Modul ini adalah modul ke-2 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini

Transkripsi

1 BILANGAN BULAT, BILANGAN RASIONAL, DAN BILANGAN IRASIONAL PENDAHULUAN Modul ini dlh modul e- dlm mt ulih Mtemti. Isi modul ini membhs tentng bilngn bult, bilngn rsionl, dn bilngn irsionl. Modul ini terdiri dri egitn beljr. Pd egitn beljr n dibhs mengeni bilngn bult. Pd egitn beljr n dibhs mengeni bilngn rsionl dn irsionl. Terhir, pd egitn beljr n dibhs mengeni bilngn berpngt. Setelh mempeljri modul ini, And dihrpn dpt memhmi pengertin bilngn bult besert sift-sift opersiny, pengertin bilngn bult besert siftsift opersiny, bilngn rsionl dn irsionl, bilngn berpngt. Secr husus setelh mempeljri modul ini, And dihrpn dpt:. menjelsn pengertin bilngn bult.. menjelsn sift-sift opersi yng berlu pd bilngn bult.. menggunn sift-sift opersi yng berlu pd bilngn bult dlm sol perhitungn bilngn bult. 4. menjelsn pengertin bilngn rsionl.. menjelsn sift-sift opersi yng berlu pd bilngn rsionl. 6. menggunn sift-sift opersi yng berlu pd bilngn rsionl dlm sol perhitungn bilngn rsionl. 7. menjelsn pengertin bilngn irsionl. 8. membedn bilngn rsionl dn irsionl. 9. menjelsn pengertin bilngn berpngt. 0. menyelesin perhitungn bilngn berpngt. Petunju Beljr. Bclh dengn cermt pendhulun modul ini sehingg And memhmi tujun dn bgimn mempeljri modul ini.. Bclh urin mteri dlm modul ini, tndilh t-t penting yng merupn unci. Phmi setip onsep dlm urin mteri dengn mempeljri contoh-contohny.. Ji menglmi esulitn dlm mempeljri modul ini, disusinlh dengn temn-temn And tu dengn tutor. 4. Peljri sumber-sumber lin yng relevn untu memperlus wwsn.. Kerjn sol-sol ltihn dlm modul ini tnp meliht petunju jwbn ltihn terlebih dhulu. Apbil menglmi esulitn, brulh And meliht petunju jwbn ltihn. 6. Kerjn sol-sol tes formtif dn peris tingt emmpun And dengn mencocon jwbn And dengn unci jwbn tes formtif. Ulngilh pengerjn tes formtif ini smpi And benr-benr dpt mengerjn semu sol-sol tes formtif ini dengn benr. Selmt Beljr, Semog Suses! smodul s ss s s Mtemti 4

2 A. PENDAHULUAN BILANGAN BULAT Pd Kegitn Beljr Modul, And telh mempeljri himpunn bilngn sli, dn himpunn bilngn cch. Tetpi ternyt terdpt beberp permslhn tid dpt dinytn hny dengn menggunn bilngn sli tupun bilngn cch. Sebgi contoh, dlm sl suhu celcius, titi didih ir dlh 00 0 C dn titi beuny dlh dlm 0 0 C. Di derh-derh tertentu, mislny di utub utr, suhuny berd di bwh titi beu, sehingg sl suhu perlu diperpnjng e bwh nol. Sebgi contoh, suhu di derh A berd du derjt celcius di bwh nol. Aph hl tersebut bis dinytn dengn menggunn bilngn sli tu cch? Cob And piirn! Untu menjwb pertnyn seperti itu, terlebih dhulu, cob And perhtin gmbr beriut ini: 0 4 Gmbr. Pd gmbr. tmp sebgin dri sutu gris bilngn yng menunjun tempt beberp bilngn cch. Bilngn yng berorespondensi dengn tip titi dlh bilngn yng menunjun bnyny stun pnjng dri titi nol smpi epd titi yng dimsud, yng diuur e nn. Kemudin, bilngn-bilngn mnh yng berorespondensi dengn titi-titi di sebelh iri nol? Gmbr. di bwh menunjun beberp bilngn yng berores-pondensi dengn titi-titi tdi Gmbr. Titi yng letny stu stun di sebelh iri titi 0 berorespondensi dengn bilngn -, dibc negtif stu. Titi yng letny du stun di sebelh titi nol, berorespondensi dengn -, dn seterusny. Bilngn-bilngn, -, -, -4, dinmn bilngn-bilngn bult negtif. Perhtin bhw pd gmbr. di ts, bilngn-bilngn di sebelh nn nol ditulis +, +, +, +4,, yng emudin ditulis tnp tnd +, yni,,, 4,. Bilngn-bilngn tersebut dinmn bilngn bult positif. Himpunn bilngn 4 Mtemti

3 bult positif, bilngn bult negtif, dn nol dinmn himpunn bilngn bult, yng dilmbngn dengn I (integers), sehingg: I = {, -, -, -, 0,,,, } B. HUBUNGAN LEBIH DARI ATAU KURANG DARI ANTARA DUA BILANGAN Dri gris bilngn pd gmbr., And dpt dengn mudh membndingn du buh bilngn bult dengn etentun sebgi beriut: () Bilngn bult disebut lebih dri bilngn bult b, ditulis > b, ji terlet di sebelh nn b pd gris bilngn bult tdi, tu () Bilngn bult c disebut urng dri bilngn bult d, ditulis c < d, ji c terlet di sebelh iri d pd gris bilngn bult tdi. Untu lebih jelsny peljrilh contoh-contoh beriut. Dengn memperhtin gris bilngn bult yng tmp pd gmbr., m: () +6 lebih dri + tu +6 > +, ren +6 terlet di sebelh nn +. () - lebih dri - tu - > -, ren - terlet di sebelh nn -. () -6 urng dri - tu -6 < -, ren -6 terlet di sebelh iri -. Perhtin gris bilngn di gmbr., titi yng beroordint + dn titi oordint berjr sm terhdp titi sl 0 yitu stun. Dpt ditn bhw titi yng oordintny + berlwnn letny terhdp titi sl 0 dengn titi oordint, tetpi berjr sm terhdp titi 0. Hl ini berrti lwn dri + dlh tu lwn dri dlh +. Contoh lin, lwn dri dlh +, lwn dri 00 dlh +00, dn sebginy. C. PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT DAN SIFATNYA () Bersift Tertutup Perhtin himpunn bilngn bult I = {..., -, -, -, 0,,,,...}. Misln And mbil bilngn dn 7, emudin And jumlhn edu bilngn tersebut, yni + 7 =. Perhtin bhw dn 7 mrupn bilngn bult, jug sebgi hsil penjumlhn dri dn 7 dlh bilngn bult. Contoh lin 6 + (- 00) = -, bilngn 6 dn 00 dlh bilngn bult, jug sebgi hsil jumlh edu bilngn itu dlh bilngn bult. Cob And mbil du bilngn bult sebrng, emudin And jumlhn, ph hsilny sellu merupn bilngn bult lgi? Cocon jwbn And dengn eterngn beriut: Ji dn b bilngn-bilngn bult sebrng, m hsil jumlhny ( + b) merupn bilngn bult. Hl ini menunjun bhw himpunn bilngn bult berift tertutup terhdp opersi penjumlhn, yng berrti bhw jumlh du bilngn bult sellu merupn bilngn bult lgi. () Bersift Komuttif Untu lebih memhmi sift omuttif bilngn bult, cob And jwb solsol beriut ini :. Aph 80 + = + (-80). b. Aph + (-6) = -6 + (-). Mtemti 4

