Spektrum Gstar(1;1) Institut Teknologi Bandung, Bandung 3) Kelompok Keahlian Analisis dan Geometri, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Transkripsi

1 Sperum Gar(;) uug urhaya,4), Udaa Seera Paarbu ), Dudug Muhally Ham ), da O ewa 3) ) Kelompo Keahla Saa, Faula Maemaa da Ilmu Pegeahua Alam, Iu Teolog Badug, Badug ) Kelompo Keahla Ideraa da Sa Iforma Geograf, Faula Ilmu da Teolog Kebuma, Iu Teolog Badug, Badug 3) Kelompo Keahla Aal da Geomer, Faula Maemaa da Ilmu Pegeahua Alam, Iu Teolog Badug, Badug 4) Jurua Maemaa da Ilmu Pegeahua Alam, Faula Sa da Te, Uvera Jederal Soedrma, Purwoero emal: uug3@udebacd, Derma 9 Me 7, deuu uu dpublaa 3 Deember 8 Abra Pada arel aa dbaha perumua perum (pecral dey marx) GSTAR(;) yag aoer dega megaggap model erebu ebaga VMA() Sperum dapa dperoleh melalu lagah-lagah beru: yaaa GSTAR(;) ebaga VMA() da overa halya dalam beu operaor mudur, emuda ubua oefe model e perum VMA() Cooh peeua perum GSTAR(;) aa dbaha uu model GSTAR(;) dua dme Kaa Kuc: Sperum, GSTAR(;), VMA(), Fug pembag mar ovara Abrac I h paper we formulae he pecrum (pecral dey marx) of he aoary GSTAR(;) model by coderg he model a VMA() The pecrum ca be obaed by followg ep: repree he model a a VMA() ad cover he model o he bacward operaor form, he ubue he coeffce model o he pecrum of VMA() model The procedure of fdg pecrum of GSTAR(;) whch parameer are gve, lluraed by a wo dmeoal GSTAR(;) model Keyword: Specrum, GSTAR(;) Model, VMA() Model, Covarace marx geerag fuco Pedahulua Seper fug auoovara pada doma wau, perum aau fug dea peral mempuya peraa peg dalam aal dere wau dega doma freue Keduaya aga berpera dalam proe pembagua model dere wau Mepu dguaa dalam doma berbeda, perum da fug auoovara merupaa dua fug yag evale (Koopma, 974) Sperum dapa dperoleh melalu raforma Fourer erhadap fug auoovara Sebalya, fug auoovara dapa deua melalu ver raforma Fourer erhadap fug perum Uu au daa ruag wau, perum yag dmaud debu mar dea peral GSTAR(;) aau Geerala Space Tme Auoregre orde perama adalah model ruag wau yag megombaa model dere wau da aal paal (Ruchaa, ) Model uga merupaa perumuma model STAR(;) yag dembaga Pfefer da Deuch (98a, 98b) 8 Ja pada STAR(;) parameer model daggap berla ama uu eap loa, maa pada GSTAR(;) laya dapa bervara Pada arel dbaha perumua mar perum GSTAR(;) yag aoer dega memadag GSTAR(;) ebaga model Vecor Movg Average berorde a hgga aau VMA() Sperum eor GSTAR(;) dharapa dapa dguaa ebaga meode paramer dalam peeua perum uu au daa ruag wau ebearya Uu merumua mar perum GSTAR(;) dperlua aum eaoera model Aum dperlua uu meam bahwa model GSTAR(;) dapa dyaaa dalam VMA() Secara deal, perumua mar perum GSTAR(;) aa dbaha pada Baga 4 Sebelumya, pada Baga da 3, aa dpereala perum veor dere wau ecara umum da perum proe VMA() Selauya, ula aa dahr dega au cooh ederhaa uu meeua mar perum GSTAR(;) uu au dua loa Perhuga da

