PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA FASA TUNGGAL PADA MEDIA POROUS

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA FASA TUNGGAL PADA MEDIA POROUS"

Erlin Oesman
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Supahar ersamaan Alran Fluda ERSAMAAN ALIRAN FLUIDA FASA TUNGGAL ADA MEDIA OROUS Oleh : Supahar Jurusan enddkan Fska FMIA UNY ABSTRAK Telah dturunkan secara matemats persamaan alran fluda fasa tunggal pada medum porous yang dnyatakan dalam parameter besaran termodnamka terukur. Hukumhukum kekekalan dterapkan pada perasamaan transport Boltzmann untuk menghaslkan persamaan kontnutas (konservas massa). Dengan merumuskan kembal persamaan kontnutas yakn dengan menambahkan bobot porostas sehngga dperoleh persamaan alran fluda dalam meda porous. ersamaan alran fluda dalam meda porous selanjutnya dnyatakan dalam parameter besaran termodnamka terukur tekanan (), sehngga menjadkan persamaan tersebut bersfat applcable, khususnya dalam bdang eksploras mnyak dan gas alam lannya.. ENDAHULUAN Sstem alran total bag reservor terdr atas empat tahap, yakn: fasltas ppa alr permukaan, alran tegak dalam wellbore, alran gas yang melalu meda porous menuju wellbore, dan gerakan ar pada tep dar gelembung gas. Alran yang terjad dapat berupa alran fasa tunggal (sepert: ar, gas, atau kondensat), alran dua fasa (sepert: gas/ar atau gas/kondensat), dan alran tga fasa (gas/kondensat/ar). embahasan pada makalah n dbatas pada perumusan persamaan alran fluda fasa tunggal untuk mendapatkan solus persamaan alran fluda melalu meda porous pada wellbore, dan gerakan ar pada tep gelembung gas yang dgambarkan melalu persamaan caran murn (ar) dan solusnya pada tep dar gelembung gas. Konsekuens dar hukum-hukum kekekalan yang dterapkan pada persamaan transport Boltzmann akan menghaslkan persamaan persamaan kontnutas. Dengan merumuskan kembal persamaan kontnutas (konservas massa) dalam parameter besaran termodnamka terukur: Tekanan (), menjadkan persamaan kontnutas bersfat applcable, khususnya dalam bdang eksploras mnyak dan gas alam lannya.. KONSEKUENSI ERSAMAAN TRANSORT BOLTZMANN TERHADA HUKUM-HUKUM KEKEKALAN Untuk menyeldk fenomena non equlbrum, kta harus menyelesakan persamaan transport Boltzmann, dengan memberkan konds awal, untuk menemukan fungs F-4

2 rosdng Semnar Nasonal eneltan, enddkan & enerapan MIA, Hotel Sahd Raya Yogyakarta, 8 Februar 005 dstrbus sebaga sebuah fungs waktu. Sejumlah sfat dar solus persamaan Boltzmann kemungknan dapat dperoleh dar fakta bahwa dalam tumbukan molekul d sn terdapat kuanttas dnamk yang kekal. Msal χ ( r,v) adalah kuanttas dar kecepatan sebuah molekul (v) yang berada d r, sedemkan rupa sehngga saat tumbukan d r, berlaku: kekal. { v,v } { v,v } Dall: f dmana dmana: dan χ χ = χ + ( r, v, t) + dmana ( r,v) χ χ dsebut kuanttas f d vχ ( r, v) = 0 (I.) dperoleh dar ruas kanan persamaan TB berkut: F + v. r +. v f = f t m f f ( r, v,t ) dan f f ( r, v, t) f f ( r, v,t ) dan f f ( r, v, t) dωd vτ ( Ω) v v ( ff f ) (I.) τ ( Ω) adalah deferensal penampang lntang tumbukan { v,v } { v,v } Subttus ruas kanan dar persamaan (I.) ke dalam persamaan (I.) dperoleh: f v χ ( r v) = ( ) ( ) d v d v dω Ω v v f f f f d, ntegral n nvaran terhadap: v v χ τ (I.) v v dan v v v v dan v v Konsekuens dar sfat nvaran d atas, maka masng-masng keadaan nvaran dperoleh bentuk deferensal untuk ntegral yang sama. Dengan demkan persamaan (I.) menjad: f v χ ( r v) = ( ) ( )( v d v dωτ Ω v v f f f χ + χ χ χ ) d, 4 f d = 0 (I.4) F-4

