36

38 dan A 2 : A 2 = A 2 = = b a b a b a l 2 (x)dx (x x 1 ) x 2 x 1 dx (x x 1 ) dx = 1 h h b a (x a) = 1 2h (b2 + a 2 2ab) = 1 2h (b a)2 (2.6) A 2 = h 2 Substitusi persamaan (2.5) dan (2.7) ke dalam persamaan (2.4): (2.7) I = ( f(a) + f(b) ) h 2 (2.8) Persamaan (2.8) dikenal sebagai aturan Trapezoidal. Contoh Soal Tentukanlah nilai integral berikut ini: π 2 0 sin(x)dx (2.9) Solusi Jika persoalan diselesaikan dengan menggunakan metode analitik maka diperoleh hasil sebagai berikut: I = π 2 0 sin(x)dx I = cos(x) π 2 0 = 1 Jadi diperoleh solusi eksak untuk fungsi f(x) = sin(x) dari 0 ke π 2 adalah 1. Sekarang mari kita membandingkan hasil tersebut dengan hasil yang menggunakan aturan trapezoidal. Untuk menyelesaikan persoalan dengan fungsi tersebut, maka kita menggunakan dua file; (a) file function dan (b) file aturan trapezoidal. 1. File function 37

39 1 %Code IIIa.m 2 function y = f(x) 3 % f(x) merupakan fungsi yang ingin diselesaikan 4 % f(x) dapat berubah tergantung fungsi yang ingin diselesaikan 5 y = sin(x); 2. File Trapezoidal 1 clc; 2 clear all; 3 a = 0; % syarat batas bawah integral 4 b = pi/2; % syarat batas atas integral 5 h = b a; 6 7 %metode trapezoidal 8 Luas_area = h/2*(f(b)+f(a)); 9 disp(['luas area = ' num2str(luas_area)]); Dari hasil code tersebut diperoleh: Luas area = Jika diperhatikan hasil perhitungan secara analitik dan numerik memiliki perbedaan. Hal ini karena aturan trapezoidal memiliki tingkat kesalahan (error) yang besar, seperti yang ada pada gambar (2.1b). Terlihat bahwa area antara bawah kurva dan garis miring berada di luar area trapesium dan area ini tidak dihitung. Dari hal tersebut, perlu adanya aturan lain untuk mengurangi tingkat kesalahan. 2.3 Aturan Composite Trapezoidal Pada dasarnya metode ini hampir sama dengan aturan trapezoidal, yakni membagi area di bawah kurva menjadi trapesium kecil. Akan tetapi letak perbedaan aturan ini adalah jumlah trapesium yang digunakan lebih dari satu trapesium (n - 1), hal ini menyebabkan hasil yang diperoleh lebih akurat jika dibandingan dengan aturan trapezoidal (Gambar 2.2). Jika persamaan untuk aturan trapezoidal diungkapkan dalam persamaan 2.6, maka sama halnya dengan persamaan tersebut, persamaan untuk aturan composite trapezoidal dapat diungkapkan dalam bentuk seperti itu juga. I = n 1 I i = I 1 + I I n 1 = A 1 f(x 1 ) + 2A 2 f(x 2 ) + 2A 3 f(x 3 ) + + 2A n 1 f(x n 1 ) + A n f(x n ) (3.10) Untuk menentukan nilai A 1, A 2 dan seterusnya, perhatikan persamaan (2.5) dan (2.7), dari persamaan tersebut diperoleh bahwa: A 1 = A 2 = A 3 = = A n 1 = A n = h 2 (3.11) 38

40 Gambar 2.2: Ilustrasi aturan composite trapezoidal Bedasarkan persamaan (3.11), persamaan (3.10) menjadi: I = (f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 2f(x 3 ) + + 2f(x n 1 ) + f(x n )) h 2 (3.12) Persamaan (3.12) disebut sebagai persamaan umum aturan composite trapezoidal. Contoh Soal Tentukan luas area di bawah kurva dengan menggunakan fungsi (2.9)! Solusi Untuk menyelesaikan persoalan tersebut dengan aturan composite trapezoidal, maka gunakan code berikut ini: 1 function integral = CompTrapz(a,b,n,f) 2 % a adalah batas bawah 3 % b adalah batas atas 4 % n adalah jumlah trapesium 5 % f adalah persamaan fungsi yang ingin diselesaikan 6 % f yang digunakan adalah fungsi yang sama pada aturan trapezoidal 7 h = (b a)/n; 8 x = [a+h:h:b h]; 9 integral = (h/2)*(2*sum(feval(f,x))+feval(f,a)+feval(f,b)); 1 %code CompTrapez.m 2 clc; 3 clear all; 4 a = 0; % syarat batas bawah integral 5 b = pi/2; % syarat batas atas integral 6 n = 1; 7 8 %metode composite trapezoidal 39