4 Cocon jwbn And dengn eterngn beriut: = 4 dn + (-80) = 4, hl ini berrti bhw: 80 + = + (-80). b. + (-6) = -00 dn -6 + (-) = -00, hl ini berrti bhw: + (-6) = -6 + (-). Silhn And mbil beberp contoh lin yng serup. Dengn memperhtin contoh-contoh tersebut, m dpt disimpuln bhw: Ji dn b bilngn-bilngn bult sebrng, m: + b = b + () Bersift Assositif Untu memhmi sift ssositif bilngn bult, cob And jwb sol-sol beriut ini:. Hitunglh (- + 70) + 40 dn - + ( ). Aph (- + 70) + 40 = - + ( ). b. Hitunglh (-40 + (-)) + 0 dn (- + 0). Aph (-40 + (-)) + 0 = (- + 0). Cocon jwbn And dengn eterngn beriut:. (- + 70) + 40 = 8 dn - + ( ) = 8, hl ini berrti bhw (- + 70) + 40 = - + ( ). b. (-40 + (-)) + 0 = 7 dn (- + 0) = 7, hl ini berrti bhw (-40 + (-)) + 0 = (- + 0). Silhn And mbil beberp contoh lin yng serup. Dengn memperhtin contoh-contoh tersebut, m dpt disimpuln bhw: Ji, b, dn c bilngn-bilngn bult sebrng, m: ( + b )+ c = + (b + c) (4) Memilii Unsur Identits Peris ph penjumlhn bilngn ini benr? = 0 + (-) = -. b. + 0 = 0 + =. c = 0 + (-4) -4. Ternyt etig limt penjumlhn di ts benr. Hl ini mengrhn bhw bilngn ppun dijumlhn dengn nol m hsilny bilngn itu sendiri, sehingg 0 ditn unsur identits pd opersi penjumlhn. Secr umum bis ditn bhw: Ji bilngn bult sebrng, m: + 0 = 0 + = D. PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT DAN SIFATNYA Pd Kegitn Beljr Modul And telh mempeljri opersi pengurngn pd bilngn cch. Serng it n peljri opersi pengurngn pd bingn bult, mengwli mempeljriny cob And perhtin permslhn beriut. Tim SAR bertugs mencri peswt terbng yng hilng jtuh e dsr lut. Untu eperlun tersebut, tim SAR menggunn sebuh pl selm. Semul 44 Mtemti

5 edlmn lut diperirn 00 m, n tetpi st pencrin dilun ternyt perirn tersebut meleset. Kpl selm hrus turun lgi sejuh m e dsr lut. Berd pd edlmn berph pl selm tersebut? Tentuny And bis menyelesin contoh permslhn di ts, hsil peerjn And cob disusin dengn temn-temn And. Serng mrilh it liht sift-sift opersi pengurngn pd bilngn bult. Sift-Sift Pengurngn () Kit sudh mengethui bhw pd bilngn cch opersi pengurngn tid bersift tertutup, sebb selisih du bilngn cch tid sellu menghsln bilngn cch. Serng perhtin, ph selisih du bilngn bult sellu menghsiln bilngn bult? Aph hsil dri 7 9 merupn bilngn bult? Atu, ph 7 sebgi hsil dri 8 merupn bilngn bult? Jwbnny dlh y. Kren selisih du bilngn bult merupn bilngn bult lgi, m opersi pengurngn pd bilngn bult bersift tertutup. () Aph opersi pengurngn bersift omuttif? Jug, ph opersi pengurngn bersift ssositif? Untu menjwb pertnyn tersebut, silhn And memerisny sendiri. Jwbn yng benr dlh, bi sift omuttif mupun ssositif edu-duny tid berlu untu opersi pengurngn pd bilngn bult. Untu sift-sift yng linny, cob And peljri sendiri dn emudin disusin dengn temn-temn And. Selmt mencob! E. PERKALIAN PADA BILANGAN BULAT DAN SIFATNYA Dlm bgin ini, sebelum it membhs perlin bilngn-bilngn bult, mrilh it ingt embli sift-sift yng berlu pd perlin bilngn cch. Telh dijelsn bhw pd perlin bilngn-bilngn cch berlu sift-sift: () Hsil li setip bilngn cch dengn nol dlh nol, tu untu setip bilngn cch berlu 0 = 0 = 0. () Hsil li setip bilngn cch dengn stu dlh bilngn cch itu sendiri, tu untu setip bilngn cch berlu = =. () Perlin bilngn-bilngn cch berlu sift tertutup, yitu untu setip bilngn cch dn b m hsil perlin ( b) merupn bilngn cch. (4) Perlin bilngn-bilnn cch berlu sift omuttif, yitu untu setip bilngn cch dn b berlu b = b. () Perlin bilngn-bilnn cch berlu sift ssositif, yitu untu setip bilngn cch, b, dn c berlu ( b) c = (b c). (6) Perlin bilngn-bilnn cch bersift distributif, yitu untu setip bilngn cch, b, dn c berlu (b + c) = b + c dn ( + b) c = c + b c, jug berlu (b - c) = b c dn ( b) c = c b c. Keenm sift perlin bilngn-bilngn cch tersebut di ts berlu jug untu perlin bilngn-bilngn bult, sehingg dpt ditn bhw pd opersi perlin bilngn bult berlu sift-sift: () Hsil li setip bilngn bult dengn nol dlh nol, tu untu setip bilngn bult berlu 0 = 0 = 0. Mtemti 4

6 () Hsil li setip bilngn bult dengn stu dlh bilngn bult itu sendiri, tu untu setip bilngn bult berlu = =. () Perlin bilngn-bilngn bult berlu sift tertutup, yitu untu setip bilngn bult dn b m hsil perlin ( b) merupn bilngn bult. (4) Perlin bilngn-bilnn bult berlu sift omuttif, yitu untu setip bilngn bult dn b berlu b = b. () Perlin bilngn-bilngn bult berlu sift ssositif, yitu untu setip bilngn bult, b, dn c berlu ( b) c = (b c). (6) Perlin bilngn-bilngn bult bersift distributif, yitu untu setip bilngn bult, b, dn c berlu (b + c) = b + c dn ( + b) c = c + b c, jug berlu (b - c) = b c dn ( - b) c = c b c. Dengn menggunn pengertin perlin pd bilngn cch, dn siftsift yng berlu pd perlin bilngn bult, m n it peljri: () perlin bilngn bult positif dengn bilngn bult positif. () perlin bilngn bult positif dengn bilngn bult negtif. () perlin bilngn bult negtif dengn bilngn bult positif. (4) perlin bilngn bult negtif dengn bilngn bult negtif. () Perlin bilngn bult positif dengn bilngn bult positif Menglin bilngn bult positif dengn bilngn bult positif dlh serup dengn menglin bilngn-bilngn cch. Beberp contoh perlin du bilngn bult positif dlh sebgi beriut:. 40 = = 00. b. 6 7 = = 40. c. 4 = = 00. d. dn seterusny. Contoh-contoh tersebut di ts mengrhn epd it bhw hsil li du bilngn bult positif dlh bilngn bult positif. () Perlin bilngn bult positif dengn bilngn bult negtif Dri contoh sebelumny, And telh mengethui bhw 40 = = 00. Dengn menggunn pengertin tersebut, m cob And phmi contoh-contoh beriut:. 4 (-0) = (-0) + (-0) + (-0) + (-0) = -00. b. (-60) = (-60) + (-60) + (-60) + (-60) + (-60) = -00. c. 6 (-) = (-) + (-) + (-) + (-) + (-) + (-) = -70. d. dn seterusny. Contoh-contoh tersebut di ts mengrhn epd it bhw hsil li bilngn bult positif dengn bilngn bult negtif dlh bilngn bult negtif. () Perlin bilngn bult negtif dengn bilngn bult positif Untu memhmi perlin bilngn bult negtif dengn bilngn bult positif dpt dilun dengn du cr beriut :. Dengn menggunn sift omuttif. Perhtin contoh beriut: (i) (-) 4 = 4 (-) = (-) + (-) + (-) + (-) = Mtemti