3 Supahar ersamaan Alran Fluda Relevans dar hukum kekekalan n dengan persamaan transport Boltzmann adalah dengan mengalkan persamaan transport Boltzmann pada kedua ss dengan χ dan mengntegraskan untuk seluruh v, suku yang mengandung tumbukan dhlangkan dengan sfat dar persamaan (I.), kta dapatkan: d vχ ( r, v) + v + F f( r, v, t) = 0 (I.5) x m v x x m atau: d vχf + d vχv f d v v f + d v ( χf f ) χ F d v F f d vχ m v m v v f = 0 (I.6) keempat suku dapat dhlangkan jka f (r,v,t ) dasumskan ketka v. Dengan mendfnskan nla rata-rata A d vaf A = d vaf d vf n ( r, t) d vf ( r, v t) dmana: n, (I.7) Teorma kekekalan makroskopk: nχ + x nv χ n χ v x n m F v χ = 0 (I.8) dmana χ adalah sejumlah sfat kekal. Dengan catatan bahwa na = n A sebab n tak bergantung pada v. Dar sekarang kta membatas perhatan untuk kecepatan yang tak bergantung pada gaya eksternal, maka suku terakhr dar persamaan (I.8) dapat dhlangkan. Untuk molekul sederhana sfat kekal tak bergantung massa, momentum, dan energ. Untuk χ = m (massa) x ( nm) + nmv = 0 atau dengan memasukkan kerapatan massa kta peroleh: ( r, t) nm( r, t) (I.9) ρ (I.0) ρ + ( ρu ) = 0 (I.) F-44

4 rosdng Semnar Nasonal eneltan, enddkan & enerapan MIA, Hotel Sahd Raya Yogyakarta, 8 Februar 005 dengan u = kecepatan alran fluda. ersamaan (I.) dsebut persamaan kontnutas massa untuk alran fluda. Bla persamaan tersebut dterapkan pada persamaan alran pada medum porous, maka persamaan (I.) harus dkoreks yakn dengan menambahkan bobot porostas pada term menjad: ρ, sehngga ρ φ + ( ρu ) = 0 (I.). ERSAMAAN ALIRAN FLUIDA ADA MEDIA OROUS ersamaan kontnutas adalah generalsas dar konservas massa : kecepatan alranan massa dalam negatf kecepatan alran keluar massa = kecepatan akumulas massa, dvergens dar: ρ u ( φρ ) =. ( ρu) = ( ρu ) ( ρuy ) x ( ρuz ) + + x y = r( ρu r )+ r r z ( ρ ) ( ρuθ )+ r θ, ( untuk koordnat kartesan) u z z Dmana (φ ) adalah porostas,( ρ) denstas, dan ( untuk koordnat slnder) (I.) (u ) adalah vektor kecepatan superfsal. Tnjauan geometr sumur gas dan sekellngnya menggunakan model slndrs untuk menggambarkan alranan dalam reservor. Sehngga, dalam kasus -dmens, persamaan (I.) menjad: r r ( φρ ) = rρu Basanya gaya gravtas z ( g / ) g c (I.4) ρ dalam arah z dapat dabakan bag gas. ersamaan kecepatan dturunkan melalu truncatng term orde lebh tngg (u, u 4, ) adalah: - d dr µ + βρ = u u atau u δ k µ dr k d = (I.5) Dmana ( µ ) adalah vscostas,( ß ) koefsen kecepatan tngg dan (δ ) adalah faktor koreks alran : δ βρku = + µ (I.6) F-45

