KREDIBILITAS DENGAN PENDEKATAN BÜHLMANN. oleh KRISTINA NATALIA NIM M

Transkripsi

1 KREDIBILITAS DENGAN PENDEKATAN BÜHLMANN oleh KRISTINA NATALIA NIM M0009 SKRIPSI diulis da diajuka uuk memeuhi sebagia persyaraa memperoleh gelar Sarjaa Sais Maemaika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 007

2 ABSTRAK Krisia Naalia, 007. KREDIBILITAS DENGAN PENDEKATAN BÜHLMANN. Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam. Uiversias Sebelas Mare. Teori kredibilias adalah proses pembuaa arif premi oleh akuaris uuk melakuka peyesuaia premi di masa depa meuru pegalama masa lampau. Pada eori kredibilias erdapa iga pedekaa uuk meeuka perkiraa kredibilias C Z X + ( Z) µ, dega Z adalah fakor kredibilias, X adalah raa-raa dari pegamaa yag erpilih, da µ adalah raa-raa awal. Salah sau pedekaa yag dapa diguaka uuk meeuka perkiraa kredibilias yaiu pedekaa kredibilias keakuraa erbesar dega megguaka model Bühlma. Bühlma medefiisika fakor kredibilias Z sebagai Z, + K dega 0 Z, meyaaka bayak pegamaa da K disebu parameer kredibilias Bühlma. Tujua dalam peulisa skripsi ii adalah meeuka perkiraa kredibilias C dega megguaka model Bühlma da megesimasi parameer-parameer dari kredibilias Bühlma. Meode yag diguaka dalam peulisa skripsi adalah sudi lieraur. Berdasarka hasil pembahasa diperoleh kesimpula bahwa dalam meeuka perkiraa kredibilias megguaka kredibilias Bühlma, melibaka peerapa aalisis dari variasi, yaiu meghiug ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga. Parameer-parameer kredibilias Bühlma diesimasi berdasarka daa empiris yag diamai. Peduga idak bias uuk ilai harapa dari variasi proses yaiu r r vˆ ˆ σ i ( xi xi ) da peduga idak bias uuk variasi r i r( ) i dari raa-raa yag diduga yaiu r ( xi xi ) r r( ) i aˆ ( xi x). Peduga dari parameer r i v kredibilias Bühlma yaiu Kˆ ˆ. Sehigga fakor kredibilias dapa diesimasi aˆ sebagai beriku Zˆ + Kˆ, da peduga dari perkiraa kredibilias adalah Cˆ Zˆ xi + ( Zˆ) µˆ, i,, K, r. iii

3 ABSTRACT Krisia Naalia, 007.CREDIBILTY WITH BÜHLMANN APPROACH. Faculy of Mahemaics ad Naural Scieces. Sebelas Mare Uiversiy. Credibiliy heory is a rae makig process which allows acuary o adjus he fuure premiums accordig o he pas experiece. I credibiliy heory, here are hree approaches o deermie esimae credibiliy C Z X + ( Z) µ, where Z is credibiliy facor, X is he mea of he curre observaios, ad µ is he prior mea. Oe of he approach o deermie esimae credibiliy is greaes accuracy credibiliy approach by usig Bühlma model. Bühlma defied credibiliy facor Z as Z, 0 Z, is he umber of rial ad K is + K Bühlma credibiliy parameer. The aims of his fial projec are o deermie esimae credibiliy C usig Bühlma model ad o esimae parameers of Bühlma credibiliy. The mehod used i his fial projec is a lierary sudy. Based o he resul, i ca be cocluded ha o deermie esimae credibiliy usig Bühlma credibiliy, ivolves applicaio aalysis of variace, calculaio of he expeced value of he process variace ad calculaio of he variace of he hypoheical meas. Parameers of Bühlma credibiliy were esimaed based o empirical observaio. Ubiased esimaor for expeced value r r of process variace is vˆ ˆ σ i ( xi xi ) ad ubiased r i r( ) i esimaor for variace of he hypoheical meas is r ( xi xi ) r r( ) i aˆ ( xi x). Esimaio for r i v Bühlma credibiliy parameer is Kˆ ˆ. Therefore esimaor of credibiliy aˆ facor is Zˆ + Kˆ, ad esimaor of esimae credibiliy is Cˆ Zˆ x ( Zˆ) µˆ i +, i,, K, r. iv

4 MOTO Perjalaa beribu-ribu mil dimulai dega sau lagkah kecil (Lao-Tzu) Kegagala buka berari Tuha sudah meiggalkamu eapi Dia mempuyai recaa yag lebih baik (Dr. Rober Schuller) Waspadalah erhadap sikap puus asa erhadap diri sediri, kamu diperiahka uuk mearuh kepercayaamu pada Tuha, buka pada dirimu sediri (S. Agusius) Ku akka meyerah walau apapu juga... sebab haiku percaya... Tuha puya recaa (Wawa) v

5 PERSEMBAHAN Piel Peasiha Ajaib yag erheba, Jesus Krisus erimakasih elah membua haiku mejadi baru Kedua oragua ercia, erimakasih aas cia kalia yag selalu mejaga diriku my lovely sisers&brohers (b Adri, k Bey, k Joko, k Lea, Theres, Nuel, Aci) yag elah sabar medukug da meaika sau impiaku ercapai Idra chay Cahyao, haks... 4 keseiaaya meemai hariku... 4 kesabaraya yag ak erkira... agape... My bespre s; Feie, Dwee, Prio, Say, Trisa, Kusuma, Aa, Naomi, Scha, Peghui Kos Lous & KMK S.Theresia Calo kepoakka yag aka meramaika hari yag aka daag. vi

6 KATA PENGANTAR Segala puji da syukur peulis pajaka kepada Tuha Yag Maha Esa, aas segala berka da rahma yag elah dilimpahkanya sehigga peulis dapa meyelesaika da meyusu skripsi ii. Di dalam peulisa skripsi ii, peulis idak lepas dari segala kesulia da keerbaasa yag akhirya dapa peulis aasi berka baua dari berbagai pihak. Oleh karea iu, sudah sepaasya pada kesempaa ii peulis megucapka erima kasih kepada. Drs. Isadar Slame, M.Sc, da Drs. Muslich, M.Si., sebagai pembimbig I da pembimbig II yag dega sabar megarahka da membimbig peulis dalam peyusua skripsi ii.. Dra. Sri Subai, M.Si., sebagai pembimbig akademis yag elah memberika bimbiga akademis. 3. Nur da Ardia yag elah membau peulis dalam memahami maeri. Yoda aas pijama moior kompuerya yag saga membau. 4. Reka-reka Maemaika khususya agkaa 00 FMIPA UNS aas dukugaya. 5. Semua pihak yag elah membau peulis dalam peyusua skripsi ii. Akhirya peulis berharap semoga skripsi ii bermafaa bagi pembaca. Surakara, Mei 007 Peulis vii

7 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii ABSTRACT... iv MOTO... v PERSEMBAHAN... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL... xii BAB I PENDAHULUAN.... Laar Belakag Masalah.... Rumusa Masalah....3 Baasa Masalah....4 Tujua Peulisa Mafaa Peulisa... 3 BAB II LANDASAN TEORI Tijaua Pusaka Kosep Dasar Saisika Keidakbiasa Fugsi Desias Probabilias Fugsi Desias Probabilias bersyara Nilai Harapa da Variasi Nilai Harapa da Variasi Bersyara Risiko Asurasi Premi Asurasi... 9 viii

8 ..0 Frekuesi, Tigka Kegawaa da Premi Muri Disribusi Beroulli..... Disribusi Gamma.... Keragka Pemikira... BAB III METODE PENELITIAN... 3 BAB IV PEMBAHASAN Nilai Harapa dari Variasi Proses Variasi dari Raa-Raa yag Diduga Fakor Kredibilias Bühlma Esimasi Parameer-Parameer Kredibilias Bühlma Cooh Aplikasi Cooh Aplikasi Model Bühlma Cooh Aplikasi Esimasi Parameer Kredibilias Bühlma... 3 BAB V PENUTUP Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA ix