41 9 Luas_area = CompTrapz(a,b,n,'f'); 10 disp(['luas area = ' num2str(luas_area)]); Dari kedua code di atas diperoleh hasil sebagai berikut: Luas area = % untuk n = 1 atau Luas area = % untuk n = 50 Hasil yang diperoleh menggunakan trapezoidal dan composite trapezoidal memberikan nilai yang sama. Hal ini karena pada composite trapezoidal menggunakan nilai n yang sama. Aturan composite trapezoidal akan lebih akurat jika menggunakan jumlah trapesium n yang banyak. 2.4 Aturan Simpson Selain menggunakan aturan trapezoidal untuk menentukan nilai integral suatu fungsi f(x) antara nilai a ke nilai b, aturan lain yang sering juga digunakan adalah aturan Simpson. Metode ini sering disebut juga sebagai metode kuadratik, karena membagi setiap daerah di bawah kurva fungsi f(x) menggunakan interpolasi parabolik. Aturan ini dipandang lebih baik dibandingkan dengan aturan Trapezoidal. Pada bagian ini akan dijelaskan dua varians aturan Simpson, pertama adalah aturan Simpson 1 3 dan aturan Simpson 3. Kedua adalah 8 aturan composite-simpson. Aturan Simpson Secara umum aturan ini membagi daerah di bawah kurva menjadi dua buah daerah baru. Untuk lebih jelasnya lihat gambar (2.3). Gambar 2.3: Ilustrasi aturan Simpson 40

42 Secara umum aturan Simpson diformulasikan sebagai berikut: b a f(x)dx = n A i f(x i ) Jika pada aturan Trapezoidal memiliki nilai n = 2, maka aturan ini memiliki nilai n = 3, untuk aturan Simpson 1/3 dan n = 4, untuk Simpson 3/8. sehingga: b a f(x)dx = = = dimana nilai h memenuhi: 3 A i f(x i ) [ ] h f(x 1 ) + 4f(x 2 ) + f(x 3 ) 3 [ ( a + b ) ] h f(a) + 4f + f(b) 2 3 h = b a n 1 = b a 2 (4.13) (4.14) Persamaan (4.13) disebut juga persamaan Simpson 1 3. Sedangkan untuk aturan Simpson 3 8 memenuhi persamaan: I = [ ] 3h f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + 3f(x 3 ) + f(x 4 ) 8 (4.15) nilai h memenuhi: h = b a n 1 = b a 3 (4.16) Aturan Composite-Simpson Jika aturan Trapezoidal dikenal memiliki varians Composite-Trapezoidal, maka sama halnya aturan Simpson memiliki Composite-Simpson. Untuk lebih jelasnya lihat gambar berikut ini: Metode ini pengembangan dari metode dasarnya yakni aturan Simpson. Adapun persamaan umum metode ini adalah: I = = b a f(x) [ ] h f(x 1 ) + 4f(x 2 ) + 2f(x 3 ) + 4f(x 4 ) + + 2f(x n 2 ) + 4f(x n 1 ) + f(x n ) 3 41

43 Gambar 2.4: Ilustrasi aturan Composite-Simpson. Bandingkan gambar tersebut dengan gambar 2.2 Contoh Soal Hitunglah nilai integral dari suatu persamaan berikut ini: π 2 0 sin(x)dx (4.17) Gunakan aturan Simpson 1 3, Simpson 3 8 dan Aturan Composite-Simpson! Solusi Pada permasalahan ini, kita sudah ketahui bersama bahwa hasil integral yang diperoleh menggunakan metode analitik adalah 1. Marilah kita gunakan ketiga metode tersebut untuk menentukan nilai integral fungsi tersebut. 1. Aturan Simpson 1/3 Code yang digunakan pada aturan ini hampir sama dengan code Trapezoidal, yang diubah hanyalah file Trapezoidal sedangkan file function tidak berubah. 1 %Code: Simpson13.m 2 clc; 3 clear all; 4 a = 0; % syarat batas bawah integral, a adalah x1 5 b = pi/2; % syarat batas atas integral, b adalah x3 6 h = (b a)/2; 7 c = a + h; % c adalah x2 8 9 %metode trapezoidal 10 Luas_area = h/3*(f(a)+4*f(c)+f(b)); 11 disp(['luas area = ' num2str(luas_area)]); Dari code di atas diperoleh hasil sebagai berikut: Luas area =

44 2. Aturan Simpson 3/8 Untuk menyelesaikan persoalan tersebut gunakan persamaan (4.15).Disamping itu juga untuk lebih memudahkan lihat ilustrasi gambar berikut ini: Gambar 2.5: Ilustrasi aturan Simpson 3/8 Dari gambar tersebut diketahui bahwa aturan ini haruslah menggunakan 4 titik data, yakni titik a, b, c dan d. Titik a dan b sudah diketahui sebelumnya yaitu a = 0 dan b = π/2. Sedangkan nilai c dan d diperoleh dengan menggunakan persamaan (4.14). Catatan dalam menentukan kedua nilai tersebut haruslah memiliki nilai h yang sama. Sehingga dengan mengacu pada aturan ini diperoleh: c = a + h d = a + 2h Gunakan kedua persamaan tersebut dalam code berikut ini: 1 %Code: Simpson38.m 2 clc; 3 clear all; 4 a = 0; % syarat batas bawah integral, a adalah x1 5 b = pi/2; % syarat batas atas integral, b adalah x4 6 h = (b a)/2; 7 c = a + h; % c adalah x2 8 d = a + 2*h; % c adalah x %metode trapezoidal 11 Luas_area = (3*h/8)*(f(a)+3*f(c)+3*f(d)+f(b)); 12 disp(['luas area = ' num2str(luas_area)]); Catatan: fungsi eksternal yang digunakan sama dengan fungsi pada code Trapezoidal ataupun Simpson 1/3. Dari hasil code ini diperoleh sebagai berikut: 43