5 Supahar ersamaan Alran Fluda Untuk gas nyata, M ρ = (I.7) ZRT Dmana M adalah berat molekul gas, z faktor kompresbltas, dan R tetapan gas, dan T temperatur reservor. enggabungan persamaan ( I.4), ( I.5), dan (I.7 ) menghaslkan: φ = r k Z r r µ Z δ r (I.8) Yang menganggap reservor sotermal (tanpa perubahan temperatur). Asums tambahan yang dperlukan untuk persamaan (I.8) adalah sbb:. suatu model slndrk radal (alranan dmens satu). alranan fasa tunggal (hanya alranan gas). reservor adalah homogen: k adalah sama meskpun poss (k f ( r) efek Klnkenberg dapat dabakan ( f ( ) adalah konstan 4. efek grafty dapat dabakan ( + ρ g 0 ) Z Valdtas asums-asums n adalah esens bag persamaan (I.8). dan k ), juga porostas (φ ) Non lneartas tngg yang dsebabkan oleh faktor koreks alran (δ ) menyebabkan persamaan tu tak dapat dpecahkan. Suatu asums tambahan dperlukan: Asums (5) alranan adalah vscous ( β = 0 dan δ = ). Dengan asums n persamaan (.8) menjad : φ = r k Z r r µ Z r (.9) Untuk alranan gas yang mencakup term snk atau source, q (massa persatuan volume persatuan waktu), persamaan kontnutas dapat dtuls, φ ρ ( ρ u) = q (.0) Subttuskan persamaan (.5 ) δ =, persamaan Darcy ), dan persamaan (.7) (persamaan keadaan) kedalam persamaan (.0), sehngga ddapat: F-46

6 rosdng Semnar Nasonal eneltan, enddkan & enerapan MIA, Hotel Sahd Raya Yogyakarta, 8 Februar 005 RT = φ +. k q Z µ Z M Suku pertama ruas kr dapat dperluas menjad persamaan: (.) φ = φ Z + Z Z = dρ c r = ρ d dz = φ Z Z d φc Z (.) dz (.) Z d 4. DALAM SUKU TEKANAN TERUKUR, Ruas kr dar (.) dapat dtuls: k µ Z. =. ( k ) + ( k ). µ Z µ Z = ( k ) ( / Z ) ( ) d ln. + µ k µ Z d Gabungkan persamaan (.) dan (.), dan (.4) dperoleh :. ( k )+ ( / µ Z ) ( ) d ln d k RTµZ = φ cµ + q M (.4) (.5) Asums 6: Graden tekanan kecl: 0 r atau µ Z konstan., maka persamaan (.5) dapat dsederhanakan menjad:. ( k ) = RTµZ φ cµ + q M (.6) 5. KESIMULAN Konsekuens hukum kekekalan dar persamaan transport Boltzmann akan menghaslkan persamaan kontnutas (konservas massa). Bla parameter-parameter persamaan kontnutas tersebut dnyatakan dalam besaran termodnamka tekanan (), dapat dgunakan untuk menjelaskan persamaan alran fluda melalu meda porous pada F-47

7 Supahar ersamaan Alran Fluda wellbore dan gerakan ar pada tep gelembung gas. ersamaan n sangat bermanfaat, khususnya dalam bdang engneerng pemboran myak dan gas alam lannya. REFERENSI Katz, D.L and Lee, R.L. Nateral Gas Engneerng: McGraw-Hll ublshng Co(990). Huang, K. Statstcal Mechancs, John Wlley and Son (96) Roberts, RC. Unsteady Flow of a Gas Through a orous Meda : roceedngs Appled Mechancs (95) F-48

dokumen-dokumen yang mirip

PENDAHULUAN Latar Belakang

PENDAHULUAN Latar Belakang Menurut teor molekuler benda, satu unt volume makroskopk gas (msalkan cm ) merupakan suatu sstem yang terdr atas sejumlah besar molekul (kra-kra sebanyak 0 0 buah molekul) yang