2 urhaya, d, Sperum Gar(;) 9 plo graf perum dlaua dega megguaa program Malab 7 Sperum veor dere wau Mala Z () ( Z(),, Z ()),,±,±, veor dere wau aoer, dega raaa E[ Z ( )] µ ( µ, K, µ ) da mar auoovara Γ [ γ ( )] E[( Z ( ) µ )( Z ( + ) µ ) ] E[( Z ( ) µ )( Z ( ) µ ) ], d maa γ ( ) cov( Z ( ), Z ( + )) E[( Z( ) µ )( Z ( + ) µ )] E[( Z ( ) µ )( Z ( ) µ )] uu, ±, ±, K da,, K, Ddefa fug pembag mar ovara dar Z() ebaga Γ ( B) Γ B () Ja { Γ,, ±, ±, K } a + b aboluely ummable yau γ ( ) <, mar dea peral aau perum dar dere wau Z() dapa ddefa ebaga raforma Fourer dar mar auoovara Γ (We, 99) h ( ω) Γe ω, π ω π () Perhaa bahwa mar perum erebu uga dapa daggap ebaga /() dar fug pembag mar ovara Γ( B) uu B e ω h ( ω) Γ e Γ( e ) (3) Eleme dagoal dar h (ω) aau h ( ω) γ ( ) e ω (4) debu auoperum dere wau e-, edaga eleme odagoalya h ( ω) γ ( ) e ω (5) debu perum lag (cro pecrum) dar dere wau e- da Dega megguaa fa fug auoovara, γ ( ) γ ( ) da fa fug rgoomer, ( ω) ( ω) da (), auoperum pada (4) dapa dederhaaa mead h ( ω) γ ( )co( ω) Eleme-eleme dagoal mar perum pada Gambar merupaa cooh auoperum h (ω) uu au Sedaga eleme-eleme odagoalya merupaa perum lag aara varabel perama da edua Koperum da uadraur Dar fa perum dere wau uvara h ( ω ) elalu berla rl, amu hal da berlau uu perum lag h ( ω ) Secara umum h ( ω) aa berla omple area γ ( ) γ ( ) uu Dega dema h ( ω) dapa dul mead h ( ω) c ( ω) q ( ω) (6) Kompoe rl dar h (ω ) aau c ( ω) γ ( )co( ω) (7) debu operum (copecrum) dar dere wau e da Sedaga egaf maer dar h ( ω ) h ( ω) γ( )co( ω) γ ( )[co( ω) ( ω)] γ( )[co( ω) ( ω)] γ ( )co( ω) Gambar Mar perum veor dere wau uu au

3 JURAL MATEMATIKA DA SAIS, DESEMBER 8, VOL 3 O 4 q ( ω) γ ( )( ω) (8) debu uadraur (quadraure pecrum) dar dere wau e- da Kohere Kohere K ( ω ) ddefa ebaga adara dar uadra perum lag h ( ω) aau h ( ) ω K ( ω) h( ω) h( ω) (9) d maa h,(ω) da h (ω) Uu h,(ω) da h (ω), ohere ddefa ebaga K ( ω ) We (99) elah meuua bahwa ohere da la uadra oefe orela aara ompoe Z ( ) da ompoe Z ( ) yag magmag beraa dega freue ω Dega dema la K ( ω ) elalu berar aara da la K ( ω ) yag dea e meuua bahwa uu freue ω, dere wau e da mempuya hubuga ler yag aga era Sebalya, la ohere yag dea e meuua hubuga ler aara dere wau e- da, aga reggag 3 Sperum Veor MA() Meuru We (99), veor dere wau Z() ( Z(), K, Z ()),, ±, ±, K dega raaa E[ Z()] daaa megu proe veor movg average orde a hgga aau VMA() a Z() dapa dul ebaga Z() e() + Ψ e( ) + Ψ e( ) + L Ψ e( ), () d maa e() veor radom dega raaa da mar ovara Ω, E[()( e e + )], Sedaga Ψ [ ψ, ] adalah mar oefe dar e(-) yag berfa quare ummable ( ψ, < ) Uu, Ψ ddefa dega Ψ I Dalam beu operaor mudur B yag ddefa dega B e() e( ), proe VMA() dapa dyaaa ebaga Z() Ψ( B)() e () d maa Ψ( B) Ψ B Mar perum Uu meeua mar perum VMA() dperlua pegeahua eag mar auoovara da fug pembag mar ovara Beru aa duua bahwa (a) Mar auoovara VMA() adalah, + Γ Ψ ΩΨ () (b) Fug pembag mar ovara VMA() adalah Γ( B) Ψ( B) Ω[ Ψ ( B )] (3) Bu Uu membua (a), ubua Z() pada peramaa () e def mar auoovara Γ E[( Z ( ) µ )( Z ( ) µ ) ] Mala E Ψe( ) Ψ e( ) ehgga Ψ Ψ+ da e( ) e ( ) Maa Γ E Ψ+ e( ) Ψ e( ) E Ψ+ e( ) e( ) Ψ Ψ ΩΨ + Uu membua baga (b), ubua Γ pada () e peramaa () ehgga dperoleh Γ ( B) Γ B Ψ + ΩΨ B ΨΩΨ B ΨB Ω Ψ B Ψ Ω Ψ ( B) [ ( B )]