9 DAFTAR TABEL Halama Tabel 4. Nilai Harapa dari Variasi Proses da Kredibilias... 6 Tabel 4. Variasi dari Raa-Raa yag Diduga da Kredibilias... 9 Tabel 4.3 Pegaruh Sifa Cooh Targe Pemburua... Tabel 4.4 Hasil yag Mugki dari Variabel Radom r... 4 Tabel 4.5 Iformasi Daa Frekuesi, Tigka Kegawaa da Premi Muri... 6 Tabel 4.6 Jumlah Klaim Keseluruha... 3 x

10 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar 4. Susua Targe Peembaka... 5 Gambar 4. Peyebara Tembaka dega Nilai Harapa dari Variasi Proses yag Kecil... 7 Gambar 4.3 Susua Peyebara Targe... 9 xi

11 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL X Θ : variabel radom pegamaa : variabel radom risiko µ (θ ) : raa-raa yag diduga σ ( θ ) : variasi proses v a C Z X : ilai harapa dari variasi proses : variasi dari raa-raa yag diduga : perkiraa kredibilias : fakor kredibilias : raa-raa pegamaa µ : raa-raa awal K x i ˆ i σ vˆ â Ĉ Ẑ : jumlah pegamaa : parameer kredibilias Bühlma : peduga idak bias dari raa-raa yag diduga : peduga idak bias dari variasi proses : peduga idak bias ilai harapa dari variasi proses : peduga idak bias variasi dari raa-raa yag diduga : peduga dari perkiraa kredibilias : peduga fakor kredibilias µˆ : peduga dari raa-raa awal Kˆ : peduga parameer kredibilias Bühlma xii

12 BAB I PENDAHULUAN. Laar Belakag Masalah Keidakpasia besera risikoya merupaka sesuau yag idak dapa diabaika da harus diaggulagi, ariya kia berusaha uuk memiimumka keidakpasia agar kerugia yag diimbulka dapa dihilagka aau palig idak dimiimumka. Salah sau cara uuk meaggulagi risiko melalui pembiayaa adalah dega megasurasika suau risiko kepada perusahaa asurasi. Djojosoedarso (999) meyaaka bahwa asurasi ariya rasaksi peragguga yag melibaka dua pihak, yaiu eraggug (isured) da peaggug (isurer). Peaggug mejami pihak eraggug, bahwa ia aka medapaka peggaia erhadap suau kerugia yag mugki aka dideria, sebagai akiba dari suau perisiwa yag semula belum eu aka erjadi aau yag semula belum dapa dieuka saa aau kapa erjadi. Sebagai kora presasi, eraggug diwajibka membayar sejumlah uag kepada peaggug sebesar sekia prose dari ilai peragguga yag biasa disebu premi. Pekerjaa meghiug premi pada asurasi adalah merupaka fugsi yag saga peig. Dalam perusahaa asurasi ada bagia ersediri uuk meghiug premi, yaiu bagia akuaria. Akuaris megguaka pegamaa-pegamaa dari kejadia yag erjadi di masa lampau uuk memprediksi biaya-biaya di masa depa. Teori kredibilias adalah proses pembuaa arif premi oleh akuaris uuk melakuka peyesuaia di masa depa meuru pegalama masa lampau. Deui e al. (00) meyaaka bahwa permasalaha yag mucul dalam prakek asurasi adalah megguaka pegalama uuk meeuka premi di masa yag aka daag, dega meghiug buka haya pegalama idividual saja eapi juga pegalama kolekif. Hal ii meimbulka dua kemugkia besar, yaiu membebai premi yag sama kepada seiap orag, yag diduga dega raa-raa keseluruha daa µ, da membebai kelompok i dega raa-raa klaim sediri X i sebagai premi. Sebuah peryaaa yag erjadi sejak awal abad 0, yag

13 meyaaka premi sebagai raa-raa bobo dari kedua kemugkia ersebu, yaiu C Z X i + ( Z) µ. Fakor Z meyaaka seberapa besar erpercayaya pegalama perseoraga dari kelompok ersebu. Fakor Z disebu juga fakor kredibilias da C disebu perkiraa kredibilias. Meuru Dea ad Mahler (006), ada iga pedekaa yag dapa diguaka uuk meeuka fakor kredibilias, yaiu model kredibilias klasik yag disebu juga sebagai pedekaa kredibilias flukuasi erbaas (limied flucuaio credibiliy approach) karea pedekaa ii mecoba uuk membaasi risiko flukuasi radom dari observasi-observasi yag aka diduga, pedekaa kredibilias keakuraa erbesar (greaes accuracy credibiliy approach) yaiu pedekaa yag memiimumka kuadra sesaa aara perkiraa da ilai harapa dari kuaias yag aka diduga, da aalisis Bayesia merupaka pedekaa yag meggabugka observasi-observasi yag dieuka dega iformasi awal uuk meghasilka observasi erbaik. Pada pedekaa kredibilias keakuraa erbesar erdapa dua model, yaiu model Bühlma da model Bühlma-Sraub. Dalam skripsi ii dibahas kredibilias keakuraa erbesar uuk meeuka perkiraa kredibilias da meeuka peduga dari parameer-parameer kredibilias Bühlma.. Rumusa Masalah Berdasarka laar belakag masalah di aas, maka permasalaha yag aka dibahas adalah. bagaimaa meeuka perkiraa kredibilias dega megguaka pedekaa kredibilias keakuraa erbesar.. bagaimaa megesimasi parameer-parameer dari kredibilias keakuraa erbesar..3 Baasa Masalah Dalam peulisa skripsi ii peulis membaasi masalah eori kredibilias keakuraa erbesar yag aka dibahas hayalah model Bühlma.

14 3.4 Tujua Peulisa Tujua dari peulisa skripsi ii adalah. dapa meeuka perkiraa premi dega megguaka pedekaa kredibilias keakuraa erbesar.. dapa megesimasi parameer-parameer dari kredibilias keakuraa erbesar..5 Mafaa Peulisa Secara eoriis mafaa yag dapa diperoleh dari peulisa skripsi ii adalah dapa meambah pegeahua da wawasa eag eori kredibilias, khususya megeai model Bühlma. Mafaa prakis dari peulisa skripsi ii adalah diharapka dapa memberika masuka kepada pembaca (khususya para ahli saisik da maemaika) uuk megembagka ilmuya pada bidag akuaria.

15 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii diberika ijaua pusaka yag berisi eori da kosep yag diguaka pada pembahasa, sera keragka pemikira yag mejelaska alur pemikira pada pembahasa.. Tijaua Pusaka Beriku ii diberika beberapa defiisi, eorema, da kosep yag berhubuga dega pembahasa eag kredibilias Bühlma yag melipui kosep dasar saisik, keidakbiasa, fugsi desias probabilias, fugsi desias probabilias bersyara, ilai harapa, variasi, ilai harapa bersyara, variasi bersyara, risiko, asurasi, premi asurasi, frekuesi, igka kegawaa, premi muri, disribusi Beroulli, da disribusi Gamma... Kosep Dasar Saisika Parameer adalah ukura-ukura aau ilai-ilai rigkasa yag meggambarka sifa-sifa populasi, da saisik adalah ukura-ukura aau ilaiilai rigkasa yag meggambarka sifa-sifa sampel. Defiisi.. (Bai ad Egelhard, 99) Variabel radom X adalah suau fugsi yag memeaka seiap hasil e yag mugki pada ruag sampel S dega suau bilaga riil x sedemikia sehigga X(e) x. Defiisi.. (Bai ad Egelhard, 99) Sebuah saisik, T l X, X, K, X ), ( yag diguaka uuk megesimasi ilai dari τ (θ ) diamaka peduga dari τ (θ ), da sebuah ilai pegamaa dari saisik, l x, x, K, x ), diamaka dugaa dari τ (θ ). ( 4

16 5.. Keidakbiasa (Ubiased) Peyimpaga aau bias dari suau peduga adalah perbedaa aara ilai harapa da ilai parameer yag sebearya. Suau peduga dikaaka idak bias bila selisih aara ilai harapaya dega ilai parameer yag sebearya sama dega ol, aau dega kaa lai, ilai harapa dari pedugaya sama dega ilai parameer yag sebearya. Defiisi.3. (Bai ad Egelhard, 99) Sebuah peduga T disebu peduga idak bias dari τ (θ ) jika uuk semua θ Ω. E ( T ) τ ( θ )..3 Fugsi Desias Probabilias (fdp) Variabel radom dapa dibedaka mejadi dua yaiu variabel radom diskri da koiu, adapu disribusi probabilias uuk variabel radom berupa sebuah fugsi dari variabel radom yag disebu fugsi desias probabilias. Pedefiisia megeai fugsi desias probabilias adalah sebagai beriku. Defiisi.4. (Bai ad Egelhard, 99) Jika himpua semua ilai yag mugki dari variabel radom X adalah himpua erhiug, x, x,, x K aau idak erhigga erhiug, x, x, K, maka X disebu variabel radom diskri. Fugsi yag meyaaka probabilias seiap ilai x yag mugki beriku ii f ( x ) P [ X x ] x x, x,k disebu fugsi desias probabilias diskri (fdp diskri). Defiisi.5. (Bai ad Egelhard, 99) Sebuah variabel radom X disebu variabel radom koiu jika erdapa fugsi f(x), yag disebu fugsi desias probabilias (fdp) dari X, dega fugsi disribusi kumulaifya diyaaka sebagai beriku F ( x) x f ( ) d.