7 (ii) (-47) = (-47) = (-47) + (-47) + (-47) + (-47) + (-47) = -. (iii)(-8) = (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -46. b. Dengn menggunn nlogi tu pol. Perhtin contoh beriut: berurng = berurng berurng = 0 berurng berurng = berurng berurng 0 = 0 berurng berurng - =... (-) berurng - =... (-0) berurng - =... (-) Perhtin bhw bilngn pengli yng diwli dengn bilngn, emudin bertutut-turut turun stu menjdi,, 0, -, -, dn, sedngn hsilny berturutturut turun, muli dri emudin 0, dn 0. Perhtin jug bhw pengli dri 0 e - tentuny turun, m hsil perlinny hrus turun, yni menjdi -, begitu seterusny. Contoh-contoh tersebut di ts mengrhn epd it bhw hsil li bilngn bult negtif dengn bilngn bult positif dlh bilngn bult negtif. (4) Perlin bilngn bult negtif dengn bilngn bult negtif Untu memhmi perlin du bilngn bult negtif, perhtinlh contoh beriut: berurng -7 = - bertmbh 7 berurng -7 = -4 bertmbh 7 berurng -7 = -7 bertmbh 7 berurng 0-7 = 0 bertmbh 7 berurng - -7 =... (7) berurng - -7 =... (4) berurng - -7 =... () Perhtin bhw bilngn pengli yng diwli dengn bilngn, emudin bertutut-turut turun stu menjdi,, 0, -, -, dn, sedngn hsilny berturutturut bertmbh 7, muli dri - emudin -4, -7 dn 0. Perhtin jug bhw pengli dri 0 e - tentuny turun, m hsil perlinny hrus bertmbh 7, yni menjdi 7, begitu seterusny. Contoh-contoh tersebut di ts mengrhn epd it bhw hsil li du bilngn bult negtif dlh bilngn bult negtif. F. PEMBAGIAN PADA BILANGAN BULAT DAN SIFATNYA Pd Kegitn Beljr Modul tentng bilngn cch, telh dijelsn bhw pembgin merupn opersi eblin dri perlin. Di dlm bilngn bultpun sm bhw pembgin merupn opersi eblin dri perlin. Perhtin contoh beriut. () -0 : 0 = -, ren 0 (-) = -0 tu - 0 = -0 dengn t lin Mtemti 47

8 b -0 : 0 = - sm rtiny dengn 0 (-) = -0 tu - 0 = -0 tu dpt ditulisn: -0 : 0 = - 0 (-) = -0-0 = -0. () -00 : (-) = 4, ren (-) 4 = -00 tu 4 (-) = -00 dengn t lin -00 : (-) = 4 sm rtiny dengn (-) 4 = -00 tu 4 (-) = -00 tu dpt ditulisn: -00 : (-) = 4 (-) 4 = (-) = -00. Sift-Sift Pembgin () Pembgin dengn nol Serup dengn bilngn cch, bhw pd bilngn cch pembgin dengn nol tid didefinisin, m dlm bilngn bult pun pembgin dengn nol tid didefinisin. Sebgi contoh, berph hsil dri - : 0. Untu memperoleh jwbn - : 0, And hrus mencri sutu bilngn yng ji dilin dengn 0 menghsiln -. Atu And hrus mencri sehingg 0 = -. Ternyt tid d stu pun penggnti, sehingg 0 = -. Jdi dpt ditn bhw: pembgin dengn nol tid didefinisin. () Aph opersi pembgin tertutup pd bilngn bult? Mislny And mbil 9 : = 4,, limt tersebut memperlihtn bhw 9 dn dlh bilngn bult, n tetpi 4, bun merupn bilngn bult. Contoh yng lin, 7 : 4 = 4,, pd limt tersebut 7 dn 4 merupn bilngn bult, n tetpi 4, bun merupn bilngn bult. Kedu contoh tersebut memperlihtn bhw hsil bgi du bilngn bult tid menghsiln bilngn bult lgi. Sehingg dpt ditn bhw opersi pembgin pd bilngn bult tid bersift tertutup. () Aph opersi pembgin bersift omuttif? Misln dimbil du bilngn bult 6 dn 4, cob And perhtin ph 6 : 4 = 4 : 6. Tentu sj, tid! Kren 6 : 4 = 4 sedngn 4 : 6 = 0,. Contoh tersebut memperlihtn bhw 6 : 4 ¹ 4 : 6. Hl ini menunjun bhw opersi pembgin tid bersift omuttif pd bilngn bult. (4) Untu sift-sift yng linny, cob And peljri sendiri dn emudin disusin dengn temn-temn And. Selmt mencob! Petunju: Jwblh pertnyn dengn singt dn tept! Untu memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, erjnlh ltihn beriut!. Tulisn msing-msing brisn bilngn-bilngn di bwh ini empt bilngn beriutny.., 9, 6,,... b.,,, Mtemti

9 c., -0, -8, -6,... d. -, -9, -,.... Tentun interpretsi dri:. Ji +0 m berrti 0 m di sebelh utr sutu tempt, ph rti dri - 0 m. b. Klu + Newton berti sutu gy sebesr Newton e nn, m ph yng ditunjun oleh gy Newton?. Beriut ini terdpt psngn-psngn suhu. Tentunlh suhu yng mn dri tip-tip psng itu suhu yng lebih tinggi C dn 0 C. b. 0 C dn 0 0 C. c C dn - 0 C. d. - 0 C dn 0 C. 4. Sederhnn pernytn-pernytn beriut:. m + m m. b. y y + 7y. c. 7 + y.. Tentun himpunn penyelesin dri y + (y ) >, untu y nggot bilngn bult. Petunju Jwbn Ltihn Peris secr sesm jwbn And, emudin coconlh jwbn And dengn unci jwbn beriut:. Msing-msing brisn bilngn-bilngn dn enpt bilngn beriutny dlh:., 9, 6,, 0, -, -6, -9. b.,,, -, -, -, -7. c., -0, -8, -6, -4, -, 0,. d., -9, -, -,, 7,.. Interpretsi dri:. 0 m berrti 0 m di sebelh seltn sutu tempt. b. Newton berti sutu gy sebesr Newton e iri.. Psngn-psngn suhu sol di ts berrti:. 7 0 C lebih tinggi dripd 0 C. b. 0 C lebih tinggi dripd 0 0 C. c. - 0 C lebih tinggi dripd -7 0 C. d. 0 C lebih tinggi dripd - 0 C. 4. Diperoleh pernytn-pernytn beriut:. 7m + m m = (7 + )m = 9m (huum distributif). b. y y + 4y = ( + 4)y = 8y (huum distributif). c. 7 - y tid dpt disederhnn, ren 7 y dlh suu-suu yng tid sejenis.. Himpunn penyelesin dri y + (y ) > dlh: y + (y ) > y + y > (tnd berrti eivlen dengn) y + y > 8 7y > 8 7 > 8/7 M himpunn penyelesinny dlh {,, 4,, 6,...}. Mtemti 49

