|
|
- Erlin Kusnadi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1
2
3
4
5
6
7
8 I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Untuk mengungkapkan perilaku dinamik suatu sistem fisik seperti mekanik, listrik, hidrolik dan lain sebagainya, umumnya sistem fisik dimaksud dimodelkan dengan sistem matematik melalui persamaan diferensial. Pemodelan sistem fisik dapat diuraikan dengan persamaan diferensial dalam bentuk orde satu, orde dua bahkan sampai orde tinggi orde n, tergantung perilaku sistem fisik dimaksud. Pemodelan sistem fisik diberikan dengan menggunakan persamaan diferensial dalam kawasan waktu kontinyu. Persamaan diferensial ada yang bersifat linier, tapi ada kalanya persamaan diferensial memiliki persamaan non-linier. Solusi persamaan diferensial secara umum diberikan dalam bentuk eksponen, ada yang berupa solusi khusus dan ada yang berupa solusi partikulir, dan jumlah dari keduanya disebut dengan solusi umum. Kesulitan yang terjadi dalam menyelesaikan persamaan diferensial adalah menentukan solusi partikulir, karena fungsi masukan dapat bervariasi mulai dari konstanta, fungsi waktu, exponensial dan fungsi sinus. Salah satu solusi yang diharapkan dalam memahami perilaku dinamik suatu sistem adalah dalam bentuk grafis, sehingga perilaku dinamik sistem dimaksud diamati melalui hasil grafis output sistem yang diperoleh. Solusi persamaan grafis mungkin banyak, tetapi salah satu metoda yang cukup baik dalam menyelesaikan persamaan diferensial adalah dengan metoda Runge-Kutta. Metoda ini memiliki cara numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial, dan metoda ini dapat digunakan sekaligus untuk persamaan diferensial dalam bentuk linier maupun non-linier. Dalam dunia sistem kendali, hampir semua sistem dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial, dan karakteristik sistem dimaksud diamati dari persamaan diferensial yang diberikan. Salah satu solusi yang digunakan menyelesaikan persamaan diferensial adalah dengan metoda Transformasi Laplace, tetapi metoda ini hanya berlaku untuk sistem yang linier. Selanjutnya jika diinginkan menganalisis karakteristik sistem dimaksud, maka solusi transformasi Laplace tadi
9 juga diuraikan lagi dengan melakukan invers transformasi Laplace, dan diperoleh hasil dalam bentuk matematis berupa persamaan sebagai fungsi dari waktu. Solusi persamaan diferensial menggunakan metoda Runge-Kutta berlaku untuk persamaan diferensial orde kesatu. Untuk persamaan diferensial orde kedua, ketiga dan seterusnya, maka dilakukan cara lain dalam menyelesaikannya. Persamaan diferensial dalam orde dua atau lebih harus dibentuk menjadi sejumlah persamaan diferensial orde kesatu, sehingga setiap persamaan diferensial orde kesatu yang diperoleh diselesaikan secara simultan atau bersama-sama, dan setiap persamaan diferensial orde kesatu tersebut diselesaikan dengan menggunakan solusi Runge-Kutta. Sedangkan metoda yang digunakan untuk membentuk sebuah persamaan diferensial orde ke-n menjadi sejumlah persamaan diferensial orde kesatu, diberikan oleh suatu persamaan yang dikenal dengan Persamaan Ruang Keadaan. Persamaan ruang keadaan dibahas dalam ruang berdimensi n yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x,..., sumbu xn, yang disebut sebagai ruang keadaan. Setiap keadaan dimaksud dapat dinyatakan dengan suatu titik pada ruang keadaan, dan suatu titik tersebut menandakan keberadaan dari suatu persamaan diferensial orde kesatu. Persamaan diferensial dalam dunia sistem kendali ditemui dalam sejumlah sistem seperti rangkaian listrik seperti resistor-induktor-kapasitor, mesin-mesin listrik yang memiliki resistansi-induktansi magnet, sistem mekanik berupa massapegas-dashpot, sistem pemodelan pengendalian pesawat, sistem pemodelan ayunan pada pengaturan pegas/per kenderaan, sistem pemanasan udara dan lain sebagainya. Setiap sistem dapat diamati jika diketahui karakteristik sistem dimaksud, yang umumnya dalam bentuk solusi grafis karena sistem dimaksud diamati setiap waktu. Solusi persamaan diferensial menggunakan metoda Runge-Kutta dimaksud, tentunya akan dihitung secara step by step dengan interval waktu selama h detik, sehingga akan memperoleh iterasi yang cukup banyak jika waktu yang diberikan cukup lama dengan interval waktu yang kecil. Oleh karena itu perhitungan
10 numerik tidak dapat dilakukan lagi dengan manual, dan menggambarkan solusi grafis juga tidak dapat lagi dilakukan secara manual. Oleh karena itu, persoalan matematis dan numerik dimaksud dapat diselesaikan menggunakan software khusus pemograman dalam bentuk matematik yang dikenal dengan software matrix laboratory atau dikenal dengan nama matlab. Software matlab sudah bergembang dari versi dos versi 3,5 hingga versi windows pertama dengan versi matlab for windows 4,0 dan 4,. Sekarang ini software ini berkembang hingga ke matlab for windows versi 6, 7 dan versi 8. Akan tetapi versi 4, sudah cukup memadai jika yang dikerjakan adalah solusi grafis dengan metoda Runge-Kutta dimaksud. 1.. Perumusan Masalah Yang menjadi masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial, dimana persamaan diferensial dimaksud berada dalam orde terbatas ke-n dan akan diuraikan dalam bentuk persamaan diferensial orde kesatu sebanyak n buah, dan setiap persamaan diferensial orde kesatu tersebut secara bersamaan secara numerik deiselesaikan dengan metoda Runge-Kutta. Penyelesaian dengan cara numerik selanjutnya diproses dengan menggunakan program komputer berbasis matlab, sehingga jika proses sudah selesai selama waktu yang ditentukan dengan interval waktu tertentu, maka selanjutnya diperlukan proses lanjut untuk menggambarkan hasil dimaksud secara grafis. Analisa tidak perlu dilakukan, karena analisa hanya mungkin dilakukan jika sistem yang diamati adalah benar-benar mewakili persamaan dinamis sistem tertentu. Maka analisis hanya dilakukan untuk melihat apakah proses solusi dengan metoda Runge-Kutta sudah berjalan dengan benar Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk memberikan tahapan-tahapan dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde terbatas ke-n dengan metoda Runge-Kutta yang dilengkapi dengan program komputer berbasis matlab, sehingga para ilmuwan yang bergerak dalam dunia persamaan diferensial dapat
11 menggunakan metoda dan program yang disajikan ini sebagai salah satu metoda dalam solusi persamaan diferensial Kontribusi Penelitian Penelitian ini akan memberikan kontribusi kepada ilmuwan khususnya mahasiswa dan dosen di Program Studi teknik Elektro dalam beberapa hal yaitu, 1. Lebih mudah menyelesaikan persamaan diferensial dalam bentuk grafis dengan menggunakan metod Runge-Kutta.. Mendapat pengetahuan tambahan dalam penggunaan program komputer matlab yang sudah familiar di PSTE, sehingga mahasiswa dapat lebih bersemangat menggunakan matlab. 3. Sebagai salah satu motivasi mendorong mahasiswa agar lebih semangat membahas sistem yang lebih kompleks yang terkait dengan persamaan diferensial, khususnya dalam pengoperasian simulasi berbasis matlab. 4. Sebagai salah satu kegiatan Tridarma Perguruan Tinggi PSTE UHN, ikut serta dalam meningkatkan akreditasi PSTE.