17 6.4 Fugsi Desias Probabilias (fdp) Bersyara Salah sau kosep peig pada eori probabilias adalah probabilias bersyara. Serig seseorag erarik uuk megeahui probabilias bahwa suau perisiwa aka erjadi jika dikeahui bahwa perisiwa kedua elah aau aka erjadi. Pedefiisia megeai fugsi desias probabilias bersyara adalah sebagai beriku Defiisi.6. (Bai ad Egelhard, 99) Jika X da X adalah variabel radom diskri aau koiu dega fugsi desias probabilias bersama f( x, x ) maka fugsi desias probabilias bersyara dari X diberika X x sebagai beriku f ( x, x ) f ( x x ), f ( x ) uuk seiap x sehigga f ( x ) > 0 da ol uuk yag laiya. Teorema.. (Bai ad Egelhard) Jika X da X adalah variabel radom dega fdp bersama f( x, x ) da fdp-fdp margialya f ( x ) da f ( x ) maka f ( x, x ) f( x ) f ( x x ) f ( x ) f ( x x ) da jika X da X salig bebas, maka da f ( x x) f ( x ) f x x ) f ( ). ( x..5 Nilai Harapa da Variasi Misal X adalah suau variabel radom yag mempuyai fugsi desias probabilias f(x). Meuru Bai ad Egelhard (99), a. Jika X adalah variabel radom diskri dega fugsi desias probabilias f(x) maka ilai harapa dari X didefiisika sebagai E [ X ] x f ( x). x

18 7 b. Misalka X suau variabel radom koiu dega fugsi desias probabilias f(x) maka ilai harapa dari X didefiisika sebagai E [ X ] x f ( x) dx. Nilai harapa mempuyai beberapa sifa, diaaraya :. Jika k suau kosaa maka E ( k) k.. Jika k adalah suau kosaa da g (x) adalah suau fugsi maka E [ kg( X )] k E[ g( X )]. 3. Jika k da k adalah suau kosaa, g ( x ) da g ( x) adalah suau fugsi maka E [ k g( x) + k g ( x)] k E[ g( x)] + k E[ g ( x)]. Defiisi.7. (Bai ad Egelhard, 99) Variasi dari variabel radom X adalah Var ( X ) E[( X µ ) ] E[ X ] µ...6 Nilai Harapa da Variasi Bersyara Kosep yag serig diguaka uuk meghiug arif premi asurasi adalah ilai harapa bersyara da variasi bersyara. Nilai harapa bersyara da variasi bersyara didefiisika sebagai beriku Defiisi.8. (Bai ad Egelhard) Jika X da Y adalah disribusi bersama variabel radom, maka ilai harapa bersyara dari Y dega diberika X x sebagai beriku E ( Y x) y f ( y x), jika X da Y diskri y E ( Y x) y f ( y x) dy, jika X da Y koiu Teorema.. (Bai ad Egelhard) Jika X da Y adalah disribusi bersama variabel radom, maka E [ E( Y X )] E( Y ).

19 8 Teorema.3. (Bai ad Egelhard) Jika X da Y adalah variabel radom yag salig bebas, maka E ( Y x) E( Y ) da E ( X y) E( X ). Defiisi.9. (Bai ad Egelhard) Variasi bersyara dari Y dega diberika X x didefiisika sebagai beriku Var( Y x) E{[ Y E( Y x)] x}. Teorema.4. (Bai ad Egelhard) Jika X da Y adalah disribusi bersama variabel radom maka Var ( Y ) E [ Var ( Y X )] Var [ E( Y X )]. X + X..7 Risiko Djojosoedarso (999) meyaaka bahwa pegeria secara ilmiah dari risiko sampai saa ii masih eap beragam, yaiu aara lai:. Risiko adalah suau variasi dari hasil-hasil yag dapa erjadi selama periode ereu.. Risiko adalah keidakeua yag mugki melahirka perisiwa kerugia. 3. Risiko adalah keidakpasia aas erjadiya suau perisiwa. 4. Risiko merupaka peyebara aau peyimpaga hasil akual dari hasil yag diharapka. 5. Risiko adalah probabilias sesuau hasil aau oucome yag berbeda dega yag diharapka. Sehigga dari defiisi-defiisi ersebu dapa disimpulka bahwa risiko merupaka keidakpasia aau keidakmugkia erjadiya sesuau, yag bila erjadi aka megakibaka kerugia.

20 9..8 Asurasi Asurasi adalah suau ala uuk meguragi risiko yag meleka pada perekoomia, dega cara meggabugka sejumlah ui-ui yag erkea risiko yag sama aau hampir sama, dalam jumlah yag cukup besar, agar probabilias kerugiaya dapa diramalka da bila kerugia yag diramalka erjadi aka dibagi secara proposioal oleh semua pihak dalam gabuga iu (Djojosoedarso, 999). Defiisi asurasi meuru pasal 46 Kiab Udag-Udag Hukum Dagag (KUHD) Republik Idoesia: Asurasi aau peragguga adalah suau perjajia, dega maa seorag peaggug megikaka diri kepada eraggug dega meerima suau premi, uuk memberi peggaia kepadaya karea suau kerugia, kerusaka aau kehilaga keuuga yag diharapka, yag mugki dideria karea suau perisiwa yag ak ereu. Berdasarka defiisi ersebu, maka dalam asurasi erkadug empa usur, yaiu:. Pihak eraggug yag berjaji uuk membayar uag premi kepada pihak peaggug, sekaligus aau secara beragsur-agsur.. Pihak peaggug yag berjaji aka membayar sejumlah uag (saua) kepada eraggug, sekaligus aau secara beragsur-agsur apabila erjadi sesuau yag megadug usur ak ereu. 3. Suau perisiwa (accide) yag ak ereu (idak dikeahui sebelumya). 4. Kepeiga (ieres) yag mugki aka megalami kerugia karea perisiwa yag ak ereu...9 Premi Asurasi Dalam asurasi yag dimaksud dega premi adalah pembayara dari eraggug kepada peaggug, sebagai imbala jasa aas pegaliha risiko kepada peaggug. Pekerjaa meghiug premi asurasi adalah merupaka pekerjaa yag saga peig sekali. Maka pada seiap perusahaa asurasi eu ada bagia yag khusus meagai pekerjaa ii. Bagia yag berfugsi

21 0 megerjaka ugas ii disebu akuaria, sedagka orag yag megerjaka ugas ii disebu akuaris. Salim (998) meyaaka bahwa pembuaa arif berkisar aara value judgme sampai highly scieific. Value judgme, umpamaya dalam meghiug premi pada asurasi agkua lau, yaiu berdasar kepada pegalama-pegalama saja. Sedagka yag megguaka scieific ialah pada asurasi jiwa, yag bayak megguaka rumus-rumus maemaika da saisik, yaiu dega abel moralias (moraliy able). Dalam meeuka arif harus diupayaka ercipaya arif yag ideal yag sesuai dega keadaa yag sesugguhya, yaiu arif yag dapa meghasilka pedapaa bagi perusahaa uuk meggai kerugia yag erjadi da memberika sediki keuuga uuk kelagsuga hidup perusahaa yag bersagkua (Djojosoedarso, 999). Ada dua jeis arif asurasi meuru Djojosoedarso (999) yaiu:. Maual aau class rae yaiu arif premi asurasi yag berlaku uuk semua risiko yag sejeis. Uuk membua maual aau class rae diperluka klasifikasi da pegalama yag bayak sekali, agar hasilya dapa memeuhi hukum bilaga besar (he law of large umber) sera dapa dipercaya (credibiliy). Uuk ii saisik asurasi saga peig peraaya.. Meri raig yaiu meode peeua arif premi asurasi dimaa iap-iap risiko diperimbagka keadaaya masig-masig. Meri raig diguaka dalam asurasi kebakara...0 Frekuesi, Tigka Kegawaa da Premi Muri Dalam pegukura risiko dimesi yag diukur adalah:. Besarya frekuesi kerugia, ariya berapa kali erjadiya suau kerugia selama suau periode ereu. Jadi uuk megeahui serig idakya suau kerugia iu erjadi.. Tigka kegawaa (severiy) aau keparaha dari kerugia-kerugia ersebu. Ariya uuk megeahui sampai seberapa besar pegaruh dari suau kerugia erhadap kodisi perusahaa, eruama kodisi fiasialya.