10 . Himpunn bilngn bult positif, bilngn bult negtif, dn nol dinmn himpunn bilngn bult, yng dilmbngn dengn I (integers), sehingg: I = {, -, -, -, 0,,,, }.. Hubungn lebih dri tu urng dri ntr du bilngn:. Bilngn bult disebut lebih dri bilngn bult b, ditulis > b, ji terlet di sebelh nn b pd gris bilngn bult tdi, tu b. Bilngn bult c disebut urng dri bilngn bult d, ditulis c < d, ji c terlet di sebelh iri d pd gris bilngn bult tdi.. Sift-sift opersi penjumlhn pd bilngn bult:. Bersift tertutup. Ji dn b bilngn-bilngn bult sebrng, m hsil jumlhny ( + b) merupn bilngn bult jug. b. Bersift omuttif. Ji dn b bilngn-bilngn bult sebrng, m: + b = b +. c. Bersift Assositif. Ji, b, dn c bilngn-bilngn bult sebrng, m: ( + b )+ c = + (b + c). d. Memilii Unsur Identits. Ji bilngn bult sebrng, m: + 0 = 0 + =. 4. Sift-sift opersi pengurngn pd bilngn bult:. Bersift tertutup. Ji dn b bilngn-bilngn bult sebrng, m selisihny ( - b) merupn bilngn bult jug. b. Tid omuttif c. Tid Assositif. d. Tid memilii unsur identits.. Sift-sift opersi perlin pd bilngn bult:. Hsil li setip bilngn bult dengn nol dlh nol, tu untu setip bilngn bult berlu 0 = 0 = 0. b. Hsil li setip bilngn bult dengn stu dlh bilngn bult itu sendiri, tu untu setip bilngn bult berlu = =. c. Bersift tertutup, yitu untu setip bilngn bult dn b m hsil perlin ( b) merupn bilngn bult. d. Bersift omuttif, yitu untu setip bilngn bult dn b berlu b = b. e. Bersift ssositif, yitu untu setip bilngn bult, b, dn c berlu ( b) c = (b c). f. Bersift distributif, yitu untu setip bilngn bult, b, dn c berlu (b + c) = b + c dn ( + b) c = c +b c, jug berlu (b - c) = b c dn ( - b) c = c b c. 6. Sift lin pd perlin bilngn bult:. hsil li du bilngn bult positif dlh bilngn bult positif. b. hsil li bilngn bult positif dengn bilngn bult negtif dlh 0 Mtemti

11 bilngn bult negtif. c. hsil li bilngn bult negtif dengn bilngn bult positif dlh bilngn bult negtif. d. hsil li du bilngn bult negtif dlh bilngn bult negtif. 7. Sift-sift opersi perlin pd bilngn bult:. pembgin dengn nol tid didefinisin. b. Tid bersift tertutup. c. Tid bersift omuttif pd bilngn bult. Petunju: Pilihlh slh stu jwbn yng dinggp pling tept!. Susunn brisn dri empt bilngn 7, 4, -, yng diurut secr meni dengn menggunn tnd < dlh... A. < 4 < < 7 C. < < 4 < 7 B. < 4 < < 7 D. < < 4 < 7. Klu dlh vribel pd himpunn {-, -4, -, -, -, 0,,,, 4, }, m himpunn penyelesin dri 4 < dlh... A. {-4, -, -, -, 0, } C. {-, -, -, 0, } B. {-4, -, -, -, 0,, } D. {-, -, -, 0,, }. Dlm sutu perminn, nili tertinggi yng dpt dicpi dlh 00. Dlm perminn tersebut jug dimunginn orng memperoleh nili negtif. Dri lim perminn berturut-turut nili yng dicpi Amir dlh 40, 90, 70, -60, - 0. Nili yng dicpi Amir pd hir perminn dlh... A. 60 C. 40 B. 0 D dn y dlh vribel pd himpunn bilngn bult, dengn y du lebihny dri pd. Ji { -4, -, -, -, 0, }, m himpunn nili untu y dlh... A. {-, -, 0,,, } C. {-6, -, -, -, -, 0} B. {-, -, -, 0,, } D. {-8, -6, -4, -, 0, }. Gmbr beriut dlh sutu bingi dengn uurn dn y, dn lubng didlmny dengn uurn y dn z. Lus derh bingi yng dirsir dlh y z y... A. y y z B. y + z C. y + y z D. z + y z Mtemti

12 6. Bentu sederhn dri ( + b) + 4(-b) dlh... A. + b C. + 7b B. 7 b D. b 7. Ji dlh nggot {-, -, 0,,,, 4, } m himpunn penyelesin dri ( ) ( 8 ) dlh... A. {-, -, 0, } C. {0,,, } B. {, 4, } D. (-, 0,,, } 8. Ji n dlh sutu bilngn bult. Kurngi n dengn, emudin lin selisih tersebut dengn. Ji hsil opersi itu dlh 48, m nili n... A. 9 C. B. D. 9. Sutu els bertmsy dengn menggunn bis. Ad sisw li-li yng iut, sedngn sisw perempun 4 orng lebih bny dri sisw li-li. Ji tip sisw membyr Rp 0.000,00 dn jumlh ung yng terumpul dlh Rp ,00, m jumlh sisw perempun yng iut tmsy dlh... A. C. 7 B. D Sutu els mengdn pengumpuln ung untu disumbngn e sutu rumh ytim pitu. Ung yng mere umpuln terdiri dri 6 mt ung lim ribun, ( + ) mt ung sepuluh ribun, dn ( ) mt ung du puluh ribun. Ji setip sisw menyumbngn hny stu mt ung dn jumlh ung yng terumpul sebny Rp ,00, m jumlh sisw yng memberi sumbngn dlh... A. C. 0 B. 7 D. Mtemti

13 Cocon jwbn And dengn menggunn unci jwbn Tes Formtif yng terdpt di bgin hir bhn beljr mndiri ini. Hitunglh jwbn And yng benr, emudin gunn rumus di bwh ini untu mengethui tingt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr. Rumus : Jumlh jwbn And yng benr Tingt pengusn = X 00 % 0 Arti tingt pengusn yng And cpi : 90 % - 00% = Bi seli 80 % - 89% = Bi 70% - 79 % = Cuup < 70% = Kurng Apbil tingt pengusn And telh mencpi 80 % tu lebih, And dpt menerusn dengn Kegitn Beljr selnjutny. Bgus! Tetpi pbil nili tingt pengusn And msih di bwh 80 %, And hrus mengulngi Kegitn Beljr, terutm bgin yng belum And usi. Mtemti

14 BILANGAN RASIONAL DAN BILANGAN IRASIONAL Sebelum mempeljri bilngn rsinl dn irrsionl, terlebih dhulu mrilh it bicrn tentng bilngn pechn. A. BILANGAN PECAHAN Untu memhmi p yng dinmn bilngn pechn, mrilh it perhtin contoh beriut. Ibu Aisyh memilii sebuh bolu, i ingin memberin bolu tersebut sm besr terhdp tig orng nny. Berp bgin bolu yng diterim oleh setip n? Gmbr. Cob perhtin gmbr di ts, ji sebuh bolu diilustrsin dengn sebuh lingrn, emudin lingrn tersebut dibgi menjdi bgin sm besr, msetip bgin tersebut menunjun dri lingrn. Atu dlm contoh di ts,setip n n memperoleh bgin bolu dri ibu Aisyh. Bilngn ph itu? Ilustrsi linny, pd Kegitn Beljr Modul telh dipeljri tentng bilngn bult dn opersiny, slh stuny dlh opersi pembgin. And telh mengethui bhw opersi pembgin tid bersift tertutup, contohny ji dimbil du bilngn bult dn 4, emudin dilun pembgin bilngn oleh 4 m hsilny dlh bilngn 4, dn 4 bun merupn bilngn bult. Cob And ingt-ingt lgi, bilngn ph 4 itu? 4 Mtemti