12 II. TIJAUAN PUSTAKA. 1. Uraian Persamaan Diferensial Deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem disebut model matematik. Langkah pertama dalam analisis suatu sistem dinamik adalah menurunkan modelnya, dan secara umum bentuk persamaan diferensial orde ke-n yang bersifat linier dapat dituliskan seperti pada persamaan (-1), n n1 d y( d y( dy( a 1... a1 a0 y( u( n n (-1) n1 dt dt dt dimana, a n-1, a 1, a 0 y( u( : adalah konstanta : variabel output sebagai fungsi dari waktu : variabel input sebagai fungsi dari waktu Dalam dunia sistem kendali bahwa persamaan (-1) di atas diselesaikan dengan menggunakan metoda persamaan ruang keadaan dan metoda transformasi Laplace, dengan syarat diketahui semua kondisi awal untuk setiap waktu diferensial dimaksud. Sedangkan persamaan diferensial dalam bentuk non-linier dapat berisikan unsur lain seperti sinus dan pangkat dua seperti dituliskan pada persamaan berikut. d y dt dy a1 sin y a dt 0 d y( a dt 1 dy( ( ) dt a y u 0 y( sin( u( ) d y( dy( a1 a0 y( y ( u( dt dt Adanya unsur sinus dalam persamaan dimaksud membuat tidak mungkin persamaan di atas diselesaikan dengan menggunakan metoda transformasi
13 Laplace, walaupun syarat diketahui semua kondisi awal untuk setiap waktu diferensial dimaksud. Berbagai persamaan diferensial dapat ditemui dalam bentuk aplikasi, baik listrik maupun mekanik. Persamaan diferensial (-1) di atas dapat diuraikan menjadi sejumlah persamaan diferensial orde satu seperti dituliskan seperti pada persamaan (-). Dalam hal ini terdapat sejumlah variabel x 1, x,..., x n yang disebut dengan variabel keadaan dalam persamaan ruang keadaan orde ke-n, sebagai persamaan diferensial orde kesatu sebanyak n buah. x y 1 dx dt 1 dy x dt dx dt... dx dt n1 n1 d y x dt d dt n1 n1 3 y x n (-) dx dt. n n n d y a0x1 a1x n dt... a x n1 n u.. Solusi Persamaan Diferensial Berbagai metoda dapat digunakan dalam menyelesaiakan persamaan diferensial, baik secara analitik maupun dengan menggunakan proses transformasi seperti transformasi Laplace, tetapi secara numerikpun tidak kalah banyak metoda yang dapat digunakan, seperti metoda Euler, metoda Deret Taylor, metoda Heun, metoda Poligon, dan metoda Runge-Kutta dan mungkin masih ada metoda lainnya.
14 Contoh 1 : Tinjau suatu persamaan diferensial orde ke-satu berikut ini : dy( a y( b u( dt Dua variabel u dan y sebagai fungsi waktu t. Fungsi masukan adalah u( dan fungsi keluaran adalah y(, dengan a dan b adalah parameter konstan. Dengan mengetahui kondisi awal y(0) = y 0, solusi persamaan diferensial orde kesatu dimaksud dengan menggunakan transformasi Laplace adalah, s Y(s) + a Y(s) = b U(s) atau dapat lagi disederhanakan menjadi, b Y( s) U ( s) s a Fungsi penggerak U(s) dalam sistem kendali dapat terdiri dari fungsi unit step, fungsi ramp, fungsi eksponen atau fungsi sinus seperti ditunjukkan pada tabel -1. Tabel -1. Jenis Fungsi Masukan No. f( F(s) Nama fungsi 1 1( 1 s unit step 1 t s 3 e -at 1 s a w 4 A sin wt A s w ramp exponen sinus
15 Fungsi penggerak U(s) dipilih salah satu dari Tabel -1 sesuai keperluan pengendalian. Misalnya yang dipilih adalah fungsi unit step, maka keluaran memiliki persamaan, Y ( s) b s ( s a ) Dan invers transformasi Laplace dari persamaan di atas adalah, b b y t 1 ( ) L e s s a ( ) a 1 at Jika diketahui nilai variabel b = a =, dan digambarkan dalam kurun waktu t = 4 detik, maka diperoleh hasil y( = 1 e - t Dan hasil dalam bentuk grafik diperoleh seperti pada Gambar y( t Gambar -1. Grafik y(=1-e -t
16 Jika persamaan diferensial orde 1 di atas diselesaikan dengan solusi umum persamaan diferensial orde 1, maka diuraikan sebagai berikut : Untuk persamaan diferensial orde satu dengan bentuk, dy( a b y( f ( dt Maka solusi homogen persamaan diferensial orde satu y a adalah, y a K a e ( b / a) t Sedangkan solusi khusus y p untuk fungsi f( yang berbeda diperoleh dengan, f( = 0 maka y p = 0 f( = A, konstanta maka y p = K f( = A e at maka y p = K e at f( = A sin(w maka y p =K c cos(w + K s sin(w Sehingga solusi total y total persamaan diferensial orde satu adalah, y total y p K a e ( b / a) t Untuk contoh soal yang diberikan sebelumnya, maka solusi totla untuk persamaan diferensial orde satu dimaksud adalah, Untuk a = 1 dan b =, dan untuk fungsi f( = A = maka y p = 1 dan K a = -1, sehingga didapat y( 1 e t Hasil ini sama dengan hasil yang diperoleh menggunanakan transformasi Laplace. Jika persamaan diferensial memiliki bentuk linier orde dua seperti, d y( a dt 1 dy( a dt 0 y( b u(
17 Dan diketahui nila a 1 = 1, nilai a 0 = 10 dan nilai b = 4, maka persamaan di atas ditulis dengan, d y( dy( 10 y( 4u( dt dt Dalam bentuk Laplace untuk kondisi awal y(0) = 0 dan y(-1) = 0, dengan masukan u( = 1, diperoleh hasil Laplace persamaan diferensial orde dua di atas yaitu Y(s) dan pemisahannya dengan, Y s) s( s 4 s 10) m s 1 ( m s m3 s s 10 Nilai parameter pemisahan m 1, m dan m 3 diperoleh seperti berikut : m 1 (s + s + 10) + (m s + m 3 ) s = 4 atau m 1 + m = 0 m 1 + m 3 = 0 10 m 1 = 4 Diperoleh, m 1 = 0,4 dan m 3 = -0,4 dan m = 0,4 sehingga didapat, y L 1 1 s 1 Y ( s) L 0,4 1 ( Dan diperoleh, s s s 10 y( = 0,4 e t / 3 1 cos( 10 sin( 10 t 10 Dan hasil dalam bentuk grafik diperoleh seperti pada Gambar -.
18 > y( > t Gambar -. Grafik y( Plant Orde Dua Versi Laplace Dengan menggunakan perintah langsung matlab, yaitu dengan memberi perintah, t = 0:0.1:10 ; y = step( 4, [1 1 10], t ) ; plot ( t, y, w ) diperoleh grafik seperti pada Gambar Gambar -3. Grafik y( Plant Orde Dua Versi Matlab
19 Matlab > y( > t Gambar -4. Grafik y( Versi Laplace dan Matlab Dari uraian yang diberikan, maka dapat disimpulkan bawa penggunaan metoda transformasi Laplace dan metoda solusi umum persamaan diferensial cukup sulit, apalagi jika untuk sistem dengan orde yang tinggi mulai orde tiga ke atas. Untuk itu diperlukan metoda numerik seperti metod pengintegralan Runge- Kutta sehingga solusi dalam bentuk angka dan grafis lebih mudah diperoleh..3. Metoda Runge Kutta Metoda Runge-Kutta memiliki ketelitian yang tinggi dalam integrasi persamaan diferensial, dan karena metoda ini berupa metoda numerik, maka metoda ini sangat cocok dilalukan dengan komputasi melalui komputer digital. Berdasarkan survey yang dilakukan dalam bentuk literatur dan melalui tulisan ilmiah pada internet, ditemukan beberapa bentuk solusi yang diberikan oleh Runge-Kutta, yaitu Runge-Kutta Orde Dua, Runge-Kutta Orde Tiga, Runge- Kutta Orde Empat, Runge-Kutta Gill Orde Empat, dan Runge-Kutta Fehlberg pada Update Orde Empat dan Orde Lima. Bentuk umum metoda Runge-Kutta orde-n ialah,
20 y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k + a 3 k a n k n dengan a 1, a,..., a n adalah tetapan, dan k 1, k,..., k n ialah, k 1 h f ( t r, y ) i k k 3... k n h h h f ( t i 1 f ( t p i f ( t p i p h, y q n1 i 11 h, y q i k ) 1 h, y q i 1 k q 1 n1,1 1 k k q ) n1, k... q k ) n1, n1 n1 (-4) Dalam hal ini variabel h adalah interval waktu dalam iterasi yang dilakukan, dan variabel k 1, k,...,k n adalah variabel persamaan Runge-Kutta menurut orde yang digunakan, sehingga dalam hal ini y r+1 adalah hasil akhir dari pengintegralan persamaan diferensial untuk satu interval waktu dari h untuk y r. Variabel lainnya yaitu p i dan q i adalah parameter yang dipilih tergantung metoda yang digunakan. Ketentuan yang diberikan dalam pengintegralan secara numerik adalah : Nilai a i, dan k i dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah untuk memperoleh hasil pengintegralan terbaik. Orde metoda = n Metoda Runge-Kutta Orde Dua Bentuk persamaan diferensial yang akan diintegrasikan dengan metoda Runge-Kutta ialah, dy( f ( t, y) m y( cu( dt Dalam hal ini u adalah variabel masukan, y adalah variabel keluaran dan t adalah waktu, dengan m dan c adalah konstanta. Solusi pertama Metoda Runge-Kutta untuk pengintegralan persamaan diferensial (-3) adalah Runge-Kutta orde dua, dan bentuk persamaan ini dituliskan dengan, y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k (-3)