22 Pegukura frekuesi oleh Djojosoedarso (999) ialah uuk megeahui berapa kali suau jeis risiko dapa meimpa suau jeis obyek yag bisa erkea risiko selama suau jagka waku ereu, da pegukura igka kegawaa adalah uuk megeahui berapa besar ilai kerugia, yag selajuya dikaika dega pegaruhya erhadap kodisi perusahaa. Pada asurasi igka kegawaa diukur berdasarka klaim yag erjadi. Dea ad Mahler (006) medefiisika premi muri sebagai kerugia yag dibagi dega eksposure. Premi muri merupaka hasil perkalia dari frekuesi da igka kegawaa, sebagai beriku. Premi muri kerugia / eksposure (jumlah klaim / eksposure) (kerugia / jumlah klaim) (frekuesi) (igka kegawaa). Variasi proses dari premi muri, jika frekuesi da igka kegawaa idak salig bebas, dihiug dega megguaka mome perama da mome kedua. Jika frekuesi da igka kegawaa salig bebas, maka variasi proses dari premi muri adalah (raa-raa frekuesi) (variasi igka kegawaa) + (raaraa igka kegawaa) (variasi frekuesi)... Disribusi Beroulli Bai ad Egelhard (99) meyaaka bahwa suau variabel radom X yag diasumsika berilai 0 da diyaaka sebagai variabel Beroulli. Sebuah kejadia dari percobaa dega dua kemugkia yag mucul disebu sebagai kejadia Beroulli. Jika sebuah observasi haya bisa meghasilka sukses E da gagal E maka hubuga dega variabel Beroulli adalah jika e E X ( e). ' 0 jika e E Kemudia fdp dari X dega f ( 0) p da f ( ) p disebu sebagai disribusi Beroulli da mempuyai beuk f ( x) x p ( p) x x 0,, dega mea E(X) p da Var(X) p (-p).

23 .. Disribusi Gamma Nama disribusi gamma diuruka dari fugsi gamma yag didefiisika sebagai beriku Defiisi.0. (Bai da Egelhard, 99) Fugsi gamma, dilambagka Γ (k) uuk semua k > 0, adalah sebagai beriku k Γ( k) e d. 0 Variabel radom X disebu berdisribusi gamma dega parameer k > 0 da θ > 0 jika mempuyai fdp sebagai beriku. x f ( x; θ k, k) x exp > 0 Γ( ) x k θ k θ, da ol uuk yag laiya. Noasi dilambagka dega X ~ GAM ( θ, k).. Keragka Pemikira Keragka pemikira dalam peulisa skripsi ii adalah sebagai beriku Teori kredibilias adalah proses pembuaa arif oleh akuaris uuk melakuka peyesuaia premi di masa depa meuru pegalama di masa lampau. Ada iga pedekaa pada kredibilias yag dapa diguaka uuk meeuka fakor kredibilias Z, sehigga dapa meghiug ilai perkiraaya. Salah sau pedekaa yaiu kredibilias keakuraa erbesar dega megguaka model Bühlma aka dibahas da uuk selajuya aka disebu sebagai kredibilias Bühlma. Peghiuga parameer kredibilias Bühlma K membuuhka ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga. Selajuya, K aka diguaka uuk meeuka fakor kredibilias, sehigga dapa meeuka perkiraa yag diigika. Nilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga serigkali idak dikeahui, sehigga diperluka uuk megesimasi keduaya. Uuk lebih memberika gambara megeai kredibilias Bühlma diberika cooh aplikasiya.

24 BAB III METODE PENELITIAN Meode yag diguaka dalam meyusu skripsi ii adalah sudi lieraur yaiu dega megumpulka referesi yag dapa medukug pembahasa megeai kredibilias. Pada eori kredibilias erdapa iga pedekaa yag dapa diguaka uuk meeuka perkiraa kredibilias, yag dirumuska sebagai C Z X + ( Z) µ. Bühlma medefiisika fakor kredibilias Z sebagai beriku Z, + K dega 0 Z, meyaaka bayak percobaa, da ilai harapa dari variasi proses K. variasi dari raa raa yag diduga Oleh karea iu, uuk mecapai ujua peulisa, diambil lagkahlagkah sebagai beriku.. Meeuka ilai harapa dari variasi proses.. Meeuka variasi dari raa-raa yag diduga. 3. Meeuka fakor kredibilias Z, sehigga dapa meeuka perkiraa kredibilias yag diigika 4. Megesimasi parameer-parameer kredibilias Bühlma. Parameerparameer kredibilias serigkali dalam prakekya idak dikeahui ilaiya. Sehigga parameer-parameer ersebu aka dieuka pedugaya. 5. Memberika cooh aplikasi, uuk lebih memperjelas pembahasa aka diberika beberapa cooh sudi pegguaa kredibilias Bühlma da esimasi parameer-parameer kredibilias Bühlma. 3

25 BAB IV PEMBAHASAN Kredibilias adalah salah sau eori yag diguaka akuaris uuk memprediksi premi di masa depa. Pada eori kredibilias erdapa iga pedekaa yag dapa diguaka uuk meeuka perkiraa kredibilias, C, yag dirumuska sebagai C Z X + ( Z) µ, dega Z meyaaka fakor kredibilias, X adalah raa-raa dari pegamaa yag erpilih, da µ adalah raa-raa awal. Herzog (996) meyaaka sebuah aleraif pedekaa yag idak memerluka iformasi awal uuk meghiug fakor kredibilias Z dikeal sebagai kredibilias Bühlma, uuk meghormai Has Bühlma sebagai pegusulya. Bühlma medefiisika fakor kredibilias Z sebagai (4.) Z, + K dega 0 Z. Pada persamaa (4.), meyaaka bayak percobaa da K meyaaka parameer kredibilias Bühlma yag dirumuska sebagai ilai harapa dari variasi proses (4.) K. variasidari raa raa yagdiduga Peghiuga ilai K melibaka peerapa aalisis dari variasi, yaiu meghiug ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga. Bab ii aka membahas aalisis dari variasi, yag aka diguaka dalam meeuka parameer kredibilias Bühlma da fakor kredibilias. Sehigga, dapa meeuka ilai perkiraa kredibilias yag diigika. Pada subbab berikuya aka dieuka peduga dari parameer-parameer kredibilias Bühlma. 4

26 5 4. Nilai Harapa dari Variasi Proses Herzog (996) meyaaka bahwa secara umum variasi proses meyaaka variasi frekuesi, igka kegawaa aau jumlah klaim keseluruha pada kombiasi idividual dari karakerisik-karakerisik risiko. Oleh karea iu variasi proses adalah variasi bersyara, dega diberika kombiasi dari karakerisik-karakerisik risiko. Dea ad Mahler (006) meyaaka cooh arge peembaka oleh Sephe Philbrick dapa memberika gambara megeai ilai harapa dari variasi proses. Pada cooh diaggap erdapa empa peembak yag aka meembak arge masig-masig. Seiap embaka diasumsika erdisribusi di sekiar arge masig-masig, yag diadai dega huruf A, B, C, da D. Susua arge diperlihaka pada Gambar 4. beriku A B E C D Gambar 4. Susua Targe Peembaka Pada Gambar 4., dapa diliha bahwa hasil embaka dari masig-masig peembak aka megelompok di sekiar arge milikya. Tembaka seiap peembak dibedaka dega simbol-simbol yag berbeda. Sebagai cooh, simbol segiiga adalah embaka dari peembak B. Tiik E meggambarka raaraa dari keempa arge A, B, C, da D. Sebuah embaka dari salah sau peembak (yag ideiasya idak dikeahui) diamai, kemudia igi diduga lokasi embaka berikuya dari peembak yag sama. Pada awalya uuk seiap