15 Setelh mengingtny, tentu thu bhw 4 dn merupn bilngn pechn. Cob perhtin, ternyt sebuh bilngn pechn didptn mellui pembgin du bilngn bult. Bilngn yng dibgi dinmn pembilng dn bilngn pembginy dinmn penyebut. Contoh bilngn pechn yng lin dlh 4, bilngn 4 dinmn pembilng dn bilngn 7 dinmn penyebut. 7 Awlny bilngn pechn merupn bilngn yng dibutuhn untu menguur uurn yng lebih ecil dri stu, tetpi pd perembngnny bilngn pechn pun dpt bernili lebih dri stu. Sehingg bilngn pechn dpt ditgorin menjdi du, yitu bilngn pechn murni dn bilngn pechn tid murni. Bilngn pechn murni dlh bilngn pechn yng niliny ntr 0 dn, tu dpt ditulisn bilngn pechn p di mn 0 < p <. Contohny dlh 7, 7,, 9, dn. Sedngn bilngn pechn tid murni dlh bilngn pechn yng niliny lebih dri, tu dpt ditulisn bilngn pechn 7 q di mn q >. Contohny dlh,,,, dn. 9 Du tu lebih bilngn pechn dinmn senm, ji memilii penyebut yng sm, mislny : 7, 7, 7 4, 7 9,dn 7. Sedngn du tu lebih bilngn pechn yng tid memilii penyebut yng sm disebut tid senm, mislny:,,,. Semu contoh yng diberin tersebut dinmn bilngn 7 9 pechn positif. Awlny bilngn pechn positiflh yng dienl orng, emudin menyusul lhir bilngn pechn negtif. Selnjutny, cob perhtin dengn sesm gmbr.4, yng menunjun empt buh persegipnjng. () Gmbr.4 menunjun persegipnjng dlm edn utuh. () Gmbr.4 b menunjun persegipnjng yng dibgi du sm besr. () Gmbr.4 c menunjun persegipnjng yng dibgi empt sm besr. (4) Gmbr.4 d menunjun persegipnjng yng dibgi delpn sm besr. b c d Gmbr Mtemti

16 Setelh memperhtin gmbr.4, jwblh pertnyn-pertnyn beriut: () Bilngn pechn ph yng ditunjun oleh derh yng berbyng-byng pd Gmbr.4 b. () Bilngn pechn ph yng ditunjun oleh derh yng berbyng-byng pd Gmbr.4 c. () Bilngn pechn ph yng ditunjun oleh derh yng berbyng-byng pd Gmbr.4 d. Cocon jwbn dengn jwbn beriut : (). () 4. () 8 4. Selnjutny it tn bhw, 4, dn 8 4 dlh pechn-pechn yng senili. Untu mendptn bilngn pechn yng senili dpt dilun dengn menglin tu membgi pembilng dn penyebut sebuh bilngn pechn dengn bilngn yng sm, yng bilngn tersebut tid sm dengn nol. Contoh : 4 4 4, sehingg bilngn pechn senili dengn. 4 :, sehingg bilngn pechn senili dengn. 7 7: 7 Contoh : 0 6 Aph dn merupn bilngn pechn yng senili? 0 6 Penyelesin: 0 0 : 0 Pechn, sehingg bilngn pechn senili dengn 0 0 : :8 6 dn pechn, sehingg bilngn pechn senili dengn. 6 6 : Kren bilngn pechn dn msing-msing senili dengn, m dn merupn bilngn pechn yng senili. 6 Penyederhnn Bilngn Pechn Bhsn bilngn pechn senili ert itnny dengn penyederhnn 0 sebuh bilngn pechn. Pd contoh di ts senili dengn, dn dpt Mtemti

17 0 ditn bhw bilngn pechn telh disederhnn menjdi dengn cr membgi pembilng dn penyebut dengn. Demiin jug bilngn 0 6 pechn telh disederhnn menjdi dengn cr membgi pembilng dn penyebut dengn 8. 6 Cob perhtin: 0 () Mengp pd penyedehnn, penyebut dn pembilng dri bilngn 0 pechn tersebut hrus dibgi dengn? Dri mnh sl-usulny bilngn tersebut? 6 () Jug, mengp pd penyedehnn, penyebut dn pembilngn dri 6 bilngn pechn tersebut hrus dibgi dengn 8? Dri mnh sl-usulny bilngn 8 tersebut? Untu menjwb pertnyn tersebut, mrilh it liht ftorissi prim dri pembilng dn penyebut bilngn pechn tersebut. () Ftorissi prim dri 0 dlh:. Ftorissi prim dri 0 dlh: 7. FPB dri 0 dn 0 dlh: =. And bis mti, ternyt bilngn merupn FPB dri pembilng dn 0 penyebut bilngn. 0 () Ftorissi prim dri 6 dlh: = 4. Ftorissi prim dri 6 dlh: 7 = 7. FPB dri 6 dn 6 dlh : = 8. 6 Ternyt bilngn 8 merupn FPB dri pembilng dn penyebut bilngn. 6 Ilustrsi di ts memberin rh pd it untu menentun lngh-lngh penyederhnn bilngn pechn, lngh-lngh tersebut dlh: () Tentun ftorissi prim dri pembilng dn penyebut bilngn pechn tersebut, emudin cri FPB-ny. () Bgilh pembilng dn penyebut dengn FPB tersebut. Contoh : Tulisn bilngn pechn pling sederhn dri: () 6 48 () 60 Mtemti 7

18 Penyelesin: () Lngh Ftorissi prim dri dlh: 7. Ftorissi prim dri 6 dlh: 7 = 7. FPB dri dn 6 dlh 7. Lngh Bgilh pembilng dn penyebut dengn 7. :7 6 6 :7 8 Jdi, penyederhnn dri dlh. 6 8 () Lngh Ftorissi prim dri 48 dlh : = 4. Ftorissi prim dri 60 dlh : =. FPB dri 48 dn 60 dlh. Lngh Bgilh pembilng dn penyebut dengn : : 48 4 Jdi penyederhnn dri dlh. 60 Perhtin bilngn-bilngn pechn yng telh sederhn di ts, yni 4,,,,, dn. Cob And jwb pertnyn beriut. Berph FPB 7 8 dri pembilng dn penyebut msing-msing pechn tersebut? Setelh And jwb, cocon jwbn And dengn eterngn beriut. Ternyt FPB dri dn, dn, dn, dn 7, dn 8, sert 4 dn, semuny bernili. Sehingg dpt ditn bhw sutu bilngn pechn merupn pechn sederhn ji dn hny ji FPB dri pembilng dn penyebutny sm dengn. Contoh 4: 4 bun pechn sederhn ren FPB dri 4 dn 0 dlh 4 bun. 0 Bilngn Pechn Desiml Sutu bilngn pechn disebut bilngn pechn persepuluhn, ji penyebutny sutu pngt bilngn sepuluh, mislny,, dn Bilngn pechn persepuluhn tersebut berturut-turut dpt ditulis sebgi 0,, 0,, dn 0,, yng dinmn bilngn pechn desiml. 8 Mtemti