21 a. Mengacu pada metoda Heun, dalam hal ini a 1 = a = 1/ Untuk kondisi ini, maka kedua variabel Runge-Kutta k 1 dan k diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +k 1 )+ c u) y i+1 = y i + ( k 1 + k ) / (-4) Metoda Heun adalah metoda yang paling umum digunakan dalam pengintegralan dalam orde yang terendah, tetapi memberi hasil terbatas pada persamaan diferensial. b. Mengacu pada metoda Poligon, dalam hal ini a 1 = 0 dan a = 1 k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +k 1 /)+ c u) y i+1 = y i + k (-5) c. Mengacu pada metoda Raltson, dalam hal ini a 1 = 1/3 dan a = /3 k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +3/4 k 1 )+ c u) y i+1 = y i + ( k 1 + k ) / 3 (-6).3.. Metoda Runge-Kutta Orde Tiga
22 Solusi kedua Metoda Runge-Kutta untuk pengintegralan persamaan diferensial (- 3) adalah Runge-Kutta orde tiga, dan bentuk persamaan ini dituliskan dengan, y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k + a 3 k 3 Pada metoda ini, ditentukan a 1 = a 3 = 1/6 dan a = /3 sehingga, y i+1 = y i + ( k k + k 3 ) / 6 (-7) Ketiga variabel Runge-Kutta k 1, k dan k 3 diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +k 1 /)+ c u) k 3 = h (m (y i - k 1 + k )+ c u).3.3. Metoda Runge-Kutta Orde Empat Solusi ketiga Metoda Runge-Kutta untuk pengintegralan persamaan diferensial (- 3) adalah Runge-Kutta orde empat, dan bentuk persamaan yang umum digunakan dan persamaan ini dituliskan dengan, y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k + a 3 k 3 + a 4 k 4 Pada metoda ini, ditentukan a 1 = a 4 = 1/6 dan a = a 3 = /6 sehingga, y i+1 = y i + ( k 1 + k + k 3 + k 4 ) / 6 (-8) Keempat variabel Runge-Kutta k 1, k, k 3 dan k 4 diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i + k 1 /)+ c u) k 3 = h (m (y i + k /)+ c u) k 4 = h (m (y i + k 3 )+ c u) Solusi Lainnya dengan Metoda Runge-Kutta GILL untuk pengintegralan persamaan diferensial (-3) yang juga orde empat, dan bentuk persamaan ini dituliskan dengan,
23 y i+1 = y i + ( k 1 + k 4 ) / 6 ( b k + d k 3 ) / 3 (-9) Keempat variabel Runge-Kutta GILL k 1, k, k 3 dan k 4 diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i + k 1 /)+ c u) k 3 = h (m (y i +a k 1 + b k )+ c u) k 4 = h (m (y i + c k + d k 3 )+ c u) dalam hal ini, a 1 b c d Metoda Runge-Kutta FEHLBERG Solusi lainnya untuk pengintegralan persamaan diferensial (-3) adalah Metoda Runge-Kutta FEHLBERG, dengan solusi orde empat, namum memiliki ketelitian sampai orde lima dan tapi dengan menggunakan 6 variabel, dan variabel bentuk persamaan ini dituliskan dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i + k 1 /4)+ c u) 3 9 k3 h m yi k1 k 3 3 cu k4 h m yi k1 k k cu k5 h m yi k1 8k k3 k cu
24 k6 h m yi k1 k k3 k4 k cu (-10) Maka untuk Formula Update orde empat diberikan dengan, yi 1 yi k1 k3 k4 k5 (-11) Dan untuk Formula Update orde lima diberikan dengan, yi 1 yi k1 k3 k4 k5 k6 (-1) Dari uraian metoda pada sub-bab.1 sampai.4, diuraikan ada 8 bentuk solusi pengintegralan dengan Metoda Runge-Kutta, yaitu : 1. Solusi Runge-Kutta Orde Dua Metoda Heun. Solusi Runge-Kutta Orde Dua Metoda Poligon 3. Solusi Runge-Kutta Orde Dua Metoda Raltson 4. Solusi Runge-Kutta Orde Tiga Umum 5. Solusi Runge-Kutta Orde Empat Umum 6. Solusi Runge-Kutta GILL Orde Empat. 7. Solusi Runge-Kutta FEHLBERG dengan Formula Update Orde Empat 8. Solusi Runge-Kutta FEHLBERG dengan Formula Update Orde Lima.4. Penggunaan Ganda Metoda Runge Kutta
25 Seperti diuraikan sebelumnya bahwa metoda Runge-Kutta memiliki ketelitian yang tinggi dalam integrasi persamaan diferensial. Penggunaan metoda ini dalam metoda numerik, dapat dikembangkan dengan menggunakan variabel ganda yang tetap mengacu pada metoda Runge-Kutta yang sudah diuraikan sebelumnya. Persamaan diferensial dapat terbentuk dalam bentuk orde kedua, orde ketiga hingga orde ke n seperti pada persamaan (-1). Jika persamaan diferensial terdiri dari orde dua atau lebih, maka metoda Runge-Kutta hanya dapat digunakan setelah semua persamaan diferensial dibentuk kedalam sejumlah persamaan orde satu seperti pada persamaan (-). Penggunaan solusi yang diberikan oleh Runge-Kutta, yaitu Runge-Kutta Orde Dua, Runge-Kutta Orde Tiga, Runge-Kutta Orde Empat, Runge-Kutta Gill Orde Empat, dan Runge-Kutta Fehlberg pada Update Orde Empat dan Update Orde Lima yang sudah diberikan, harus digunakan secara ganda sejumlah m pasang, tergantung pada derajat persamaan diferensial yang diintegrasikan Metoda Runge Kutta Ganda Tinjau sebuah persamaan diferensial orde dua seperti berikut : d y( a dt 1 dy( a dt 0 y( b u( Mengacu ke persamaan (-), jika persamaan di atas dibentuk menjadi persamaan diferensial orde satu, maka haruslah dibuat dengan aturan berikut. Definisikan, x ( 1 y( dx1( dy( x dt dt ( Maka persamaan diferensial orde dua di atas menjadi,
26 dx ( d y( a0 x1( a1 x ( bu( t ) dt dt Terlihat bahwa terdapat dua persamaan diferensial orde satu dari bentuk persamaan diferensial orde dua sebelumnya. Kondisi sekarang ini, kedua persamaan diferensial dimaksud harus diselesaikan secara bersamaan dengan menggunakan metoda Runge-Kutta. Oleh karena itu harus dipilih dua variable sekaligus sebagai variable Runge-Kutta yang harus digunakan secara bersamaan pula. Misalkan dalam hal ini dipilih dua variable k dan l Pengintegralan Metoda Runge-Kutta Orde Dua Pengintegralan persamaan diferensial dalam bentuk orde dua menggunakan metoda Heun, dapat dituliskan dengan : k 1 = h x 0 ( l 1 = h ( -a 0 x 10 ( a 1 x 0 ( + b u ( ) k = h ( x 0 ( + l 1 ) l = h ( -a 0 (x 10 (+k 1 ) a 1 (x 0 (+l 1 ) + b u( ) Dan hasil pengintegrasian pertama diperoleh dengan, x 11 = x 10 + ( k 1 + k ) / x 1 = x 0 + ( l 1 + l ) / Pengintegralan Metoda Runge-Kutta Orde Tiga Dalam bentuk orde tiga penyelesaian persamaan diferensial orde dua di atas dapat dituliskan dengan : k 1 = h x 0 ( l 1 = h ( -a 0 x 10 ( a 1 x 0 ( + b u ( ) k = h ( x 0 ( + l 1 ) l = h (-a 0 (x 10 (+k 1 /) a 1 (x 0 (+l 1 /)) + b u( )
27 k 3 = h ( x 0 ( - l 1 + l ) l 3 = h (-a 0 (x 10 (-k 1 + k ) a 1 (x 0 ( - l 1 + l )) + b u( ) Dan hasil pengintegrasian pertama diperoleh dengan, x 11 = x 10 + ( k k + k 3 ) / 6 x 1 = x 0 + ( l l + l 3 ) / Pengintegralan Metoda Runge-Kutta Orde Empat Dalam bentuk orde empat penyelesaian persamaan diferensial orde dua di atas dapat dituliskan dengan : k 1 = h x 0 ( l 1 = h ( -a 0 x 10 ( a 1 x 0 ( + b u ( ) k = h ( x 0 ( + l 1 / ) l = h (-a 0 (x 10 (+k 1 /) a 1 (x 0 (+l 1 /)) + b u( ) k 3 = h ( x 0 ( + l / ) l 3 = h (-a 0 (x 10 (+k /) a 1 (x 0 (+l /)) + b u( ) k 4 = h ( x 0 ( + l 3 ) l 4 = h (-a 0 (x 10 (+k 3 ) a 1 (x 0 (+l 3 )) + b u( ) Dan hasil pengintegrasian pertama diperoleh dengan, x 11 = x 10 + ( k 1 + k + k 3 + k 4 ) / 6 x 1 = x 0 + ( l 1 + l + l 3 + l 4 ) / 6 Dari uraian tentang penyelesaia persamaan diferensial orde dua di atas, selanjutnya jika diketahui ada persamaan diferensial orde 3, orde 4 hingga orde n, maka demikianlah prosesnya berlangsung, dibentuk 3 atau empat bahkan n variabel lagi, untuk membangun variabel Runge-Kutta. III. PROGRAM SIMULASI KOMPUTER MATLAB 3.1. Pengantar Program MATLAB