27 6 embaka yag diamai, dugaa erbaik dari lokasi embaka berikuya adalah E, maka E adalah raa-raa awal (mea prior). Dugaa yag diigika aka berada di aara pegamaa da raa-raa awal. Peembak diaggap idak sempura, mereka idak selalu meembak megeai arge. Jumlah peyebara embaka di sekiar arge masig-masig dapa diukur dega variasi. Raa-raa peyebara adalah ilai harapa dari variasi proses (expeced value of he process variace aau EPV). Peembak yag erbaik meghasilka ilai harapa dari variasi proses yag lebih kecil da kluser di sekiar arge yag diembak lebih kea. Peembak yag buruk meghasilka ilai harapa dari variasi proses yag lebih besar da kekeaa peyebara embaka saga kecil. Maki baik peembak, maki bayak iformasi yag erdapa pada sebuah embaka. Maki buruk peembak, maki bayak sesaa radom yag erdapa pada pegamaa dari lokasi embaka. Harapa uuk memberi bobo yag lebih besar kepada sebuah pegamaa, erjadi saa peembak sedag berada dalam kodisi yag erbaik, daripada saa peembak dalam kodisi yag buruk. Oleh karea iu, peembak yag erbaik meghasilka kredibilias yag lebih besar. Hal ersebu diuliska pada Tabel 4. beriku. Tabel 4. Nilai Harapa dari Variasi Proses da Kredibilias Peembak Nilai harapa Kredibilias Cluser Isi dari dari variasi erhadap embaka iformasi proses pegamaa Baik Kea Lebih kecil Tiggi Lebih besar Buruk Logar Lebih besar Redah Lebih kecil Nilai harapa dari variasi proses yag kecil diperlihaka oleh Gambar 4.. Pada Gambar 4. aka lebih mudah uuk megideifikasi peembak seelah sebuah embaka diamai, jika dibadigka dega Gambar 4.

28 7 A B E C D Gambar 4. Peyebara Tembaka dega Nilai Harapa dari Variasi Proses yag Kecil Pada cooh arge peembaka Philbrick diperlihaka bahwa uuk meeuka besarya ilai harapa dari variasi proses, erlebih dahulu perlu meghiug besarya variasi proses. Meuru Dea (005) pegamaa uuk sebuah aau sekelompok risiko diguaka akuaris uuk memperkiraka hasil yag mugki dari risiko yag sama di masa yag aka daag. Pegamaa selama waku dari sebuah aau sekelompok risiko dilambagka dega x, yag merupaka observasi dari variabel radom X, dega bilaga bula. Risiko idividual adalah aggoa dari sebuah populasi yag besar da karakerisik-karakerisik dari risiko idividual didefiisika oleh paramaer risiko θ. Variabel radom parameer risiko dilambagka Θ da diasumsika idak dikeahui disribusi populasiya. Disribusi dari variabel radom ergaug pada ilai θ ; f X Θ ( x θ ). Jika X adalah variabel radom koiu, variasi bersyara dari X jika diberika Θ θ adalah X Var X Θ [ X Θ θ ] E X Θ ( X [( X µ ( θ )) µ ( θ )) f X Θ Θ θ ] ( x θ ) d x.

29 8 Variasi ii disebu variasi proses uuk risiko yag erpilih da dioasika sebagai Variasi idak bersyara dari σ θ ) Var [ X Θ θ ]. ( X Θ X, juga dikeal sebagai oal variasi, yag dirumuska sebagai Var X ] Var [ E [ X Θ]] + E [ Var [ X ]]. (4.3) [ Θ X Θ Θ X Θ Θ Persamaa (4.3) dapa diulis sebagai beriku Variasi dari Nilai harapa Toal Variasi +. raa raa yagdiduga dari variasi proses Nilai harapa dari variasi proses disimbolka sebagai beriku v E [ Var [ X Θ]] E [ σ ( )]. Θ X Θ Θ Θ Nilai harapa dari variasi proses meujukka variabilias ilai harapa dari pegamaa yag dilakuka pada risiko idividual. 4. Variasi dari Raa-Raa yag Diduga Pada cooh arge peembaka Philbrick, posisi dari arge yag diadai dega huruf A, B, C, da D meadaka pusa (aau raa-raa) dari masigmasig kluser. Raa-raa dari keempa arge yaiu E, merupaka pusa dari graviasi. Masig-masig pusa dari keempa arge merupaka raa-raa yag diduga dari peembak yag bersagkua, da pusa dari graviasi adalah raa-raa dari keseluruha raa-raa yag diduga. Variasi dari raa-raa yag diduga (variace of he hypoheical meas aau VHM) pada cooh arge peembaka yaiu jarak ersebarya keempa arge. Pegaruh keadaa peyebara arge erhadap besarya ilai variasi dari raa-raa yag diduga da kredibilias disimpulka pada Tabel 4. beriku.

30 9 Tabel 4. Variasi dari Raa-Raa yag Diduga da Kredibilias Tersebarya arge Variasi dari raa-raa yag diduga Isi dari iformasi Kredibilias erhadap pegamaa Lebih deka Kecil Redah Lebih kecil Lebih jauh Besar Tiggi Lebih besar Nilai variasi dari raa-raa yag diduga yag besar meghasilka kredibilias besar. Maki jauh erpisahya arge-arge maki besar perkiraa kredibilias megarah kepada pegamaa, hal ersebu aka diilusrasika pada Gambar 4.3. A B E C D Gambar 4.3 Susua Peyebara Targe Secara umum, raa-raa yag diduga meyaaka ilai raa-raa frekuesi, igka kegawaa, aau jumlah klaim keseluruha pada kombiasi idividual dari karakerisik-karaerisik risiko. Raa-raa yag diduga adalah ilai harapa bersyara, dega diberika kombiasi dari karakerisik-karakerisik risiko (Herzog, 996).

31 0 Jika X adalah variabel radom koiu, raa-raa uuk Θ θ, adalah ilai harapa bersyara sebagai beriku mejadi dega Jika Raa-raa E X Θ [ X θ ] x f X Θ ( x θ ) d x Θ. X jika dikeahui X adalah variabel radom diskri, maka ilai harapa bersyara E ). X Θ [ X Θ θ ] x f X Θ ( x θ x X disebu sebagai raa-raa yag diduga, da dioasika µ ( θ ) X Θ X Θ N X Θ N + θ ] E [ X θ ] K E [ X θ ] E [ X K. Parameer risiko yag diwakili oleh variabel radom Θ mempuyai fugsi desias probabilias (fdp), f Θ (θ ). Jika dua risiko mempuyai parameer yag sama, yaiu θ, maka karakerisik-karakerisik risikoya diasumsika sama da mempuyai raa-raa yag sama, yaiu µ (θ ). Nilai harapa idak bersyara dari E[ X ] x x X, Θ X Θ X sebagai beriku ( x [ x f X Θ ( x θ ) dx ] EΘ[ E X Θ[ X EΘ[ µ ( θ )] µ. f f ( x, θ ) dx dθ θ ) f θ ]] Θ ( θ ) dx dθ f Θ ( θ ) dθ Variasi dari raa-raa yag diduga adalah ukura perbedaa aar raa-raa dari risiko pada populasi, da variasi dari raa-raa yag diduga disimbolka sebagai beriku a Θ Var Θ [ µ ( Θ)] E [( µ ( Θ) µ ) ].