19 Sutu bilngn pechn bis, mislny, dpt diubh menjdi pechn desiml dengn cr membgi pembilng dengn penyebutny. Jdi untu bilngn dpt dilun pembgin oleh dn dihsiln nili 0,6. Hsil dri pembgin bilngn, selin menghsiln ng dengn digit terbts, jug terdng d yng menghsiln ng dengn digit tnp hir. Cob And perhtin contoh-contoh sebgi beriut: 0, 0, 0, 0, ,... 0, , Bilngn pechn desiml seperti 0,..., 0, , dn 0, dinmn bilngn pechn desiml berulng. B. HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Thuh And, ph yng dinmn bilngn rsionl? Bilngn,,, dn 7 merupn contoh dri bilngn rsionl. Dri pengethun sebelumny And telh mengethui bhw dn merupn bilngn bult, sedngn, dn 7 merupn bilngn pechn. Jdi lu demiin ph yng dinmn bilngn rsionl? Klu And piirn dengn sesm, ternyt bilngn rsionl terdiri dri bilngn bult dn bilngn pechn. Atu secr umum bis ditn bhw ji himpunn bilngn bult it gbungn dengn himpunn bilngn pechn, m didptn sutu himpunn bru, yng dinmn himpunn bilngn rsionl. Definisi: Bilngn rsionl dlh bilngn yng dpt dinytn sebgi dengn dn b,b I dn b 0 (I menytn himpunn bilngn bult). Contoh : Bilngn bult merupn bilngn rsionl, ren bilngn dpt dinytn 6 8 menjdi tu, tu, dn sebginy. 0 6 Mtemti 9

20 Opersi pd Bilngn Rsionl () Opersi Penjumlhn dn Pengurngn Bilngn Rsionl Tentuny And sudh terbis dengn penjumlhn dn pengurngn bilngn rsionl. Cob And perhtin contoh-contoh beriut: Contoh 6:. b Penyelesin: Terhdp edu contoh tersebut, ren penyebut-penyebutny sm m it bis lun Untu tipe penjumlhn ini secr umum bis ditulisn: untu setip bilngn c c c rsionl dn m. b b b b b b Seperti hlny dengn penjumlhn, untu tipe pengurngn seperti ini secr c c c umum bis ditulisn: untu setip bilngn rsionl dn m. b b b b b Contoh 7: 7. 0 b. 8 4 Terhdp edu persoln pd contoh 7 ini, ren penyebut-penyebutny tid sm, m it hrus smn penyebutny terlebih dhulu. Bgimn crny menymn penyebut-penyebut tersebut? Untu menymn penyebutpenyebutny it hrus cri Keliptn Perseutun Terecil (KPK) dri penyebutpenyebut tersebut. Penyelesin terhdp contoh sol tersebut dlh sebgi beriut b. KPK dri 0 dn dlh 0, sehingg it dptn : Mtemti

21 KPK dri 8 dn 4 dlh 8, sehingg it dptn : Dri eterngn tersebut dpt disimpuln bhw: untu menjumlhn tu mengurngn bilngn-bilngn rsionl (pechn) yng penyebutny tid sm, terlebih dulu gntilh bilngn-bilngn rsionl itu dengn bilngn-bilngn rsionl yng penyebutny sm, yitu KPK dri penyebut-penyebut bilngn rsionl semul. Kemudin jumlhn tu urngn pembilng-pembilng bilngn rsionl bru itu. Sift-Sift Opersi Penjumlhn dn Pengurngn Bilngn Rsionl. Opersi penjumlhn dn pengurngn bilngn rsionl bersift tertutup. Untu c c c setip dn dlh sebrng bilngn rsionl, m dn b d b d b d jug merupn bilngn rsionl. b. Opersi penjumlhn bilngn rsionl bersift omuttif. Untu setip dn b c c c dlh sebrng bilngn rsionl, m. d b d d b c e c. Opersi penjumlhn bilngn rsionl bersift ssositif. Ji,, dn b d f dlh bilngn rsionl, m b c e c e. d f b d f d. Memilii unsur identits. Untu setip sebrng bilngn rsionl, m b berlu 0 0 b b b e. Setip bilngn sebrng bilngn rsionl memilii invers sehingg b b 0. b b b b () Opersi Perlin Bilngn Rsionl Definisi: Untu b dn d c dlh sebrng bilngn rsionl, m b c d c. b d Dengn menggunn definisi di ts, it dengn mudh dpt menentun hsil li bilngn-bilngn rsionl. Perhtin contoh-contoh beriut: Mtemti 6

22 6 Mtemti Contoh 8:. Tentun hsil dri:. 9 7 b. 9 6 c Penyelesin : b c Sift-Sift Opersi Perlin Bilngn Rsionl. Opersi perlin bilngn rsionl bersift tertutup. Untu setip b dn d c dlh sebrng bilngn rsionl, m d c b jug merupn bilngn rsionl. b. Opersi perlin bilngn rsionl bersift omuttif. Untu setip b dn d c dlh sebrng bilngn rsionl, m b d c d c b. c. Opersi perlin bilngn rsionl bersift ssositif. Ji b, d c dn f e dlh bilngn rsionl, m f e d c b f e d c b. d. Memilii unsur identits. Untu setip sebrng bilngn rsionl b, m berlu b b b. e. Setip bilngn sebrng bilngn rsionl b memilii invers perlin b sehingg b b b b. f. Bersift distributif perlin terhdp penjumlhn dn pengurngn. Untu setip b, d c,dn f e dlh bilngn rsionl, m: f e b d c b f e d c b dn f e b d c b f e d c b.

23 () Opersi Pembgin Bilngn Rsionl Definisi: c c Untu dn dlh sebrng bilngn rsionl dengn 0, m hsil bgi b d d c e c e dri : dlh bilngn rsionl b d sedemiin sehingg f d f b Sift: c Ji dn dlh sebrng bilngn rsionl dengn c 0, m b d c d :. b d b c Contoh 9:. Tentun hsil dri:. b. : 7 : 8 Penyelesin: : b. : Dlm opersi pembgin pd bilngn rsionl, ph opersi pembgin bersift tertutup, omuttif, ssositif, memilii unsur identits, memilii invers, bersift distributif. Silhn And disusin dengn temn-temn And. C. BILANGAN IRASIONAL Telh And ethui, bhw himpunn bilngn rsionl, dlh himpunn bilngn yng dpt dinytn oleh desiml berulng. Ini rtiny setip bilngn rsionl dpt dinytn oleh sebuh desiml berulng, dn jug setip desiml berulng menytn sebuh bilngn rsionl. An tetpi d jug desiml yng tid berulng, mislny e =,788 (e bilngn poo logritm sli), =, , =,44..., dn sebginy. Himpunn bilngn seperti ini dinmn himpunn bilngn irsionl. Definisi: Himpunn bilngn yng tid dpt dinytn sebgi b dengn, b I dn b 0 (I menytn himpunn bilngn bult) dinmn himpunn bilngn irsionl. Himpunn bilngn yng terdiri dri bilngn desiml tid berulng dinmn himpunn bilngn irsionl. Mtemti 6

24 Contoh 0: Bilngn,, 4,,, dn 7, ji diubh menjdi bilngn desiml m n didptn bilngn desiml tid berulng. Petunju: Jwblh pertnyn dengn singt dn tept! Untu memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, erjnlh ltihn beriut!. Tentun hsil dri.. Tentun hsil dri Tentun hsil dri 7 : Tentun hsil dri. 4 Petunju Jwbn Ltihn Peris secr sesm jwbn And, emudin coconlh jwbn And dengn unci jwbn beriut:. Bilngn dpt ditulis menjdi: Mtemti

25 . Kren 4 dpt dinytn dengn dn KPK dri penyebut 4 4 dn 4 dlh 0, m didptn: Kren 7 : dpt diubh menjdi : dn opersi tersebut dpt diubh e dlm bentu perlin, sehingg didptn :4 84 : KPK dri penyebut,, dn 4 dlh 4, sehingg Sebuh bilngn pechn dlh bilngn yng dinytn oleh b mn dn b nggot bilngn bult, dn b tid sm dengn nol. Bilngn yng dibgi dinmn pembilng dn bilngn pembginy dinmn penyebut.. Bilngn pechn dpt ditgorin menjdi du, yitu bilngn pechn murni dn bilngn pechn tid murni. Bilngn pechn murni dlh bilngn pechn yng niliny ntr 0 dn, sedngn bilngn pechn tid murni dlh bilngn pechn yng niliny lebih dri.. Du tu lebih bilngn pechn dinmn senm, ji memilii penyebut yng sm, sedngn du tu lebih bilngn pechn yng tid memilii penyebut yng sm disebut tid senm. 4. Bilngn pechn yng pertm dienl orng dlh bilngn pechn positif, emudin menyusul lhir bilngn pechn negtif.. Bilngn, 4, dn 8 4 ditn bilngn-bilngn pechn yng senili. Untu mendptn bilngn pechn yng senili dpt dilun dengn menglin tu membgi pembilng dn penyebut sebuh di Mtemti 6