28 Kecepatan komputer digital dalam melakukan operasi aritmatika sangat memungkinkan banyak pengguna untuk menggunakan pendekatan dalam menyelesaikan integrasi persamaan diferensial. Dengan komputer digital maka analisis dapat berkembang dan tidak hanya terbatas pada orde kesatu dan kedua yang dapat dihitung manual, sehingga dapat diselesaikan berbagai persamaan dengan orde yang tinggi dan dengan jumlah variabel yang banyak. Metoda numerik selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan program komputer berbasis Matrix Laboratory atau dikenal dengan nama matlab. Dalam hal ini matlab yang akan digunakan adalah versi 4, dengan memiliki tiga jenis tampilan window seperti pada Gambar 4.1 sampai dengan gambar 4.3. Gambar 4.1 adalah tampilan window Workspace sebagai zona kerja pada layar matlab atau disebut dengan Window Workspace. Gambar 4. adah tampilan window disaat diinginkan menunjukkan hasil grafis perhitungan dengan variabel tertentu, dan disebut dengan Window Grafik. Sedangkan Gambar 4.3 adalah tampilan window saat diperlukan pengeditan program yang akan dieksekusi dengan matlab, disebut dengan Window Editor. Tampilan window Gambar. dan Gambar.3 dapat ditampilkan lebih dari satu, sesuai dengan jumlah gambar yang ingin ditampilkan dan jumlah layar pengeditan yang ingin dilakukan. Gambar.1 Window Workspace Matlab
29 Gambar. Window Grafik Matlab Gambar.3 Window Editor Matlab Pemrograman dalam matlab tidak berbeda dari program lain seperti basic dan pascal, dapat memiliki program utama dan dapat memiliki sejumlah subprogram yang akan dieksekusi secara bersama-sama. Yang menarik dan penting
30 dalam matlab adalah bahwa telah tersedia sejumlah fungsi penting dan sub-rutin program yang dapat digunakan secara langsung, misalnya matriks dan prosesnya, menyediakan sub-rutin seperti invers, sub-rutin pembuatan grafis juga sudah tersedia secara lengkap. Pengguna program ini juga dapat menambahkan subprogram baru yang dibuat secara tersendiri dan digunakan secara bersama-sama dengan sub-program yang sudah ada disediakan matlab. Program matlab secara umum sudah familiar di Program Studi Teknik Elektro dan sudah digunakan banyak dalam analisis sistem pada saat penulisan Tugas Akhir mahasiswa, khususnya konsentrasi teknik kendali. Hanya saja penuntun program ini tidak banyak yang berkaitan langsung dengan penggunaannya dalam dunia teknik elektro. 3.. Program Simulasi MATLAB Program Simulasi ini bertujuan memberikan cara penyelesaian persamaan diferensial orde satu dan orde dua yang diselesaikan dengan berbagai bentuk solusi dengan menggunakan Metoda Runge-Kutta. Dipilih persamaan diferensial orde satu dan orde dua seperti berikut ini : dy( 1. y( u( dt d y( dy(. 10 y( 4 u( dt dt Kondisi awal untuk kedua soal di atas semuanya adalah nol, dan nulai fungsi u( diberikan dengan fungsi unit step. Program matlab yang diperlukan dalam melakukan simulasi pengintegrasian persamaan diferensial menggunakan metoda Runge-Kutta, terdiri dari dua bagian yaitu, program utama dan sub-program. Sub-Program atau adalah program yang
31 dibuat menggunakan bentuk function yang digunakan menyelesaikan setiap step dalam penyelesaian secara numerik persamaan Runge-Kutta. Pada simulasi ini, untuk setiap plant orde satu dan plant orde dua, masingmasing dibuat simulasi menggunakan metoda Runge-Kutta mulai dari orde dua, orde tiga dan orde empat, yaitu : 1. Plant Orde Satu dengan Runge-Kutta Orde Dua a. Metoda Heun b. Metoda Poligon c. Metoda Raltson. Plant Orde Dua dengan Runge-Kutta Orde Dua a. Metoda Heun b. Metoda Poligon c. Metoda Raltson 3. Plant Orde Satu dengan Runge-Kutta Orde Tiga 4. Plant Orde Dua dengan Runge-Kutta Orde Tiga 5. Plant Orde Satu dengan Runge-Kutta Orde Empat 6. Plant Orde Dua dengan Runge-Kutta Orde Empat Program Simulasi Metoda Runge-Kutta Orde Dua Plant Orde Satu a. Program Utama : % Program Utama Plant Orde Satu % dy/dt = y + u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x0 =0 ; h = 0.1 ;
32 tf = 4 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x(i) = x0 ; x1 = rkp1h(x0,h,u) ; x0 = x1 ; end plot(t,x) xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Program Sub-Rutin Metoda Heun : function x1 = rkp1h(x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x0 + k1) + *u ) ; k = ( k1 + k ) / ; x1 = x0 + k ; % return. c. Program Sub-Rutin Metoda Poligon : function x1 = rkp1p(x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x *k1) + *u ) ; k = 0*k1 + 1*k ;
33 x1 = x0 + k ; % return. d. Program Sub-Rutin Metoda Raltson : function x1 = rkp1r(x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x *k1) + *u ) ; k = ( k1 + *k ) / 3 ; x1 = x0 + k ; % return. Catatan p1rkr.m : program utama dibuat dengan file p1rkh.m, p1rkp.m, Sub-rutin dibuat dengan file rkp1h.m, rkp1p.m, rkp1r.m Plant Orde Dua a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Dua % dy/dt + dy/dt + 10 y = 4 u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x10 = 0 ; x0 = 0 ; h = 0.1 ; tf = 10 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ;
34 end x1(i) = x10 ; x(i) = x0 ; [x11,x1] = rkph(x10,x0,h,u) ; x10 = x11 ; x0 = x1 ; plot(t,x1,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin metoda Heun function [x11,x1] = rkph(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun K1 = h*x0 ; L1 = h* ( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+l1) ; L = h* ( 10*(x10+K1) (x0+l1) + 4*u ) ; K = ( K1 + K ) / ; L = ( L1 + L ) / ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. c. Sub-rutin metoda Poligon function [x11,x1] = rkp1p(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Poligon
35 K1 = h*x0 ; L1 = h* ( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+0.5*l1) ; L = h* ( 10*(x10+0.5*K1) (x0+0.5*l1) + 4*u ); K = 0*K1 + 1*K ; L = 0*L1 + 1*L ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. d. Sub-rutin metoda Raltson function [x11,x1] = rkpr(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Raltson K1 = h*x0 ; L1 = h* ( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+0.75*l1) ; L = h* ( 10*(x *K1) (x0+0.75*l1)+4*u ); K = ( 1*K1 + *K ) / 3 ; L = ( 1*L1 + *L ) / 3 ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. Catatan prkr,m : program utama dibuat dengan file prkh.m, prkp.m, Sub-rutin dibuat dengan file rkp1h.m, rkp1p.m, rkp1r.m
36 3... Program Simulasi Metoda Runge-Kutta Orde Tiga Plant Orde Satu a. Program Utama : % Program Utama Plant Orde Satu % dy/dt = y + u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x0 =0 ; h = 0.1 ; tf = 4 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x(i) = x0 ; x1 = rk3p1(x0,h,u) ; x0 = x1 ; end plot(t,x) xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Program Sub-Rutin Metoda Heun : function x1 = rkp1h(x0,h,u) k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x0 + k1/) + *u ) ;
37 k3 = h* ( *( x0 k1 + *k ) + *u ) ; k = ( k1 + 4*k + k3 ) / 6 ; x1 = x0 + k ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file p1rk3.m Sub-rutin dibuat dengan file rk3p Plant Orde Dua a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Dua % dy/dt + dy/dt + 10 y = 4 u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x10 = 0 ; x0 = 0 ; h = 0.1 ; tf = 10 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ;
38 x1(i) = x10 ; x(i) = x0 ; [x11,x1] = rk3p (x10,x0,h,u) ; x10 = x11 ; x0 = x1 ; end plot(t,x1,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin function [x11,x1] = rk3p(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun K1 = h*x0 ; L1 = h*( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+l1/) ; L = h*( 10*(x10+K1/) (x0+l1/) + 4*u ) ; K3 = h*(x0 L1+*L) ; L3 = h*( 10*(x10 K1+*K) (x0 L1+*L) + 4*u ) ; K = ( K1 + 4*K + K3 ) / 6 ; L = ( L1 + 4*L + L3 ) / 6 ;