32 4.3 Fakor Kredibilias Bühlma Sifa keiga pada cooh arge peembaka adalah jumlah embaka yag diamai dari peembak, yag idak dikeahui ideias peembakya. Lebih bayak embaka yag diamai, maki bayak iformasi yag diperoleh da semaki besar kredibilias meadaka raa-raa dari pegamaa. Keiga sifa yag erdapa pada cooh arge peembaka Philbrick, dicermika oleh rumus dari kredibilias Bühlma, Z / ( + K) (a)/{ (a) + v}. Hubuga keiga sifa ersebu disimpulka dalam Tabel 4.3 beriku. Tabel 4.3 Pegaruh Sifa Cooh Targe Pemburua Sifa cooh arge peembaka Kuaifikasi Kredibilias maemaika Bühlma Peembak yag baik v lebih kecil Lebih besar Targe erpisah jauh a lebih besar Lebih besar Bayak embaka lebih besar Lebih besar Pada cooh arge peembaka Philbrick dibadigka dua dugaa lokasi dari embaka berikuya pada peembak yag sama, yaiu raa-raa dari pegamaa da raa-raa awal. Raa-raa dari pegamaa diyaaka oleh Z da (-Z) meyaaka raa-raa awal. Oleh karea iu kredibilias Bühlma adalah ukura yag relaif dari iformasi yag dikeahui pada pegamaa erhadap raaraa awalya. Tiik awal peghiuga K adalah kombiasi variasi proses da raa-raa yag diduga dari karakerisik-karakerisik risiko. Uuk seiap kombiasi dari karakerisik-karakerisik risiko, pedekaa ilai harapa da variasi dapa dihiug, da ilai K juga dapa dieuka sesuai dega persamaa (4.). Raa-raa X X diguaka dalam memperkiraka proses, karea raa-raa yag diduga uuk risiko yag erpilih µ (θ ) idak dikeahui da X

33 merupaka peduga idak bias uuk µ (θ ). Jika X da θ diasumsika salig bebas, maka variasi bersyara X adalah Var X Θ [ X θ ] Var X Θ X θ σ ( θ ) σ ( θ ) Var X Θ [ X θ ] Variasi ak bersyara X adalah Var[ X ] Var X Θ v a +. [ E X Θ [ X Θ]] + E Θ [ Var dega adalah jumlah pegamaa da dega (a / ) diperoleh X Θ [ X Θ]] Var Θ E [ µ ( Θ)] + Θ [ σ ( Θ)] K v / a. Persamaa (4.) dikalika a Z, v a + (4.4) dega peyebu pada persamaa (4.4) adalah Var [X ]. Selajuya persamaa (4.) dapa diulis kembali sebagai Z Variasi dari raa Toal Variasi dari peduga raa yag diduga X Var [ ( Θ)]. Var[ X ] Θ µ Meuru Herzog (996) karakerisik-karakerisik dari fakor kredibilias Bühlma Z, yaiu + K. Z adalah fugsi aik dari. Pada kasus limi, jika medekai ak erhigga maka Z medekai sau.. Z adalah fugsi uru dari K, maka Z juga merupaka fugsi uru ilai harapa dari variasi proses, dega baas bawah ol. Sehigga variasi kombiasi idividual dari karakerisik-karakerisik risiko yag lebih besar, memberika bobo yag lebih kecil kepada pegamaa yag dieuka, da bobo yag lebih bayak kepada raa-raa prior.

34 3 3. Z merupaka fugsi aik dari variasi dari raa-raa yag diduga, dega baas aas sau. Sehigga Z meigkaka variasi pada ilai harapa kombiasi variasi dari karakerisik-karakerisik risiko. Fakor kredibilias yag diperoleh aka diguaka uuk meeuka perkiraa kredibilias yag diigika, dega perkiraa kredibilias dirumuska sebagai C Z X + ( Z) µ. Pada subbab berikuya aka dicari peduga dari parameer-parameer kredibilias, yag diguaka dalam peghiuga perkiraa kredibilias C yag diigika. 4.4 Esimasi Parameer-Parameer Kredibilias Bühlma Model Bühlma meghedaki peghiuga ilai parameer K. Ada beberapa cara yag dapa dilakuka uuk meeuka K. Dalam prakekya, salah sauya yaiu dega usaha meeuka kompoe-kompoe ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga pada K. Uuk meghiug ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga dibuuhka hal-hal beriku:. Variasi proses σ ( θ ) uuk seiap risiko pada populasi.. Raa-raa yag diduga µ (θ ) uuk seiap risiko pada populasi. 3. Fugsi disribusi dari θ uuk meghiug v E Θ [ σ ( Θ)] da a VarΘ [ µ ( Θ)]. Pada prakekya ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raaraa yag diduga serigkali idak dikeahui. Esimasi ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga dapa dibua dari observasiobservasi empiris sampel dari populasi risiko. Model Bühlma megasumsika bahwa uuk seiap risiko i yag diberika variabel radom X, X, K, X } meggambarka hasil yag { i i i mugki uuk pegamaa yag berbeda, aka salig bebas da berdisribusi

35 4 sama, sera mempuyai raa-raa da variasi yag sama. Hasil yag mugki uuk risiko-risiko yag berbeda juga salig bebas. Pada sampel diaggap erdapa r risiko da observasi dari seiap risiko. Pada dua kolom erakhir dari Tabel 4.4 diujukka hasil yag mugki dari variabel radom r. Tabel 4.4 Hasil yag Mugki dari Variabel Radom r Periode waku Risiko x x x raa-raa sampel x risiko x i x ˆ σ Variasi proses sampel risiko ( x x ) x x x x x ˆ σ : : : : : : r x r x r x r xr x r ˆ σ r ( x x ) ( x r x ) r i Peduga idak bias uuk seiap raa-raa risiko µ θ ) diyaaka dega x da peduga idak bias uuk seiap proses variasi risiko σ ( ) diyaaka dega ˆ i σ. ( i θ i Variasi proses dari sampel ˆ σ i dapa dikombiasika uuk meghasilka peduga idak bias uuk ilai harapa dari variasi proses populasi. Sehigga esimasi ilai harapa dari variasi proses adalah r r vˆ ˆ σ i ( xi r i r( ) i x ) i. (4.5) Peduga idak bias uuk seiap mea risiko-risiko x i diguaka uuk megesimasi variasi dari raa-raa yag diduga. Karea r risiko salig bebas, maka x i adalah variabel radom yag salig bebas. Peduga idak bias uuk variasi dari x i adalah

36 5 r Var ˆ [ xi ] ( xi x), r i (4.6) r dega ˆµ x x i. r i Rumus oal variasi meyaaka bahwa Var[ xi ] VarΘ [ E X Θ[ xi Θi ]] + EΘ[ VarX Θ[ xi Θi ]], (4.7) karea E ( Θ θ ) µ ( θ ) X Θ x i i i i da σ ( θ i ) VarX Θ [ xi θ i ] VarX Θ xi θ i VarX [ xi θ i ]. Θ Persamaa (4.7) dapa diulis kembali sebagai Var[ x ] Var [ µ ( Θ )] + E [ σ ( Θ )] (4.8) i Θ i Θ i / Noasi perama yag berada di sebelah kaa persamaa (4.8) adalah a da oasi kedua adalah v/. Persamaa (4.8) dapa diulis kembali sebagai a Var[ xi ] v /. (4.9) Subiusika persamaa (4.5) da persamaa (4.6) ke dalam persamaa (4.9). Sehigga, peduga idak bias variasi dari raa-raa yag diduga adalah vˆ aˆ Var ˆ [ xi ] r r i ( x x) i r( ) r i ( x i. xi ) (4.0) Nilai V ar ˆ [ x ] dikuragi v ˆ / diperlihaka oleh rumus peduga â pada i persamaa (4.0). Peguraga ii dapa megakibaka â berilai egaif padahal variasi haruslah oegaif, jika â diperoleh egaif maka ilai â ersebu dapa diasumsika ol. vˆ da â adalah peduga-peduga idak bias uuk ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga. Sehigga peduga dari parameer kredibilias Bühlma adalah

37 6 v Kˆ ˆ, aˆ da peduga dari fakor kredibilias yaiu Zˆ + Kˆ. Oleh karea iu peduga dari perkiraa kredibilias yag diigika yaiu Cˆ Zˆ xi + ( Zˆ) µˆ, i,, K, r. Meskipu vˆ da â adalah peduga-peduga idak bias uuk ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga, ilai esimasi Ẑ adalah bias uuk kredibilias Z. Namu dalam prakek Ẑ secara umum dierima sebagai esimasi yag layak uuk kredibilias yag diigika. 4.5 Cooh Aplikasi Berdasarka pada pembahasa sebelumya, pada subbab ii di bahas eag cooh aplikasi dari eori kredibilias dega megguaka model Bühlma Cooh Aplikasi Model Bühlma Dea ad Mahler (006) memberika cooh aplikasi model Bühlma yag melipui frekuesi, igka kegawaa, da premi muri. Iformasi daa diberika dalam Tabel 4.5 beriku. Tabel 4.5 Iformasi Daa Frekuesi, Tigka Kegawaa da Premi Muri Tipe Porsi erjadiya risiko dari seiap ipe Frekuesi berdisribusi Beroulli Tigka kegawaa berdisribusi gamma 50% p 40% α 4, λ 0, 0 30% p 70% α 3, λ 0, 0 3 0% p 80% α, λ 0, 0