26 bilngn pechn dengn bilngn yng sm, yng bilngn tersebut tid sm dengn nol. 6. Lngh-lngh penyederhnn bilngn pechn dlh sebgi beriut:. Tentun ftorissi prim dri pembilng dn penyebut bilngn pechn tersebut, emudin cri FPB-ny. b. Bgilh pembilng dn penyebut dengn FPB tersebut. 7. Sutu bilngn pechn merupn pechn sederhn ji dn hny ji FPB dri pembilng dn penyebutny sm dengn. 8. Sutu bilngn pechn disebut bilngn pechn persepuluhn (desiml) ji penyebutny sutu pngt bilngn sepuluh. 9. Ji himpunn bilngn bult it gbungn dengn himpunn bilngn pechn, m didptn sutu himpunn bru, yng dinmn himpunn bilngn rsionl. 0. Sift-sift opersi penjumlhn dn pengurngn bilngn rsionl:. Opersi penjumlhn dn pengurngn bilngn rsionl bersift tertutup. b. Opersi penjumlhn bilngn rsionl bersift omuttif. c. Opersi penjumlhn bilngn rsionl bersift ssositif. d. Memilii unsur identits penjumlhn. e. Memilii invers untu opersi penjumlhn.. Sift-sift opersi perlin dn pembgin bilngn rsionl:. Opersi perlin dn pembgin bilngn rsionl bersift tertutup. b. Opersi perlin bilngn rsionl bersift omuttif. c. Opersi perlin bilngn rsionl bersift ssositif. d. Memilii unsur identits perlin. e. Memilii invers untu opersi perlin. f. Bersift distributif perlin terhdp penjumlhn dn pengurngn.. Himpunn bilngn irsionl dlh himpunn bilngn yng tid dpt dinytn sebgi dengn, b I dn b b 0, tu himpunn bilngn yng terdiri dri bilngn desiml tid berulng. Petunju: Pilihlh slh stu jwbn yng dinggp pling tept! 6. Beriut ini, mnh nili dn y yng memenuhi dn 9 7 A. = 6 dn y = - C. = 4 dn y = - B. = dn y = D. = dn y = y. 9 y 66 Mtemti

27 . Bilngn-bilngn pechn 6, 8 7, dn 0 7 ji diubh menjdi pechn yng senm berturut-turut dlh A.,, dn B.,, dn C.,, dn D.,, dn Bilngn-bilngn pechn,, dn ji disederhnn berturutturut menghsiln bilngn pechn A.,, dn C.,, dn B.,, dn 9 7 D.,, dn 9 4. Pernytn-pernytn beriut dlh benr, eculi... A. 9 7 dn C. dn B dn D. dn Hsil dri 7 A. 8 B. dlh C. 7 D Hsil dri 4 dlh A. 0 C B. D. 4 4 Mtemti 67

28 7. Nili dlh hsil dri pembgin... A. B. : C. : 8 D. : 8 : 8 8. Hsil dri A. B dlh... C. 7 D Beriut ini dlh bilngn irsionl, eculi... A. C. 9 B. D. 0. Beriut ini dlh bilngn-bilngn yng bernili urng dri, eculi... A. C. B. D Mtemti

29 Cocon jwbn And dengn menggunn unci jwbn Tes Formtif yng terdpt di bgin hir bhn beljr mndiri ini. Hitunglh jwbn And yng benr, emudin gunn rumus di bwh ini untu mengethui tingt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr. Rumus : Jumlh jwbn And yng benr Tingt pengusn = X 00 % 0 Arti tingt pengusn yng And cpi : 90 % - 00% = Bi seli 80 % - 89% = Bi 70% - 79 % = Cuup < 70% = Kurng Apbil tingt pengusn And telh mencpi 80 % tu lebih, And dpt menerusn dengn Kegitn Beljr selnjutny. Bgus! Tetpi pbil nili tingt pengusn And msih di bwh 80 %, And hrus mengulngi Kegitn Beljr, terutm bgin yng belum And usi. Mtemti 69

30 A. PANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF BILANGAN BERPANGKAT Sebgi permuln pembicrn it tentng bilngn berpngt bilngn bult positif, mrilh it ingt embli tentng onsep perlin. Klu And memilii perlin 4 m ini mengndung mn bhw 4 = Dri sus tersebut And meliht dengn jels bhw 4 merupn proses penjumlhn berulng bilngn 4 sebny empt li. Serng lu it mempunyi , disebut proses ph itu? Bilngn = 7, dn 7 dinmn bilngn berpngt. Contoh : = (Lmbng dibc pngt ) = (Lmbng dibc pngt ) Contoh : Bilngn Berpngt Dibc Ftor 4 tig pngt empt d 4 ftor 6 lim pngt enm d 6 ftor 4 7 empt pngt tujuh d 7 ftor pngt n... d n ftor Dengn meliht contoh tersebut secr umum bilngn berpngt dpt n ditulisn sebgi..., dengn lmbng bilngn dinmn d n ftor bilngn poo, sedngn lmbng bilngn n, dinmn pngt. Bilngn umumny merupn bilngn rel, nmun untu bhsn it st ini bilngn dibtsi hny untu bilngn rsionl, sedngn n dibtsi hny untu bilngn bult. n 70 Mtemti

31 Terdpt beberp sift dlm bilngn berpngt, yitu:. Sift Cob And perhtin eterngn beriut ini. Misln dimbil contoh. (i) 4 = ( ) ( ) = = 6 (ii) = ( ) ( ) = = 8 Dri contoh tersebut m secr umum, ji sebrng bilngn rsionl dn m, n bilngn bult positif, m didptn: m n m ftor n ftor =... m n ftor = m n b. Sift Klu pd contoh yng sebelumny merupn permslhn sus m n, bgimn hlny untu m : n. Untu menjwb pertnyn tersebut, cob And perhtin contoh beriut ini. 6 : 4 Dri contoh tersebut m secr umum, ji sebrng bilngn rsionl dn m, n bilngn bult positif, dengn m > n, m didptn: m : n m n. c. Sift Dengn menulisn ftor-ftor setip bilngn tunjun bhw: (i) ( ) = 6 (ii) ( ) 4 = 8 (iii) ( ) 4 = Penyelesin: (i) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ) = 6 (ii) ( ) 4 = ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = = 8 (iii) ( ) 4 = ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = Dri contoh tersebut m secr umum, m n m n untu m dn n dlh bilngn bult positif Mtemti 7

32 d. Sift 4 Dengn menulisn ftor-ftor prim setip bilngn dn menggunn huum ssosositif dn omuttif, butin bhw: ( ) = Cocon jwbn And dengn eterngn beriut. ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) = Dri contoh tersebut m secr umum, n bilngn bult positif b n n b untu n dlh B. PANGKAT BILANGAN BULAT NEGATIF DAN NOL Serng it n memperlus definisi bilngn berpngt. Perlusn ini mencup bilngn bult linny, yitu nol dn bilngn bult negtif sebgi pngt. Ini dilun sedemiin rup sehingg sift-sift yng dibhs di ts berlu untu semu bilngn bult m dn n. Sift-sift itu dlh: () m n m n () m : n m n () m n m n b n n b (4) n Contoh : Tentun nili dri : () 8 () 8 : 7 Penyelesin: () Cr Dengn melun opersi secr lsil Cr 8 ( ) (8 8) Dengn menggunn formul bn n bn tu n b n b n Mtemti