39 x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file prk3.m Sub-rutin dibuat dengan file rk3p Program Simulasi Metoda Runge-Kutta Orde Empat Plant Orde Satu a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Satu % dy/dt = y + u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x0 =0 ; h = 0.1 ; tf = 4 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x(i) = x0 ; x1 = rk4p1(x0,h,u) ; x0 = x1 ; end
40 plot(t,x,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin function x1 = rkp1h(x0,h,u) k1 = h*( *x0 + *u ) ; k = h*( *( x0 + k1/ ) + *u ) ; k3 = h*( *( x0 + k/ ) + *u ) ; k4 = h*( *( x0 + k3 ) + *u ) ; k = ( k1 + *k + *k3 +k4 ) / 6 ; x1 = x0 + k ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file p1rk4.m Sub-rutin dibuat dengan file rk4p Plant Orde Dua a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Dua % dy/dt + dy/dt + 10 y = 4 u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ;
41 x10 = 0 ; x0 = 0 ; h = 0.1 ; tf = 10 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x1(i) = x10 ; x(i) = x0 ; [x11,x1] = rk4p(x10,x0,h,u) ; x10 = x11 ; x0 = x1 ; end plot(t,x1,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin function [x11,x1] = rk3p(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun K1 = h*x0 ; L1 = h*( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+l1/) ; L = h*( 10*(x10+K1/) (x0+l1/) + 4*u ) ; K3 = h*(x0+l/) ;
42 L3 = h*( 10*(x10+K/) (x0+l/) + 4*u ) ; K4 = h*(x0+l3) ; L4 = h*( 10*(x10+K3) (x0+l3) + 4*u ) ; K = ( K1 + *K + *K3 + K4) / 6 ; L = ( L1 + *L + *L3 + L4) / 6 ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file prk4.m Sub-rutin dibuat dengan file rk4p IV. HASIL PENELITIAN Hasil penelitian yang diperoleh adalah dalam bentuk numerik dan dalam bentuk grafik, baik untuk plant orde satu maupun untuk plant orde dua. Hasil penelitian diperoleh dengan menjalankan program yang diberikan pada bab 3. Semua program dibuat dalam satu direktori RK, untuk memudahkan setiap program utama dapat menggunakan sub-program yang diberikan. Pasti akan ada muncul pertanyaan, apakah hasil yang diperoleh akan dapat disebut akurat? Tentu dapat, jika hasil yang diperoleh dibandingkan dengan sebuah referensi, dan referensi yang diakui adalah hasil referensi menggunakan solusi yang diperoleh melalui program standard matlab, karena program ini sudah berstandar internasional yang dibangun oleh Mathworks Inc, dengan logo Matlab seperti pada Gambar 4.1.
43 Gambar 4-1. Logo Matlab Sebagai Referensi Program Simulasi Setelah setiap pasangan program utama dan sub-rutin dijalankan secara bersamaan, baik untuk plant orde satu maupun orde dua, baik untuk metode Runge-Kutta orde dua, tiga dan empat, diperoleh hasil seperti diberikan berikut ini Hasil Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Dua > y( > t
44 Gambar 4. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Heun Orde Dua > y( > t Gambar 4 3. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Poligon Orde Dua > y( > t Gambar 4 4. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Raltson Orde Dua
45 Hasil pengintegralan plant orde satu dengan metode Runge-Kutta rode dua versi Heun, Poligon dan Raltson dapat dikatakan sama. Dari hasil numeric diperoleh data seperti pada Tabel 4-1. Hasil numeric ketiga metoda dibandingkan dengan hasil analitik invers Transformasi Laplace, memberikan kesalahan ratarata pada ketiga metoda dengan nilai sama yaitu 0,00097 atau dibulatkan menjadi 0,1 %. Dari angka yang kecil ini, dapat dikatakan metoda ini mendekati hasil analitik, dan memenuhi hasil yang diberikan oleh standard MATLAB. Tabel 4 1. Hasil Numerik Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Dua t(de Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er
46 t(de Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er Rata = Hasil Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Dua
47 > y( > t Gambar 4 5. Grafik Plant Dua Satu Runge Kutta Heun Orde Dua > y( > t Gambar 4 6. Grafik Plant Dua Satu Runge Kutta Poligon Orde Dua
48 > y( > t Gambar 4 7. Grafik Plant Dua Satu Runge Kutta Raltson Orde Dua Hasil pengintegralan plant orde dua dengan metode Runge-Kutta rode dua versi Heun, Poligon dan Raltson juga dapat dikatakan sama. Dari hasil numerick diperoleh data seperti pada Tabel 4-. Hasil numeric ketiga metoda dibandingkan dengan hasil analitik invers Transformasi Laplace, memberikan kesalahan ratarata pada ketiga metoda dengan nilai sama yaitu 0,00001 atau dibulatkan menjadi 0,001 %. Dari angka yang kecil ini, dapat dikatakan metoda ini sangat akurat dibanding hasil analitik, dan memenuhi hasil yang diberikan oleh standard MATLAB. Tabel 4. Hasil Numerik Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Dua t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er
49 t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er
50 t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er
51 t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er
52 t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er Hasil Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Tiga > y( > t Gambar 4 8. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Orde Tiga
53 4.4 Hasil Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Tiga > y( > t Gambar 4 9. Grafik Plant Orde Dua Runge Kutta Orde Tiga 4.5. Hasil Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Empat > y( > t Gambar Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Orde Empat
54 4.6. Hasil Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Empat > y( > t Gambar Grafik Plant Orde Dua Runge Kutta Orde Empat Hasil pengintegralan plant orde satu dan plant orde dua dengan metode Runge-Kutta orde tiga dan orde empat juga dapat dikatakan sama. Dari hasil numerick diperoleh data seperti pada Tabel 4-3 dan table 4-4. Hasil numeric ketiga metoda dibandingkan dengan hasil analitik invers Transformasi Laplace, memberikan kesalahan rata-rata pada ketiga metoda dengan nilai sama yaitu mendekati no, kecuali analitik menggunakan Laplace dengan error -0,0078. Dari angka yang kecil ini, dapat dikatakan metoda ini sangat akurat dibanding hasil analitik, dan memenuhi hasil yang diberikan oleh standard MATLAB. Tabel 4 3. Hasil Numerik Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Tiga & Empat t Laplace Orde 3 Orde 4 E3 E
55 t Laplace Orde 3 Orde 4 E3 E
56 t Laplace Orde 3 Orde 4 E3 E Tabel 4 4. Hasil Numerik Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Tiga & Empat t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea
57 t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea
58 t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea
59 t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea
60 V. KESIMPULAN Dari keseluruhan uraian solusi persamaandiferensial menggunakan metoda Runge-Kutta, dari orde dua sampai orde empat, dan dengan menggunakan perangkat lunak matlab sebagai alat pemogram, maka diberikan kesimpulan sebagai berikut : 1. Contoh yang diberikan sebagai plant yaitu plant orde satu dan plant orde dua, dirasa cukup mewakili persamaan diferensial. Dari contoh ini dapat dilihat beberapa trik dalam membangun persamaan Runge-Kutta sesuai ordenya.. Solusi Runge-Kutta orde dua dengan metoda Heun, Poligon dan Raltson memiliki solusi yang mendekati sama dengan error yang sama dibandingkan dengan solusi standar yang diberikan oleh matlab. 3. Solusi Runge-Kutta orde empat disarankan sebagai suatu metoda yang tepat dalam solusi persamaan diferensial, dan hasilnya pun mendekati solusi standar yang diberikan oleh matlab.