4 urhaya, d, Sperum Gar(;) Mar perum VMA() dapa dperoleh dega meubua fug pembag Γ ( B) pada (3) uu B e ω e peramaa (3) h ( ω) Γ( e ω ) ω Ψ( e ) Ω[ Ψ ( e )] (4) 4 Sperum GSTAR(;) Veor dere wau Z() ( Z(), K, Z ()) dega de,,, meyaaa loa, da, ±, ±, K meyaaa wau, ergal debu uga proe ruag wau (pace me) Proe Z( ) ( Z( ), K, Z ( )),,±,±, dega E[ Z( )] daaa megu model GSTAR(;) a Z() ( Φ + Φ WZ ) ( ) + e (), (5) d maa mar Φ dag( φ, K, φ ) da Φ dag( φ, K, φ ) mag-mag debu parameer regre wau da parameer regre loa Mar W [w ] debu mar bobo paal beruura x yag memeuh w da umlah eap barya ( w ) Veor e() debu veor gala yag dauma berdrbu ormal dega raaa da mar ovara I Dalam beu operaor mudur, GSTAR(;) uga dapa dul ebaga ( I ΦB) Z() e (), (6) d maa Φ Φ + ΦW Syara eaoera Ja ( ΦB) GSTAR(;) dapa dul Seadaya overge I ogular, maa proe Z() ( I ΦB) e () (7) ( I Φ B) dapa ddea oleh dere Ψ( B) Ψ B, dega Ψ quare ummable, maa GSTAR(;) dapa dpadag ebaga VMA() Karea VMA() pada peramaa () elalu aoer, maa a dapa megaaa bahwa GSTAR(;) aoer a model erebu dapa dyaaa ebaga VMA() Perhaa bahwa ( I Φ B) ad( B) de( I ΦB) I Φ ehgga dere B a de( I Φ B) Ψ( B) ΨB aa overge uu Aau dega aa la, a modulu aar-aar peramaa de( I Φ B) berada d luar lgara aua Mala za+b aar peramaa de(i-φb) dega modulu d luar lgara aua aau z a + b > Searag mala da z z z, maa z a b a+ b a + b a b a + b a + b a b a + b a + b a b + a + b a + b a + b a + b ( a + b ) a + b a + b z ehgga a z > maa < Dega dema, a z maa aaraar peramaa de( I Φ B) yag moduluya berada d luar lgara aua aa evale dega aar-aar peramaa de( I Φ ) yag berada d dalam lgara aua Teap aar-aar peramaa de( I Φ ) da la adalah la ege mar Φ ehgga aleraf uu megaaa bahwa model GSTAR(;) aoer adalah a modulu la-la ege mar Φ berada d dalam lgara aua