33 () Cr 8 Cr :7 8 :7 (8 8):(7 7) 784 : Untu formulsi bilngn bult negtif dn nol sebgi pngtny perhtin contoh beriut. Contoh 4: Bilngn Berpngt Ftor Nili Serng cob And perhtin dengn sesm contoh di ts yng emudin disj in dlm brisn bilngn beriut: 7, 6,, 4,,,,... Ad du hl yng menri dri brisn bilngn tersebut, yitu: () Pngt dri suu-suuny berturut-turut turun stu-stu, yni dri 7 emudin beriutny 6,, 4,, dn seterusny () Nili setip suu dlh seperdu dri suu yng mendhuluiny Dri eterngn, m brisn bilngn tersebut dpt dilnjutn sebgi beriut: 7, 6,, 4,,,, 0, -, -, -, -4, -,... dn berdsrn eterngn b, nili dri setip suuny berturut-turut dlh: 8, 64,, 6, 8, 4,,,, 4,,,, Mtemti 7

34 Ji eterngn tersebut, it sjin dlm bentu tbel m didptn sebgi beriut: Dri brisn-brisn bilngn tersebut, And bis perhtin bhw: 0 = n n Ilustrsi tersebut mengrhn pd it bhw secr umum 0 = dn n n dengn dlh bilngn poo dn n dlh pngt. Perhtin contoh beriut. Contoh : Tulisn bilngn berpngt beriut menjdi bilngn tnp pngt () 0 4 () () 0 - (4) -4 Penyelesin:. 0 4 = 0000 = b.,7 0 6 =, = c. 0 - = d. -4 = Mtemti

35 C. PANGKAT BILANGAN RASIONAL Opersi memngtn du dn menri r pngt du dri sutu bilngn dlh opersi-opersi invers, seperti hlny opersi penjumlhn dn pengurngn dlh opersi-opersi invers, jug opersi perlin dn pembgin dlh opersiopersi invers. Untu lebih memhmi tentng opersi r pngt du, cob And perhtin ilustrsi beriut ini. Bilngn Pngt du Bilngn Ar pngt du Kren pngt du dlh, m r pngt du dri dlh. Atu bis ditulisn, ren = m. Demiin jug 6 4, 9, 4, dn 0 0. Ar pngt du yng positif dri sutu bilngn positif N, dlh bilngn posit if N, yng ji dilin dengn diriny sendiri n menghsiln N. Contoh 6: () Diethui 89 = 7, m () Diethui 9 =, m 9. Sift-sift di ts berlu jug untu bilngn berpngt bilngn rsionl, dn beriut tmbhn sift linny. Sift m n Untu bilngn rel dn m sert n bilngn bult positif n m n m Sift Jdi untu setip bilngn rel yng bun nol, m n m n Mtemti 7

36 Petunju: Jwblh pertnyn dengn singt dn tept! Untu memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, erjnlh ltihn beriut!. Tentun nili yng memenuhi persmn beriut ini.. b Crilh nili sehingg pernytn 4 menjdi benr.. Nili dri 4 dlh Tentun nili yng memenuhi persmn beriut ini... 7 b. 9.. Ji diethui 9 8, m nili dri dlh... Petunju Jwbn Ltihn Peris secr sesm jwbn And, emudin coconlh jwbn And dengn unci jwbn beriut:. Penyelesin:. Jdi, nili yng memenuhi dlh =. b Jdi, nili yng memenuhi dlh = Mtemti

37 77 Mtemti Jdi, nili yng memenuhi dlh =.. 4 = = = = =. Jdi, nili dri 4 dlh. 4. Penyelesin:. 7 Jdi, nili yng memenuhi dlh = -. b Jdi, nili yng memenuhi dlh =.

38 = + 6 = 9 6 = = = Jdi, nili =.. Ji n dlh sebuh bilngn bult positif dn dlh bilngn rel n m pngt n dlh... dengn dinmn d n ftor bilngn poo dn n dinmn pngt dri bilngn tersebut.. Untu sebrng bilngn bult m dn n, sift-sift bilngn berpngt dlh sebgi beriut:. m n m n. b. m n m n. n c. m m n. d. b n n b n. e. 0. f. n n. m g. n n m. h. m n m. n 78 Mtemti

39 Petunju: Pilihlh slh stu jwbn yng dinggp pling tept!. Pernytn-pernytn di bwh ini benr, eculi... A. 7 : 4 C. 4 6 B. D.. Bentu sederhn dri ( ) 4 : dlh... A. C. 0 B. 6 D.. Nili n yng memenuhi n - 8 = 0 dlh... A. C. B. D Sutu ubus mempunyi volume 79 cm, m pnjng rusu ubus tersebut dlh... A. 6 C. 8 B. 7 D. 9. Ji diethui 6 4 6, m nili dlh... A. C. B. D Ji : = b, m nili b yng memenuhi dlh... A. C. 4 B. D. 7. Ji diberin y = 8, m nili dri y dlh... A. C. B. D Ji diberin = 00 dn b = 64, m nili dri b dlh... A. C. B. 4 D. 6 Mtemti 79

40 9. Hsil perlin dri (4) (8) - dlh... A. C. B. D. 0. Ji diethui = 4, b, c =, m nili dri 8 A. C. 0, B. 0,7 D. 0, bc bc dlh 80 Mtemti

41 Cocon jwbn And dengn menggunn unci jwbn Tes Formtif yng terdpt di bgin hir bhn beljr mndiri ini. Hitunglh jwbn And yng benr, emudin gunn rumus di bwh ini untu mengethui tingt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr. Rumus : Jumlh jwbn And yng benr Tingt pengusn = X 00 % 0 Arti tingt pengusn yng And cpi : 90 % - 00% = Bi seli 80 % - 89% = Bi 70% - 79 % = Cuup < 70% = Kurng Apbil tingt pengusn And telh mencpi 80 % tu lebih, And telh menuntsn Kegitn Bhn Beljr Mndiri. Bgus! Tetpi pbil nili tingt pengusn And msih di bwh 80 %, And hrus mengulngi Kegitn Beljr, terutm bgin yng belum And usi. Mtemti 8

42 TES FORMATIF. C. D. D 4. A. A 6. D 7. B 8. B 9. C 0. A TES FORMATIF. A. B. D 4. C. C 6. D 7. B 8. A 9. C 0. C TES FORMATIF. C. C. B 4. D. B 6. A 7. A 8. C 9. A 0. C KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 8 Mtemti

43 DAFTAR PUSTAKA Bello, I. (98) Contemporry Bsic Mthemticl Sills. New-Yor: Hrper & Row. Britton, J. R. nd Bello I. (984). Topics in Contemporry Mthemtics. New-Yor: Hrper & Row. Devine, D. F. nd Kufmnn J. E. (98). Elementry Mthemtics for Techers. Cnd: John Wiley & Sons. Kodir, d. (976). Mtemti 8 untu SMA. Jrt: Interms. Ruseffendi, E. T. (990). Pengjrn Mtemti Modern dn Ms Kini untu Guru dn PGSD D, Seri Keempt. Bndung: Trsito. Suino, Tnujwijy, J., dn Annt, P. (989). Mtemti Progrm Inti untu Kels SMA. Klten: Intn Priwr. Whyudin. (00). Mtemti SLTP Kels. Bndung: Epsilon Grup. Mtemti 8