61 VI. DAFTAR PUSTAKA Finizio N & Ladas G, Penerjemah : Widiarti Santoso, Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1988 Frank Ayres, Jr, PhD, Differential Equations, Schaum s Outline Series, McGraw- Hill International Book Company, Singapore, 1981 Katsuhiko Ogata, Teknik Kontrol Automatik (Sistem Pengaturan), Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1985 Katsuhiko Ogata, Teknik Kontrol Automatik (Sistem Pengaturan), Jilid, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1985 Steven C. Chapra, Metoda Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991 Shoichiro Nakamura, Applied Numerical Methods With Software, Prentice -Hall International Inc, London, 1991 Bahram Shahian, Control System Design Using Matlab, Prentice -Hall International Editions, London, 1993
62
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya dan diketahui jumlah
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung derivatif dari variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial sendiri
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciMODUL PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI. Disusun Oleh:
MODUL PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI Disusun Oleh: JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2017 i PRAKATA Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan yang Maha
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Karena penyelesaian partikular tidak diketahui, maka diadakan subtitusi: = = +
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Peran matematika sebagai suatu ilmu pada dasarnya tidak dapat dipisahkan dari ilmu lainnya. Dalam ilmu fisika, industri, ekonomi, keuangan, teknik sipil peran matematika
Lebih terperinciPERBANDINGAN SOLUSI MODEL GERAK ROKET DENGAN METODE RUNGE-KUTTA DAN ADAM- BASHFORD
Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 19 November 2014 376 PERBANDINGAN SOLUSI MODEL GERAK ROKET DENGAN METODE RUNGE-KUTTA DAN ADAM- BASHFORD KUSBUDIONO 1, KOSALA DWIDJA PURNOMO 2,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciMATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1 Persamaan diferensial orde satu Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya
Lebih terperinciBAB 4 MODEL RUANG KEADAAN (STATE SPACE)
BAB 4 MODEL RUANG KEADAAN (STATE SPACE) KOMPETENSI Kemampuan untuk menjelaskan pengertian tentang state space, menentukan nisbah alih hubungannya dengan persamaan ruang keadaan dan Mengembangkan analisis
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan Ilmu fisika merupakan ilmu yang mempelajari berbagai macam fenomena alam dan berperan penting dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu peran ilmu fisika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi
Lebih terperinciBANK SOAL METODE KOMPUTASI
BANK SOAL METODE KOMPUTASI 006 iv DAFTAR ISI Halaman Bio Data Singkat Penulis.. Kata Pengantar Daftar Isi i iii iv Pengantar... Kesalahan Bilangan Pendekatan... 6 Akar-akar Persamaan Tidak Linier.....
Lebih terperinciTransformasi Laplace Peninjauan kembali variabel kompleks dan fungsi kompleks Variabel kompleks Fungsi Kompleks
Transformasi Laplace Metode transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear. Dengan menggunakan transformasi Laplace,
Lebih terperinciJl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon 2 ABSTRAK
Jurnal Barekeng Vol. 8 No. 1 Hal. 39 43 (2014) APLIKASI METODE RUNGE KUTTA ORDE EMPAT PADA PENYELESAIAN RANGKAIAN LISTRIK RLC Application of Fourth Order Runge Kutta methods on Completion of the Electrical
Lebih terperinciPENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 2 (2014), hal 125 134. PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH
Lebih terperinciPendahuluan. Praktikum Pengantar Pengolahan Citra Digital Departemen Ilmu Komputer Copyright 2008 All Rights Reserved
1 Pengenalan Matlab Pendahuluan Matlab adalah perangkat lunak yang dapat digunakan untuk analisis dan visualisasi data. Matlab didesain untuk mengolah data dengan menggunakan operasi matriks. Matlab juga
Lebih terperinciPENDAHULUAN METODE NUMERIK
PENDAHULUAN METODE NUMERIK TATA TERTIB KULIAH 1. Bobot Kuliah 3 SKS 2. Keterlambatan masuk kuliah maksimal 30 menit dari jam masuk kuliah 3. Selama kuliah tertib dan taat aturan 4. Dilarang makan dan minum
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. perumusan persamaan integral tidak memerlukan syarat awal dan syarat batas.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Banyak masalah nyata di alam ini yang dapat dibuat model matematikanya. Persamaan diferensial adalah salah satu model matematika yang banyak digunakan pada
Lebih terperinciMODUL I PENGENALAN MATLAB
MODUL I PENGENALAN MATLAB 1. Apa Matlab itu? Matlab merupakan bahasa pemrograman dengan kemampuan tinggi dalam bidang komputasi. Matlab memiliki kemampuan mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan pemrograman.
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Penulis. Raizal Dzil Wafa M.
i KATA PENGANTAR Buku ini dibuat untuk memudahkan siapa saja yang ingin belajar MATLAB terutama bagi yang baru mengenal MATLAB. Buku ini sangat cocok untuk pemula terutama untuk pelajar yang sedang menempuh
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciBAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK
BAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK Pendahuluan Di dalam proses penyelesaian masalah yang berhubungan dengan bidang sains, teknik, ekonomi dan bidang lainnya, sebuah gejala fisis pertama-tama harus digambarkan
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik
Pendahuluan Metode Numerik Obyektif : 1. Mengerti Penggunaan metode numerik dalam penyelesaian masalah. 2. Mengerti dan memahami penyelesaian masalah menggunakan grafik maupun metode numeric. Pendahuluan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciPenggunaan Metode Numerik dan MATLAB dalam Fisika
Tugas Akhir Mata Kuliah Metode Numerik Dr. Kebamoto Penggunaan Metode Numerik dan MATLAB dalam Fisika Oleh : A. Arif Sartono 6305220017 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciMetode Numerik. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik. By : Muhtadin
Metode Numerik Muhtadin, ST. MT. Agenda Intro Rencana Pembelajaran Ketentuan Penilaian Deret Taylor & McLaurin Analisis Galat 2 Metode Numerik & Teknik Komputasi - Intro 3 Tujuan Pembelajaran Mahasiswa
Lebih terperinciMATA KULIAH ANALISIS NUMERIK
BAHAN AJAR MATA KULIAH ANALISIS NUMERIK Oleh: M. Muhaemin Muhammad Saukat JURUSAN TEKNIK DAN MANAJEMEN INDUSTRI PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN UNIVERSITAS PADJADJARAN 2009 Bahan Ajar Analisis
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017
A. Pengantar Persamaan Diferensial TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 016/017 1. Tentukan hasil turunan dari fungsi sebagai berikut: a. f() = c e b. f() = c cos k + c sin k c.
Lebih terperinciBab 1. Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Bab 1. Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007 1 Topik Pendahuluan Persoalan matematika Metode Analitik vs Metode Numerik Contoh Penyelesaian
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE TIGA KOEFISIEN KONSTAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 21 25 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
Lebih terperinciJURNAL TEKNOLOGI INFORMASI & PENDIDIKAN ISSN : VOL. 4 NO. 1 SEPTEMBER 2011
PERANCANGAN DAN PENALAAN PENGENDALI PROPORTIONAL INTEGRAL DERIVATIF MENGGUNAKAN SIMULINK Hastuti 1 ABSTRACT This paper describes how to design and to adjust parameters of the PID Controller in order to
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciMETODE NUMERIK SEMESTER 3 2 JAM / 2 SKS. Metode Numerik 1
METODE NUMERIK SEMESTER 3 2 JAM / 2 SKS Metode Numerik 1 Materi yang diajarkan : 1. Pendahuluan - latar belakang - mengapa dan kapan menggunakan metode numerik - prinsip penyelesaian persamaan 2. Sistim
Lebih terperinciBAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI. perangkat pendukung yang berupa piranti lunak dan perangkat keras. Adapun
BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI 4.1 Implementasi Perangkat Ajar Dalam perancangan dan pembuatan perangkat ajar ini membutuhkan perangkat pendukung yang berupa piranti lunak dan perangkat keras. Adapun
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen, suatu variabel dependen, dan satu atau lebih turunan dari
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric : 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3.