45 Luas area = Aturan Composite-Simpson Seperti yang sudah dijelaskan di atas, bahwa Composite-Simpson memiliki kesamaan dengan Composite-Trapezoidal, maka tentu codenya hampir sama. Mari perhatikan code berikut ini: 1 function integral = CompSipm(a,b,n,f) 2 % a adalah batas bawah 3 % b adalah batas atas 4 % n adalah jumlah trapesium 5 % f adalah persamaan fungsi yang ingin diselesaikan 6 % f yang digunakan adalah fungsi yang sama pada aturan trapezoidal 7 h = (b a)/(n 1); 8 x1 = [a+2*h:2*h:b h]; %x ganjil selain x1, misalnya x3, x5,x7,... 9 x2 = [a+h:2*h:b h]; %x genap misalnya x2, x4,x8, integral = (h/3)*(2*sum(feval(f,x))+4*sum(feval(f,x2))+feval(f,a) feval(f,b)); 1 %code CompTrapez.m 2 clc; 3 clear all; 4 a = 0; % syarat batas bawah integral 5 b = pi/2; % syarat batas atas integral 6 n = 3; 7 8 %metode composite trapezoidal 9 Luas_area = CompTrapz(a,b,n,'f'); 10 disp(['luas area = ' num2str(luas_area)]); Maka hasil yang diperoleh adalah: Luas area = Bagaimana jika nilai n = 4, 5, 6, 7, 8,, apa yang terjadi? 2.5 Menentukan nilai error Sangat sederhana menentukan nilai error dari suatu aturan Trapezoidal ataupun Simpson, yakni dengan cara mengurangi nilai hasil analitik dengan hasil numerik. Secara matematis dapat diungkapan dalam bentuk: Error = Nilai Analitik Nilai Numerik 44

46 Semakin kecil nilai error yang dihasilkan dari metode numerik tersebut, maka semakin bagus metode numerik tersebut. 2.6 Latihan 1. Tentukan nilai integral dari persamaan-persamaan menggunakan metode analitik I = I = I = I = π/2 0 exp t t dt x x2 4 dx sin(2πx) cos(5πx)dx dθ 1 sin 2 (15) sin 2 θ 2. Gunakan Aturan Trapezoidal dan Simpson untuk menyelesaikan pemasalahan di atas? 3. Tentukan nilai error dari setiap aturan-aturan tersebut? 45

47 Bab 3 Persamaan Differensial Persamaan differensial muncul secara alamiah dari usaha untuk memahami bagaimana dunia nyata bekerja lalu dari pemahaman tersebut berusaha memprediksi bagaimana kelakuan dinamika tersebut. Secara mendasar, persamaan differensial merupaan model beberapa situasi nyata. Sebagai contoh, persamaan yang mengungkapkan Hukum Newton II: F = d p dt (0.1) dimana F merupakan vektor gaya dan p serta juga t merupakan momentum vektor dan waktu. Memodelkan suatu situasi nyata ini boleh sederhana yang hanya memibatkan satu persamaan differensial atau lebih kompleks yang melibatkan banyak persamaan differensial berpasangan (couple equation). Persamaan differensial sering diklasifikasikan berdasarkan orde (order). Contoh, persamaan (0.1) merupakan persamaan differensial orde pertama, sedangkan untuk persamaan differensial orde dua dapat diungkapkan dalam bentuk: m d2 x dt + cd x + k x = 0 (0.2) 2 dt persamaan (0.2) merupakan persamaan differesial osilasi teredam, dimana m merupakan massa, c adalah koefisien teredam, dan k merupakan konstanta pegas. Pada umumnya, metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial parsial adalah dengan menggunakan metode hitung langsung (solusi analitik). Tentunya, metode ini memberikan hasil yang sangat akurat namun pada sisi yang lain metode ini sulit atau bahkan tidak bisa menyelesaikan persoalan-persoalan yang kompleks. Sehingga, salah satu alternatif menyelesaikan persoalan persamaan differensial yaitu dengan cara simulasi numerik. Berikut ini adalah ilustrasi perbandingan metode analitik dan metode numerik (Gambar 3.1): Ada beberapa metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial menggunakan metode numerik. Pada bagian ini akan dijelaskan metode numerik seperti; metode Euler, Runge-Kutta, sistem order tingkat tinggi (higher-order systems) dan metode beda hingga (finite difference method). Pemilihan keempat metode ini karena sering kali metode ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan differensial. 46