5 JURAL MATEMATIKA DA SAIS, DESEMBER 8, VOL 3 O 4 Mar perum Sebelum merumua perum GSTAR(;), erlebh dahulu aa duua bahwa GSTAR(;) pada (5) yag aoer dapa dyaaa ebaga VMA() pada () dega Ψ Φ Bu Model GSTAR(;) pada peramaa (5) dapa dul mead Z() e() + ΦZ ( ), dega Φ Φ + ΦW Secara reurf, Z() dapa dul () () + ( ) + ( ) Z e Φe Φ Z e( ) + Φe( ) + Φ e( ) 3 + Φ Z( 3) e( ) + Φe( ) + L + Φ e( ( )) + Φ Z( ) Searag, aa duua bahwa uu, lm Φ da Φ <, Mala, K la ege dar Φ yag beraa dega veor ege v, K,v Maa erdapa mar P ( v, K,v ) yag memeuh P - P (orogoal) ehgga P ΦP Λ dag(, K, ) aau evale dega Φ PΛ P Abaya ( ) Φ PΛ P PΛ P Ja < uu eap,, K, maa uu, lm da lm Λ, ehgga da lm Φ PΛ P lm lm Φ Z( ) Jad uu, GSTAR(;) dapa dul aau Z e + Φe + Φ e + L () () ( ) ( ) Φ e( ) Z() Ψ e ( ), (8) dega Ψ Φ Sela u, lm Λ uga megabaa < Φ PΛ P Dega dema GSTAR(;) yag aoer elalu dapa dyaaa ebaga VMA() dega Ψ Φ Dalam beu operaor mudur B, peramaa (8) dapa dul mead dega Z() Ψ( B)() e (9) Ψ( B) ( I ΦB) I Φ + Φ W ( ( ) B) Dega meubua peramaa (9) e (4) aa dperoleh perum GSTAR(;) Bu ( ) [ ( ) ] [ I ( Φ + Φ W) e ] h ω I Φ + ΦW e Ω ω ω h( ω) Ψ( e ) Ω[ Ψ( e )] ( I Φe ) Ω ( I Φ e ) ( ( ) e ) I Φ + Φ W Ω ω ( I ( Φ + Φ W) e ) ω () 5 Cooh Sperum GSTAR (;) Sebaga lura, beru aa deua mar perum dar model GSTAR(;) dega parameer Φ dag(,3 ;,5), Φ dag(-,6 ;, ), mar bobo paal W, da mar ovara gala Ω I Sebaga lagah perama, a hug mar Φ Φ + ΦW,3 -,6,,5 Selauya, dlaua u eaoera model dega meghug la ege dar Φ da mag-mag moduluya Hal perhuga meuua bahwa la ege dar Φ adalah,, 4 ±, 337 da moduluya

6 urhaya, d, Sperum Gar(;) 3, 596 < Karea edua la ege erebu berada dalam lgara aua maa dapa dmpula bahwa model GSTAR erebu aoer Mar perum dapa deua dega meubua parameer-parameer yag deahu e peramaa () ehgga dperoleh h( ω) [ I ( Φ + ΦW) e ] Ω ' ω [ I ( Φ + Φ W) e ] -3e,6e, e,5e -3e,e,6e,5e Sebaga cooh, uu ω π /,56,7+,74 h ( π /),7+,74,533 Perlau perum, operum, da uadraur aara dere wau d loa da loa, ecara vual dapa dama pada Gambar, 6 Sperum loa Fre 64 6 Sperum loa Sperum 4 Sperum 4 Fre 57 3 Freue Koperum loa da 3 Freue Kuadraur loa da Fre 3 - Sperum - - Sperum - -3 Fre Freue -4 3 Freue Gambar Sperum dere wau d loa da, era operum da uadraur aara dere wau d loa da dere wau d loa 6 Kempula Telah duua bahwa dega memadag proe GSTAR yag aoer ebaga model VMA(), mar perum dapa drumua eper pada peramaa () Hal dharapa dapa dguaa ebaga meode paramer dalam peeua perum uu au daa ruag wau ebearya Ucapa Terma ah Peela dbaya oleh Program Ief Kemera egara Re da Teolog berdaara SK Mere o 97/M/KP/XI/7 Peul megucapa erma ah epada Dr Suawar Darw, Dr Dumara RT, Sumao WH, MCom, da Urwe Muhayar, MS aa araara Sela u, ucapa erma ah dampaa uga epada Tm Dewa Reda JMS da para revewer aa ore da mauaya Dafar Puaa Hamlo, J D, 994, Tme Sere Aaly, Prceo Uvery Pre, ew Jerey Koopma, L H, 974, The Specral Aaly of Tme Sere, Academc Pre, ew Yor

7 4 JURAL MATEMATIKA DA SAIS, DESEMBER 8, VOL 3 O 4 Pfefer, P E ad S J Deuch, 98a, A Three-age Ierave Procedure for Space Tme Modelg, Techomerc,, Pfefer, P E ad S J Deuch, 98b, Idefcao ad Ierpreao of Fr Order Space-me ARMA Model, Techomerc,, Ruchaa, B,, Suau Model Geerala Space-Tme Auoregre da Peerapaya pada Produ Mya Bum, Dera Program Door, Iu Teolog Badug We, W W S, 99, Tme Sere Aaly, Addo Weley, edo, Calfora