38 7 Masig-masig ipe diasumsika homoge, yag berari seiap eraggug dari ipe yag diberika mempuyai frekuesi da proses igka kegawaa yag sama. Uuk eraggug idividual diasumsika frekuesi da igka kegawaa salig bebas. Teraggug diambil secara radom dari ipe yag idak dikeahui. Teraggug yag erpilih secara radom mempuyai observasi iga klaim dega oal $450 selama empa ahu. Kredibilias Bühlma diguaka uuk memprediksi frekuesi, igka kegawaa, da premi muri di masa yag aka daag dari eraggug ersebu. Peyelesaia. Peghiuga perkiraa yag diigika dimulai dari frekuesi, yag peghiugaya lebih mudah. Kemudia igka kegawaa, da premi muri yag lebih kompleks peghiugaya.. Frekuesi Jumlah pegamaa pada frekuesi adalah waku erjadiya klaim, yaiu 4... Meeuka ilai harapa dari variasi proses. Frekuesi dikeahui berdisribusi Beroulli dega variasi sebagai beriku. σ p q p ( p). (4.) Berdasarka persamaa (4.) variasi proses dari frekuesi Beroulli uuk seiap ipe adalah a. Uuk ipe, σ (0,4)( 0,4) 0, 4, b. Uuk ipe, σ (0,7)( 0,7) 0,, c. Uuk ipe 3, σ (0,8)( 0,8) 0, 6. 3 Nilai harapa dari variasi proses adalah raa-raa bobo variasi proses dari ipe-ipe idividual, dega probabilias awal sebagai bobo maka besar ilai harapa dari variasi proses pada kasus frekuesi yaiu v ( 50%)(0,4) + (30%)(0,) + (0%)(0,6) 0,5. (4.)

39 8.. Meeuka variasi dari raa-raa yag diduga. Seelah ilai harapa dari variasi proses diperoleh, lagkah selajuya adalah meeuka ilai variasi dari raa-raa yag diduga. Raa-raa frekuesi Beroulli dari seiap ipe elah dikeahui sebagai beriku; uuk ipe, raa-raa frekuesi yaiu p 0,4, raa-raa frekuesi ipe yaiu p 0,7, da raa-raa frekuesi ipe 3 yaiu p 0,8. Kemudia kia mecari mome peramaya yaiu (50%) (0,4) + (30%) (0,7) + (0%) (0,8) 0,57 da mome keduaya yaiu (50%) (0,4) + (30%) (0,7) + (0%) (0,8) 0,355. Sehigga besarya variasi dari raa-raa yag diduga yaiu a 0,355 0,57 0,030. (4.3).3. Meeuka K, fakor kredibilias da perkiraa kredibilias. Nilai ilai harapa dari variasi proses da variasi dari raa-raa yag diduga yag elah diperoleh dalam persamaa (4.) da (4.3) diguaka uuk meeuka ilai parameer kredibilias Bühlma sebagai beriku. v 0,5 K 7,4. a 0,030 Kredibilias Bühlma uuk pegalama selama empa ahu dega megguaka rumus pada persamaa (4.) diperoleh sebagai beriku. 4 4 Z 0, ,4,4 Besarya observasi frekuesi adalah X 3 / 4 0, 75 da raa-raa awal frekuesi adalah µ 0, 57. Sehigga perkiraa kredibilias uuk frekuesi eraggug di masa yag aka daag yaiu C Z X + ( Z) µ (0,359)(0,75) + ( 0,359)(0,57) 0,635.

40 9. Tigka kegawaa Perimbaga bobo variasi proses pada igka kegawaa uuk ipeipe idividual megguaka kemugkia klaim yag daag dari seiap ipe. Seiap klaim adalah sau observasi pada proses igka kegawaa, jumlah pegamaa pada igka kegawaa adalah jumlah klaim, sehigga 3... Meeuka ilai harapa dari variasi proses. Tigka kegawaa berdisribusi Gamma ( / λ, α). Besarya variasi proses yaiu a. Uuk ipe, σ 4 / 0, b. Uuk ipe, σ 3/ 0, c. Uuk ipe 3, σ / 0, Raa-raa frekuesi yaiu 0,4, 0,7, da 0,8. Nilai awal pada seiap ipe yaiu 50%, 30%, da 0%. Maka, besar bobo yag aka diguaka dalam peghiuga ilai harapa dari variasi proses yaiu (0,4) (50%) 0,, (0,7) (30%) 0,, da (0,8) (0%) 0,6. Sehigga ilai harapa dari variasi proses pada igka kegawaa yaiu (0,)(40.000) + (0,)(30.000) + (0,6)(0.000) v 0, + 0,+ 0, Meeuka variasi dari raa-raa yag diduga. Raa-raa igka kegawaa Gamma uuk ipe yaiu α / λ 4 / 0,0 400, uuk ipe raa-raa igka kegawaa yaiu 3/0,0 300, da uuk ipe 3 raa igka kegawaa yaiu /0,0 00. Variasi dari raa-raa yag diduga pada igka kegawaa peghiugaya sama dega variasi yag laiya. Perama, kia hiug mome peramaya yaiu {(0,) (400) + (0,) (300) + (0,6) (00)}/(0, + 0, + 0,6) 307,0. Kemudia kia hiug mome keduaya yaiu {(0,) (400) + (0,) (300) + (0,6) (00) }/(0, + 0, + 0,6) Sehigga, besarya variasi dari raa-raa yag diduga pada igka kegawaa yaiu

41 30 a , Meeuka K, fakor kredibilias da perkiraa kredibilias. Besar parameer kredibilias Bühlma yaiu v K 4,90. a 6.65 Sebelumya elah dikeahui bahwa pada proses igka kegawaa observasi adalah klaim, maka fakor kredibilias Bühlma yaiu 3 3 Z 0, ,90 7,90 Observasi igka kegawaa yaiu $450 / 3 $50 da raa-raa awal yaiu $307. Sehigga perkiraa kredibilias uuk igka kegawaa eraggug di masa yag aka daag yaiu C Z X + ( Z) µ (0,38)(50) + ( 0,38)(307) $47,3. 3. Premi Muri Pada premi muri jumlah pegamaa yaiu Meeuka ilai harapa dari variasi proses. Peghiuga ilai harapa dari variasi proses premi muri mirip dega peghiuga ilai harapa dari variasi proses pada frekuesi, amu karea premi muri adalah produk dari frekuesi da igka kegawaa maka peghiuga proses variasi premi muri aka lebih rumi. Frekuesi da igka kegawaa diasumsika salig bebas, maka besarya variasi proses premi muri yaiu Variasi proses (raa-raa frekuesi) (variasi igka (4.4) kegawaa) + (raa-raa igka kegawaa) (variasi frekuesi). Peghiuga variasi proses dari seiap ipe adalah sebagai beriku. a. Uuk ipe Raa-raa frekuesi Beroulli yaiu p 0,4 da variasi frekuesi Beroulli yaiu pq ( 0,4)( 0,4) 0, 4. Raa-raa igka kegawaa Gamma yaiu α / λ 4 / 0,0 400 da variasi igka kegawaa