BAB I PENDAHULUAN Tujuan Pembelajaran: Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik. Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari. Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.
Lebih terperinciMATERI 4 MATEMATIKA TEKNIK 1 DERET FOURIER
MATERI 4 MATEMATIKA TEKNIK 1 DERET FOURIER 1 Deret Fourier 2 Tujuan : 1. Dapat merepresentasikan seluruh fungsi periodik dalam bentuk deret Fourier. 2. Dapat memetakan Cosinus Fourier, Sinus Fourier, Fourier
Lebih terperinciJAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK
JAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK Kasus-kasus fisika yang diangkat pada mata kuliah Fisika Komputasi akan dijawab secara numerik. Validasi jawaban
Lebih terperinciDesain PI Controller menggunakan Ziegler Nichols Tuning pada Proses Nonlinier Multivariabel
Desain PI Controller menggunakan Ziegler Nichols Tuning pada Proses Nonlinier Multivariabel Poppy Dewi Lestari 1, Abdul Hadi 2 Jurusan Teknik Elektro UIN Sultan Syarif Kasim Riau JL.HR Soebrantas km 15
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan (bidang fisika, kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro
Lebih terperinciMODUL PRAKTIKUM. EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN. PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MODUL PRAKTIKUM. EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN. PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA Modul Praktikum Ekonomi Produksi Pertanian Program Studi Agribisnis Fakultas Pertanian Universitas
Lebih terperinciBAB III METODA PENELITIAN
BAB III METODA PENELITIAN 3.1 TahapanPenelitian berikut ini: Secara umum tahapan penelitian digambarkan seperti pada Gambar 3.1 diagram alir Gambar 3.1 Diagram alir penelitian Agar dapat mencapai tujuan
Lebih terperinciSeminar Nasional Sains dan Teknologi Terapan IV 2016 ISBN Institut Teknologi Adhi Tama Surabaya
PEMBUATAN MODEL SIMULASI PENDULUM MOTIONDENGAN PEMROGRAMAN VISUAL MENGGUNAKAN PENDEKATAN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION (ODE) ORDE 2 DENGAN METODE EULER Wahyu Setyo Pambudi 1), Dedy Rusdyanto 2) 1) Jurusan
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang December 2, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik December 2, 2013 1 / 18 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciPengantar Metode Numerik
Pengantar Metode Numerik Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Metode numerik menggunakan perhitungan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasikan dan menjelaskan masalah dunia nyata dalam pernyataan matematik. Representasi
Lebih terperinciMETODE NUMERIK Modul I
LABORATORIUM KOMPUTASIONAL FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI UNIVERSITAS YARSI METODE NUMERIK Modul I a. Estimasi waktu: 100 menit b. Tujuan Istruksional Khusus: Mahasiswa dapat menggunakan Mathlab dengan baik
Lebih terperinciMetode Numerik & Lab. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Metode Numerik & Lab Muhtadin, ST. MT. Agenda Intro Rencana Pembelajaran Ketentuan Penilaian Deret Taylor & McLaurin Analisis Galat Metode Numerik & Lab - Intro 3 Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memiliki
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang September 27, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik September 27, 2013 1 / 12 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciDISAIN KOMPENSATOR UNTUK PLANT MOTOR DC ORDE SATU
DISAIN KOMPENSATOR UNTUK PLANT MOTOR DC ORDE SATU TUGAS PAPER ANALISA DISAIN SISTEM PENGATURAN Oleh: FAHMIZAL(2209 05 00) Teknik Sistem Pengaturan, Teknik Elektro ITS Surabaya Identifikasi plant Identifikasi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Motor stepper merupakan salah satu jenis aktuator yang cukup banyak digunakan dalam bidang industri. Seiring dengan kemajuan teknologi, permasalahan pada
Lebih terperinciUJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I
PETUNJUK UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I DR. IR. ISTIARTO, M.ENG. KAMIS, 8 JUNI 017 OPEN BOOK 150 MENIT 1. Saudara tidak boleh menggunakan komputer untuk mengerjakan soal ujian ini.. Tuliskan urutan/cara/formula
Lebih terperinciBAB V HASIL SIMULASI
46 BAB V HASIL SIMULASI Pada bab ini akan disajikan beberapa hasil pendekatan numerik harga opsi put Amerika menggunakan metode beda hingga. Algoritma yang disusun di bawah ini untuk menentukan harga opsi
Lebih terperinciMETODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1. Mohamad Sidiq PERTEMUAN-1
METODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Mohamad Sidiq PERTEMUAN-1 KONTRAK KULIAH METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S1 3 SKS Mohamad Sidiq MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS Pengantar Metode Numerik Sistem
Lebih terperinciPenyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks
Penyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks Dewi Erla Mahmudah 1, Ratna Dwi Christyanti 2, Moh. Khoridatul Huda 3,
Lebih terperinciPRAKTIKUM 13 PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR
PRAKTIKUM 13 PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR Dalam bab ini kita akan menggunakan Matlab untuk menyelesaikan persamaan aljabar. Kita akan mulai dengan menyelesaikan persamaan sederhana (persamaan dengan
Lebih terperinciLAPORAN PRAKTIKUM PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL. No. Percobaan : 01 : Pengenalan Matlab Nama Praktikan : Janita Dwi Susanti NIM :
LAPORAN PRAKTIKUM PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL No. Percobaan : 01 Judul : Pengenalan Matlab Nama Praktikan : Janita Dwi Susanti NIM : 3.33.12.0.13 Kelas : TK-3A PROGRAM STUDI TEKNIK TELEKOMUNIKASI JURUSAN
Lebih terperinciKAJIAN SEJUMLAH METODE UNTUK MENCARI SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL
KAJIAN SEJUMLAH METODE UNTUK MENCARI SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL Mulyono 1) 1) Program StudiSistemKomputer FMIPA UNJ mulyono_unj_2006@yahoo.co.id Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan
Lebih terperinciBAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB
BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB Pada bagian 1 ini, akan diuraikan tentang bagaimana mendefinisikan data, operasi data dan teknik mengakses data pada Matlab. Untuk lebih memahami, pembaca sebaiknya mecobanya
Lebih terperinciBAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI. digunakan dalam pengujian program perbandingan solusi numerik persamaan integral
BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI Pada bab ini disajikan hasil pengujian program beserta spesifikasi sistem yang digunakan dalam pengujian program perbandingan solusi numerik persamaan integral Volterra
Lebih terperinciBUKU RANCANGAN PENGAJARAN MATA AJAR METODE NUMERIK. oleh. Tim Dosen Mata Kuliah Metode Numerik
BUKU RANCANGAN PENGAJARAN MATA AJAR METODE NUMERIK oleh Tim Dosen Mata Kuliah Metode Numerik Fakultas Teknik Universitas Indonesia Maret 2016 1 DAFTAR ISI hlm. PENGANTAR BAB 1 BAB 2 INFORMASI UMUM KOMPETENSI
Lebih terperinciPEMBELAJARAN SISTEM KONTROL DENGAN APLIKASI MATLAB
Jurnal Teknika ISSN : 85-859 Fakultas Teknik Universitas Islam Lamongan Volume No. Tahun PEMBELAJARAN SISTEM KONTROL DENGAN APLIKASI MATLAB Affan Bachri ) Dosen Fakultas Teknik Prodi Elektro Universitas
Lebih terperinciAPLIKASI METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL PADA SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PENDAHULUAN
APLIKASI METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL PADA SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA E. KHATIZAH 1, P. T. KARIMA 2, D. I. ASTUTI 2 Abstrak Metode transformasi diferensial merupakan salah satu metode pendekatan
Lebih terperinciBAB III PERANCANGAN DAN PEMBUATAN SISTEM
BAB III PERANCANGAN DAN PEMBUATAN SISTEM Pada bab ini menjelaskan tentang perancangan dan pembuatan sistem kontrol, baik secara software maupun hardware yang digunakan untuk mendukung keseluruhan sistem
Lebih terperinciOleh : Anna Nur Nazilah Chamim