42 3 Gamma yaiu α / λ 4 / 0, Maka meuru persamaa (4.4), variasi proses dari premi muri uuk ipe yaiu (0,4) (40.000) + (400) (0,4) b. Uuk ipe Raa-raa frekuesi Beroulli yaiu p 0,7 da variasi frekuesi Beroulli yaiu pq ( 0,7)( 0,7) 0,. Raa-raa igka kegawaa Gamma yaiu α / λ 3/ 0,0 300 da variasi igka kegawaa Gamma yaiu α / λ 3/ 0, Maka meuru persamaa (4.4), variasi proses dari premi muri uuk ipe yaiu (0,7) (30.000) + (300) (0,) c. Uuk Tipe 3 Raa-raa frekuesi Beroulli yaiu p 0,8 da variasi frekuesi Beroulli yaiu pq ( 0,8)( 0,8) 0, 6. Raa-raa igka kegawaa Gamma yaiu α / λ / 0,0 00 da variasi igka kegawaa Gamma yaiu α / λ / 0, Maka meuru persamaa (4.4), variasi proses dari premi muri uuk ipe 3 yaiu (0,8) (0.000) + (00) (0,6).400. Oleh karea iu ilai harapa dari variasi proses uuk premi muri yaiu v ( 50%)(54.400) + (30%)(39.900) + (0%)(.400) Meeuka variasi dari raa-raa yag diduga. Peghiuga variasi dari raa-raa yag diduga pada premi muri mirip peghiuga pada frekuesi, dega besar raa-raa premi muri yaiu Raa-raa Premi Muri (raa-raa frekuesi) (raa-raa (4.5) igka kegawaa). Raa-raa premi muri uuk seiap ipe meuru persamaa (4.5) yaiu a. Uuk ipe, raa-raa premi muri (0,4) (400) 60. b. Uuk ipe, raa-raa premi muri (0,7) (300) 0. c. Uuk ipe 3, raa-raa premi muri (0,8) (00) 60.

43 3 Mome perama uuk premi muri yaiu (50%) (60) + (30%) (0) + (0%) (60) 75, da mome kedua uuk premi muri yaiu (50%) (60) + (30%) (0) + (0%) (60) Jadi, besarya variasi dari raa-raa yag diduga pada premi muri yaiu a Meeuka K, fakor kredibilias da perkiraa kredibilias. Besar parameer kredibilias Bühlma yaiu v K 83,. a 55 Fakor kredibilias Bühlma yaiu 4 Z 0, , Observasi premi muri yaiu $450/4 $,5 da raa-raa awal yaiu $75. Sehigga perkiraa kredibilias uuk premi muri dari eraggug di masa yag aka daag yaiu C Z X + ( Z) µ (0,046)(,5) + ( 0,046)(75) $ Cooh Aplikasi Esimasi Parameer Kredibilias Bühlma Sebuah perusahaa asurasi mempuyai dua kelompok polis peggai kerugia para pekerja. Jumlah klaim keseluruha (dalam juaa dollar) uuk iga ahu perama polis dirigkas dalam Tabel 4.6. Model Bühlma diguaka uuk megesimasi jumlah klaim keseluruha selama ahu keempa polis uuk masig-masig dua kelompok polis (Herzog, 996). Tabel 4.6 Jumlah Klaim Keseluruha Jumlah klaim keseluruha Kelompok Tahu polis polis

44 33 Peyelesaia Dikeahui bahwa erdapa dua kelompok polis da iga ahu pegalama daa dari masig-masig polis, maka diperoleh r da 3. Vekor klaim pegamaa uuk kedua polis yaiu x ( x, x, x3) (5,8,) da x x, x, x ) (,3,). da da ( 3 Raa-raa klaim pegamaa uuk masig-masig polis yaiu x x j j x x j. 3 j Esimasi raa-raa keseluruha (raa-raa awal) yaiu r 8 + ˆµ x x i 0. r i Variasi proses masig-masig polis yaiu ˆ σ ( x j x) [(5 8) + (8 8) + ( 8) ] 9 j ˆ σ ( x j x ) [( ) + (3 ) + ( ) ]. j Esimasi ilai harapa dari variasi proses yaiu r vˆ ˆ σ i (9 + ) 5. r i Esimasi variasi dari raa-raa yag diduga yaiu aˆ r ( x r [(8 0) x) vˆ i i ( 0) ]. 3 3

45 34 Esimasi parameer kredibilias Bühlma yaiu ˆ vˆ 5 K 0,78947 ˆ 9 / 3. a Oleh karea parameer-parameer kredibilias Bühlma yag diguaka uuk meeuka fakor kredibilias elah dikeahui, maka esimasi dari fakor kredibilias uuk seiap kelompok polis dapa dieuka sebagai beriku ˆ 3 Z 0, Kˆ 3 + 0,78947 Seelah fakor kredibilias diperoleh, esimasi jumlah klaim dari masigmasig kelompok polis uuk ahu keempa polis dapa dieuka sebagai beriku.. Esimasi jumlah klaim uuk kelompok polis perama yaiu C ˆ Zˆ x + ( Zˆ) ˆ µ (0,7967)(8) + (0,0833)(0) 8, Esimasi jumlah klaim uuk kelompok polis kedua yaiu C ˆ Zˆ x + ( Zˆ) ˆ µ (0,7967)() + (0,0833)(0), Sehigga perkiraa kredibilias uuk kelompok polis perama pada ahu keempa polis yaiu sebayak 8,4666 klaim da perkiraa kredibilias uuk kelompok polis kedua pada ahu keempa polis yaiu sebayak,58334 klaim.

46 BAB V PENUTUP 5. Kesimpula Berdasarka pembahasa yag elah dilakuka maka dapa disimpulka sebagai beriku.. Fakor kredibilias yag dirumuska oleh kredibilias Bühlma adalah Z, + K dega 0 Z da meyaaka jumlah pegamaa. Parameer kredibilias Bühlma dioasika sebagai beriku v K. a Nilai harapa dari variasi proses yaiu v E [ Var [ X Θ]] E [ σ ( )]. X Θ X X Θ Θ Variasi dari raa-raa yag diduga yaiu a Var Θ [ µ ( Θ)] E [( µ ( Θ) µ ) Θ. Lagkah-lagkah dalam meeuka perkiraa kredibilias megguaka kredibilias Bühlma yaiu a. Meeuka aau jumlah pegamaa. b. Meeuka ilai harapa dari variasi proses. c. Meeuka variasi dari raa-raa yag diduga. d. Meghiug K. e. Meeuka fakor kredibilias Z. f. Meeuka perkiraa kredibilias yag diigika yaiu C Z X + ( Z) µ. 3. Parameer-parameer kredibilias Bühlma diesimasi berdasarka daa empiris yag diamai. Peduga idak bias uuk ilai harapa dari variasi proses yaiu ]. 35

47 36 r r vˆ ˆ σ i ( xi xi ). r i r( ) i Peduga idak bias uuk variasi dari raa-raa yag diduga yaiu vˆ aˆ Var ˆ [ xi ] r ( xi xi ) r r( ) i ( xi x). r i Peduga dari parameer kredibilias Bühlma K, yaiu v Kˆ ˆ. aˆ Oleh karea iu fakor kredibilias dapa diesimasi sebagai beriku Zˆ + Kˆ, da peduga dari perkiraa kredibilias adalah Cˆ Zˆ xi + ( Zˆ) µˆ, i,, K, r. 5. Sara Dalam skripsi ii haya dibahas eag cara meeuka perkiraa kredibilias dega megguaka model Bühlma. Bagi pembaca yag erarik dega pembahasa ii, peulis memberika sara. Pada meode kredibilias keakuraa erbesar selai megguaka model Bühlma, juga dapa megguaka model Bühlma-Sraub, uuk meeuka perkiraa kredibilias yag diigika.. Perkiraa kredibilias juga dapa dieuka dega pedekaa kredibilias flukuasi erbaas da pedekaa aalisis Bayesia.

48 DAFTAR PUSTAKA Bai, L. J., ad M. Egelhard. (99). Iroducio o Probabiliy ad Mahemaical Saisics. Duxbury Press, Califoria. Dea, C. G., ad H. C. Mahler. (006). Credibiliy. Dowload available a hp:// / admissios / syllabus / Ch.8.pdf. Dea, C. G. (005). Topics i Credibiliy Theory. Dowload available a hp:// ccm/ cms-service/ sream/ asse/ asse-id Deui, M., Kaas, R., Goovaers, M., ad Dhaee, J. (00). Moder Acuarial Risk Theory. Kluwer Academic Publishers, Lodo. Djojosoedarso, S. (999). Prisip-Prisip Maejeme Resiko da Asurasi. Salemba Empa, Jakara. Herzog, T. N. (996). Iroducio o Credibiliy Theory. Secod Ediio. ACTEX, Wised. Salim, A. (998). Asurasi da Maajeme Resiko. Edisi Revisi Kedua. PT. Raja Grafido Persada, Jakara. 37