Oleh : Anna Nur Nazilah Chamim 1. Silabus 2. Referensi 3. Kriteria Penilaian 4. Tata Tertib Perkuliahan 5. Pembentukan Kelompok 6. Materi 1 : pengantar Analisa Numerik Setelah mengikuti mata kuliah metode
Lebih terperinciBAB IV IMPLEMENTASI SKEMA RUNGE-KUTTA. Pada bab ini akan dibahas implementasi skema skema yang telah
BAB IV IMPLEMENTASI SKEMA RUNGE-KUTTA Pada bab ini akan dibahas implementasi skema skema yang telah dijelaskan pada Bab II dan Bab III pada suatu model pergerakan harga saham pada Bab II. Pada akhir bab
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciTUGAS AKHIR RESUME PID. Oleh: Nanda Perdana Putra MN / 2010 Teknik Elektro Industri Teknik Elektro. Fakultas Teknik. Universitas Negeri Padang
TUGAS AKHIR RESUME PID Oleh: Nanda Perdana Putra MN 55538 / 2010 Teknik Elektro Industri Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Negeri Padang PROPORSIONAL INTEGRAL DIFERENSIAL (PID) Pendahuluan Sistem
Lebih terperinciBAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah
Lebih terperinciPEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK GERAK OSILASI SISTEM BANDUL PEGAS BERSUSUN ORDE KEDUA DALAM DUA DIMENSI
PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK GERAK OSILASI SISTEM BANDUL PEGAS BERSUSUN ORDE KEDUA DALAM DUA DIMENSI Frando Heremba, Nur Aji Wibowo, Suryasatriya Trihandaru Program Studi Fisika Fakultas Sains dan Matematika
Lebih terperinciPENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3
PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3 Tornados P. Silaban 1, Faiz Ahyaningsih 2 1) FMIPA, UNIMED, Medan, Indonesia email: tornados.p_silaban@yahoo.com 2)
Lebih terperinciPRAKTIKUM ISYARAT DAN SISTEM TOPIK 1 ISYARAT DAN SISTEM
PRAKTIKUM ISYARAT DAN SISTEM TOPIK 1 ISYARAT DAN SISTEM A. Tujuan 1. Mahasiswa dapat mengenali jenis-jenis isyarat dasar. 2. Mahasiswa dapat merepresentasikan isyarat-isyarat dasar tersebut pada MATLAB
Lebih terperinciPEMANFAATAN SOFTWARE MATLAB DALAM PEMBELAJARAN METODE NUMERIK POKOK BAHASAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
PEMANFAATAN SOFTWARE MATLAB DALAM PEMBELAJARAN METODE NUMERIK POKOK BAHASAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN Any Muanalifah Dosen Jurusan Tadris Matematika FITK IAIN Walisongo Abstrak Persoalan yang melibatkan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciTRANSFORMASI LAPLACE
TRANSFORMASI LAPLACE SISTEM KENDALI KLASIK Pemodelan Matematika Analisis Diagram Bode, Nyquist, Nichols Step & Impulse Response ain / Phase Margins Root Locus Disain Simulasi SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP
Lebih terperinciMATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA
MATERI MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA 1 Tujuan 1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde dua.. Dapat menyelesaikan suatu Sistem Linier dengan menggunakan metode Eliminasi atau
Lebih terperinciTINJAUAN MATA KULIAH... Kegiatan Belajar 2: PD Variabel Terpisah dan PD Homogen Latihan Rangkuman Tes Formatif
iii Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH... xiii MODUL 1: PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1.1 Pengertian PD Orde Satu dan Solusinya... 1.2 Latihan... 1.7 Rangkuman... 1.9 Tes Formatif 1..... 1.10 PD Variabel
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
Lebih terperinciANALISIS PERSAMAAN RANGKAIAN RESISTOR, INDUKTOR DAN KAPASITOR (RLC) DENGAN METODE RUNGE-KUTTA DAN ADAMS BASHFORTH MOULTON ( SKRIPSI ) Oleh
ANALISIS PERSAMAAN RANGKAIAN RESISTOR, INDUKTOR DAN KAPASITOR (RLC) DENGAN METODE RUNGE-KUTTA DAN ADAMS BASHFORTH MOULTON ( SKRIPSI ) Oleh YUDANDI KUPUTRA AJI JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN
Lebih terperinciBAB III PEMODELAN SISTEM POROS-ROTOR
BAB III PEMODELAN SISTEM POROS-ROTOR 3.1 Pendahuluan Pemodelan sistem poros-rotor telah dikembangkan oleh beberapa peneliti. Adam [2] telah menggunakan formulasi Jeffcot rotor dalam pemodelan sistem poros-rotor,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Sistem Kendali Lup[1] Sistem kendali dapat dikatakan sebagai hubungan antara komponen yang membentuk sebuah konfigurasi sistem, yang akan menghasilkan
Lebih terperinciISBN. PT SINAR BARU ALGENSINDO
Drs. HERI SUTARNO, M. T. DEWI RACHMATIN, S. Si., M. Si. METODE NUMERIK DENGAN PENDEKATAN ALGORITMIK ISBN. PT SINAR BARU ALGENSINDO PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Alloh SWT yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Sepeda motor adalah alat tranportasi yang memiliki beberapa kelebihan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sepeda motor adalah alat tranportasi yang memiliki beberapa kelebihan diantara lain, ekonomis dalam penggunaan bahan bakar, tidak membutuhkan tempat parkir yang
Lebih terperinciModul 1 Pengenalan MATLAB
Modul 1 Pengenalan MATLAB MATLAB singkatan dari MATrix LABoratory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh The Mathwork.inc (http://www.mathwork.com). Bahasa pemrograman ini banyak digunakan
Lebih terperinciBAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Akibatnya model matematika sistem dinamik mengandung derivative biasa
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Ilmu Pengetahuan memberikan landasan teori bagi perkembangan teknologi, salah satunya adalah matematika. Cabang matematika modern yang mempunyai cakupan wilayah penelitian
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada metode numerik, dikenal suatu metode untuk menaksir atau mencari solusi pendekatan nilai eksak dari suatu ordinat y n+1 dengan diketahui nilai dari y n,
Lebih terperinciPEMODELAN STATE SPACE
PEMODELAN STATE SPACE Beberapa Pengertian: State: State suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel (disebut variabel-variabel state) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui variabel-variabel
Lebih terperinci4. BAB IV PENGUJIAN DAN ANALISIS. pengujian simulasi open loop juga digunakan untuk mengamati respon motor DC
4. BAB IV PENGUJIAN DAN ANALISIS 4.1 Pengujian Open Loop Motor DC Pengujian simulasi open loop berfungsi untuk mengamati model motor DC apakah memiliki dinamik sama dengan motor DC yang sesungguhnya. Selain
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinci1 BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN
1 BAB 4 ANALISIS DAN BAHASAN Pada bab ini akan dibahas pengaruh dasar laut tak rata terhadap perambatan gelombang permukaan secara analitik. Pengaruh dasar tak rata ini akan ditinjau melalui simpangan
Lebih terperinciBAB ΙΙ LANDASAN TEORI
7 BAB ΙΙ LANDASAN TEORI Berubahnya nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, bisa saja berubahnya nilai suatu variabel disebabkan oleh adanya perubahan nilai pada variabel lain yang
Lebih terperinciBAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1.
BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menentukan solusi persamaan gerak jatuh bebas berdasarkan pendekatan
Lebih terperinciKONSEP SINYAL. Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro Universitas Jenderal Achmad Yani February EL2032 Sinyal dan Sistem
KONSEP SINYAL Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro Universitas Jenderal Achmad Yani 1 18 February 2013 Tujuan Belajar : mendefinisikan sinyal dan memberi contoh tentang sinyal menggambarkan domain
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH KALKULUS LANJUT A (S1 / TEKNIK INFORMATIKA ) KODE / SKS KD
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH KALKULUS LANJUT A (S1 / TEKNIK INFORMATIKA ) KODE / SKS KD-045315 Mingg u Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub-pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. digunakan untuk mendukung penyusunan laporan tugas akhir. Landasan teori
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan dijelaskan berbagai macam landasan teori yang digunakan untuk mendukung penyusunan laporan tugas akhir. Landasan teori yang dibahas meliputi permasalahan-permasalahan
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan
Lebih terperinci